Keressük az intervallumok módszerét. Racionális egyenlőtlenségek megoldása intervallum módszerrel

Térközök módszere egy egyszerű módja a töredékes racionális egyenlőtlenségek megoldásának. Ez a változótól függő racionális (vagy tört-racionális) kifejezéseket tartalmazó egyenlőtlenségek neve.

1. Tekintsük például a következő egyenlőtlenséget

Az intervallum módszer lehetővé teszi, hogy néhány perc alatt megoldja.

Ennek az egyenlőtlenségnek a bal oldalán egy tört racionális függvény található. Racionális, mert nem tartalmaz sem gyököket, sem szinuszokat, sem logaritmusokat – csak racionális kifejezéseket. A jobb oldalon a nulla.

Az intervallum módszer egy tört racionális függvény következő tulajdonságán alapul.

Egy tört racionális függvény csak azokon a pontokon változtathat előjelet, ahol egyenlő nullával vagy nem létezik.

Emlékezzen a faktorizálás módjára négyzetes trinomikus, azaz a forma kifejezése.

Hol és vannak a gyökerek másodfokú egyenlet.

Rajzolunk egy tengelyt, és elrendezzük azokat a pontokat, ahol a számláló és a nevező eltűnik.

A nevező és a nevező nullái szúrt pontok, mivel ezekben a pontokban nincs definiálva az egyenlőtlenség bal oldalán lévő függvény (nullával nem lehet osztani). A számláló és a - nullája árnyékolt, mert az egyenlőtlenség nem szigorú. For és egyenlőtlenségünk teljesül, mivel mindkét része egyenlő nullával.

Ezek a pontok intervallumokra bontják a tengelyt.

Határozzuk meg a tört-racionális függvény előjelét az egyenlőtlenségünk bal oldalán ezen intervallumok mindegyikén. Emlékezzünk arra, hogy egy tört racionális függvény csak azokon a pontokon változtathat előjelet, ahol egyenlő nullával vagy nem létezik. Ez azt jelenti, hogy a számláló vagy a nevező eltűnésének pontjai közötti intervallumokban az egyenlőtlenség bal oldalán lévő kifejezés előjele állandó lesz - vagy "plusz" vagy "mínusz".

Ezért a függvény előjelének meghatározásához minden ilyen intervallumon bármely, ehhez az intervallumhoz tartozó pontot veszünk. Azt, amelyik megfelel nekünk.
. Vegyük például, és ellenőrizzük a kifejezés előjelét az egyenlőtlenség bal oldalán. A „zárójelek” mindegyike negatív. A bal oldalon van egy tábla.

Következő intervallum: . Ellenőrizzük a jelzést. Ezt értjük bal oldal jelet változtatott erre: .

Vessünk . Ha a kifejezés pozitív - tehát pozitív a teljes intervallumon -tól -ig.

A esetén az egyenlőtlenség bal oldala negatív.

És végül class="tex" alt="(!LANG:x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Megállapítottuk, hogy a kifejezés milyen intervallumokon pozitív. A válasz megírása hátra van:

Válasz: .

Figyelem: az intervallumokon a jelek váltakoznak. Ez azért történt, mert az egyes pontokon való áthaladáskor pontosan az egyik lineáris tényező változtatott előjelet, a többi pedig változatlan.

Látjuk, hogy az intervallum módszer nagyon egyszerű. A tört-racionális egyenlőtlenség intervallumok módszerével történő megoldásához a következő alakba hozzuk:

Vagy class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, vagy vagy .

(a bal oldalon - egy tört-racionális függvény, a jobb oldalon - nulla).

Ezután - megjelöljük a számegyenesen azokat a pontokat, ahol a számláló vagy a nevező eltűnik.
Ezek a pontok a teljes számegyenest intervallumokra osztják, amelyek mindegyikén a tört-racionális függvény megtartja előjelét.
Csak meg kell találni a jelét minden intervallumon.
Ezt úgy tehetjük meg, hogy az adott intervallumon belül bármely ponton ellenőrizzük a kifejezés előjelét. Ezt követően leírjuk a választ. Ez minden.

De felmerül a kérdés: mindig váltakoznak a jelek? Nem, nem mindig! Vigyáznunk kell, nehogy gépiesen és meggondolatlanul helyezzünk el táblákat.

2. Nézzünk egy másik egyenlőtlenséget.

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \left(x-3\right))>0"> !}

Ismét pontokat helyezünk el a tengelyen. A és pontok kiszúrtak, mert a nevező nullái. A pont is kilyukadt, mivel az egyenlőtlenség szigorú.

Ha a számláló pozitív, a nevezőben mindkét tényező negatív. Ezt könnyű ellenőrizni, ha egy adott intervallumból bármilyen számot veszünk, például . A bal oldalon a következő felirat látható:

Ha a számláló pozitív; a nevezőben az első tényező pozitív, a második tényező negatív. A bal oldalon a következő felirat látható:

Amikor ugyanaz a helyzet! A számláló pozitív, a nevező első tényezője pozitív, a második negatív. A bal oldalon a következő felirat látható:

Végül a class="tex" alt="(!LANG:x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Válasz: .

Miért szakadt meg a karakterek váltakozása? Mert a ponton való áthaladáskor a szorzó "felelős" érte jelet nem változtatott. Ebből következően az egyenlőtlenségünk teljes bal oldala sem változott előjelet.

Következtetés: ha a lineáris tényező páros hatványban van (például négyzetben), akkor egy ponton áthaladva a kifejezés bal oldali előjele nem változik. Páratlan fokozat esetén az előjel természetesen változik.

3. Nézzünk egy bonyolultabb esetet. Abban különbözik az előzőtől, hogy az egyenlőtlenség nem szigorú:

A bal oldal ugyanaz, mint az előző feladatnál. A jelek képe ugyanaz lesz:

Lehet, hogy a válasz ugyanaz lesz? Nem! A megoldás hozzáadódik Ennek az az oka, hogy -nél az egyenlőtlenség bal és jobb oldala nullával egyenlő - ezért ez a pont megoldás.

Válasz: .

A matematika vizsga problémája során gyakran találkozunk ezzel a helyzettel. Itt a jelentkezők csapdába esnek és pontokat veszítenek. Légy óvatos!

4. Mi van akkor, ha a számlálót vagy a nevezőt nem lehet lineáris tényezőkbe beleszámítani? Tekintsük ezt az egyenlőtlenséget:

A négyzetháromtag nem faktorizálható: a diszkrimináns negatív, nincsenek gyökök. De ez jó! Ez azt jelenti, hogy a kifejezés előjele mindenkinél ugyanaz, és kifejezetten pozitív. Erről bővebben a másodfokú függvény tulajdonságairól szóló cikkben olvashat.

És most egyenlőtlenségünk mindkét oldalát feloszthatjuk egy mindenki számára pozitív értékkel. Egyenértékű egyenlőtlenséghez jutunk:

Ami könnyen megoldható az intervallum módszerrel.

Figyelem – az egyenlőtlenség mindkét oldalát elosztottuk az értékkel, amiről biztosan tudtuk, hogy pozitív. Természetesen általános esetben nem szabad egy egyenlőtlenséget szorozni vagy osztani ismeretlen előjelű változóval.

5 . Vegyünk egy másik, meglehetősen egyszerűnek tűnő egyenlőtlenséget:

Tehát meg akarom szorozni -val. De mi már okosak vagyunk, és nem fogjuk ezt megtenni. Végül is lehet pozitív és negatív is. És tudjuk, hogy ha az egyenlőtlenség mindkét részét megszorozzuk egy negatív értékkel, akkor az egyenlőtlenség előjele megváltozik.

Másként fogunk cselekedni - mindent egy részbe gyűjtünk, és közös nevezőre hozzuk. A nulla a jobb oldalon marad:

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

És ezt követően - alkalmazható intervallum módszer.

Először is néhány dalszöveg, hogy átérezzük a problémát, amit az intervallum módszer megold. Tegyük fel, hogy meg kell oldanunk a következő egyenlőtlenséget:

(x − 5)(x + 3) > 0

Mik a lehetőségek? Az első dolog, ami a legtöbb diáknak eszébe jut, az a szabályok: "pluszszer plusz pluszt tesz" és "mínuszszor mínusz pluszt tesz". Ezért elegendő azt az esetet figyelembe venni, amikor mindkét zárójel pozitív: x − 5 > 0 és x + 3 > 0. Ekkor azt az esetet is figyelembe vesszük, amikor mindkét zárójel negatív: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

A haladóbb tanulók emlékezni fognak (talán), hogy a bal oldalon az másodfokú függvény, melynek gráfja egy parabola. Ezenkívül ez a parabola az x = 5 és x = −3 pontokban metszi az OX tengelyt. A további munkához ki kell nyitnia a zárójeleket. Nekünk van:

x 2 - 2x - 15 > 0

Most már világos, hogy a parabola ágai felfelé irányulnak, mert együttható a = 1 > 0. Próbáljuk meg rajzolni ennek a parabolának a diagramját:

A függvény nagyobb nullánál, ahol az OX tengely felett halad. Esetünkben ezek a (−∞ −3) és (5; +∞) intervallumok – ez a válasz.

