Mi a páros és páratlan függvény? Páros és páratlan függvények

Páros és nem grafikonok páros funkció a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

Ha egy függvény páros, akkor a gráfja szimmetrikus az ordinátára. Ha egy függvény páratlan, akkor a grafikonja szimmetrikus az origóra.

Példa. Szerkessze meg a \(y=\left|x \right|\) függvény grafikonját.

Megoldás. Tekintsük a következő függvényt: \(f\left(x \right)=\left|x \right|\) és \(x \) helyett cserélje be a \(-x \) ellenkezőjét. Egyszerű transzformációk eredményeként a következőt kapjuk: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ Másban szavakat, ha az argumentumot az ellenkező előjelre cseréljük, a függvény nem fog megváltozni.

Ez azt jelenti, hogy ez a függvény páros, és a grafikonja szimmetrikus lesz az ordináta tengelyére ( függőleges tengely). Ennek a függvénynek a grafikonja a bal oldali ábrán látható. Ez azt jelenti, hogy grafikon készítésekor csak a felét, a második részt (a függőleges tengelytől balra, a jobb oldali részhez szimmetrikusan) rajzolhatja meg. Ha meghatározza egy függvény szimmetriáját, mielőtt elkezdi ábrázolni a grafikonját, nagymértékben leegyszerűsítheti a függvény összeállításának vagy tanulmányozásának folyamatát. Ha az általános ellenőrzést nehéz elvégezni, akkor egyszerűbben is megteheti: helyettesítse be az egyenletbe ugyanazokat a különböző előjelek értékeit. Például -5 és 5. Ha a függvényértékek megegyeznek, akkor remélhetjük, hogy a függvény páros lesz. Matematikai szempontból ez a megközelítés nem teljesen helyes, de gyakorlati szempontból kényelmes. Az eredmény megbízhatóságának növelése érdekében több ilyen ellentétes értékpárt helyettesíthet.

Példa. Készítse el a \(y=x\left|x \right|\) függvény grafikonját.

Megoldás. Ellenőrizzük ugyanazt, mint az előző példában: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right) ) $$ Ez azt jelenti, hogy az eredeti függvény páratlan (a függvény előjele az ellenkezőjére változott).

Következtetés: a függvény szimmetrikus az origóra. Csak az egyik felét építheti meg, a másodikat szimmetrikusan rajzolhatja meg. Ezt a fajta szimmetriát nehezebb megrajzolni. Ez azt jelenti, hogy a diagramot a lap másik oldaláról nézi, sőt fejjel lefelé. Vagy megteheti ezt: vegye a megrajzolt részt, és forgassa el az origó körül 180 fokkal az óramutató járásával ellentétes irányba.

Példa. Szerkessze meg az \(y=x^3+x^2\) függvény grafikonját.

Megoldás. Végezzük el ugyanazt az előjelváltozás ellenőrzését, mint az előző két példában. $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ Ennek eredményeként azt kapjuk, hogy: $$f\left(-x \right)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$ És ez azt jelenti, hogy a függvény se nem páros, se nem páratlan.

Következtetés: a függvény nem szimmetrikus sem a koordinátarendszer origójához, sem középpontjához képest. Ez azért történt, mert ez két függvény összege: páros és páratlan. Ugyanez történik, ha két különböző függvényt kivonunk. De a szorzás vagy osztás más eredményhez vezet. Például egy páros és egy páratlan függvény szorzata páratlan függvényt eredményez. Vagy két páratlan szám hányadosa páros függvényhez vezet.

Ehhez használjon milliméterpapírt vagy grafikus számológépet. Válasszon ki tetszőleges számú numerikus értéket az x független változóhoz (\displaystyle x), és csatlakoztassa őket a függvényhez az y függő változó értékeinek kiszámításához (\displaystyle y). Ábrázolja a pontok talált koordinátáit a koordinátasíkon, majd kösse össze ezeket a pontokat a függvény grafikonjának elkészítéséhez.

