Ako riešiť príklady so zmiešanými zlomkami. Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Násobenie a delenie zlomkov.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Táto operácia je oveľa krajšia ako sčítanie-odčítanie! Pretože je to jednoduchšie. Pripomíname, že ak chcete vynásobiť zlomok zlomkom, musíte vynásobiť čitateľov (toto bude čitateľ výsledku) a menovateľov (toto bude menovateľ). To je:

Napríklad:

Všetko je mimoriadne jednoduché. A prosím, nehľadajte spoločného menovateľa! Tu ho netreba...

Ak chcete rozdeliť zlomok zlomkom, musíte obrátiť druhý(to je dôležité!) zlomok a vynásobte ich, t.j.:

Napríklad:

Ak narazíte na násobenie alebo delenie celými číslami a zlomkami, je to v poriadku. Rovnako ako pri sčítaní, aj tu vytvoríme zlomok z celého čísla s jednotkou v menovateli – a do toho! Napríklad:

Na strednej škole sa často musíte zaoberať trojposchodovými (alebo aj štvorposchodovými!) zlomkami. Napríklad:

Ako môžem, aby tento zlomok vyzeral slušne? Áno, veľmi jednoduché! Použite dvojbodové delenie:

Ale nezabudnite na poradie delenia! Na rozdiel od násobenia je to tu veľmi dôležité! Samozrejme, 4:2 alebo 2:4 si nepopletieme. Ale je ľahké urobiť chybu v trojposchodovej časti. Všimnite si napríklad:

V prvom prípade (výraz vľavo):

V druhom (výraz vpravo):

Cítiš ten rozdiel? 4 a 1/9!

Čo určuje poradie delenia? Buď so zátvorkami, alebo (ako tu) s dĺžkou vodorovných čiar. Rozvíjajte svoje oko. A ak neexistujú žiadne zátvorky alebo pomlčky, napríklad:

potom deliť a násobiť v poradí, zľava doprava!

A tiež veľmi jednoduché a dôležitá technika. V akciách s titulmi vám to bude tak užitočné! Vydeľme jeden zlomkom, napríklad 13/15:

Strela sa obrátila! A toto sa stáva vždy. Pri delení 1 ľubovoľným zlomkom je výsledkom rovnaký zlomok, len hore nohami.

To je všetko pre operácie so zlomkami. Vec je celkom jednoduchá, no chýb dáva viac než dosť. Poznámka praktické rady, a bude ich (chýb) menej!

Praktické rady:

1. Najdôležitejšia vec pri práci so zlomkovými výrazmi je presnosť a pozornosť! Toto nie sú všeobecné slová, nie dobré priania! Toto je priam nevyhnutnosť! Urobte všetky výpočty na jednotnej štátnej skúške ako plnohodnotnú úlohu, sústredenú a prehľadnú. Je lepšie napísať dva riadky navyše do konceptu, ako sa pokaziť pri mentálnych výpočtoch.

2. V príkladoch s odlišné typy zlomky - prejdite na obyčajné zlomky.

3. Všetky frakcie redukujeme, až kým sa nezastavia.

4. Viacúrovňové zlomkové výrazy redukujeme na obyčajné pomocou delenia cez dva body (dodržiavame poradie delenia!).

5. Vydeľte jednotku zlomkom v hlave tak, že zlomok jednoducho otočíte.

Tu sú úlohy, ktoré určite musíte splniť. Odpovede sú uvedené po všetkých úlohách. Použite materiály na túto tému a praktické tipy. Odhadnite, koľko príkladov ste dokázali správne vyriešiť. Prvý krát! Bez kalkulačky! A vyvodiť správne závery...

Pamätajte - správna odpoveď je prijaté od druhého (najmä tretieho) času sa nepočíta! Taký je krutý život.

takže, riešiť v skúšobnom režime ! Mimochodom, toto je už príprava na jednotnú štátnu skúšku. Príklad vyriešime, skontrolujeme, vyriešime ďalší. O všetkom sme rozhodli - znova skontrolovali od prvého do posledného. Ale len Potom pozri si odpovede.

