Hogyan határozzuk meg a parabolafüggvény grafikonját. Az elemi függvények grafikonjai és alapvető tulajdonságai

Az iskolai matematika órákon már megismerkedtél egy függvény legegyszerűbb tulajdonságaival és grafikonjával y=x2. Bővítsük tudásunkat másodfokú függvény.

1. Feladat.

Ábrázoljon egy függvényt y=x2. Skála: 1 = 2 cm Jelölj egy pontot az Oy tengelyen F(0; 1/4). Iránytűvel vagy papírcsíkkal mérje meg a távolságot a ponttól F egy bizonyos pontig M parabolák. Ezután rögzítse a csíkot az M pontban, és forgassa el e pont körül úgy, hogy függőleges legyen. A csík vége kissé az x tengely alá esik (1. ábra). Jelölje meg a csíkon, hogy milyen messze van az x tengelyen túl. Vegyünk most egy másik pontot a parabolán, és ismételjük meg a mérést. Mennyivel esett most túl a csík éle az x tengelyen?

Eredmény: függetlenül attól, hogy az y \u003d x 2 parabola melyik pontját veszi fel, a távolság ettől a ponttól az F pontig (0; 1/4) nagyobb lesz, mint az ugyanazon pont és az x tengely közötti távolság mindig ugyanannyival szám - 1/4-el.

Mondhatjuk másképp is: a parabola bármely pontjától a (0; 1/4) pontig mért távolság egyenlő a parabola ugyanazon pontjától az y = -1/4 egyenesig mért távolsággal. Ez csodálatos pont F(0; 1/4) meghívásra kerül fókusz parabolák y \u003d x 2, és az egyenes y \u003d -1/4 - igazgatónő ezt a parabolát. Minden parabolának van egy irányvonala és egy fókusza.

A parabola érdekes tulajdonságai:

1. A parabola bármely pontja egyenlő távolságra van egy ponttól, amelyet a parabola fókuszának nevezünk, és egy egyenestől, amelyet irányítópontjának nevezünk.

2. Ha elforgatunk egy parabolát a szimmetriatengely körül (például egy y \u003d x 2 parabolát az Oy tengely körül), akkor egy nagyon érdekes felületet kapunk, amelyet forgási paraboloidnak neveznek.

A forgó edényben lévő folyadék felülete forgásparaboloid alakú. Ezt a felületet akkor láthatja, ha egy kanállal erősen megkever egy hiányos pohár teában, majd kiveszi a kanalat.

3. Ha egy követ dob az űrbe, a horizonthoz képest bizonyos szögben, akkor az egy parabola mentén repül (2. ábra).

4. Ha a kúp felületét a generátoraival párhuzamos síkkal metszi, akkor a szakaszban egy parabolát kapunk. (3. ábra).

5. A vidámparkokban néha rendeznek egy vicces attrakciót, a Csodák Paraboloidját. A forgó paraboloid belsejében állók mindegyikének úgy tűnik, hogy ő a padlón áll, a többi ember pedig valami csoda folytán a falakon marad.

6. A visszaverő távcsövekben parabolatükröket is alkalmaznak: egy távoli csillag párhuzamos sugárban haladó, a távcsőtükörre eső fényét gyűjtik a fókuszba.

7. A reflektorokhoz a tükröt általában paraboloid formájában készítik. Ha egy paraboloid fókuszába helyezünk egy fényforrást, akkor a parabolatükörről visszaverődő sugarak párhuzamos sugarat alkotnak.

Másodfokú függvény ábrázolása

A matematika leckéken azt tanulta, hogyan lehet az y \u003d x 2 függvény grafikonjából lekérni az alak függvényeinek grafikonjait:

1) y=ax2– az y = x 2 gráf kibontása az Oy tengely mentén |a|-ban alkalommal (|a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, rizs. négy).

2) y=x2+n– grafikon eltolása n egységgel az Oy tengely mentén, és ha n > 0, akkor az eltolás felfelé, ha pedig n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m)2– grafikon eltolása m egységgel az Ox tengely mentén: ha m< 0, то вправо, а если m >0, majd balra, (5. ábra).

