Osová súmernosť v priestorových výkresoch. Prezentácia na tému "pohyby v priestore stredová symetria osová symetria zrkadlová symetria paralelný preklad"

Výpis z hodiny geometrie 10. ročník

Téma: Symetria v priestore. Symetria v prírode a v praxi.

Burganova Liliya Faritovna,
GBPOU "Atninská poľnohospodárska vysoká škola pomenovaná po Gabdulle Tukay",
Obec Bolshaya Atnya, okres Atninsky, Republika Tatarstan
Popis práce: Zhrnutie vyučovacej hodiny z disciplíny Matematika pre 10. ročník na tému: Symetria v priestore. Symetria v prírode a v praxi
Účel materiálu: Toto zhrnutie bolo vypracované pre hodinu matematiky v 10. – 11. ročníku, materiál bude užitočný pre stredoškolských učiteľov matematiky pri plánovaní hodín.
Cieľ:
Kognitívne: zovšeobecnenie a systematizácia vedomostí na tému „Symetria v rovine“; asimilácia študentmi poznatkov o symetrii v priestore, premenách symetrie v priestore.
Vzdelávacie: prebudenie trvalého záujmu o predmet a zvýšenie kognitívnej aktivity študentov;
podporovať záujem o svoje povolanie;
Rozvíjanie: rozvíjanie zvedavosti žiakov, kognitívneho záujmu; rozvoj pamäti; rozvoj schopnosti zovšeobecňovať.
Úlohy: formovať záujem o študovanú disciplínu, rozvíjať sa
všeobecné intelektuálne schopnosti: porovnávanie, analýza, zovšeobecňovanie.
Didaktický materiál a vybavenie: počítač, multimediálny projektor, učebnica V.A. Gusev "Matematika", A.N. Pogorelov "Geometria", písomky (testy)

Počas vyučovania.

I. Organizačný moment. Príprava na lekciu Kontrola pripravenosti skupiny na lekciu a pozdrav všetkých prítomných.
II.Aktualizácia vedomostí študentov. Oboznámenie sa s poradím vyučovacej hodiny, odporúčania žiakom, čomu treba venovať osobitnú pozornosť, čo si zapísať do pracovného zošita.
Učiteľ ponúka uhádnuť tému hodiny zodpovedaním otázok (odpoveď: symetria).
1. Časť geometrie, v ktorej sa študujú postavy v priestore. (Stereometria)
2. Transformácia priestoru, ktorá zachováva vzdialenosť medzi zodpovedajúcimi bodmi. (Izometria)
3. Obrazec tvorený jednoduchou uzavretou lomenou čiarou a ňou ohraničená časť roviny sa nazýva ... (Mnohouholník)
4. "Geometrické teleso", ktorého povrch pozostáva z mnohouholníkov sa nazýva ... (Polyhedron)
5. Cez dve pretínajúce sa priame čiary prechádza ... rovina (jediná)
6. Tvrdenia, ktoré je potrebné dokázať, sa nazývajú ... (Veta)
7. Ako sa nazývajú dva dihedrálne uhly, ak majú rovnakú hodnotu? (rovnaké)
8. Roviny, ktoré ... majú aspoň jeden spoločný bod, sa nazývajú pretínajúce sa (majú)
9.Čo vidíš na obrázku? (priamo)
Učiteľ: „Naša lekcia je venovaná zaujímavej a fascinujúcej téme geometrie „Symetria vo vesmíre“. Dnes sa budeme zaoberať aj symetriou v prírode a v praxi.
Pojem symetria prechádza celou históriou ľudstva. Nachádza sa už pri počiatkoch ľudského poznania. Vznikol v súvislosti so štúdiom živého organizmu, teda človeka, a sochári ho používali už v 5. storočí pred Kristom. e.
Slovo "symetria" je grécke. Znamená "proporcionalitu", "proporcionalitu", rovnakosť v usporiadaní častí. Je široko používaný vo všetkých oblastiach modernej vedy bez výnimky.
Mnoho skvelých ľudí premýšľalo o tomto vzore. Napríklad L.N. Tolstoy povedal: „Stojím pred čierna tabuľa a kriedou na ňu kresliť rôzne postavy, zrazu ma napadla myšlienka: prečo je symetria oku lahodiaca? Čo je symetria? Toto je vrodený pocit. Na čom je založená?
Dnes sa v lekcii pokúsime odpovedať na otázky, ktoré nám položil Tolstoy.
Na začiatok si s vami z kurzu základnej školy pripomeňme také pojmy ako súmernosť vzhľadom k bodu, súmernosť vzhľadom na priamku, súmernosť vzhľadom na os.
Ďalej zvážte symetriu vo vesmíre, v prírode a v praxi.
1. Dva body sa nazývajú symetrické vzhľadom na daný bod (stred symetrie) alebo stredovo symetrické, ak je daný bod stredom úsečky, ktorá ich spája.
Stredová symetria - mapovanie priestoru na seba, v ktorom ktorýkoľvek bod M prechádza do bodu M1, ktorý je s ním symetrický vzhľadom na toto centrum O.
Príklady stredovej symetrie

Geometrické obrazce so stredovou symetriou

Body A1 a A2 priestoru sa nazývajú symetrické vzhľadom na priamku l, ak priamka l prechádza stredom úsečky AA1 a je kolmá na túto úsečku.
V tomto prípade sa priamka l nazýva osou súmernosti bodov A1 a A2

Obrazec sa nazýva symetrický vzhľadom na priamku l, ak pre každý bod obrazca patrí tomuto obrazcu aj bod symetrický k nemu vzhľadom na priamku l. Priamka l sa nazýva os súmernosti obrazca. Postava má údajne aj osovú súmernosť.

