Symetria v priestore. Prezentácia na hodinu geometrie (11. ročník) na tému: Symetria v priestore

§ 1 Čo je symetria

Citátom tejto lekcie bude výrok slávneho vedca, tvorcu kybernetiky Norberta Wienera, ktorý veľmi presne vyjadruje všetko, o čom bude dnes reč.

"Najvyšším účelom matematiky je nájsť krásu, harmóniu a poriadok v chaose, ktorý nás obklopuje."

Symetria je jedným zo zákonov, ktoré zabezpečujú harmóniu vesmíru a dnes si o nej povieme a rozšírime pojmy, ktoré boli zavedené na hodinách planimetrie.

V bežnom jazyku sa slovo symetria používa v dvoch významoch. V istom zmysle symetrický znamená niečo, čo má dobrá hodnota proporcie, vyváženosť a symetria označujú tento druh konzistencie oddelené časti ktorý ich spája do jediného celku. Krása úzko súvisí so symetriou. Naznačuje to napríklad vo svojej knihe o proporciách sochár Poliklet, ktorého sochy boli predmetom obdivu staroveku pre ich harmonickú dokonalosť. Obraz váh je prirodzeným spojením, ktoré vedie k druhému významu slova symetria, ktorý sa používa v našej dobe: zrkadlová symetria - symetria ľavej a pravej strany, ktorá je tak nápadná v stavbe tiel u vyšších zvierat. a ľudí.

Zrkadlová symetria pôsobí ako špeciálny prípad geometrický koncept symetria súvisiaca s operáciami, ako je odraz alebo rotácia.

Pythagorejci považovali za najdokonalejšie geometrické tvary v rovine - kruh a vo vesmíre - guľa kvôli ich úplnej rotačnej symetrii.

Symetria v širšom alebo užšom zmysle je myšlienka, prostredníctvom ktorej sa človek po stáročia snaží pochopiť a vytvoriť poriadok, krásu a dokonalosť. Takže vlastnosti priestoru a času vedú k symetrii, k vzorom v prírode ako prejavu jej harmónie.

§ 2 Symetria okolo bodu

V planimetrii sme považovali obrazce za symetrické vzhľadom k bodu a vzhľadom na priamku. V stereometrii sa uvažuje symetria vzhľadom na bod, priamku a rovinu.

Body A a A1 sa nazývajú symetrické vzhľadom na bod O (stred symetrie), ak O je stredom úsečky AA1. Bod O sa považuje za symetrický sám so sebou. Príkladom centrálnej symetrie môže byť kvet alebo vzor.

§ 3 Symetria vzhľadom na čiaru

Body A a A1 sa nazývajú symetrické vzhľadom na priamku a (os symetrie), ak priamka a prechádza stredom úsečky AA1 a je na túto úsečku kolmá. Každý bod priamky a sa považuje za symetrický sám so sebou.

Príkladom takejto symetrie môžu poslúžiť nielen milé motýle, ale aj celé stavby, ako napr

zboru Moskvy štátna univerzita ich. Lomonosov,

Katedrála Krista Spasiteľa,

mauzóleum-mešita Tádž Mahal.

§ 4 Symetria vzhľadom na rovinu

V priestorovej geometrii dodajme symetriu vzhľadom na rovinu.

Body A a A1 sa nazývajú symetrické vzhľadom na rovinu α (rovina symetrie), ak rovina α prechádza stredom úsečky AA1 a je na túto úsečku kolmá. Každý bod roviny α sa považuje za symetrický sám so sebou.

Pri štúdiu stereometrie sa dá hovoriť aj o strede, osi a rovine symetrie postavy.

Bod (priamka, rovina) sa nazýva stred (os, rovina) symetrie obrazca, ak je každý bod obrazca vzhľadom k nemu symetrický k niektorému bodu toho istého obrazca. Ak má postava stred (os, rovinu symetrie), potom hovoria, že má stredovú (osovú, zrkadlovú) symetriu.

Na obrázkoch teraz môžete vidieť obdĺžnikový hranol, ako aj jeho stred symetrie, os symetrie, rovinu symetrie.

