Logaritmikus egyenlőtlenségek helyettesítéssel. Komplex logaritmikus egyenlőtlenségek

LOGARITMIKUS EGYENLŐTLENSÉGEK A HASZNÁLATBAN

Sechin Mihail Alekszandrovics

Kis Tudományos Akadémia a Kazah Köztársaság diákjai számára „Iskatel”

MBOU "Szovetszkaja Középiskola No. 1", 11. osztály, város. Szovetszkij Szovetszkij kerület

Gunko Ljudmila Dmitrijevna, a Városi Költségvetési Oktatási Intézmény „Szovetszkaja 1. Sz. Középiskola” tanára

Szovetszkij kerület

A munka célja: a megoldási mechanizmus tanulmányozása logaritmikus egyenlőtlenségek C3 nem szabványos módszerekkel, azonosítás Érdekes tények logaritmus

Tanulmányi tárgy:

3) Tanulja meg megoldani a C3 specifikus logaritmikus egyenlőtlenségeket nem szabványos módszerekkel.

Eredmények:

Tartalom

Bevezetés…………………………………………………………………………………….4

1. fejezet A probléma története…………………………………………………………………………………………………………

2. fejezet Logaritmikus egyenlőtlenségek gyűjteménye …………………………… 7

2.1. Egyenértékű átmenetek és általánosított intervallum módszer…………… 7

2.2. Racionalizálási módszer………………………………………………………………… 15

2.3. Nem szabványos helyettesítés………………................................................ .............. 22

2.4. Feladatok csapdákkal………………………………………………………27

Következtetés………………………………………………………………………………… 30

Irodalom……………………………………………………………………. 31

Bevezetés

11. osztályos vagyok, és egy olyan egyetemre szeretnék belépni, ahol az alaptárgy a matematika. Ezért sokat dolgozom a C részben található problémákkal. A C3 feladatban egy nem szabványos egyenlőtlenséget vagy egyenlőtlenség-rendszert kell megoldanom, általában logaritmusokkal kapcsolatban. A vizsgára való felkészülés során azzal a problémával szembesültem, hogy a C3-ban felkínált vizsgalogaritmikus egyenlőtlenségek megoldására szolgáló módszerek és technikák hiányoznak. A tanulmányozott módszerek iskolai tananyag ebben a témában ne adjon alapot a C3-as feladatok megoldásához. A matektanárnő azt javasolta, hogy az ő irányításával önállóan dolgozzam a C3-as feladatokat. Emellett érdekelt a kérdés: találkozunk-e az életünkben logaritmusokkal?

Ezt szem előtt tartva választották ki a témát:

„Logaritmikus egyenlőtlenségek az egységes államvizsgán”

A munka célja: a C3 problémák megoldásának mechanizmusának tanulmányozása nem szabványos módszerekkel, érdekes tények azonosítása a logaritmussal kapcsolatban.

Tanulmányi tárgy:

1) Keresse meg a szükséges információkat a logaritmikus egyenlőtlenségek megoldásának nem szabványos módszereiről!

2) Keressen további információkat a logaritmusokról.

3) Tanuljon meg speciális C3 problémákat nem szabványos módszerekkel megoldani.

Eredmények:

Gyakorlati jelentősége a C3 feladatok megoldására szolgáló apparátus bővítéséből áll. Ez az anyag használható egyes órákon, klubokon és választható matematika órákon.

A projekt terméke a „C3 logaritmikus egyenlőtlenségek megoldásokkal” gyűjtemény lesz.

1. fejezet Háttér

A 16. század során a közelítő számítások száma gyorsan növekedett, elsősorban a csillagászatban. A műszerek fejlesztése, a bolygómozgások tanulmányozása és egyéb munkák kolosszális, esetenként több éves számításokat igényeltek. A csillagászatot valós veszély fenyegette, hogy belefullad a teljesítetlen számításokba. Más területeken is felmerültek nehézségek, például a biztosítási üzletágban kamatos kamattáblázatokra volt szükség a különféle kamatokhoz. A fő nehézség a szorzás, az osztás volt többjegyű számok, különösen a trigonometrikus mennyiségek.

A logaritmusok felfedezése a 16. század végére jól ismert progresszió tulajdonságain alapult. Arkhimédész a zsoltárban beszélt a q, q2, q3, ... geometriai haladás tagjainak és az 1, 2, 3,... kitevőik számtani progressziójának kapcsolatáról. További előfeltétel volt a fok fogalmának kiterjesztése negatív és törtkitevőkre. Sok szerző rámutatott arra, hogy a szorzás, az osztás, a hatványozás és a gyökkivonás a geometriai progresszióban megfelel az aritmetikai összeadásnak, kivonásnak, szorzásnak és osztásnak ugyanabban a sorrendben.

Itt volt a logaritmus mint kitevő ötlete.

A logaritmustan fejlődésének történetében több szakasz is elmúlt.