Felhívjuk figyelmét, hogy a kép pontosan mutatja funkciódiagram, nem a menetrendje. Mert egy igazi grafikonhoz koordinátákat, eltolásokat és egyéb baromságokat kell számolni, amire most semmi szükségünk.

Miért hatástalanok ezek a módszerek?

Tehát ugyanannak az egyenlőtlenségnek két megoldását vettük figyelembe. Mindkettő nagyon nehézkesnek bizonyult. Megszületik az első döntés – gondolj csak bele! egyenlőtlenségek rendszereinek összessége. A második megoldás szintén nem túl egyszerű: emlékeznie kell a parabola-gráfra és egy csomó egyéb apró tényre.

Ez egy nagyon egyszerű egyenlőtlenség volt. Csak 2 szorzója van. Most képzeljük el, hogy nem 2 szorzó lesz, hanem legalább 4. Például:

(x - 7) (x - 1) (x + 4) (x + 9)< 0

Hogyan lehet megoldani ezt az egyenlőtlenséget? Végignézi az előnyök és hátrányok összes lehetséges kombinációját? Igen, hamarabb elalszunk, mint ahogy megoldást találunk. Grafikon rajzolása szintén nem lehetséges, mivel nem világos, hogy egy ilyen függvény hogyan viselkedik a koordinátasíkon.

Az ilyen egyenlőtlenségekhez speciális megoldási algoritmusra van szükség, amelyet ma megvizsgálunk.

Mi az intervallum módszer

Az intervallum módszer egy speciális algoritmus, amelyet a megoldásra terveztek összetett egyenlőtlenségek f(x) > 0 és f(x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

Oldjuk meg az f (x) \u003d 0 egyenletet. Így az egyenlőtlenség helyett egy sokkal könnyebben megoldható egyenletet kapunk;
Jelölje meg az összes kapott gyökeret a koordináta egyenesen. Így az egyenes több intervallumra lesz felosztva;
Keresse meg az f (x) függvény előjelét (plusz vagy mínusz) a jobb szélső intervallumon. Ehhez elegendő behelyettesíteni f (x)-be tetszőleges számot, amely az összes megjelölt gyöktől jobbra lesz;
Jelölje meg a jeleket a többi intervallumon. Ehhez elég megjegyezni, hogy az egyes gyökereken áthaladva a jel megváltozik.

Ez minden! Ezután már csak ki kell írni a minket érdeklő intervallumokat. „+” jellel vannak jelölve, ha az egyenlőtlenség f (x) > 0 alakú volt, vagy „−” jellel, ha az egyenlőtlenség f (x) alakú volt.< 0.

Első pillantásra úgy tűnhet, hogy az intervallum módszer valamiféle ón. De a gyakorlatban minden nagyon egyszerű lesz. Egy kis gyakorlásra van szükség – és minden világossá válik. Vessen egy pillantást a példákra, és nézze meg saját szemével:

Egy feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

(x - 2) (x + 7)< 0

Az intervallumok módszerén dolgozunk. 1. lépés: Cserélje ki az egyenlőtlenséget egy egyenlettel, és oldja meg:

(x - 2) (x + 7) = 0

A szorzat akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényező fennáll nulla:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Két gyökere van. Folytassák a 2. lépéssel: jelölje meg ezeket a gyökereket a koordinátavonalon. Nekünk van:

Most 3. lépés: megtaláljuk a függvény előjelét a jobb szélső intervallumon (az x = 2 megjelölt ponttól jobbra). Ehhez vegyen be egy tetszőleges számot több szám x = 2. Vegyük például, hogy x = 3 (de senki sem tiltja, hogy x = 4, x = 10 és még x = 10 000 is). Kapunk:

f(x) = (x − 2)(x + 7);
x=3;
f (3) = (3 - 2) (3 + 7) = 1 10 = 10;

Azt kapjuk, hogy f (3) = 10 > 0, tehát a jobb szélső intervallumba pluszjelet teszünk.

Átmegyünk az utolsó pontra - meg kell jegyezni a jeleket a fennmaradó intervallumokon. Ne feledje, hogy minden gyökéren áthaladva a jelnek meg kell változnia. Például az x = 2 gyöktől jobbra van egy plusz (erről az előző lépésben meggyőződtünk), tehát a bal oldalon mínusznak kell lennie.

Ez a mínusz a teljes intervallumra (−7; 2) kiterjed, tehát az x = −7 gyöktől jobbra van egy mínusz. Ezért van egy plusz az x = −7 gyöktől balra. Továbbra is meg kell jelölni ezeket a jeleket a koordinátatengelyen. Nekünk van:

Térjünk vissza az eredeti egyenlőtlenséghez, ami így nézett ki:

(x - 2) (x + 7)< 0

Tehát a függvénynek kell lennie nullánál kisebb. Ez azt jelenti, hogy a mínuszjelre vagyunk kíváncsiak, amely csak egy intervallumon fordul elő: (−7; 2). Ez lesz a válasz.

Egy feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

(x + 9) (x - 3) (1 - x )< 0

1. lépés: Egyenlítse a bal oldalt nullával:

(x + 9) (x - 3) (1 - x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = -9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Ne feledje: a szorzat akkor nulla, ha legalább az egyik tényező nulla. Ezért jogunk van minden egyes zárójelet nullával egyenlővé tenni.

2. lépés: jelölje meg az összes gyökeret a koordinátavonalon:

3. lépés: keresse meg a jobb szélső rés jelét. Tetszőleges számot veszünk, amely nagyobb, mint x = 1. Például vehetünk x = 10-et.

f (x) \u003d (x + 9) (x - 3) (1 - x);
x=10;
f (10) = (10 + 9) (10 - 3) (1 - 10) = 19 7 (-9) = - 1197;
f(10) = -1197< 0.

4. lépés: Helyezze el a többi táblát. Ne feledje, hogy minden gyökéren áthaladva a jel megváltozik. Ennek eredményeként a képünk így fog kinézni:

Ez minden. Már csak a választ kell megírni. Vessen egy pillantást az eredeti egyenlőtlenségre:

(x + 9) (x - 3) (1 - x )< 0

Ez egy f(x) alakú egyenlőtlenség< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Ez a válasz.

Megjegyzés a függvényjelekről

A gyakorlat azt mutatja, hogy az intervallum-módszer legnagyobb nehézségei az utolsó két lépésnél jelentkeznek, pl. táblák elhelyezésekor. Sok diák kezd összezavarodni: milyen számokat vegyen, és hova tegyen táblákat.

Az intervallummódszer megértéséhez vegye figyelembe két megjegyzést, amelyekre épül:

A folytonos függvény csak a pontokban vált előjelet ahol egyenlő nullával. Az ilyen pontok darabokra bontják a koordináta tengelyt, amelyen belül a függvény előjele soha nem változik. Ezért oldjuk meg az f (x) \u003d 0 egyenletet, és jelöljük a talált gyökereket egy egyenesen. A talált számok a "határ" pontok, amelyek elválasztják a pluszokat a mínuszoktól.
Ahhoz, hogy megtudjuk egy függvény előjelét bármely intervallumon, elegendő ebből az intervallumból bármely számot behelyettesíteni a függvénybe. Például a (−5; 6) intervallumhoz vehetünk x = −4, x = 0, x = 4 és még x = 1,29374 értéket is, ha akarjuk. Miért fontos? Igen, mert sok diákban kezdenek rágni kételyeit. Például mi van akkor, ha x = −4 esetén pluszt, x = 0 esetén mínuszt kapunk? Soha semmi ilyesmi nem fog megtörténni. Ugyanabban az intervallumban minden pont ugyanazt az előjelet adja. Emlékezz erre.

Ennyit kell tudni az intervallum módszerről. Természetesen a legtöbbet szétszedtük egyszerű változat. Vannak összetettebb egyenlőtlenségek – nem szigorúak, töredékesek és ismétlődő gyökerűek. Náluk is lehet alkalmazni az intervallum módszert, de ez egy külön nagy leckének a témája.

Most egy fejlett trükköt szeretnék elemezni, amely drasztikusan leegyszerűsíti az intervallum módszert. Pontosabban, az egyszerűsítés csak a harmadik lépést érinti - a vonal jobb szélső részén lévő előjel kiszámítását. Valamiért ezt a technikát nem tartják be az iskolákban (legalábbis nekem nem magyarázta el senki). De hiába - valójában ez az algoritmus nagyon egyszerű.

