7 inverz mátrix. Az inverz mátrix megtalálása: három algoritmus és példa

Lelet inverz mátrix.

Ebben a cikkben az inverz mátrix fogalmával, tulajdonságaival és megtalálásának módjaival foglalkozunk. Foglalkozzunk részletesen azokkal a példákkal, amelyekben egy adott mátrixhoz inverz mátrixot kell készíteni.

Oldalnavigáció.

Inverz mátrix - definíció.

Az inverz mátrix megtalálása algebrai összeadások mátrixával.

Az inverz mátrix tulajdonságai.

Az inverz mátrix megtalálása Gauss-Jordan módszerrel.

Az inverz mátrix elemeinek megtalálása a megfelelő lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldásával.

Inverz mátrix - definíció.

Az inverz mátrix fogalmát csak olyan négyzetmátrixokra vezetjük be, amelyek determinánsa eltér nullától, vagyis a nem szinguláris négyzetmátrixokhoz.

Meghatározás.

Mátrixa mátrix inverzének nevezzük, amelynek determinánsa nullától eltérő, ha az egyenlőségek igazak , ahol E a sorrend identitásmátrixa n a n.

Az inverz mátrix megtalálása algebrai összeadások mátrixával.

Hogyan találjuk meg egy adott mátrix inverz mátrixát?

Először is szükségünk van a fogalmakra transzponált mátrix, a mátrix moll és a mátrixelem algebrai komplementere.

Meghatározás.

Kisebbk-th rendelés mátrixok A rendelés m a n a sorrendi mátrix meghatározója k a k, amelyet a mátrix elemeiből kapunk DE található a kiválasztott k vonalak és k oszlopok. ( k nem haladja meg a legkisebb számot m vagy n).

Kisebb (n-1)-edik sorrend, amely az összes sor elemeiből áll, kivéve i-th, és az összes oszlop, kivéve j-edik, négyzetmátrix DE rendelés n a n jelöljük úgy.

Más szóval, a moll a négyzetmátrixból származik DE rendelés n a n elemek áthúzása i-th vonalak és j-edik oszlop.

Például írjuk, moll 2 sorrendben, amelyet a mátrixból kapunk második, harmadik sorának és első, harmadik oszlopának elemeinek kiválasztása . Megmutatjuk a moll-ot is, amelyet a mátrixból kapunk a második sor és a harmadik oszlop törlése . Szemléltessük e kiskorúak felépítését: és .

Meghatározás.

Algebrai összeadás négyzetmátrix elemét minornak nevezzük (n-1)-edik sorrendben, amelyet a mátrixból kapunk DE, törli annak elemeit i-th vonalak és j-edik oszlop szorozva .

Egy elem algebrai komplementerét jelöljük. És így, .

Például egy mátrixhoz az elem algebrai komplementere .

Másodszor, szükségünk lesz a determináns két tulajdonságára, amelyeket a részben tárgyaltunk mátrix determináns számítás:

A determináns ezen tulajdonságai alapján a definíciók egy mátrix számmal való szorzásának műveleteiés az inverz mátrix fogalma, megvan az egyenlőség , ahol egy transzponált mátrix, amelynek elemei algebrai komplementerek.

Mátrix valóban a mátrix inverze DE, hiszen az egyenlőségeket . Mutassuk meg

Komponáljunk inverz mátrix algoritmus egyenlőség felhasználásával .

Elemezzük az inverz mátrix megtalálásának algoritmusát egy példa segítségével.

Példa.

Adott egy mátrix . Keresse meg az inverz mátrixot.

Megoldás.

Számítsa ki a mátrix determinánsát! DE, kibővítve a harmadik oszlop elemeivel:

A determináns nem nulla, tehát a mátrix DE megfordítható.

Keressünk egy mátrixot algebrai összeadásokból:

Ezért

Végezzük el a mátrix transzponálását algebrai összeadásokból:

Most megtaláljuk az inverz mátrixot, mint :

Nézzük az eredményt:

Egyenlőség végrehajtásra kerül, ezért az inverz mátrix helyesen található.

Az inverz mátrix tulajdonságai.

Az inverz mátrix, egyenlőség fogalma , a mátrixokon végzett műveletek definíciói és a mátrix determinánsának tulajdonságai lehetővé teszik a következők alátámasztását inverz mátrix tulajdonságai:

Az inverz mátrix elemeinek megtalálása a megfelelő lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldásával.

Tekintsünk egy másik módot a négyzetmátrix inverz mátrixának megtalálására DE rendelés n a n.

Ez a módszer a megoldáson alapul n lineáris inhomogén algebrai egyenletrendszerek n ismeretlen. Ezekben az egyenletrendszerekben az ismeretlen változók az inverz mátrix elemei.

Az ötlet nagyon egyszerű. Jelölje az inverz mátrixot így x, vagyis . Mivel az inverz mátrix definíciója szerint, akkor

A megfelelő elemeket oszlopokkal egyenlővé téve azt kapjuk n lineáris egyenletrendszerek

Bármilyen módon megoldjuk, és a talált értékekből inverz mátrixot képezünk.

Elemezzük ezt a módszert egy példán keresztül.

Példa.

Adott egy mátrix . Keresse meg az inverz mátrixot.

Megoldás.

Elfogad . Az egyenlőség három lineáris nemhomogén algebrai egyenletrendszert ad:

Ezeknek a rendszereknek a megoldását nem ismertetjük, szükség esetén lásd a részt lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása.

Az első egyenletrendszerből van , a másodikból - , a harmadikból - . Ezért a kívánt inverz mátrixnak van alakja . Javasoljuk, hogy ellenőrizze az eredmény helyességét.

Összesít.

Megvizsgáltuk az inverz mátrix fogalmát, tulajdonságait és három módszert a megtalálására.