1. szakasz

A logaritmusokat legkésőbb 1594-ben egymástól függetlenül Napier skót báró (1550-1617), tíz évvel később pedig Bürgi (1552-1632) svájci szerelő találta fel. Mindketten új, kényelmes eszközt akartak nyújtani az aritmetikai számításokhoz, bár különböző módon közelítették meg ezt a problémát. Napier kinematikailag fejezte ki a logaritmikus függvényt, és így belépett új terület függvényelmélet. Bürgi a diszkrét előrehaladások figyelembevétele alapján maradt. Mindkettő logaritmusának meghatározása azonban nem hasonlít a modernhez. A "logaritmus" (logaritmus) kifejezés Napierhez tartozik. A görög szavak kombinációjából keletkezett: logos - „reláció” és ariqmo - „szám”, ami „kapcsolatok számát” jelentette. Kezdetben Napier más kifejezést használt: numeri mākslīges – „mesterséges számok”, szemben a numeri naturalts – „természetes számok” kifejezéssel.

1615-ben, Henry Briggs-szel (1561-1631), a londoni Gresh College matematikaprofesszorával folytatott beszélgetésben Napier azt javasolta, hogy a nullát vegyék az egy logaritmusaként, és a 100-at a tíz logaritmusaként, vagy ami ugyanannyit jelent. dolog, csak 1. Így nyomtatták ki a decimális logaritmusokat és Az első logaritmikus táblázatokat. Később Briggs táblázatait a holland könyvkereskedő és a matematika iránt érdeklődő Adrian Flaccus (1600-1667) egészítette ki. Napier és Briggs, bár mindenkinél korábban jutottak el a logaritmushoz, táblázataikat később – 1620-ban – publikálták, mint a többiek. A log és Log jeleket 1624-ben vezette be I. Kepler. A „természetes logaritmus” kifejezést Mengoli vezette be 1659-ben, majd N. Mercator követte 1668-ban, John Speidel londoni tanár pedig „Új logaritmusok” néven 1-től 1000-ig terjedő számok természetes logaritmusainak táblázatait tette közzé.

Az első logaritmikus táblázatokat 1703-ban adták ki oroszul. De minden logaritmikus táblázatban voltak számítási hibák. Az első hibamentes táblázatok 1857-ben jelentek meg Berlinben, K. Bremiker (1804-1877) német matematikus feldolgozásával.

2. szakasz

A logaritmuselmélet továbbfejlesztése többel is összefügg széleskörű használat analitikus geometria és infinitezimális számítás. Ekkorra már létrejött a kapcsolat egy egyenlő oldalú hiperbola kvadratúrája és a természetes logaritmus között. Ennek az időszaknak a logaritmuselmélete számos matematikus nevéhez fűződik.

Nikolaus Mercator német matematikus, csillagász és mérnök egy esszéjében

A "Logaritmotechnics" (1668) egy sorozatot ad, amely megadja az ln(x+1) kiterjesztését

x hatványai:

Ez a kifejezés pontosan megfelel az ő gondolatmenetének, bár természetesen nem a d, ... jeleket használta, hanem körülményesebb szimbolikát. A logaritmikus sorozat felfedezésével megváltozott a logaritmusszámítás technikája: végtelen sorok segítségével kezdték meghatározni őket. Előadásaiban „Elemi matematika a legmagasabb pont látás", amelyet 1907-1908-ban olvastak, F. Klein a képlet használatát javasolta a logaritmuselmélet kiindulópontjaként.

3. szakasz

A logaritmikus függvény definíciója inverz függvényként

exponenciális, logaritmus, mint adott bázis kitevője

nem fogalmazták meg azonnal. Leonhard Euler (1707-1783) esszéje

"Bevezetés a végtelen kicsik elemzésébe" (1748) arra szolgált, hogy tovább

a logaritmikus függvények elméletének fejlesztése. És így,

134 év telt el a logaritmusok első bevezetése óta

(1614-től számítva), mielőtt a matematikusok a definícióhoz jutottak

a logaritmus fogalma, amely ma már az iskolai tanfolyam alapját képezi.

2. fejezet Logaritmikus egyenlőtlenségek gyűjteménye

2.1. Egyenértékű átmenetek és az intervallumok általánosított módszere.

Egyenértékű átmenetek

, ha a > 1

, ha 0 < а < 1

Általánosított intervallum módszer

Ez a módszer a leguniverzálisabb szinte bármilyen típusú egyenlőtlenség megoldásánál. A megoldási diagram így néz ki:

1. Hozd az egyenlőtlenséget olyan alakzatba, ahol a bal oldali függvény van
, jobb oldalon pedig 0.

2. Keresse meg a függvény tartományát
.

3. Keresse meg a függvény nulláit!
, azaz oldja meg az egyenletet
(és egy egyenlet megoldása általában könnyebb, mint egy egyenlőtlenség).

4. Rajzolja fel a számegyenesen a függvény definíciós tartományát és nulláit!

5. Határozza meg a függvény előjeleit!
a kapott intervallumokon.

6. Válassza ki az intervallumokat, ahol a függvény felveszi a kívánt értékeket, és írja le a választ.

1. példa

Megoldás:

Alkalmazzuk az intervallum módszert

ahol

Ezeknél az értékeknél a logaritmikus előjelek alatti összes kifejezés pozitív.

Válasz:

2. példa

Megoldás:

1 út . Az ADL-t az egyenlőtlenség határozza meg x> 3. Logaritmusok felvétele olyanokra x a 10-es alapban kapjuk

Az utolsó egyenlőtlenséget bővítési szabályok alkalmazásával lehetne feloldani, pl. a tényezőket nullához viszonyítva. Ebben az esetben azonban könnyű meghatározni a függvény konstans előjelének intervallumait

ezért az intervallum módszer alkalmazható.

