Adott mátrixok összeadása és szorzása. mátrixok

1. évfolyam, felsőfokú matematika, tanulmány mátrixokés az alapvető műveletek rajtuk. Itt rendszerezzük a mátrixokkal végrehajtható főbb műveleteket. Hogyan kezdjünk hozzá a mátrixokhoz? Természetesen a legegyszerűbbtől - definícióktól, alapfogalmaktól és legegyszerűbb műveletektől. Biztosítjuk Önöket, hogy a mátrixokat mindenki megérti, aki legalább egy kis időt szán rájuk!

Mátrix definíció

Mátrix egy téglalap alakú elemtáblázat. Hát ha egyszerű nyelv- számtáblázat.

A mátrixokat általában nagybetűkkel jelöljük. latin betűkkel. Például mátrix A , mátrix B stb. Mátrixok lehetnek különböző méretű: téglalap alakú, négyzet alakú, vannak sormátrixok és oszlopmátrixok is, amelyeket vektoroknak nevezünk. A mátrix méretét a sorok és oszlopok száma határozza meg. Például írjunk fel egy téglalap alakú mátrixot m a n , ahol m a sorok száma, és n az oszlopok száma.

Elemek, amelyekhez i=j (a11, a22, .. ) alkotják a mátrix főátlóját, és diagonálisnak nevezzük.

Mit lehet tenni a mátrixokkal? Összeadás/Kivonás, szorozzuk meg egy számmal, szaporodnak egymás között, átültetni. Most a mátrixokkal végzett összes alapvető műveletről sorrendben.

Mátrix összeadás és kivonás műveletek

Azonnal figyelmeztetünk, hogy csak azonos méretű mátrixokat adhat hozzá. Az eredmény egy azonos méretű mátrix. A mátrixok összeadása (vagy kivonása) egyszerű − csak adja hozzá a megfelelő elemeket . Vegyünk egy példát. Végezzünk el két A és B mátrix összeadását, amelyek mérete kettő-kettő.

A kivonás analógiával történik, csak ellenkező előjellel.

Bármely mátrix megszorozható tetszőleges számmal. Ezt csináld meg, minden elemét meg kell szorozni ezzel a számmal. Például szorozzuk meg az első példa A mátrixát 5-tel:

Mátrixszorzási művelet

Nem minden mátrix szorozható meg egymással. Például két mátrixunk van - A és B. Csak akkor szorozhatók meg egymással, ha az A mátrix oszlopainak száma megegyezik a B mátrix sorainak számával. a kapott mátrix minden eleme az i-edik sorban és a j-edik oszlopban egyenlő lesz az első tényező i-edik sorában és a második j-edik oszlopában lévő megfelelő elemek szorzatának összegével.. Az algoritmus megértéséhez írjuk fel, hogyan szorozunk két négyzetmátrixot:

És egy példa valós számokkal. Szorozzuk meg a mátrixokat:

Mátrix transzponálási művelet

A mátrixtranszpozíció olyan művelet, amelyben a megfelelő sorokat és oszlopokat felcserélik. Például transzponáljuk az A mátrixot az első példából:

Mátrix meghatározó

A determináns, ó, a determináns, a lineáris algebra egyik alapfogalma. Egyszer az emberek kitalálták lineáris egyenletek, mögöttük pedig egy meghatározót kellett kitalálni. Végső soron csak rajtad múlik, hogy mindezzel foglalkozz, szóval az utolsó lökés!

A determináns egy négyzetmátrix numerikus karakterisztikája, amely számos probléma megoldásához szükséges.
A legegyszerűbb négyzetmátrix determinánsának kiszámításához ki kell számítania a fő- és másodlagos átló elemeinek szorzatai közötti különbséget.

Egy elsőrendű, azaz egy elemből álló mátrix determinánsa egyenlő ezzel az elemmel.

Mi van, ha a mátrix háromszor három? Ez nehezebb, de megoldható.