Példa inverz mátrix megoldásokra

1. Feladat. Oldja meg az SLAE-t inverz mátrix módszerrel. 2 x 1 + 3 x 2 + 3 x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5 x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 = 2 5 x 1 + 7 x 2 + 6 x 3 + 2 x 4 = 3 4 x 1 + 4 x 2 + 3 x 3 + x4 = 4

Űrlap indítása

A forma vége

Megoldás. Írjuk fel a mátrixot a következő alakba: B vektor: B T = (1,2,3,4) Fő meghatározó Minor for (1,1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2) +4 (3 2-6 2) = -3 Minor (2,1): = 3 (6 1-3 2) -7 (3 1-3 1) +4 (3 2-6 1) = 0 Kisebb (3 ,1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1) + 4 (3 2-3 1) = 3 kisebb a (4,1): = 3 (3 2-) 6 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 Kishatározó ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

Transzponált mátrix Algebrai komplementerek ∆ 1,1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1,2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7) 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1,3 = 3 (3 1-2 3) -3 (5 1-2 4) + 1 (5 3-3 4) = 3 ∆ 1,4 = -3 (3 2-2 6) -3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2,1 = -3 (6 1-2 3) -3 (5 1-2 4) )+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2,2 = 2 (6 1-2 3) -3 (5 1-2 4) + 1 (5 3-6 4) = 0 ∆ 2,3 = -2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2,4 = 2 (3 2-2 6)-3 (3 2-2 5)+1 (3) 6-3 5) = 3 ∆ 3,1 = 3 (7 1-2 4) -5 (5 1-2 4) + 2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3,2 = -2 (7 1-2 4) )-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3,3 = 2 (5 1-2 4) -3 (3 1-2 4) + 1 (3 4-5 4) = 1 ∆ 3,4 = -2 (5 2-2 7) -3 (3 2-2 5) +1 ( 3 7-5 5) = 0 ∆ 4,1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5) 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4,2 = 2 (7 3-6 4) -3 (5 3-6 4) +3 (5 4-7 4) \u003d -3 ∆ 4,3 \u003d -2 (5 3-3 4) -3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4,4 = 2 (5 6-3 7) -3 (3 6-) 3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 Inverz mátrix X eredmény vektor X = A -1 ∙ B X T = (2, -1, -0,33,1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0,33 x 4 = 1

Lásd még SLAE megoldások inverz mátrix módszerrel online. Ehhez adja meg adatait, és kapjon döntést részletes megjegyzésekkel.

2. feladat. Írja fel az egyenletrendszert mátrix alakban, és oldja meg az inverz mátrix segítségével! Ellenőrizze a kapott oldatot. Megoldás:xml:xls

2. példa. Írja fel az egyenletrendszert mátrix alakban, és oldja meg az inverz mátrix segítségével! Megoldás:xml:xls

Példa. Adott egy három lineáris egyenletrendszer három ismeretlennel. Kötelező: 1) megtalálni a megoldást a segítségével Cramer-képletek; 2) írja fel a rendszert mátrix alakban, és oldja meg mátrixszámítással. Irányelvek. A Cramer-módszerrel történő megoldás után keresse meg az "Inverz mátrix megoldás a kezdeti adatokhoz" gombot. Megfelelő határozatot fog kapni. Így az adatokat nem kell újra kitölteni. Megoldás. Jelölje A - az ismeretlenek együtthatóinak mátrixa; X - ismeretlenek oszlopmátrixa; B - szabad tagok mátrixoszlopa:

B vektor: B T =(4,-3,-3) Ezen jelölések mellett ez az egyenletrendszer a következő mátrixformát ölti: A*X = B. Ha az A mátrix nem szinguláris (determinánsa nem nulla, akkor az inverz mátrix A -1. Az egyenlet mindkét oldalát A -1-gyel megszorozva a következőket kapjuk: A -1 * A * X \u003d A -1 * B, A -1 * A \u003d E. Ezt az egyenlőséget ún. a lineáris egyenletrendszer megoldásának mátrixjelölése. Az egyenletrendszer megoldásához ki kell számítani az A -1 inverz mátrixot. A rendszernek akkor lesz megoldása, ha az A mátrix determinánsa nem nulla. Keressük a fő meghatározót. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 Tehát a determináns 14 ≠ 0, így folytatjuk a megoldást. Ehhez algebrai összeadásokkal keressük meg az inverz mátrixot. Legyen egy nem szinguláris A mátrixunk:

Algebrai összeadásokat számolunk.

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7

∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T = (-1, 1, 2) x 1 = -14 / 14 = -1 x 2 = 14 / 14 = 1 x 3 = 28 / 14 = 2 Vizsgálat. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 doc:xml:xls Válasz: -1,1,2.

Az A -1 mátrixot inverz mátrixnak nevezzük az A mátrixhoz képest, ha A * A -1 \u003d E, ahol E az n-edik sorrendű azonosságmátrix. Az inverz mátrix csak négyzetmátrixoknál létezhet.

Szolgálati megbízás. A szolgáltatás online használatával algebrai összeadásokat, transzponált A T mátrixot, uniómátrixot és inverz mátrixot találhat. A megoldást közvetlenül a webhelyen (online) hajtják végre, és ingyenes. A számítási eredmények Word és Excel formátumú jelentésben jelennek meg (vagyis lehetőség van a megoldás ellenőrzésére). lásd a tervezési példát.

Utasítás. A megoldáshoz meg kell adni a mátrix méretét. Ezután az új párbeszédablakban töltse ki az A mátrixot.

Mátrix dimenzió 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Lásd még: Inverz mátrix Jordan-Gauss módszerrel

Algoritmus az inverz mátrix megtalálására

1. Az A T transzponált mátrix megkeresése.
2. Algebrai összeadások meghatározása. Cserélje le a mátrix minden elemét az algebrai komplementerével.
3. Inverz mátrix összeállítása algebrai összeadásokból: a kapott mátrix minden elemét elosztjuk az eredeti mátrix determinánsával. A kapott mátrix az eredeti mátrix inverze.

Következő inverz mátrix algoritmus az előzőhöz hasonlóan, néhány lépés kivételével: először az algebrai komplementereket számítjuk ki, majd meghatározzuk a C uniómátrixot.

1. Határozza meg, hogy a mátrix négyzet alakú-e. Ha nem, akkor nincs rá inverz mátrix.
2. Az A mátrix determinánsának kiszámítása. Ha nem nulla, folytatjuk a megoldást, ellenkező esetben - az inverz mátrix nem létezik.
3. Algebrai összeadások meghatározása.
4. A C unió (kölcsönös, adjunkt) mátrix kitöltése.
5. Az inverz mátrix összeállítása algebrai összeadásokból: a C adjunkt mátrix minden elemét elosztjuk az eredeti mátrix determinánsával. A kapott mátrix az eredeti mátrix inverze.
6. Ellenőrizze: szorozza meg az eredetit és a kapott mátrixokat. Az eredmény egy identitásmátrix legyen.