Vypočítať:

Rozhodol si sa?

Hľadáme odpovede, ktoré zodpovedajú vašim. Schválne som ich zapísal neporiadne, takpovediac ďaleko od pokušenia... Tu sú odpovede písané bodkočiarkami.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Teraz vyvodíme závery. Ak všetko klapne, mám z vás radosť! Základné výpočty so zlomkami nie sú váš problém! Môžete robiť aj vážnejšie veci. Ak nie...

Takže máte jeden z dvoch problémov. Alebo oboje naraz.) Nedostatok vedomostí a (alebo) nepozornosť. Ale toto riešiteľný Problémy.

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.

Akcie so zlomkami. V tomto článku sa pozrieme na príklady, všetko podrobne s vysvetleniami. Budeme brať do úvahy bežné zlomky. Na desatinné miesta sa pozrieme neskôr. Odporúčam si to celé pozrieť a preštudovať si to postupne.

1. Súčet zlomkov, rozdiel zlomkov.

Pravidlo: pri sčítaní zlomkov s rovnakými menovateľmi je výsledkom zlomok, ktorého menovateľ zostáva rovnaký a jeho čitateľ sa bude rovnať súčtu čitateľov zlomkov.
Pravidlo: pri výpočte rozdielu medzi zlomkami s rovnakými menovateľmi dostaneme zlomok - menovateľ zostáva rovnaký a čitateľ druhého sa odčíta od čitateľa prvého zlomku.

Formálny zápis súčtu a rozdielu zlomkov s rovnakými menovateľmi:

Príklady (1):

Je jasné, že keď sú uvedené bežné zlomky, potom je všetko jednoduché, ale čo keď sú zmiešané? Nič zložité...

možnosť 1– môžete ich previesť na obyčajné a potom ich vypočítať.

Možnosť 2– môžete „pracovať“ oddelene s celočíselnými a zlomkovými časťami.

Príklady (2):

Viac:

Čo ak je daný rozdiel dvoch zmiešaných zlomkov a čitateľ prvého zlomku je menší ako čitateľ druhého? Môžete tiež konať dvoma spôsobmi.

Príklady (3):

*Prevedené na bežné zlomky, vypočítaný rozdiel, prevedený výsledný nesprávny zlomok na zmiešaný zlomok.

*Rozdelili sme to na celé číslo a zlomkové časti, dostali sme trojku, potom sme prezentovali 3 ako súčet 2 a 1, pričom jedna bola reprezentovaná ako 11/11, potom sme našli rozdiel medzi 11/11 a 7/11 a vypočítali výsledok . Význam vyššie uvedených transformácií je vziať (vybrať) jednotku a prezentovať ju vo forme zlomku s menovateľom, ktorý potrebujeme, potom môžeme od tohto zlomku odpočítať ďalšiu.

Ďalší príklad:

Záver: existuje univerzálny prístup - na výpočet súčtu (rozdielu) zmiešaných zlomkov s rovnakými menovateľmi je možné ich vždy previesť na nesprávne a potom vykonať požadovaná akcia. Potom, ak je výsledkom nesprávny zlomok, prevedieme ho na zmiešaný zlomok.

Vyššie sme sa pozreli na príklady so zlomkami, ktoré majú rovnakých menovateľov. Čo ak sú menovatelia odlišní? V tomto prípade sa zlomky znížia na rovnaký menovateľ a vykoná sa zadaná akcia. Na zmenu (premenu) zlomku sa využíva základná vlastnosť zlomku.

Pozrime sa na jednoduché príklady:

V týchto príkladoch okamžite vidíme, ako možno jeden zo zlomkov premeniť, aby získal rovnakých menovateľov.

Ak označíme spôsoby redukcie zlomkov na rovnaký menovateľ, nazveme tento PRVÁ SPÔSOB.