4) y=-x2- szimmetrikus megjelenítés az y = x 2 grafikon Ox tengelye körül.

Foglalkozzunk részletesebben egy függvénygráf ábrázolásával. y = a(x - m) 2 + n.

Az y = ax 2 + bx + c alakú másodfokú függvény mindig visszavezethető a következő alakra

y \u003d a (x - m) 2 + n, ahol m \u003d -b / (2a), n \u003d - (b 2 - 4ac) / (4a).

Bizonyítsuk be.

Igazán,

y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x (b/a) + b 2 /(4a 2) - b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 - (b 2 - 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 - (b 2 - 4ac)/(4a).

Vezessünk be új jelölést.

Hadd m = -b/(2a), a n \u003d - (b 2 - 4ac) / (4a),

akkor azt kapjuk, hogy y = a(x - m) 2 + n vagy y - n = a(x - m) 2 .

Tegyünk még néhány helyettesítést: legyen y - n = Y, x - m = X (*).

Ekkor megkapjuk az Y = aX 2 függvényt, melynek grafikonja egy parabola.

A parabola csúcsa az origóban van. x=0; Y = 0.

A (*)-beli csúcs koordinátáit behelyettesítve megkapjuk az y = a(x - m) 2 + n gráf csúcsának koordinátáit: x = m, y = n.

Így annak érdekében, hogy egy másodfokú függvényt ábrázoljunk

y = a(x - m) 2 + n

transzformációval a következőképpen járhat el:

a) készítsd el az y = x 2 függvény grafikonját;

b) keresztül párhuzamos átvitel az Ox tengely mentén m egységgel és az Oy tengely mentén n egységgel - fordítsa le a parabola csúcsát az origóból egy (m; n) koordinátákkal rendelkező pontra (6. ábra).

Transzformációk írása:

y = x 2 → y = (x - m) 2 → y = a(x - m) 2 → y = a(x - m) 2 + n.

Példa.

Transzformációk segítségével készítse el az y = 2(x - 3) 2 függvény gráfját a derékszögű koordinátarendszerben – 2.

Megoldás.

Az átalakulások lánca:

y=x2 (1) → y = (x - 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x - 3) 2 - 2 (4) .

A grafikon felépítése a képen látható rizs. 7.

A másodfokú függvény ábrázolását egyedül is gyakorolhatja. Például készítse el transzformációk segítségével az y = 2(x + 3) 2 + 2 függvény grafikonját egy koordinátarendszerben Ha kérdése van, vagy tanácsot szeretne kérni egy tanártól, akkor lehetősége van ingyenes 25 perces óra online oktatóval regisztráció után. A tanárral való további munkához kiválaszthatja az Önnek megfelelő tarifacsomagot.

Van kérdésed? Nem tudja, hogyan kell másodfokú függvényt ábrázolni?
Ha oktatói segítséget szeretne kérni - regisztráljon.
Az első óra ingyenes!

oldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Fontos jegyzetek!
1. Ha a képletek helyett abrakadabra jelenik meg, törölje a gyorsítótárat. Itt van leírva, hogyan kell ezt böngészőben csinálni:
2. Mielőtt elkezdené olvasni a cikket, figyeljen a navigátorunkra, hogy megtalálja a leghasznosabb forrást

Ahhoz, hogy megértsük, mi lesz itt írva, jól kell tudnod, mi az a másodfokú függvény, és mivel eszik meg. Ha profinak tartja magát a kvadratikus függvények terén, üdvözöljük. De ha nem, akkor olvasd el a topikot.

Kezdjük egy kicsivel ellenőrzi:

Hogyan néz ki egy másodfokú függvény Általános nézet(képlet)?
Mi a neve egy másodfokú függvény gráfjának?
Hogyan hat a vezető együttható egy másodfokú függvény grafikonjára?

Ha azonnal meg tudja válaszolni ezeket a kérdéseket, olvassa tovább. Ha legalább egy kérdés nehézséget okozott, lépjen a címre.

