Gz egyenletek megoldása. Egyszerű lineáris egyenletek megoldása
Az egyenletek online megoldására szolgáló szolgáltatás bármilyen egyenlet megoldásában segít. Oldalunk használatával nem csak az egyenletre kap választ, hanem látni is részletes megoldás, vagyis az eredmény megszerzésének folyamatának lépésről lépésre történő megjelenítése. Szolgáltatásunk hasznos lesz középiskolásoknak és szüleiknek. A tanulók felkészülhetnek a tesztekre, vizsgákra, összemérhetik tudásukat, a szülők pedig a matematikai egyenletek megoldását irányíthatják gyermekeik. Az egyenletmegoldási képesség kötelező követelmény a tanulók számára. A szolgáltatás segít az önálló tanulásban és tudásának bővítésében a matematikai egyenletek területén. Ezzel bármilyen egyenletet megoldhat: másodfokú, köbös, irracionális, trigonometrikus stb. online szolgáltatás de megfizethetetlen, mert a helyes válasz mellett minden egyenletre részletes megoldást kap. Az egyenletek online megoldásának előnyei. Weboldalunkon online bármilyen egyenletet teljesen ingyenesen megoldhat. A szolgáltatás teljesen automatikus, nem kell semmit telepítenie a számítógépére, csak meg kell adni az adatokat, és a program kiadja a megoldást. A számítási vagy tipográfiai hibák kizárva. Nálunk nagyon könnyű bármilyen egyenletet online megoldani, ezért mindenképpen használja oldalunkat bármilyen egyenlet megoldásához. Csak az adatokat kell megadnia, és a számítás másodpercek alatt elkészül. A program önállóan, emberi beavatkozás nélkül működik, pontos és részletes választ kap. Az egyenlet megoldása in Általános nézet. Egy ilyen egyenletben a változó együtthatók és a kívánt gyökök összekapcsolódnak. Egy változó legnagyobb hatványa határozza meg egy ilyen egyenlet sorrendjét. Ennek alapján az egyenletek használatához különféle módszerekés a megoldások megtalálására szolgáló tételek. Egyenletek megoldása ebből a típusbóláltalánosságban a kívánt gyökerek megtalálását jelenti. Szolgáltatásunk lehetővé teszi a legbonyolultabb algebrai egyenlet online megoldását is. Az Ön által megadott együtthatók számértékeihez megkaphatja az egyenlet általános és privát megoldását is. Egy algebrai egyenlet megoldásához az oldalon elegendő csak két mezőt helyesen kitölteni: az adott egyenlet bal és jobb oldalát. Nál nél algebrai egyenletek változó együtthatókkal, végtelen számú megoldással, és bizonyos feltételek felállításával a megoldások halmazából kiválasztják a privátokat. Másodfokú egyenlet. A másodfokú egyenlet alakja ax^2+bx+c=0, ha a>0. A négyzet alakú egyenletek megoldása magában foglalja az x értékeinek megtalálását, amelyeknél az ax ^ 2 + bx + c \u003d 0 egyenlőség teljesül. Ehhez a diszkrimináns értékét a D=b^2-4ac képlettel találjuk meg. Ha a diszkrimináns nullánál kisebb, akkor az egyenletnek nincs valódi gyöke (a gyökök a komplex számok mezőjéből származnak), ha egyenlő nullával, akkor az egyenletnek egy valós gyöke van, és ha a diszkrimináns nagyobb, mint nulla, akkor az egyenletnek két valós gyöke van, amelyeket a következő képlettel találunk meg: D = -b + - sqrt/2a. Másodfokú egyenlet online megoldásához csak meg kell adnia egy ilyen egyenlet együtthatóit (egész számok, törtek vagy tizedes értékek). Ha az egyenletben kivonási jelek vannak, akkor az egyenlet megfelelő tagjai elé mínuszt kell tenni. Másodfokú egyenletet online is meg lehet oldani a paramétertől, vagyis az egyenlet együtthatóiban szereplő változóktól függően. Online keresési szolgáltatásunk közös megoldások. Lineáris