Osová súmernosť okolo nás

Postavy s osovou symetriou
-Geometrické obrazce, symetrické okolo osi:
(roh, rovnoramenný trojuholník, obdĺžnik, kosoštvorec, rovnostranný trojuholník, štvorec, kruh)

Vysvetlenie novej témy

Pomocou kolmosti priamky a roviny zavedieme dôležitý pojem symetria vzhľadom na rovinu alebo zrkadlovú symetriu

Úlohu roviny symetrie zohráva zrkadlo, preto sa takáto symetria nazýva zrkadlová symetria.
Pri zrkadlovej symetrii prechádza každý bod jedného obrazca do bodu iného obrazca, ktorý je symetrický vzhľadom na danú rovinu.
Definícia: Body A a A1 sa nazývajú symetrické vzhľadom na rovinu, ak je priamka AA1 kolmá na rovinu v bode O a OM = OM1

Predpokladajme, že máme postavu A a rovinu. Ak zostrojíme body, ktoré sú symetrické k bodom obrazca A vzhľadom na rovinu, dostaneme obrazec A1, ktorý je symetrický s obrazcom A vzhľadom na rovinu.
Definícia: Symetria vzhľadom na rovinu je transformácia priestoru, pri ktorej všetky body prechádzajú do bodov, ktoré sú k nim symetrické vzhľadom na túto rovinu.
Hovorí sa, že bod A so symetriou okolo roviny prešiel do bodu A1.
Uvádzame zoznam vlastností symetrie vzhľadom na rovinu:
1.Zrkadlová symetria je geometrická transformácia.
2. Pri zrkadlovej symetrii sú zachované vzdialenosti medzi zodpovedajúcimi bodmi obrazcov.
3. Symetria okolo roviny je izometria.
4. Každý obrazec so zrkadlovou symetriou prechádza na obrazec, ktorý sa mu rovná.

Svet zrkadlovej symetrie. Symetria v prírode a v praxi.

Odraz vo vode - dobrý príklad zrkadlová symetria v prírode.
Obdivujeme krajinky umelcov, vydarené zábery. Hory sa krásne odrážajú na hladine jazera a dodávajú obrazu úplnosť. Hladina jazera hrá úlohu zrkadla a reprodukuje odraz s geometrickou presnosťou. Hladina vody je rovina symetrie...
Ľudské ruky môžu slúžiť ako príklady zrkadlových odrazov jeden od druhého. V praxi sa často využíva efekt zrkadlovej symetrie. Takže v obchodoch s obuvou sa niekedy dá na okno iba jedna topánka. Topánka sa odráža v zrkadle a vizuálne sa nám zdá, že vidíme pár topánok.
Hermann Weyl povedal: "Symetria je myšlienka, pomocou ktorej sa človek po stáročia snažil pochopiť a vytvoriť poriadok, krásu a dokonalosť." Hermann Weyl je nemecký matematik. Jeho činnosť spadá do prvej polovice 20. storočia.
Bol to on, kto formuloval definíciu symetrie, stanovenú tým, aké znaky vidieť prítomnosť alebo naopak absenciu symetrie v konkrétnom prípade.
Vskutku, symetria lahodí oku.
Kto neobdivoval symetriu výtvorov prírody: listy, kvety, vtáky, zvieratá; alebo ľudské výtvory: budovy, technika, - všetko, čo nás od detstva obklopuje, čo sa usiluje o krásu a harmóniu.

Vo svete okolo nás je veľa postáv (objektov), ktoré majú rovinu symetrie. Roviny symetrie majú veľa nástrojov (hobľovačky, kladivá, lopaty). Symetrické vzhľadom na rovinu potrubia, ložiská, autá
a) Architektonické diela odrážajú výnimočné vlastnosti symetrie. Väčšina budov je zrkadlovo symetrická

b) Vzory na kobercoch sú tiež symetrické
c) Symetria sa široko vyskytuje v úžitkovom umení. Ornamenty, rímsy sú založené na periodicky sa opakujúcom vzore.
d) doma.

Symetria v prírode

Otázka: Pomenujte postavy alebo predmety, ktoré sú v našej kancelárii symetrické vzhľadom na rovinu.
Vypočujme si prejav na túto tému (príhovor pripraveného študenta)
IV. Upevnenie vedomostí.
1. Kde sa vo vašej profesii podľa vás uplatňuje symetria? Pozrime sa na príklady.
2. Riešenie problémov.
a) Sú body symetrické vzhľadom na daný bod
b) Ktoré z nasledujúcich písmen má stred súmernosti
c) Ktoré z nasledujúcich písmen má os súmernosti:
d) Sú tieto body symetrické okolo osi?
3. Riešenie hádaniek pre logické myslenie
4. Vykonávanie skúšobných prác v 2 verziách.
5. Úloha podľa učebnice A.V.Pogorelova "Geometria" č.16,17,18
V. Domáca úloha.
1. Odpovedzte na otázky z učebnice V.A. Guseva "Matematika" s.22.2-22.3 s.261
2. Pripravte si prezentáciu na tému: „Symetria v prírode“
VI. Reflexia
Čím sme si prešli v tejto lekcii?
Uveďte typy symetrií v priestore?
Prečo človek potrebuje vedieť o symetrii?
VII. Záver hodiny, klasifikácia.