1. példa. A mátrixot a következő formában írjuk fel:

Algebrai összeadások.

A 1,1 = (-1) 1+1

-1 -2 5 4

∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

A 1,2 = (-1) 1+2

2 -2 -2 4

∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

A 1,3 = (-1) 1+3

2 -1 -2 5

∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

A 2,1 = (-1) 2+1

2 3 5 4

∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7

A 2,2 = (-1) 2+2

-1 3 -2 4

∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

A 2,3 = (-1) 2+3

-1 2 -2 5

∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

A 3,1 = (-1) 3+1

2 3 -1 -2

∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

A 3,2 = (-1) 3+2

-1 3 2 -2

∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

A 3,3 = (-1) 3+3

-1 2 2 -1

∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Akkor inverz mátrixígy írható:

A -1 = 1/10

6 -4 8 7 2 1 -1 4 -3

A -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Egy másik algoritmus az inverz mátrix megtalálására

Bemutatunk egy másik sémát az inverz mátrix megtalálására.

1. Keresse meg az adott A négyzetmátrix determinánsát!
2. Az A mátrix összes eleméhez algebrai összeadásokat találunk.
3. A sorok elemeinek algebrai komplementereit írjuk az oszlopokba (transzpozíció).
4. A kapott mátrix minden elemét elosztjuk az A mátrix determinánsával.

Mint látható, a transzponálási művelet mind az elején, az eredeti mátrix felett, mind a végén a kapott algebrai összeadások felett alkalmazható.

Különleges eset: Az inverz az E identitásmátrix vonatkozásában az E azonosságmátrix.

Módszerek az inverz mátrix megtalálására,. Tekintsünk egy négyzetmátrixot

Jelölje Δ = det A.

Az A négyzetmátrixot ún nem degenerált, vagy nem különleges ha a determinánsa nem nulla, és elfajzott, vagy különleges, haΔ = 0.

Létezik egy B négyzetmátrix egy azonos rendű A négyzetmátrixhoz, ha szorzatuk A B = B A = E, ahol E az A és B mátrixokkal azonos rendű azonosságmátrix.

Tétel . Ahhoz, hogy az A mátrixnak legyen inverz mátrixa, szükséges és elegendő, hogy a determinánsa nullától eltérő legyen.

Inverz mátrix az A mátrixhoz, A-val jelöljük- 1, tehát B = A - 1 és a képlet alapján számítják ki

, (1)

ahol А i j - az A mátrix a i j elemeinek algebrai komplementerei.

Az A -1 kiszámítása az (1) képlettel magas rendű mátrixokra nagyon munkaigényes, ezért a gyakorlatban célszerű megtalálni az A -1-et az elemi transzformációk (EP) módszerével. Bármely nem szinguláris A mátrix redukálható csak oszlopok (vagy csak sorok) EP-jével az E identitásmátrixra. Ha az A mátrixon tökéletes EP-ket ugyanabban a sorrendben alkalmazzuk az E identitásmátrixra, akkor az eredmény: egy inverz mátrix. Kényelmes egy EP-t az A és E mátrixokon egyszerre végrehajtani, mindkét mátrixot egymás mellé írva a vonalon keresztül. Még egyszer megjegyezzük, hogy a mátrix kanonikus formájának keresésekor sorok és oszlopok transzformációit használhatjuk annak megtalálásához. Ha meg kell találnia az inverz mátrixot, akkor csak sorokat vagy csak oszlopokat használjon az átalakítási folyamatban.

2.10. példa. Mátrixhoz találd meg az A -1-et.

Megoldás.Először megtaláljuk az A mátrix determinánsát
tehát létezik az inverz mátrix, és a következő képlettel találhatjuk meg: , ahol A i j (i,j=1,2,3) - az eredeti mátrix a i j elemeinek algebrai komplementerei.

Ahol .

Példa 2.11. Az elemi transzformációk módszerével keressünk A -1 mátrixot: A=.

Megoldás.A jobb oldali eredeti mátrixhoz azonos sorrendű identitásmátrixot rendelünk: . Az elemi oszloptranszformációk segítségével a bal „felet” az azonosságra redukáljuk, egyidejűleg pontosan ilyen transzformációkat hajtunk végre a jobb oldali mátrixon.
Ehhez cserélje fel az első és a második oszlopot: ~ . Az elsőt hozzáadjuk a harmadik oszlophoz, és az elsőt -2-vel megszorozva a másodikhoz: . Az első oszlopból kivonjuk a megduplázott másodikat, a harmadikból pedig a másodikat 6-tal szorozva; . Adjuk hozzá a harmadik oszlopot az elsőhöz és a másodikhoz: . Szorozzuk meg az utolsó oszlopot -1-gyel: . A függőleges sávtól jobbra kapott négyzetmátrix az adott A mátrix inverz mátrixa.
.

Tekintsük a mátrixszorzás inverz műveletének meghatározásának problémáját.

Legyen A egy n rendű négyzetmátrix. A^(-1) mátrix kielégítése együtt adott mátrix A egyenlőségek:

A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E,

hívott fordított. Az A mátrixot ún megfordítható, ha van rá fordítottja, különben - visszafordíthatatlan.

A definícióból az következik, hogy ha létezik A^(-1) inverz mátrix, akkor az A-val azonos nagyságrendű négyzet. Azonban nem minden négyzetmátrixnak van inverze. Ha az A mátrix determinánsa nulla (\det(A)=0) , akkor nincs inverze. Valójában az E=A^(-1)A azonosságmátrix mátrixok szorzatának determinánsára vonatkozó tételt alkalmazva ellentmondást kapunk

\det(E)=\det(A^(-1)\cdot A)=\det(A^(-1))\det(A)=\det(A^(-1))\cdot0=0

mivel az identitásmátrix determinánsa egyenlő 1-gyel. Kiderült, hogy a négyzetmátrix determinánsának nullától való eltérése az egyetlen feltétele az inverz mátrix létezésének. Emlékezzünk vissza, hogy egy négyzetes mátrixot, amelynek determinánsa nulla, degeneráltnak (szingulárisnak), különben nem szingulárisnak (nem szingulárisnak) nevezzük.