Tehát a függvény előjele a numerikus tengely jobb oldalán van. Ennek a darabnak az alakja (a; +∞), ahol a az f (x) = 0 egyenlet legnagyobb gyöke. Annak érdekében, hogy ne robbantsa fel az agyunkat, vegyünk egy konkrét példát:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f (x) \u003d (x - 1) (2 + x) (7 - x);
(x − 1)(2 + x )(7 − x ) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

3 gyökerünk van. Növekvő sorrendben soroljuk fel őket: x = −2, x = 1 és x = 7. Nyilvánvalóan a legnagyobb gyök x = 7.

Akinek könnyebb a grafikus érvelés, azoknak a koordinátavonalon jelölöm meg ezeket a gyökereket. Nézzük mi történik:

Meg kell találni az f (x) függvény előjelét a jobb szélső intervallumon, azaz. be (7; +∞). De amint már megjegyeztük, az előjel meghatározásához bármilyen számot vehet ebből az intervallumból. Például vehet x = 8, x = 150 stb. És most - ugyanaz a technika, amelyet az iskolákban nem tanítanak: vegyük a végtelent számnak. Pontosabban, plusz a végtelen, azaz +∞.

"Meg vagy kövezve? Hogyan lehet behelyettesíteni a végtelent függvénybe? talán, kérdezed. De gondoljunk csak bele: nem magának a függvénynek az értéke kell, csak az előjel. Ezért például az f (x) = −1 és f (x) = −938 740 576 215 értékek ugyanazt jelentik: a függvény negatív ezen az intervallumon. Ezért csak a végtelenben előforduló előjelet kell megkeresned, nem pedig a függvény értékét.

Valójában a végtelen helyettesítése nagyon egyszerű. Térjünk vissza a funkciónkhoz:

f(x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

Képzeld el, hogy x nagyon nagy szám. Egymilliárd vagy akár egy billió. Most lássuk, mi történik az egyes zárójelekben.

Első zárójel: (x − 1). Mi történik, ha egy milliárdból kivonsz egyet? Az eredmény egy olyan szám lesz, amely nem sokban különbözik a milliárdtól, és ez a szám pozitív lesz. Hasonlóan a második zárójellel: (2 + x). Ha kettőhöz hozzáadunk egy milliárdot, egy milliárdot kapunk kopejkákkal – ez egy pozitív szám. Végül a harmadik zárójel: (7 − x ). Itt lesz mínusz milliárd, amiből „lerágott” egy nyomorult darabot hetes formájában. Azok. a kapott szám nem sokban tér el mínusz milliárdtól – negatív lesz.

Már csak az egész mű jelét kell megtalálni. Mivel az első zárójelben egy plusz, az utolsó zárójelben egy mínusz volt, a következő konstrukciót kapjuk:

(+) · (+) · (−) = (−)

A végső jel mínusz! Nem mindegy, hogy magának a függvénynek mekkora az értéke. A lényeg, hogy ez az érték negatív, pl. a jobb szélső intervallumon mínusz jel található. Marad az intervallummódszer negyedik lépésének befejezése: rendezze el az összes jelet. Nekünk van:

Az eredeti egyenlőtlenség így nézett ki:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0

Ezért a mínuszjellel jelölt intervallumokra vagyunk kíváncsiak. Kiírjuk a választ:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

Ez az egész trükk, amit el akartam mondani. Összegezve, van még egy egyenlőtlenség, amelyet az intervallum módszerrel oldunk meg a végtelen használatával. A megoldás vizuális lerövidítése érdekében nem írok lépésszámokat és részletes megjegyzéseket. Csak azt írom le, amit a valós problémák megoldásához valóban meg kell írni:

Egy feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

x (2x + 8) (x - 3) > 0

Az egyenlőtlenséget egy egyenlettel helyettesítjük, és megoldjuk:

x (2x + 8) (x - 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = -4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Mindhárom gyökeret megjelöljük a koordinátavonalon (azonnal jelekkel):

A koordinátatengely jobb oldalán van egy plusz, mert a függvény így néz ki:

f(x) = x(2x + 8)(x − 3)

És ha behelyettesítjük a végtelent (például egy milliárdot), akkor három pozitív zárójelet kapunk. Mivel az eredeti kifejezésnek nagyobbnak kell lennie nullánál, minket csak a pluszok érdekelnek. A válasz megírása hátra van:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

És ma már nem mindenki tudja megoldani a racionális egyenlőtlenségeket. Pontosabban nem csak mindenki dönthet. Kevesen tudják megtenni.
Klitschko

Ez a lecke kemény lesz. Olyan kemény, hogy csak a Kiválasztottak érik el a végét. Ezért olvasás előtt azt javaslom, hogy távolítsa el a nőket, macskákat, terhes gyermekeket és ...

Oké, valójában nagyon egyszerű. Tegyük fel, hogy elsajátította az intervallum módszert (ha még nem sajátította el, javaslom, hogy menjen vissza és olvassa el), és megtanulta, hogyan kell megoldani a $P\left(x \right) \gt 0$ alakú egyenlőtlenségeket, ahol $P A \left(x \right)$ valamilyen polinom vagy polinomok szorzata.

Úgy gondolom, hogy nem lesz nehéz megoldani például egy ilyen játékot (egyébként próbálja ki bemelegítésképpen):

\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

Most bonyolítjuk egy kicsit a feladatot, és ne csak a polinomokat vegyük figyelembe, hanem az űrlap úgynevezett racionális törteit:

ahol $P\left(x \right)$ és $Q\left(x \right)$ ugyanazok a $((a)_(n))((x)^(n))+( ( a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, vagy az ilyen polinomok szorzata.

Ez racionális egyenlőtlenség lesz. Az alapvető szempont a $x$ változó jelenléte a nevezőben. Például itt vannak racionális egyenlőtlenségek:

\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \right))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\ \end(igazítás)\]

És ez nem egy racionális, hanem a leggyakoribb egyenlőtlenség, amelyet az intervallum módszerrel oldanak meg:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Előretekintve rögtön azt mondom: a racionális egyenlőtlenségek megoldásának legalább két módja van, de mindegyik ilyen vagy olyan módon redukálódik az általunk már ismert intervallum-módszerre. Ezért mielőtt ezeket a módszereket elemeznénk, idézzük fel a régi tényeket, különben nem lesz értelme az új anyagnak.

Amit már tudnod kell

Nem sok fontos tény van. Tényleg csak négyre van szükségünk.

Rövidített szorzóképletek

Igen, igen: végig követnek minket iskolai tananyag matematika. És az egyetemen is. Sok ilyen képlet létezik, de csak a következőkre van szükségünk:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2))\jobbra); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\jobbra). \\ \end(igazítás)\]

Ügyeljen az utolsó két képletre - ez a kockák összege és különbsége (és nem az összeg vagy a különbség kockája!). Könnyen megjegyezhető, ha észreveszi, hogy az első zárójelben lévő jel megegyezik az eredeti kifejezésben szereplő jellel, a második zárójelben pedig az eredeti kifejezésben szereplő jellel ellentétes.

Lineáris egyenletek

Ezek a legtöbbek egyszerű egyenletek$ax+b=0$ alakú, ahol $a$ és $b$ közönséges számok, és $a\ne 0$. Ez az egyenlet könnyen megoldható:

\[\begin(align) & ax+b=0; \\ &ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \end(igazítás)\]

Megjegyzem, jogunk van osztani az $a$ együtthatóval, mert $a\ne 0$. Ez a követelmény teljesen logikus, mivel $a=0$-val ezt kapjuk:

Először is, ebben az egyenletben nincs $x$ változó. Ennek általánosságban nem szabad megzavarnia minket (ez mondjuk a geometriában előfordul, és elég gyakran), de mégsem vagyunk többé lineáris egyenlet.

Másodszor, ennek az egyenletnek a megoldása kizárólag a $b$ együtthatótól függ. Ha $b$ is nulla, akkor az egyenletünk $0=0$. Ez az egyenlőség mindig igaz; ezért az $x$ tetszőleges szám (általában $x\-ként írják a \mathbb(R)$-ban). Ha a $b$ együttható nem egyenlő nullával, akkor a $b=0$ egyenlőség soha nem teljesül, azaz. nincs válasz (írta $x\in \varnothing $ és olvassa el, hogy "a megoldáskészlet üres").

Mindezen bonyolultságok elkerülése érdekében egyszerűen feltételezzük az $a\ne 0$-t, ami semmilyen módon nem korlátoz bennünket a további gondolkodásban.

Másodfokú egyenletek

Hadd emlékeztesselek arra, hogy ezt másodfokú egyenletnek nevezik:

Itt a bal oldalon egy másodfokú polinom, és ismét $a\ne 0$ (egyébként a másodfokú egyenlet helyett egy lineárist kapunk). A következő egyenleteket a diszkrimináns segítségével oldjuk meg:

Ha $D \gt 0$, akkor két különböző gyökeret kapunk;
Ha $D=0$, akkor a gyök egy lesz, de a második multiplicitásé (milyen multiplicitás ez és hogyan kell figyelembe venni - erről később). Vagy azt is mondhatjuk, hogy az egyenletnek két azonos gyöke van;
$D \lt 0$ esetén egyáltalán nincsenek gyökök, és a $a((x)^(2))+bx+c$ polinom előjele bármely $x$ esetén egybeesik az $a együttható előjelével. $. Ez egyébként nagyon hasznos tény, amiről valamiért elfelejtenek beszélni az algebra órákon.