egyenletek. Megoldásokért lineáris egyenletek(vagy egyenletrendszerek) négy fő módszert alkalmaznak a gyakorlatban. Ismertesse meg részletesen az egyes módszereket. Helyettesítési módszer. Az egyenletek helyettesítési módszerrel történő megoldásához az egyik változót a többivel kell kifejezni. Ezt követően a kifejezést behelyettesítjük a rendszer más egyenleteivel. Innen származik a megoldási metódus neve is, azaz változó helyett a többi változón keresztüli kifejezése van behelyettesítve. A gyakorlatban a módszer bonyolult számításokat igényel, bár könnyen érthető, így egy ilyen egyenlet online megoldása időt takarít meg és megkönnyíti a számításokat. Csak meg kell adnia az ismeretlenek számát az egyenletben, és ki kell töltenie az adatokat lineáris egyenletekből, majd a szolgáltatás elvégzi a számítást. Gauss módszer. A módszer a rendszer legegyszerűbb transzformációin alapul, hogy egy ekvivalens háromszögrendszert kapjunk. Az ismeretlenek egyenként határozódnak meg belőle. A gyakorlatban egy ilyen egyenletet online kell megoldani Részletes leírás, melynek köszönhetően jól elsajátítja a Gauss-módszert lineáris egyenletrendszerek megoldására. Írja fel a lineáris egyenletrendszert a megfelelő formátumban, és vegye figyelembe az ismeretlenek számát a rendszer helyes megoldása érdekében! Cramer módszere. Ez a módszer olyan egyenletrendszereket old meg, ahol a rendszer rendelkezik egyetlen döntés. A fő matematikai művelet itt a mátrix determinánsok számítása. Az egyenletek megoldása a Cramer módszerrel online történik, azonnal megkapja az eredményt egy teljes és részletes leírással. Elég csak kitölteni a rendszert együtthatókkal és kiválasztani az ismeretlen változók számát. mátrix módszer. Ez a módszer az A mátrixban lévő ismeretlenek, az X oszlopban az ismeretlenek és a B oszlopban a szabad tagok együtthatóinak összegyűjtéséből áll. Így a lineáris egyenletrendszer egy AxX=B formájú mátrixegyenletre redukálódik. Ennek az egyenletnek csak akkor van egyedi megoldása, ha az A mátrix determinánsa nem nulla, ellenkező esetben a rendszernek nincs megoldása, vagy végtelen számú megoldása van. Egyenletek megoldása mátrix módszer meg kell találni az A mátrix inverzét.
Szolgálati megbízás. A mátrixkalkulátor lineáris egyenletrendszerek mátrixos megoldására készült (lásd a hasonló problémák megoldására vonatkozó példát).Utasítás. Mert online megoldások ki kell választani az egyenlet típusát és be kell állítani a megfelelő mátrixok dimenzióját.
ahol A, B, C mátrixok, X a kívánt mátrix. Az (1), (2) és (3) alakú mátrixegyenleteket az A -1 inverz mátrixon keresztül oldjuk meg. Ha az A X - B = C kifejezés adott, akkor először össze kell adni a C + B mátrixokat, és meg kell találni a megoldást az A X = D kifejezésre, ahol D = C + B (). Ha az A*X = B 2 kifejezés adott, akkor a B mátrixot először négyzetre kell emelni. Javasoljuk továbbá, hogy ismerkedjen meg a mátrixokkal kapcsolatos alapvető műveletekkel.1. példa. Gyakorlat. Keress megoldást egy mátrixegyenletre
Megoldás. Jelöli:
Ekkor a mátrixegyenlet a következő formában lesz felírva: A·X·B = C.
Az A mátrix determinánsa detA=-1
Mivel A nem szinguláris mátrix, van egy inverz A -1 mátrix. Szorozzuk meg a bal oldali egyenlet mindkét oldalát A -1-gyel: A bal oldali egyenlet mindkét oldalát szorozzuk meg A -1-gyel, a jobb oldalon pedig B -1-gyel: A -1 A X B B -1 = A -1 C B -1 . Mivel A A -1 = B B -1 = E és E X = X E = X, akkor X = A -1 C B -1
inverz mátrix A-1: 
Keresse meg a B -1 inverz mátrixot.
