A mátrix inverze egy mátrix. Inverz mátrix definíció létezése és egyedisége

inverz mátrix az adottnál ez egy olyan mátrix, az eredeti szorzata, amivel az identitásmátrixot kapjuk: Az inverz mátrix jelenlétének kötelező és elégséges feltétele az eredeti determinánsának egyenlőtlensége (ami a viszont azt jelenti, hogy a mátrixnak négyzetesnek kell lennie). Ha egy mátrix determinánsa egyenlő nullával, akkor degeneráltnak nevezzük, és egy ilyen mátrixnak nincs inverze. A felsőbb matematikában az inverz mátrixok fontosak, és számos probléma megoldására használják őket. Például on az inverz mátrix megtalálásaépült mátrix módszer egyenletrendszerek megoldásai. Szervizoldalunk lehetővé teszi inverz mátrix kiszámítása online két módszer: a Gauss-Jordan módszer és az algebrai összeadások mátrixának használata. Az első arra utal nagyszámú elemi transzformációk a mátrixon belül, a második - a determináns és az algebrai összeadások kiszámítása az összes elemhez. Egy mátrix determinánsának online kiszámításához használhatja másik szolgáltatásunkat - Mátrix determinánsának online kiszámítása

Keresse meg az inverz mátrixot az oldalon

weboldal lehetővé teszi, hogy megtalálja inverz mátrix online gyors és ingyenes. Az oldalon a számításokat szervizünk végzi, és az eredményt megjeleníti részletes megoldás hely szerint inverz mátrix. A szerver mindig csak a pontos és helyes választ ad. Feladatokban definíció szerint inverz mátrix online, szükséges, hogy a determináns mátrixok különben különbözött a nullától weboldal jelenteni fogja az inverz mátrix megtalálásának lehetetlenségét, mivel az eredeti mátrix determinánsa egyenlő nullával. Feladat keresése inverz mátrix a matematika számos ágában megtalálható, az algebra egyik legalapvetőbb fogalma és matematikai eszköz az alkalmazott problémák megoldásában. Független inverz mátrix definíció jelentős erőfeszítést, sok időt, számításokat és nagy körültekintést igényel, hogy ne csússzon vagy csússzon el egy kis hiba a számításokban. Ezért szolgáltatásunk az inverz mátrix megtalálása online nagyban megkönnyíti a feladatát, és nélkülözhetetlen eszköze lesz a matematikai problémák megoldásának. Még ha te keresse meg az inverz mátrixot saját magának, javasoljuk, hogy ellenőrizze a megoldást a szerverünkön. Adja meg eredeti mátrixát a Calculate Inverse Matrix Online oldalunkon, és ellenőrizze válaszát. Rendszerünk soha nem téved, és talál inverz mátrix adott dimenzió a módban online azonnal! Az oldalon weboldal karakter bejegyzések megengedettek az elemekben mátrixok, ebben az esetben inverz mátrix onlineáltalános szimbolikus formában kerül bemutatásra.

Módszerek az inverz mátrix megtalálására,. Tekintsünk egy négyzetmátrixot

Jelölje Δ = det A.

Az A négyzetmátrixot ún nem degenerált, vagy nem különleges ha a determinánsa nem nulla, és elfajzott, vagy különleges, haΔ = 0.

Létezik egy B négyzetmátrix egy azonos rendű A négyzetmátrixhoz, ha a szorzatuk A B = B A = E, ahol E az A és B mátrixokkal azonos rendű azonosságmátrix.

Tétel . Ahhoz, hogy az A mátrixnak legyen inverz mátrixa, szükséges és elegendő, hogy a determinánsa nullától eltérő legyen.

Inverz mátrix az A mátrixhoz, A-val jelöljük- 1, tehát B = A - 1 és a képlet alapján számítják ki

, (1)

ahol А i j - az A mátrix a i j elemeinek algebrai komplementerei.

