Geometria - stereometria, vzdialenosť medzi priamkami.

Vzdialenosť medzi dvoma priamymi čiarami.

Úloha C2

V pravidelnom trojuholníkovom hranole ABCA1B1C1,
ktorých všetky hrany sú rovné 1, nájdite vzdialenosť medzi priamkami AB a CB1

Vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa čiarami je vzdialenosť medzi jednou z pretínajúcich sa čiar a rovinou prechádzajúcou ďalšou čiarou rovnobežnou s prvou.

Ak chcete nájsť vzdialenosť medzi dvoma pretínajúcimi sa čiarami, potrebujete:

1. Nakreslite rovinu cez jednu z čiar rovnobežných s druhou čiarou.

2. Z ľubovoľného bodu na prvom riadku spustite kolmicu na rovinu a nájdite jej dĺžku. To znamená, že problém spočíva v nájdení vzdialenosti od bodu k rovine.

Dá sa to urobiť pomocou geometrickej metódy alebo pomocou súradnicovej metódy..jpg" align="left" width="132" height="168">

Dokážme, že rovina MCC1 je kolmá na priamku AB, a teda na rovinu A1B1C:

Úsečka MC je stred, a teda aj výška rovnostranného trojuholníka ABC. Priamka KM je rovnobežná s priamkou CC1, a preto je kolmá na AB. To znamená, že priamka AB je kolmá na dve pretínajúce sa priamky roviny MCC1, a preto je kolmá na rovinu.

Teraz zvážte v rovine MCC1 správny trojuholník ISS a zakreslite do nej výšku MR:

Dĺžka nadmorskej výšky MP trojuholníka je vzdialenosť medzi priamkami AB a CB1, ktorú musíme nájsť.

Aby sme našli výšku MR, vyjadríme plochu trojuholníka ISS dvakrát

Umiestnime náš hranol do súradnicového systému. Ak riešime problém s kockou alebo pravouhlým hranolom, potom je voľba súradnicového systému zrejmá: počiatok súradníc umiestnime do jedného z vrcholov kocky a nasmerujeme osi pozdĺž hrán. V prípade hranola to nie je také zrejmé.

Súradnicový systém musíme zvoliť tak, aby súradnice bodu M a bodov A1, B1 a C, definujúcich rovinu A1B1C, boli vypočítané v čo najväčšom rozsahu. jednoduchým spôsobom a obsahoval čo najviac núl. Preto je vhodné zvoliť takýto súradnicový systém:

Zapíšme si súradnice bodov, ktoré potrebujeme:

\(\blacktriangleright\) Križujúce sa čiary sú čiary, cez ktoré nemožno nakresliť jednu rovinu.

Znak prechodu čiar: ak prvá priamka pretína rovinu, v ktorej leží druhá priamka v bode, ktorý neleží na druhej priamke, potom sa takéto priamky pretínajú.

\(\blacktriangleright\) Pretože cez jednu z pretínajúcich sa čiar prechádza práve jedna rovina rovnobežná s druhou čiarou vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa čiarami je vzdialenosť medzi jednou z týchto čiar a rovinou prechádzajúcou druhou čiarou rovnobežnou s prvou.

Ak sa teda priamky \(a\) a \(b\) pretínajú, potom:

Krok 1. Nakreslite priamku \(c\rovnobežné b\) tak, aby priamka \(c\) pretínala priamku \(a\) . Rovina \(\alpha\) prechádzajúca priamkami \(a\) a \(c\) bude rovinou rovnobežnou s priamkou \(b\) .

Krok 2. Z priesečníka čiar \(a\) a \(c\) (\(a\cap c=H\) ) spustite kolmicu \(HB\) na čiaru \(b\) (najskôr metóda).

Alebo z ľubovoľného bodu \(B"\) čiary \(b\) pustite kolmicu na čiaru \(c\) (druhá metóda).

V závislosti od podmienok problému môže byť jedna z týchto dvoch metód oveľa vhodnejšia ako druhá.

Úloha 1 #2452

Úroveň úlohy: Jednoduchšia ako jednotná štátna skúška

V kocke \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) , ktorej hrana je \(\sqrt(32)\) , nájdite vzdialenosť medzi čiarami \(DB_1\) a \(CC_1\) .

Priame línie \(DB_1\) a \(CC_1\) sa krížia podľa vlastnosti, pretože priamka \(DB_1\) pretína rovinu \((DD_1C_1)\), v ktorej leží \(CC_1\), v bode \(D\), ktorý neleží na \(CC_1\) .

Vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa čiarami budeme hľadať ako vzdialenosť medzi priamkou \(CC_1\) a rovinou prechádzajúcou cez \(DB_1\) rovnobežnou s \(CC_1\) . Pretože \(DD_1\paralelná CC_1\) , potom je rovina \((B_1D_1D)\) rovnobežná s \(CC_1\) .
Dokážme, že \(CO\) je kolmé na túto rovinu. V skutočnosti \(CO\perp BD\) (ako uhlopriečky štvorca) a \(CO\perp DD_1\) (keďže hrana \(DD_1\) je kolmá na celú rovinu \((ABC)\))) . Teda \(CO\) je kolmé na dve pretínajúce sa priamky z roviny, teda \(CO\perp (B_1D_1D)\) .