To znamená, že ihneď pri „odhade“ zlomku musíte zistiť, či tento prístup bude fungovať - skontrolujeme, či je väčší menovateľ deliteľný menším. A ak je deliteľné, tak vykonáme transformáciu – vynásobíme čitateľa a menovateľa tak, aby sa menovatelia oboch zlomkov vyrovnali.

Teraz sa pozrite na tieto príklady:

Tento prístup sa na nich nevzťahuje. Existujú tiež spôsoby, ako znížiť zlomky na spoločného menovateľa;

Metóda DVA.

Čitateľ a menovateľ prvého zlomku vynásobíme menovateľom druhého a čitateľa a menovateľa druhého zlomku menovateľom prvého:

*V skutočnosti zlomky zmenšujeme tak, aby vznikli, keď sa menovatelia stanú rovnakými. Ďalej použijeme pravidlo na sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.

Príklad:

*Túto metódu možno nazvať univerzálnou a vždy funguje. Jedinou nevýhodou je, že po výpočtoch môžete skončiť so zlomkom, ktorý bude potrebné ďalej zmenšiť.

Pozrime sa na príklad:

Je vidieť, že čitateľ a menovateľ sú deliteľné 5:

Metóda TRETÍ.

Musíte nájsť najmenší spoločný násobok (LCM) menovateľov. Toto bude spoločný menovateľ. Čo je to za číslo? Toto je najmenej prirodzené číslo, ktoré je deliteľné každým z čísel.

Pozri, tu sú dve čísla: 3 a 4, je nimi veľa čísel, ktoré sú deliteľné - sú to 12, 24, 36, ... Najmenšie z nich je 12. Alebo 6 a 15, sú deliteľné 30, 60, 90.... Najmenej je 30. Otázka znie – ako určiť tento najmenší spoločný násobok?

Existuje jasný algoritmus, ale často sa to dá urobiť okamžite bez výpočtov. Napríklad podľa vyššie uvedených príkladov (3 a 4, 6 a 15) nie je potrebný žiadny algoritmus, vzali sme veľké čísla (4 a 15), zdvojnásobili sme ich a videli sme, že sú deliteľné druhým číslom, ale dvojice čísel môžu byť iné, napríklad 51 a 119.

Algoritmus. Ak chcete určiť najmenší spoločný násobok niekoľkých čísel, musíte:

- rozložiť každé číslo na JEDNODUCHÉ faktory

— zapíšte si rozklad VÄČŠIEHO z nich

- vynásobte ho CHYBAJÚCImi faktormi iných čísel

Pozrime sa na príklady:

50 a 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

v rozklade viac jedna päťka chýba

=> LCM(50;60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 a 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

v rozšírení väčšie číslo dva a tri chýbajú

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Najmenší spoločný násobok dvoch prvočísel je ich súčin

Otázka! Prečo je užitočné nájsť najmenší spoločný násobok, keď môžete použiť druhú metódu a jednoducho znížiť výsledný zlomok? Áno, je to možné, ale nie vždy je to pohodlné. Pozrite sa na menovateľ čísel 48 a 72, ak ich jednoducho vynásobíte 48∙72 = 3456. Súhlasíte, že je príjemnejšie pracovať s menšími číslami.

Pozrime sa na príklady:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

rozšíreniu väčšieho počtu chýba trojka

=> NOC(51,119) = 3∙7∙17

Teraz použijeme prvú metódu:

*Pozrite si rozdiel vo výpočtoch, v prvom prípade je ich minimum, no v druhom treba pracovať oddelene na papieriku a aj ten zlomok, ktorý ste dostali, treba zmenšiť. Nájdenie LOC výrazne zjednodušuje prácu.

Ďalšie príklady:

*V druhom príklade je jasné, že najmenšie číslo, ktoré je deliteľné 40 a 60, je 120.