Egy ilyen mátrixnál a determináns értéke egyenlő a főátló elemei és a főátlóval párhuzamos lapú háromszögeken fekvő elemek szorzatának összegével, amelyből az elemek szorzata a másodlagos átlóból és a másodlagos átlóval párhuzamos lapú háromszögeken fekvő elemek szorzatát kivonjuk.

Szerencsére a mátrixok determinánsainak kiszámításához nagy méretek ritkán fordul elő a gyakorlatban.

Itt megvizsgáltuk a mátrixokkal kapcsolatos alapvető műveleteket. Természetesen be való élet talán még csak nyomát sem találja mátrix rendszer egyenletek, vagy fordítva – sokkal bonyolultabb esetekkel szembenézni, amikor tényleg törni kell a fejét. Ilyen esetekre van szakképzett diákszolgálat. Kérjen segítséget, szerezzen minőséget és részletes megoldás, élvezze a tanulmányi sikereket és a szabadidejét.

Mátrix összeadás A $ A $ és a $ B $ egy aritmetikai művelet, amely egy $ C $ mátrixot eredményez, amelynek minden eleme egyenlő a hozzáadott mátrixok megfelelő elemeinek összegével:

$$ c_(ij) = a_(ij) + b_(ij) $$

A részletekben A két mátrix összeadásának képlete így néz ki:

$$ A + B = \begin(pmátrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_( 32) & a_(33) \end(pmátrix) + \begin(pmátrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) & b_(33) \end(pmátrix) = $$

$$ = \begin(pmátrix) a_(11) + b_(11) & a_(12)+b_(12) & a_(13)+b_(13) \\ a_(21)+b_(21) & a_ (22)+b_(22) & a_(23)+b_(23) \\ a_(31)+b_(31) & a_(32)+b_(32) & a_(33)+b_(33) \ end(pmátrix) = C $$

Vegye figyelembe, hogy csak azonos dimenziójú mátrixokat adhat hozzá és vonhat ki. Az összeggel vagy különbséggel a $ C $ mátrixot ugyanolyan dimenzióval kapjuk meg, mint a $ A $ és a $ B $ mátrix tagjai (levonva). Ha a $ A $ és a $ B $ mátrixok méretben különböznek egymástól, akkor az ilyen mátrixok összeadása (kivonása) hiba lesz!

A képletben 3 x 3 mátrixot adunk hozzá, ami azt jelenti, hogy 3 x 3 mátrixot kell kapni.

Mátrix kivonás teljesen hasonló az összeadási algoritmushoz, csak a mínusz jel. A kívánt $ C $ mátrix minden elemét úgy kapjuk meg, hogy kivonjuk a $ A $ és $ B $ mátrixok megfelelő elemeit:

$$ c_(ij) = a_(ij) - b_(ij) $$

Írjuk le a részleteket képlet két mátrix kivonására:

$$ A - B = \begin(pmátrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_( 32) & a_(33) \end(pmátrix) - \begin(pmátrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) & b_(33) \end(pmátrix) = $$

$$ = \begin(pmátrix) a_(11) - b_(11) & a_(12)-b_(12) & a_(13)-b_(13) \\ a_(21)-b_(21) & a_ (22)-b_(22) & a_(23)-b_(23) \\ a_(31)-b_(31) & a_(32)-b_(32) & a_(33)-b_(33) \ end(pmátrix) = C $$

Azt is érdemes megjegyezni, hogy nem lehet mátrixokat összeadni és kivonni közönséges számokkal, valamint néhány más elemmel.

Hasznos lesz az összeadás (kivonás) tulajdonságainak ismerete a mátrixokkal kapcsolatos problémák további megoldásához.