Magukat a gyökereket a jól ismert képlet szerint számítják ki:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Innen egyébként a diszkriminatív korlátozások. Végül Négyzetgyök tól től negatív szám nem létezik. Ami a gyökereket illeti, sok diáknak iszonyatos rendetlenség van a fejében, ezért speciálisan felvettem egy egész leckét: mi a gyökér az algebrában és hogyan kell kiszámítani - nagyon ajánlom elolvasni. :)

Műveletek racionális törtekkel

Mindent, amit fent írtak, már tudja, ha tanulmányozta az intervallumok módszerét. De annak, amit most elemezni fogunk, a múltban nem voltak analógjai – ez teljesen új tény.

Meghatározás. A racionális tört a forma kifejezése

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\]

ahol a $P\left(x \right)$ és a $Q\left(x \right)$ polinomok.

Nyilvánvaló, hogy egy ilyen törtből könnyű egyenlőtlenséget szerezni - elég csak a „nagyobb, mint” vagy a „kisebb, mint” jelet a jobb oldalra rendelni. És egy kicsit tovább fogjuk látni, hogy az ilyen problémák megoldása öröm, ott minden nagyon egyszerű.

A problémák akkor kezdődnek, ha egy kifejezésben több ilyen tört van. Ezeket közös nevezőre kell redukálni – és ez ebben a pillanatban megengedett nagyszámú kínos hibákat.

Ezért a sikeres megoldás érdekében racionális egyenletek Két készséget kell szilárdan elsajátítani:

A $P\left(x \right)$ polinom faktorizálása;
Tulajdonképpen a törtek közös nevezőre hozása.

Hogyan lehet faktorizálni egy polinomot? Nagyon egyszerű. Legyen az alak polinomja

Tegyük egyenlővé a nullával. Megkapjuk a $n$-edik fokú egyenletet:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Tegyük fel, hogy megoldottuk ezt az egyenletet, és megkaptuk a $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ gyököket (ne aggódj: a legtöbb esetben nem lesz kettőnél több ilyen gyökér). Ebben az esetben az eredeti polinom a következőképpen írható át:

\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x) )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x) -((x)_(1)) \jobbra)\cdot \left(x-((x)_(2)) \jobbra)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \jobbra) \end(igazítás)\]

Ez minden! Figyelem: a $((a)_(n))$ vezető együttható nem tűnt el sehol - külön tényező lesz a zárójelek előtt, és ha szükséges, bármelyik zárójelbe beilleszthető (a gyakorlat azt mutatja hogy $((a)_ (n))\ne \pm 1$ esetén a gyökök között szinte mindig vannak törtek.

Egy feladat. Egyszerűsítse a kifejezést:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Megoldás. Először is nézzük meg a nevezőket: ezek mind lineáris binomiálisok, és itt nincs mit faktorizálni. Tényezőzzük tehát a számlálókat:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \right)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3\jobb)\bal(x-1\jobb); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\left(x+2 \right)\left(x-\frac(2)(5) \right)=\left(x) +2 \jobbra)\balra(2-5x \jobbra). \\\vége(igazítás)\]

Kérjük, vegye figyelembe: a második polinomban a "2" szenior együttható, teljesen összhangban a sémánkkal, először a zárójel előtt jelent meg, majd az első zárójelbe került, mivel ott egy tört került ki.

Ugyanez történt a harmadik polinomban is, csak ott a kifejezések sorrendje is zavaros. A „−5” együttható azonban végül a második zárójelbe került (ne feledjük: egy tényezőt csak egy zárójelbe írhatunk be!), ami megkímélt minket a törtgyökökkel járó kellemetlenségektől.

Ami az első polinomot illeti, ott minden egyszerű: gyökereit vagy a standard módon a diszkriminánson keresztül, vagy a Vieta-tétel segítségével keressük.

Térjünk vissza az eredeti kifejezéshez, és írjuk át faktorokra bontott számlálókkal:

\[\begin(mátrix) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \jobbra))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\left(x+5) \jobbra)-\bal(x-1 \jobbra)-\balra(2-5x \jobbra)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(mátrix)\]

Válasz: $5x+4$.

Mint látható, semmi bonyolult. Egy kis 7-8 osztályos matek és ennyi. Minden átalakítás lényege, hogy egy összetett és félelmetes kifejezést valami egyszerűvé és könnyen használhatóvá alakítsunk.

Ez azonban nem mindig lesz így. Tehát most egy komolyabb problémát fogunk megvizsgálni.

De először találjuk ki, hogyan hozhatunk két törtet közös nevezőre. Az algoritmus rendkívül egyszerű:

Mindkét nevezőt faktorizálja;
Tekintsük az első nevezőt, és adjuk hozzá a második nevezőben szereplő tényezőket, de az elsőben nem. Az eredményül kapott szorzat lesz a közös nevező;
Nézze meg, milyen tényezők hiányoznak az egyes eredeti törtekből ahhoz, hogy a nevezők egyenlőek legyenek a közössel.

Talán ez az algoritmus csak egy szövegnek tűnik, amelyben „sok betű” van. Tehát nézzünk egy konkrét példát.

Egy feladat. Egyszerűsítse a kifejezést:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

Megoldás. Az ilyen terjedelmes feladatokat legjobban részekben lehet megoldani. Írjuk ki, mi van az első zárójelben:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Az előző problémával ellentétben itt a nevezők nem olyan egyszerűek. Tényezőzzük mindegyiket.

A $((x)^(2))+2x+4$ négyzetháromtag nem faktorizálható, mert a $((x)^(2))+2x+4=0$ egyenletnek nincs gyöke (a diszkrimináns negatív) . Változatlanul hagyjuk.

A második nevező, a $((x)^(3))-8$ köbös polinom, közelebbről megvizsgálva, a kockák különbsége, és könnyen felbontható a rövidített szorzási képletekkel:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\bal(x-2 \jobb)\bal(((x) ^(2))+2x+4 \jobbra)\]

Semmi más nem számítható, hiszen az első zárójelben egy lineáris binomiális található, a másodikban pedig egy már ismert konstrukció, aminek nincs valódi gyökere.

Végül a harmadik nevező egy lineáris binomiális, amely nem bontható fel. Így az egyenletünk a következő formában lesz:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\bal (((x)^(2))+2x+4 \jobbra))-\frac(1)(x-2)\]

Teljesen nyilvánvaló, hogy $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ lesz a közös nevező, és hogy minden törtet erre csökkentsünk, meg kell szorozni az első törtet $\left(x-2 \right)$-ra, az utolsót pedig $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$-ra. Ezután már csak a következőket kell hozni:

\[\begin(mátrix) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ jobb))+\frac(((x)^(2))+8)(\bal(x-2 \jobbra)\bal(((x)^(2))+2x+4 \jobbra))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \jobbra))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \jobbra))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \jobbra)-\balra(((x) )^(2))+2x+4 \jobbra))(\bal(x-2 \jobbra)\bal(((x)^(2))+2x+4 \jobbra))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\bal (((x)^(2))+2x+4 \jobbra))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ balra(((x)^(2))+2x+4 \jobbra)). \\ \end(mátrix)\]

Figyeljünk a második sorra: amikor a nevező már közös, i.e. három külön tört helyett egy nagyot írtunk, nem szabad azonnal megszabadulni a zárójelektől. Jobb, ha írunk egy extra sort, és jegyezzük meg, hogy mondjuk a harmadik tört előtt mínusz volt - és nem megy sehova, hanem a zárójel előtti számlálóban „lóg”. Ezzel sok hibától kímélheti meg magát.

Nos, az utolsó sorban érdemes a számlálót tizedelni. Ráadásul ez egy pontos négyzet, és a rövidített szorzóképletek ismét a segítségünkre vannak. Nekünk van:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \jobbra))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \jobb) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Most ugyanígy foglalkozzunk a második zárójellel. Itt egyszerűen leírom az egyenlőségek láncát:

\[\begin(mátrix) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2) \jobbra)\left(x+2 \jobbra))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) ). \\ \end(mátrix)\]

Visszatérünk az eredeti problémához, és megnézzük a terméket:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \jobbra)\left(x+2 \jobbra))=\frac(1)(x+2)\]

Válasz: \[\frac(1)(x+2)\].

Ennek a feladatnak ugyanaz a jelentése, mint az előzőnek: megmutatni, mennyire leegyszerűsíthetők a racionális kifejezések, ha bölcsen közelítjük meg az átalakításukat.