Funkció f(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ folyamatos at x> 3 és pontokon eltűnik x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Így meghatározzuk a függvény konstans előjelének intervallumait f(x):

Válasz:

2. módszer . Alkalmazzuk közvetlenül az intervallummódszer gondolatait az eredeti egyenlőtlenségre.

Ehhez emlékezzen arra, hogy a kifejezések a b- a c és ( a - 1)(b- 1) legyen egy jele. Aztán az egyenlőtlenségünk at x> 3 egyenlő az egyenlőtlenséggel

vagy

Az utolsó egyenlőtlenséget az intervallum módszerrel oldjuk meg

Válasz:

3. példa

Megoldás:

Alkalmazzuk az intervallum módszert

Válasz:

4. példa

Megoldás:

2 óta x 2 - 3x+ 3 > 0 minden igazinak x, Azt

A második egyenlőtlenség megoldásához az intervallum módszert használjuk

Az első egyenlőtlenségben végrehajtjuk a cserét

akkor eljutunk a 2y 2 egyenlőtlenséghez - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, amelyek kielégítik a -0,5 egyenlőtlenséget< y < 1.

Honnan, mert

megkapjuk az egyenlőtlenséget

amelyet mikor hajtanak végre x, amelyhez 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Most, ha figyelembe vesszük a rendszer második egyenlőtlenségének megoldását, végül megkapjuk

Válasz:

5. példa.

Megoldás:

Az egyenlőtlenség egyenértékű a rendszerek halmazával

vagy

Használjuk az intervallum módszert ill

Válasz:

6. példa.

Megoldás:

Az egyenlőtlenség egyenlő a rendszerrel

Hadd

Akkor y > 0,

és az első egyenlőtlenség

rendszer formát ölt

vagy kibontakozó

másodfokú trinomikus tényezők szerint,

Az intervallum módszert alkalmazva az utolsó egyenlőtlenségre,

látjuk, hogy megoldásai kielégítik a feltételt y> 0 lesz az összes y > 4.

Így az eredeti egyenlőtlenség ekvivalens a rendszerrel:

Tehát az egyenlőtlenség megoldása minden

2.2. Racionalizálási módszer.

Korábbi módszer az egyenlőtlenség racionalizálását nem oldották meg, nem ismerték. Ez az "új modern" hatékony módszer exponenciális és logaritmikus egyenlőtlenségek megoldásai" (idézet S. I. Kolesnikova könyvéből)
És még ha a tanár ismerte is, volt egy félelem - ismeri az egységes államvizsga-szakértő, és miért nem adják meg az iskolában? Voltak helyzetek, amikor a tanár azt mondta a diáknak: "Hol szerezted? Ülj le - 2."
Most mindenhol népszerűsítik a módszert. A szakértők számára pedig van iránymutatásokat, amely ehhez a módszerhez van társítva, és a "Modellbeállítások legteljesebb kiadásai..." C3 megoldás ezt a módszert használja.
CSODÁLATOS MÓDSZER!

"Varázsasztal"

Más forrásokban

Ha a >1 és b >1, majd log a b >0 és (a -1)(b -1)>0;

Ha a >1 és 0

ha 0<a<1 и b >1, majd naplózza a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

ha 0<a<1 и 00 és (a -1) (b -1)>0.

Az elvégzett érvelés egyszerű, de jelentősen leegyszerűsíti a logaritmikus egyenlőtlenségek megoldását.

4. példa

napló x (x 2-3)<0

Megoldás:

5. példa.

log 2 x (2x 2 -4x +6) ≤ log 2 x (x 2 +x )

Megoldás:

Válasz. (0; 0,5)U.

6. példa.

Ennek az egyenlőtlenségnek a megoldására a nevező helyett (x-1-1)(x-1), a számláló helyett az (x-1)(x-3-9 + x) szorzatot írjuk.

Válasz : (3;6)

7. példa.

8. példa.

2.3. Nem szabványos helyettesítés.

1. példa

2. példa

3. példa

4. példa

5. példa.

6. példa.

7. példa.

log 4 (3 x -1)log 0,25

Tegyük az y=3 x -1 cserét; akkor ez az egyenlőtlenség olyan formát ölt

Napló 4 log 0,25
.

Mert log 0,25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , akkor az utolsó egyenlőtlenséget átírjuk 2log 4 y -log 4 2 y ≤ értékre.

Tegyük meg a t =log 4 y pótlást, és kapjuk meg a t 2 -2t +≥0 egyenlőtlenséget, melynek megoldása a - intervallumok .

Így y értékeinek megtalálásához két egyszerű egyenlőtlenség halmaza van
Ennek a halmaznak a megoldása a 0 intervallum<у≤2 и 8≤у<+.

Ezért az eredeti egyenlőtlenség ekvivalens két exponenciális egyenlőtlenség halmazával,
vagyis aggregátumok

Ennek a halmaznak az első egyenlőtlenségének megoldása a 0 intervallum<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Így az eredeti egyenlőtlenség teljesül a 0 intervallumokból származó x összes értékére<х≤1 и 2≤х<+.

8. példa.