Tulajdonságok

1. Ha a $ A,B,C $ mátrixok azonos méretűek, akkor az asszociativitási tulajdonság vonatkozik rájuk: $$ A + (B + C) = (A + B) + C $$
2. Minden mátrixhoz tartozik egy nulla mátrix, jelölése $ O $, amellyel az eredeti mátrix összeadáskor (kivonáskor) nem változik: $$ A \pm O = A $$
3. Minden $A$ nem nulla mátrixhoz van egy ellentétes $(-A)$ mátrix, amelynek összege eltűnik: $$A + (-A) = 0 $$
4. Mátrixok összeadásánál (kivonásánál) megengedett a kommutativitás tulajdonság, vagyis a $ A $ és a $ B $ mátrixok felcserélhetők: $$ A + B = B + A $$ $$ A - B = B - A $$

Megoldási példák

1. példa

A $ A = \begin(pmatrix) 2&3 \\ -1& 4 \end(pmatrix) $ és a $ B = \begin(pmatrix) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmatrix) $ mátrixok adottak. Végezze el a mátrix összeadást, majd a kivonást.

Megoldás

Először is ellenőrizzük a mátrixok méretét. A $ A $ mátrix mérete $ 2 \x 2 $, a második $ B $ mátrix mérete szintén $ 2 \x 2 $. Ez azt jelenti, hogy ezekkel a mátrixokkal lehetséges az összeadás és a kivonás együttes művelete. Emlékezzünk vissza, hogy az összeghez páronként össze kell adni a $ A \text( és ) B $ mátrixok megfelelő elemeit. $$ A + B = \begin(pmátrix) 2&3 \\ -1& 4 \end(pmátrix) + \begin(pmátrix) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmátrix) = $$ $$ = \begin(pmatrix) 2 + 1 & 3 + (-3) \\ -1 + 2 & 4 + 5 \end(pmatrix) = \begin(pmatrix) 3 & 0 \\ 1 & 9 \end( pmátrix) $$ Az összeghez hasonlóan a mátrixok különbségét úgy találjuk meg, hogy a pluszjelet mínuszjelre cseréljük: $$ A - B = \begin(pmátrix) 2&3 \\ -1& 4 \end(pmátrix) + \begin(pmátrix) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmátrix) = $$ $$ = \begin(pmatrix) 2 - 1 & 3 - (-3) \\ -1 - 2 & 4 - 5 \end(pmatrix) = \begin(pmatrix) 1 & 6 \\ -3 & -1 \ end(pmátrix) $$ Ha nem tudja megoldani a problémát, küldje el nekünk. Részletes megoldást adunk. Képes lesz megismerkedni a számítás menetével és információkat gyűjteni. Ez segít abban, hogy időben kreditet kapjon a tanártól!

Válasz

$$ A + B = \begin(pmátrix) 3 & 0 \\ 1 & 9 \end(pmátrix); A - B = \begin(pmátrix) 1 & 6 \\ -3 & -1 \end(pmátrix) $$

A cikkben: "Matrixok összeadása és kivonása" definíciók, szabályok, megjegyzések, műveletek tulajdonságai, ill. gyakorlati példák megoldásokat.

Ez a témakör olyan műveletekkel foglalkozik, mint a mátrixok összeadása és kivonása, mátrix szorzása számmal, mátrix szorzása mátrixszal, mátrixtranszpozíció. Az ezen az oldalon használt összes szimbólum az előző témakörből származik.

Mátrixok összeadása és kivonása.

A $A_(m\xn)=(a_(ij))$ és $B_(m\x n)=(b_(ij))$ mátrixok $A+B$ összege a $C_(m) \times n) =(c_(ij))$, ahol $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ minden $i=\overline(1,m)$ és $j=\overline( 1,n) $.

Hasonló definíciót vezetünk be a mátrixok különbségére:

A $A_(m\times n)=(a_(ij))$ és $B_(m\times n)=(b_(ij))$ mátrixok $A-B$ különbsége a $C_(m\times n)=( c_(ij))$, ahol $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ minden $i=\overline(1,m)$ és $j=\overline(1, n)$.

Magyarázat a $i=\overline(1,m)$ bejegyzéshez: show\hide

A "$i=\overline(1,m)$" bejegyzés azt jelenti, hogy a $i$ paraméter 1-ről m-re változik. Például a $i=\overline(1,5)$ bejegyzés azt mondja, hogy a $i$ paraméter az 1, 2, 3, 4, 5 értékeket veszi fel.