• Helyettesítse be a pozitív számértékeket x (\displaystyle x) és a megfelelő negatív számértékeket a függvénybe. Például a függvény adott. Helyettesítse be a következő x (\displaystyle x) értékeket:
  • f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(1)=2(1)^(2)+1=2+1=3) (1, 3) (\ displaystyle (1,3)) .
  • f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(2)=2(2)^(2)+1=2(4)+1 =8+1=9) . Kaptunk egy pontot (2, 9) koordinátákkal (\displaystyle (2,9)).
  • f (− 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(-1)=2(-1)^(2)+1=2+1=3) . Kaptunk egy pontot koordinátákkal (− 1, 3) (\displaystyle (-1,3)) .
  • f (− 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\megjelenítési stílus f(-2)=2(-2)^(2)+1=2( 4)+1=8+1=9) . Kaptunk egy pontot koordinátákkal (− 2, 9) (\displaystyle (-2,9)) .

Ellenőrizze, hogy egy függvény grafikonja szimmetrikus-e az Y tengelyre tükörtükrözés grafika az ordináta tengelyhez viszonyítva. Ha a grafikonnak az Y tengelytől jobbra eső része (a független változó pozitív értékei) megegyezik a grafikonnak az Y tengelytől balra eső részével (a független változó negatív értékei ), a grafikon szimmetrikus az Y tengelyre. Ha a függvény szimmetrikus az y tengelyre, akkor a függvény páros.

• Az egyes pontok segítségével ellenőrizheti a grafikon szimmetriáját. Ha y (\displaystyle y) x (\displaystyle x) értéke megegyezik y (\displaystyle y) értékével, amely megegyezik a − x (\displaystyle -x) értékével, akkor a függvény páros. Példánkban az f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1) függvénnyel a pontok következő koordinátáit kaptuk:
  • (1,3) és (-1,3)
  • (2,9) és (-2,9)
• Figyeljük meg, hogy x=1 és x=-1 esetén a függő változó y=3, x=2 és x=-2 esetén pedig a függő változó y=9. Így a függvény páros. Valójában a függvény formájának pontos meghatározásához kettőnél több pontot kell figyelembe venni, de a leírt módszer jó közelítés.

Ellenőrizze, hogy a függvény grafikonja szimmetrikus-e az origóra. Az origó a (0,0) koordinátákkal rendelkező pont. Az eredet szimmetriája azt jelenti, hogy y pozitív értéke (\displaystyle y) (for pozitív érték x (\displaystyle x) ) y negatív értékének felel meg (\displaystyle y) (negatív x (\displaystyle x) ), és fordítva. A páratlan függvényeknek szimmetriája van az origóval kapcsolatban.

• Ha behelyettesít x több pozitív és megfelelő negatív értékével (\displaystyle x) a függvénybe, akkor y értékei (\displaystyle y) előjelben különböznek. Például adott egy f (x) = x 3 + x függvény (\displaystyle f(x)=x^(3)+x) . Helyettesíts be több x értéket (\displaystyle x):
  • f (1) = 1 3 + 1 = 1 + 1 = 2 (\displaystyle f(1)=1^(3)+1=1+1=2) . Kaptunk egy pontot (1,2) koordinátákkal.
  • f (− 1) = (− 1) 3 + (− 1) = − 1 − 1 = − 2 (\megjelenítési stílus f(-1)=(-1)^(3)+(-1)=-1- 1=-2)
  • f (2) = 2 3 + 2 = 8 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(3)+2=8+2=10)
  • f (− 2) = (− 2) 3 + (− 2) = − 8 − 2 = − 10 (\megjelenítési stílus f(-2)=(-2)^(3)+(-2)=-8- 2=-10) . Egy pontot kaptunk koordinátákkal (-2,-10).
• Így f(x) = -f(-x), vagyis a függvény páratlan.

Ellenőrizze, hogy van-e szimmetriája a függvény grafikonjának. Az utolsó típusú függvény olyan függvény, amelynek gráfjában nincs szimmetria, vagyis nincs tükörkép sem az ordinátatengelyhez, sem az origóhoz viszonyítva. Például a függvény adott.