MKOU "Stredná škola Anninskaya s UIOP"

Symetria v priestore

Symetria

Symetria v širšom zmysle - korešpondencia, nemennosť, prejavujúca sa v akýchkoľvek zmenách, transformáciách.

Stredová symetria

Paralelný prenos

Osová súmernosť

Symetria

Zrkadlový odraz alebo zrkadlová symetria je pohyb euklidovského priestoru, ktorého množinou pevných bodov je nadrovina (v prípade trojrozmerného priestoru len rovina).

Osová súmernosť

Pri osovej symetrii ide každý bod obrázku do bodu, ktorý je k nemu symetrický vzhľadom na rovinu

Osová súmernosť

Stredová symetria

Stredová symetria okolo bodu A je transformáciou priestoru, ktorá vedie z bodu X do bodu X′ tak, že A je stredom úsečky XX′.

Stredová symetria

Môže byť reprezentovaná ako kompozícia odrazu okolo roviny prechádzajúcej stredom symetrie, s otočením o 180° okolo priamky prechádzajúcej stredom symetrie a kolmej na vyššie uvedenú odrazovú rovinu.

Paralelný prenos

Paralelný preklad je špeciálny prípad pohybu, pri ktorom sa všetky body v priestore pohybujú rovnakým smerom na rovnakú vzdialenosť.

Paralelný prenos

Symetria vo fyzike

V teoretickej fyzike je správanie fyzikálneho systému opísané niekoľkými rovnicami. Ak tieto rovnice majú nejaké symetrie, potom je často možné ich riešenie zjednodušiť hľadaním konzervované množstvá (integrály pohybu).

Symetria v biológii

Symetria v biológii je prirodzené usporiadanie podobných častí tela alebo foriem živého organizmu, súboru živých organizmov vzhľadom k stredu alebo osi symetrie.

Symetria v chémii

Symetria je dôležitá v chémii, pretože vysvetľuje pozorovania v spektroskopii, kvantovej chémii a kryštalografii.

Symetria v náboženských symboloch

Predpokladá sa, že tendencia ľudí vidieť cieľ v symetrii je jedným z dôvodov, prečo je symetria často neoddeliteľnou súčasťou symbolov svetových náboženstiev. Tu je len niekoľko z mnohých príkladov zobrazených na obrázku.

Symetria v sociálnych interakciách

Ľudia pozorujú symetrickú povahu (vrátane asymetrickej rovnováhy) sociálnej interakcie v rôznych kontextoch. Zahŕňajú hodnotenie reciprocity, empatie, ospravedlnenia, dialógu, rešpektu, spravodlivosti a pomsty. Symetrické interakcie vysielajú signály „sme rovnakí“, zatiaľ čo asymetrické interakcie vyjadrujú myšlienku „som výnimočný, lepší ako ty“.

Na túto lekciu popíšeme si typy symetrie v priestore, zoznámime sa s pojmom pravidelný mnohosten.

Rovnako ako v planimetrii, aj v priestore budeme uvažovať symetriu vzhľadom na bod a vzhľadom na priamku, no okrem toho sa objaví symetria vzhľadom na rovinu.

Definícia.

Body A a sa nazývajú symetrické podľa bodu O (stred symetrie), ak O je stredom úsečky. Bod O je sám so sebou symetrický.

Pre daný bod A aby ste získali bod symetrický vzhľadom na bod O, musíte nakresliť priamku cez body A a O, odložiť segment rovný OA z bodu O a získať požadovaný bod (obrázok 1).

Ryža. 1. Symetria okolo bodu

Podobne body B a sú symetrické okolo bodu O, pretože O je stredom úsečky.

Takže je daný zákon, podľa ktorého každý bod roviny ide do iného bodu roviny a povedali sme, že akékoľvek vzdialenosti sú zachované, teda .

Zvážte symetriu vzhľadom na čiaru v priestore.

Ak chcete získať symetrický bod pre daný bod A vzhľadom na nejakú čiaru a, musíte znížiť kolmicu z bodu A na čiaru a nastaviť na ňu rovnaký segment (obrázok 2).

Ryža. 2. Symetria vzhľadom na priamku v priestore

Definícia.

Body A a sa nazývajú symetrické vzhľadom na priamku a (os súmernosti), ak priamka a prechádza stredom úsečky a je na ňu kolmá. Každý bod čiary je symetrický sám o sebe.

Definícia.

Body A a sa nazývajú symetrické vzhľadom na rovinu (rovinu symetrie), ak rovina prechádza stredom úsečky a je na ňu kolmá. Každý bod roviny je symetrický sám o sebe (obrázok 3).

Ryža. 3. Symetria vzhľadom na rovinu

Niektoré geometrické útvary môžu mať stred symetrie, os symetrie, rovinu symetrie.

Definícia.

Bod O sa nazýva stred symetrie obrazca, ak je každý bod obrazca vzhľadom naň symetrický k niektorému bodu toho istého obrazca.

Napríklad v rovnobežníku a rovnobežnostene je priesečníkom všetkých uhlopriečok stred symetrie. Ukážme si to na rovnobežnostene.

Ryža. 4. Stred symetrie rovnobežnostena

Takže so symetriou okolo bodu O v rovnobežnostene bod A ide do bodu , bod B ide do bodu atď., takže krabica ide do seba.

Definícia.

Priamka sa nazýva os symetrie obrazca, ak je každý bod obrazca symetrický okolo nej k niektorému bodu toho istého obrazca.