Érdemes megjegyezni, hogy az összeadási és kivonási műveletek csak azonos méretű mátrixokra vannak definiálva. Általánosságban elmondható, hogy a mátrixok összeadása és kivonása olyan műveletek, amelyek intuitív módon egyértelműek, mert valójában csak a megfelelő elemek összegzését vagy kivonását jelentik.

1. példa

Három mátrixot adunk meg:

$$ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (cccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \right). $$

Megtalálható a $A+F$ mátrix? Keresse meg a $C$ és a $D$ mátrixokat, ha $C=A+B$ és $D=A-B$.

Az $A$ mátrix 2 sort és 3 oszlopot tartalmaz (más szóval az $A$ mátrix mérete $2\x 3$), az $F$ mátrix pedig 2 sort és 2 oszlopot tartalmaz. A $A$ és a $F$ mátrix méretei nem egyeznek, ezért nem tudjuk összeadni, pl. a $A+F$ művelet ezekhez a mátrixokhoz nincs definiálva.

A $A$ és $B$ mátrixok mérete megegyezik, i.e. mátrix adatok tartalmazzák egyenlő mennyiségben sorokat és oszlopokat, így az összeadási művelet alkalmazható rájuk.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(tömb) ) (cccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(tömb) \jobbra) $$

Keresse meg a $D=A-B$ mátrixot:

$$ D=A-B=\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cccc) -1-10 & -2-(-25) ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end(array) \right) $$

Válasz: $C=\left(\begin(array) (cccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.

Egy mátrix szorzása egy számmal.

A $A_(m\times n)=(a_(ij))$ és a $\alpha$ szám szorzata a $B_(m\times n)=(b_(ij))$ mátrix, ahol $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ minden $i=\overline(1,m)$ és $j=\overline(1,n)$ esetén.

Egyszerűen fogalmazva, egy mátrixot valamilyen számmal megszorozni azt jelenti, hogy az adott mátrix minden elemét megszorozzuk ezzel a számmal.

2. példa

Adott egy mátrix: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Keresse meg a $3\cdot A$, $-5\cdot A$ és $-A$ mátrixokat.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(tömb) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(tömb) \right) =\left(\begin( tömb) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (tömb) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(tömb) \jobbra). $$

A $-A$ jelölés a $-1\cdot A$ rövidítése. Azaz a $-A$ megtalálásához meg kell szorozni a $A$ mátrix összes elemét (-1)-gyel. Valójában ez azt jelenti, hogy a $A$ mátrix összes elemének előjele az ellenkezőjére változik:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$

Válasz: $3\cdot A=\left(\begin(array) (cccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(tömb) (cccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Két mátrix szorzata.

Ennek a műveletnek a meghatározása nehézkes és első pillantásra érthetetlen. Ezért először leszögezem általános meghatározás, majd részletesen elemezzük, mit jelent, és hogyan kell vele dolgozni.

A $A_(m\szer n)=(a_(ij))$ és a $B_(n\szor k)=(b_(ij))$ szorzata a $C_(m\x k mátrix )=(c_( ij))$, amelynél minden $c_(ij)$ elem egyenlő a megfelelő elemek szorzatának összegével i-edik sor$A$ mátrix a $B$ mátrix j-edik oszlopának elemeivel: $$c_(ij)=\sum\limits_(p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\ ; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Lépésről lépésre elemezzük a mátrixok szorzását egy példa segítségével. Azonban azonnal figyelni kell arra, hogy nem minden mátrix szorozható. Ha meg akarjuk szorozni az $A$ mátrixot a $B$ mátrixszal, akkor először meg kell győződnünk arról, hogy az $A$ mátrix oszlopainak száma megegyezik a $B$ mátrix sorainak számával (az ilyen mátrixokat gyakran ún. egyetért). Például a $A_(5\x4)$ mátrix (a mátrix 5 sort és 4 oszlopot tartalmaz) nem szorozható meg a $F_(9\x 8)$ mátrixszal (9 sor és 8 oszlop), mivel az $A $ mátrix nem egyenlő az $F$ mátrix sorainak számával, azaz. 4 $\seq 9 $. De meg lehet szorozni a $A_(5\x 4)$ mátrixot a $B_(4\x 9)$ mátrixszal, mivel a $A$ mátrix oszlopainak száma megegyezik a mátrix sorainak számával. $B$ mátrix. Ebben az esetben a $A_(5\x 4)$ és $B_(4\x 9)$ mátrixok szorzata a $C_(5\x 9)$ mátrix, amely 5 sort és 9 oszlopot tartalmaz:

3. példa

Adott mátrixok: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (tömb) \right)$ és $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) $. Keresse meg a $C=A\cdot B$ mátrixot.

Először azonnal meghatározzuk a $C$ mátrix méretét. Mivel az $A$ mátrix mérete $3\x4$, és a $B$ mátrix mérete $4\x 2$, a $C$ mátrix mérete $3\x 2$:

Tehát a $A$ és $B$ mátrixok szorzatának eredményeként a $C$ három sorból és két oszlopból álló mátrixot kell kapnunk: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_(11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(tömb) \jobbra)$. Ha az elemek megnevezése kérdéseket vet fel, akkor megtekintheti az előző témát: "Mátrixok. Mátrixok típusai. Alapfogalmak", melynek elején a mátrixelemek jelölését ismertetjük. Célunk, hogy megtaláljuk a $C$ mátrix összes elemének értékét.

Kezdjük a $c_(11)$ elemmel. A $c_(11)$ elem megszerzéséhez meg kell találni a $A$ mátrix első sora és a $B$ mátrix első oszlopa elemeinek szorzatának összegét:

Magának a $c_(11)$ elemnek a megtalálásához meg kell szorozni a $A$ mátrix első sorának elemeit a $B$ mátrix első oszlopának megfelelő elemeivel, azaz. az első elemet az elsőhöz, a másodikat a másodikhoz, a harmadikat a harmadikhoz, a negyediket a negyedikhez. Összefoglaljuk a kapott eredményeket:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

Folytassuk a megoldást és keressük meg a $c_(12)$-t. Ehhez meg kell szorozni a $A$ mátrix első sorának és a $B$ mátrix második oszlopának elemeit:

Az előzőhöz hasonlóan nálunk is van:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

A $C$ mátrix első sorának minden eleme megtalálható. Áttérünk a második sorra, amely a $c_(21)$ elemmel kezdődik. Ennek megtalálásához meg kell szorozni a $A$ mátrix második sorának és a $B$ mátrix első oszlopának elemeit:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

A következő $c_(22)$ elemet úgy kapjuk meg, hogy a $A$ mátrix második sorának elemeit megszorozzuk a $B$ mátrix második oszlopának megfelelő elemeivel:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

A $c_(31)$ megtalálásához megszorozzuk az $A$ mátrix harmadik sorának elemeit a $B$ mátrix első oszlopának elemeivel:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

És végül a $c_(32)$ elem megtalálásához meg kell szorozni a $A$ mátrix harmadik sorának elemeit a $B$ mátrix második oszlopának megfelelő elemeivel:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

A $C$ mátrix összes eleme megtalálható, csak annyit kell felírni, hogy $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array ) \jobbra)$ . Vagy, hogy teljes egészében írja le:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(tömb) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(tömb) \jobbra)\cdot \left(\begin(tömb) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(tömb) \jobbra) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$

Válasz: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.

Egyébként sokszor nincs ok arra, hogy az eredménymátrix egyes elemeinek helyét részletesen leírjuk. Kis méretű mátrixok esetén a következőket teheti:

Azt is érdemes megjegyezni, hogy a mátrixszorzás nem kommutatív. Ez azt jelenti, hogy általában $A\cdot B\neq B\cdot A$. Csak bizonyos típusú mátrixokhoz, amelyeket ún permutációs(vagy ingázás), a $A\cdot B=B\cdot A$ egyenlőség igaz. A szorzás nem kommutativitása alapján kell pontosan jelezni, hogyan szorozzuk meg a kifejezést egyik vagy másik mátrixszal: a jobb vagy a bal oldalon. Például a "szorozzuk meg a $3E-F=Y$ egyenlőség mindkét oldalát a jobb oldali $A$ mátrixszal" kifejezés azt jelenti, hogy a következő egyenlőséget szeretné megkapni: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.