Tehát már tudja, hogyan kell kezelni egy másodfokú függvényt, elemezni a grafikonját és felépíteni egy gráfot pontok alapján.

Nos, itt van: .

Nézzük gyorsan, mit csinálnak. esély.

A szenior együttható felelős a parabola „meredekségéért”, más szóval a szélességéért: minél nagyobb, minél keskenyebb (meredekebb) a parabola, minél kisebb, annál szélesebb (laposabb) parabola.
A szabad tag a parabola y tengellyel való metszéspontjának koordinátája.
És az együttható valamilyen módon felelős a parabola elmozdulásáért a koordináták középpontjából. Erről most itt van bővebben.

Miért kezdünk el mindig parabolát építeni? Mi a megkülönböztető pontja?

azt csúcs. És hogyan lehet megtalálni a csúcs koordinátáit, emlékszel?

Az abszcisszát a következő képlettel kell keresni:

Így: mi több, témák balra a parabola teteje mozog.

Egy csúcs ordinátáját a függvénybe behelyettesítve találhatjuk meg:

Helyettesítse magát és számoljon. Mi történt?

Ha mindent jól csinál, és a lehető legnagyobb mértékben leegyszerűsíti az eredményül kapott kifejezést, akkor a következőket kapja:

Kiderül, hogy minél több modulo, témák felett lesz csúcs parabolák.

Végül térjünk át az ábrázolásra.
A legegyszerűbb, ha felülről kezdődően parabolát építünk.

Példa:

Ábrázolja a függvényt.

Megoldás:

Először is határozzuk meg az együtthatókat: .

Most számítsuk ki a csúcskoordinátákat:

És most ne feledje: minden parabola azonos vezető együtthatóval ugyanúgy néz ki. Tehát, ha felállítunk egy parabolát, és a csúcsát egy pontba mozgatjuk, megkapjuk a szükséges gráfot:

Egyszerű, igaz?

Már csak egy kérdés maradt: hogyan kell gyorsan rajzolni egy parabolát? Hiába rajzolunk egy parabolát, amelynek csúcsa az origóban van, akkor is pontról pontra kell megépíteni, ami hosszú és kényelmetlen. De minden parabola ugyanúgy néz ki, talán van mód a rajzolásuk felgyorsítására?

Amikor iskolás voltam, a matektanárom mindenkinek azt mondta, hogy vágjanak ki egy parabola alakú sablont kartonból, hogy gyorsan lerajzolják. De nem fogsz tudni mindenhova stencillel járni, és nem engedik el vizsgázni. Tehát nem fogjuk használni idegen tárgyakat, és keresni fogunk egy mintát.

Tekintsük a legegyszerűbb parabolát. Építsük fel pontok alapján:

Itt a szabály ez. Ha felülről jobbra (a tengely mentén) haladunk, és felfelé (a tengely mentén) felé, akkor eljutunk a parabola pontjához. Továbbá: ha ettől a ponttól haladunk jobbra és felfelé, akkor ismét a parabola pontjához érünk. Következő: közvetlenül és felfelé. Mi a következő lépés? Egyenesen és felfelé. És így tovább: lépjen jobbra, és a következő páratlan szám felfelé. Ezután ugyanezt tesszük a bal ággal (végül is a parabola szimmetrikus, vagyis az ágai ugyanúgy néznek ki):

Remek, ez segít felépíteni bármely parabolát a csúcsból, amelynek a legmagasabb együtthatója egyenlő. Például megtanultuk, hogy a parabola csúcsa egy pontban van. Szerkessze meg (önállóan, papíron) ezt a parabolát.

Épült?

Így kell kijönnie:

Most összekapcsoljuk a kapott pontokat:

Ez minden.

Jó, akkor most csak parabolákat építs?

Természetesen nem. Most találjuk ki, mit tegyünk velük, ha.

Nézzünk néhány tipikus esetet.

Remek, megtanultunk parabolát rajzolni, most gyakoroljuk a valós függvényeket.

Tehát rajzoljon grafikonokat az ilyen függvényekről:

Válaszok:

3. Felső: .

Emlékszel, mit kell tenni, ha az idősebb együttható kisebb?