Rovnobežník, ktorý nie je pravouhlý, ale je pravým hranolom, má rovinu (alebo roviny, ak je jeho základňou kosoštvorec), os a stred symetrie.

§ 5 Asymetria

Postava môže mať jeden alebo viac stredov symetrie (osi, roviny symetrie). Napríklad kocka má len jeden stred symetrie a niekoľko osí a rovín symetrie. Existujú postavy, ktoré majú nekonečne veľa stredov, osí alebo rovín symetrie. Najjednoduchšie z týchto postáv sú priamka a rovina. Naopak, existujú postavy, ktoré nemajú stredy, osi ani roviny symetrie. V tomto prípade sa ešte o jednom matematickom koncepte hovorí ako o asymetrii, čo znamená absenciu symetrie. Dnes sa biológovia a psychológovia, chemici a lekári spoločne snažia vyriešiť hádanky symetrie a odhaliť záhady ľavice a pravice. Každý deň sa pozeráme do zrkadla, no málokedy premýšľame o tom, čo je v odraze. pravá ruka odbočuje doľava. Prečo príroda vytvorila a zdvojila niektoré funkcie hemisfér, rúk, nôh, očí a človek má len jedny ústa. Prekvapivo, pri všetkej našej symetrii sme asymetrickí. Moderné počítačové technológie umožňujú vidieť, aký by bol človek len z ľavej polovice tváre alebo z pravej. Výsledok ohromí väčšinu tých, ktorí vidia výsledné portréty. Pravá a ľavá hemisférická tvár sa navzájom líšia. Poobzerajte sa okolo seba, možno uvidíte tú symetriu a asymetriu okolo a budete ju obdivovať.

Geometria. 10. - 11. ročník: učebnica pre všeobecné vzdelávanie. inštitúcie: základné a profilové. úrovne / [L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev a ďalší]. – 22. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2013. - 255 s. : chorý. - (MSU - v škole)
vzdelávacie - Toolkit pomôcť učiteľovi školy Zostavil Yarovenko V.A. Vývoj lekcií v geometrii pre tréningovú súpravu L. S. Atanasyan a kol. (M .: Vzdelávanie) 10. ročník
Rabinovich E. M. Úlohy a cvičenia na hotových výkresoch. 10 - 11 tried. Geometria. - M. : Ileksa, 2006 . – 80 s.
M. Ya Vygodsky Príručka elementárnej matematiky M.: AST Astrel, 2006. - 509 s.
Avanta+. Encyklopédia pre deti. Zväzok 11. Matematika 2. vyd., prepracované. - M.: The world of Avanta+ encyklopédie: Astrel 2007. - 621 s. Ed. rada: M. Aksjonová, V. Volodin, M. Samsonov

Ak chcete použiť ukážku prezentácií, vytvorte si účet ( účtu) Google a prihláste sa: https://accounts.google.com

Popisy snímok:

SYMETRIA V PRIESTORE A A 1 O Body A a A1 sa nazývajú symetrické vzhľadom na bod O (stred symetrie), ak O je stredom úsečky AA1. Bod O sa považuje za symetrický sám so sebou.

SÚMERNOSŤ V PRIESTORE Body A a A1 sa nazývajú symetrické vzhľadom na priamku (os symetrie), ak priamka prechádza stredom úsečky AA1 a je na túto úsečku kolmá. Každý bod priamky a sa považuje za symetrický sám so sebou. List, snehová vločka, motýľ sú príklady osovej súmernosti. A 1 A a

SÚMERNOSŤ V PRIESTORE Body A a A 1 sa nazývajú symetrické vzhľadom na rovinu (rovinu symetrie), ak táto rovina prechádza stredom úsečky AA 1 a je na túto úsečku kolmá. Každý bod roviny sa považuje za symetrický. A A 1

Bod (priamka, rovina) sa nazýva stred (os, rovina) symetrie obrazca, ak je každý bod obrazca vzhľadom k nemu symetrický k niektorému bodu toho istého obrazca. Ak má postava stred (os, rovinu) symetrie, potom hovoria, že má stredovú (osovú, zrkadlovú) symetriu. A 1 A O A 1 A O