Az A -1 kiszámítása az (1) képlettel magas rendű mátrixokra nagyon munkaigényes, ezért a gyakorlatban célszerű megtalálni az A -1-et az elemi transzformációk (EP) módszerével. Bármely nem szinguláris A mátrix csak oszlopok (vagy csak sorok) EP-jével redukálható az E identitásmátrixra. Ha az A mátrixon végrehajtott EP-ket ugyanabban a sorrendben alkalmazzuk az E identitásmátrixra, akkor az eredmény: egy inverz mátrix. Kényelmes egy EP-t az A és E mátrixokon egyszerre végrehajtani, mindkét mátrixot egymás mellé írva a vonalon keresztül. Még egyszer megjegyezzük, hogy a mátrix kanonikus formájának keresésekor sorok és oszlopok transzformációit használhatjuk annak megtalálásához. Ha meg kell találnia az inverz mátrixot, akkor csak sorokat vagy csak oszlopokat használjon az átalakítási folyamatban.

2.10. példa. Mátrixhoz találd meg az A -1-et.

Megoldás.Először megtaláljuk az A mátrix determinánsát
tehát létezik az inverz mátrix, és a következő képlettel találhatjuk meg: , ahol A i j (i,j=1,2,3) - az eredeti mátrix a i j elemeinek algebrai komplementerei.

Ahol .

Példa 2.11. Az elemi transzformációk módszerével keressünk A -1 mátrixot: A=.

Megoldás.A jobb oldali eredeti mátrixhoz azonos sorrendű identitásmátrixot rendelünk: . Az elemi oszloptranszformációk segítségével a bal „felet” az azonosságra redukáljuk, egyidejűleg pontosan ilyen transzformációkat hajtunk végre a jobb oldali mátrixon.
Ehhez cserélje fel az első és a második oszlopot: ~ . Az elsőt hozzáadjuk a harmadik oszlophoz, és az elsőt -2-vel megszorozva a másodikhoz: . Az első oszlopból kivonjuk a megduplázott másodikat, a harmadikból pedig a másodikat 6-tal szorozva; . Adjuk hozzá a harmadik oszlopot az elsőhöz és a másodikhoz: . Szorozzuk meg az utolsó oszlopot -1-gyel: . A függőleges sávtól jobbra kapott négyzetmátrix az adott A mátrix inverz mátrixa.
.

Általában inverz műveleteket használnak az összetett egyszerűsítésére algebrai kifejezések. Például, ha a feladat a törttel való osztás műveletét tartalmazza, akkor azt lecserélheti a reciprok szorzás műveletére, ami az inverz művelet. Ráadásul a mátrixok nem oszthatók, ezért szorozni kell az inverz mátrixszal. A 3x3-as mátrix inverzének kiszámítása meglehetősen fárasztó, de ezt manuálisan kell megtennie. A reciprok egy jó grafikus számológéppel is megkereshető.

Lépések

A mellékelt mátrix segítségével

Transzponálja az eredeti mátrixot. A transzpozíció a sorok oszlopokkal való helyettesítése a mátrix főátlójához képest, vagyis fel kell cserélni az (i, j) és (j, i) elemeket. Ebben az esetben a főátló elemei (a bal felső sarokban kezdődik és a jobb alsó sarokban végződnek) nem változnak.

A sorok oszlopokra cseréléséhez írja be az első sor elemeit az első oszlopba, a második sor elemeit a második oszlopba, és a harmadik sor elemeit a harmadik oszlopba. Az elemek helyzetének megváltoztatásának sorrendjét az ábra mutatja, melyben a megfelelő elemek színes körökkel vannak bekarikázva.