B T mátrix transzponálása:
Inverz mátrix B -1: 
Az X mátrixot a következő képlettel keressük: X = A -1 C B -1 
Válasz:
2. példa. Gyakorlat. Mátrixegyenlet megoldása 
Megoldás. Jelöli:
Ekkor a mátrixegyenlet a következő formában lesz felírva: A X = B.
Az A mátrix determinánsa detA=0
Mivel A egy degenerált mátrix (a determináns 0), ezért az egyenletnek nincs megoldása.
3. példa. Gyakorlat. Keress megoldást egy mátrixegyenletre
Megoldás. Jelöli:
Ekkor a mátrixegyenlet a következő formában lesz felírva: X·A = B.
Az A mátrix determinánsa detA=-60
Mivel A nem szinguláris mátrix, van egy inverz A -1 mátrix. Az egyenlet mindkét oldalán szorozzuk meg A -1-gyel: X A A -1 = B A -1 , amiből azt kapjuk, hogy X = B A -1
Keresse meg az A -1 inverz mátrixot.
Transzponált A T mátrix: 
Inverz mátrix A -1: 
Az X mátrixot a következő képlettel keressük: X = B A -1 
Válasz: > 
Az Ön figyelmébe ajánlott ingyenes számológép a matematikai számítási lehetőségek gazdag arzenáljával rendelkezik. Lehetővé teszi az online számológép használatát különböző területek tevékenységek: nevelési, szakmaiés kereskedelmi. Természetesen az online számológép használata különösen népszerű hallgatókés iskolások, sokkal könnyebbé teszi számukra a különféle számítások elvégzését.
A számológép ugyanakkor hasznos eszköz lehet az üzleti élet egyes területein és az emberek számára. különböző szakmák. Természetesen a számológép használatának szükségességét az üzleti életben vagy a munkában elsősorban maga a tevékenység típusa határozza meg. Ha az üzlethez és a szakmához állandó számítások, számítások társulnak, akkor érdemes kipróbálni egy elektronikus számológépet, és felmérni, hogy mennyire hasznos az adott vállalkozás számára.
Ez az online számológép képes
- Az egy sorba írt szabványos matematikai függvények helyes végrehajtása, például - 12*3-(7/2) és képes kezelni a számnál nagyobb számokat hatalmas számok az online számológépben azt sem tudjuk, hogyan hívjunk helyesen egy ilyen számot ( 34 karakter van, és ez egyáltalán nem a határ).
- Kivéve tangens, koszinusz, sinusés mások alapfelszereltség- A számológép támogatja a számítási műveleteket ív érintő, ív érintőés mások.
- Elérhető az arzenálban logaritmusok, faktoriálisokés más nagyszerű funkciókat
- Ez az online számológép grafikonokat készíthet!!!
Diagramok készítéséhez a szolgáltatás használja speciális gomb(a szürke gráf megrajzolódik) vagy ennek a függvénynek a szó szerinti ábrázolása (Plot). Grafikon létrehozásához egy online számológépben csak írjon egy függvényt: plot(tan(x)),x=-360..360.
Az érintőhöz a legegyszerűbb diagramot vettük, és a tizedesvessző után az X változó -360 és 360 közötti tartományát jelöltük meg.
Teljesen bármilyen függvényt létrehozhat, tetszőleges számú változóval, például: plot(cos(x)/3z, x=-180..360,z=4) Vagy még bonyolultabb, mint gondolnád. Figyelünk az X változó viselkedésére - a tól és ig intervallumot két ponttal jelzi.
Ennek egyetlen negatívuma (bár nehéz negatívumnak nevezni). online számológép az, hogy nem képes gömböket és másokat építeni háromdimenziós figurák- csak egy repülőgép.
Hogyan kell dolgozni a matematikai számológéppel
1. A kijelző (számítógép képernyő) közönséges karakterekkel jeleníti meg a beírt kifejezést és számításának eredményét, ahogyan papírra írjuk. Ez a mező egyszerűen az aktuális művelet megtekintésére szolgál. A bejegyzés megjelenik a kijelzőn, miközben beír egy matematikai kifejezést a beviteli sorba.