4.1. Tétel az inverz mátrix létezéséről és egyediségéről. négyzetmátrix A=\begin(pmátrix)a_(11)&\cdots&a_(1n)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_(n1)&\cdots&a_(nn) \end(pmátrix), amelynek determinánsa nem nulla, van egy inverz mátrixa, és ráadásul csak egy:

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot\! \begin(pmatrix)A_(11)&A_(21)&\cdots&A_(1n)\\ A_(12)&A_(22)&\cdots&A_(n2)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_(1n) )&A_(2n)&\cdots&A_(nn) \end(pmatrix)= \frac(1)(\det(A))\cdot A^(+),

ahol A^(+) az A mátrix elemeinek algebrai komplementereiből álló mátrixra transzponált mátrix.

Az A^(+) mátrixot hívjuk csatolt mátrix az A mátrixhoz képest.

Valóban, a mátrix \frac(1)(\det(A))\,A^(+) a \det(A)\ne0 feltétellel létezik. Meg kell mutatnunk, hogy A-val inverz, azaz. két feltételnek eleget tesz:

\begin(aligned)\mathsf(1))&~A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)=E;\\ \mathsf (2))&~ \!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)\!\cdot A=E.\end(igazított)

Bizonyítsuk be az első egyenlőséget. A 2.3. megjegyzés 4. pontja szerint a determináns tulajdonságaiból következik, hogy AA^(+)=\det(A)\cdot E. Ezért

A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)= \frac(1)(\det(A))\cdot AA^(+) = \frac(1)(\det(A))\cdot \det(A)\cdot E=E,

amelyet meg kellett mutatni. A második egyenlőség is hasonlóképpen bizonyított. Ezért a \det(A)\ne0 feltétel mellett az A mátrixnak inverze van

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+).

Az inverz mátrix egyediségét ellentmondással bizonyítjuk. Legyen az A^(-1) mátrixon kívül még egy inverz B\,(B\ne A^(-1)) mátrix úgy, hogy AB=E . A bal oldali egyenlőség mindkét oldalát megszorozva az A^(-1) mátrixszal, kapjuk \underbrace(A^(-1)AB)_(E)=A^(-1)E. Ebből következik a B=A^(-1) , ami ellentmond a B\ne A^(-1) feltételezésnek. Ezért az inverz mátrix egyedi.

Megjegyzések 4.1

1. A definícióból következik, hogy az A és A^(-1) mátrixok permutálhatók.

2. A nem degenerált átlóssal inverz mátrix szintén átlós:

\Bigl[\operátornév(diag)(a_(11),a_(22),\ldots,a_(nn))\Bigr]^(-1)= \operátornév(diag)\!\left(\frac(1) )(a_(11)),\,\frac(1)(a_(22)),\,\ldots,\,\frac(1)(a_(nn))\jobbra)\!.

3. A nem degenerált alsó (felső) háromszögmátrixhoz inverz mátrix alsó (felső) háromszög alakú.

4. Az elemi mátrixoknak vannak inverzei, amelyek szintén elemiek (lásd az 1.11. megjegyzés 1. pontját).

Inverz mátrix tulajdonságai

A mátrixinverziós művelet a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

\begin(igazított)\félkövér(1.)&~~ (A^(-1))^(-1)=A\,;\\ \félkövér(2.)&~~ (AB)^(-1 )=B^(-1)A^(-1)\,;\\ \félkövér(3.)&~~ (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T\ ,;\\ \bold(4.)&~~ \det(A^(-1))=\frac(1)(\det(A))\,;\\ \bold(5.)&~~ E^(-1)=E\,. \end(igazított)

ha van értelme az 1-4 egyenlőségben jelzett műveleteknek.

Bizonyítsuk be a 2. tulajdonságot: ha az azonos rendű nem szinguláris négyzetmátrixok AB szorzatának van inverz mátrixa, akkor (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1).

Valójában az AB mátrixok szorzatának determinánsa nem egyenlő nullával, hiszen

\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B), ahol \det(A)\ne0,~\det(B)\ne0

Ezért létezik és egyedi az inverz mátrix (AB)^(-1). Mutassuk meg definícióval, hogy a B^(-1)A^(-1) mátrix inverz az AB mátrixhoz képest. Igazán.

Ez a téma az egyik leggyűlöltebb a diákok körében. Ami még rosszabb, valószínűleg csak a meghatározók.

A trükk az, hogy maga az inverz elem fogalma (és most nem csak a mátrixokról beszélek) a szorzás műveletére utal. Még be is iskolai tananyag a szorzás összetett műveletnek számít, a mátrixszorzás pedig általában egy külön téma, amelyhez egy egész bekezdést és egy oktatóvideót szentelek.

Ma nem megyünk bele a mátrixszámítások részleteibe. Ne feledje: hogyan jelöljük a mátrixokat, hogyan szorozzuk őket, és mi következik ebből.

Áttekintés: Mátrixszorzás

Először is állapodjunk meg a jelölésben. A $\left[ m\times n \right]$ méretű $A$ mátrix egyszerűen egy számtáblázat pontosan $m$ sorral és $n$ oszloppal:

\=\zárójel(\left[ \begin(mátrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(mátrix) \jobbra])_(n)\]

Hogy véletlenül ne keverjük össze helyenként a sorokat és az oszlopokat (hidd el, a vizsgán össze lehet keverni egy egységet a kettesével - mit is mondhatnánk ott néhány sorról), csak vessen egy pillantást a képre:

Mátrixsejtek indexeinek meghatározása

Mi történik? Ha az $OXY$ szabványos koordinátarendszert a bal felső sarokba helyezzük és a tengelyeket úgy irányítjuk, hogy azok lefedjék a teljes mátrixot, akkor ennek a mátrixnak minden cellája egyedileg társítható a $\left(x;y \right) koordinátákkal. $ - ez lesz a sorszám és az oszlop száma.

Miért van a koordinátarendszer pontosan a bal felső sarokban? Igen, mert onnan kezdünk el olvasni bármilyen szöveget. Nagyon könnyű megjegyezni.