Napríklad každá uhlopriečka kosoštvorca je pre neho osou symetrie, kosoštvorec sa premení na seba, keď je symetrický podľa ktorejkoľvek z uhlopriečok.

Zvážte príklad vo vesmíre - obdĺžnikový rovnobežnosten (bočné hrany sú kolmé na základne, rovnaké obdĺžniky na základniach). Takýto rovnobežnosten má osi symetrie. Jeden z nich prechádza stredom symetrie rovnobežnostena (priesečník uhlopriečok) a stredmi hornej a dolnej základne.

Definícia.

Rovina sa nazýva rovina súmernosti obrazca, ak každý bod obrazca je symetrický vzhľadom k nemu k niektorému bodu toho istého obrazca.

Napríklad kváder má roviny symetrie. Jeden z nich prechádza stredom protiľahlých okrajov hornej a dolnej základne (obrázok 5).

Ryža. 5. Rovina súmernosti pravouhlého rovnobežnostena

Prvky symetrie sú vlastné pravidelným mnohostenom.

Definícia.

Konvexný mnohosten sa nazýva pravidelný, ak sú všetky jeho steny rovnaké pravidelné polygóny a rovnaký počet hrán sa zbieha v každom vrchole.

Veta.

Neexistuje žiadny pravidelný mnohosten, ktorého steny sú pravidelné n-uholníky pre .

dôkaz:

Zvážte prípad, keď je pravidelný šesťuholník. Všetko vnútorné rohy sú rovné:

Potom budú vnútorné uhly väčšie.

V každom vrchole mnohostenu sa zbiehajú aspoň tri hrany, čo znamená, že každý vrchol obsahuje aspoň tri ploché uhly. Ich celkový súčet (za predpokladu, že každý je väčší alebo rovný ) je väčší alebo rovný . To je v rozpore s tvrdením: v konvexnom mnohostene je súčet všetkých rovinných uhlov v každom vrchole menší ako .

Veta bola dokázaná.

Kocka (obrázok 6):

Ryža. 6. Kocka

Kocka sa skladá zo šiestich štvorcov; štvorec je pravidelný mnohouholník;

Každý vrchol je vrcholom troch štvorcov, napríklad vrchol A je spoločný pre štvorcové steny ABCD, ;

Súčet všetkých rovinných uhlov v každom vrchole je , pretože pozostáva z troch pravých uhlov. Toto je menej ako , čo spĺňa predstavu o pravidelnom mnohostene;

Kocka má stred symetrie - priesečník uhlopriečok;

Kocka má osi symetrie, napríklad priamky aab (obrázok 6), kde priamka a prechádza stredmi protiľahlých stien a b stredmi protiľahlých hrán;

Kocka má roviny symetrie, napríklad rovinu, ktorá prechádza priamkami a a b.

2. Pravidelný štvorsten (pravidelný trojuholníkový ihlan, ktorého všetky hrany sú si navzájom rovné):

Ryža. 7. Pravidelný štvorsten

Pravidelný štvorsten je tvorený štyrmi rovnostrannými trojuholníkmi;

Súčet všetkých rovinných uhlov v každom vrchole je , pretože pravidelný štvorsten pozostáva z troch plochých rohov v . Toto je menej ako , čo spĺňa predstavu o pravidelnom mnohostene;

Pravidelný štvorsten má osi symetrie; prechádzajú stredmi protiľahlých hrán, napríklad priamkou MN. Okrem toho, MN je vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa čiarami AB a CD, MN je kolmá na okraje AB a CD;

Pravidelný štvorsten má roviny symetrie, z ktorých každá prechádza cez hranu a stred protiľahlej hrany (obrázok 7);

Pravidelný štvorsten nemá stred symetrie.

3. Pravidelný osemsten:

Pozostáva z ôsmich rovnostranných trojuholníkov;

Štyri hrany sa zbiehajú v každom vrchole;

Súčet všetkých rovinných uhlov v každom vrchole je , pretože pravidelný osemsten pozostáva zo štyroch rovinných uhlov pozdĺž . To je menej ako , čo spĺňa koncepciu pravidelného mnohostenu.

4. Pravidelný dvadsaťsten:

Pozostáva z dvadsiatich rovnostranných trojuholníkov;

Päť hrán sa zbieha v každom vrchole;

Súčet všetkých rovinných uhlov v každom vrchole je , pretože pravidelný dvadsaťsten pozostáva z piatich rovinných uhlov pozdĺž . To je menej ako , čo spĺňa koncepciu pravidelného mnohostenu.

5. Pravidelný dvanásťsten:

Pozostáva z dvanástich pravidelných päťuholníkov;

Tri hrany sa zbiehajú v každom vrchole;

Súčet všetkých rovinných uhlov v každom vrchole je . To je menej ako , čo spĺňa koncepciu pravidelného mnohostenu.

Takže sme zvážili typy symetrie v priestore a dali sme prísne definície. Definovali sme tiež pojem pravidelného mnohostena, zvážili sme príklady takýchto mnohostenov a ich vlastnosti.

Bibliografia

I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Geometria. Ročník 10-11: učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií (základné a úrovne profilu) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. vydanie, Rev. a dodatočné - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: chor.
Sharygin I. F. Geometria. 10. – 11. ročník: Učebnica pre všeobecné vzdelávanie vzdelávacie inštitúcie/ Sharygin I.F. - M.: Drop, 1999. - 208 s.: ill.
E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Geometria. 10. ročník: Učebnica pre všeobecnovzdelávacie inštitúcie s hĺbkovým a profilovým štúdiom matematiky / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. vyd., stereotyp. - M.: Drop, 2008. - 233 s.: chor.