Megoldás:

Az egyenlőtlenség egyenlő a rendszerrel

Az ODZ-t meghatározó második egyenlőtlenség megoldása ezek halmaza lesz x,

amelyekre x > 0.

Az első egyenlőtlenség megoldásához behelyettesítést végzünk

Akkor megkapjuk az egyenlőtlenséget

vagy

A módszerrel megtaláljuk az utolsó egyenlőtlenség megoldásainak halmazát

intervallumok: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, kapunk

vagy

Sok ilyen x, amelyek kielégítik az utolsó egyenlőtlenséget

az ODZ-hez tartozik ( x> 0), tehát a rendszer megoldása,

és innen ered az eredeti egyenlőtlenség.

Válasz:

2.4. Feladatok csapdákkal.

1. példa

.

Megoldás. Az egyenlőtlenség ODZ-je mind x teljesíti a 0 feltételt . Ezért minden x a 0 intervallumból származik
2. példa

napló 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.. ? A lényeg az, hogy a második szám nyilvánvalóan nagyobb, mint

Következtetés

Nem volt könnyű konkrét módszereket találni a C3 problémák megoldására a rengeteg különböző oktatási forrásból. Az elvégzett munka során nem szabványos módszereket tanulmányoztam komplex logaritmikus egyenlőtlenségek megoldására. Ezek a következők: ekvivalens átmenetek és az intervallumok általánosított módszere, a racionalizálás módszere , nem szabványos helyettesítés , feladatok csapdákkal az ODZ-n. Ezek a módszerek nem szerepelnek az iskolai tantervben.

Különböző módszerekkel oldottam meg a C részben az Egységes Államvizsgán javasolt 27 egyenlőtlenséget, nevezetesen a C3. Ezek a módszeres megoldásokkal való egyenlőtlenségek képezték az alapját a „C3 logaritmikus egyenlőtlenségek megoldásokkal” gyűjteménynek, amely tevékenységem projektterméke lett. A projekt elején feltett hipotézisem beigazolódott: a C3 problémák hatékonyan megoldhatók, ha ismeri ezeket a módszereket.

Ezen kívül érdekes tényeket fedeztem fel a logaritmusokkal kapcsolatban. Érdekes volt ezt megcsinálni. Projekttermékeim hasznosak lesznek mind a diákok, mind a tanárok számára.

Következtetések:

Így a projekt célja megvalósult és a probléma megoldódott. A projekttevékenységek legteljesebb és legváltozatosabb tapasztalatait kaptam a munka minden szakaszában. A projekt során a fő fejlesztő hatásom a mentális kompetenciára, a logikai mentális műveletekhez kapcsolódó tevékenységekre, a kreatív kompetencia, a személyes kezdeményezőkészség, a felelősségvállalás, a kitartás és az aktivitás fejlesztésére irányult.

A siker garanciája a kutatási projekt létrehozásakor Megszereztem: jelentős iskolai tapasztalatot, különböző forrásokból tájékozódhattam, ellenőriztem a megbízhatóságát, fontossági sorrendbe állítottam.

A matematikában a közvetlen tantárgyi ismeretek mellett bővítettem gyakorlati ismereteimet az informatika területén, új ismereteket, tapasztalatokat szereztem a pszichológia területén, kapcsolatokat építettem ki osztálytársakkal, megtanultam a felnőttekkel való együttműködést. A projekttevékenységek során szervezési, intellektuális és kommunikációs általános nevelési készségek fejlesztésére került sor.

Irodalom

1. Koryanov A. G., Prokofjev A. A. Egyenlőtlenségrendszerek egy változóval (standard feladatok C3).

2. Malkova A. G. Felkészülés az egységes államvizsgára matematikából.

3. Samarova S. S. Logaritmikus egyenlőtlenségek megoldása.

4. Matematika. Képzési munkák gyűjteménye szerkesztette A.L. Semenov és I.V. Jascsenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 p.-

Logaritmikus egyenlőtlenségek

Az előző leckéken megismerkedtünk a logaritmikus egyenletekkel, és most már tudjuk, mik ezek és hogyan kell megoldani őket. A mai leckét a logaritmikus egyenlőtlenségek tanulmányozásának szenteljük. Mik ezek az egyenlőtlenségek, és mi a különbség a logaritmikus egyenlet és az egyenlőtlenség megoldása között?
A logaritmikus egyenlőtlenségek olyan egyenlőtlenségek, amelyeknek változója a logaritmusjel alatt vagy annak alapjában jelenik meg.
Vagy azt is mondhatjuk, hogy a logaritmikus egyenlőtlenség olyan egyenlőtlenség, amelyben az ismeretlen értéke, mint a logaritmikus egyenletben, a logaritmus előjele alatt jelenik meg.
A legegyszerűbb logaritmikus egyenlőtlenségek a következő formájúak:
ahol f(x) és g(x) olyan kifejezések, amelyek x-től függenek.
Nézzük ezt a következő példán keresztül: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Logaritmikus egyenlőtlenségek megoldása