A $A_(m\x n)=(a_(ij))$ mátrixhoz képest transzponálva a $A_(n\x m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, olyan elemekre, ahol $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

Egyszerűen fogalmazva, ahhoz, hogy megkapjuk a transzponált $A^T$ mátrixot, ki kell cserélni az eredeti $A$ mátrix oszlopait a megfelelő sorokra a következő elv szerint: megvolt az első sor - az első oszlop lesz; volt egy második sor - a második oszlop lesz; volt egy harmadik sor - lesz egy harmadik oszlop és így tovább. Például keressük meg a transzponált mátrixot a $A_(3\x 5)$ mátrixba:

Ennek megfelelően, ha az eredeti mátrix mérete $3\x5$, akkor a transzponált mátrix mérete $5\x 3$.

A mátrixokon végzett műveletek néhány tulajdonsága.

Itt feltételezzük, hogy a $\alpha$, $\beta$ néhány szám, a $A$, $B$, $C$ pedig mátrixok. Az első négy ingatlannál feltüntettem a neveket, a többit az első négyhez hasonló módon nevezhetjük el.

1. $A+B=B+A$ (összeadás kommutativitása)
2. $A+(B+C)=(A+B)+C$ (összeadás asszociativitás)
3. $(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (a mátrixszal való szorzás eloszlása ​​a számok összeadása tekintetében)
4. $\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (a számmal való szorzás megoszlása ​​a mátrixösszeadáshoz képest)
5. $A(BC)=(AB)C$
6. $(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)$
7. $A\cdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\cdot A=BA+CA$.
8. $A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$, ahol $E$ a megfelelő rendelés azonossági mátrixa.
9. $A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$, ahol $O$ egy megfelelő méretű nulla mátrix.
10. $\left(A^T \jobb)^T=A$
11. $(A+B)^T=A^T+B^T$
12. $(AB)^T=B^T\cdot A^T$
13. $\left(\alpha A \right)^T=\alpha A^T$

A következő részben egy mátrix nemnegatív egész hatványra emelésének műveletét vizsgáljuk meg, és olyan példákat fogunk megoldani, amelyekben több mátrixon végzett műveletre lesz szükség.

Ez egy olyan fogalom, amely mindent összefoglal lehetséges műveletek mátrixokkal állítják elő. Matematikai mátrix - elemek táblázata. Egy asztalról, ahol m vonalak és n oszlopokban azt mondják, hogy ennek a mátrixnak van dimenziója m a n.

A mátrix általános képe:

Mert mátrix megoldások meg kell értened, mi a mátrix, és ismerned kell a fő paramétereit. A mátrix fő elemei:

• Elemekből álló főátló a 11, a 22 ..... a mn.
• Elemekből álló oldalátló а 1n ,а 2n-1 …..а m1.

A mátrixok fő típusai:

• Négyzet - egy ilyen mátrix, ahol a sorok száma = az oszlopok száma ( m=n).
• Nulla - ahol a mátrix összes eleme = 0.
• Transzponált mátrix – Mátrix NÁL NÉL, amelyet az eredeti mátrixból kaptunk A sorok oszlopokkal való helyettesítésével.
• Egyetlen - a főátló összes eleme = 1, az összes többi = 0.
• Az inverz mátrix egy olyan mátrix, amelyet az eredeti mátrixszal megszorozva identitásmátrixot kapunk.

A mátrix lehet szimmetrikus a fő- és másodlagos átlóhoz képest. Vagyis ha a 12 = a 21, a 13 \u003d a 31, .... a 23 = a 32 .... a m-1n =a mn-1, akkor a mátrix szimmetrikus a főátlóhoz képest. Csak a négyzetmátrixok lehetnek szimmetrikusak.