VÝSLEDOK! VŠEOBECNÝ VÝPOČTOVÝ ALGORITHM!
— zlomky redukujeme na obyčajné, ak existuje celá časť.
- zlomky privedieme na spoločného menovateľa (najskôr sa pozrieme na to, či je jeden menovateľ deliteľný druhým; ak je deliteľný, tak čitateľa a menovateľa tohto druhého zlomku vynásobíme; ak nie je deliteľný, postupujeme podľa iných metód uvedené vyššie).
- Po prijatí zlomkov s rovnakými menovateľmi vykonávame operácie (sčítanie, odčítanie).
- v prípade potreby znížime výsledok.
- ak je to potrebné, vyberte celú časť.

2. Súčin frakcií.

Pravidlo je jednoduché. Pri násobení zlomkov sa ich čitatelia a menovatelia násobia:

Príklady:

V článku si ukážeme ako riešiť zlomky pomocou jednoduchých, zrozumiteľných príkladov. Poďme zistiť, čo je zlomok a zvážiť riešenie zlomkov!

koncepcia zlomky sa zavádza do kurzov matematiky od 6. ročníka strednej školy.

Zlomky majú tvar: ±X/Y, kde Y je menovateľ, hovorí, na koľko častí bol celok rozdelený, a X je čitateľ, hovorí, koľko takýchto častí bolo prevzatých. Pre prehľadnosť si uveďme príklad s koláčom:

V prvom prípade sa torta prekrojila rovnako a odobrala sa jedna polovica, t.j. 1/2. V druhom prípade sa torta rozrezala na 7 častí, z toho sa odobrali 4 časti, t.j. 4/7.

Ak časť delenia jedného čísla druhým nie je celé číslo, zapíše sa ako zlomok.

Napríklad výraz 4:2 = 2 dáva celé číslo, ale 4:7 nie je deliteľné celkom, preto sa tento výraz zapíše ako zlomok 4/7.

Inými slovami zlomok je výraz, ktorý označuje delenie dvoch čísel alebo výrazov a ktorý sa zapisuje pomocou zlomkovej lomky.

Ak je čitateľ menší ako menovateľ, zlomok je vlastný, ak naopak, ide o nesprávny zlomok. Zlomok môže obsahovať celé číslo.

Napríklad 5 celých 3/4.

Tento záznam znamená, že na získanie celých 6 chýba jedna časť zo štyroch.

Ak si chcete zapamätať, ako riešiť zlomky pre 6. ročník, musíš to pochopiť riešenie zlomkov v podstate ide o pochopenie niekoľkých jednoduchých vecí.

Zlomok je v podstate vyjadrením zlomku. Teda číselný výraz aká časť je daná hodnota jedného celku. Napríklad zlomok 3/5 vyjadruje, že ak by sme niečo celé rozdelili na 5 častí a počet podielov alebo častí tohto celku je tri.
Zlomok môže byť menší ako 1, napríklad 1/2 (alebo v podstate polovica), potom je to správne. Ak je zlomok väčší ako 1, napríklad 3/2 (tri polovice alebo jeden a pol), tak je to nesprávne a pre zjednodušenie riešenia je pre nás lepšie vybrať celú časť 3/2 = 1 celok 1 /2.
Zlomky sú rovnaké čísla ako 1, 3, 10 a dokonca aj 100, len čísla nie sú celé čísla, ale zlomky. Môžete s nimi vykonávať rovnaké operácie ako s číslami. Počítanie zlomkov nie je o nič ťažšie a ďalej konkrétne príklady ukážeme to.

Ako riešiť zlomky. Príklady.

Na zlomky sa dá použiť široká škála aritmetických operácií.

Zmenšenie zlomku na spoločného menovateľa

Napríklad musíte porovnať zlomky 3/4 a 4/5.

