Nájdime diskriminant rovnice 4ac. Korene kvadratickej rovnice

Diskriminant je viachodnotový pojem. V tomto článku si povieme niečo o diskriminante polynómu, ktorý vám umožňuje určiť, či daný polynóm má platné riešenia. Vzorec pre kvadratický polynóm nájdete v školskom kurze algebry a analýzy. Ako nájsť diskriminanta? Čo je potrebné na vyriešenie rovnice?

Kvadratický polynóm alebo rovnica druhého stupňa sa nazýva i * w ^ 2 + j * w + k sa rovná 0, kde „i“ a „j“ sú prvý a druhý koeficient, „k“ je konštanta, niekedy nazývaná „odmietavý výraz“ a „w“ je premenná. Jeho koreňmi budú všetky hodnoty premennej, pri ktorej sa zmení na identitu. Takáto rovnosť môže byť prepísaná ako súčin i, (w - w1) a (w - w2) rovný 0. V tomto prípade je zrejmé, že ak koeficient „i“ nebude nulový, potom funkcia na ľavá strana sa stane nulou iba vtedy, ak x nadobudne hodnotu w1 alebo w2. Tieto hodnoty sú výsledkom nastavenia polynómu na nulu.

Na nájdenie hodnoty premennej, pri ktorej kvadratický polynóm zaniká, sa používa pomocná konštrukcia postavená na jej koeficientoch a nazývaná diskriminant. Tento dizajn sa vypočíta podľa vzorca D sa rovná j * j - 4 * i * k. Prečo sa používa?

1. Hovorí, či existujú platné výsledky.
2. Pomáha ich vypočítať.

Ako táto hodnota ukazuje prítomnosť skutočných koreňov:

• Ak je kladná, potom v oblasti reálnych čísel možno nájsť dva korene.
• Ak je diskriminant nula, potom sú obe riešenia rovnaké. Dá sa povedať, že existuje len jedno riešenie, a to z oblasti reálnych čísel.
• Ak je diskriminačný menej ako nula, potom polynóm nemá skutočné korene.

Možnosti výpočtu pre zabezpečenie materiálu

Pre súčet (7 * w^2; 3 * w; 1) rovný 0 Vypočítame D pomocou vzorca 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28, dostaneme -19. Diskriminačná hodnota pod nulou znamená, že na skutočnom riadku nie sú žiadne výsledky.

Ak vezmeme do úvahy 2 * w^2 - 3 * w + 1 ekvivalentné 0, potom sa D vypočíta ako (-3) na druhú mínus súčin čísel (4; 2; 1) a rovná sa 9 - 8, teda 1. Kladná hodnota označuje dva výsledky na reálnej čiare.

Ak vezmeme súčet (w ^ 2; 2 * w; 1) a prirovnáme ho k 0, D sa vypočíta ako dve mocniny mínus súčin čísel (4; 1; 1). Tento výraz sa zjednoduší na 4 - 4 a pôjde na nulu. Ukazuje sa, že výsledky sú rovnaké. Ak sa pozriete pozorne na tento vzorec, bude jasné, že ide o „úplný štvorec“. To znamená, že rovnosť možno prepísať do tvaru (w + 1) ^ 2 = 0. Ukázalo sa, že výsledok v tejto úlohe je „-1“. V situácii, keď sa D rovná 0, ľavá strana rovnosti môže byť vždy zbalená pomocou vzorca „štvorec súčtu“.

Použitie diskriminantu pri výpočte koreňov

Táto pomocná konštrukcia ukazuje nielen počet reálnych riešení, ale pomáha ich aj nájsť. Všeobecný vzorec Výpočet pre rovnicu druhého stupňa je:

w = (-j +/- d) / (2 * i), kde d je diskriminant k mocnine 1/2.

Povedzme, že diskriminant je pod nulou, potom d je imaginárne a výsledky sú imaginárne.

D je nula, potom d rovné D mocnine 1/2 je tiež nula. Riešenie: -j / (2 * i). Ak opäť zvážime 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, nájdeme výsledky ekvivalentné -2 / (2 * 1) = -1.

Predpokladajme, že D > 0, potom d je reálne číslo a odpoveď sa rozdelí na dve časti: w1 = (-j + d) / (2 * i) a w2 = (-j - d) / (2 * i ). Oba výsledky budú platné. Pozrime sa na 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Tu sú diskriminanty a d jedničky. Ukazuje sa, že w1 sa rovná (3 + 1) delené (2 * 2) alebo 1 a w2 sa rovná (3 - 1) delené 2 * 2 alebo 1/2.