Miért mutat a $x$ tengely lefelé, és miért nem jobbra? Megint egyszerű: vegyük a szabványos koordinátarendszert (az $x$ tengely jobbra, a $y$ tengely felfelé megy), és forgassa el úgy, hogy az bezárja a mátrixot. Ez egy 90 fokos elforgatás az óramutató járásával megegyező irányban – ennek eredményét látjuk a képen.

Általában kitaláltuk, hogyan határozzuk meg a mátrixelemek indexeit. Most foglalkozzunk a szorzással.

Meghatározás. A $A=\left[ m\times n \right]$ és a $B=\left[ n\times k \right]$ mátrixok, amikor az első oszlopok száma megegyezik a második sorainak számával következetesnek nevezik.

Ebben a sorrendben. Lehet kétértelmű, és azt mondhatjuk, hogy a $A$ és a $B$ mátrixok egy $\left(A;B \right)$ rendezett párt alkotnak: ha konzisztensek ebben a sorrendben, akkor egyáltalán nem szükséges, hogy $B $ és $A$, azok. a $\left(B;A \right)$ pár is konzisztens.

Csak konzisztens mátrixok szorozhatók.

Meghatározás. A $A=\left[ m\times n \right]$ és a $B=\left[ n\times k \right]$ konzisztens mátrixok szorzata az új $C=\left[ m\times k \right mátrix ]$ , melynek $((c)_(ij))$ elemeit a következő képlet számítja ki:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

Más szavakkal: ahhoz, hogy megkapjuk a $C=A\cdot B$ mátrix $((c)_(ij))$ elemét, az első mátrix $i$-sorát kell venni, a $j$ -a második mátrix oszlopát, majd szorozza meg az elemeket ebből a sorból és oszlopból. Adja össze az eredményeket.

Igen, ez kemény meghatározás. Ebből azonnal több tény is következik:

1. A mátrixszorzás általánosságban véve nem kommutatív: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. A szorzás azonban asszociatív: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. És még disztributív: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. És ismét disztributív: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

A szorzás eloszlását külön kellett leírni a bal és a jobb oldali szorzóösszegre, már csak a szorzási művelet kommutativatlansága miatt is.

Ha ennek ellenére kiderül, hogy $A\cdot B=B\cdot A$, az ilyen mátrixokat permutálhatónak nevezzük.

Az összes mátrix között, amelyeket ott megszoroznak valamivel, vannak speciálisak – azok, amelyek bármely $A$ mátrixszal megszorozva ismét $A$-t adnak:

Meghatározás. A $E$ mátrixot azonosságnak nevezzük, ha $A\cdot E=A$ vagy $E\cdot A=A$. $A$ négyzetmátrix esetén ezt írhatjuk:

Az identitásmátrix gyakori vendég a megoldásban mátrixegyenletek. És általában gyakori vendég a mátrixok világában. :)

És emiatt a $E$ miatt valaki kitalálta a következő játékot.

Mi az inverz mátrix

Mivel a mátrixszorzás nagyon időigényes művelet (egy csomó sort és oszlopot kell szorozni), az inverz mátrix fogalma sem a legtriviálisabb. És ehhez némi magyarázat kell.

Kulcs definíció

Nos, ideje megtudni az igazságot.

Meghatározás. A $B$ mátrixot a $A$ mátrix inverzének nevezzük, ha

Az inverz mátrixot $((A)^(-1))$ jelöli (nem tévesztendő össze a fokozattal!), így a definíció így átírható:

Úgy tűnik, hogy minden rendkívül egyszerű és világos. De egy ilyen meghatározás elemzésekor számos kérdés azonnal felmerül:

1. Mindig létezik inverz mátrix? És ha nem mindig, akkor hogyan lehet meghatározni: mikor létezik és mikor nem?
2. És ki mondta, hogy egy ilyen mátrix pontosan egy? Mi van akkor, ha valami eredeti $A$ mátrixhoz inverzek egész tömege van?
3. Hogy néznek ki ezek a "fordítások"? És valójában hogyan számolod meg őket?

Ami a számítási algoritmusokat illeti - erről egy kicsit később fogunk beszélni. De a többi kérdésre most válaszolunk. Rendezzük őket külön állítások-lemmák formájában.

Alaptulajdonságok

Kezdjük azzal, hogyan kell kinéznie a $A$ mátrixnak, hogy $((A)^(-1))$ legyen. Most megbizonyosodunk arról, hogy mindkét mátrixnak négyzet alakúnak és azonos méretűnek kell lennie: $\left[ n\times n \right]$.

1. lemma. Adott egy $A$ mátrix és annak inverze $((A)^(-1))$. Ekkor mindkét mátrix négyzet alakú, és azonos sorrendű $n$.

Bizonyíték. Minden egyszerű. Legyen a $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$ mátrix. Mivel a $A\cdot ((A)^(-1))=E$ szorzat definíció szerint létezik, a $A$ és $((A)^(-1))$ mátrixok következetesek ebben a sorrendben:

\[\begin(igazítás) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( igazítsa)\]

Ez egyenes következménye a mátrixszorzó algoritmusnak: az $n$ és $a$ együtthatók "tranzit" és egyenlőnek kell lenniük.

Ugyanakkor az inverz szorzás is definiálva van: $((A)^(-1))\cdot A=E$, így a $((A)^(-1))$ és $A$ mátrixok következetes is ebben a sorrendben:

\[\begin(igazítás) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( igazítsa)\]

Így az általánosság elvesztése nélkül feltételezhetjük, hogy $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. A $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$ definíciója szerint azonban a mátrixok méretei pontosan megegyeznek:

\[\begin(igazítás) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(igazítás)\]

Így kiderül, hogy mindhárom mátrix - $A$, $((A)^(-1))$ és $E$ - négyzet alakú $\left[ n\times n \right]$. A lemma bevált.

Hát ez már jó. Látjuk, hogy csak a négyzetmátrixok invertálhatók. Most győződjünk meg arról, hogy az inverz mátrix mindig ugyanaz.

2. lemma. Adott egy $A$ mátrix és annak inverze $((A)^(-1))$. Akkor ez az inverz mátrix egyedi.