Matemonline.com().
Fmclass.ru ().
5class.net().

Domáca úloha

Zadajte počet osí symetrie kvádra;
uveďte počet osí symetrie pravidelného päťuholníkového hranola;
uveďte počet rovín symetrie osemstenu;
postaviť pyramídu, ktorá má všetky prvky symetrie.

Späť dopredu

Pozor! Ukážka snímky slúži len na informačné účely a nemusí predstavovať celý rozsah prezentácie. Ak máš záujem táto práca prosím stiahnite si plnú verziu.

Typ lekcie: kombinované.

Ciele lekcie:

Zvážte osové, stredové a zrkadlové symetrie ako vlastnosti niektorých geometrických tvarov.
Naučte sa stavať symetrické body a rozpoznávať tvary, ktoré majú osovú súmernosť a stredovú súmernosť.
Zlepšiť zručnosti pri riešení problémov.

Ciele lekcie:

Formovanie priestorových zobrazení žiakov.
Rozvíjanie schopnosti pozorovania a uvažovania; rozvíjanie záujmu o predmet prostredníctvom používania informačných technológií.
Vychovať človeka, ktorý vie oceniť to krásne.

Vybavenie lekcie:

Využitie informačných technológií (prezentácia).
Výkresy.
Kartičky s domácimi úlohami.

Počas vyučovania

I. Organizačný moment.

Informujte o téme hodiny, formulujte ciele hodiny.

II. Úvod.

Čo je symetria?

Vynikajúci matematik Hermann Weyl vysoko ocenil úlohu symetrie v moderná veda: "Symetria, akokoľvek široko alebo úzko tomuto slovu rozumieme, je myšlienka, ktorou sa človek snažil vysvetliť a vytvoriť poriadok, krásu a dokonalosť."

Žijeme vo veľmi krásnom a harmonickom svete. Sme obklopení predmetmi, ktoré lahodia oku. Napríklad motýľ, javorový list, snehová vločka. Pozrite sa, aké sú krásne. Venovali ste im pozornosť? Dnes sa dotkneme tohto krásneho matematického javu – symetrie. Zoznámime sa s konceptom axiálneho, stredová a zrkadlová symetria. Naučíme sa stavať a definovať obrazce, ktoré sú symetrické podľa osi, stredu a roviny.

Slovo "symetria" v gréčtine znie ako "harmónia", čo znamená krásu, proporcionalitu, proporcionalitu, rovnakosť v usporiadaní častí. Od staroveku človek využíval v architektúre symetriu. Dáva harmóniu a úplnosť starobylým chrámom, vežiam stredovekých hradov, moderným budovám.

V najviac všeobecný pohľad"symetria" sa v matematike chápe ako taká transformácia priestoru (roviny), v ktorej každý bod M prechádza do iného bodu M "vzhľadom k nejakej rovine (alebo priamke) a, keď je úsečka MM" kolmá na rovinu (resp. riadok) a a je ním rozdelený na polovicu . Rovina (priamka) a sa nazýva rovina (alebo os) symetrie. Medzi základné pojmy symetrie patrí rovina symetrie, os symetrie, stred symetrie. Rovina symetrie P je rovina, ktorá rozdeľuje postavu na dve zrkadlovo rovnaké časti, ktoré sú umiestnené voči sebe rovnakým spôsobom ako objekt a jeho zrkadlový odraz.

III. Hlavná časť. Typy symetrie.

Stredová symetria

Symetria o bode resp stredová symetria je taká vlastnosť geometrický obrazec keď ktorýkoľvek bod nachádzajúci sa na jednej strane stredu symetrie zodpovedá inému bodu umiestnenému na druhej strane stredu. V tomto prípade sú body na priamke, ktorá prechádza stredom a delí segment na polovicu.

Praktická úloha.

Dané body ALE, AT a M M vzhľadom na stred segmentu AB.
Ktoré z nasledujúcich písmen má stred symetrie: A, O, M, X, K?
Majú stred symetrie: a) segment; b) nosník; c) pár pretínajúcich sa čiar; d) štvorcový?

Osová súmernosť

Symetria okolo čiary (alebo osová súmernosť) je taká vlastnosť geometrického útvaru, keď ktorýkoľvek bod umiestnený na jednej strane priamky bude vždy zodpovedať bodu umiestnenému na druhej strane priamky a segmenty spájajúce tieto body budú kolmé na os symetrie. a rozpolte ho.

Praktická úloha.

Vzhľadom na dva body ALE a AT, symetrické vzhľadom na nejakú priamku a bod M. Zostrojte bod symetrický k bodu M približne v rovnakej línii.
Ktoré z nasledujúcich písmen má os súmernosti: A, B, D, E, O?
Koľko osí symetrie má: a) segment; b) priamka; c) lúč?
Koľko osí súmernosti má kresba? (pozri obr. 1)

Zrkadlová symetria

bodov ALE a AT sa nazývajú symetrické vzhľadom na rovinu α (rovina symetrie), ak rovina α prechádza stredom úsečky AB a kolmo na tento segment. Každý bod roviny α sa považuje za symetrický sám so sebou.

Praktická úloha.