So symetriou sa často stretávame v prírode, architektúre, technike, každodennom živote. Mnohé budovy sú teda symetrické okolo roviny, napríklad hlavná budova Moskovskej štátnej univerzity, niektoré typy častí majú os symetrie. Takmer všetky kryštály nachádzajúce sa v prírode majú stred, os alebo rovinu symetrie. V geometrii sa stred, osi a roviny symetrie mnohostenu nazývajú prvky symetrie tohto mnohostena.

PRAVIDELNÉ POLYTOPY

K téme: metodologický vývoj, prezentácie a poznámky

Metodické zdôvodnenie vyučovacej hodiny. Využitie poznatkov z fyziky, astronómie, MHK, biológie na hodine geometrie pri zhrnutí systematizácie informácií na tému: „Symetria v priestore. Pravidlá...

Symetria v priestore je krásny, harmonický a vyvážený pomer častí alebo prvkov. rôzne formy predmety, organizmy alebo predmety. V priestore okolo nás možno pozorovať množstvo neživých predmetov symetrického tvaru. Živé organizmy, jednoduché aj vysoko organizované, majú vo svojej štruktúre prvky symetrie.

Snaha o dokonalosť

Symetrickú formu možno stotožniť s dokonalosťou a harmóniou. Niet divu, že slová ako „symetria“ a „dokonalosť“ sú synonymá v jazykoch mnohých národov.

Symetria v priestore sa nachádza všade. Rozmanitosť foriem rastlín a živých organizmov je nápadná v proporcionalite, konzistencii a ergonómii formy. Tu je všetko premyslené do najmenších detailov: nápadná krása, elegancia proporcií a nič zbytočné. Všetko je zabezpečené pre najlepšiu funkčnosť života.

Stredová symetria

V priestore sveta okolo nás neživej prírode jasne viditeľné v usporiadaní kryštálov. Tento typ symetrie možno jasne vidieť v štruktúre snehových vločiek, ktoré sú ľadovými kryštálmi. Ich formy sú nápadné v rozmanitosti. Všetky sú však centrálne symetrické.

Rastlinné kvety môžu slúžiť ako príklad centrálnej alebo radiálnej symetrie: slnečnica, harmanček, dúhovka, aster. Tento typ symetrie sa tiež nazýva rotačný. Ak sa okvetné lístky kvetu alebo lúče snehovej vločky otáčajú okolo stredu, budú sa navzájom prekrývať.

Zrkadlová symetria

Zrkadlová symetria v priestore prírodného sveta okolo nás je pozorovaná u rastlín a zvierat. dub alebo papraď, chrobák alebo motýľ, pavúk alebo húsenica, myš alebo zajac - to sú len niektoré príklady, kde je možné vidieť obojstrannú alebo zrkadlovú symetriu v živých organizmoch. Osoba je symetrická, rovnako ako časti tela: ruky, nohy. V týchto formách pozorujeme akoby zrkadlový obraz jednej polovice objektu od druhej. Ak umiestnite objekt do roviny, jeho obraz môže byť mentálne ohnutý v strede a jedna polovica sa bude prekrývať s druhou.

Hypotéza vzniku symetrie

Vo vedeckom svete existuje viacero hypotéz, pomocou ktorých sa snažia vysvetliť, ako v priestore nášho sveta vznikla symetria. Podľa jedného z nich všetko, čo rastie alebo rastie, podlieha zákonu A; to, čo je vytvorené rovnobežne so zemským povrchom alebo v uhle k nemu, nadobúda zrkadlovo symetrický tvar. Tieto vlastnosti sa snažia vysvetliť gravitáciou zo stredu planéty a rôznej miere osvetlenie predmetov slnečným žiarením v závislosti od ich polohy.