Na vyriešenie problému najprv nájdeme najnižšieho spoločného menovateľa, t.j. najmenšie číslo, ktoré je deliteľné každým z menovateľov zlomkov bez zanechania zvyšku

Najmenší spoločný menovateľ (4,5) = 20

Potom sa menovateľ oboch zlomkov zredukuje na najmenší spoločný menovateľ

Odpoveď: 15/20

Sčítanie a odčítanie zlomkov

Ak je potrebné vypočítať súčet dvoch zlomkov, najprv sa privedú k spoločnému menovateľovi, potom sa pridajú čitatelia, pričom menovateľ zostáva nezmenený. Rozdiel medzi zlomkami sa vypočíta rovnakým spôsobom, rozdiel je len v tom, že sa odčítajú čitatelia.

Napríklad musíte nájsť súčet zlomkov 1/2 a 1/3

Teraz nájdime rozdiel medzi zlomkami 1/2 a 1/4

Násobenie a delenie zlomkov

Riešenie zlomkov tu nie je ťažké, všetko je tu celkom jednoduché:

Násobenie – čitatelia a menovatelia zlomkov sa násobia spolu;
Delenie - najprv dostaneme zlomok prevrátený k druhému zlomku, t.j. Prehodíme jeho čitateľa a menovateľa, potom výsledné zlomky vynásobíme.

Napríklad:

To je asi tak všetko ako riešiť zlomky, Všetky. Ak máte ešte nejaké otázky týkajúce sa riešenie zlomkov, ak je niečo nejasné, napíšte do komentárov a my vám určite odpovieme.

Ak ste učiteľ, potom je možné si prezentáciu stiahnuť pre Základná škola(http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) vám príde vhod.

Teraz, keď sme sa naučili sčítať a násobiť jednotlivé zlomky, môžeme sa pozrieť na ďalšie komplexné návrhy. Napríklad, čo ak rovnaký problém zahŕňa sčítanie, odčítanie a násobenie zlomkov?

Najprv musíte previesť všetky zlomky na nesprávne. Potom vykonáme požadované akcie postupne - v rovnakom poradí ako pri bežných číslach. menovite:

Najprv sa vykoná umocňovanie - zbavte sa všetkých výrazov obsahujúcich exponenty;
Potom - delenie a násobenie;
Posledným krokom je sčítanie a odčítanie.

Samozrejme, ak sú vo výraze zátvorky, poradie operácií sa mení – všetko, čo je vo vnútri zátvoriek, treba spočítať ako prvé. A pamätajte na nesprávne zlomky: celú časť musíte zvýrazniť až po dokončení všetkých ostatných akcií.

Preveďme všetky zlomky z prvého výrazu na nesprávne a potom vykonajte nasledujúce kroky:

Teraz nájdime hodnotu druhého výrazu. Neexistujú žiadne zlomky s celočíselnou časťou, ale sú tam zátvorky, takže najskôr vykonáme sčítanie a až potom delenie. Všimnite si, že 14 = 7 · 2. potom:

Nakoniec sa pozrime na tretí príklad. Tu sú zátvorky a stupeň - je lepšie ich počítať samostatne. Ak vezmeme do úvahy, že 9 = 3 3, máme:

Venujte pozornosť poslednému príkladu. Ak chcete zlomok zvýšiť na mocninu, musíte zvlášť zvýšiť čitateľ na túto mocninu a zvlášť menovateľ.

Môžete sa rozhodnúť inak. Ak si spomenieme na definíciu stupňa, problém sa zredukuje na obvyklé násobenie zlomkov:

Viacpríbehové zlomky

Doposiaľ sme uvažovali len o „čistých“ zlomkoch, keď čitateľ a menovateľ sú bežné čísla. To je celkom v súlade s definíciou zlomku čísla uvedenou v úplne prvej lekcii.