• Helyettesíts be több pozitív és megfelelő negatív x értéket (\displaystyle x) a függvénybe:
  • f (1) = 1 2 + 2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 (\displaystyle f(1)=1^(2)+2(1)+1=1+2+1=4 ) . Kaptunk egy pontot (1,4) koordinátákkal.
  • f (− 1) = (− 1) 2 + 2 (− 1) + (− 1) = 1 − 2 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(2)+2 (-1)+(-1)=1-2-1=-2) . Kaptunk egy pontot koordinátákkal (-1,-2).
  • f (2) = 2 2 + 2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(2)+2(2)+2=4+4+2=10 ) . Kaptunk egy pontot koordinátákkal (2,10).
  • f (− 2) = (− 2) 2 + 2 (− 2) + (− 2) = 4 − 4 − 2 = − 2 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(2)+2 (-2)+(-2)=4-4-2=-2) . Kaptunk egy pontot koordinátákkal (2,-2).
• A kapott eredmények szerint nincs szimmetria. Az y (\displaystyle y) értékei az x ellentétes értékeinek (\displaystyle x) nem azonosak és nem ellentétesek. Így a függvény nem páros és nem páratlan.
• Kérjük, vegye figyelembe, hogy az f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) függvény a következőképpen írható fel: f (x) = (x + 1) ) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)) . Ebben a formában írva a függvény még akkor is megjelenik, mert páros kitevője van. Ez a példa azonban azt bizonyítja, hogy a függvény típusát nem lehet gyorsan meghatározni, ha a független változó zárójelben van. Ebben az esetben meg kell nyitnia a zárójeleket, és elemeznie kell a kapott kitevőket.

Funkciótanulmány.

1) D(y) – Definíciós tartomány: az x változó összes értékének halmaza. amelyre az f(x) és g(x) algebrai kifejezéseknek van értelme.

Ha egy függvényt egy képlet ad meg, akkor a definíciós tartomány a független változó összes olyan értékéből áll, amelyre a képletnek van értelme.

2) A függvény tulajdonságai: páros/páratlan, periodicitás:

Azokat a függvényeket, amelyek grafikonjai szimmetrikusak az argumentum előjelének változásaihoz, páratlannak és párosnak nevezzük.

Páratlan függvénynek nevezzük azt a függvényt, amely a független változó előjelének megváltozásakor az értékét az ellenkezőjére változtatja (a koordináták középpontjához képest szimmetrikusan).

Páros függvénynek nevezzük azt a függvényt, amely nem változtatja meg értékét a független változó előjelének megváltozásakor (szimmetrikus az ordinátára).

Se nem páros, se nem páratlan függvény (függvény Általános nézet) egy olyan függvény, amelynek nincs szimmetriája. Ez a kategória olyan funkciókat tartalmaz, amelyek nem tartoznak az előző 2 kategóriába.

A fenti kategóriák egyikébe sem tartozó függvényeket hívjuk meg se páros, se nem páratlan(vagy általános funkciók).

Páratlan függvények

Páratlan hatvány ahol egy tetszőleges egész szám.

Még a funkciók is

Még a hatvány is, ahol egy tetszőleges egész szám.

A periodikus függvény olyan függvény, amely egy bizonyos szabályos argumentumintervallum után megismétli az értékeit, azaz nem változtatja meg az értékét, ha az argumentumhoz valamilyen rögzített nullától eltérő számot (a függvény periódusát) ad hozzá a teljes tartományban. meghatározás.

3) Egy függvény nullái (gyökei) azok a pontok, ahol nullává válik.

A grafikon és a tengely metszéspontjának megkeresése Oy. Ehhez ki kell számítani az értéket f(0). Keresse meg a gráf és a tengely metszéspontjait is Ökör, miért kell megtalálni az egyenlet gyökereit f(x) = 0 (vagy győződjön meg arról, hogy nincsenek gyökök).

Azokat a pontokat, ahol a gráf metszi a tengelyt, a függvény nulláinak nevezzük. Egy függvény nulláinak megtalálásához meg kell oldania az egyenletet, azaz meg kell találnia az „x” azon értékeit, amelyeknél a függvény nullává válik.

4) A jelek állandóságának intervallumai, a bennük lévő jelek.

Intervallumok, ahol az f(x) függvény előjelet tart fenn.

Az állandó előjelű intervallum egy olyan intervallum, amelynek minden pontjában a függvény pozitív vagy negatív.

Az x tengely felett.

A tengely ALATT.

5) Folytonosság (a folytonossági pontok, a megszakadás jellege, aszimptoták).

A folytonos függvény olyan függvény, amelynél nincs „ugrás”, azaz olyan, amelyben az argumentum kis változtatásai kis mértékben változnak a függvény értékében.

Kivehető töréspontok

Ha a függvény határa létezik, de a függvény ezen a ponton nincs definiálva, vagy a határérték nem esik egybe a függvény értékével ezen a ponton:

,

akkor a pontot nevezik kivehető töréspont függvények (komplex elemzésben eltávolítható szinguláris pont).

Ha „javítjuk” a függvényt az eltávolítható folytonossági ponton és helyezzük el , akkor egy adott pontban folytonos függvényt kapunk. Ezt a függvényen végzett műveletet nevezzük a funkció kiterjesztése folyamatosra vagy a függvény újradefiniálása folytonosság által, ami a pont nevét pontként indokolja eltávolítható törés.

Az első és a második típusú megszakítási pontok

Ha egy függvénynek egy adott pontban megszakadása van (azaz a függvény határértéke egy adott pontban hiányzik, vagy nem esik egybe a függvény adott pontban lévő értékével), akkor numerikus függvényekre két lehetőség van. numerikus függvények létezésével kapcsolatos egyoldalú korlátok:

ha mindkét egyoldalú határérték létezik és véges, akkor egy ilyen pontot az első típusú szakadási pontnak nevezünk. Az eltávolítható megszakítási pontok az első típusú szakadási pontok;

ha legalább az egyik egyoldalú korlátok nem létezik vagy nem véges mennyiség, akkor egy ilyen pontot nevezünk másodfajú szakadási pontnak.

Aszimptota - egyenes, amelynek az a tulajdonsága, hogy a távolság a görbe pontjától ehhez egyenes nullára hajlik, ahogy a pont az ág mentén a végtelenbe távolodik.

Függőleges

Függőleges aszimptota - határvonal .

A függőleges aszimptota meghatározásakor általában nem egy határt, hanem két egyoldalút (bal és jobb) keresnek. Ennek célja annak meghatározása, hogy a függvény hogyan viselkedik, amikor különböző irányokból megközelíti a függőleges aszimptotát. Például:

Vízszintes

Vízszintes aszimptota - egyenes faj, a létezés függvényében határ

.

Hajlamos

Ferde aszimptota - egyenes faj, a létezés függvényében határait

Megjegyzés: egy függvénynek legfeljebb két ferde (vízszintes) aszimptotája lehet.

Megjegyzés: ha a fent említett két határérték közül legalább az egyik nem létezik (vagy egyenlő azzal), akkor a (vagy ) pontban lévő ferde aszimptóta nem létezik.

ha a 2.), akkor , és a határértéket a vízszintes aszimptota képlet segítségével találjuk meg, .

6) A monotonitás intervallumainak megtalálása. Keresse meg egy függvény monotonitási intervallumait f(x)(azaz növekedési és csökkenési intervallumok). Ez a származék előjelének vizsgálatával történik f(x). Ehhez keresse meg a származékot f(x) és oldja meg az egyenlőtlenséget f(x)0. Azokon az intervallumokon, ahol ez az egyenlőtlenség fennáll, a függvény f(x)növekszik. Ahol a fordított egyenlőtlenség érvényesül f(x)0, függvény f(x) csökken.

Helyi extrémum keresése. A monotonitás intervallumainak megtalálása után azonnal meg tudjuk határozni azokat a lokális szélsőséges pontokat, ahol a növekedést csökkenés váltja fel, ahol a lokális maximumok, illetve ahol a csökkenést növekedés váltja fel, ott a lokális minimumok találhatók. Számítsa ki a függvény értékét ezeken a pontokon! Ha egy függvénynek vannak olyan kritikus pontjai, amelyek nem lokális szélsőpontok, akkor célszerű ezeken a pontokon is kiszámítani a függvény értékét.

Az y = f(x) függvény legnagyobb és legkisebb értékének megkeresése egy szakaszon (folytatás)

1. Keresse meg a függvény deriváltját: f(x). 2. Keresse meg azokat a pontokat, ahol a derivált nulla: f(x)=0x 1, x 2 ,... 3. Határozza meg a pontok összetartozását! x 1 ,x 2 , … szegmens [ a; b]: hagyjuk x 1a;b, A x 2a;b .

Hogyan lehet matematikai képleteket beszúrni egy webhelyre?

Ha valaha egy vagy két matematikai képletet kell hozzáadnia egy weboldalhoz, akkor ezt a cikkben leírtak szerint teheti meg a legegyszerűbben: a matematikai képleteket könnyen beillesztheti az oldalra képek formájában, amelyeket a Wolfram Alpha automatikusan generál. . Az egyszerűség mellett ez az univerzális módszer segít javítani a webhely láthatóságát a keresőmotorokban. Régóta működik (és szerintem örökké működni fog), de már erkölcsileg elavult.

Ha rendszeresen használ matematikai képleteket webhelyén, akkor azt javaslom, hogy használja a MathJax-ot – egy speciális JavaScript-könyvtárat, amely matematikai jelöléseket jelenít meg a webböngészőkben MathML, LaTeX vagy ASCIIMathML jelölést használva.

A MathJax használatának két módja van: (1) egy egyszerű kód segítségével gyorsan csatlakoztathat egy MathJax szkriptet a webhelyéhez, amely a megfelelő időben automatikusan betöltődik egy távoli szerverről (szerverek listája); (2) töltse le a MathJax szkriptet egy távoli szerverről a szerverére, és csatlakoztassa webhelye összes oldalához. A második módszer – bonyolultabb és időigényesebb – felgyorsítja az oldalad oldalainak betöltését, és ha a szülő MathJax szerver valamilyen okból átmenetileg elérhetetlenné válik, az semmilyen módon nem érinti a saját oldaladat. Ezen előnyök ellenére az első módszert választottam, mivel az egyszerűbb, gyorsabb és nem igényel technikai ismereteket. Kövesse a példámat, és mindössze 5 percen belül a MathJax összes funkcióját használhatja webhelyén.

A MathJax könyvtár szkriptjét távoli kiszolgálóról csatlakoztathatja a MathJax fő webhelyéről vagy a dokumentációs oldalon található két kódopció használatával:

Ezen kódopciók egyikét ki kell másolni és be kell illeszteni a weboldal kódjába, lehetőleg a címkék közé és közvetlenül a címke után. Az első opció szerint a MathJax gyorsabban tölt be és kevésbé lassítja az oldalt. De a második lehetőség automatikusan figyeli és betölti a MathJax legújabb verzióit. Ha beírja az első kódot, azt rendszeresen frissíteni kell. Ha beszúrja a második kódot, az oldalak lassabban töltődnek be, de nem kell folyamatosan figyelnie a MathJax frissítéseit.

A MathJax csatlakoztatásának legegyszerűbb módja a Blogger vagy a WordPress: a webhely vezérlőpultján adjon hozzá egy widgetet, amely harmadik fél JavaScript kódjának beillesztésére szolgál, másolja bele a fent bemutatott letöltési kód első vagy második verzióját, és helyezze közelebb a widgetet. a sablon elejére (egyébként ez egyáltalán nem szükséges , mivel a MathJax szkript aszinkron módon töltődik be). Ez minden. Most tanulja meg a MathML, a LaTeX és az ASCIIMathML jelölési szintaxisát, és készen áll arra, hogy matematikai képleteket illesszen be webhelye weboldalaiba.

Bármely fraktál aszerint van megszerkesztve egy bizonyos szabály, amelyet korlátlan számú alkalommal egymás után alkalmaznak. Minden ilyen időt iterációnak nevezünk.

A Menger-szivacs elkészítésének iteratív algoritmusa meglehetősen egyszerű: az 1-es oldalú eredeti kockát a lapjaival párhuzamos síkok 27 egyenlő kockára osztják. Egy központi kockát és a lapok mentén szomszédos 6 kockát eltávolítanak róla. Az eredmény egy készlet, amely a maradék 20 kisebb kockából áll. Minden egyes kockával ugyanezt megtéve egy 400 kisebb kockából álló készletet kapunk. Ezt a folyamatot a végtelenségig folytatva egy Menger szivacsot kapunk.

A függvény az egyik legfontosabb matematikai fogalom. A függvény az y változó függése az x változótól, ha x minden egyes értéke y egyetlen értékének felel meg. Az x változót független változónak vagy argumentumnak nevezzük. Az y változót függő változónak nevezzük. A független változó (x változó) összes értéke a függvény definíciós tartományát alkotja. Minden érték, amelyet a függő változó (y változó) felvesz, a függvény tartományát alkotja.