Symetria vo vede a umení

Symetriu v priestore oceňovali umelci, sochári a architekti už v staroveku. Prvky symetrie vidíme v starovekých skalných rezbách, v ornamentálnych dekoráciách starovekých predmetov a zbraní. Egyptské pyramídy a mayské pyramídy, kupoly slovanských katedrál, grécke chrámy a paláce, staroveké oblúky a amfiteátre, priečelie Bieleho domu a moskovského Kremľa – to sú len niektoré príklady túžby po vznešenej kráse a skutočnej dokonalosti.

Pojmy symetrie vážne rozvinuli matematici. Vykonané matematické štúdie umožnili identifikovať hlavné zákonitosti symetrie v rovine a v priestore. Tento zaujímavý prírodný vzorec neobišla ani fyzika a chémia. Akademik V. I. Vernadsky veril, že „symetria... pokrýva vlastnosti všetkých oblastí, ktorými sa fyzik a chemik zaoberá“. Vďaka symetrickej štruktúre atómov vstupujú molekuly do rôznych reakcií a spôsobujú fyzikálne vlastnosti tvorba kryštálov. Aj keď fyzikálne zákony, ktoré ustanovujú fyzikálnych veličín, budú pri rôznych transformáciách nezmenené, potom môžeme povedať, že tieto zákony majú invarianciu alebo symetriu vzhľadom na tieto transformácie.

. Pravidelné mnohosteny.

Definícia. Konvexný mnohosten je tzv správne , ak sú všetky jeho steny rovnaké pravidelné mnohouholníky a rovnaký počet hrán sa zbieha v každom z jeho vrcholov.

Je dosť jednoduché dokázať, že existuje iba 5 pravidelných mnohostenov: pravidelný štvorsten, pravidelný šesťsten, pravidelný osemsten, pravidelný dvadsaťsten, pravidelný dvanásťsten. Tento pozoruhodný fakt podnietil starovekých mysliteľov k korelácii pravidelné mnohosteny a prvky života.

Existuje mnoho zaujímavých aplikácií teórie mnohostenov. Jedným z vynikajúcich výsledkov v tejto oblasti je Eulerova veta , čo platí nielen pre pravidelné, ale aj pre všetky konvexné mnohosteny.

Veta: pre konvexné mnohosteny platí vzťah: G + V - P \u003d 2, kde В je počet vrcholov, Г je počet plôch, Р je počet hrán.

Názov mnohostenu	Počet tvárí (G)	Počet vrcholov (B)	Počet rebier (P)	Primárny prvok bytia
štvorsten
šesťsten

dvadsaťsten
dvanásťsten				Vesmír
štvorhranná pyramída
n- uhoľná pyramída
trojboký hranol
n- uhlíkový hranol

Pravidelné mnohosteny majú mnoho zaujímavých vlastností. Jednou z najvýraznejších vlastností je ich dualita: ak spojíte stredy plôch pravidelného šesťstena (kocky) segmentmi, získate pravidelný osemsten; a naopak, ak spojíte stredy plôch pravidelného osemstenu segmentmi, dostanete kocku. Podobne pravidelný dvadsaťsten a dvanásťsten sú dvojité. Pravidelný štvorsten je sám osebe duálny, t.j. ak spojíte stredy plôch pravidelného štvorstenu so segmentmi, opäť získate pravidelný štvorsten.

. Symetria v priestore.

Definícia. bodov ALE a AT volal symetrické okolo bodu O(stred symetrie) ak O- stred segmentu AB. Bod O sa považuje za symetrický sám so sebou.

Definícia. bodov ALE a AT volal symetrické podľa priamky a(os symetrie), ak je rovná a AB a kolmo na tento segment. Každý bod čiary a

Definícia. bodov ALE a AT volal symetrické podľa roviny β (roviny symetrie), ak je rovina β prechádza stredom segmentu AB a kolmo na tento segment. Každý bod roviny β sa považuje za symetrické.

Definícia. Bod (priamka, rovina) sa nazýva stred (os, rovina) symetrie obrazca, ak každý bod obrazca je symetrický okolo neho k niektorému bodu toho istého obrazca.