Čo ak však do čitateľa alebo menovateľa vložíte zložitejší objekt? Napríklad ďalší číselný zlomok? Takéto konštrukcie vznikajú pomerne často, najmä pri práci s dlhými výrazmi. Tu je pár príkladov:

Pre prácu s viacúrovňovými zlomkami existuje len jedno pravidlo: musíte sa ich okamžite zbaviť. Odstránenie „extra“ podláh je celkom jednoduché, ak si pamätáte, že lomka znamená štandardnú operáciu delenia. Preto je možné ľubovoľný zlomok prepísať takto:

Využitím tohto faktu a dodržaním postupu ľahko zredukujeme akýkoľvek viacposchodový zlomok na obyčajný. Pozrite si príklady:

Úloha. Preveďte viacpríbehové zlomky na obyčajné:

V každom prípade prepíšeme hlavný zlomok a nahradíme deliacu čiaru deliacim znakom. Pamätajte tiež, že každé celé číslo môže byť reprezentované ako zlomok s menovateľom 1. To znamená 12 = 12/1; 3 = 3/1. Dostaneme:

V poslednom príklade boli zlomky zrušené pred konečným násobením.

Špecifiká práce s viacúrovňovými zlomkami

Vo viacúrovňových zlomkoch je jedna jemnosť, ktorú treba vždy pamätať, inak môžete dostať nesprávnu odpoveď, aj keď boli všetky výpočty správne. Pozri sa:

Čitateľ obsahuje jediné číslo 7 a menovateľ obsahuje zlomok 12/5;
Čitateľ obsahuje zlomok 7/12 a menovateľ obsahuje samostatné číslo 5.

Takže pre jednu nahrávku sme dostali dve úplne odlišné interpretácie. Ak počítate, odpovede sa budú tiež líšiť:

Aby bol záznam vždy prečítaný jednoznačne, použite jednoduché pravidlo: deliaca čiara hlavného zlomku musí byť dlhšia ako čiara vnoreného zlomku. Najlepšie niekoľkokrát.

Ak budete postupovať podľa tohto pravidla, vyššie uvedené zlomky by mali byť napísané takto:

Áno, môže to byť nevzhľadné a zaberá príliš veľa miesta. Ale budete počítať správne. Na záver pár príkladov, kde skutočne vznikajú viacposchodové zlomky:

Úloha. Nájdite význam výrazov:

Poďme teda pracovať s prvým príkladom. Preveďme všetky zlomky na nesprávne a potom vykonajte operácie sčítania a delenia:

Urobme to isté s druhým príkladom. Preveďme všetky zlomky na nesprávne a vykonajte požadované operácie. Aby som čitateľa nenudil, vynechám niekoľko samozrejmých výpočtov. Máme:

Vzhľadom na to, že čitateľ a menovateľ základných zlomkov obsahuje súčty, pravidlo pre písanie viacposchodových zlomkov sa dodržiava automaticky. V poslednom príklade sme zámerne ponechali 46/1 vo forme zlomkov, aby sme vykonali delenie.

Poznamenám tiež, že v oboch príkladoch zlomkový stĺpec skutočne nahrádza zátvorky: najprv sme našli súčet a až potom podiel.

Niektorí povedia, že prechod na nesprávne zlomky v druhom príklade bol zjavne zbytočný. Možno je to pravda. Tým sa však poistíme proti chybám, pretože nabudúce môže byť príklad oveľa komplikovanejší. Vyberte si sami, čo je dôležitejšie: rýchlosť alebo spoľahlivosť.

Zlomok- číslo, ktoré pozostáva z celého čísla zlomkov jednotky a je reprezentované ako: a/b

Čitateľ zlomku (a)- číslo umiestnené nad zlomkovou čiarou a zobrazujúce počet podielov, na ktoré bola jednotka rozdelená.

Menovateľ zlomku (b)- číslo, ktoré sa nachádza pod čiarou zlomku a ukazuje, na koľko častí je jednotka rozdelená.

2. Redukcia zlomkov na spoločného menovateľa

3. Aritmetické operácie s obyčajnými zlomkami

3.1. Doplnenie bežné zlomky

3.2. Odčítanie zlomkov

3.3. Násobenie bežných zlomkov

3.4. Delenie zlomkov

4. Recipročné čísla

5. Desatinné čísla

6. Aritmetické operácie s desatinnými miestami

6.1. Pridávanie desatinných miest

6.2. Odčítanie desatinných miest

6.3. Násobenie desatinných miest

6.4. Desatinné delenie

#1. Hlavná vlastnosť zlomku

Ak sa čitateľ a menovateľ zlomku násobia alebo delia rovnakým číslom, nerobte to rovná nule, potom dostanete zlomok rovný zadanému.