\(AC\) , ako uhlopriečka štvorca sa rovná \(AB\sqrt2\) , tj \(AC=\sqrt(32)\cdot \sqrt2=8\). Potom \(CO=\frac12\cdot AC=4\) .

odpoveď: 4

Úloha 2 #2453

Úroveň úlohy: Náročnejšia ako jednotná štátna skúška

Daná kocka \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) . Nájdite vzdialenosť medzi čiarami \(AB_1\) a \(BC_1\), ak sa hrana kocky rovná \(a\) .

1) Všimnite si, že tieto čiary sa pretínajú podľa atribútu, pretože priamka \(AB_1\) pretína rovinu \((BB_1C_1)\), v ktorej leží \(BC_1\), v bode \(B_1\), ktorý neleží na \(BC_1\) .
Vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa čiarami budeme hľadať ako vzdialenosť medzi priamkou \(BC_1\) a rovinou prechádzajúcou cez \(AB_1\) rovnobežnou s \(BC_1\) .

Aby sme to urobili, nakreslíme \(AD_1\) - je rovnobežné s \(BC_1\) . Preto je podľa kritéria rovina \((AB_1D_1)\paralelná BC_1\) .

2) Položme kolmicu \(C_1H\) na túto rovinu a dokážme, že bod \(H\) bude padať na pokračovanie úsečky \(AO\) , kde \(O\) je priesečník uhlopriečky štvorca \(A_1B_1C_1D_1\) .
Skutočne, pretože vlastnosťou štvorca \(C_1O\perp B_1D_1\) , potom podľa vety troch je kolmé premietanie \(HO\perp B_1D_1\) . Ale \(\trojuholník AB_1D_1\) je rovnoramenný, preto \(AO\) je medián a nadmorská výška. To znamená, že bod \(H\) musí ležať na priamke \(AO\) .

3) Uvažujme rovinu \((AA_1C_1)\) .

\(\trojuholník AA_1O\sim \trojuholník OHC_1\) v dvoch rohoch ( \(\uhol AA_1O=\uhol OHC_1=90^\circ\), \(\uhol AOA_1=\uhol HOC_1\) ). teda

\[\dfrac(C_1H)(AA_1)=\dfrac(OC_1)(AO) \qquad (*)\]

Podľa Pytagorovej vety z \(\trojuholník AA_1O\) : \

Preto z \((*)\) teraz môžeme nájsť kolmicu

odpoveď:

\(\dfrac a(\sqrt3)\)

Úloha 3 #2439

Úroveň úlohy: Náročnejšia ako jednotná štátna skúška

\(OK\) je kolmé na čiaru \(A_1B\) .
Naozaj, vykonajte \(KH\paralelný B_1C_1\) (teda \(H\v AB_1\) ). Potom pretože \(B_1C_1\perp (AA_1B_1)\), potom \(KH\perp (AA_1B_1)\) . Potom podľa vety o troch kolmiciach (keďže priemet je \(HO\perp A_1B\) ) je šikmá \(KO\perp A_1B\) , čo je dôvod.
\(KO\) je teda požadovaná vzdialenosť.

Všimni si \(\trojuholník AOK\sim \trojuholník AC_1B_1\)(v dvoch rohoch). teda

\[\dfrac(AO)(AC_1)=\dfrac(OK)(B_1C_1) \quad \Rightarrow \quad OK=\dfrac(\sqrt6\cdot \sqrt2)(2\sqrt3)=1.\]

Ak je to veľmi podrobné...

Je zrejmé, že časť uvedená v podmienke je $%AA_1MN$%, kde $%M$% a $%N$% sú stredy hrán $%B_1C_1$% a $%BC$% (a rovina takého rezu, samozrejme, kolmá na roviny základní). Tie. keďže tento rez je štvorec, potom výška hranola (jeho bočná hrana) = výška pravidelného trojuholníka $%AN = h = a\cdot \sqrt(3)/2 = 2\sqrt(7)\cdot \sqrt(3)/ 2 = \sqrt(21)$%.
Hľadáme vzdialenosť medzi prekročením $%A_1B$% a $%AM$%.