Nézzük a tört nevezőjét: egyenlő. Tehát így haladunk:

jobbra - fel
jobbra - fel
jobbra - fel

és balra is:

4. Felső: .

Ó, mit kell vele csinálni? Hogyan mérjünk cellákat, ha a csúcs valahol a vonalak között van?

És csalunk. Először rajzoljunk egy parabolát, és csak ezután mozgassuk a csúcsát egy pontba. Nem is, csináljuk még trükkösebben: Rajzoljunk egy parabolát, majd tengelyek mozgatása:- a Lefele, a - be jobb:

Ez a technika nagyon kényelmes bármilyen parabola esetén, ne feledje.

Hadd emlékeztesselek arra, hogy a függvényt ebben a formában tudjuk ábrázolni:

Például: .

Mit ad ez nekünk?

A helyzet az, hogy a zárójelben () lévő számból kivont szám a parabola csúcsának abszcisszája, a zárójelen kívüli tag pedig a csúcs ordinátája.

Ez azt jelenti, hogy miután felépített egy parabolát, csak meg kell tennie mozgassa a tengelyt balra és a tengelyt lefelé.

Példa: ábrázoljunk függvénygráfot.

Válasszunk ki egy teljes négyzetet:

Milyen szám levonva a zárójelben lévőtől? Ez (és nem hogyan dönthet gondolkodás nélkül).

Tehát építünk egy parabolát:

Most toljuk el a tengelyt lefelé, azaz felfelé:

És most - balra, azaz jobbra:

Ez minden. Ez ugyanaz, mint egy parabolát a csúcsával az origóból egy pontba mozgatni, csak az egyenes tengelyt sokkal könnyebb mozgatni, mint a görbe parabolát.

Most, mint általában, magam:

És ne felejtse el radírral törölni a régi tengelyeket!

olyan vagyok, mint válaszol ellenőrzés céljából leírom ezeknek a paraboláknak a csúcsainak ordinátáit:

Minden passzolt?

Ha igen, akkor szuper vagy! A parabola kezelésének ismerete nagyon fontos és hasznos, és itt azt tapasztaltuk, hogy ez egyáltalán nem nehéz.

EGY QUADRATIKUS FUNKCIÓ GRAFIKÁZÁSA. RÖVIDEN A FŐRŐL

másodfokú függvény az alak függvénye, ahol és tetszőleges számok (együtthatók), szabadtag.

A másodfokú függvény grafikonja egy parabola.

A parabola teteje:
, azaz minél nagyobb \displaystyle b , annál balra mozog a parabola teteje.
Cserélje be a függvényt, és kapja meg:
, azaz minél nagyobb \displaystyle b modulo , annál magasabb lesz a parabola teteje

A szabad tag a parabola y tengellyel való metszéspontjának koordinátája.

Nos, a témának vége. Ha ezeket a sorokat olvasod, akkor nagyon menő vagy.

Mert az embereknek mindössze 5%-a képes egyedül elsajátítani valamit. És ha a végéig elolvastad, akkor az 5%-ban vagy!

Most a legfontosabb.

Kitaláltad az elméletet ebben a témában. És ismétlem, ez... egyszerűen szuper! Már így is jobb vagy, mint a társaid túlnyomó többsége.

Az a baj, hogy ez nem elég...

Miért?

Mert sikeres szállítás Egységes államvizsga, az intézetbe való felvételhez költségvetésből és ami a LEGFONTOS: életfogytiglani.

Nem foglak meggyőzni semmiről, csak egyet mondok...

Emberek, akik kaptak egy jó oktatás, sokkal többet keresnek, mint azok, akik nem kapták meg. Ez statisztika.

De nem ez a fő.

A lényeg, hogy TÖBBEN BOLDOGAK legyenek (vannak ilyen tanulmányok). Talán azért, mert sokkal több lehetőség nyílik meg előttük, és az élet fényesebbé válik? nem tudom...

De gondold meg magad...

Mi kell ahhoz, hogy biztosan jobb legyen, mint mások a vizsgán, és végül… boldogabb legyél?