3/7=3*3/7*3=9/21, teda 3/7=9/21

**a/b=am/bm – takto vyzerá hlavná vlastnosť zlomku.**

Inými slovami, zlomok rovný danému dostaneme vynásobením alebo vydelením čitateľa a menovateľa pôvodného zlomku rovnakým prirodzeným číslom.

Ak ad=bc, potom dva zlomky a/b = c /d sa považujú za rovnaké.

Napríklad zlomky 3/5 a 9/15 sa budú rovnať, pretože 3*15=5*9, teda 45=45

Zníženie zlomku je proces nahradenia zlomku, v ktorom sa nový zlomok rovná pôvodnému, ale s menším čitateľom a menovateľom.

Zvykom je redukcia frakcií na základe základnej vlastnosti frakcie.

Napríklad, 45/60=15/ 20 =9/12=3/4 (čitateľ a menovateľ sa delia číslom 3, 5 a 15).

Neredukovateľný zlomok je zlomok formy 3/4 , kde čitateľ a menovateľ sú vzájomné základné čísla. Hlavným účelom redukcie frakcie je urobiť frakciu nezredukovateľnou.

2. Redukcia zlomkov na spoločného menovateľa

Ak chcete priviesť dva zlomky do spoločného menovateľa, musíte:

1) faktor menovateľa každého zlomku do prvočísel;

2) vynásobte čitateľa a menovateľa prvého zlomku chýbajúcimi

faktory z rozšírenia druhého menovateľa;

3) vynásobte čitateľa a menovateľa druhého zlomku chýbajúcimi faktormi z prvého rozšírenia.

Príklady: Zmenšenie zlomkov na spoločného menovateľa.

Rozložme menovateľov na jednoduché faktory: 18=3∙3∙2, 15=3∙5

Vynásobte čitateľa a menovateľa zlomku chýbajúcim faktorom 5 z druhého rozšírenia.

čitateľa a menovateľa zlomku do chýbajúcich faktorov 3 a 2 z prvého rozšírenia.

= , 90 – spoločný menovateľ zlomkov.

3. Aritmetické operácie s obyčajnými zlomkami

3.1. Sčítanie obyčajných zlomkov

a) Ak sú menovatele rovnaké, čitateľ prvého zlomku sa pripočíta k čitateľovi druhého zlomku, pričom menovateľ zostane rovnaký. Ako môžete vidieť na príklade:

a/b+c/b=(a+c)/b ;

b) Pre rôznych menovateľov sa zlomky najskôr zredukujú na spoločného menovateľa a potom sa pridajú čitatelia podľa pravidla a):

7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12

3.2. Odčítanie zlomkov

a) Ak sú menovatelia rovnakí, odčítajte čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku, pričom menovateľ zostane rovnaký:

a/b-c/b=(a-c)/b ;

b) Ak sú menovatelia zlomkov rozdielne, najskôr sa zlomky privedú k spoločnému menovateľovi a potom sa akcie zopakujú ako v bode a).

3.3. Násobenie bežných zlomkov

Násobenie zlomkov sa riadi nasledujúcim pravidlom:

a/b*c/d=a*c/b*d,

to znamená, že násobia čitateľov a menovateľov oddelene.

Napríklad:

3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.

3.4. Delenie zlomkov

Frakcie sa delia nasledujúcim spôsobom:

a/b:c/d=a*d/b*c,

to znamená, že zlomok a/b sa vynásobí prevráteným zlomkom daného, teda vynásobí sa d/c.

Príklad: 7/2:1/8=7/2*8/1=56/2=28

4. Recipročné čísla

Ak a*b=1, potom je číslo b recipročné číslo pre číslo a.