Nájdite súradnice bodov, do ktorých prechádzajú body A (0; 1; 2), B (3; -1; 4), C (1; 0; -2) s: a) stredovou symetriou okolo počiatku; b) osová súmernosť okolo súradnicových osí; c) zrkadlová symetria vzhľadom na súradnicové roviny.
Ide pravá rukavica do pravej alebo ľavej rukavice so zrkadlovou symetriou? osová symetria? stredová symetria?
Obrázok ukazuje, ako sa číslo 4 odráža v dvoch zrkadlách. Čo sa zobrazí namiesto otáznika, ak sa to isté urobí s číslom 5? (pozri obr. 2)
Obrázok ukazuje, ako sa slovo KANGAROO odráža v dvoch zrkadlách. Čo sa stane, ak urobíte to isté s číslom 2011? (pozri obr. 3)

Ryža. 2

Je to zaujímavé.

Symetria v prírode.

Takmer všetky živé bytosti sú postavené podľa zákonov symetrie, nie je bez dôvodu, že slovo „symetria“ v preklade z gréčtiny znamená „proporcia“.

Medzi farbami sa pozoruje napríklad rotačná symetria. Mnohé kvety sa dajú otočiť tak, že každý okvetný lístok zaujme pozíciu svojho suseda, kvet je zarovnaný sám so sebou. Minimálny uhol takejto rotácie pre rôzne farby nie je rovnaký. Pre dúhovku je to 120 °, pre zvonček - 72 °, pre narcis - 60 °.

Pri usporiadaní listov na stonkách rastlín sa pozoruje špirálová symetria. Listy, ktoré sú umiestnené skrutkou pozdĺž stonky, sa rozprestierajú v rôznych smeroch a navzájom sa nezakrývajú pred svetlom, hoci samotné listy majú tiež os symetrie. Berúc do úvahy celkový plán stavby akéhokoľvek živočícha si zvyčajne všimneme určitú pravidelnosť v usporiadaní častí tela alebo orgánov, ktoré sa opakujú okolo určitej osi alebo zaujímajú rovnakú polohu voči určitej rovine. Táto správnosť sa nazýva symetria tela. Fenomény symetrie sú vo svete zvierat tak rozšírené, že je veľmi ťažké poukázať na skupinu, v ktorej nemožno spozorovať symetriu tela. Malý hmyz aj veľké zvieratá majú symetriu.

Symetria v neživej prírode.

Medzi nekonečnou rozmanitosťou foriem neživej prírode takýchto dokonalých obrazov oplýva množstvo, ktorých vzhľad vždy priťahuje našu pozornosť. Pri pozorovaní krásy prírody si možno všimnúť, že keď sa predmety odrážajú v kalužiach, jazerách, objavuje sa zrkadlová symetria (pozri obr. 4).

Kryštály prinášajú čaro symetrie do sveta neživej prírody. Každá snehová vločka je malý kryštál zamrznutej vody. Tvar snehových vločiek môže byť veľmi rôznorodý, ale všetky majú rotačnú symetriu a navyše zrkadlovú symetriu.

Nie je možné nevidieť symetriu fazetovaných drahokamov. Mnoho rezačov sa snaží tvarovať svoje diamanty do štvorstenu, kocky, osemstenu alebo dvadsaťstenu. Keďže granátové jablko má rovnaké prvky ako kocka, je veľmi cenené znalcami. drahokamy. V hroboch sa našli umelecké diela vyrobené z granátových jabĺk staroveký Egypt siahajú do preddynastického obdobia (vyše dve tisícročia pred Kristom) (pozri obr. 5).

V zbierkach Ermitáže sa špeciálnej pozornosti tešia zlaté šperky starých Skýtov. Nezvyčajne výtvarné dielo zo zlatých vencov, diadémov, dreva a zdobené vzácnymi červenofialovými granátmi.

Jedným z najzreteľnejších spôsobov použitia zákonov symetrie v živote sú štruktúry architektúry. To je to, čo vidíme najčastejšie. V architektúre sa osi symetrie používajú ako prostriedok na vyjadrenie architektonického zámeru (pozri obrázok 6). Vo väčšine prípadov sú vzory na kobercoch, látkach a tapetách miestností symetrické okolo osi alebo stredu.

Ďalším príkladom človeka, ktorý vo svojej praxi používa symetriu, je technika. V strojárstve sú osi symetrie najjasnejšie označené tam, kde je potrebná odchýlka od nuly, ako napríklad na volante nákladného auta alebo na volante lode. Alebo jeden z najdôležitejších vynálezov ľudstva, ktorý má stred symetrie, je koleso, tiež vrtuľa a iné technické prostriedky majú stred symetrie.

"Pozri sa do zrkadla!"

Máme si myslieť, že sa vidíme len v „zrkadlovom obraze“? Alebo v najlepšom prípade môžeme zistiť, ako „naozaj“ vyzeráme, len na fotografiách a filmoch? Samozrejme, že nie: dosť Zrkadlový obraz odzrkadlite sa v zrkadle, aby ste videli svoju pravú tvár. Trills prichádzajú na záchranu. Majú jedno veľké hlavné zrkadlo v strede a dve menšie zrkadlá po stranách. Ak je takéto bočné zrkadlo umiestnené v pravom uhle k priemeru, potom sa môžete vidieť presne v takej podobe, v akej vás vidia ostatní. Zatvorte ľavé oko a váš odraz v druhom zrkadle bude opakovať váš pohyb s ľavým okom. Pred mriežkou si môžete vybrať, či sa chcete vidieť v zrkadlovom alebo priamom obraze.

Je ľahké si predstaviť, aký zmätok by vládol na Zemi, keby bola narušená symetria v prírode!