A logaritmikus egyenlőtlenségek megoldása előtt érdemes megjegyezni, hogy megoldásukkor hasonlóak az exponenciális egyenlőtlenségekhez, nevezetesen:
Először is, amikor a logaritmusról a logaritmusjel alatti kifejezésekre térünk át, össze kell hasonlítanunk a logaritmus alapját eggyel;
Másodszor, amikor változók változásával oldunk meg egy logaritmikus egyenlőtlenséget, addig a változáshoz képest egyenlőtlenségeket kell megoldanunk, amíg a legegyszerűbb egyenlőtlenséget nem kapjuk.
De te és én hasonló szempontokat vettünk figyelembe a logaritmikus egyenlőtlenségek megoldásában. Most figyeljünk egy meglehetősen jelentős különbségre. Ön és én tudjuk, hogy a logaritmikus függvénynek korlátozott definíciós tartománya van, ezért amikor a logaritmusokról a logaritmusjel alatti kifejezésekre lépünk, figyelembe kell vennünk a megengedett értékek tartományát (ADV).
Vagyis figyelembe kell venni, hogy egy logaritmikus egyenlet megoldása során Ön és én először megtaláljuk az egyenlet gyökereit, majd ellenőrizzük ezt a megoldást. De a logaritmikus egyenlőtlenség megoldása így nem fog működni, mivel a logaritmusokról a logaritmusjel alatti kifejezésekre lépve fel kell írni az egyenlőtlenség ODZ-jét.
Ezenkívül érdemes megjegyezni, hogy az egyenlőtlenségek elmélete valós számokból áll, amelyek pozitív és negatív számok, valamint a 0 számból.
Például, ha az „a” szám pozitív, akkor a következő jelölést kell használnia: a >0. Ebben az esetben ezeknek a számoknak az összege és szorzata is pozitív lesz.
Az egyenlőtlenség megoldásának fő elve az, hogy helyettesítsük egy egyszerűbb egyenlőtlenséggel, de a lényeg, hogy az egyenértékű legyen az adott egyenlőtlenséggel. Továbbá egy egyenlőtlenséget is kaptunk, és újra lecseréltük egy egyszerűbb formájúra stb.
Az egyenlőtlenségek változóval való megoldása során meg kell találni az összes megoldását. Ha két egyenlőtlenségnek ugyanaz az x változója, akkor ezek az egyenlőtlenségek ekvivalensek, feltéve, hogy megoldásaik egybeesnek.
A logaritmikus egyenlőtlenségek megoldása során emlékezni kell arra, hogy ha a > 1, akkor a logaritmikus függvény növekszik, és ha 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Logaritmikus egyenlőtlenségek megoldási módszerei

Most nézzünk meg néhány módszert, amelyek a logaritmikus egyenlőtlenségek megoldása során játszódnak le. A jobb megértés és asszimiláció érdekében konkrét példákon keresztül igyekszünk megérteni őket.
Mindannyian tudjuk, hogy a legegyszerűbb logaritmikus egyenlőtlenségnek a következő alakja van:
Ebben az egyenlőtlenségben V – a következő egyenlőtlenségi jelek egyike:<,>, ≤ vagy ≥.
Ha egy adott logaritmus alapja nagyobb, mint egy (a>1), áttérve a logaritmusról a logaritmusjel alatti kifejezésekre, akkor ebben a változatban az egyenlőtlenség előjele megmarad, és az egyenlőtlenség a következő formában lesz:
ami egyenértékű ezzel a rendszerrel:

Abban az esetben, ha a logaritmus alapja nagyobb nullánál és kisebb egynél (0
Ez egyenértékű ezzel a rendszerrel:

Nézzünk még példákat az alábbi képen látható legegyszerűbb logaritmikus egyenlőtlenségek megoldására:

Megoldási példák

Gyakorlat. Próbáljuk meg feloldani ezt az egyenlőtlenséget:

Az elfogadható értékek tartományának megoldása.

Most próbáljuk meg megszorozni a jobb oldalát a következővel:
Lássuk, mire juthatunk:

Most térjünk át a szublogaritmikus kifejezések konvertálására. Annak a ténynek köszönhetően, hogy a logaritmus alapja 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:
3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.
Ebből pedig az következik, hogy az általunk kapott intervallum teljes egészében az ODZ-hez tartozik, és egy ilyen egyenlőtlenség megoldása.
Íme a válasz, amit kaptunk:

Mi szükséges a logaritmikus egyenlőtlenségek megoldásához?

Most próbáljuk meg elemezni, mire van szükségünk a logaritmikus egyenlőtlenségek sikeres megoldásához?
Először is koncentrálja minden figyelmét, és próbáljon meg ne hibázni, amikor végrehajtja az ebben az egyenlőtlenségben adott átalakításokat. Emlékeztetni kell arra is, hogy az ilyen egyenlőtlenségek megoldása során kerülni kell az egyenlőtlenségek kiterjedését és összehúzódását, ami idegen megoldások elvesztéséhez vagy megszerzéséhez vezethet.
Másodszor, a logaritmikus egyenlőtlenségek megoldása során meg kell tanulnia logikusan gondolkodni, és meg kell értenie az olyan fogalmak közötti különbséget, mint például az egyenlőtlenségek rendszere és az egyenlőtlenségek halmaza, hogy könnyen választhasson megoldásokat az egyenlőtlenségre, miközben a DL vezérli.
Harmadszor, az ilyen egyenlőtlenségek sikeres megoldásához mindenkinek tökéletesen ismernie kell az elemi függvények összes tulajdonságát, és világosan meg kell értenie jelentésüket. Az ilyen függvények közé nemcsak logaritmikus, hanem racionális, hatványos, trigonometrikus stb. is tartozik, egyszóval mindazok, amelyeket az iskolai algebra során tanultál.
Amint látja, a logaritmikus egyenlőtlenségek témájának tanulmányozása után semmi sem nehéz megoldani ezeket az egyenlőtlenségeket, feltéve, hogy gondosan és kitartóan éri el céljait. Az egyenlőtlenségek megoldásával kapcsolatos problémák elkerülése érdekében a lehető legtöbbet kell gyakorolnia, különféle feladatok megoldásában, és ugyanakkor emlékeznie kell az ilyen egyenlőtlenségek megoldásának alapvető módszereire és rendszereire. Ha nem sikerül megoldani a logaritmikus egyenlőtlenségeket, alaposan elemezze a hibáit, hogy a jövőben ne térjen vissza hozzájuk.