Príklad: pre číslo 9 je recipročné 1/9 , od 9*1/9 = 1 , pre číslo 5 - inverzné číslo 1/5 , pretože 5* 1/5 = 1 .

5. Desatinné čísla

Desatinné volal správny zlomok, ktorého menovateľ sa rovná 10, 1000, 10 000, ..., 10^n 1 0 , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 , . . . , 1 0 n .

Napríklad: 6/10 =0,6; 44/1000=0,044 .

Nesprávne s menovateľom sa píšu rovnakým spôsobom 10^n alebo zmiešané čísla.

Napríklad: 51/10= 5,1; 763/100=7,63

Každý obyčajný zlomok s menovateľom, ktorý je deliteľom určitej mocniny 10, je reprezentovaný ako desatinný zlomok.

menič, ktorý je deliteľom určitej mocniny čísla 10.

Príklad: 5 je deliteľ 100, teda je to zlomok 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2 0 = 0 , 2 .

6. Aritmetické operácie s desatinnými miestami

6.1. Pridávanie desatinných miest

Ak chcete pridať dva desatinné zlomky, musíte ich usporiadať tak, aby boli pod sebou rovnaké číslice a pod čiarkou čiarka, a potom zlomky sčítať ako bežné čísla.

6.2. Odčítanie desatinných miest

Vykonáva sa rovnakým spôsobom ako sčítanie.

6.3. Násobenie desatinných miest

Pri násobení desatinné čísla Dané čísla stačí vynásobiť, nedbať na čiarky (ako prirodzené čísla) a vo výslednej odpovedi čiarka vpravo oddelí toľko číslic, koľko je za desatinnou čiarkou v oboch faktoroch spolu.

Vynásobme 2,7 1,3. Máme 27\cdot 13=351 2 7 ⋅ 1 3 = 3 5 1 . Dve číslice vpravo oddeľujeme čiarkou (prvé a druhé číslo má jednu číslicu za desatinnou čiarkou; 1+1=2 1 + 1 = 2 ). V dôsledku toho dostaneme 2,7 \ cdot 1,3 = 3,51 2 , 7 ⋅ 1 , 3 = 3 , 5 1 .

Ak výsledný výsledok obsahuje menej číslic, než je potrebné oddeliť čiarkou, chýbajúce nuly sa napíšu dopredu, napríklad:

Ak chcete vynásobiť 10, 100, 1000, musíte posunúť desatinnú čiarku o 1, 2, 3 číslice doprava (v prípade potreby je priradená doprava určitý počet nuly).

Napríklad: 1,47\cdot 10 000 = 14 700 1 , 4 7 ⋅ 1 0 0 0 0 = 1 4 7 0 0 .

6.4. Desatinné delenie

Delenie desatinného zlomku prirodzeným číslom sa robí rovnakým spôsobom ako delenie prirodzeného čísla prirodzeným číslom. Čiarka v kvociente sa umiestni po dokončení delenia celej časti.

Ak je celočíselná časť dividendy menšia ako deliteľ, odpoveď je nula celých čísel, napríklad:

Pozrime sa na delenie desatinnej čiarky desatinnou čiarkou. Povedzme, že potrebujeme deliť 2,576 číslom 1,12. V prvom rade vynásobme deliteľa a deliteľa zlomku číslom 100, to znamená posuňme desatinnú čiarku doprava v delenci a deliteľovi o toľko číslic, koľko je v deliteľovi za desatinnou čiarkou (v v tomto príklade po dvoch). Potom musíte rozdeliť zlomok 257,6 prirodzeným číslom 112, to znamená, že problém sa zredukuje na už uvažovaný prípad:

Stáva sa, že nie vždy sa dosiahne konečný výsledok desiatkový pri delení jedného čísla druhým. Výsledkom je nekonečný desatinný zlomok. V takýchto prípadoch prejdeme k obyčajným zlomkom.

Napríklad 2,8: 0,09= 28/10: 9/100= 28*100/10*9=2800/90=280/9= 31 1/9 .