2. A kifejezés beviteli mezője a kiszámítandó kifejezés írására szolgál. Itt meg kell jegyezni, hogy a számítógépes programokban használt matematikai szimbólumok nem mindig egyeznek azokkal, amelyeket általában papíron használunk. A számológép egyes funkcióinak áttekintésében megtalálja az adott művelet helyes megnevezését és a számológép számítási példáit. Ez az oldal az összes listát tartalmazza lehetséges műveletek a számológépben, jelezve azok helyesírását is.
3. Eszköztár – ezek a számológép gombjai, amelyek helyettesítik a megfelelő műveletet jelző matematikai szimbólumok kézi bevitelét. A számológép egyes gombjai (további funkciók, mértékegység-átalakító, mátrixok és egyenletek megoldása, grafikonok) új mezőkkel egészítik ki a tálcát, ahol egy adott számításhoz szükséges adatok kerülnek beírásra. Az „Előzmények” mező matematikai kifejezések írására vonatkozó példákat tartalmaz, valamint az utolsó hat bejegyzést.
Kérjük, vegye figyelembe, hogy a további függvények hívására szolgáló gombok megnyomásakor az értékek konvertálója, a mátrixok és egyenletek megoldása, a grafikonok ábrázolása, a teljes számológép panel felfelé mozdul, lefedve a kijelző egy részét. Töltse ki a szükséges mezőket, és nyomja meg az "I" gombot (az ábrán pirossal kiemelve), hogy a kijelző teljes méretben látható legyen.
4. A numerikus billentyűzet számokat és számtani előjeleket tartalmaz. A "C" gomb törli a teljes bejegyzést a kifejezés beviteli mezőjében. A karakterek egyenkénti törléséhez használja a beviteli sortól jobbra található nyilat.
Próbáljon meg mindig zárójelet zárni a kifejezés végén. A legtöbb műveletnél ez nem kritikus, az online számológép mindent helyesen számol ki. Bizonyos esetekben azonban hibák is előfordulhatnak. Például, ha törthatványra emelünk, a be nem zárt zárójelek hatására a kitevőben lévő tört nevezője az alap nevezőjére kerül. A kijelzőn a záró zárójel halványszürke színnel jelenik meg, a rögzítés befejeztével le kell zárni.
| Kulcs | Szimbólum | Művelet |
|---|---|---|
| pi | pi | állandó pi |
| e | e | Euler szám |
| % | % | Százalék |
| () | () | Nyissa ki/zárja be a zárójeleket |
| , | , | Vessző |
| bűn | bűn(?) | Szög szinusza |
| kötözősaláta | kötözősaláta(?) | Koszinusz |
| Cser | barna(y) | Tangens |
| sinh | sinh() | Hiperbolikus szinusz |
| készpénz | kényelmes() | Hiperbolikus koszinusz |
| tanh | tanh() | Hiperbolikus érintő |
| bűn-1 | mint a() | Inverz szinusz |
| cos-1 | acos() | inverz koszinusz |
| tan-1 | atan() | inverz érintő |
| sinh-1 | asinh() | Inverz hiperbolikus szinusz |
| cosh-1 | acosh() | Inverz hiperbolikus koszinusz |
| tanh-1 | atanh() | Inverz hiperbolikus érintő |
| x2 | ^2 | Négyzetre emelés |
| x 3 | ^3 | Kocka |
| x y | ^ | Hatványozás |
| 10 x | 10^() | Hatványozás 10-es bázisban |
| volt | exp() | Az Euler-szám hatványozása |
| vx | sqrt(x) | Négyzetgyök |
| 3vx | sqrt3(x) | 3. fokú gyökér |
| yvx | négyzet(x,y) | gyökér kivonás |
| napló 2 x | log2(x) | bináris logaritmus |
| log | log(x) | Tizedes logaritmus |
| ln | log(x) | természetes logaritmus |
| log y x | log(x,y) | Logaritmus |
| I / II | Kiegészítő funkciók minimalizálása/hívása | |
| Mértékegység | Mértékegység-átalakító | |
| mátrix | mátrixok | |
| megoldani | Egyenletek és egyenletrendszerek | |
| Ábrázolás | ||
| További funkciók (hívás a II gombbal) | ||
| mod | mod | Osztani a maradékkal |
| ! | ! | Faktoriális |
| i/j | i/j | képzeletbeli egység |
| Újra | Újra() | A teljes valós rész kiválasztása |
| Im | én() | A valós rész kizárása |
| |x| | abs() | Egy szám abszolút értéke |
| Arg | arg() | Függvény argumentum |
| nCr | ncr() | Binomiális együttható |
| gcd | gcd() | GCD |
| lcm | lcm() | NEM C |
| összeg | összeg() | Az összes megoldás összege |
| fac | tényezőkre bont() | Prímfaktorizálás |
| diff | diff() | Különbségtétel |
| Deg | fokon | |
| Rad | radiánok | |
Ebben a videóban egy sor lineáris egyenletet elemezünk, amelyeket ugyanazzal az algoritmussal oldanak meg – ezért nevezik őket a legegyszerűbbnek.