Ak má postava stred (os, rovinu) symetrie, potom hovoria, že má stredovú (osovú, zrkadlovú) symetriu. Stred, os a roviny symetrie mnohostenu sa nazývajú prvky symetrie tento mnohosten.

Príklad. Pravidelný štvorsten:

- nemá stred symetrie;

- má tri osi súmernosti - priamky prechádzajúce stredmi dvoch protiľahlých hrán;

Má šesť rovín symetrie – rovín prechádzajúcich hranou kolmou na protiľahlú (križujúcu sa s prvou) hranou štvorstenu.

Otázky a úlohy

Koľko stredov symetrie robí:

a) rovnobežnosten;

b) pravidelný trojuholníkový hranol;

c) dihedrálny uhol;

d) segment;

Koľko osí symetrie robí:

rez

b) pravidelný trojuholník;

Koľko rovín symetrie robí:

a) pravidelný štvorhranný hranol iný ako kocka;

b) pravidelná štvorhranná pyramída;

c) pravidelný trojuholníkový ihlan;

Koľko a aké prvky symetrie majú pravidelné mnohosteny:

a) pravidelný štvorsten;

b) pravidelný šesťsten;

c) pravidelný osemsten;

d) pravidelný dvadsaťsten;

e) pravidelný dvanásťsten?

MKOU "Stredná škola Anninskaya s UIOP"

Symetria v priestore

Symetria

Symetria v širšom zmysle - korešpondencia, nemennosť, prejavujúca sa v akýchkoľvek zmenách, transformáciách.

Stredová symetria

Paralelný prenos

Osová súmernosť

Symetria

Zrkadlový odraz alebo zrkadlová symetria je pohyb euklidovského priestoru, ktorého množinou pevných bodov je nadrovina (v prípade trojrozmerného priestoru len rovina).

Osová súmernosť

Pri osovej symetrii ide každý bod obrázku do bodu, ktorý je k nemu symetrický vzhľadom na rovinu

Osová súmernosť

Stredová symetria

Stredová symetria okolo bodu A je transformáciou priestoru, ktorá vedie z bodu X do bodu X′ tak, že A je stredom úsečky XX′.

Stredová symetria

Dá sa znázorniť ako kompozícia odrazu okolo roviny prechádzajúcej stredom symetrie, s otočením o 180° okolo priamky prechádzajúcej stredom symetrie a kolmej na vyššie uvedenú rovinu odrazu.

Paralelný prenos

Paralelný preklad je špeciálny prípad pohybu, pri ktorom sa všetky body v priestore pohybujú rovnakým smerom na rovnakú vzdialenosť.

Paralelný prenos

Symetria vo fyzike

V teoretickej fyzike je správanie fyzikálneho systému opísané niekoľkými rovnicami. Ak tieto rovnice majú nejaké symetrie, potom je často možné ich riešenie zjednodušiť hľadaním konzervované množstvá (integrály pohybu).

Symetria v biológii

Symetria v biológii je prirodzené usporiadanie podobných častí tela alebo foriem živého organizmu, súboru živých organizmov vzhľadom k stredu alebo osi symetrie.

Symetria v chémii

Symetria je dôležitá v chémii, pretože vysvetľuje pozorovania v spektroskopii, kvantovej chémii a kryštalografii.

Symetria v náboženských symboloch

Predpokladá sa, že tendencia ľudí vidieť cieľ v symetrii je jedným z dôvodov, prečo je symetria často neoddeliteľnou súčasťou symbolov svetových náboženstiev. Tu je len niekoľko z mnohých príkladov zobrazených na obrázku.

Symetria v sociálnych interakciách

Ľudia pozorujú symetrickú povahu (vrátane asymetrickej rovnováhy) sociálnej interakcie v rôznych kontextoch. Zahŕňajú hodnotenie reciprocity, empatie, ospravedlnenia, dialógu, rešpektu, spravodlivosti a pomsty. Symetrické interakcie vysielajú signály „sme rovnakí“, zatiaľ čo asymetrické interakcie vyjadrujú myšlienku „som výnimočný, lepší ako ty“.