Mátrixok megoldási módszerei.

Szinte minden mátrix megoldási módszerek meg kell találni a meghatározóját n sorrendben, és a legtöbbjük meglehetősen nehézkes. A 2. és 3. rend determinánsának megtalálásához más, racionálisabb módszerek is vannak.

2. rendű determinánsok keresése.

A mátrix determináns kiszámításához DE 2. sorrendben le kell vonni a másodlagos átló elemeinek szorzatát a főátló elemeinek szorzatából:

A 3. rendű determinánsok megtalálásának módszerei.

Az alábbiakban a 3. rendű determináns megtalálásának szabályait ismertetjük.

Egyszerűsítette a háromszög szabályt, mint az egyiket mátrix megoldási módszerek, a következőképpen ábrázolható:

Más szavakkal, az első determinánsban lévő olyan elemek szorzatát, amelyeket vonalak kötnek össze, egy „+” jellel vesszük; a 2. determináns esetében a megfelelő termékeket a "-" jellel veszik, vagyis a következő séma szerint:

Nál nél mátrixok megoldása a Sarrus-szabállyal, a determinánstól jobbra hozzáadjuk az első 2 oszlopot, és a megfelelő elemek szorzatait a főátlón és a vele párhuzamos átlókon egy „+” jellel vesszük; valamint a másodlagos átló és a vele párhuzamos átlók megfelelő elemeinek szorzata "-" jellel:

A determináns sor- vagy oszlopbővítése mátrixok megoldásánál.

A determináns egyenlő a determináns sorának elemeinek és algebrai komplementereik szorzatának összegével. Általában azt a sort/oszlopot kell kiválasztani, amelyben/-edikben nullák vannak. Nyíl jelzi azt a sort vagy oszlopot, amelyen a bontás történik.

Mátrixok megoldásánál a determináns háromszög alakúra redukálása.

Nál nél mátrixok megoldása a determináns háromszög alakúra redukálásával a következőképpen működnek: a sorokon vagy oszlopokon végzett legegyszerűbb transzformációk segítségével a determináns háromszögletűvé válik, majd értéke a determináns tulajdonságainak megfelelően egyenlő lesz az elemek szorzatával amelyek a főátlón állnak.

Laplace-tétel mátrixok megoldására.

A Laplace-tételt használó mátrixok megoldásánál magát a tételt kell közvetlenül ismerni. Laplace tétele: Legyen Δ meghatározó n-edik sorrend. Bármelyiket kiválasztjuk k sorok (vagy oszlopok), feltéve k≤ n-1. Ebben az esetben az összes kiskorú termékeinek összege k a kiválasztott sorrendben k sorok (oszlopok), algebrai összeadásaik egyenlőek lesznek a determinánssal.

Inverz mátrix megoldás.

A műveletek sorrendje: inverz mátrix megoldások:

1. Nézze meg, hogy az adott mátrix négyzet alakú-e. Nemleges válasz esetén világossá válik, hogy nem lehet rá inverz mátrix.
2. Algebrai összeadásokat számolunk.
3. Összeállítjuk a szövetséges (kölcsönös, csatolt) mátrixot C.
4. Algebrai összeadásokból inverz mátrixot állítunk össze: az adjungált mátrix összes elemét C osztjuk a kezdeti mátrix determinánsával. A kapott mátrix a kívánt inverz mátrix lesz az adotthoz képest.
5. Ellenőrizzük az elvégzett munkát: megszorozzuk a kezdeti és a kapott mátrix mátrixát, az eredmény az azonosságmátrix legyen.

Mátrixrendszerek megoldása.

Mert mátrixrendszerek megoldásai leggyakrabban a Gauss-módszert alkalmazzák.

A Gauss-módszer egy standard módszer a lineáris rendszerek megoldására algebrai egyenletek(SLAE), és abban rejlik, hogy a változókat szekvenciálisan kizárják, azaz elemi változtatások segítségével az egyenletrendszert egy háromszög típusú ekvivalens rendszerbe hozzák, és abból szekvenciálisan, az utolsótól kezdve ( szám szerint), a rendszer minden eleme megtalálható.