„Zlé“ riešenie (nech je aj jedno, pretože sa často používa pri iných problémoch). Zostrojíme rovinu obsahujúcu napríklad priamku $%AM$% a rovnobežnú priamku $%A_1B$% (mohli by sme naopak nakresliť rovinu prechádzajúcu cez $%A_1B$% a rovnobežnú s $%AM $%). Ak to chcete urobiť: cez t. $%M$% nakreslíme priamku $%ME || A_1B$%; rovina definovaná rovnobežkami $%A_1B$% a $%AM$% pretína 2 rovnobežné roviny základní pozdĺž PARALELNÝCH línií, t.j. ak bod $%E$% patrí k "nižšiemu" základu, potom tam musí byť $%A_1M || BE$% (t.j. $%BA_1ME$% je rovnobežník a $%BE = A_1M = \sqrt(21)$%). Teraz je podľa konštrukcie $%A_1B$% rovnobežná s rovinou $%AME$% (od $%A_1B || ME$%) a hľadáme vzdialenosť od akéhokoľvek bodu $%A_1B$% (napr. , z bodu $%B$% ) do roviny $%AME$%. Je to = výška pyramídy $%BAME$% vytiahnutá z hornej časti $%B$% do základne $%AME$%. Ale je ťažké postaviť takú výšku $%H$%, takže hľadáme „cez objem“. Na jednej strane $%V_(BAME) = 1/3\cdot S_(\Delta AME)\cdot H$% a na druhej strane: $%V_(BAME) = 1/3\cdot S_(BAE) \cdot MN$% (keďže výška od bodu $%M$% po základňu $%BAE$% bude výška hranola $%MN = \sqrt(21)$% (hoci výška bude „ vonku“ samotná pyramída $%BAME$%, ale to nič nemení)).
V $%\Delta ABE$% je uhol $%\uhol ABE = 60^0 + 90^0 = 150^0$% a plocha trojuholníka $%S_(ABE) = 1/2\cdot 2\sqrt( 7) \cdot \sqrt(21) \cdot sin(150^0) = 7 \sqrt(3)/2$%. Tie. objem pyramídy: $%V_(BAME) = 1/3\cdot 7\sqrt(3) /2 \cdot \sqrt(21) = 7\sqrt(7) /2$%
Zostáva len nájsť oblasť trojuholníka $%AME$%. „Poznáme“ (nájdeme) jeho strany: $%AM = \sqrt(2) \cdot \sqrt(21) = \sqrt(42)$% (toto je uhlopriečka štvorca), $%ME = A_1B = \sqrt( (2 \sqrt(7))^2 + (\sqrt(21))^2 ) = \sqrt( 28 + 21) = 7$% a $%AE$% - z trojuholníka $% BAE$% podľa kosínovej vety: $% AE^2 = 21 + 28 - 2\cdot 2\sqrt(7) \cdot \sqrt(21)\cdot (-\sqrt(3))/2 = 49 + 2 \cdot 7 \cdot 3 = 91 $%. Tie. (ešte raz) strany: $%AM = \sqrt(42)$%, $%ME = 7 = \sqrt(49)$% a $%AE = \sqrt(91)$%. Ale % 91 $ = 42 + 49 % %, t.j. $%AE^2 = AM^2 + ME^2$%, t.j. "podľa vety konvertovať na Pytagorovu vetu" trojuholník je pravouhlý ($%AM \perp ME$%). Potom jeho oblasť: $%S_(AME) = 1/2\cdot AM\cdot AE = 1/2\cdot 7\sqrt(42)$%.
To znamená $%1/3\cdot 1/2 \cdot 7\sqrt(42) \cdot H = 7\sqrt(7)/2$ %, odkiaľ $%H = 3\sqrt(7)/\sqrt ( 42) = 3/\sqrt(6) = \sqrt(6)/2$% --vzdialenosť od bodu $%B$% (a od priamky $%A_1B$% k rovine $%AME$% (rovnaká na vzdialenosť medzi krížením).

Teraz normálny spôsob riešenia =)) Nájdite rovinu kolmú na priamku $%AM$%. "Priamka je kolmá na rovinu, ak je kolmá na dve nerovnobežné priamky ležiace v tejto rovine." Je zrejmé, že $%AM \perp A_1N$% (pretože toto sú uhlopriečky štvorca). Okrem toho, $%AN$% je projekcia naklonenej $%AM$% na "spodnú" základňu. A ak je projekcia $%AN \perp BC$%, potom šikmá je $%AM\perp BC$% (teória 3 kolmíc). Ďalším spôsobom je povedať, že priamka $%BC$% leží v rovine základne, ktorá je kolmá na rovinu $%ANM$%, a $%BC$% je kolmá na $%AN$% - priamku priesečníka týchto rovín, čo znamená, že $ %BC$% je kolmé na celú rovinu $%ANM$%, potom $%BC\perp AM$%. Teda $%AM\perp A_1N$% a $%AM\perp BC$%, čo znamená, že $%AM$% je kolmé na rovinu $%BA_1N$%. Ale priamka $%A_1B$% patrí do tejto roviny vo všeobecnosti (do tejto roviny ju ani netreba premietať). Tie. vytvorením kolmice na stranu $%BA_1$% (t.j. $%OT\perp A_1B$%) z bodu $%O$% (priesečník $%AM$% s rovinou $%BA_1N$%) - získame všeobecné kolmé dve križovatky (jej dĺžka = vzdialenosť medzi nimi). Trojuholník $%\Delta BNA_1$% je pravouhlý ($%\uhol BNA_1 = 90^0)$% a úsečka $%OT$% je polovica kolmice na preponu. A páchateľ. k prepone: $%NK = BN\cdot A_1N / A_1B = \sqrt(7)\cdot \sqrt(42)/7 = \sqrt(6)$%. A vzdialenosť $%OT = \sqrt(6)/2$%