Bizonyíték. Kezdjük az ellenkezőjével: legyen az $A$ mátrixnak legalább két inverze - $B$ és $C$. Ekkor a definíció szerint a következő egyenlőségek igazak:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(igazítás)\]

Az 1. lemmából arra a következtetésre jutunk, hogy mind a négy $A$, $B$, $C$ és $E$ mátrix azonos sorrendű négyzet: $\left[ n\times n \right]$. Ezért a termék meghatározása:

Mivel a mátrixszorzás asszociatív (de nem kommutatív!), ezt írhatjuk:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Jobbra B=C. \\ \end(igazítás)\]

Csak kapott lehetséges változata: az inverz mátrix két példánya egyenlő. A lemma bevált.

A fenti érvelés szinte szó szerint megismétli az inverz elem egyediségének bizonyítását minden $b\ne 0$ valós számra. Az egyetlen jelentős kiegészítés a mátrixok dimenziójának figyelembevétele.

Azonban még mindig nem tudunk semmit arról, hogy bármelyik négyzetmátrix megfordítható-e. Itt a determináns jön a segítségünkre – ez minden négyzetmátrix kulcsjellemzője.

3. lemma. Adott egy $A$ mátrix. Ha létezik vele fordított $((A)^(-1))$ mátrix, akkor az eredeti mátrix determinánsa nem nulla:

\[\left| A \right|\ne 0\]

Bizonyíték. Azt már tudjuk, hogy a $A$ és a $((A)^(-1))$ $\left[ n\times n \right]$ méretű négyzetmátrixok. Ezért mindegyikre ki lehet számítani a determinánst: $\left| A \right|$ és $\left| ((A)^(-1)) \jobbra|$. A szorzat determinánsa azonban egyenlő a determinánsok szorzatával:

\[\left| A\cdot B \right|=\left| A \right|\cdot \left| B \jobbra|\Jobbra \balra| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \jobbra|\]

De a $A\cdot ((A)^(-1))=E$ definíciója szerint, és a $E$ determinánsa mindig egyenlő 1-gyel, tehát

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\jobbra|; \\ & \left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \jobbra|=1. \\ \end(igazítás)\]

Két szám szorzata csak akkor egyenlő eggyel, ha mindegyik szám különbözik nullától:

\[\left| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \jobbra|\ne 0.\]

Így kiderül, hogy $\left| A \right|\ne 0$. A lemma bevált.

Valójában ez a követelmény teljesen logikus. Most elemezzük az inverz mátrix megtalálásának algoritmusát - és teljesen világossá válik, hogy elvileg miért nem létezhet inverz mátrix nulla determinánssal.

De először fogalmazzunk meg egy "kiegészítő" definíciót:

Meghatározás. A degenerált mátrix egy $\left[ n\x n \right]$ méretű négyzetmátrix, amelynek determinánsa nulla.

Így kijelenthetjük, hogy bármely invertálható mátrix nem degenerált.

Hogyan találjuk meg az inverz mátrixot

Most megvizsgálunk egy univerzális algoritmust az inverz mátrixok megtalálására. Általában két általánosan elfogadott algoritmus létezik, és ma a másodikkal is foglalkozunk.

A most figyelembe vett mátrix nagyon hatékony a $\left[ 2\x 2 \right]$ és - részben - a $\left[ 3\x 3 \right]$ méretű mátrixok esetén. De a $\left[ 4\x 4 \right]$ mérettől kezdve jobb, ha nem használod. Miért – most mindent meg fog érteni.

Algebrai összeadások

Készülj fel. Most fájdalom lesz. Nem, ne aggódj: egy gyönyörű nővér szoknyában, csipkés harisnyában nem jön be, és nem ad be injekciót a fenékbe. Minden sokkal prózaibb: az algebrai kiegészítések és Őfelsége, az „Union Matrix” jönnek Önhöz.

Kezdjük a fővel. Legyen egy $A=\left[ n\times n \right]$ méretű négyzetmátrix, melynek elemei a $((a)_(ij))$ nevet kapják. Ezután minden ilyen elemhez definiálhatunk egy algebrai komplementet:

Meghatározás. A $((A)_(ij))$ algebrai komplementer a $((a)_(ij))$ elemhez a $i$-edik sorában és a $j$-edik oszlopában a $A=\left mátrixban Az [ n \times n \right]$ az űrlap konstrukciója

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Ahol $M_(ij)^(*)$ az eredeti $A$-ból ugyanazon $i$-edik sor és $j$-edik oszlop törlésével kapott mátrix determinánsa.

Újra. A $\left(i;j \right)$ koordinátákkal rendelkező mátrixelem algebrai kiegészítését $((A)_(ij))$-ként jelöljük, és a következő séma szerint számítjuk ki:

1. Először töröljük az eredeti mátrixból a $i$-sort és a $j$-edik oszlopot. Kapunk egy új négyzetmátrixot, és a determinánsát $M_(ij)^(*)$-ként jelöljük.
2. Ezután ezt a determinánst megszorozzuk $((\left(-1 \right))^(i+j))$-val - elsőre ez a kifejezés észbontónak tűnhet, de valójában csak megtudjuk a $ előtti jelet M_(ij)^(*) $.
3. Számolunk - egy adott számot kapunk. Azok. az algebrai összeadás csak egy szám, nem valami új mátrix stb.

Magát a $M_(ij)^(*)$ mátrixot a $((a)_(ij))$ elem komplementer minorjának nevezzük. És ebben az értelemben az algebrai komplementer fenti definíciója egy összetettebb definíció speciális esete - annak, amelyet a determinánsról szóló leckében megvizsgáltunk.

Fontos jegyzet. Valójában a "felnőtt" matematikában az algebrai összeadások meghatározása a következő:

1. Négyzetmátrixban $k$ sorokat és $k$ oszlopokat veszünk. A metszéspontjuknál egy $\left[ k\x k \right]$ méretű mátrixot kapunk – determinánsát $k$ rendű minornak nevezzük, és $((M)_(k))$-val jelöljük.
2. Ezután áthúzzuk ezeket a "kiválasztott" $k$ sorokat és $k$ oszlopokat. Ismét kapunk egy négyzetes mátrixot - a determinánsát komplementer minornak nevezzük, és $M_(k)^(*)$-val jelöljük.
3. Szorozzuk meg $M_(k)^(*)$ értékét $((\left(-1 \right))^(t))$-val, ahol $t$ (figyelem!) az összes kijelölt sor számának összege és oszlopok . Ez lesz az algebrai összeadás.