Először is határozzuk meg: mi az a lineáris egyenlet, és melyiket nevezzük a legegyszerűbbnek?
Lineáris egyenlet az, amelyben csak egy változó van, és csak az első fokon.
A legegyszerűbb egyenlet a konstrukciót jelenti:
Az összes többi lineáris egyenletet a legegyszerűbbre redukáljuk az algoritmus segítségével:
- Nyitott zárójelek, ha vannak;
- Helyezze át a változót tartalmazó kifejezéseket az egyenlőségjel egyik oldalára, a változó nélküli kifejezéseket pedig a másik oldalára;
- Helyezzen hasonló kifejezéseket az egyenlőségjel bal és jobb oldalára;
- A kapott egyenletet osszuk el a $x$ változó együtthatójával.
Természetesen ez az algoritmus nem mindig segít. A helyzet az, hogy néha mindezen machinációk után a $x$ változó együtthatója nullával egyenlő. Ebben az esetben két lehetőség közül választhat:
- Az egyenletnek egyáltalán nincs megoldása. Például, amikor valami olyasmit kap, hogy $0\cdot x=8$, azaz a bal oldalon nulla, a jobb oldalon pedig egy nullától eltérő szám. Az alábbi videóban több okot is megvizsgálunk, miért lehetséges ez a helyzet.
- A megoldás minden szám. Ez csak akkor lehetséges, ha az egyenletet a $0\cdot x=0$ konstrukcióra redukáltuk. Teljesen logikus, hogy hiába cseréljük be a $x$-t, akkor is kiderül, hogy „nulla egyenlő nullával”, azaz. helyes számszerű egyenlőség.
És most nézzük meg, hogyan működik mindez a valódi problémák példáján.
Példák egyenletek megoldására
Ma lineáris egyenletekkel foglalkozunk, és csak a legegyszerűbbekkel. Általában a lineáris egyenlet minden olyan egyenlőséget jelent, amely pontosan egy változót tartalmaz, és csak az első fokig megy.
Az ilyen konstrukciókat megközelítőleg ugyanúgy oldják meg:
- Először is meg kell nyitnia a zárójeleket, ha vannak (mint az utolsó példánkban);
- Akkor hozzon hasonlót
- Végül izoláljuk a változót, azaz. minden, ami a változóhoz kapcsolódik - a benne foglalt kifejezések - átkerül az egyik oldalra, és minden, ami nélküle marad, átkerül a másik oldalra.
Ezután általában hasonlót kell hoznia a kapott egyenlőség mindkét oldalán, és ezután már csak el kell osztani az "x" együtthatóval, és megkapjuk a végső választ.
Elméletileg ez szépnek és egyszerűnek tűnik, de a gyakorlatban még a tapasztalt középiskolás diákok is elkövethetnek sértő hibákat a meglehetősen egyszerű lineáris egyenletekben. Általában hibákat követnek el a zárójelek kinyitásakor, vagy a "plusz" és a "mínusz" számolása során.
Emellett előfordul, hogy egy lineáris egyenletnek egyáltalán nincs megoldása, vagy úgy, hogy a megoldás a teljes számegyenes, azaz. bármilyen szám. A mai leckében ezeket a finomságokat elemezzük. De amint azt már megértette, a legegyszerűbb feladatokkal kezdjük.
