Mátrix mátrix módszer. Egyenletrendszer mátrixos megoldása

Szolgálati megbízás. Ezzel az online számológéppel az ismeretlenek (x 1 , x 2 , ..., x n ) kiszámításra kerülnek az egyenletrendszerben. A döntés meghozatala folyamatban van inverz mátrix módszer. Ahol:

• kiszámítjuk az A mátrix determinánsát;
• algebrai összeadások révén megtaláljuk az A -1 inverz mátrixot;
• megoldássablon készül Excelben;

A megoldást közvetlenül a webhelyen (online) hajtják végre, és ingyenes. A számítási eredmények Word formátumú jelentésben jelennek meg (lásd a tervezési példát).

Utasítás. Az inverz mátrix módszerrel történő megoldáshoz meg kell adni a mátrix dimenzióját. Ezután az új párbeszédablakban töltse ki az A mátrixot és a B eredményvektort.

Változók száma 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Lásd még: Mátrixegyenletek megoldása.

Megoldási algoritmus

1. Az A mátrix determinánsát kiszámítjuk. Ha a meghatározó nulla, majd a megoldás vége. A rendszernek végtelen számú megoldása van.
2. Ha a determináns eltér nullától, akkor az A -1 inverz mátrix algebrai összeadásokkal kerül meghatározásra.
3. Az X =(x 1 , x 2 , ..., x n ) döntési vektort úgy kapjuk meg, hogy az inverz mátrixot megszorozzuk a B eredményvektorral.

Példa. Keresse meg a rendszer megoldását mátrix módszerrel! A mátrixot a következő formában írjuk fel:
Algebrai összeadások.

A 1,1 = (-1) 1+1

1 2 0 -2

∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2

A 1,2 = (-1) 1+2

3 2 1 -2

∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8

A 1,3 = (-1) 1+3

3 1 1 0

∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1

A 2,1 = (-1) 2+1

-2 1 0 -2

∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4

A 2,2 = (-1) 2+2

2 1 1 -2

∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5

A 2,3 = (-1) 2+3

2 -2 1 0

∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2

A 3,1 = (-1) 3+1

-2 1 1 2

∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5

·

3

-2

-1

X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Vizsgálat:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1

Az első részben megvizsgáltuk néhány elméleti anyagot, a helyettesítési módszert, valamint a rendszeregyenletek tagonkénti összeadásának módszerét. Mindenkinek, aki ezen az oldalon keresztül jutott el az oldalra, javaslom, hogy olvassa el az első részt. Talán néhány látogató túl egyszerűnek találja az anyagot, de rendszermegoldás során lineáris egyenletek Számos nagyon fontos észrevételt és következtetést tettem a matematikai problémák általános megoldására vonatkozóan.

És most elemezzük a Cramer-szabályt, valamint egy lineáris egyenletrendszer megoldását az inverz mátrix segítségével (mátrix módszer). Az összes anyagot egyszerűen, részletesen és áttekinthetően mutatjuk be, szinte minden olvasó képes lesz megtanulni a rendszerek megoldását a fenti módszerekkel.

Először megvizsgáljuk Cramer szabályát egy két ismeretlenben lévő két lineáris egyenletrendszerre. Minek? - Végül a legegyszerűbb rendszer iskolamódszerrel, tanévkiegészítéssel oldható meg!

A helyzet az, hogy még ha néha, de van egy ilyen feladat - megoldani egy két lineáris egyenletrendszert két ismeretlennel Cramer képletei segítségével. Másodszor, egy egyszerűbb példa segít megérteni, hogyan kell használni a Cramer-szabályt egy bonyolultabb esetre – egy három egyenletrendszerre három ismeretlennel.

Ezen kívül léteznek két változós lineáris egyenletrendszerek, melyeket célszerű pontosan a Cramer-szabály szerint megoldani!

Tekintsük az egyenletrendszert

Első lépésben kiszámítjuk a determinánst, ezt nevezzük a rendszer fő meghatározója.

Gauss módszer.

Ha , akkor a rendszer rendelkezik egyetlen döntés, és a gyökök megtalálásához további két determinánst kell kiszámítanunk:
és

A gyakorlatban a fenti determinánsokat is jelölhetjük latin betű.

Az egyenlet gyökereit a következő képletekkel találjuk meg:
,

7. példa

Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert!

Megoldás: Látjuk, hogy az egyenlet együtthatói elég nagyok, a jobb oldalon ott vannak tizedesjegyek vesszővel. A vessző meglehetősen ritka vendég a matematikai gyakorlati feladatokban, ezt a rendszert egy ökonometriai feladatból vettem.

Hogyan lehet megoldani egy ilyen rendszert? Megpróbálhatja az egyik változót egy másikkal kifejezni, de ebben az esetben biztosan kapsz rettenetesen divatos törteket, amelyekkel rendkívül kényelmetlen dolgozni, és a megoldás kialakítása borzasztóan fog kinézni. A második egyenletet megszorozhatja 6-tal, és tagonként kivonhatja, de itt ugyanazok a törtek jelennek meg.

Mit kell tenni? Ilyen esetekben a Cramer-féle képletek segítenek.

;

;

Válasz: ,

Mindkét gyökérnek végtelen a vége, és megközelítőleg megtalálható, ami meglehetősen elfogadható (sőt közhely) ökonometriai problémák esetén.

Itt nincs szükség megjegyzésekre, mivel a feladatot kész képletek szerint oldják meg, azonban van egy figyelmeztetés. Használatkor ez a módszer, kötelező A feladat töredéke a következő: "tehát a rendszernek egyedi megoldása van". Ellenkező esetben a bíráló megbüntetheti Önt Cramer tételének figyelmen kívül hagyása miatt.

Nem lesz felesleges ellenőrizni, ami kényelmesen elvégezhető egy számológépen: a közelítő értékeket behelyettesítjük bal oldal a rendszer minden egyenlete. Ennek eredményeként kis hibával a jobb oldalon lévő számokat kell megkapni.

8. példa

Mondja ki válaszát közönségesen helytelen törtek. Ellenőrizd.

Ez egy példa egy önálló megoldásra (példa finom tervezésre és válasz a lecke végén).

Rátérünk a Cramer-szabályra egy három egyenletrendszerre, három ismeretlennel:

Megtaláljuk a rendszer fő meghatározóját:

Ha , akkor a rendszernek végtelen sok megoldása van, vagy inkonzisztens (nincs megoldása). Ebben az esetben a Cramer-szabály nem segít, a Gauss-módszert kell használni.

Ha , akkor a rendszernek egyedi megoldása van, és a gyökerek megtalálásához további három determinánst kell kiszámítanunk:
, ,

És végül a választ a következő képletekkel számítjuk ki:

Mint látható, a „háromszor három” eset alapvetően nem különbözik a „kettő-kettő” esettől, a szabad kifejezések oszlopa egymás után balról jobbra „sétál” a fődetermináns oszlopai mentén.

9. példa

Oldja meg a rendszert Cramer-képletekkel!

Megoldás: Oldjuk meg a rendszert Cramer képleteivel.

, így a rendszer egyedi megoldást kínál.

Válasz: .

Igazából itt megint nincs mit különösebben kommentálni, tekintettel arra, hogy kész képletek alapján születik a döntés. De van egy-két megjegyzés.

Előfordul, hogy a számítások eredményeként „rossz” irreducibilis törteket kapunk, például: .
A következő "kezelési" algoritmust ajánlom. Ha nincs kéznél számítógép, a következőképpen járunk el:

1) Hiba lehet a számításokban. Amint „rossz” lövéssel találkozik, azonnal ellenőriznie kell, hogy van-e helyesen van-e átírva a feltétel. Ha a feltételt hibák nélkül írják át, akkor a determinánsokat újra kell számolni egy másik sorban (oszlopban) lévő bővítéssel.

2) Ha az ellenőrzés eredményeként nem találtak hibát, akkor nagy valószínűséggel elírás történt a feladat állapotában. Ilyenkor higgadtan és ÓVATOSAN oldja meg a feladatot a végéig, majd feltétlenül ellenőrizzeés a határozat meghozatala után tiszta másolaton készítse el. Természetesen a töredékes válasz ellenőrzése kellemetlen feladat, de lefegyverző érv lesz a tanár számára, aki nos, nagyon szeret mínuszt adni minden rosszra, mint pl. A törtekkel való kezelés módját a 8. példa válasza részletezi.

Ha van kéznél számítógépe, akkor azt egy automata programmal ellenőrizheti, amely az óra elején ingyenesen letölthető. Egyébként a legelőnyösebb, ha azonnal (még a megoldás elindítása előtt) használod a programot, azonnal látni fogod azt a köztes lépést, amelynél hibáztál! Ugyanez a számológép mátrix módszerrel automatikusan kiszámítja a rendszer megoldását.

Második megjegyzés. Időről időre vannak olyan rendszerek, amelyek egyenletéből hiányzik néhány változó, például:

Itt az első egyenletben nincs változó, a másodikban nincs változó. Ilyen esetekben nagyon fontos, hogy helyesen és Óvatosan írjuk le a fő meghatározót:
– a hiányzó változók helyére nullák kerülnek.
Egyébként ésszerű a determinánsokat nullával nyitni abban a sorban (oszlopban), amelyben a nulla található, mivel észrevehetően kevesebb a számítás.

10. példa

Oldja meg a rendszert Cramer-képletekkel!

Ez egy példa az önálló megoldásra (minta és válasz a lecke végén).

Egy 4 egyenletből álló rendszer esetén 4 ismeretlennel a Cramer-képleteket hasonló elvek szerint írjuk fel. Élő példát láthat a Meghatározó tulajdonságok leckében. A determináns sorrendjének csökkentése - öt 4. rendű determináns eléggé megoldható. Bár a feladat már nagyon emlékeztet egy szerencsés diák mellkasán lévő professzori cipőre.

A rendszer megoldása inverz mátrix segítségével

Az inverz mátrix módszer lényegében egy speciális eset mátrix egyenlet(Lásd a megadott lecke 3. példáját).

Ennek a szakasznak a tanulmányozásához képesnek kell lennie a determinánsok kiterjesztésére, az inverz mátrix megkeresésére és a mátrixszorzás végrehajtására. A megfelelő linkeket a magyarázat előrehaladtával adjuk meg.

11. példa

Oldja meg a rendszert mátrix módszerrel!

Megoldás: A rendszert mátrix formában írjuk:
, ahol

Kérjük, nézze meg az egyenletrendszert és a mátrixokat. Hogy milyen elv alapján írunk mátrixokba elemeket, azt gondolom mindenki érti. Az egyetlen megjegyzés: ha néhány változó hiányzik az egyenletekből, akkor a mátrix megfelelő helyére nullákat kell tenni.

Az inverz mátrixot a következő képlettel találjuk meg:
, ahol a mátrix megfelelő elemeinek algebrai komplementereinek transzponált mátrixa.

Először is foglalkozzunk a determinánssal:

Itt a determináns az első sorral bővül.

Figyelem! Ha , akkor az inverz mátrix nem létezik, és a rendszer mátrix módszerrel nem megoldható. Ebben az esetben a rendszert az ismeretlenek kiküszöbölésével oldják meg (Gauss-módszer).

Most ki kell számítania 9 kiskorút, és be kell írnia a kiskorúak mátrixába

Referencia: Hasznos tudni a kettős alsó indexek jelentését a lineáris algebrában. Az első számjegy a sor száma, amelyben az elem található. A második számjegy annak az oszlopnak a száma, amelyben az elem található:

Vagyis a dupla alsó index azt jelzi, hogy az elem az első sorban, a harmadik oszlopban van, míg például az elem a 3. sorban, a 2. oszlopban van.

Az egyenletek használata széles körben elterjedt életünkben. Számos számításnál, szerkezetek építésénél és még sportolásnál is használják. Az egyenleteket az ember ősidők óta használja, és azóta használatuk csak nőtt. A mátrix módszer lehetővé teszi, hogy megoldásokat találjon az SLAE-re (lineáris rendszer algebrai egyenletek) bármilyen bonyolultságú. Az SLAE megoldásának teljes folyamata két fő lépésből áll:

Az inverz mátrix meghatározása a főmátrix alapján:

A kapott inverz mátrix szorzása a megoldások oszlopvektorával.

Tegyük fel, hogy a következő formájú SLAE-t kapjuk:

\[\left\(\begin(mátrix) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end(mátrix)\jobbra.\]

Kezdjük az egyenlet megoldását a rendszer mátrixának felírásával:

Jobb oldali mátrix:

Definiáljunk egy inverz mátrixot. A 2. rendű mátrixot a következőképpen találhatja meg: 1 - magának a mátrixnak nem szingulárisnak kell lennie; 2 - a főátlón lévő elemeit felcseréljük, és a másodlagos átló elemeire előjelváltást végzünk az ellenkezőjére, majd a kapott elemeket elosztjuk a mátrix determinánssal. Kapunk:

\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\Rightarrow \begin(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ kezdő(pmátrix) -11 \\ 31 \end(pmátrix) \]

2 mátrix akkor tekinthető egyenlőnek, ha a hozzájuk tartozó elemeik egyenlőek. Ennek eredményeként a következő választ kapjuk az SLAE megoldásra:

Hol tudok online egyenletrendszert megoldani mátrix módszerrel?

Weboldalunkon meg tudja oldani az egyenletrendszert. Az ingyenes online megoldó segítségével másodpercek alatt megoldhat bármilyen bonyolultságú online egyenletet. Csak annyit kell tennie, hogy beírja adatait a megoldóba. Az egyenlet megoldását weboldalunkon is megtudhatja. És ha bármilyen kérdése van, felteheti őket a Vkontakte csoportunkban.

Ez egy olyan fogalom, amely mindent összefoglal lehetséges műveletek mátrixokkal állítják elő. Matematikai mátrix - elemek táblázata. Egy asztalról, ahol m vonalak és n oszlopokban azt mondják, hogy ennek a mátrixnak van dimenziója m a n.

A mátrix általános képe:

Mert mátrix megoldások meg kell értened, mi a mátrix, és ismerned kell a fő paramétereit. A mátrix fő elemei:

• Elemekből álló főátló a 11, a 22 ..... a mn.
• Elemekből álló oldalátló а 1n ,а 2n-1 …..а m1.

A mátrixok fő típusai:

• Négyzet - egy ilyen mátrix, ahol a sorok száma = az oszlopok száma ( m=n).
• Nulla - ahol a mátrix összes eleme = 0.
• Transzponált mátrix – Mátrix NÁL NÉL, amelyet az eredeti mátrixból kaptunk A sorok oszlopokkal való helyettesítésével.
• Egyetlen - a főátló összes eleme = 1, az összes többi = 0.
• Az inverz mátrix egy olyan mátrix, amelyet az eredeti mátrixszal megszorozva identitásmátrixot kapunk.

A mátrix lehet szimmetrikus a fő- és másodlagos átlóhoz képest. Vagyis ha a 12 = a 21, a 13 \u003d a 31, .... a 23 = a 32 .... a m-1n =a mn-1, akkor a mátrix szimmetrikus a főátlóhoz képest. Csak a négyzetmátrixok lehetnek szimmetrikusak.

Mátrixok megoldási módszerei.

Szinte minden mátrix megoldási módszerek meg kell találni a meghatározóját n sorrendben, és a legtöbbjük meglehetősen nehézkes. A 2. és 3. rend determinánsának megtalálásához más, racionálisabb módszerek is vannak.

2. rendű determinánsok keresése.

A mátrix determináns kiszámításához DE 2. sorrendben le kell vonni a másodlagos átló elemeinek szorzatát a főátló elemeinek szorzatából:

A 3. rendű determinánsok megtalálásának módszerei.

Az alábbiakban a 3. rendű determináns megtalálásának szabályait ismertetjük.

Egyszerűsítette a háromszög szabályt, mint az egyiket mátrix megoldási módszerek, a következőképpen ábrázolható:

Más szavakkal, az első determinánsban lévő olyan elemek szorzatát, amelyeket vonalak kötnek össze, egy „+” jellel vesszük; a 2. determináns esetében a megfelelő termékeket a "-" jellel veszik, vagyis a következő séma szerint:

Nál nél mátrixok megoldása a Sarrus-szabállyal, a determinánstól jobbra hozzáadjuk az első 2 oszlopot, és a megfelelő elemek szorzatait a főátlón és a vele párhuzamos átlókon egy „+” jellel vesszük; valamint a másodlagos átló és a vele párhuzamos átlók megfelelő elemeinek szorzata "-" jellel:

A determináns sor- vagy oszlopbővítése mátrixok megoldásánál.

A determináns egyenlő a determináns sorának elemeinek és algebrai komplementereik szorzatának összegével. Általában azt a sort/oszlopot kell kiválasztani, amelyben/-edikben nullák vannak. Nyíl jelzi azt a sort vagy oszlopot, amelyen a bontás történik.

Mátrixok megoldásánál a determináns háromszög alakúra redukálása.

Nál nél mátrixok megoldása a determináns háromszög alakúra redukálásával a következőképpen működnek: a sorokon vagy oszlopokon végzett legegyszerűbb transzformációk segítségével a determináns háromszögletűvé válik, majd értéke a determináns tulajdonságainak megfelelően egyenlő lesz az elemek szorzatával amelyek a főátlón állnak.

Laplace-tétel mátrixok megoldására.

A Laplace-tételt használó mátrixok megoldásánál magát a tételt kell közvetlenül ismerni. Laplace tétele: Legyen Δ meghatározó n-edik sorrend. Bármelyiket kiválasztjuk k sorok (vagy oszlopok), feltéve k≤ n-1. Ebben az esetben az összes kiskorú termékeinek összege k a kiválasztott sorrendben k sorok (oszlopok), algebrai összeadásaik egyenlőek lesznek a determinánssal.

Inverz mátrix megoldás.

A műveletek sorrendje: inverz mátrix megoldások:

1. Nézze meg, hogy az adott mátrix négyzet alakú-e. Nemleges válasz esetén világossá válik, hogy nem lehet rá inverz mátrix.
2. Algebrai összeadásokat számolunk.
3. Összeállítjuk a szövetséges (kölcsönös, csatolt) mátrixot C.
4. Algebrai összeadásokból inverz mátrixot állítunk össze: az adjungált mátrix összes elemét C osztjuk a kezdeti mátrix determinánsával. A kapott mátrix lesz a kívánt inverz mátrix az adotthoz képest.
5. Ellenőrizzük az elvégzett munkát: megszorozzuk a kezdeti és a kapott mátrix mátrixát, az eredmény az azonosságmátrix legyen.

Mátrixrendszerek megoldása.

Mert mátrixrendszerek megoldásai leggyakrabban a Gauss-módszert alkalmazzák.

A Gauss-módszer egy standard módszer a lineáris algebrai egyenletrendszerek (SLAE) megoldására, és abból áll, hogy a változókat egymás után eliminálják, azaz elemi változtatások segítségével az egyenletrendszert egy ekvivalens rendszerre hozzák. háromszög alakú, és ebből szekvenciálisan, az utolsótól kezdve (szám szerint) keressük meg a rendszer egyes elemeit.

Gauss módszer a legsokoldalúbb és legjobb eszköz a mátrix megoldások megtalálásához. Ha a rendszernek végtelen számú megoldása van, vagy a rendszer nem kompatibilis, akkor ez nem oldható meg a Cramer-szabállyal és a mátrix módszerrel.

A Gauss-módszer magában foglalja a direkt (a kiterjesztett mátrix redukciója lépcsőzetes formára, azaz nullák elérése a főátló alá) és fordított (nullák a kibővített mátrix főátlója fölé) való mozgását is. Az előrelépés a Gauss módszer, a fordított a Gauss-Jordan módszer. A Gauss-Jordan módszer csak a változók eliminálási sorrendjében tér el a Gauss-módszertől.

Az online számológép lineáris egyenletrendszert old meg mátrix módszerrel. Adott nagyon részletes megoldás. Lineáris egyenletrendszer megoldásához válassza ki a változók számát. Válasszon módszert az inverz mátrix kiszámításához. Ezután írja be az adatokat a cellákba, és kattintson a "Számítás" gombra.

×

Figyelem

Törli az összes cellát?

Bezárás Törlés

Adatbeviteli utasítás. A számokat egész számokként (például 487, 5, -7623 stb.), decimális számokként (pl. 67., 102,54 stb.) vagy törtként kell megadni. A törtet a/b formában kell beírni, ahol a és b egész számok ill decimális számok. Példák 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 stb.

Mátrix módszer lineáris egyenletrendszerek megoldására

Fontolgat következő rendszer lineáris egyenletek:

Figyelembe véve az inverz mátrix definícióját, megvan A −1 A=E, ahol E az identitásmátrix. Ezért a (4) a következőképpen írható fel:

Így az (1) (vagy (2)) lineáris egyenletrendszer megoldásához elegendő az inverzt megszorozni A mátrix kényszervektoronként b.

Példák lineáris egyenletrendszer mátrix módszerrel történő megoldására

1. példa Oldja meg a következő lineáris egyenletrendszert a mátrix módszerrel:

Határozzuk meg az A mátrix inverzét a Jordan-Gauss módszerrel. TÓL TŐL jobb oldal mátrixok Aírja be az identitásmátrixot:

A főátló alatti mátrix 1. oszlopának elemeit zárjuk ki. Ehhez adja hozzá a 2,3 sorokat az 1. sorral, szorozva -1/3-mal, -1/3-mal:

A főátló alatti mátrix 2. oszlopának elemeit zárjuk ki. Ehhez adja hozzá a 3. sort a 2. sor szorzatához -24/51-gyel:

A mátrix 2. oszlopának főátló feletti elemeit zárjuk ki. Ehhez adja hozzá az 1. sort a 2. sorhoz, megszorozva -3/17-tel:

Válasszuk el a mátrix jobb oldalát. A kapott mátrix az inverze A :

Lineáris egyenletrendszer felírásának mátrixa: ax=b, ahol

Számítsa ki a mátrix összes algebrai komplementerét! A:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Az inverz mátrixot a következő kifejezésből számítjuk ki.