Vessen egy pillantást a harmadik lépésre: valójában 2 000 dolláros kifejezések összege van! A másik dolog, hogy $k=1$-ra csak 2 tagot kapunk - ezek ugyanazok lesznek a $i+j$ - a $((a)_(ij))$ elem "koordinátái", amelyre mi algebrai kiegészítést keres.

Tehát ma egy kissé leegyszerűsített definíciót használunk. De mint később látni fogjuk, ez bőven elég lesz. Sokkal fontosabb a következő:

Meghatározás. A $S$ uniómátrix a $A=\left[ n\times n \right]$ négyzetmátrixhoz egy új $\left[ n\times n \right]$ méretű mátrix, amelyet $A$-ból kapunk. a $(( a)_(ij))$ helyére a $((A)_(ij))$ algebrai kiegészítőkkel:

\\Jobbra S=\left[ \begin(mátrix) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(mátrix) \jobbra]\]

Az első gondolat, ami a definíció felismerésének pillanatában felmerül: „ennyit kell összesen számolni!” Nyugi: számolni kell, de nem annyira. :)

Nos, ez mind nagyon szép, de miért van erre szükség? De miért.

Főtétel

Menjünk vissza egy kicsit. Ne feledje, a 3. lemma kimondta, hogy egy $A$ invertálható mátrix mindig nem szinguláris (vagyis a determinánsa nem nulla: $\left| A \right|\ne 0$).

Tehát fordítva is igaz: ha az $A$ mátrix nem degenerált, akkor mindig invertálható. És van még egy keresési séma is $((A)^(-1))$. Nézd meg:

Inverz mátrix tétel. Legyen adott egy $A=\left[ n\times n \right]$ négyzetmátrix, amelynek determinánsa nem nulla: $\left| A \right|\ne 0$. Ekkor létezik a $((A)^(-1))$ inverz mátrix, és a következő képlettel számítjuk ki:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

És most - mindegy, de jól olvasható kézírással. Az inverz mátrix megtalálásához a következőkre lesz szüksége:

1. Számítsa ki a $\left| determinánst Egy \right|$, és győződjön meg arról, hogy nem nulla.
2. Állítsd össze a $S$ uniómátrixot, azaz! számoljon meg 100500 algebrai összeadást $((A)_(ij))$, és tegye a helyére $((a)_(ij))$.
3. Transzponálja ezt a $S$ mátrixot, majd szorozza meg valamilyen $q=(1)/(\left| A \right|)\;$ számmal.

És ez az! Megtalálható a $((A)^(-1))$ inverz mátrix. Nézzünk példákat:

\[\left[ \begin(mátrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(mátrix) \right]\]

Megoldás. Ellenőrizzük a megfordíthatóságot. Számítsuk ki a determinánst:

\[\left| A \right|=\left| \begin(mátrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(mátrix) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

A determináns különbözik a nullától. Tehát a mátrix megfordítható. Hozzunk létre egy szakszervezeti mátrixot:

Számítsuk ki az algebrai összeadásokat:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2\jobbra|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5\jobbra|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \jobbra|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\jobbra|=3. \\ \end(igazítás)\]

Figyeld: |2|, |5|, |1| meghatározó tényezők és |3| a $\left[ 1\x 1 \right]$ méretű mátrixok meghatározói, nem pedig a modulok. Azok. ha a meghatározók lennének negatív számok, nem szükséges eltávolítani a "mínuszt".

Összességében a szakszervezeti mátrixunk így néz ki:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (tömb)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(tömb) \jobbra]\]

Rendben, most mindennek vége. Probléma megoldódott.

Válasz. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$

Egy feladat. Keresse meg az inverz mátrixot:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \]

Megoldás. Ismét figyelembe vesszük a meghatározót:

\[\begin(align) & \left| \begin(tömb)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(tömb) \right|=\begin(mátrix ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\bal (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(mátrix)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

A determináns különbözik a nullától - a mátrix invertálható. De most ez lesz a legapróbb: 9 (kilenc, a fenébe!) algebrai összeadást is meg kell számolni. És mindegyik tartalmazza a $\left[ 2\times 2 \right]$ minősítőt. Repült:

\[\begin(mátrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(mátrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(mátrix) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(mátrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(mátrix) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(mátrix) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(mátrix) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(mátrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(mátrix) \right|=2; \\ \end(mátrix)\]

Röviden, a szakszervezeti mátrix így fog kinézni:

Ezért az inverz mátrix a következő lesz:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(mátrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(mátrix) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right]\]

Nos, ez minden. Itt a válasz.

Válasz. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right ]$

Mint látható, minden példa végén ellenőrzést végeztünk. Ezzel kapcsolatban egy fontos megjegyzés:

Ne légy lusta ellenőrizni. Szorozzuk meg az eredeti mátrixot a talált inverzsel - $E$-t kell kapnia.

Sokkal egyszerűbb és gyorsabb elvégezni ezt az ellenőrzést, mint hibát keresni a további számításoknál, amikor például egy mátrixegyenletet old meg.

Alternatív mód

Mint mondtam, az inverz mátrixtétel jól működik a $\left[ 2\x 2 \right]$ és a $\left[ 3\x 3 \right]$ méreteknél (az utóbbi esetben ez nem olyan "nagyszerű" többé). ”), hanem mátrixokhoz nagy méretek szomorúság kezdődik.

De ne aggódj: van egy alternatív algoritmus, amivel nyugodtan meg lehet találni az inverzt még a $\left[ 10\x 10 \right]$ mátrix esetében is. De, ahogy ez gyakran lenni szokott, ennek az algoritmusnak a figyelembevételéhez szükségünk van egy kis elméleti háttérre.

Elemi átalakulások

A mátrix különféle transzformációi között több speciális is van - ezeket eleminek nevezik. Pontosan három ilyen átalakulás létezik:

1. Szorzás. Kiveheti a $i$-edik sort (oszlopot), és megszorozhatja tetszőleges számmal $k\ne 0$;
2. Kiegészítés. Adjunk hozzá a $i$-edik sorhoz (oszlophoz) bármely másik $j$-edik sort (oszlopot) megszorozva tetszőleges $k\ne 0$ számmal (természetesen $k=0$ is lehetséges, de mi értelme Ennek ellenére semmi sem fog változni).
3. Permutáció. Vegyük az $i$-edik és a $j$-edik sort (oszlopot), és cseréljük fel őket.