Gauss módszer a legsokoldalúbb és legjobb eszköz a mátrix megoldások megtalálásához. Ha a rendszernek végtelen számú megoldása van, vagy a rendszer nem kompatibilis, akkor ez nem oldható meg a Cramer-szabállyal és a mátrix módszerrel.

A Gauss-módszer magában foglalja a direkt (a kiterjesztett mátrix redukciója lépcsőzetes formára, azaz nullák elérése a főátló alá) és fordított (nullák a kibővített mátrix főátlója fölé) való mozgását is. Az előrelépés a Gauss módszer, a fordított a Gauss-Jordan módszer. A Gauss-Jordan módszer csak a változók eliminálási sorrendjében tér el a Gauss-módszertől.

Mátrix, ismerkedjen meg alapfogalmaival. A mátrix meghatározó elemei az átlói - és az oldala. A fő az első sorban, első oszlopban lévő elemtől indul és az utolsó oszlop, utolsó sor eleméig folytatódik (azaz balról jobbra halad). Az oldalátló az első sorban kezdődik, de az utolsó oszlopban, és az első oszlop és az utolsó sor koordinátáit tartalmazó elemig folytatódik (jobbról balra halad).

A következő definíciókra és mátrixokkal végzett algebrai műveletekre való továbblépéshez tanulmányozza a mátrixok típusait. A legegyszerűbbek a négyzet, az egység, a nulla és az inverz. Ugyanannyi oszlopban és sorban. A transzponált mátrixot, nevezzük B-nek, az A mátrixból kapjuk úgy, hogy az oszlopokat sorokra cseréljük. Az egységben a főátló minden eleme egyes, a többi nulla. A nullánál pedig még az átlók elemei is nullák. inverz mátrix- ez az, amelyen az eredeti mátrix az identitásformába kerül.

A mátrix lehet szimmetrikus is a fő- vagy oldaltengelyre. Vagyis az a(1;2) koordinátákkal rendelkező elem, ahol 1 a sorszám, 2 pedig az oszlop száma, egyenlő a(2;1). A(3;1)=A(1;3) és így tovább. Illesztett mátrixok azok, ahol az egyik oszlopainak száma megegyezik a másik sorainak számával (az ilyen mátrixok szorozhatók).

A mátrixokkal végrehajtható fő műveletek az összeadás, szorzás és a determináns megtalálása. Ha a mátrixok azonos méretűek, azaz egyenlő számú sorral és oszloppal rendelkeznek, akkor összeadhatók. A mátrixokban azonos helyeken lévő elemeket kell összeadni, azaz a (m; n)-t in (m; n)-vel kell összeadni, ahol m és n a megfelelő oszlop- és sorkoordináták. Mátrixok összeadásakor a közönséges aritmetikai összeadás fő szabálya érvényes - ha a tagok helye megváltozik, az összeg nem változik. Így, ha egy egyszerű a elem helyett egy a + b kifejezés van, akkor az a + (b + c) \u003d (a + c) + c szabályok szerint hozzáadható egy másik arányos mátrix eleméhez.

A fentebb megadott konzisztens mátrixokat megszorozhatja. Ebben az esetben egy mátrixot kapunk, ahol minden elem az A mátrix sora és a B mátrix oszlopa páronként szorzott elemeinek összege. A szorzásnál nagyon fontos a műveletek sorrendje. m*n nem egyenlő n*m-mel.

Ezenkívül az egyik fő tevékenység a megtalálás. Determinánsnak is nevezik, és a következőképpen jelöljük: det. Ezt az értéket modulo határozza meg, azaz soha nem negatív. A determináns megtalálásának legegyszerűbb módja egy négyzet alakú 2x2 mátrix. Ehhez meg kell szorozni a főátló elemeit, és ki kell vonni belőlük a másodlagos átló szorzott elemeit.