Séma egyszerű lineáris egyenletek megoldására
Először hadd írjam le még egyszer a teljes sémát a legegyszerűbb lineáris egyenletek megoldására:
- Bontsa ki a zárójelet, ha van.
- Változók elkülönítése, pl. minden, ami "x"-et tartalmaz, átkerül az egyik oldalra, "x" nélkül pedig a másikra.
- Hasonló kifejezéseket mutatunk be.
- Mindent elosztunk az "x"-es együtthatóval.
Természetesen ez a séma nem mindig működik, vannak bizonyos finomságai és trükkjei, és most ezeket fogjuk megismerni.
Valós példák megoldása egyszerű lineáris egyenletekre
1. feladat
Első lépésben meg kell nyitnunk a zárójeleket. De ebben a példában nem szerepelnek, ezért kihagyjuk ezt a lépést. A második lépésben el kell különítenünk a változókat. Jegyzet: beszélgetünk csak az egyes kifejezésekről. Írjunk:
Hasonló kifejezéseket adunk meg a bal és a jobb oldalon, de ezt itt már megtették. Ezért folytatjuk a negyedik lépést: ossza el egy tényezővel:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Itt kaptuk a választ.
2. feladat
Ebben a feladatban a zárójeleket figyelhetjük meg, ezért bővítsük ki őket:
A bal és a jobb oldalon is megközelítőleg ugyanazt a konstrukciót látjuk, de járjunk el az algoritmus szerint, pl. Sequester változók:
Íme néhány ilyen:
Milyen gyökereknél működik ez? Válasz: bármilyen. Ezért felírhatjuk, hogy $x$ tetszőleges szám.
3. feladat
A harmadik lineáris egyenlet már érdekesebb:
\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]
Itt több zárójel van, de ezek nincsenek szorozva semmivel, csak különböző táblák vannak előttük. Bontsuk fel őket:
Elvégezzük a számunkra már ismert második lépést:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Számoljunk:
Elvégezzük az utolsó lépést - mindent elosztunk az "x" együtthatóval:
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
Amit emlékezni kell a lineáris egyenletek megoldása során
Ha figyelmen kívül hagyjuk a túl egyszerű feladatokat, akkor a következőket szeretném mondani:
- Ahogy fentebb mondtam, nem minden lineáris egyenletnek van megoldása – néha egyszerűen nincsenek gyökök;
- Ha vannak is gyökerek, nulla bekerülhet közéjük - nincs ezzel semmi baj.
A nulla ugyanaz, mint a többi, nem szabad valahogy megkülönböztetni, vagy azt feltételezni, hogy ha nullát kapsz, akkor valamit rosszul csináltál.
Egy másik jellemző a zárójelek kiterjesztéséhez kapcsolódik. Figyelem: ha mínusz van előttük, eltávolítjuk, de a zárójelben a jeleket módosítjuk szemben. Utána pedig standard algoritmusok szerint nyithatjuk meg: azt kapjuk, amit a fenti számításoknál láttunk.
Ennek az egyszerű ténynek a megértése segít elkerülni az ostoba és bántó hibákat a középiskolában, amikor az ilyen tevékenységeket magától értetődőnek tekintik.
Összetett lineáris egyenletek megoldása
Térjünk tovább a továbbiakra összetett egyenletek. Mostantól a konstrukciók bonyolultabbá válnak, és a különböző transzformációk végrehajtása során egy másodfokú függvény jelenik meg. Ettől azonban nem kell megijedni, mert ha a szerző szándéka szerint lineáris egyenletet oldunk meg, akkor a transzformáció során minden másodfokú függvényt tartalmazó monom szükségszerűen redukálódik.
1. példa
Nyilvánvalóan az első lépés a zárójelek kinyitása. Tegyük ezt nagyon óvatosan:
Most pedig vegyük a magánéletet:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
Íme néhány ilyen:
Nyilvánvaló, hogy ennek az egyenletnek nincs megoldása, ezért a válaszban a következőket írjuk:
\[\változat \]
vagy nincs gyökere.