És most, ha mindezt tudod, térjünk át a mai óra fő témájára - a töredékes racionális egyenlőtlenségek megoldására. Ráadásul egy ilyen előkészítés után maguk az egyenlőtlenségek is csattannak majd, mint a dió. :)

A racionális egyenlőtlenségek megoldásának fő módja

A racionális egyenlőtlenségek megoldásának legalább két megközelítése létezik. Most megvizsgáljuk az egyiket - azt, amely általánosan elfogadott az iskolai matematika tanfolyamon.

De először jegyezzük meg fontos részlet. Minden egyenlőtlenség két típusra oszlik:

Szigorú: $f\left(x \right) \gt 0$ vagy $f\left(x \right) \lt 0$;
Nem szigorú: $f\left(x \right)\ge 0$ vagy $f\left(x \right)\le 0$.

A második típusú egyenlőtlenségek könnyen redukálhatók az elsőre, valamint az egyenlet:

Ez a kis "kiegészítés" $f\left(x \right)=0$ olyan kellemetlen dologhoz vezet, mint a kitöltött pontok – az intervallum metódusban találkoztunk velük. Egyébként nincs különbség a szigorú és a nem szigorú egyenlőtlenségek között, ezért elemezzük az univerzális algoritmust:

Gyűjtsd össze az egyenlőtlenségjel egyik oldalán az összes nullától eltérő elemet. Például a bal oldalon;

Az összes törtet hozzuk közös nevezőre (ha több ilyen tört van), hozzon hasonlókat. Ezután, ha lehetséges, faktorizálja a számlálót és a nevezőt. Így vagy úgy, egy $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$ alakú egyenlőtlenséget kapunk, ahol a pipa az egyenlőtlenség jele.

Egyenlítse a számlálót nullával: $P\left(x \right)=0$. Megoldjuk ezt az egyenletet, és megkapjuk a $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... gyököket. hogy a nevező nem egyenlő nullával: $Q\left(x \right)\ne 0$. Természetesen lényegében meg kell oldanunk a $Q\left(x \right)=0$ egyenletet, és megkapjuk a $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*) gyököket. $, $x_(3 )^(*)$, ... (valós feladatokban aligha lesz háromnál több ilyen gyök).

Mindezeket a gyökereket (csillaggal és csillag nélkül is) egyetlen számegyenesen jelöljük, és a csillag nélküli gyökereket átfestjük, a csillaggal ellátottakat pedig kilyukasztjuk.

Elhelyezzük a plusz és mínusz jeleket, kiválasztjuk a szükséges intervallumokat. Ha az egyenlőtlenség alakja $f\left(x \right) \gt 0$, akkor a válasz a "plusszal" jelölt intervallumok lesz. Ha $f\left(x \right) \lt 0$, akkor az intervallumokat "mínuszokkal" nézzük.

A gyakorlat azt mutatja, hogy a 2. és 4. pont okozza a legnagyobb nehézséget - az illetékes transzformációk és a számok helyes elrendezése növekvő sorrendben. Nos, az utolsó lépésnél légy nagyon óvatos: mindig az alapján helyezzük el a táblákat az utolsó egyenlőtlenség, amelyet az egyenletekre való továbblépés előtt írtunk. azt egyetemes szabály, az intervallum módszerből örökölt.

Tehát van egy séma. Gyakoroljunk.

Egy feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Megoldás. Van egy szigorú egyenlőtlenségünk: $f\left(x \right) \lt 0$. Nyilvánvalóan a sémánk 1. és 2. pontja már elkészült: az egyenlőtlenség összes elemét a bal oldalon összegyűjtöttük, semmit sem kell közös nevezőre redukálni. Térjünk tehát át a harmadik pontra.

Állítsa a számlálót nullára:

\[\begin(align) & x-3=0; \\ &x=3. \end(igazítás)\]

És a nevező:

\[\begin(align) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end(igazítás)\]

Ezen a helyen sokan elakadnak, mert elméletileg $x+7\ne 0$-t kell felírni, ahogy az ODZ előírja (nullával nem lehet osztani, ennyi). De végül is a jövőben kiszúrjuk a nevezőből származó pontokat, tehát ne bonyolítsa le még egyszer a számításait - írjon mindenhová egyenlőségjelet, és ne aggódjon. Ezért senki nem von le pontot. :)

Negyedik pont. A kapott gyökereket a számegyenesen jelöljük:
Minden pont ki van szúrva, mert az egyenlőtlenség szigorú
Jegyzet: minden pont ki van szúrva, mert az eredeti egyenlőtlenség szigorú. És itt már mindegy: ezek a pontok a számlálóból vagy a nevezőből származtak.

Nos, nézd a jeleket. Vegyünk bármilyen számot $((x)_(0)) \gt 3$. Például $((x)_(0))=100$ (de ugyanilyen jól jöhetett volna $((x)_(0))=3.1$ vagy $((x)_(0)) = 1\000\000$). Kapunk:

Tehát az összes gyökértől jobbra van egy pozitív terület. És minden gyökéren áthaladva a jel megváltozik (ez nem mindig lesz így, de erről később). Ezért továbblépünk az ötödik pontra: elhelyezzük a táblákat, és kiválasztjuk a megfelelőt:

Visszatérünk az utolsó egyenlőtlenséghez, amely az egyenletek megoldása előtt volt. Tulajdonképpen egybeesik az eredetivel, mert ebben a feladatban semmilyen átalakítást nem végeztünk.

Mivel egy $f\left(x \right) \lt 0$ alakú egyenlőtlenséget kell megoldani, ezért a $x\in \left(-7;3 \right)$ intervallumot árnyékoltam - ez az egyetlen mínuszjellel jelölve. Ez a válasz.

Válasz: $x\in \left(-7;3 \right)$

Ez minden! Ez bonyolult? Nem, nem nehéz. Valóban, könnyű feladat volt. Most bonyolítsuk egy kicsit a küldetést, és vegyünk egy „divatosabb” egyenlőtlenséget. Megoldásánál már nem adok ilyen részletes számításokat - egyszerűen jelzem Főbb pontok. Általában úgy fogjuk elrendezni, ahogyan elrendeznénk önálló munkavégzés vagy vizsga. :)

Egy feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

\[\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

Megoldás. Ez egy $f\left(x \right)\ge 0$ alakú nem szigorú egyenlőtlenség. Az összes nullától eltérő elemet a bal oldalon gyűjtjük össze, különböző nevezők nem. Térjünk át az egyenletekre.

Számláló:

\[\begin(align) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Jobbra ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Jobbra ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(igazítás)\]

Névadó:

\[\begin(align) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(igazítás)\]

Nem tudom, milyen perverz alkotta ezt a problémát, de a gyökerek nem jöttek ki jól: nehéz lesz számegyenesen rendezni őket. És ha minden többé-kevésbé egyértelmű a $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ gyökérrel (ez az egyetlen pozitív szám - ez lesz a jobb oldalon), akkor $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ és $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ további tanulmányozást igényel: melyik nagyobb?

Ezt megtudhatod például:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2 ))\]

Remélem, nem kell magyarázni, hogy miért a $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? Ha szükséges, azt javaslom, hogy emlékezzen a törtekkel végzett műveletek végrehajtására.

És a számegyenesen megjelöljük mindhárom gyökeret:
A számlálóból a pontokat árnyékoljuk, a nevezőből kivágjuk
Jeleket helyeztünk ki. Például veheti a $((x)_(0))=1$-t, és ezen a ponton találja meg a jelet:

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]

Az egyenletek előtti utolsó egyenlőtlenség $f\left(x \right)\ge 0$ volt, ezért minket a pluszjel érdekel.

Két halmazt kaptunk: az egyik egy közönséges szakasz, a másik pedig egy nyitott sugár a számegyenesen.

Válasz: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Fontos megjegyzés azokkal a számokkal kapcsolatban, amelyeket helyettesítünk, hogy megtudjuk a jobb szélső intervallum előjelét. Nem szükséges a jobb szélső gyökérhez közeli számot helyettesíteni. Vegyünk milliárdokat vagy akár „plusz végtelent” – ebben az esetben a zárójelben, a számlálóban vagy a nevezőben lévő polinom előjelét kizárólag a vezető együttható előjele határozza meg.

Nézzük meg még egyszer a $f\left(x \right)$ függvényt az utolsó egyenlőtlenségből:

Három polinomot tartalmaz:

\[\begin(align) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\left(x \right)=11x+2; \\ & Q\left(x\right)=13x-4. \end(igazítás)\]

Mindegyik lineáris binomiális, és mindegyik pozitív együtthatóval rendelkezik (7, 11 és 13). Ezért nagyon nagy számok helyettesítésekor maguk a polinomok is pozitívak lesznek. :)

Ez a szabály túl bonyolultnak tűnhet, de csak elsőre, amikor nagyon könnyű feladatokat elemezünk. Súlyos egyenlőtlenségek esetén a "plusz-végtelen" helyettesítés lehetővé teszi, hogy sokkal gyorsabban kitaláljuk az előjeleket, mint a standard $((x)_(0))=100$.

Hamarosan ilyen kihívásokkal kell szembenéznünk. De először nézzünk meg egy alternatív módszert a töredékes racionális egyenlőtlenségek megoldására.