TÖLTSE MEG A KEZÉT, MEGOLDÁSA EBBEN A TÉMÁBAN.

A vizsgán nem kérdeznek elméletet.

Szükséged lesz időben oldja meg a problémákat.

És ha nem oldotta meg őket (SOK!), akkor valahol biztosan elkövet egy hülye hibát, vagy egyszerűen nem fog időben elkövetni.

Ez olyan, mint a sportban – sokszor meg kell ismételni a biztos győzelemhez.

Keressen gyűjteményt bárhol, ahol csak akar szükségszerűen megoldásokkal, részletes elemzésselés dönts, dönts, dönts!

Feladatainkat használhatja (nem szükséges), és mindenképpen ajánljuk.

Ahhoz, hogy segítséget kaphasson feladataink segítségével, hozzá kell járulnia az éppen olvasott YouClever tankönyv élettartamának meghosszabbításához.

Hogyan? Két lehetőség van:

A cikkben található összes rejtett feladathoz való hozzáférés feloldása -
Nyissa meg a hozzáférést az összes rejtett feladathoz az oktatóanyag mind a 99 cikkében - Tankönyv vásárlása - 499 rubel

Igen, 99 ilyen cikkünk van a tankönyvben, és azonnal megnyitható az összes feladat és minden rejtett szöveg.

Az összes rejtett feladathoz hozzáférés biztosított a webhely teljes élettartama alatt.

Összefoglalva...

Ha nem tetszenek a feladataink, keress másokat. Csak ne hagyd abba az elméletet.

Az „értettem” és a „tudom, hogyan kell megoldani” teljesen különböző képességek. Mindkettőre szüksége van.

Találd meg a problémákat és oldd meg!

A másodfokú függvény tulajdonságaira és grafikonjaira vonatkozó feladatok, amint azt a gyakorlat mutatja, komoly nehézségeket okoznak. Ez azért elég furcsa, mert a másodfokú függvényt 8. osztályban adják át, majd a 9. évfolyam teljes első negyedét "kínozza" a parabola tulajdonságai, és különféle paraméterekre építik fel grafikonjait.

Ennek az az oka, hogy a tanulókat parabolák építésére kényszerítve gyakorlatilag nem fordítanak időt a grafikonok "olvasására", vagyis nem gyakorolják a képről kapott információ megértését. Nyilvánvalóan feltételezik, hogy miután két tucat gráfot épített fel, egy okos tanuló maga fedezi fel és fogalmazza meg az összefüggést a képletben és az együtthatók között. megjelenés grafika. A gyakorlatban ez nem működik. Egy ilyen általánosításhoz komoly matematikai minikutatási tapasztalat szükséges, amivel természetesen a legtöbb kilencedikes nem rendelkezik. Eközben a GIA-ban azt javasolják, hogy az együtthatók előjeleit pontosan az ütemezés szerint határozzák meg.

Nem követeljük meg a lehetetlent az iskolásoktól, és egyszerűen felajánljuk az egyik algoritmust az ilyen problémák megoldására.

Tehát a forma függvénye y=ax2+bx+c másodfokúnak nevezzük, grafikonja parabola. Ahogy a neve is sugallja, a fő összetevő az fejsze 2. Azaz a nem lehet egyenlő nullával, a fennmaradó együtthatók ( bés Val vel) egyenlő lehet nullával.

Nézzük meg, hogyan befolyásolják együtthatóinak előjelei a parabola megjelenését.

Az együttható legegyszerűbb függősége a. A legtöbb iskolás magabiztosan válaszol: „Ha a> 0, akkor a parabola ágai felfelé irányulnak, és ha a < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой a > 0.

y = 0,5x2 - 3x + 1

Ebben az esetben a = 0,5

És most azért a < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

Ebben az esetben a = - 0,5

Az együttható hatása Val vel is elég könnyen követhető. Képzeljük el, hogy meg akarjuk találni egy függvény értékét egy pontban x= 0. Helyettesítsd be a nullát a képletbe:

y = a 0 2 + b 0 + c = c. Kiderült, hogy y = c. Azaz Val vel a parabola y tengellyel való metszéspontjának ordinátája. Általában ez a pont könnyen megtalálható a diagramon. És döntse el, hogy nulla felett van-e vagy alatta. Azaz Val vel> 0 vagy Val vel < 0.