2. példa
Ugyanezeket a lépéseket hajtjuk végre. Első lépés:
Vigyünk mindent változóval balra, anélkül pedig jobbra:
Íme néhány ilyen:
Ennek a lineáris egyenletnek természetesen nincs megoldása, ezért így írjuk:
\[\varnothing\],
vagy nincs gyökere.
A megoldás árnyalatai
Mindkét egyenlet teljesen megoldott. E két kifejezés példáján ismét megbizonyosodtunk arról, hogy a legegyszerűbb lineáris egyenletekben sem lehet minden olyan egyszerű: lehet egy, vagy nincs, vagy végtelenül sok. Esetünkben két egyenletet vettünk figyelembe, mindkettőben egyszerűen nincs gyök.
De egy másik tényre szeretném felhívni a figyelmet: hogyan kell dolgozni a zárójelekkel, és hogyan lehet bővíteni őket, ha mínusz jel van előttük. Fontolja meg ezt a kifejezést:
Kinyitás előtt mindent meg kell szorozni "x-szel". Figyelem: szorozzon minden egyes kifejezést. Belül két kifejezés van - rendre két kifejezés és szorozva.
És csak ezeknek az eleminek tűnő, de nagyon fontos és veszélyes átalakításoknak a befejezése után lehet a zárójelet kinyitni abból a szempontból, hogy mínusz jel van utána. Igen, igen: csak most, az átalakítások végeztével jut eszünkbe, hogy a zárójelek előtt egy mínusz jel van, ami azt jelenti, hogy minden alább csak előjelet vált. Ugyanakkor maguk a konzolok eltűnnek, és ami a legfontosabb, az elülső „mínusz” is eltűnik.
Ugyanezt tesszük a második egyenlettel:
Nem véletlenül figyelek ezekre az apró, jelentéktelennek tűnő tényekre. Mert az egyenletek megoldása mindig elemi átalakítások sorozata, ahol az egyszerű műveletek világos és hozzáértő végrehajtásának képtelensége oda vezet, hogy középiskolások jönnek hozzám, és újra megtanulják megoldani az ilyen egyszerű egyenleteket.
Természetesen eljön a nap, amikor ezeket a készségeket automatizmusra csiszolod. Már nem kell minden alkalommal annyi átalakítást végrehajtania, mindent egy sorba fog írni. De amíg csak tanulsz, minden egyes műveletet külön kell megírnod.
Még bonyolultabb lineáris egyenletek megoldása
Amit most meg fogunk oldani, aligha nevezhetjük a legegyszerűbb feladatnak, de a jelentés ugyanaz marad.
1. feladat
\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]
Szorozzuk meg az első részben szereplő összes elemet:
Csináljunk elvonulást:
Íme néhány ilyen:
Tegyük meg az utolsó lépést:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
Íme a végső válaszunk. És annak ellenére, hogy a megoldás során voltak másodfokú függvényű együtthatók, ezek azonban kölcsönösen kioltották egymást, ami az egyenletet pontosan lineárissá teszi, nem négyzetessé.
2. feladat
\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]
Tegyük meg óvatosan az első lépést: szorozzuk meg az első zárójelben lévő minden elemet a második minden elemével. Összesen négy új kifejezést kell beszerezni az átalakítások után:
És most óvatosan hajtsa végre a szorzást minden egyes tagban:
Vigyük át az „x”-szel jelzett kifejezéseket balra, a nélkül pedig jobbra:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
Itt vannak hasonló kifejezések:
Határozott választ kaptunk.
A megoldás árnyalatai
A legfontosabb megjegyzés ezzel a két egyenlettel kapcsolatban a következő: amint elkezdjük szorozni azokat a zárójeleket, amelyekben több van, mint egy tag, akkor ez a következő szabály szerint történik: kivesszük az első tagot az elsőből, és minden elemmel szorozunk. a másodiktól; akkor vesszük a második elemet az elsőből és hasonlóképpen szorozzuk meg a másodikból minden elemmel. Ennek eredményeként négy kifejezést kapunk.