Alternatív mód

Ezt a technikát az egyik tanítványom javasolta nekem. Jómagam soha nem használtam, de a gyakorlat azt mutatja, hogy sok diáknak valóban kényelmesebb így megoldani az egyenlőtlenségeket.

Tehát az eredeti adatok ugyanazok. Meg kell oldanunk egy töredékes racionális egyenlőtlenséget:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\]

Gondoljuk át: miért "rosszabb" a $Q\left(x \right)$ polinom, mint a $P\left(x \right)$ polinom? Miért kell külön gyökércsoportokat (csillaggal és csillag nélkül) tekinteni, lyukasztott pontokra gondolni stb.? Egyszerű: egy törtnek van egy definíciós tartománya, amely szerint a törtnek csak akkor van értelme, ha a nevezője eltér nullától.

Egyébként a számláló és a nevező között nincs különbség: nullához is egyenlővé tesszük, megkeressük a gyököket, majd bejelöljük a számegyenesen. Akkor miért nem cseréljük le a törtsávot (sőt, az osztásjelet) a szokásos szorzással, és írjuk le a DHS összes követelményét külön egyenlőtlenségként? Például így:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Kérjük, vegye figyelembe: ez a megközelítés lehetővé teszi, hogy a problémát az intervallumok módszerére redukálja, de ez egyáltalán nem bonyolítja a megoldást. Végül is a $Q\left(x \right)$ polinomot nullával egyenlővé tesszük.

Lássuk, hogyan működik ez a valós feladatoknál.

Egy feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Megoldás. Tehát menjünk tovább az intervallum módszerre:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\jobbra \left\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(igazítás) \jobbra.\]

Az első egyenlőtlenséget elemileg oldjuk meg. Csak állítsa minden zárójelet nullára:

\[\begin(align) & x+8=0\Jobbra ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Jobbra ((x)_(2))=11. \\ \end(igazítás)\]

A második egyenlőtlenséggel is minden egyszerű:

A valós egyenesen a $((x)_(1))$ és $((x)_(2))$ pontokat jelöljük. Mindegyik ki van lyukadva, mert az egyenlőtlenség szigorú:
A megfelelő pont kétszer is kilyukadt. Ez jó.
Ügyeljen a $x=11$ pontra. Kiderül, hogy „kétszer ki van vájva”: egyrészt az egyenlőtlenség súlyossága, másrészt az ODZ további követelménye miatt vájjuk ki.

Mindenesetre ez csak egy kilyukadt pont lesz. Ezért jeleket tettünk a $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ egyenlőtlenségre - az utolsó, amit az egyenletek megoldása előtt láttunk:

Érdekelnek minket a pozitív régiók, mivel egy $f\left(x \right) \gt 0$ alakú egyenlőtlenséget oldunk meg, és ezeket kiszínezzük. Már csak a választ le kell írni.

Válasz. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

Ezzel a megoldással példaként szeretném felhívni a figyelmet a kezdő diákok körében gyakori tévedésre. Mégpedig: az egyenlőtlenségekben soha ne nyiss zárójelet! Éppen ellenkezőleg, próbáljon meg mindent figyelembe venni - ez leegyszerűsíti a megoldást, és sok problémát megspórol.

Most próbáljunk meg valami nehezebbet.

Egy feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

Megoldás. Ez a $f\left(x \right)\le 0$ formátumú nem szigorú egyenlőtlenség, ezért itt gondosan figyelni kell a kitöltött pontokat.

Térjünk át az intervallum módszerre:

\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \end(igazítás) \jobbra.\]

Térjünk át az egyenletre:

\[\begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Jobbra ((x) )_(1))=6,5; \\ & 12x-9=0\Jobbra ((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Jobbra ((x)_(3))=-2,2. \\ \end(igazítás)\]

Figyelembe vesszük a további követelményt:

Az összes kapott gyökeret megjelöljük a számegyenesen:
Ha egy pontot egyszerre lyukasztanak ki és töltenek ki, az kilyukasztottnak minősül.
Ismét két pont "átfedi" egymást - ez normális, mindig így lesz. Csak azt fontos megérteni, hogy a kilyukasztottként és kitöltöttként is megjelölt pont valójában kilyukasztott pont. Azok. A "kimarás" erősebb cselekvés, mint az "átfestés".

Ez teljesen logikus, mert pontozással olyan pontokat jelölünk ki, amelyek befolyásolják a függvény előjelét, de maguk nem vesznek részt a válaszadásban. És ha egy ponton a szám már nem felel meg nekünk (például nem esik az ODZ-be), akkor a feladat végéig törljük a mérlegelésből.

Általában hagyd abba a filozofálást. A jeleket elrendezzük és a mínuszjellel jelölt intervallumokra festjük:

Válasz. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

És ismét fel akartam hívni a figyelmet erre az egyenletre:

\[\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0\]

Még egyszer: soha ne nyisson zárójelet az ilyen egyenletekben! Csak megnehezíted magad. Ne feledje: a szorzat akkor nulla, ha legalább az egyik tényező nulla. Következésképpen ez az egyenlet egyszerűen „szétbomlik” több kisebbre, amit az előző feladatban megoldottunk.

Figyelembe véve a gyökerek sokaságát

Az előző feladatokból jól látható, hogy éppen a nem szigorú egyenlőtlenségek a legnehezebbek, mert ezekben a betöltött pontokat kell követni.

De van egy még nagyobb rossz a világon – ezek az egyenlőtlenségek többszörös gyökerei. Itt már nem néhány kitöltött pontot kell követni - itt az egyenlőtlenség jele nem változhat hirtelen, amikor ugyanazon a pontokon halad át.

Ebben a leckében még nem foglalkoztunk ilyesmivel (bár az intervallum módszernél gyakran találkoztunk hasonló problémával). Tehát vezessünk be egy új definíciót:

Meghatározás. A $((\left(x-a \right))^(n))=0$ egyenlet gyöke egyenlő: $x=a$, és az $n$-edik multiplicitás gyökének nevezzük.

Valójában nem vagyunk különösebben érdekeltek pontos érték sokféleség. Csak az a fontos, hogy ez a $n$ szám páros vagy páratlan. Mert:

Ha $x=a$ páros multiplicitás gyöke, akkor a függvény előjele nem változik áthaladva;
És fordítva, ha $x=a$ a páratlan multiplicitás gyöke, akkor a függvény előjele megváltozik.

A páratlan multiplicitás gyökének speciális esete az összes előző probléma ebben a leckében: ott a multiplicitás mindenhol eggyel egyenlő.

És tovább. Mielőtt elkezdenénk a problémák megoldását, szeretném felhívni a figyelmet egy olyan finomságra, amely egy tapasztalt diák számára nyilvánvalónak tűnik, de sok kezdőt kábulatba kerget. Ugyanis:

A $n$ multiplicitásgyök csak akkor fordul elő, ha a teljes kifejezést erre a hatványra emeljük: $((\left(x-a \right))^(n))$, és nem $\left(((x)^( n) )-a\right)$.

Még egyszer: a $((\left(x-a \right))^(n))$ a $n$ multiplicitás $x=a$ gyökét adja, de a $\left(((x)^( n)) -a \right)$ vagy, ahogy ez gyakran megesik, az $(a-((x)^(n)))$ megadja nekünk az első multiplicitás gyökét (vagy két gyökét, ha $n$ páros) , nem számít, mi egyenlő $n$-val.

Összehasonlítás:

\[((\left(x-3 \right))^(5))=0\Jobbra x=3\bal(5k \jobbra)\]

Itt minden világos: az egész konzolt ötödik hatványra emeltük, így a kimeneten megkaptuk az ötödik fokozat gyökerét. És most:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Rightarrow ((x)^(2))=4\Rightarrow x=\pm 2\]

Két gyökérünk van, de mindkettőnél megvan az első multiplicitás. Vagy itt van egy másik:

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Rightarrow ((x)^(10))=1024\Rightarrow x=\pm 2\]

És ne zavarjon a tizedik fokozat. A lényeg, hogy a 10 páros szám, tehát két gyökünk van a kimeneten, és mindkettőnél ismét az első multiplicitás.

Általában legyen óvatos: a többszörösség csak akkor következik be a fokozat a teljes zárójelre vonatkozik, nem csak a változóra.

Egy feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))(((\left(x+7) \jobbra))^(5)))\ge 0\]

Megoldás. Próbáljuk meg megoldani egy alternatív módon – a konkrétról a termékre való átmeneten keresztül:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(igazítás )\jobb.\]

Az első egyenlőtlenséget az intervallum módszerrel kezeljük:

\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \jobbra)^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Jobbra x=0\left(2k \jobbra); \\ & ((\left(6-x \right))^(3))=0\Rightarrow x=6\left(3k \right); \\ & x+4=0\Jobbra x=-4; \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))=0\Jobbra x=-7\bal(5k \jobbra). \\ \end(igazítás)\]

Ezenkívül megoldjuk a második egyenlőtlenséget. Valójában már megoldottuk, de hogy a lektorok ne találjanak kivetnivalót a megoldásban, jobb, ha újra megoldjuk:

\[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\Jobbra x\ne -7\]

Vegyük észre, hogy az utolsó egyenlőtlenségben nincsenek multiplicitások. Valóban: mi a különbség, hogy a számegyenesen hányszor húzzuk át a $x=-7$ pontot? Legalább egyszer, legalább ötször - az eredmény ugyanaz lesz: egy defektes pont.