Keresse meg az egyes 2x2 mátrixok definícióját. Bármely mátrix minden eleme, beleértve a transzponált elemet is, hozzá van rendelve egy megfelelő 2x2-es mátrixhoz. Egy adott elemnek megfelelő 2x2-es mátrix megtalálásához húzza ki azt a sort és oszlopot, amelyben ez az elem található, azaz át kell húznia az eredeti 3x3-as mátrix öt elemét. Négy olyan elem, amely a megfelelő 2x2-es mátrix elemei, áthúzatlan marad.

Például annak az elemnek a 2x2 mátrixának megtalálásához, amely a második sor és az első oszlop metszéspontjában található, húzza ki a második sorban és az első oszlopban lévő öt elemet. A maradék négy elem a megfelelő 2x2-es mátrix elemei.
Keresse meg az egyes 2x2 mátrixok determinánsát! Ehhez vonjuk le a másodlagos átló elemeinek szorzatát a főátló elemeinek szorzatából (lásd az ábrát).
A 3x3-as mátrix egyes elemeinek megfelelő 2x2-es mátrixokról részletes információk találhatók az interneten.

Hozzon létre egy kofaktor mátrixot. Rögzítse a korábban kapott eredményeket egy új kofaktormátrix formájában. Ehhez írja fel minden 2x2-es mátrix talált determinánsát, ahol a 3x3-as mátrix megfelelő eleme volt. Például, ha egy 2x2-es mátrixot veszünk figyelembe az (1,1) elemhez, írjuk le a determinánsát az (1,1) pozícióba. Ezután változtassa meg a megfelelő elemek jeleit egy bizonyos minta szerint, amely az ábrán látható.

Jelváltási séma: az első sor első elemének előjele nem változik; az első sor második elemének előjele megfordul; az első sor harmadik elemének előjele nem változik, és így soronként. Kérjük, vegye figyelembe, hogy a diagramon látható "+" és "-" jelek (lásd az ábrát) nem azt jelzik, hogy a megfelelő elem pozitív vagy negatív lesz. Ebben az esetben a „+” jel azt jelzi, hogy az elem előjele nem változik, a „-” jel pedig azt, hogy az elem előjele megváltozott.
A kofaktormátrixokról részletes információk találhatók az interneten.
Így találja meg az eredeti mátrix kapcsolódó mátrixát. Néha összetett konjugált mátrixnak is nevezik. Az ilyen mátrixot adj(M)-ként jelöljük.

Osszuk el az adjunkt mátrix minden elemét a determinánssal. Az M mátrix determinánsát a legelején kiszámítottuk, hogy ellenőrizzük az inverz mátrix létezését. Most osszuk el az adjunkt mátrix minden elemét ezzel a determinánssal. Jegyezze fel minden osztási művelet eredményét, ahol a megfelelő elem található. Tehát megtalálja a mátrixot, az eredeti inverzét.

Az ábrán látható mátrix determinánsa 1. Így a kapcsolódó mátrix itt az inverz mátrix (mivel bármely szám 1-gyel való osztása nem változtat).
Egyes forrásokban az osztási műveletet a szorzási művelet váltja fel 1/det(M)-re. Ebben az esetben a végeredmény nem változik.

Írd fel az inverz mátrixot!Írja le a jobb oldalon található elemeket! nagy mátrix, külön mátrixként van megadva, amely inverz mátrix.

Írja be az eredeti mátrixot a számológép memóriájába. Ehhez kattintson a Mátrix gombra, ha elérhető. Egy Texas Instruments számológép esetén előfordulhat, hogy meg kell nyomnia a 2. és a Matrix gombot.

Válassza a Szerkesztés menüt. Ehhez használja a nyílgombokat vagy a megfelelő funkciógombot, amely a számológép billentyűzetének tetején található (a gomb helye a számológép típusától függ).

Adja meg a mátrix megnevezését. A legtöbb grafikus számológép 3-10 mátrixszal tud dolgozni, amelyek jelölhetők A-J betűk. Általános szabály, hogy csak válassza ki az [A]-t az eredeti mátrix jelölésére. Ezután nyomja meg az Enter gombot.