Val vel > 0:

y=x2+4x+3

Val vel < 0

y = x 2 + 4x - 3

Ennek megfelelően, ha Val vel= 0, akkor a parabola szükségszerűen átmegy az origón:

y=x2+4x

Nehezebb a paraméterrel b. Nem csak attól függ, hogy mikor találjuk meg b hanem attól is a. Ez a parabola csúcsa. Az abszcissza (tengelykoordináta x) a képlet határozza meg x in \u003d - b / (2a). Ily módon b = - 2ax in. Vagyis a következőképpen járunk el: a grafikonon megkeressük a parabola tetejét, meghatározzuk az abszcissza előjelét, vagyis a nullától jobbra nézünk ( x be> 0) vagy balra ( x be < 0) она лежит.

Ez azonban még nem minden. Figyelnünk kell az együttható előjelére is a. Vagyis látni, hová irányulnak a parabola ágai. És csak ezután, a képlet szerint b = - 2ax in jelet meghatározni b.

Vegyünk egy példát:

Felfelé mutató ágak a> 0, a parabola keresztezi a tengelyt nál nél nulla alatt azt jelenti Val vel < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x be> 0. Szóval b = - 2ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: a > 0, b < 0, Val vel < 0.

15. lecke.
Az együtthatók befolyásaa, b ésVal vel a helyszínre
másodfokú függvény grafikonja

Célok: folytassa a másodfokú függvény grafikonjának felépítésének és tulajdonságainak felsorolásának képességét; feltárja az együtthatók hatását a, bés Val vel egy másodfokú függvény grafikonjának helyéről.

Az órák alatt

I. Szervezési mozzanat.

II. szóbeli munka.

Határozza meg, melyik függvénygrafikon látható az ábrán:

nál nél = x 2 – 2x – 1;

nál nél = –2x 2 – 8x;

nál nél = x 2 – 4x – 1;

nál nél = 2x 2 + 8x + 7;

nál nél = 2x 2 – 1.

nál nél = x 2 – 2x;

nál nél = –x 2 + 4x + 1;

nál nél = –x 2 – 4x + 1;

nál nél = –x 2 + 4x – 1;

nál nél = –x 2 + 2x – 1.

III. A készségek és képességek kialakulása.

Feladatok:

1. 127. sz. a) pont.

Megoldás

Egyenes nál nél = 6x + b megérinti a parabolát nál nél = x 2 + 8, vagyis csak egy közös pontja van vele abban az esetben, ha a 6. egyenlet x + b = x 2 + 8 lesz egyetlen döntés.

Ez az egyenlet másodfokú, keressük meg a diszkriminánsát:

x 2 – 6x + 8 + b = 0;

D 1 = 9 – (8 – b) = 1 + b;

D 1 = 0, ha 1 + b= 0, vagyis b= –1.

Válasz: b= –1.

3. Mutassa be az együtthatók hatását! a, bés Val vel a függvény grafikonjának helyére nál nél = Ó 2 + bx + Val vel.

A tanulók elegendő tudással rendelkeznek a feladat önálló elvégzéséhez. Fel kell kérni őket, hogy írják le az összes megállapítást egy jegyzetfüzetbe, miközben kiemelik az egyes együtthatók „fő” szerepét.

1) Együttható a befolyásolja a parabola ágainak irányát: mikor a> 0 - az ágak felfelé irányulnak, azzal a < 0 – вниз.

2) Együttható b befolyásolja a parabola csúcsának elhelyezkedését. Nál nél b= 0 csúcs a tengelyen fekszik OU.

3) Együttható Val vel mutatja a parabola metszéspontját a tengellyel OU.

Ezután egy példát lehet adni annak bemutatására, hogy mit lehet mondani az együtthatókról a, bés Val vel a függvény grafikonja szerint.

