Vzorec na výpočet plochy pravidelného trojuholníka. Čomu sa to rovná a ako nájsť oblasť rovnostranného trojuholníka

Rovnostranný trojuholník je najjednoduchší možný pravidelný mnohouholník. Pri zisťovaní jej výmery vznikajú konkrétne varianty jej výpočtu. Je dôležité poznať a porozumieť znakom a vlastnostiam tohto typu postavy, aby ste mohli tento parameter ľahšie vypočítať. Všetky metódy uvedené nižšie sú pomerne jednoduché na používanie a nevyžadujú hlboké myslenie.

V kontakte s

Znaky a vlastnosti postavy

Jeho hodnota je vo všetkých prípadoch rovnaká a rovná sa 60 stupňov, bez ohľadu na veľkosť strán.
, výška a medián uvoľnené z jedného rohu sa zhodujú.
Ľubovoľná strana rovnostranného trojuholníka rovná ostatným dvom.
Stred pravidelného trojuholníka bude stredom pre.
Ide o špeciálny prípad rovnoramenného trojuholníka.

Dôležité! Ak je splnená aspoň jedna z týchto charakteristík, potom je trojuholník rovnostranný.

Rovnostranný trojuholník

Navyše, tento špeciálny prípad postavy má nasledujúce vlastnosti:

Výpočet cez stranu

Existuje mnoho spôsobov, ako vypočítať plochu tohto obrázku. Všetky majú svoje výhody a nevýhody. Aplikujú sa v závislosti od podmienok, ktoré daný problém predstavuje. Najpopulárnejší spôsob, ako nájsť požadovanú hodnotu pre rovnostranný trojuholník, je vypočítaný prostredníctvom súčinu polovice strán a sínusu uhla medzi nimi, vyzerá to takto: , kde a a b sú strany, α je uhol medzi ich.

V prípade rovnostranného je táto metóda do značnej miery zjednodušená. Aby ste to dosiahli, musíte sa obrátiť na vyššie uvedené znaky a vlastnosti. Na základe skutočnosti, že všetky uhly tohto obrázku sú rovnaké a rovné 60 stupňom. Sínus 60 stupňov, podľa Bradisov stôl, rovná sa , transformáciou pôvodného výrazu dostaneme nasledujúcu hodnotu: .

Vzhľadom na to, že všetky strany tohto obrazca sú rovnaké, transformovaný výraz poskytne nasledujúci výsledok: .

Tento vzorec je perfektný, ak viete veľkosť strany tento údaj. V tejto forme je výpočet tohto ukazovateľa oveľa jednoduchší a rýchlejší.

Tí, ktorí si pamätajú Heronov vzorec, vedia, ako nájsť oblasť tohto čísla. Počas procesu prevodu sa výraz zmení na výraz uvedený vyššie. Oblasť tohto obrázku podľa Herona sa vypočíta takto: , kde a, b, c sú strany a p je polobvod (). Tento výraz je prevedený celkom jednoducho. Je potrebné namiesto hodnoty p dosadiť výpočet polobvodu a postupne výraz začať znižovať. Súčet strán môže byť reprezentovaný ako súčet troch rovnakých strán a dokončených redukcií. Matematicky to vyzerá takto:

;

Výsledný plošný vzorec a funkcie uvedené nižšie je možné použiť len vtedy, ak je uvedený obrázok je správne inak nedá správnu odpoveď.

Výpočet plochy trojuholníka na základe jeho strany

Výpočet výšky

Môžete tiež nájsť oblasť rovnostranného trojuholníka, ak ho poznáte a bočné. Polovičná dĺžka výšky sa vynásobí stranou ľubovoľnú výšku a stranu, pretože podľa vlastností sú; všetci sú rovnakí: , kde a je dĺžka strany. Je ľahko zapamätateľný, v praxi sa však používa pomerne zriedka.

Ak úloha obsahuje informáciu, že trojuholník je rovnostranný a výška je známa. A nie je známe, aká je dĺžka strany, potom môžete použiť vzorec, ktorý vám umožní vypočítať ju. Nájsť stranu možno vydeliť vydelením dvojitej výšky druhou odmocninou z troch, matematicky to vyzerá takto: . Potom sa použije plošný vzorec, kde sa výpočty robia cez stranu, ako je to opísané v predchádzajúcom odseku.

Aby ste nerobili zbytočné výpočty, môžete okamžite odvodiť vzorec pre tento ukazovateľ cez výšku. Druhá mocnina výšky je delená druhou odmocninou troch. Bude to vyzerať takto: . V tomto prípade nemusíte použiť vzorec rovnoramenného trojuholníka cez stranu.

Výpočet plochy trojuholníka na základe jeho strany a výšky

Výpočet cez kruhy

V matematike je tiež populárna metóda výpočtu hodnoty, o ktorej sa hovorí v článku, umiestnením postavy do kruhu alebo naopak. Taký kruh nazývaný popísaný. Ak je vo vnútri, nazýva sa to vpísané. Práve v tejto časti vyvstáva väčšina otázok o tom, ako nájsť oblasť rovnostranného mnohouholníka s tromi uhlami.

Opísaný kruh musí prejsť cez všetky vrcholy, vpísané musí prechádzať cez strany len v jednom bode pozdĺž dotyčnice.

Kresba rovnostranného trojuholníka opísaného alebo vpísaného do kruhu

Ak problémový výrok udáva polomer vpísanej a opísanej kružnice, potom sa z nich dá urobiť aj výraz, keďže spolu udávajú celkovú dĺžku výšky. Ako sa pomocou neho vypočíta plocha, je uvedené vyššie: h = R + r.

Transformáciou vzorca použitím výpočtu výšky h = R + r môžete získať nasledujúcu hodnotu: . Tento vzorec možno ešte viac zjednodušiť, pretože možno vyjadriť polomer opísanej kružnice cez vpísaný polomer. Podľa vlastností týchto kružníc R = 2r, kde r je polomer kružnice opísanej, R je polomer kružnice opísanej. Respektíve oblasť pravidelného trojuholníka sa vypočíta takto: .

Ak je daná veľkosť polomeru kružnice opísanej, potom výraz bude vyzerať takto: .

Použitie týchto vlastností je užitočné pri výpočte strany obrazca. Aby ste ho našli, môžete použiť výraz pre opísaný kruh a vpísaný kruh.

Vzhľadom na polomer opísanej kružnice môžete požadovanú hodnotu nájsť skosením strany, po ktorej sa výsledok vydelí zväčšeným polomerom 4 krát. Matematicky sa to dá zapísať takto: .

Proces výpočtu toho, aká je plocha rovnostranného trojuholníka s použitím ktoréhokoľvek z navrhovaných vzorcov, by nemal spôsobiť žiadne zvláštne ťažkosti. Aby ste túto úlohu úspešne zvládli, nemusíte si pamätať všetky zadané metódy, stačí si zapamätať základné všeobecné kalkulačné vzorce, ako aj vlastnosti a charakteristiky tohto obrázku.

Pozor! Ak chcete skontrolovať správnosť výpočtov, môžete použiť niekoľko metód;

Plocha rovnostranného trojuholníka

Plocha rovnostranného trojuholníka vpísaného do kruhu

Aplikovaním logického myslenia sa výpočty ľahko transformujú na špeciálne prípady, ktorých je oveľa viac. Nie je vhodné zapĺňať si hlavu veľkým množstvom irelevantných informácií, na transformáciu výrazov je lepšie vytvoriť vzťah príčina-následok.

Spomedzi geometrických útvarov, o ktorých sa diskutuje v časti geometria, sa pri riešení určitých problémov najčastejšie stretávame s trojuholníkom. Tvoria ho tri priame línie. Nepretínajú sa v jednom bode a nie sú rovnobežné. Môže byť uvedená iná definícia: trojuholník je prerušovaná uzavretá čiara pozostávajúca z troch článkov, kde jeho začiatok a koniec sú spojené v jednom bode. Ak sú všetky tri strany rovnako veľké, potom je to pravidelný trojuholník, alebo, ako sa hovorí, rovnostranný.

Ako určiť Na vyriešenie takýchto problémov potrebujete poznať niektoré vlastnosti tohto geometrického útvaru. Po prvé, tento má všetky uhly rovnaké. Po druhé, výška, ktorá klesá zhora nadol, je stredná aj výška. To naznačuje, že výška rozdeľuje vrchol trojuholníka na dva rovnaké uhly a opačnú stranu na dva rovnaké segmenty. Keďže rovnostranný trojuholník pozostáva z dvoch, pri určovaní požadovanej hodnoty je potrebné použiť Pytagorovu vetu.

Výpočet plochy trojuholníka je možné vykonať rôznymi spôsobmi v závislosti od známych množstiev.

1. Uvažujme rovnostranný trojuholník so známou stranou b a výškou h. Plocha trojuholníka sa v tomto prípade bude rovnať jednej polovici súčinu strany a výšky. Vo forme vzorca to bude vyzerať takto:

Inými slovami, plocha rovnostranného trojuholníka sa rovná polovici súčinu jeho strany a jeho výšky.

2. Ak je známa iba veľkosť strany, potom pred hľadaním oblasti je potrebné vypočítať jej výšku. Ak to chcete urobiť, zvážte polovicu trojuholníka, v ktorom nadmorská výška bude jednou z nôh, prepona je strana trojuholníka a druhá vetva je polovica strany trojuholníka podľa jej vlastností. Všetko z tej istej Pytagorovej vety Ako je z nej známe, druhá mocnina prepony zodpovedá súčtu štvorcov nôh. Ak vezmeme do úvahy polovicu trojuholníka, potom je v tomto prípade strana prepona, polovica strany je jedna noha a výška je druhá.

(b/2)²+ h2= b², teda

h²= b²-(b/2)². Priveďme to k spoločnému menovateľovi:

Ako vidíte, výška príslušného čísla sa rovná súčinu polovice jeho strany a odmocniny troch.

Dosadíme to do vzorca a uvidíme: S=1/2* b* b/2√3= b²/4√3.

To znamená, že plocha rovnostranného trojuholníka sa rovná súčinu štvrtej časti štvorca strany a odmocniny troch.

3. Existujú aj problémy, keď je potrebné určiť plochu rovnostranného trojuholníka so známou výškou. A ukáže sa, že je to také jednoduché ako lúskanie hrušiek. Už v predchádzajúcom prípade sme odvodili, že h²= 3 b²/4. Ďalej musíte odvodiť stranu odtiaľto a nahradiť ju do vzorca oblasti. Bude to vyzerať takto:

b²=4/3* h², teda b=2h/√3. Dosadením do vzorca pre oblasť dostaneme:

S=1/2* h*2h/√3, teda S= h²/√3.

Existujú problémy, keď je potrebné nájsť oblasť rovnostranného trojuholníka pozdĺž polomeru vpísanej alebo opísanej kružnice. Pre tento výpočet existujú aj určité vzorce, ktoré vyzerajú takto: r = √3* b/6, R=√3* b/3.

Konáme podľa princípu, ktorý je nám už známy. Pri známom polomere odvodíme stranu zo vzorca a vypočítame ju dosadením známej hodnoty polomeru. Výslednú hodnotu dosadíme do už známeho vzorca na výpočet plochy pravidelného trojuholníka, vykonáme aritmetické výpočty a nájdeme požadovanú hodnotu.

Ako vidíme, na riešenie podobných problémov je potrebné poznať nielen vlastnosti pravidelného trojuholníka, ale aj Pytagorovu vetu a polomer kružnice opísanej a vpísanej. Pre tých, ktorí majú tieto znalosti, nebude riešenie takýchto problémov obzvlášť ťažké.

Najčastejšie otázky

Je možné vyrobiť pečiatku na doklad podľa poskytnutého vzoru? Odpoveď Áno, je to možné. Pošlite naskenovanú kópiu alebo kvalitnú fotografiu na našu e-mailovú adresu a my vyhotovíme potrebný duplikát.

Aké typy platieb akceptujete? Odpoveď Za dokument môžete zaplatiť pri prevzatí kuriérom, po kontrole správnosti vyplnenia a kvality vyhotovenia diplomu. Dá sa tak urobiť aj na pobočkách poštových spoločností, ktoré ponúkajú služby na dobierku.
Všetky podmienky dodania a platby za dokumenty sú popísané v časti „Platba a doručenie“. Sme pripravení vypočuť si aj vaše návrhy týkajúce sa podmienok dodania a platby za dokument.

Môžem si byť istý, že po zadaní objednávky nezmiznete s mojimi peniazmi? Odpoveď V oblasti tvorby diplomov máme pomerne dlhoročné skúsenosti. Máme niekoľko webových stránok, ktoré sú neustále aktualizované. Naši špecialisti pracujú v rôznych častiach krajiny a vyrobia viac ako 10 dokumentov denne. V priebehu rokov naše dokumenty pomohli mnohým ľuďom vyriešiť problémy so zamestnaním alebo prejsť na lepšie platené miesta. Medzi klientmi sme si získali dôveru a uznanie, takže nie je absolútne žiadny dôvod, aby sme to robili. Navyše je to jednoducho nemožné fyzicky: za objednávku zaplatíte v momente, keď ju dostanete do rúk, neplatíte žiadnu platbu vopred.

Môžem si objednať diplom z ktorejkoľvek univerzity? Odpoveď Vo všeobecnosti áno. V tejto oblasti pôsobíme už takmer 12 rokov. Za tento čas sa vytvorila takmer kompletná databáza dokumentov vydaných takmer všetkými univerzitami v krajine a pre rôzne roky vydania. Všetko, čo potrebujete, je vybrať si univerzitu, odbor, dokument a vyplniť objednávkový formulár.

Čo robiť, ak v dokumente nájdete preklepy a chyby? Odpoveď Pri preberaní dokladu od našej kuriérskej alebo poštovej spoločnosti odporúčame dôkladne si skontrolovať všetky údaje. V prípade zistenia preklepu, chyby alebo nepresnosti máte právo diplom neprevziať, zistené nedostatky však musíte oznámiť osobne kuriérovi alebo písomne zaslaním emailu.
Dokument čo najskôr opravíme a znova odošleme na uvedenú adresu. Poštovné samozrejme hradí naša spoločnosť.
Aby sa predišlo takýmto nedorozumeniam, pred vyplnením pôvodného formulára pošleme zákazníkovi e-mailom maketu budúceho dokumentu na kontrolu a schválenie konečnej verzie. Pred odoslaním dokumentu kuriérom alebo poštou urobíme aj ďalšie fotografie a videá (aj v ultrafialovom svetle), aby ste mali jasnú predstavu o tom, čo nakoniec dostanete.

Čo mám urobiť, aby som si objednal diplom od vašej spoločnosti? Odpoveď Pre objednanie dokumentu (certifikát, diplom, akademické vysvedčenie a pod.) je potrebné vyplniť online objednávkový formulár na našej stránke alebo poskytnúť svoj email, aby sme Vám mohli poslať prihlášku, ktorú je potrebné vyplniť a poslať späť nám.
Ak neviete, čo uviesť v niektorom poli objednávkového formulára/dotazníka, nechajte ho prázdne. Všetky chýbajúce informácie si preto vyjasníme telefonicky.

Najnovšie recenzie

Victor:

S diplomom som veľmi spokojný. Ďakujem. Ak by ste sa naučili robiť pasy, bolo by to ideálne.

Karina:

Dnes som dostal diplom. Ďakujem za kvalitnú prácu. Všetky termíny boli tiež dodržané. Určite Vás odporučím všetkým svojim známym.

V elementárnej geometrii je rovnostranný trojuholník pravidelný mnohouholník s tromi stranami. Ak túto definíciu trochu rozšírime a upresníme, ukáže sa, že trojuholník je pravidelný, ak všetky jeho strany majú rovnakú dĺžku a uhly sú rovné 60°. Ako nájsť sa vyučuje na hodinách geometrie na strednej škole a v praxi musia tieto znalosti často aplikovať dizajnéri a architekti.

Výpočet plochy rovnostranného trojuholníka

ach

a- strana trojuholníka

h- nadmorská výška trojuholníka

S- námestie

Architekti oblasť rovnostranného trojuholníka musia nájsť, ak prvky budov, ktoré navrhujú, majú takúto formu. Môžu to byť neštandardné okná (obyčajné aj podkrovné), ktoré sa často nachádzajú v budovách, ktoré majú originálny architektonický dizajn. Ich dizajnéri vzorec pre oblasť rovnostranného trojuholníka je potrebné zistiť, či bude okno dostatočne veľké na to, aby do miestnosti preniklo potrebné množstvo denného svetla. Okrem toho štíty obytných vidieckych domov a chát, ako aj hospodárskych budov, ktorých strešné svahy sú niekedy umiestnené pod uhlom 60 °, majú často tvar rovnostranných trojuholníkov.

Rovnostranné trojuholníky možno často nájsť ako súčasť rôznych technických zariadení a nástrojov. Tento tvar majú napríklad vymeniteľné doštičky sústružníckych nástrojov z tvrdokovu. Inštalujú sa na držiak jeho inštaláciou na špeciálnu os a sú upevnené pomocou klinového oceľového prvku, ktorého upnutie sa vykonáva pomocou závitového spojenia. Potom, čo sa jedna z hrán doštičky počas procesu rezania otupí, doštička sa vyberie, otočí o 60° a opäť zafixuje, čím je možné použiť ďalšiu ostrú hranu. Vzhľadom na skutočnosť, že karbidová doštička má tvar rovnostranného trojuholníka, je možné takúto reinštaláciu vykonať trikrát. Tupé hrany sa nedajú brúsiť a tieto prvky rezného nástroja sa likvidujú roztavením.

Motoristi aj chodci dobre poznajú dopravné značky, ktoré sú rovnostrannými trojuholníkmi. Tento tvar ich robí nápadnejšími, a preto sú to väčšinou varovné signály. Je samozrejmé, že v procese ich vývoja a písania bolo potrebné použiť zodpovedajúcu regulačnú a technickú dokumentáciu vzorec na výpočet plochy rovnostranného trojuholníka.

Veľmi dobre vedia, čo to je rovnostranný trojuholník, fanúšikov tak populárnej hry, ako je biliard. Pomocou špeciálnych rámov vhodného tvaru sa gule inštalujú v určitom poradí pred začiatkom každej hry. Tieto výrobky sú vyrobené z dreva, plastov alebo kovov.

V školskom kurze geometrie sa veľké množstvo času venuje štúdiu trojuholníkov. Žiaci počítajú uhly, konštruujú osy a nadmorské výšky, zisťujú, ako sa navzájom líšia tvary a najjednoduchší spôsob, ako zistiť ich plochu a obvod. Zdá sa, že to v živote nebude užitočné, no niekedy sa predsa len hodí naučiť sa napríklad, ako určiť, či je trojuholník rovnostranný alebo tupý. Ako na to?

Typy trojuholníkov

Tri body, ktoré neležia na rovnakej čiare, a segmenty, ktoré ich spájajú. Zdá sa, že tento údaj je najjednoduchší. Aké trojuholníky to môžu byť, ak majú iba tri strany? V skutočnosti existuje pomerne veľké množstvo možností a niektorým z nich sa venuje osobitná pozornosť v kurze školskej geometrie. Pravidelný trojuholník je rovnostranný, to znamená, že všetky jeho uhly a strany sú rovnaké. Má množstvo pozoruhodných vlastností, o ktorých sa bude diskutovať ďalej.

Rovnoramenný má iba dve rovnaké strany a je tiež celkom zaujímavý. V obdĺžnikovom, ako by ste mohli hádať, je jeden z uhlov rovný alebo tupý. Navyše môžu byť aj rovnoramenné.

Existuje aj špeciálna s názvom egyptská. Jeho strany sú 3, 4 a 5 jednotiek. Navyše je obdĺžnikový. Predpokladá sa, že ho aktívne používali egyptskí geodeti a architekti na konštrukciu pravých uhlov. Verí sa, že s jeho pomocou boli postavené slávne pyramídy.

A predsa všetky vrcholy trojuholníka môžu ležať na rovnakej priamke. V tomto prípade sa bude nazývať degenerovaný, zatiaľ čo všetky ostatné sa nazývajú nedegenerované. Sú jedným z predmetov štúdia geometrie.

Rovnostranný trojuholník

Samozrejme, najväčší záujem vždy vyvolávajú správne čísla. Vyzerajú dokonalejšie, elegantnejšie. Vzorce na výpočet ich charakteristík sú často jednoduchšie a kratšie ako pri bežných číslach. To platí aj pre trojuholníky. Nie je prekvapujúce, že pri štúdiu geometrie sa im venuje pomerne veľká pozornosť: školáci sa učia rozlišovať správne čísla od ostatných a tiež sa im hovorí o niektorých ich zaujímavých vlastnostiach.

Znaky a vlastnosti

Ako by ste mohli uhádnuť z názvu, každá strana rovnostranného trojuholníka sa rovná ostatným dvom. Okrem toho má množstvo funkcií, ktoré vám pomôžu určiť, či je údaj správny alebo nie.

Ak je pozorovaný aspoň jeden z vyššie uvedených znakov, potom je trojuholník rovnostranný. Pre správny údaj sú všetky uvedené tvrdenia pravdivé.

Všetky trojuholníky majú množstvo pozoruhodných vlastností. Po prvé, stredná čiara, to znamená segment rozdeľujúci dve strany na polovicu a rovnobežný s treťou, sa rovná polovici základne. Po druhé, súčet všetkých uhlov tohto obrázku sa vždy rovná 180 stupňom. Okrem toho existuje ďalší zaujímavý vzťah v trojuholníkoch. Takže oproti väčšej strane leží väčší uhol a naopak. Ale to, samozrejme, nemá nič spoločné s rovnostranným trojuholníkom, pretože všetky jeho uhly sú rovnaké.

Vpísané a opísané kruhy

Študenti sa často na kurze geometrie učia aj to, ako môžu tvary medzi sebou interagovať. Študujú sa najmä kruhy vpísané do mnohouholníkov alebo popísané okolo nich. O čom to je?

Vpísaná kružnica je kružnica, ktorej všetky strany mnohouholníka sa dotýkajú. Opísaný - ten, ktorý má body kontaktu so všetkými rohmi. Pre každý trojuholník môžete vždy zostrojiť prvý aj druhý kruh, ale len jeden z každého typu. Dôkazy týchto dvoch

teorémy sú uvedené v školskom kurze geometrie.

Okrem výpočtu parametrov samotných trojuholníkov sa niektoré problémy týkajú aj výpočtu polomerov týchto kružníc. A vzorce pre
rovnostranný trojuholník vyzerá takto:

kde r je polomer opísanej kružnice, R je polomer kružnice opísanej, a je dĺžka strany trojuholníka.

Výpočet výšky, obvodu a plochy

Základné parametre, ktoré školáci počítajú pri štúdiu geometrie, zostávajú nezmenené pre takmer akúkoľvek postavu. Sú to obvod, plocha a výška. Na zjednodušenie výpočtov existujú rôzne vzorce.

Takže obvod, to znamená dĺžka všetkých strán, sa vypočíta takto:

P = 3a = 3√ ̅3R = 6√ ̅3r, kde a je strana rovnostranného trojuholníka, R je polomer kružnice opísanej, r je kružnica vpísaná.

h = (√ ̅3/2)*a, kde a je dĺžka strany.

Nakoniec je vzorec odvodený od štandardného, teda súčinu polovice základne a jej výšky.

S = (√ ̅3/4)*a 2, kde a je dĺžka strany.

Túto hodnotu je možné vypočítať aj pomocou parametrov opísanej alebo vpísanej kružnice. Na to existujú aj špeciálne vzorce:

S = 3√ ̅3r 2 = (3√ ̅3/4)*R 2, kde r a R sú polomery vpísanej a opísanej kružnice.

Stavebníctvo

Ďalší zaujímavý typ problému, vrátane trojuholníkov, zahŕňa potrebu nakresliť konkrétnu postavu pomocou minimálnej sady

nástroje: kružidlo a pravítko bez delenia.

Ak chcete vytvoriť pravidelný trojuholník iba pomocou týchto zariadení, musíte vykonať niekoľko krokov.

Musíte nakresliť kruh s ľubovoľným polomerom a so stredom v ľubovoľnom bode A. Je potrebné ho označiť.
Ďalej musíte cez tento bod nakresliť priamku.
Priesečníky kružnice a priamky musia byť označené ako B a C. Všetky stavby musia byť realizované s čo najväčšou presnosťou.
Ďalej musíte postaviť ďalší kruh s rovnakým polomerom a stredom v bode C alebo oblúk s príslušnými parametrami. Križovatky budú označené ako D a F.
Body B, F, D musia byť spojené segmentmi. Zostrojí sa rovnostranný trojuholník.

Riešenie takýchto problémov býva pre školákov problém, no táto zručnosť môže byť užitočná v bežnom živote.