Miért nevezik ezeket a transzformációkat eleminek (nagy mátrixoknál nem tűnnek olyan eleminek), és miért csak három van belőlük - ezek a kérdések túlmutatnak a mai lecke keretein. Ezért nem megyünk bele a részletekbe.

Egy másik fontos dolog: mindezeket a perverziókat a kapcsolódó mátrixon kell végrehajtanunk. Igen, igen, jól hallottad. Most lesz még egy meghatározás – a mai leckében az utolsó.

Csatolt Mátrix

Bizonyára az iskolában egyenletrendszereket oldottatok meg az összeadás módszerével. Nos, vonjon ki egy másikat egy sorból, szorozzon meg egy sort egy számmal - ez minden.

Tehát: most minden a régiben lesz, de már „felnőtt módon”. Kész?

Meghatározás. Legyen megadva a $A=\left[ n\times n \right]$ mátrix és az azonos méretű $n$ $E$ azonosságmátrix. Ezután a kapcsolódó mátrix $\left[ A\left| E\jobbra. A \right]$ egy új $\left[ n\times 2n \right]$ mátrix, amely így néz ki:

\[\left[ A\left| E\jobbra. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(tömb) \jobbra]\]

Röviden: vesszük az $A$ mátrixot, jobb oldalon hozzárendeljük a kívánt méretű $E$ identitásmátrixot, a szépség kedvéért függőleges sávval választjuk el őket - itt van a mellékelt. :)

Mi a fogás? És itt van:

Tétel. Legyen az $A$ mátrix invertálható. Tekintsük a $\left[ A\left| adjungált mátrixot E\jobbra. \jobbra]$. Ha használ elemi karakterlánc transzformációk hozza a $\left[ E\left| alakba Fényes. \right]$, azaz a sorok szorzásával, kivonásával és átrendezésével $A$-ból megkapjuk a jobb oldali $E$ mátrixot, majd a bal oldalon kapott $B$ mátrix a $A$ inverze:

\[\left[ A\left| E\jobbra. \jobbra]\balra[ E\left| Fényes. \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]

Ez ennyire egyszerű! Röviden, az inverz mátrix megtalálásának algoritmusa így néz ki:

1. Írja be a hozzá tartozó $\left[ A\left| mátrixot E\jobbra. \jobbra]$;
2. Végezzen elemi karakterlánc-konverziókat, amíg a jobb oldal nem jelenik meg a $A$ helyett: $E$;
3. Természetesen a bal oldalon is megjelenik valami - egy bizonyos $B$ mátrix. Ez fordítva lesz;
4. NYERESÉG! :)

Természetesen sokkal könnyebb mondani, mint megtenni. Lássunk tehát néhány példát: a $\left[ 3\x 3 \right]$ és a $\left[ 4\x 4 \right]$ méretekhez.

Egy feladat. Keresse meg az inverz mátrixot:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]

Megoldás. Összeállítjuk a mellékelt mátrixot:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 és 1 \\\end(tömb) \jobbra]\]

Mivel az eredeti mátrix utolsó oszlopa egyesekkel van kitöltve, vonja ki az első sort a többiből:

\[\begin(igazítás) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(tömb) \jobbra]\begin(mátrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(mátrix)\to \\ & \to \balra [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(tömb) \jobbra] \\ \end(igazítás)\]

Nincs több egység, kivéve az első sort. De nem nyúlunk hozzá, különben az újonnan eltávolított egységek elkezdenek "szaporodni" a harmadik oszlopban.

De a második sort kétszer is kivonhatjuk az utolsóból - a bal alsó sarokban egy mértékegységet kapunk:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(tömb) \jobbra]\begin(mátrix) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end(mátrix)\to \\ & \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(tömb) \jobbra] \\ \end(igazítás)\]

Most kivonhatjuk az utolsó sort az elsőből és kétszer a másodikból - így „nullázzuk” az első oszlopot:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(tömb) \jobbra]\begin(mátrix) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(mátrix)\to \\ & \ \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(igazítás)\]

Szorozzuk meg a második sort -1-gyel, majd vonjuk ki 6-szor az elsőből, és adjunk 1-szer az utolsóhoz:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(mátrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\end(mátrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(tömb) \jobbra]\begin(mátrix) -6 \\ \felfelé nyíl \\ +1 \\\end (mátrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(array) \right] \\ \end(igazítás)\]

Csak az 1. és 3. sort kell felcserélni:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\end(array) \right]\]

Kész! A jobb oldalon található a szükséges inverz mátrix.

Válasz. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \right ]$

Egy feladat. Keresse meg az inverz mátrixot:

\[\left[ \begin(mátrix) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\end(mátrix) \jobbra]\]

Megoldás. Ismét összeállítjuk a mellékeltet:

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

Kérjünk kölcsön egy kicsit, törődjünk azzal, hogy mennyit kell most számolnunk... és kezdjünk el számolni. Kezdetben „nullázzuk” az első oszlopot úgy, hogy kivonjuk az 1. sort a 2. és 3. sorból:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(tömb) \jobbra]\begin(mátrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(mátrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(igazítás)\]

Túl sok "mínuszt" figyelünk meg a 2-4. Szorozzuk meg mindhárom sort -1-gyel, majd égessük ki a harmadik oszlopot úgy, hogy a 3. sort kivonjuk a többiből:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(array) \right]\begin(mátrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(mátrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (tömb) \jobbra]\begin(mátrix) -2 \\ -1 \\ \felfelé nyíl \\ -2 \\\end(mátrix)\to \\ & \to \left[ \begin(tömb)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(igazítás)\]

Itt az ideje, hogy "sütjük" az eredeti mátrix utolsó oszlopát: vonjuk ki a 4. sort a többiből:

\[\begin(igazítás) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(tömb ) \jobbra]\begin(mátrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(mátrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(igazítás)\]

Utolsó dobás: "égesse ki" a második oszlopot úgy, hogy kivonja a 2. sort az 1. és 3. sorból:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( tömb) \jobbra]\begin(mátrix) 6 \\ \felfelé nyíl \\ -5 \\ \ \\\end(mátrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(igazítás)\]

És megint az identitásmátrix a bal oldalon, tehát az inverz a jobb oldalon. :)

Válasz. $\left[ \begin(mátrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(mátrix) \right]$