Jelentése Val vel pontosan nevezhető: mivel a gráf keresztezi a tengelyt OU pontban (0; 1), akkor Val vel = 1.

Együttható a nullához hasonlítható: mivel a parabola ágai lefelé irányulnak, akkor a < 0.

együttható jele b megtalálható a parabola csúcsának abszcisszáját meghatározó képletből: t= , mivel a < 0 и t= 1, akkor b> 0.

4. Határozza meg, hogy az ábrán melyik függvénygrafikon látható az együtthatók értéke alapján! a, bés Val vel.

nál nél = –x 2 + 2x;

nál nél = x 2 + 2x + 2;

nál nél = 2x 2 – 3x – 2;

nál nél = x 2 – 2.

Megoldás

a, bés Val vel:

a> 0, mivel a parabola ágai felfelé irányulnak;

b OU;

Val vel= -2, mivel a parabola a (0; -2) pontban metszi az y tengelyt.

nál nél = 2x 2 – 3x – 2.

nál nél = x 2 – 2x;

nál nél = –2x 2 + x + 3;

nál nél = –3x 2 – x – 1;

nál nél = –2,7x 2 – 2x.

Megoldás

A bemutatott grafikon alapján a következő következtetéseket vonjuk le az együtthatókról a, bés Val vel:

a < 0, так как ветви параболы направлены вниз;

b≠ 0, mivel a parabola csúcsa nem a tengelyen fekszik OU;

Val vel= 0, mivel a parabola metszi a tengelyt OU pontban (0; 0).

Mindezeket a feltételeket csak a függvény teljesíti nál nél = –2,7x 2 – 2x.

5. Ütemezett funkció nál nél = Ó 2 + bx + Val vel a, bés Val vel:

a) b)

Megoldás

a) A parabola ágai felfelé irányulnak, tehát a > 0.

A parabola az alsó félsíkban metszi az y tengelyt, tehát Val vel < 0. Чтобы узнать знак коэффициента b a képlet segítségével keressük meg a parabola csúcsának abszcisszáját: t= . A grafikonon látható, hogy t < 0, и мы определим, что a> 0. Ezért b> 0.

b) Hasonlóképpen határozzuk meg az együtthatók előjeleit a, bés Val vel:

a < 0, Val vel > 0, b< 0.

A tanulmányaikban erős hallgatók ezen felül a 247. sz.

Megoldás

nál nél = x 2 + px + q.

a) Vieta tétele alapján ismert, hogy ha x 1 és x 2 - az egyenlet gyökerei x 2 +
+ px + q= 0 (vagyis ennek a függvénynek a nullái), akkor x egy · x 2 = qés x 1 + x 2 = –R. Ezt értjük q= 3 4 = 12 és R = –(3 + 4) = –7.

b) A parabola metszéspontja a tengellyel OU megadja a paraméter értékét q, vagyis q= 6. Ha a függvény grafikonja keresztezi a tengelyt Ó a (2; 0) pontban, akkor a 2 szám az egyenlet gyöke x 2 + px + q= 0. Az érték behelyettesítése x= 2 ebbe az egyenletbe, azt kapjuk R = –5.

c) Ez a másodfokú függvény a legkisebb értékét a parabola csúcsánál éri el, ezért R= -12. Feltétel szerint a függvény értéke nál nél = x 2 – 12x + q azon a ponton x= 6 egyenlő 24-gyel. Behelyettesítés x= 6 és nál nél= 24 ebbe a függvénybe, azt találjuk q= 60.

IV. Ellenőrző munka.

1.opció

1. Ábrázolja a függvényt nál nél = 2x 2 + 4x– 6 és keresse meg a grafikon segítségével:

a) a függvény nullái;

b) milyen intervallumokban nál nél> 0 és y < 0;

G) legkisebb érték funkciók;

e) a funkció köre.

2. Nem ábrázol egy függvényt nál nél = –x 2 + 4x, megtalálja:

a) a függvény nullái;

c) a funkció köre.

3. Ütemezett funkció nál nél = Ó 2 + bx + Val vel határozza meg az együtthatók előjeleit a, bés Val vel: