Zlomkovo-racionálne rovnice. Algoritmus riešenia

§ 1 Celé a zlomkové racionálne rovnice

V tejto lekcii budeme analyzovať také pojmy ako racionálna rovnica, racionálny výraz, celočíselný výraz, zlomkový výraz. Zvážte riešenie racionálnych rovníc.

Racionálna rovnica je rovnica, v ktorej ľavá a pravá strana sú racionálne vyjadrenia.

Racionálne výrazy sú:

Zlomkový.

Celočíselný výraz sa skladá z čísel, premenných, celočíselných mocnín pomocou operácií sčítania, odčítania, násobenia a delenia číslom iným ako nula.

Napríklad:

V zlomkových výrazoch je delenie premennou alebo výraz s premennou. Napríklad:

Zlomkový výraz nedáva zmysel pre všetky hodnoty premenných, ktoré obsahuje. Napríklad výraz

pri x = -9 to nedáva zmysel, pretože pri x = -9 ide menovateľ na nulu.

To znamená, že racionálna rovnica môže byť celočíselná a zlomková.

Celočíselná racionálna rovnica je racionálna rovnica, v ktorej sú ľavá a pravá strana celočíselnými výrazmi.

Napríklad:

Zlomková racionálna rovnica je racionálna rovnica, v ktorej ľavá alebo pravá strana sú zlomkové výrazy.

Napríklad:

§ 2 Riešenie celej racionálnej rovnice

Zvážte riešenie celej racionálnej rovnice.

Napríklad:

Vynásobte obe strany rovnice najmenším spoločným menovateľom z menovateľov zlomkov, ktoré sú v nej zahrnuté.

Pre to:

1. nájdite spoločného menovateľa pre menovateľov 2, 3, 6. Rovná sa 6;

2. nájdite pre každý zlomok ďalší faktor. Za týmto účelom vydeľte spoločného menovateľa 6 každým menovateľom

dodatočný multiplikátor pre zlomok

3. vynásobte čitateľov zlomkov príslušnými dodatočnými faktormi. Tak dostaneme rovnicu

čo je ekvivalentné tejto rovnici

Otvoríme zátvorky vľavo, pravú časť posunieme doľava, pričom pri prevode zmeníme znamienko termínu na opačný.

Dáme podobné členy polynómu a získame

Vidíme, že rovnica je lineárna.

Keď to vyriešime, zistíme, že x = 0,5.

§ 3 Riešenie zlomkovej racionálnej rovnice

Zvážte riešenie zlomkovej racionálnej rovnice.

Napríklad:

1. Vynásobte obe strany rovnice najmenším spoločným menovateľom menovateľov racionálnych zlomkov, ktoré sú v nej zahrnuté.

Nájdite spoločného menovateľa pre menovateľov x + 7 a x - 1.

Rovná sa ich súčinu (x + 7) (x - 1).

2. Nájdime ďalší faktor pre každý racionálny zlomok.

Aby sme to dosiahli, vydelíme spoločný menovateľ (x + 7) (x - 1) každým menovateľom. Dodatočný násobiteľ zlomkov

rovná sa x - 1,

dodatočný multiplikátor pre zlomok

rovná sa x+7.

3. Vynásobte čitateľov zlomkov ich zodpovedajúcimi dodatočnými faktormi.

Dostaneme rovnicu (2x - 1) (x - 1) \u003d (3x + 4) (x + 7), ktorá je ekvivalentná tejto rovnici

4.Doľava a doprava vynásobte dvojčlen binomom a získajte nasledujúcu rovnicu

5. Pravú časť prenesieme doľava, pričom pri prevode zmeníme znamienko každého termínu na opačný:

6. Uvádzame podobné členy polynómu:

7. Obe časti môžete vydeliť -1. Dostaneme kvadratickú rovnicu:

8. Po vyriešení nájsť korene

Keďže v rovnici

ľavá a pravá časť sú zlomkové výrazy a v zlomkových výrazoch pre niektoré hodnoty premenných môže menovateľ zmiznúť, potom je potrebné skontrolovať, či pri nájdení x1 a x2 nezmizne spoločný menovateľ.

Pri x = -27 spoločný menovateľ (x + 7) (x - 1) nezaniká, pri x = -1 spoločný menovateľ tiež nezaniká nula.

Preto oba korene -27 a -1 sú koreňmi rovnice.

Pri riešení zlomkovej racionálnej rovnice je lepšie okamžite uviesť oblasť povolené hodnoty. Odstráňte tie hodnoty, pri ktorých je spoločný menovateľ nulový.

Zvážte ďalší príklad riešenia zlomkovej racionálnej rovnice.

Napríklad vyriešme rovnicu

Menovateľ zlomku na pravej strane rovnice rozložíme na faktory

Dostaneme rovnicu

Nájdite spoločného menovateľa pre menovateľov (x - 5), x, x (x - 5).

Bude to výraz x (x - 5).

teraz nájdime rozsah prípustných hodnôt rovnice

Aby sme to dosiahli, prirovnáme spoločného menovateľa k nule x (x - 5) \u003d 0.

Dostaneme rovnicu, ktorej riešením zistíme, že pri x \u003d 0 alebo pri x \u003d 5 spoločný menovateľ zmizne.

Takže x = 0 alebo x = 5 nemôžu byť koreňmi našej rovnice.

Teraz môžete nájsť ďalšie multiplikátory.

Dodatočný multiplikátor pre racionálne zlomky

dodatočný multiplikátor pre zlomky

bude (x - 5),

a dodatočný faktor zlomku

Čitateľov vynásobíme zodpovedajúcimi dodatočnými faktormi.

Dostaneme rovnicu x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).

Otvorme zátvorky vľavo a vpravo, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

Presuňme výrazy sprava doľava zmenou znamienka výrazov, ktoré sa majú presunúť:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

A po uvedení podobných výrazov dostaneme kvadratickú rovnicu x2 - 3x - 10 \u003d 0. Po jej vyriešení nájdeme korene x1 \u003d -2; x2 = 5.

Ale už sme zistili, že pri x = 5 spoločný menovateľ x(x - 5) zaniká. Preto koreň našej rovnice

bude x = -2.

§ štyri Krátke zhrnutie lekciu

Dôležité mať na pamäti:

Pri riešení zlomkových racionálnych rovníc musíte urobiť nasledovné:

1. Nájdite spoločného menovateľa zlomkov zahrnutých v rovnici. Navyše, ak je možné menovateľov zlomkov rozložiť na faktory, potom ich rozložte na faktory a potom nájdite spoločného menovateľa.

2. Vynásobte obe strany rovnice spoločným menovateľom: nájdite ďalšie faktory, vynásobte čitateľov ďalšími faktormi.

3. Vyriešte výslednú celú rovnicu.

4. Vylúčte z koreňov tie, ktoré otáčajú spoločného menovateľa na nulu.

Zoznam použitej literatúry:

Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Pod redakciou Telyakovsky S.A. Algebra: učebnica. pre 8 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcií. - M.: Vzdelávanie, 2013.
Mordkovich A.G. Algebra. 8. ročník: V dvoch častiach. Časť 1: Proc. pre všeobecné vzdelanie inštitúcií. - M.: Mnemosyne.
Rurukin A.N. Vývoj lekcií z algebry: 8. ročník - M .: VAKO, 2010.
Algebra ročník 8: plány hodín podľa učebnice Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorová / Auth.-comp. T.L. Afanasiev, L.A. Tapilina. - Volgograd: Učiteľ, 2005.

V prvom rade, aby ste sa naučili pracovať s racionálnymi zlomkami bez chýb, musíte sa naučiť vzorce pre skrátené násobenie. A nielen učiť sa – treba ich rozpoznať, aj keď sínusy, logaritmy a odmocniny fungujú ako pojmy.

Hlavným nástrojom je však faktorizácia čitateľa a menovateľa racionálneho zlomku. To možno dosiahnuť tromi rôznymi spôsobmi:

V skutočnosti, podľa skráteného vzorca násobenia: umožňujú vám zbaliť polynóm do jedného alebo viacerých faktorov;
Rozložením štvorcovej trojčlenky na faktory prostredníctvom diskriminantu. Rovnaká metóda umožňuje overiť, že žiadna trojčlenka nemôže byť vôbec faktorizovaná;
Metóda zoskupovania je najkomplexnejší nástroj, ale je to jediný, ktorý funguje, ak predchádzajúce dva nefungovali.

Ako ste už z názvu tohto videa určite uhádli, opäť sa budeme baviť o racionálnych zlomkoch. Doslova pred pár minútami som skončil hodinu s desiatym ročníkom a tam sme analyzovali presne tieto výrazy. Preto túto lekciu bude určený špeciálne pre študentov stredných škôl.

Mnohí si teraz určite položia otázku: „Prečo sa žiaci v 10. – 11. ročníku učia také jednoduché veci, ako sú racionálne zlomky, keď sa to robí v 8. ročníku?“. Ale to je ten problém, že väčšina ľudí si túto tému len „prejde“. Ako sa robí násobenie, delenie, odčítanie a sčítanie racionálnych zlomkov z 8. ročníka si už v 10. – 11. ročníku nepamätajú a práve na tomto jednoduchom poznaní sa ďalej, viac zložité štruktúry ako riešenie logaritmiky, goniometrické rovnice a mnoho ďalších zložitých výrazov, takže bez racionálnych zlomkov sa na strednej škole nedá robiť prakticky nič.

Vzorce na riešenie problémov

Prejdime k biznisu. V prvom rade potrebujeme dva fakty – dve sady vzorcov. Najprv musíte poznať vzorce pre skrátené násobenie:

$((a)^(2))-((b)^(2))=\vľavo(a-b \vpravo)\vľavo(a+b \vpravo)$ je rozdiel štvorcov;
$((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2))$ je druhá mocnina súčtu alebo rozdielu ;
$((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ je súčet kociek;
$((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \vpravo)$ je rozdiel kociek.

AT čistej forme nenachádzajú sa v žiadnych príkladoch a v skutočných vážnych výrazoch. Našou úlohou je preto naučiť sa vidieť pod písmenami $a$ a $b$ oveľa zložitejšie konštrukcie, napríklad logaritmy, korene, sínusy atď. Dá sa to naučiť iba neustálym cvičením. Preto je riešenie racionálnych zlomkov absolútne nevyhnutné.

Druhým, celkom zrejmým vzorcom je expanzia štvorcový trojčlen pre multiplikátory:

$((x)_(1))$; $((x)_(2))$ sú korene.

Zaoberali sme sa teoretickou časťou. Ale ako vyriešiť skutočné racionálne zlomky, ktoré sa zvažujú v 8. ročníku? Teraz ideme cvičiť.

Úloha č.1

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(3))-4):\frac(9(a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]

Skúsme použiť vyššie uvedené vzorce na riešenie racionálnych zlomkov. V prvom rade chcem vysvetliť, prečo je faktorizácia vôbec potrebná. Faktom je, že na prvý pohľad na prvú časť úlohy chcem zmenšiť kocku štvorcom, ale je to absolútne nemožné, pretože sú to pojmy v čitateli a menovateli, ale v žiadnom prípade nie sú faktory .

Čo je to vlastne skratka? Redukcia je použitie základného pravidla pre prácu s takýmito výrazmi. Hlavnou vlastnosťou zlomku je, že čitateľa a menovateľa môžeme vynásobiť rovnakým číslom iným ako „nula“. V tomto prípade, keď znižujeme, potom naopak delíme rovnakým číslom iným ako „nula“. Všetky členy v menovateli však musíme vydeliť rovnakým číslom. To nemôžeš. A máme právo zmenšiť čitateľa s menovateľom len vtedy, keď sú oba faktory rozdelené na faktor. Poďme na to.

Teraz musíte vidieť, koľko výrazov je v konkrétnom prvku, v súlade s tým zistiť, ktorý vzorec musíte použiť.

Transformujme každý výraz na presnú kocku:

Prepíšeme čitateľa:

\[((\left(3a \right))^(3))-((\left(4b \right))^(3))=\left(3a-4b \right)\left(((\left (3a \vpravo))^(2))+3a\cdot 4b+((\vľavo(4b \vpravo))^(2)) \vpravo)\]

Pozrime sa na menovateľa. Rozšírime ho podľa vzorca rozdielu štvorcov:

\[((b)^(2))-4=((b)^(2))-((2)^(2))=\left(b-2 \right)\left(b+2 \ správny)\]

Teraz sa pozrime na druhú časť výrazu:

Čitateľ:

Zostáva sa zaoberať menovateľom:

\[((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \right))^(2))\]

Prepíšme celú konštrukciu, berúc do úvahy vyššie uvedené skutočnosti:

\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2 )) \vpravo))(\vľavo(b-2 \vpravo)\vľavo(b+2 \vpravo))\cdot \frac(((\vľavo(b+2 \vpravo))^(2)))( ((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)))=\]

\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]

Nuansy násobenia racionálnych zlomkov

Kľúčový záver z týchto konštrukcií je nasledujúci:

Nie každý polynóm môže byť faktorizovaný.
Aj keď je rozložený, treba si pozorne pozrieť, ktorý konkrétny vzorec na skrátené násobenie.

Aby sme to urobili, musíme najprv odhadnúť, koľko členov existuje (ak sú dva, potom ich môžeme iba rozšíriť o súčet rozdielu štvorcov alebo súčtu alebo rozdielu kociek; a ak sú tri, potom toto , jedinečne, buď druhá mocnina súčtu alebo druhá mocnina rozdielu). Často sa stáva, že buď čitateľ, alebo menovateľ nepotrebuje faktorizáciu vôbec, môže byť lineárny, alebo jeho diskriminant bude záporný.

Úloha č. 2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

Vo všeobecnosti sa schéma riešenia tohto problému nelíši od predchádzajúceho - jednoducho bude viac akcií a budú rôznorodejšie.

Začnime prvým zlomkom: pozrite sa na jeho čitateľa a urobte možné transformácie:

Teraz sa pozrime na menovateľa:

S druhým zlomkom: v čitateli sa nedá robiť vôbec nič, pretože je to lineárny výraz a nie je možné z neho vyňať žiadny faktor. Pozrime sa na menovateľa:

\[((x)^(2))-4x+4=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^(2))=((\left(x-2 \right) ))^(2))\]

Ideme do tretej frakcie. Čitateľ:

Poďme sa zaoberať menovateľom posledného zlomku:

Prepíšme výraz berúc do úvahy vyššie uvedené skutočnosti:

\[\frac(3\left(1-2x \right))(2\left(((x)^(2))+2x+4 \right))\cdot \frac(2x+1)((( \left(x-2 \right))^(2))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+2x+((x)^( 2)) \vpravo))(\vľavo (2x-1 \vpravo)\vľavo (2x+1 \vpravo))=\]

\[=\frac(-3)(2\vľavo(2-x \vpravo))=-\frac(3)(2\vľavo(2-x \vpravo))=\frac(3)(2\vľavo (x-2 \vpravo))\]

Nuansy riešenia

Ako vidíte, nie všetko a nie vždy spočíva na skrátených vzorcoch násobenia - niekedy stačí uviesť do zátvoriek konštantu alebo premennú. Existuje však aj opačná situácia, keď je pojmov toľko alebo sú konštruované tak, že vzorec na skrátené násobenie na ne je vo všeobecnosti nemožný. V tomto prípade nám prichádza na pomoc univerzálny nástroj, a to metóda zoskupovania. To je to, čo teraz použijeme v ďalšom probléme.

Úloha č. 3

\[\frac(((a)^(2))+ab)(5a-((a)^(2))+((b)^(2))-5b)\cdot \frac(((a) )^(2))-((b)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((b)^(2)))\]

Poďme sa pozrieť na prvú časť:

\[((a)^(2))+ab=a\vľavo(a+b \vpravo)\]

\[=5\vľavo (a-b \vpravo)-\vľavo (a-b \vpravo)\vľavo (a+b \vpravo)=\vľavo (a-b \vpravo)\vľavo (5-1\vľavo (a+b \vpravo) ) )\vpravo)=\]

\[=\vľavo(a-b \vpravo)\vľavo(5-a-b \vpravo)\]

Prepíšme pôvodný výraz:

\[\frac(a\left(a+b \right))(\left(a-b \right)\left(5-a-b \right))\cdot \frac(((a)^(2))-( (b)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((b)^(2)))\]

Teraz sa poďme zaoberať druhou zátvorkou:

\[((a)^(2))-((b)^(2))+25-10a=((a)^(2))-10a+25-((b)^(2))= \left(((a)^(2))-2\cdot 5a+((5)^(2)) \right)-((b)^(2))=\]

\[=((\left(a-5 \right))^(2))-((b)^(2))=\left(a-5-b \right)\left(a-5+b \správny)\]

Keďže dva prvky nebolo možné zoskupiť, zoskupili sme tri. Zostáva zaoberať sa iba menovateľom posledného zlomku:

\[((a)^(2))-((b)^(2))=\vľavo(a-b \vpravo)\vľavo(a+b \vpravo)\]

Teraz prepíšme celú našu štruktúru:

\[\frac(a\left(a+b \right))(\left(a-b \right)\left(5-a-b \right))\cdot \frac(\left(a-5-b \right) \left(a-5+b \right))(\left(a-b \right)\left(a+b \right))=\frac(a\left(b-a+5 \right))((( \left(a-b \right))^(2)))\]

Problém je vyriešený a už sa tu nedá nič zjednodušiť.

Nuansy riešenia

Prišli sme na zoskupenie a získali sme ďalší veľmi výkonný nástroj, ktorý rozširuje možnosti faktorizácie. Problém je však v tom, že v skutočný život nikto nám nedá také rafinované príklady, kde je niekoľko zlomkov, pri ktorých stačí rozložiť čitateľa a menovateľa a potom, ak je to možné, zredukovať. Reálne výrazy budú oveľa komplikovanejšie.

S najväčšou pravdepodobnosťou budú okrem násobenia a delenia existovať aj odčítania a sčítania, všetky druhy zátvoriek - vo všeobecnosti budete musieť brať do úvahy poradie akcií. Najhoršie však je, že pri odčítaní a sčítaní zlomkov s rôznych menovateľov budú musieť byť privedené do jedného spoločného. Aby ste to dosiahli, každý z nich bude musieť byť rozložený na faktory a potom budú tieto frakcie transformované: dať podobné a oveľa viac. Ako to urobiť správne, rýchlo a zároveň dostať jednoznačne správnu odpoveď? O tom si teraz povieme na príklade nasledujúcej konštrukcie.

Úloha č. 4

\[\left(((x)^(2))+\frac(27)(x) \right)\cdot \left(\frac(1)(x+3)+\frac(1)((( x)^(2))-3x+9) \vpravo)\]

Napíšme prvý zlomok a skúsme sa s ním vysporiadať samostatne:

\[((x)^(2))+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(2)))(1)+\frac(27)(x)=\frac( ((x)^(3)))(x)+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(3))+27)(x)=\frac(((x)^ (3))+((3)^(3)))(x)=\]

\[=\frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))(x)\]

Prejdime k druhému. Vypočítajme diskriminant menovateľa:

Nerozdeľuje sa na faktor, takže píšeme nasledovné:

\[\frac(1)(x+3)+\frac(1)(((x)^(2))-3x+9)=\frac(((x)^(2))-3x+9 +x+3)(\vľavo(x+3 \vpravo)\vľavo(((x)^(2))-3x+9 \vpravo))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+12)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right)) \]

Čitateľ píšeme samostatne:

\[((x)^(2))-2x+12=0\]

Preto tento polynóm nemožno faktorizovať.

Maximum, čo sme mohli urobiť a rozložiť, sme už urobili.

Celkovo prepíšeme našu pôvodnú konštrukciu a získame:

\[\frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))(x)\cdot \frac(((x)^(2) )-2x+12)(\vľavo(x+3 \vpravo)\vľavo(((x)^(2))-3x+9 \vpravo))=\frac(((x)^(2))- 2x+12)(x)\]

Všetko, úloha je vyriešená.

Úprimne povedané, nebolo to také skvelé. náročná úloha: tam sa všetko ľahko rozložilo na faktory, rýchlo sa dali podobné pojmy a všetko sa krásne zredukovalo. Skúsme teda problém vyriešiť vážnejšie.

Úloha číslo 5

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \vpravo)\]

Najprv sa pozrime na prvú zátvorku. Od samého začiatku vyčleňujeme menovateľa druhého zlomku samostatne:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \vpravo)\]

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(((x)^(2)))=\]

\[=\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\ left(((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\vľavo(x-2 \vpravo)+((x)^(2))+8-\vľavo(((x)^(2))+2x+4 \vpravo))( \left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2) \vpravo)\vľavo(((x)^(2))+2x+4 \vpravo))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-4x+4)(\vľavo(x-2 \vpravo)\vľavo(((x)^(2))+2x+4 \vpravo)) =\frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right ))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Teraz poďme pracovať s druhým zlomkom:

\[\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2) )))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2))+2\ vľavo(x-2 \vpravo))(\vľavo(x-2 \vpravo)\vľavo(x+2 \vpravo))=\]

\[=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\vľavo(x-2 \vpravo)\vľavo(x+2 \vpravo))\]

Vraciame sa k pôvodnému dizajnu a píšeme:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

Kľúčové body

Ešte raz kľúčové fakty dnešného videonávodu:

Musíte vedieť naspamäť vzorce na skrátené násobenie – a nielen vedieť, ale vedieť v tých výrazoch aj vidieť, s ktorými sa stretnete pri reálnych problémoch. V tomto nám môže pomôcť úžasné pravidlo: ak existujú dva členy, potom je to buď rozdiel štvorcov, alebo rozdiel alebo súčet kociek; ak tri, môže to byť len druhá mocnina súčtu alebo rozdielu.
Ak sa niektorá konštrukcia nedá rozložiť pomocou skrátených vzorcov násobenia, potom nám prichádza na pomoc buď štandardný vzorec na rozklad trojčlenov na faktory, alebo metóda zoskupovania.
Ak niečo nefunguje, pozorne si prezrite pôvodný výraz – a či sú s ním vôbec potrebné nejaké premeny. Možno bude stačiť len vytiahnuť násobič zo zátvorky, a to je veľmi často len konštanta.
V zložitých výrazoch, kde musíte vykonať niekoľko akcií za sebou, nezabudnite uviesť spoločného menovateľa a až potom, keď sa naň zredukujú všetky zlomky, nezabudnite uviesť to isté do nového čitateľa a potom faktor nového čitateľa znova - je možné, že - sa zníži.

To je všetko, čo som vám dnes chcel povedať o racionálnych zlomkoch. Ak niečo nie je jasné, na stránke je stále veľa videonávodov a tiež veľa úloh na samostatné riešenie. Tak zostaňte s nami!

Prezentácia a lekcia na tému: "Racionálne rovnice. Algoritmus a príklady riešenia racionálnych rovníc"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, spätnú väzbu, návrhy! Všetky materiály sú kontrolované antivírusovým programom.

Učebné pomôcky a simulátory v internetovom obchode "Integral" pre ročník 8
Manuál k učebnici Makarychev Yu.N. Manuál k učebnici Mordkovich A.G.

Úvod do iracionálnych rovníc

Chlapci, naučili sme sa riešiť kvadratické rovnice. Ale matematika sa neobmedzuje len na nich. Dnes sa naučíme riešiť racionálne rovnice. Pojem racionálnych rovníc je v mnohom podobný pojmu racionálne čísla. Len okrem čísel sme teraz zaviedli aj nejakú premennú $x$. A tak dostaneme výraz, v ktorom sú operácie sčítania, odčítania, násobenia, delenia a umocňovania na celé číslo.

Nech je $r(x)$ racionálne vyjadrenie. Takýmto výrazom môže byť jednoduchý polynóm v premennej $x$ alebo pomer polynómov (zavádza sa operácia delenia, ako pri racionálnych číslach).
Zavolá sa rovnica $r(x)=0$ racionálna rovnica.
Akákoľvek rovnica v tvare $p(x)=q(x)$, kde $p(x)$ a $q(x)$ sú racionálne výrazy, bude tiež racionálna rovnica.

Zvážte príklady riešenia racionálnych rovníc.

Príklad 1
Vyriešte rovnicu: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Riešenie.
Prenesme všetky výrazy do ľavá strana: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Ak by na ľavej strane rovnice boli zastúpené obyčajné čísla, potom by sme priviedli dva zlomky k spoločnému menovateľovi.
Urobme toto: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Dostali sme rovnicu: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Zlomok je nula práve vtedy, ak je čitateľ zlomku nulový a menovateľ nenulový. Potom samostatne prirovnajte čitateľa k nule a nájdite korene čitateľa.
$3(x^2+2x-3)=0$ alebo $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Teraz skontrolujme menovateľ zlomku: $(x-3)*x≠0$.
Súčin dvoch čísel sa rovná nule, keď sa aspoň jedno z týchto čísel rovná nule. Potom: $x≠0$ alebo $x-3≠0$.
$x≠0$ alebo $x≠3$.
Korene získané v čitateli a menovateli sa nezhodujú. Takže ako odpoveď zapíšeme oba korene čitateľa.
Odpoveď: $x=1$ alebo $x=-3$.

Ak sa náhle jeden z koreňov čitateľa zhoduje s koreňom menovateľa, mal by sa vylúčiť. Takéto korene sa nazývajú cudzie!

Algoritmus na riešenie racionálnych rovníc:

1. Všetky výrazy obsiahnuté v rovnici by sa mali preniesť do ľavá strana od znamienka rovnosti.
2. Preveďte túto časť rovnice na algebraický zlomok: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Výsledný čitateľ prirovnajte k nule, čiže vyriešte rovnicu $p(x)=0$.
4. Priraďte menovateľa k nule a vyriešte výslednú rovnicu. Ak sa korene menovateľa zhodujú s koreňmi čitateľa, mali by byť z odpovede vylúčené.

Príklad 2
Vyriešte rovnicu: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Riešenie.
Budeme riešiť podľa bodov algoritmu.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Prirovnajte čitateľa k nule: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Prirovnajte menovateľa k nule:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ a $x=-1$.
Jeden z koreňov $x=1$ sa zhodoval s koreňom čitateľa, potom ho v odpovedi nezapisujeme.
Odpoveď: $x=-1$.

Racionálne rovnice je vhodné riešiť metódou zmeny premenných. Poďme si to ukázať.

Príklad 3
Vyriešte rovnicu: $x^4+12x^2-64=0$.

Riešenie.
Zavádzame náhradu: $t=x^2$.
Potom bude mať naša rovnica tvar:
$t^2+12t-64=0$ je obyčajná kvadratická rovnica.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4 doláre.
Zavedme inverznú náhradu: $x^2=4$ alebo $x^2=-16$.
Korene prvej rovnice sú dvojice čísel $x=±2$. Druhý nemá korene.
Odpoveď: $x=±2$.

Príklad 4
Vyriešte rovnicu: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Riešenie.
Predstavme si novú premennú: $t=x^2+x+1$.
Potom bude mať rovnica tvar: $t=\frac(15)(t+2)$.
Ďalej budeme konať podľa algoritmu.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3 doláre.
4. $t≠-2$ - korene sa nezhodujú.
Zavádzame spätnú substitúciu.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Poďme riešiť každú rovnicu samostatne:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - nie korene.
A druhá rovnica: $x^2+x-2=0$.
Korene tejto rovnice budú čísla $x=-2$ a $x=1$.
Odpoveď: $x=-2$ a $x=1$.

Príklad 5
Vyriešte rovnicu: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Riešenie.
Zavádzame náhradu: $t=x+\frac(1)(x)$.
potom:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ alebo $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Dostali sme rovnicu: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Korene tejto rovnice sú dvojice:
$t=-3$ a $t=2$.
Predstavme si spätnú substitúciu:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Rozhodneme sa samostatne.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Poďme vyriešiť druhú rovnicu:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Koreňom tejto rovnice je číslo $x=1$.
Odpoveď: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Úlohy na samostatné riešenie

Riešiť rovnice:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

Riešenie zlomkových racionálnych rovníc

Pomocník

Racionálne rovnice sú rovnice, v ktorých ľavá aj pravá strana sú racionálnymi výrazmi.

(Pripomeňme si: racionálne výrazy sú celočíselné a zlomkové výrazy bez radikálov vrátane operácií sčítania, odčítania, násobenia alebo delenia - napríklad: 6x; (m - n) 2; x / 3y atď.)

Zlomkovo-racionálne rovnice sa spravidla redukujú na tvar:

Kde P(X) a Q(X) sú polynómy.

Na vyriešenie takýchto rovníc vynásobte obe strany rovnice Q(x), čo môže viesť k objaveniu sa cudzích koreňov. Preto pri riešení zlomkových racionálnych rovníc je potrebné skontrolovať nájdené korene.

Racionálna rovnica sa nazýva celé číslo alebo algebraická, ak nemá delenie výrazom obsahujúcim premennú.

Príklady celej racionálnej rovnice:

5x – 10 = 3 (10 – x)

3x
-=2x-10
4

Ak v racionálnej rovnici existuje delenie výrazom obsahujúcim premennú (x), potom sa rovnica nazýva zlomková racionálna.

Príklad zlomkovej racionálnej rovnice:

15
x + - = 5x - 17
X

Zlomkové racionálne rovnice sa zvyčajne riešia takto:

1) nájdite spoločného menovateľa zlomkov a vynásobte ním obe časti rovnice;

2) vyriešiť výslednú celú rovnicu;

3) vylúčiť z koreňov tie, ktoré otáčajú spoločného menovateľa zlomkov na nulu.

Príklady riešenia celočíselných a zlomkových racionálnych rovníc.

Príklad 1. Vyriešte celú rovnicu

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Riešenie:

Hľadanie najmenšieho spoločného menovateľa. To je 6. Vydeľte 6 menovateľom a výsledok vynásobte čitateľom každého zlomku. Dostaneme rovnicu ekvivalentnú tejto rovnici:

3 (x - 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Keďže menovateľ je na ľavej aj pravej strane rovnaký, možno ho vynechať. Potom máme jednoduchšiu rovnicu:

3(x - 1) + 4x = 5x.

Riešime to otvorením zátvoriek a zmenšením podobných výrazov:

3x - 3 + 4x = 5x

3x + 4x - 5x = 3

Príklad vyriešený.