Egy függvény grafikonja a koordinátasík azon pontjainak halmaza, amelyeknek az abszcisszái egyenlők az argumentum értékeivel, az ordináták pedig a függvény megfelelő értékei, vagyis az értékek. Az x változó értékei az abszcissza tengely mentén, az y változó értékei pedig az ordináta tengely mentén vannak ábrázolva. Egy függvény ábrázolásához ismerni kell a függvény tulajdonságait. A függvény főbb tulajdonságait az alábbiakban tárgyaljuk!

Egy függvény grafikonjának elkészítéséhez javasoljuk a programunk használatát - Graphing functions online. Ha bármilyen kérdése van az oldalon található anyag tanulmányozása során, bármikor felteheti azokat fórumunkon. A fórumon matematikából, kémiából, geometriából, valószínűségszámításból és sok más tantárgyból is segítenek megoldani a feladatokat!

A függvények alapvető tulajdonságai.

1) A függvény definíciós tartománya és a függvény értéktartománya.

Egy függvény tartománya az x argumentum (x változó) összes érvényes valós értékének halmaza, amelyre az y = f(x) függvény definiálva van.
A függvény tartománya az összes valós y érték halmaza, amelyet a függvény elfogad.

Az elemi matematikában a függvényeket csak valós számok halmazán tanulmányozzák.

2) A függvény nullái.

Azokat az x értékeket, amelyekre y=0 hívjuk függvény nullák. Ezek a függvénygráf és az Ox tengellyel való metszéspontjainak abszcisszán.

3) Egy függvény állandó előjelének intervallumai.

Egy függvény konstans előjelének intervallumait - azokat az x érték intervallumokat nevezzük, amelyeken az y függvény értékei vagy csak pozitívak vagy csak negatívak. a függvény állandó előjelének intervallumai.

4) A függvény monotonitása.

Növekvő függvény (egy bizonyos intervallumban) olyan függvény, amelyben ebből az intervallumból származó argumentum nagyobb értéke a függvény nagyobb értékének felel meg.

Csökkenő függvény (egy bizonyos intervallumban) olyan függvény, amelyben ebből az intervallumból származó argumentum nagyobb értéke a függvény kisebb értékének felel meg.

5) A függvény egyenletessége (páratlansága).

A páros függvény olyan függvény, amelynek definíciós tartománya szimmetrikus az origóhoz képest, és bármely x esetén f(-x) = f(x). A páros függvény grafikonja szimmetrikus az ordinátára.

A páratlan függvény olyan függvény, amelynek definíciós tartománya szimmetrikus az origóhoz képest, és a definíciós tartomány bármely x-ére igaz az f(-x) = - f(x) egyenlőség. Egy páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az origóra.

Egyenletes funkció
1) A definíciós tartomány a (0; 0) ponthoz képest szimmetrikus, azaz ha az a pont a definíció tartományába tartozik, akkor az -a pont is a definíció tartományába tartozik.
2) Bármely x értékre f(-x)=f(x)
3) Egy páros függvény grafikonja szimmetrikus az Oy tengelyre.

Egy páratlan függvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
1) A definíciós tartomány szimmetrikus a (0; 0) pontra.
2) a definíciós tartományba tartozó bármely x értékre teljesül az f(-x)=-f(x) egyenlőség
3) Egy páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az origóhoz (0; 0).

Nem minden függvény páros vagy páratlan. Funkciók Általános nézet sem nem párosak, sem nem páratlanok.

6) Korlátozott és korlátlan funkciók.

Egy függvényt korlátosnak nevezünk, ha van olyan pozitív M szám, amelyre |f(x)| ≤ M x összes értékére. Ha ilyen szám nem létezik, akkor a függvény korlátlan.

7) A függvény periodicitása.

Egy f(x) függvény periodikus, ha van egy nullától eltérő T szám, amelyre a függvény definíciós tartományából származó bármely x-re teljesül a következő: f(x+T) = f(x). Ezt a legkisebb számot a függvény periódusának nevezzük. Minden trigonometrikus függvény periodikus. (Trigonometrikus képletek).

Egy f függvényt periodikusnak nevezünk, ha van olyan szám, amelyre a definíciós tartomány bármely x-ére teljesül az f(x)=f(x-T)=f(x+T) egyenlőség. T a függvény periódusa.

Minden periodikus függvénynek végtelen számú periódusa van. A gyakorlatban általában a legkisebb pozitív időszakot veszik figyelembe.

A periodikus függvény értékei a periódussal megegyező intervallum után ismétlődnek. Ezt grafikonok készítésekor használják.