Házi feladat

A téma jobb megértése és a tárgyalt anyag egységesítése érdekében oldja meg a következő egyenlőtlenségeket:

Fontos számunkra az Ön személyes adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.
Milyen személyes adatokat gyűjtünk:
Amikor jelentkezik az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:
Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik számunkra, hogy egyedi ajánlatokkal, promóciókkal és egyéb eseményekkel és közelgő eseményekkel kapcsolatba léphessünk Önnel.

Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.

Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik fél számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásoknak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció területén található állami kérelmek vagy kormányzati hatóságok kérelmei alapján - az Ön személyes adatainak nyilvánosságra hozatala. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.

Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

Gondolja, hogy van még idő az egységes államvizsgáig, és lesz ideje felkészülni? Talán ez így van. De mindenesetre minél korábban kezdi el a hallgató a felkészülést, annál sikeresebben teszi le a vizsgákat. Ma úgy döntöttünk, hogy a logaritmikus egyenlőtlenségeknek szentelünk egy cikket. Ez az egyik feladat, ami lehetőséget jelent plusz kredit megszerzésére.

Tudod már, mi az a logaritmus? Nagyon reméljük. De még ha nem is kap választ erre a kérdésre, ez nem probléma. A logaritmus fogalmának megértése nagyon egyszerű.

Miért 4? A 3-as számot erre a hatványra kell emelnie, hogy 81-et kapjon. Miután megértette az elvet, folytathatja az összetettebb számításokat.

Pár éve egyenlőtlenségeken mentél keresztül. És azóta folyamatosan találkozik velük a matematikában. Ha problémái vannak az egyenlőtlenségek megoldásával, nézze meg a megfelelő részt.
Most, hogy a fogalmakat külön-külön is megismertük, térjünk át általánosságban.

A legegyszerűbb logaritmikus egyenlőtlenség.

A legegyszerűbb logaritmikus egyenlőtlenségek nem korlátozódnak erre a példára, van még három, csak különböző előjelekkel. Miért van erre szükség? Hogy jobban megértsük, hogyan lehet logaritmusokkal megoldani az egyenlőtlenségeket. Most mondjunk egy alkalmazhatóbb példát, még mindig nagyon egyszerű; az összetett logaritmikus egyenlőtlenségeket későbbre hagyjuk.

Hogyan lehet ezt megoldani? Minden az ODZ-vel kezdődik. Érdemes többet tudni róla, ha mindig könnyen fel akarja oldani az egyenlőtlenségeket.

Mi az ODZ? ODZ a logaritmikus egyenlőtlenségekhez

A rövidítés az elfogadható értékek tartományát jelenti. Ez a megfogalmazás gyakran előkerül az egységes államvizsga feladataiban. Az ODZ nem csak logaritmikus egyenlőtlenségek esetén lesz hasznos.

Nézze meg újra a fenti példát. Az ODZ-t ennek alapján fogjuk figyelembe venni, hogy megértse az elvet, és a logaritmikus egyenlőtlenségek megoldása nem vet fel kérdéseket. A logaritmus definíciójából az következik, hogy 2x+4-nek nagyobbnak kell lennie nullánál. Esetünkben ez a következőket jelenti.

Ennek a számnak értelemszerűen pozitívnak kell lennie. Oldja meg a fent bemutatott egyenlőtlenséget! Ez akár szóban is megtehető, itt egyértelmű, hogy X nem lehet kisebb 2-nél. Az egyenlőtlenség megoldása az elfogadható értékek tartományának meghatározása lesz.
Most térjünk át a legegyszerűbb logaritmikus egyenlőtlenség megoldására.

Magukat a logaritmusokat elvetjük az egyenlőtlenség mindkét oldaláról. Mi marad nekünk ennek eredményeként? Egyszerű egyenlőtlenség.

Nem nehéz megoldani. X-nek nagyobbnak kell lennie, mint -0,5. Most egyesítjük a két kapott értéket egy rendszerbe. És így,

Ez lesz a figyelembe vett logaritmikus egyenlőtlenség elfogadható értékeinek tartománya.