Az algebrai összegről
Az utolsó példával szeretném emlékeztetni a tanulókat, hogy mi az algebrai összeg. A klasszikus matematikában 1-7$ alatt egy egyszerű konstrukciót értünk: egyből kivonjuk a hetet. Az algebrában ez alatt a következőket értjük: az "egy" számhoz hozzáadunk egy másik számot, nevezetesen a "mínusz hét". Ez az algebrai összeg eltér a szokásos számtani összegtől.
Amint az összes transzformáció, minden összeadás és szorzás végrehajtásakor a fent leírtakhoz hasonló konstrukciókat kezd látni, egyszerűen nem lesz problémája az algebrával, amikor polinomokkal és egyenletekkel dolgozik.
Végezetül nézzünk meg még néhány példát, amelyek még az imént látottaknál is összetettebbek lesznek, és ezek megoldásához kissé ki kell bővítenünk a szokásos algoritmusunkat.
Egyenletek megoldása törttel
Az ilyen feladatok megoldásához még egy lépést kell hozzáadni az algoritmusunkhoz. De először emlékeztetem az algoritmusunkat:
- Nyissa ki a zárójeleket.
- Külön változók.
- Hozz hasonlót.
- Oszd el egy tényezővel.
Sajnos ez a csodálatos algoritmus minden hatékonysága ellenére nem teljesen megfelelő, ha törtek vannak előttünk. És amit alább látni fogunk, mindkét egyenletben van egy tört a bal és a jobb oldalon.
Hogyan kell dolgozni ebben az esetben? Igen, ez nagyon egyszerű! Ehhez hozzá kell adni egy további lépést az algoritmushoz, amelyet mind az első művelet előtt, mind utána végre lehet hajtani, nevezetesen, hogy megszabaduljon a törtektől. Így az algoritmus a következő lesz:
- Megszabadulni a törtektől.
- Nyissa ki a zárójeleket.
- Külön változók.
- Hozz hasonlót.
- Oszd el egy tényezővel.
Mit jelent "megszabadulni a törtektől"? És miért lehetséges ezt az első standard lépés után és előtt is megtenni? Valójában esetünkben minden tört numerikus a nevező szempontjából, azaz. mindenhol a nevező csak egy szám. Ezért, ha az egyenlet mindkét részét megszorozzuk ezzel a számmal, akkor megszabadulunk a törtektől.
1. példa
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]
Megszabadulunk a törtektől ebben az egyenletben:
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \jobbra)\cdot négy\]
Figyelem: mindent egyszer megszoroznak „néggyel”, azaz. csak azért, mert két zárójeled van, nem jelenti azt, hogy mindegyiket meg kell szorozni "néggyel". Írjunk:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Most nyissuk meg:
Elvégezzük egy változó elkülönítését:
Hasonló kifejezések redukcióját végezzük:
\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Megkaptuk a végső megoldást, áttérünk a második egyenletre.
2. példa
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]
Itt ugyanazokat a műveleteket hajtjuk végre:
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
Probléma megoldódott.
Valójában ez minden, amit ma el akartam mondani.
Főbb pontok
A legfontosabb megállapítások a következők:
- Ismerje a lineáris egyenletek megoldási algoritmusát.
- A zárójelek kinyitásának képessége.
- Ne aggódjon, ha valahol másodfokú függvényei vannak, valószínűleg a további átalakítások során csökkenni fognak.
- A lineáris egyenletek gyökei, még a legegyszerűbbek is, háromféleek: egyetlen gyök, az egész számegyenlet gyök, nincs gyök.
Remélem, ez a lecke segít egy egyszerű, de nagyon fontos téma elsajátításában az összes matematika további megértéséhez. Ha valami nem világos, menjen az oldalra, oldja meg az ott bemutatott példákat. Maradj velünk, még sok érdekesség vár rád!
Ha a férj ingerlékeny lett
Tabletták a cukorbetegség számára
Továbbá - kell-e vessző?
Hogyan készülnek a számítógépes játékok?
Álomértelmezés arany, miért álmodik aranyról, álomban aranyról
Húgyhólyaghurut húgycsőmosás Hogyan kell felhelyezni a szubklavia katétert
Horoszkóp disznó és tigris. Tigris - Malac. Kompatibilitás