Adja meg a mátrix méretét. Ez a cikk a 3x3-as mátrixokról szól. De a grafikus számológépek működhetnek mátrixokkal nagy méretek. Adja meg a sorok számát, nyomja meg az Enter gombot, majd adja meg az oszlopok számát, és nyomja meg ismét az Enter gombot.

Adja meg a mátrix minden elemét. A számológép képernyőjén egy mátrix jelenik meg. Ha korábban már bevitt egy mátrixot a számológépbe, az megjelenik a képernyőn. A kurzor kiemeli a mátrix első elemét. Írja be az első elem értékét, és nyomja meg az Enter billentyűt. A kurzor automatikusan a mátrix következő elemére lép.

Minden nem szinguláris A mátrixhoz létezik olyan egyedi A -1 mátrix, amelyre

A*A -1 =A -1 *A = E,

ahol E az A-val azonos rendű identitásmátrix. Az A -1 mátrixot az A mátrix inverzének nevezzük.

Ha valaki elfelejtette, az identitásmátrixban, az egyesekkel kitöltött átló kivételével, az összes többi pozíció nullával van kitöltve, egy példa az identitásmátrixra:

Az inverz mátrix megkeresése adjungált mátrix módszerrel

Az inverz mátrixot a következő képlet határozza meg:

ahol A ij - elemek a ij .

Azok. Egy mátrix inverzének kiszámításához ki kell számítani ennek a mátrixnak a determinánsát. Ezután keressen algebrai összeadásokat az összes eleméhez, és készítsen belőlük egy új mátrixot. Ezután ezt a mátrixot kell szállítani. És osszuk el az új mátrix minden elemét az eredeti mátrix determinánsával.

Nézzünk néhány példát.

Keresse meg az A -1 mátrixot

Megoldás: Keresse meg az A -1-et az adjungált mátrix módszerrel. Det A = 2. Határozzuk meg az A mátrix elemeinek algebrai komplementereit. Ebben az esetben a mátrixelemek algebrai komplementerei magának a mátrixnak a megfelelő elemei lesznek, előjellel a képletnek megfelelően

Van A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. Megalkotjuk az adjunkt mátrixot

Az A* mátrixot szállítjuk:

Az inverz mátrixot a következő képlettel találjuk meg:

Kapunk:

Az adjungált mátrix módszerrel keressük meg az A -1 ha

Megoldás: Először is kiszámítjuk az adott mátrixot, hogy megbizonyosodjunk arról, hogy létezik-e az inverz mátrix. Nekünk van

Itt a második sor elemeihez hozzáadtuk a harmadik sor elemeit, előzőleg (-1) szorozva, majd a második sorral bővítettük a determinánst. Mivel ennek a mátrixnak a definíciója eltér a nullától, akkor a mátrix inverze létezik. Az adjungált mátrix megalkotásához megkeressük ennek a mátrixnak az elemeinek algebrai komplementereit. Nekünk van

A képlet szerint

szállítjuk az A* mátrixot:

Majd a képlet szerint

Az inverz mátrix megtalálása elemi transzformációk módszerével

A képletből következő inverz mátrix megtalálási módszere mellett (a társított mátrix módszere) létezik egy módszer az inverz mátrix megtalálására, az úgynevezett elemi transzformációk módszere.

Elemi mátrix transzformációk

A következő transzformációkat elemi mátrix transzformációknak nevezzük:

1) sorok (oszlopok) permutációja;

2) egy sort (oszlopot) megszorozunk egy nem nulla számmal;

3) egy sor (oszlop) elemeihez hozzáadjuk egy másik sor (oszlop) megfelelő elemeit, előzőleg megszorozva egy bizonyos számmal.

Az A -1 mátrix megtalálásához téglalap alakú B \u003d (A | E) mátrixot készítünk (n; 2n) sorrendből, a jobb oldali A mátrixhoz az osztóvonalon keresztül hozzárendelve az E identitásmátrixot:

Vegyünk egy példát.

Az elemi transzformációk módszerével keressük meg az A -1 ha

Megoldás. Megalkotjuk a B mátrixot:

Jelölje a B mátrix α 1 , α 2 , α 3 sorait. Végezzük el a következő transzformációkat a B mátrix sorain.

Sok tulajdonságban hasonló az inverzekhez.

Enciklopédiai YouTube

1 / 5

✪ Hogyan lehet megtalálni az inverz mátrixot - bezbotvy

✪ Inverz mátrix (2 módon lehet megtalálni)

✪ Inverz mátrix #1

✪ 2015-01-28. Inverz mátrix 3x3

✪ 2015-01-27. Inverz mátrix 2x2

Feliratok

Inverz mátrix tulajdonságai

det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), ahol det (\displaystyle \ \det ) determinánst jelöl.
(A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) két négyzetes invertálható mátrixra A (\displaystyle A)és B (\megjelenítési stílus B).
(A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), ahol (. . .) T (\displaystyle (...)^(T)) a transzponált mátrixot jelöli.
(k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\megjelenítési stílus \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)) bármilyen együtthatóhoz k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
E − 1 = E (\megjelenítési stílus \ E^(-1)=E).
Ha meg kell oldani egy lineáris egyenletrendszert, (b egy nem nulla vektor), ahol x (\displaystyle x) a kívánt vektor, és ha A − 1 (\displaystyle A^(-1)) akkor létezik x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). Ellenkező esetben vagy a megoldási tér dimenziója nagyobb, mint nulla, vagy egyáltalán nincsenek.

Az inverz mátrix megtalálásának módjai

Ha a mátrix invertálható, akkor a mátrix inverzének megtalálásához a következő módszerek egyikét használhatja:

Pontos (direkt) módszerek

Gauss-Jordan módszer

Vegyünk két mátrixot: önmagát Aés egyedülálló E. Hozzuk a mátrixot A az identitásmátrixhoz Gauss-Jordan módszerrel, sorokban transzformációt alkalmazva (oszlopos transzformációkat is alkalmazhatunk, de mixben nem). Miután minden egyes műveletet alkalmaztunk az első mátrixra, alkalmazzuk ugyanazt a műveletet a másodikra is. Amikor az első mátrix azonosító űrlapra redukálása befejeződik, a második mátrix egyenlő lesz A -1.

A Gauss-módszer használatakor az első mátrixot balról megszorozzuk az egyik elemi mátrixszal Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(transzvekciós vagy diagonális mátrix a főátlón lévőkkel, egy pozíció kivételével):

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \Jobbra \Lambda =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 - a m - 1 m / a m m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 - a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\pontok &&&\\0&\pontok &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\pontok &0\\0&\pontok &0&1/a_(mm)&0&\pontok &0\\0&\pontok &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\pontok &0\\&&&\pontok &&&\\0&\pontok &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\pontok &1\end(bmátrix))).

A második mátrix az összes művelet alkalmazása után egyenlő lesz Λ (\displaystyle \Lambda), azaz lesz a kívánt. Az algoritmus összetettsége - O(n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Az algebrai összeadások mátrixának felhasználása

Mátrix Inverz Mátrix A (\displaystyle A), képviseli a formában

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

ahol adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- csatolt mátrix;

Az algoritmus bonyolultsága az O det determináns kiszámítására szolgáló algoritmus bonyolultságától függ, és egyenlő O(n²) O det .

LU/LUP dekompozíció használata

Mátrix egyenlet A X = I n (\displaystyle AX=I_(n)) inverz mátrixhoz X (\displaystyle X) gyűjteményként tekinthető meg n (\displaystyle n) forma rendszerei A x = b (\displaystyle Ax=b). Jelöli i (\displaystyle i)-a mátrix oszlopa X (\displaystyle X) keresztül X i (\displaystyle X_(i)); akkor A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),mert a i (\displaystyle i)-a mátrix oszlopa I n (\displaystyle I_(n)) az egységvektor e i (\displaystyle e_(i)). más szóval, az inverz mátrix megtalálása n egyenlet megoldására redukálódik ugyanazzal a mátrixszal és különböző jobb oldalakkal. A LUP bővítés futtatása után (O(n³) idő) az n egyenlet mindegyikének megoldása O(n²) időt vesz igénybe, így a munka ezen részének is O(n³) időre van szüksége.

Ha az A mátrix nem szinguláris, akkor kiszámíthatjuk a LUP dekompozíciót P A = L U (\displaystyle PA=LU). Hadd P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Ekkor az inverz mátrix tulajdonságaiból felírhatjuk: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Ha ezt az egyenlőséget megszorozzuk U-val és L-lel, akkor két alakú egyenlőséget kapunk U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1))és D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Ezen egyenlőségek közül az első egy n² rendszer lineáris egyenletek számára n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2))) amelyeknek a jobb oldalai ismertek (a háromszögmátrixok tulajdonságaiból). A második egy n² lineáris egyenletrendszer is n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2))) amelyeknek a jobb oldalai ismertek (a háromszögmátrixok tulajdonságaiból is). Ezek együtt n² egyenlőségrendszert alkotnak. Ezekkel az egyenlőségekkel rekurzívan meghatározhatjuk a D mátrix összes n² elemét. Ekkor a (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D egyenlőségből kapjuk az egyenlőséget. A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

Az LU dekompozíció alkalmazása esetén nem szükséges a D mátrix oszlopainak permutációja, de a megoldás akkor is eltérhet, ha az A mátrix nem szinguláris.

Az algoritmus bonyolultsága O(n³).

Iteratív módszerek

Schultz-módszerek

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(esetek)\Psi _(k)=E-AU_(k),),\\U_() k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(esetek)))

Hibabecslés

A kezdeti közelítés választása

A kezdeti közelítés megválasztásának problémája az iteratív mátrixinverzió itt tárgyalt folyamataiban nem teszi lehetővé, hogy független univerzális módszerként kezeljük őket, amelyek versenyeznek a direkt inverziós módszerekkel, amelyek például a mátrixok LU-felbontásán alapulnak. Van néhány ajánlás a választáshoz U 0 (\displaystyle U_(0)), biztosítva a feltétel teljesülését ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (a mátrix spektrális sugara kisebb, mint egység), ami szükséges és elegendő a folyamat konvergenciájához. Ebben az esetben azonban először felülről kell tudni az A invertálható mátrix vagy a mátrix spektrumának becslését. A A T (\displaystyle AA^(T))(nevezetesen, ha A szimmetrikus pozitív határozott mátrix és ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta), akkor viheted U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), ahol ; ha A egy tetszőleges nem szinguláris mátrix és ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), akkor tegyük fel U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), hol is α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); Természetesen a helyzet leegyszerűsíthető, és kihasználva azt a tényt, hogy ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), tedd U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Másodszor, a kezdeti mátrix ilyen specifikációjával nincs garancia arra ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|) kicsi lesz (talán még ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), és a konvergencia ráta magas sorrendje nem lesz azonnal nyilvánvaló.

Példák

Mátrix 2x2

A − 1 = [ a b c d ] − 1 = 1 det (A) [ d − b − c a ] = 1 a d − b c [ d − b − c a ] . (\displaystyle \mathbf (A) ^(-1)=(\begin(bmatrix)a&b\\c&d\\\end(bmatrix))^(-1)=(\frac (1)(\det(\mathbf (A))))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmátrix))=(\frac (1)(ad- bc))(\begin(bmátrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmátrix)).)

A 2x2-es mátrix megfordítása csak azzal a feltétellel lehetséges a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).