Miért van szükségünk egyáltalán az ODZ-re? Ez egy lehetőség a helytelen és lehetetlen válaszok kiszűrésére. Ha a válasz nincs az elfogadható értékek tartományán belül, akkor a válasznak egyszerűen nincs értelme. Ezt érdemes sokáig emlékezni, mivel az egységes államvizsgán gyakran kell keresni az ODZ-t, és ez nem csak a logaritmikus egyenlőtlenségekre vonatkozik.

Algoritmus logaritmikus egyenlőtlenség megoldására

A megoldás több szakaszból áll. Először is meg kell találnia az elfogadható értékek tartományát. Két jelentése lesz az ODZ-ben, ezt fentebb tárgyaltuk. Ezután magát az egyenlőtlenséget kell megoldania. A megoldási módszerek a következők:

szorzóhelyettesítési módszer;

bomlás;

racionalizálási módszer.

A helyzettől függően érdemes a fenti módszerek valamelyikét alkalmazni. Térjünk közvetlenül a megoldásra. Mutatjuk a legnépszerűbb módszert, amely szinte minden esetben alkalmas az egységes államvizsga-feladatok megoldására. Ezután a dekompozíciós módszert nézzük meg. Segíthet, ha egy különösen trükkös egyenlőtlenséggel találkozik. Tehát egy algoritmus a logaritmikus egyenlőtlenség megoldására.

Példák megoldásokra :

Nem hiába vettük pontosan ezt az egyenlőtlenséget! Ügyeljen az alapra. Ne feledje: ha nagyobb egynél, akkor az előjel ugyanaz marad az elfogadható értékek tartományának megtalálásakor; ellenkező esetben meg kell változtatni az egyenlőtlenség jelét.

Ennek eredményeként az egyenlőtlenséget kapjuk:

Most redukáljuk a bal oldalt az egyenlet nullával egyenlő alakjára. A „kevesebb, mint” jel helyett „egyenlő”-t teszünk, és megoldjuk az egyenletet. Így megtaláljuk az ODZ-t. Reméljük, hogy nem lesz gondja egy ilyen egyszerű egyenlet megoldásával. A válaszok -4 és -2. Ez nem minden. Ezeket a pontokat meg kell jelenítenie a grafikonon a „+” és „-” jelek elhelyezésével. Mit kell ehhez tenni? Helyettesítsd be az intervallumokból származó számokat a kifejezésbe. Ahol az értékek pozitívak, ott a „+” jelet írjuk.

Válasz: x nem lehet nagyobb mint -4 és kisebb mint -2.

Csak a bal oldalon találtuk meg az elfogadható értékek tartományát, most meg kell találnunk a jobb oldali elfogadható értékek tartományát. Ez sokkal könnyebb. Válasz: -2. Mindkét eredményül kapott területet metszük.

És csak most kezdünk foglalkozni magával az egyenlőtlenséggel.

Egyszerűsítsük le amennyire csak lehet, hogy könnyebben megoldható legyen.

A megoldásban ismét az intervallum módszert használjuk. Hagyjuk a számításokat, az előző példából már minden világos. Válasz.

De ez a módszer akkor megfelelő, ha a logaritmikus egyenlőtlenségnek ugyanazok az alapjai.

A különböző bázisú logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásához kezdetben ugyanarra a bázisra kell redukálni. Ezután használja a fent leírt módszert. De van egy bonyolultabb eset is. Tekintsük a logaritmikus egyenlőtlenségek egyik legösszetettebb típusát.

Változó bázisú logaritmikus egyenlőtlenségek

Hogyan lehet megoldani az ilyen jellemzőkkel bíró egyenlőtlenségeket? Igen, és ilyen embereket lehet találni az egységes államvizsgán. Az egyenlőtlenségek alábbi módon történő megoldása jótékony hatással lesz az oktatási folyamatára is. Nézzük meg részletesen a kérdést. Hagyjuk az elméletet, és menjünk egyenesen a gyakorlatba. A logaritmikus egyenlőtlenségek megoldásához elég egyszer megismerkedni a példával.

A bemutatott alakú logaritmikus egyenlőtlenség megoldásához a jobb oldalt le kell redukálni egy azonos bázisú logaritmusra. Az elv hasonló átmenetekhez hasonlít. Ennek eredményeként az egyenlőtlenség így fog kinézni.

Tulajdonképpen már csak egy logaritmus nélküli egyenlőtlenségi rendszert kell létrehozni. A racionalizálási módszerrel áttérünk az egyenlőtlenségek egyenértékű rendszerére. Magát a szabályt megérti, ha behelyettesíti a megfelelő értékeket, és nyomon követi azok változásait. A rendszernek a következő egyenlőtlenségei lesznek.

A racionalizálási módszer alkalmazásakor az egyenlőtlenségek megoldása során a következőkre kell emlékezni: az egyiket ki kell vonni az alapból, az x-et a logaritmus definíciója szerint ki kell vonni az egyenlőtlenség mindkét oldaláról (jobbról balról), két kifejezést meg kell szorozni. és az eredeti jel alá kell beállítani a nullához viszonyítva.

A további megoldást az intervallum módszerrel hajtjuk végre, itt minden egyszerű. Fontos, hogy megértse a megoldási módok különbségeit, akkor minden könnyen sikerülni fog.