Ryža. štyri	Ryža. 5	Ryža. 6

IV. Fizkultminutka.

« lenivé osmičky» – aktivovať štruktúry, ktoré poskytujú zapamätanie, zvýšiť stabilitu pozornosti.
Nakreslite číslo osem vo vzduchu v horizontálnej rovine trikrát, najskôr jednou rukou, potom hneď oboma rukami.
« Symetrické výkresy » - zlepšiť koordináciu oko-ruka, uľahčiť proces písania.
Oboma rukami nakreslite symetrické vzory vo vzduchu.

V. Samostatná práca overovacieho charakteru.

Možnosť ja

Ja možnosť

V obdĺžniku MPKH O je priesečník uhlopriečok, RA a BH sú kolmice ťahané z vrcholov P a H k priamke MK. Je známe, že MA = OB. Nájdite uhol ROM.
V kosoštvorci MPKH sa diagonály pretínajú v bode O. Na stranách MK, KH, PH sa berú body A, B, C, AK = KV = PC. Dokážte, že OA = OB a nájdite súčet uhlov ROS a MOA.
Zostrojte štvorec pozdĺž danej uhlopriečky tak, aby dva protiľahlé vrcholy tohto štvorca ležali na opačných stranách daného ostrého uhla.

VI. Zhrnutie lekcie. Hodnotenie.

S akými typmi symetrie ste sa na hodine zoznámili?
O ktorých dvoch bodoch sa hovorí, že sú symetrické podľa danej priamky?
Ktorý údaj sa považuje za symetrický vzhľadom na danú čiaru?
O ktorých dvoch bodoch sa hovorí, že sú symetrické vzhľadom na daný bod?
O ktorom útvare sa hovorí, že je symetrický vzhľadom na daný bod?
Čo je zrkadlová symetria?
Uveďte príklady útvarov, ktoré majú: a) osovú súmernosť; b) stredová symetria; c) osová aj stredová súmernosť.
Uveďte príklady symetrie v živej a neživej prírode.

VII. Domáca úloha.

1. Jednotlivec: dokončite použitím osovej symetrie (pozri obr. 7).

Ryža. 7

2. Zostrojte obrazec symetrický s daným vzhľadom na: a) bod; b) priamka (pozri obr. 8, 9).


Ryža. osem	Ryža. 9

3. Tvorivá úloha: "Vo svete zvierat." Nakreslite zástupcu zo sveta zvierat a ukážte os symetrie.

VIII. Reflexia.

Čo sa vám na lekcii páčilo?
Aký materiál bol najzaujímavejší?
S akými ťažkosťami ste sa stretli pri plnení úlohy?
Čo by ste zmenili počas hodiny?

snímka 2

Forma lekcie: Lekcia - seminár, riešenie problémov

Ciele hodiny: Aktualizovať osobné porozumenie študentov vzdelávací materiál"Pohyby v priestore" Podporovať vedomé pochopenie aplikovaného významu témy, rozvoj schopnosti vidieť študované typy pohybov v okolitej realite. kognitívny záujem ku konštrukcii obrazov predmetov s rôzne druhy pohyby Prispieť ku kompetentnej asimilácii témy, rozvoju praktických zručností

snímka 3

Symetria je myšlienka, prostredníctvom ktorej sa človek po stáročia snažil pochopiť a vytvoriť poriadok, krásu a dokonalosť.G. Weil.

snímka 4

Pohyb priestoru je mapovaním priestoru na seba, pričom sa zachováva vzdialenosť medzi bodmi.

snímka 5

Stredová symetria

snímka 6

Stredová symetria je mapovanie priestoru na seba, v ktorom ľubovoľný bod M smeruje do bodu M1, ktorý je k nemu symetrický vzhľadom na daný stred O.

Snímka 7

Snímka 8

Snímka 9

Postavy s centrálnou symetriou

Snímka 10

čl. metro Sokol

snímka 11

čl. Metro Rimskaya

snímka 12

Pavilón kultúry, VVC

snímka 13

.O

Snímka 14

Osová súmernosť

snímka 15

Osová symetria s osou a je také mapovanie priestoru na seba, v ktorom ľubovoľný bod M ide do bodu M1, ktorý je k nemu symetrický vzhľadom na os a. Osová symetria je pohyb. a Osová súmernosť M M1

snímka 16

Х y Z О M(x;y;z) M1(x1;y1;z1) Dokážme, že osová súmernosť je pohyb. Aby sme to dosiahli, zavedieme pravouhlý súradnicový systém Oxyz tak, aby sa os Oz zhodovala s osou symetrie, a vytvoríme spojenie medzi súradnicami dvoch bodov M(x;y;z) a M1(x1;y1;z1) symetrické okolo osi Oz. Ak bod M neleží na osi Oz, potom os Oz: 1) prechádza stredom úsečky MM1 a 2) je na ňu kolmá. Z prvej podmienky pomocou vzorcov pre súradnice stredu segmentu získame (x+x1)/2=0 a (y+y1)/2=0, odkiaľ x1=-x a y1=-z . Druhá podmienka znamená, že aplikácie bodov M a M1 sú rovnaké: z1=z. Dôkaz

Snímka 17

Dôkaz

Uvažujme teraz ľubovoľné dva body A(x1;y1;z1) a B(x2;y2;z2) a dokážme, že vzdialenosť medzi bodmi A1 a B1, ktoré sú k nim symetrické, sa rovná AB. Body A1 a B1 majú súradnice A1(-x1;-y1;-z1) a B1(-x1;-y1;-z1) Pomocou vzorca pre vzdialenosť medzi dvoma bodmi zistíme: AB=\/(x2-x1 )²+(y2 -y1)²+(z2-z1), A1B1=\/(-x2+x1)²+(-y2+y1)²+(-z2+z1). Z týchto vzťahov je zrejmé, že AB=A1B1, čo sa malo dokázať.