Jegyezzünk fel mindent, amit a számegyenesen kaptunk:

Ahogy mondtam, az $x=-7$ pontot végül kilyukasztották. A multiplicitásokat az egyenlőtlenség intervallum módszerrel történő megoldása alapján rendezzük.

Marad a táblák elhelyezése:

Mivel a $x=0$ pont a páros multiplicitás gyöke, az előjel nem változik, amikor áthaladunk rajta. A fennmaradó pontok páratlan sokaságúak, és minden egyszerű velük.

Válasz. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Ügyeljen ismét arra, hogy $x=0$. Az egyenletes sokrétűség miatt érdekes hatás keletkezik: minden tőle balra van átfestve, jobbra is - és maga a pont is teljesen át van festve.

Ennek következtében nem kell elkülöníteni a válasz rögzítésekor. Azok. nem kell olyat írni, hogy $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (bár formálisan egy ilyen válasz is helyes lenne). Ehelyett azonnal $x\in \left[ -4;6 \right]$-t írunk.

Ilyen hatások csak páros számú gyökereknél lehetségesek. A következő feladatban pedig ennek a hatásnak a fordított "megnyilvánulásával" fogunk találkozni. Kész?

Egy feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

\[\frac(((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))(((\left(x-1 \right))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

Megoldás. Ezúttal a standard sémát követjük. Állítsa a számlálót nullára:

\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\Jobbra ((x)_(1))=3\left(4k \jobbra); \\ & x-4=0\Jobbra ((x)_(2))=4. \\ \end(igazítás)\]

És a nevező:

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \jobbra)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Jobbra x_(1)^(*)=1\left(2k \jobbra); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Jobbra x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(igazítás)\]

Mivel egy $f\left(x \right)\ge 0$ formájú nem szigorú egyenlőtlenséget oldunk meg, ezért a nevezőből származó gyökök (amelyek csillaggal vannak) ki lesznek vágva, a számlálóból pedig átfestve. .

A táblákat elrendezzük és a „plusz”-al jelölt területeket végigsimítjuk:
A $x=3$ pont elszigetelt. Ez a válasz része
Mielőtt leírná a végső választ, nézze meg alaposan a képet:

A $x=1$ pont páros multiplicitású, de maga is kilyukadt. Ezért a válaszban el kell különíteni: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, és nem $x\in \left(-\ infty ;2\right)$.

A $x=3$ pont is páros multiplicitású és árnyékolt. A táblák elrendezése azt jelzi, hogy maga a pont illik hozzánk, de egy lépés balra-jobbra - és egy olyan területen találjuk magunkat, amely határozottan nem felel meg nekünk. Az ilyen pontokat izoláltnak nevezzük, és $x\in \left$3 \right$$-ban írjuk.

Az összes kapott darabot összevonjuk egy közös halmazba, és felírjuk a választ.

Válasz: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left$ 3 \right$\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Meghatározás. Az egyenlőtlenség feloldása azt jelenti keresse meg az összes megoldásának halmazát, vagy bizonyítsd be, hogy ez a készlet üres.

Úgy tűnik: mi lehet itt az érthetetlen? Igen, a helyzet az, hogy a halmazokat különböző módon lehet megadni. Írjuk át a választ az utolsó feladatra:

Szó szerint olvassuk, ami le van írva. Az "x" változó egy bizonyos halmazhoz tartozik, amelyet négy különálló halmaz egyesítése ("U" szimbólum) kap:

A $\left(-\infty ;1 \right)$ intervallum, ami szó szerint azt jelenti, hogy "minden egynél kisebb szám, de maga nem";
Az intervallum $\left(1;2 \right)$, azaz. "minden szám 1 és 2 között, de maguk az 1 és 2 nem";
A $\left$ 3 \right$$ halmaz, amely egyetlen számból áll - három;
A $\left[ 4;5 \right)$ intervallum, amely tartalmazza az összes 4 és 5 közötti számot, plusz magát a 4-et, de nem 5-öt.

A harmadik pont itt érdekes. Ellentétben az intervallumokkal, amelyek végtelen számhalmazokat határoznak meg, és csak ezeknek a halmazoknak a határait jelölik, a $\left$3 \right$$ halmaz pontosan egy számot határoz meg felsorolással.

Annak megértéséhez, hogy a készletben szereplő konkrét számokat soroljuk fel (és nem határokat vagy bármi mást), göndör kapcsos zárójeleket használunk. Például a $\left$ 1;2 \right$$ jelölés pontosan azt jelenti, hogy "két számból álló halmaz: 1 és 2", de nem egy 1-től 2-ig terjedő szakaszt. Semmi esetre se keverje össze ezeket a fogalmakat. .

Többszörös összeadás szabálya

Nos, a mai óra végén egy kis ón Pavel Berdovtól. :)

A figyelmes tanulók valószínűleg már feltették maguknak a kérdést: mi lesz, ha a számlálóban és a nevezőben ugyanazok a gyökök találhatók? Tehát a következő szabály működik:

Azonos gyökök többszörösei adódnak hozzá. Mindig. Még akkor is, ha ez a gyök a számlálóban és a nevezőben is előfordul.

Néha jobb dönteni, mint beszélni. Ezért a következő problémát oldjuk meg:

Egy feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \jobb)\bal(((x)^(2))+ 9x+14 \jobbra))\ge 0\]

\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= - négy. \\ \end(igazítás)\]

Egyelőre semmi különös. Állítsa a nevezőt nullára:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\jobbra nyíl x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Jobbra x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(igazítás)\]

Két azonos gyök található: $((x)_(1))=-2$ és $x_(4)^(*)=-2$. Mindkettőnek megvan az első többszöröse. Ezért lecseréljük őket egy gyökérre $x_(4)^(*)=-2$, de 1+1=2 multiplicitással.

Ezen kívül vannak még azonos gyökök is: $((x)_(2))=-4$ és $x_(2)^(*)=-4$. Ők is az első multiplicitásúak, így az 1+1=2 multiplicitásból csak $x_(2)^(*)=-4$ marad.

Figyelem: mindkét esetben pontosan a „kivágott” gyökeret hagytuk meg, az „átfestettet” pedig kidobtuk a mérlegelésből. Ugyanis már az óra elején megegyeztünk: ha egy pontot egyszerre lyukasztanak ki és festenek át, akkor is kilyukasztottnak tekintjük.

Ennek eredményeként négy gyökerünk van, és mindegyik kivájt:

\[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \jobb); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\left(2k \jobb). \\ \end(igazítás)\]

Jelöljük őket a számegyenesen, figyelembe véve a többszörösséget:

Kihelyezzük a táblákat és lefestjük a számunkra érdekes területeket:

Minden. Nincsenek elszigetelt pontok és egyéb perverziók. Leírhatod a választ.

Válasz. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

szorzási szabály

Néha előfordul még kellemetlenebb helyzet is: egy többgyökerű egyenlet maga is egy bizonyos hatványra emelkedik. Ez megváltoztatja az összes eredeti gyökér többszörösét.

Ez ritka, ezért a legtöbb diáknak nincs tapasztalata az ilyen problémák megoldásában. És itt a szabály:

Ha egy egyenletet $n$ hatványra emelünk, akkor az összes gyökének többszöröse is $n$-szorosára nő.

Más szóval, ha hatványra emelünk, akkor a multiplicitások ugyanazzal a hatványsal szorozódnak. Vegyük ezt a szabályt példaként:

Egy feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \jobbra))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\bal(2-x \jobb))^(3))((\bal(x-1 \jobb))^(2)))\le 0\]

Megoldás. Állítsa a számlálót nullára:

A szorzat akkor egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényező nulla. Az első szorzóval minden világos: $x=0$. És itt kezdődnek a problémák:

\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\left(2k \jobb); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \right)\left(2k \right) \ \ & ((x)_(2))=3\left(4k \right) \\ \end(igazítás)\]

Amint látja, a $((x)^(2))-6x+9=0$ egyenletnek a második multiplicitás egyedi gyöke van: $x=3$. Ezután az egész egyenletet négyzetre emeljük. Ezért a gyökér többszöröse $2\cdot 2=4$ lesz, amit végül felírtunk.

\[((\left(x-4 \right))^(5))=0\Jobbra x=4\bal(5k \jobbra)\]

A nevezővel sincs gond:

\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\left(2-x \right))^(3))=0\Jobbra x_(1)^(*)=2\left(3k \jobbra); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Jobbra x_(2)^(*)=1\bal(2k \jobb). \\ \end(igazítás)\]

Összesen öt pontot kaptunk: kettőt kiütöttek, hármat betöltöttek. A számlálóban és a nevezőben nincsenek egybeeső gyökök, ezért csak jelöljük őket a számegyenesen:

A jeleket a sokféleségek figyelembevételével rendezzük el, és átfestjük a számunkra érdekes intervallumokat:
Ismét egy elszigetelt pont és egy defektes
Az egyenletes sokféleség gyökerei miatt ismét kaptunk egy-két „nem szabványos” elemet. Ez $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, nem $x\in \left[ 0;2 \right)$, és egy elszigetelt pont $ x\in \left$ 3 \right$$.