Príklad 2. Vyriešte zlomkovú racionálnu rovnicu

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x - 5 x x (x - 5)

Nájdeme spoločného menovateľa. Toto je x(x - 5). Takže:

x 2 – 3 x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x - 5) x(x - 5) x(x - 5)

Teraz sa opäť zbavíme menovateľa, keďže je rovnaký pre všetky výrazy. Zredukujeme podobné pojmy, rovnicu prirovnáme k nule a dostaneme kvadratickú rovnicu:

x 2 - 3 x + x - 5 = x + 5

x 2 - 3 x + x - 5 - x - 5 = 0

x 2 - 3 x - 10 = 0.

Po vyriešení kvadratickej rovnice nájdeme jej korene: -2 a 5.

Pozrime sa, či tieto čísla sú koreňmi pôvodnej rovnice.

Pre x = –2 spoločný menovateľ x(x – 5) nezaniká. Takže -2 je koreň pôvodnej rovnice.

Pri x = 5 spoločný menovateľ zaniká a dva z troch výrazov strácajú svoj význam. Takže číslo 5 nie je koreňom pôvodnej rovnice.

Odpoveď: x = -2

Viac príkladov

Príklad 1

x 1 \u003d 6, x 2 \u003d - 2,2.

Odpoveď: -2,2; 6.

Príklad 2

Už sme sa naučili riešiť kvadratické rovnice. Rozšírme teraz študované metódy na racionálne rovnice.

Čo je to racionálne vyjadrenie? S týmto konceptom sme sa už stretli. Racionálne výrazy nazývané výrazy zložené z čísel, premenných, ich stupňov a znakov matematických operácií.

Podľa toho sú racionálne rovnice rovnicami tvaru: , kde - racionálne prejavy.

Predtým sme zvažovali iba tie racionálne rovnice, ktoré sa redukujú na lineárne. Teraz sa pozrime na tie racionálne rovnice, ktoré možno zredukovať na kvadratické.

Príklad 1

Vyriešte rovnicu: .

Riešenie:

Zlomok je 0 práve vtedy, ak jeho čitateľ je 0 a jeho menovateľ nie je 0.

Získame nasledujúci systém:

Prvá rovnica systému je kvadratická rovnica. Pred riešením vydelíme všetky jeho koeficienty 3. Dostaneme:

Získame dva korene: ; .

Keďže 2 sa nikdy nerovná 0, musia byť splnené dve podmienky: . Keďže žiadny z koreňov rovnice získanej vyššie nezodpovedá neplatným hodnotám premennej, ktoré boli získané pri riešení druhej nerovnosti, sú obe riešeniami tejto rovnice.

odpoveď:.

Poďme teda sformulovať algoritmus na riešenie racionálnych rovníc:

1. Presuňte všetky výrazy na ľavú stranu tak, aby na pravej strane bola 0.

2. Transformujte a zjednodušte ľavú stranu, priveďte všetky zlomky k spoločnému menovateľovi.

3. Výsledný zlomok prirovnajte k 0 podľa nasledujúceho algoritmu: .

4. Napíšte tie korene, ktoré sú získané v prvej rovnici a ako odpoveď spĺňajú druhú nerovnosť.

Pozrime sa na ďalší príklad.

Príklad 2

Vyriešte rovnicu: .

Riešenie

Na úplnom začiatku prenesieme všetky členy na ľavú stranu tak, aby na pravej strane zostala 0. Dostaneme:

Teraz privedieme ľavú stranu rovnice k spoločnému menovateľovi:

Táto rovnica je ekvivalentná systému:

Prvá rovnica systému je kvadratická rovnica.

Koeficienty tejto rovnice: . Vypočítame diskriminant:

Získame dva korene: ; .

Teraz riešime druhú nerovnosť: súčin faktorov sa nerovná 0 práve vtedy, ak žiadny z faktorov nie je rovný 0.

Musia byť splnené dve podmienky: . Dostaneme, že z dvoch koreňov prvej rovnice je vhodný iba jeden - 3.

odpoveď:.

V tejto lekcii sme si pripomenuli, čo je racionálny výraz, a tiež sme sa naučili riešiť racionálne rovnice, ktoré sú redukované na kvadratické rovnice.

V ďalšej lekcii budeme uvažovať o racionálnych rovniciach ako o modeloch reálnych situácií a tiež o pohybových problémoch.

Bibliografia

Bašmakov M.I. Algebra, 8. ročník. - M.: Osveta, 2004.
Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. a kol., Algebra, 8. 5. vydanie. - M.: Vzdelávanie, 2010.
Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8. ročník. Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie. - M.: Vzdelávanie, 2006.

Festival pedagogické myšlienky "Verejná lekcia" ().
School.xvatit.com().
Rudocs.exdat.com().

Domáca úloha