Snímka 18

Aplikácia

Osová symetria je veľmi častá. Možno to vidieť v prírode: listy rastlín alebo kvetov, telo živočíšneho hmyzu a dokonca aj ľudí, ako aj stvorenie samotného človeka: budovy, autá, vybavenie a oveľa viac.

Snímka 19

Snímka 20

Aplikácia osovej súmernosti v živote

Architektonické budovy

snímka 21

Snehové vločky a ľudské telo

snímka 22

eiffelova veža sova

snímka 23

Čo môže byť viac ako moja ruka alebo moje ucho ako ich vlastný odraz v zrkadle? A ruku, ktorú vidím v zrkadle, nemožno vrátiť späť skutočná ruka. Emmanuel Kant.Zrkadlová symetria

snímka 24

Displej objemový údaj, v ktorom každý jeho bod zodpovedá bodu, ktorý je k nemu symetrický vzhľadom na danú rovinu, sa nazýva odrazom trojrozmerného útvaru v tejto rovine (alebo zrkadlovou symetriou).

Snímka 25

Veta 1. Odraz v rovine zachováva vzdialenosti, a preto je pohyb. Veta 2. Pohyb, pri ktorom sú všetky body určitej roviny nehybné, je odrazom v tejto rovine alebo identické zobrazenie Zrkadlová symetria je určená zadaním jednej dvojica zodpovedajúcich bodov, ktoré neležia v rovine symetrie: rovina symetrie prechádza stredom úsečky spájajúcej tieto body, kolmo na ňu.

snímka 26

Preukážeme, že zrkadlová symetria je pohyb. Na tento účel zavedieme pravouhlý súradnicový systém Оxyz tak, aby sa rovina Оxy zhodovala s rovinou symetrie, a vytvoríme spojenie medzi súradnicami dvoch bodov М(x; y; z) a M1(x1; y1; z1), symetricky vzhľadom na rovinu Oxy.

Snímka 27

Ak bod M neleží v rovine Oxy, potom táto rovina: 1) prechádza stredom úsečky MM1 a 2) je na ňu kolmá. Z prvej podmienky podľa vzorca pre súradnice stredu segmentu dostaneme (z+z1)/2=0, odkiaľ z1=-z. Druhá podmienka znamená, že segment MM1 je rovnobežný s osou Oz, a. teda x1=x, y1=y. M leží v rovine Oxy. Zvážte teraz dva body A (x1; y1; z1) a B (x2; y2; z2) a dokážte, že vzdialenosť medzi bodmi symetrickými k nim je A1 (x1; y1; -z1) a B (x2; y2; - z2). Podľa vzorca vzdialenosti medzi dvoma bodmi nájdeme: AB \u003d druhá odmocnina z (x2-x1) 2 + (y2-y1) 2 + (z2-z1) 2, A1B1 \u003d druhá odmocnina z (x2-x1) 2+ (y2-yl)2+(-z2-z1)2. Z týchto vzťahov je zrejmé, čo bolo potrebné dokázať.

Snímka 28

Symetria vzhľadom na rovinu (zrkadlová symetria) priestoru je pohyb, čo znamená, že má všetky vlastnosti pohybov: prevádza priamku na priamku, rovinu na rovinu. Okrem toho ide o priestorovú transformáciu, ktorá sa zhoduje s jej inverznou: zloženie dvoch symetrií vzhľadom na rovnakú rovinu je identickou transformáciou. Pri symetrii okolo roviny zostávajú všetky body tejto roviny a iba oni na svojom mieste (pevné transformačné body). Čiary ležiace v rovine súmernosti a na ňu kolmé prechádzajú do seba. Roviny kolmé na rovinu symetrie sa tiež transformujú do seba. Symetria vzhľadom na rovinu je pohyb druhého druhu (mení orientáciu štvorstenu).

Snímka 29

Lopta je symetrická okolo akejkoľvek osi prechádzajúcej jej stredom.

snímka 30

Pravý kruhový valec je symetrický vzhľadom na akúkoľvek rovinu prechádzajúcu jeho osou.

Snímka 31

Pravidelná n-uholníková pyramída pre párne n je symetrická vzhľadom na akúkoľvek rovinu prechádzajúcu jej výškou a najdlhšou uhlopriečkou základne.

snímka 32

Zvyčajne sa verí, že dvojník pozorovaný v zrkadle je presnou kópiou samotného objektu. V skutočnosti to nie je celkom pravda. Zrkadlo nekopíruje len objekt, ale zamieňa (preusporiadava) časti objektu, ktoré sú vpredu a vzadu vzhľadom na zrkadlo. V porovnaní s objektom samotným sa jeho zrkadlové dvojča javí ako „obrátené“ v smere kolmom na zrkadlovú rovinu.Tento efekt je na jednom obrázku jasne viditeľný a na druhom prakticky neviditeľný.

Snímka 33

Predpokladajme, že jedna polovica objektu je zrkadlové dvojité vo vzťahu k jeho druhej polovici. Takýto objekt sa nazýva zrkadlovo symetrický, pri odraze v zodpovedajúcej zrkadlovej rovine sa premení na seba. Táto rovina sa nazýva rovina symetrie.