A logaritmikus egyenlőtlenségeknek sok árnyalata van. Közülük a legegyszerűbbeket nagyon könnyű megoldani. Hogyan lehet mindegyiket probléma nélkül megoldani? Ebben a cikkben már megkapta az összes választ. Most hosszú gyakorlat vár rád. Folyamatosan gyakoroljon különféle problémák megoldását a vizsgán, és Ön képes lesz a legmagasabb pontszámot elérni. Sok sikert a nehéz feladatodhoz!

A logaritmikus egyenlőtlenségek sokfélesége közül külön vizsgáljuk a változó bázisú egyenlőtlenségeket. Ezeket egy speciális képlettel oldják meg, amelyet valamilyen oknál fogva ritkán tanítanak az iskolában:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

A „∨” jelölőnégyzet helyett tetszőleges egyenlőtlenségjelet helyezhet el: többet vagy kevesebbet. A lényeg az, hogy mindkét egyenlőtlenségben az előjelek azonosak legyenek.

Így megszabadulunk a logaritmusoktól, és a problémát racionális egyenlőtlenségre redukáljuk. Ez utóbbi sokkal könnyebben megoldható, de a logaritmusok elvetésekor plusz gyökök jelenhetnek meg. Levágásukhoz elég megtalálni az elfogadható értékek tartományát. Ha elfelejtette egy logaritmus ODZ-jét, erősen ajánlom, hogy ismételje meg – lásd: „Mi a logaritmus”.

Mindent, ami az elfogadható értékek tartományával kapcsolatos, ki kell írni és külön kell megoldani:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Ez a négy egyenlőtlenség egy rendszert alkot, és egyszerre kell teljesülniük. Ha megtaláltuk az elfogadható értékek tartományát, nem marad más hátra, mint metszeni azt a racionális egyenlőtlenség megoldásával – és kész a válasz.

Feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

Először írjuk ki a logaritmus ODZ-jét:

Az első két egyenlőtlenség automatikusan teljesül, de az utolsót ki kell írni. Mivel egy szám négyzete akkor és csak akkor nulla, ha maga a szám nulla, így van:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Kiderült, hogy a logaritmus ODZ-je nulla kivételével minden szám: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Most megoldjuk a fő egyenlőtlenséget:

A logaritmikus egyenlőtlenségről áttérünk a racionális egyenlőtlenségre. Az eredeti egyenlőtlenségnek van egy „kisebb, mint” előjele, ami azt jelenti, hogy az eredményül kapott egyenlőtlenségnek is kell lennie egy „kisebb, mint” előjelnek. Nekünk van:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.

Ennek a kifejezésnek a nullái: x = 3; x = -3; x = 0. Sőt, x = 0 a második multiplicitás gyöke, ami azt jelenti, hogy ezen áthaladva a függvény előjele nem változik. Nekünk van:

Azt kapjuk, hogy x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Ez a halmaz teljes mértékben benne van a logaritmus ODZ-jében, ami azt jelenti, hogy ez a válasz.

Logaritmikus egyenlőtlenségek konvertálása

Az eredeti egyenlőtlenség gyakran eltér a fentitől. Ez könnyen kijavítható a logaritmusokkal végzett munka szabványos szabályaival – lásd: „A logaritmusok alapvető tulajdonságai”. Ugyanis:

Bármely szám logaritmusként ábrázolható adott bázissal;

Az azonos bázisú logaritmusok összege és különbsége helyettesíthető egy logaritmussal.

Külön szeretném emlékeztetni az elfogadható értékek tartományára. Mivel az eredeti egyenlőtlenségben több logaritmus is lehet, mindegyiknek meg kell találnia a VA értékét. Így a logaritmikus egyenlőtlenségek megoldásának általános sémája a következő:

Határozza meg az egyenlőtlenségben szereplő egyes logaritmusok VA értékét;

Csökkentse az egyenlőtlenséget egy szabványosra a logaritmusok összeadási és kivonási képleteivel;

Oldja meg a kapott egyenlőtlenséget a fenti séma segítségével!

Feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

Keressük meg az első logaritmus definíciós tartományát (DO):

Intervallum módszerrel oldjuk meg. A számláló nulláinak megkeresése:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Ezután - a nevező nullái:

x − 1 = 0;
x = 1.

A koordináta nyílon nullákat és jeleket jelölünk:

Azt kapjuk, hogy x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). A második logaritmusnak ugyanaz a VA. Ha nem hiszi, megnézheti. Most átalakítjuk a második logaritmust úgy, hogy az alap kettő legyen:

Amint látja, a logaritmus alapjában és előtti hármasai csökkentek. Két azonos bázisú logaritmust kaptunk. Adjuk össze őket:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Megkaptuk a standard logaritmikus egyenlőtlenséget. A képlet segítségével megszabadulunk a logaritmusoktól. Mivel az eredeti egyenlőtlenség „kisebb, mint” jelet tartalmaz, a kapott racionális kifejezésnek is kisebbnek kell lennie nullánál. Nekünk van:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2) (2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x – 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (-1; 3).

Két készletet kaptunk:

ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);

Válaszjelölt: x ∈ (−1; 3).

Marad hátra, hogy ezeket a halmazokat metsszük – megkapjuk az igazi választ:

Minket a halmazok metszéspontja érdekel, ezért olyan intervallumokat választunk, amelyek mindkét nyílon árnyékoltak. Kapjuk x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - minden pont kilyukadt.