Válasz. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left$ 3 \right$\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Mint látható, minden nem olyan nehéz. A lényeg a figyelmesség. Ennek a leckének az utolsó része az átalakulásoknak szentelődik – pontosan azoknak, amelyekről a legelején beszéltünk.

Előkonverziók

Az ebben a részben tárgyalandó egyenlőtlenségek nem bonyolultak. Az előző feladatokkal ellentétben azonban itt kell alkalmaznia a racionális törtek elméletéből származó készségeket - a faktorizációt és a redukciót egy közös nevezőig.

Ezt a kérdést a mai lecke legelején részletesen megvitattuk. Ha nem biztos abban, hogy érted, miről van szó, erősen ajánlom, hogy térjen vissza, és ismételje meg. Mert nincs értelme az egyenlőtlenségek megoldásának módszereit összezsúfolni, ha a törtek átszámításában "úszol".

A házi feladatban egyébként szintén sok hasonló feladat lesz. Külön alszekcióba kerülnek. És ott várnak rád nem triviális példák. De ez benne lesz a házi feladatban, de most elemezzünk pár ilyen egyenlőtlenséget.

Egy feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Megoldás. Mindent balra mozgatva:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Csökkentjük egy közös nevezőre, nyissuk ki a zárójeleket, adjuk meg a hasonló kifejezéseket a számlálóban:

\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ jobb))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

Most van egy klasszikus tört racionális egyenlőtlenségünk, amelynek megoldása már nem nehéz. Javaslom egy alternatív módszerrel - az intervallumok módszerével - megoldani:

\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(igazítás)\]

Ne felejtsd el a nevezőből eredő kényszert:

Minden számot és korlátozást megjelölünk a számegyenesen:

Minden gyökérnek van első többszörössége. Nincs mit. Csak elhelyezzük a táblákat és lefestjük a szükséges területeket:

Ez minden. Leírhatod a választ.

Válasz. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \jobbra)$.

Természetesen ez egy nagyon egyszerű példa volt. Tehát most nézzük meg közelebbről a problémát. És mellesleg ennek a feladatnak a szintje teljesen összhangban van a 8. osztályos önálló és ellenőrző munkával ebben a témában.

Egy feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Megoldás. Mindent balra mozgatva:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3(x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Mielőtt mindkét törtet közös nevezőre hoznánk, ezeket a nevezőket faktorokra bontjuk. Hirtelen ugyanazok a zárójelek jönnek ki? Az első nevezővel egyszerű:

\[((x)^(2))+8x-9=\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\]

A második egy kicsit nehezebb. Nyugodtan adjon hozzá egy állandó szorzót a zárójelhez, ahol a tört található. Ne feledje: az eredeti polinomnak egész együtthatói voltak, így nagy valószínűséggel a faktorizációnak is lesznek egész együtthatói (sőt, mindig lesznek, kivéve ha a diszkrimináns irracionális).

\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end(align)\]

Amint látja, van egy közös zárójel: $\left(x-1 \right)$. Visszatérünk az egyenlőtlenséghez, és mindkét törtet közös nevezőre hozzuk:

\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ bal(3x-2\jobb))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right )\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \end(igazítás)\]

Állítsa a nevezőt nullára:

\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( igazítsa)\]

Nincsenek többszörösségek és nincsenek egybeeső gyökerek. Négy számot jelölünk egy egyenesen:

Kihelyezzük a táblákat:

Leírjuk a választ.

Válasz: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ jobbra)$.

Ebben a leckében folytatjuk a racionális egyenlőtlenségek megoldását az intervallum módszerrel bonyolultabb egyenlőtlenségek esetén. Tekintsük a lineáris-tört és másodfokú-tört egyenlőtlenségek és a kapcsolódó problémák megoldását!

Most térjünk vissza az egyenlőtlenséghez

Nézzünk meg néhány kapcsolódó feladatot.

megtalálja legkisebb megoldás egyenlőtlenségek.

Határozza meg az egyenlőtlenség természetes megoldásainak számát!

Határozza meg az egyenlőtlenség megoldási halmazát alkotó intervallumok hosszát!

2. Természettudományi Portál ().

3. Elektronikus oktatási és módszertani komplexum a 10-11. évfolyam felvételi vizsgákra való felkészítéséhez számítástechnikából, matematikából, orosz nyelvből ().

5. Oktatási Központ "Oktatástechnológia" ().

6. College.ru matematika rész ().

1. Mordkovich A.G. et al.. Algebra 9. évfolyam: Feladatfüzet oktatási intézmények tanulói számára / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4. kiadás. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill. 28. szám (b, c); 29(b,c); 35(a,b); 37(b,c); 38. a) pont.

Térközök módszere egy speciális algoritmus, amelyet az f(x) > 0 alakú komplex egyenlőtlenségek megoldására terveztek. Az algoritmus 5 lépésből áll:

Oldjuk meg az f(x) = 0 egyenletet. Így egyenlőtlenség helyett sokkal könnyebben megoldható egyenletet kapunk;
Jelölje meg az összes kapott gyökeret a koordináta egyenesen. Így az egyenes több intervallumra lesz felosztva;
Keresse meg a gyökerek sokaságát. Ha a gyökök páros számúak, akkor hurkot húzunk a gyökér fölé. (A gyökér akkor tekinthető többszörösnek, ha páros számú azonos megoldás van)
Keresse meg az f(x) függvény előjelét (plusz vagy mínusz) a jobb szélső intervallumon. Ehhez elegendő behelyettesíteni f (x)-be tetszőleges számot, amely az összes megjelölt gyöktől jobbra lesz;
Jelölje meg a jeleket a fennmaradó intervallumokon, váltogatva őket.

Ezután már csak ki kell írni a minket érdeklő intervallumokat. „+” jellel vannak jelölve, ha az egyenlőtlenség f(x) > 0 alakú volt, vagy „−” jellel, ha az egyenlőtlenség f(x) alakú volt.< 0.

Nem szigorú egyenlőtlenségek (≤ , ≥) esetén az intervallumokba be kell venni azokat a pontokat, amelyek az f(x) = 0 egyenlet megoldása;

1. példa:

Oldja meg az egyenlőtlenséget:

(x - 2) (x + 7)< 0

Az intervallumok módszerén dolgozunk.

1. lépés: cserélje ki az egyenlőtlenséget egy egyenlettel, és oldja meg:

(x - 2) (x + 7) = 0

A szorzat akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényező nulla:

x - 2 = 0 => x = 2

x + 7 = 0 => x = -7

Két gyökere van.

2. lépés: jelölje meg ezeket a gyökereket a koordinátaegyenesben. Nekünk van:

3. lépés: a függvény előjelét a jobb szélső intervallumon (a megjelölt x = 2 ponttól jobbra) találjuk. Ehhez tetszőleges számot kell venni, amely nagyobb, mint az x = 2. Például vegyük x = 3-at (de senki sem tiltja, hogy x = 4, x = 10 és még x = 10 000 is).

f(x) = (x - 2) (x + 7)

f(3)=(3-2)(3 + 7) = 1*10 = 10

Azt kapjuk, hogy f(3) = 10 > 0 (10 pozitív szám), ezért a jobb szélső intervallumba pluszjelet teszünk.

4. lépés: meg kell jelölnie a jeleket a fennmaradó intervallumokon. Ne feledje, hogy minden gyökéren áthaladva a jelnek meg kell változnia. Például az x = 2 gyöktől jobbra van egy plusz (erről az előző lépésben meggyőződtünk), tehát a bal oldalon mínusznak kell lennie. Ez a mínusz a teljes intervallumra (−7; 2) kiterjed, tehát az x = −7 gyöktől jobbra van egy mínusz. Ezért van egy plusz az x = −7 gyöktől balra. Továbbra is meg kell jelölni ezeket a jeleket a koordinátatengelyen.

Térjünk vissza az eredeti egyenlőtlenséghez, ami így nézett ki:

(x - 2) (x + 7)< 0

Tehát a függvénynek nullánál kisebbnek kell lennie. Ez azt jelenti, hogy a mínuszjelre vagyunk kíváncsiak, amely csak egy intervallumon fordul elő: (−7; 2). Ez lesz a válasz.