Výsledok prirovnania kvadratického výrazu k nule sa vypočíta podľa algoritmu:

1. Určenie počtu platných riešení.
2. Výpočet d = D^(1/2).
3. Nájdenie výsledku podľa vzorca (-j +/- d) / (2 * i).
4. Nahradením získaného výsledku do pôvodnej rovnosti na overenie.

Niektoré špeciálne prípady

V závislosti od koeficientov môže byť riešenie trochu zjednodušené. Je zrejmé, že ak je koeficient premennej k druhej mocnine nula, potom sa získa lineárna rovnosť. Keď je koeficient premennej k prvej mocnine nula, potom sú možné dve možnosti:

1. polynóm sa rozšíri na rozdiel druhých mocnín, keď je voľný člen záporný;
2. pre kladnú konštantu nemožno nájsť žiadne skutočné riešenia.

Ak je voľný člen nula, korene budú (0; -j)

Existujú však aj iné špeciálne prípady, ktoré zjednodušujú hľadanie riešenia.

Znížená rovnica druhého stupňa

Dané je tzv taký kvadratická trojčlenka, kde koeficient pred vedúcim výrazom je jedna. Pre túto situáciu platí Vietov teorém, ktorý hovorí, že súčet koreňov sa rovná koeficientu premennej k prvej mocnine, vynásobenému -1, a súčin zodpovedá konštante „k“.

Preto w1 + w2 sa rovná -j a w1 * w2 sa rovná k, ak je prvý koeficient jedna. Na overenie správnosti tohto zobrazenia môžete z prvého vzorca vyjadriť w2 = -j - w1 a dosadiť ho do druhej rovnosti w1 * (-j - w1) = k. Výsledkom je pôvodná rovnosť w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.

Je dôležité poznamenať, že i * w ^ 2 + j * w + k = 0 možno dosiahnuť delením „i“. Výsledok bude: w^2 + j1 * w + k1 = 0, kde j1 sa rovná j/i a k1 sa rovná k/i.

Pozrime sa na už vyriešené 2 * w^2 - 3 * w + 1 = 0 s výsledkami w1 = 1 a w2 = 1/2. Musíme to rozdeliť na polovicu, ako výsledok w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Skontrolujte, či sú podmienky vety pravdivé pre nájdené výsledky: 1 + 1/2 = 3/ 2 a 1 x 1/2 = 1/2.

Dokonca aj druhý faktor

Ak je faktor premennej k prvej mocnine (j) deliteľný 2, potom bude možné vzorec zjednodušiť a hľadať riešenie cez štvrtinu diskriminantu D/4 = (j / 2) ^ 2 - i * k. ukazuje sa w = (-j +/- d/2) / i, kde d/2 = D/4 na mocninu 1/2.

Ak i = 1 a koeficient j je párny, potom riešenie bude súčinom -1 a polovice koeficientu premennej w, plus/mínus odmocnina druhej mocniny tejto polovice mínus konštanta „k“. Vzorec: w = -j/2 +/- (j^2/4 - k)^1/2.

Vyššie diskriminačné poradie

Diskriminant trinomu druhého stupňa diskutovaný vyššie je najčastejšie používaným špeciálnym prípadom. Vo všeobecnom prípade je diskriminant polynómu vynásobené štvorce rozdielov koreňov tohto polynómu. Preto diskriminant rovný nule označuje prítomnosť aspoň dvoch viacnásobných riešení.

Uvažujme i * w^3 + j * w^2 + k * w + m = 0.

D = j^2 * k^2 - 4 * i * k^3 - 4 * i^3 * k - 27 * i^2 * m^2 + 18 * i * j * k * m.

Predpokladajme, že diskriminant presahuje nulu. To znamená, že v oblasti reálnych čísel sú tri korene. Pri nule existuje viacero riešení. Ak D< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.

Video

Naše video vám podrobne povie o výpočte diskriminantu.

Nedostali ste odpoveď na svoju otázku? Navrhnite autorom tému.

V rámci celého učiva školskej algebry je jednou z najrozsiahlejších tém téma kvadratických rovníc. Kvadratická rovnica sa v tomto prípade chápe ako rovnica v tvare ax 2 + bx + c = 0, kde a ≠ 0 (čítaj: a vynásobené x na druhú plus be x plus ce sa rovná nule, kde a nie je rovná nule). Hlavné miesto v tomto prípade zaujímajú vzorce na nájdenie diskriminantu kvadratickej rovnice špecifikovaného typu, ktorý sa chápe ako výraz, ktorý umožňuje určiť prítomnosť alebo neprítomnosť koreňov kvadratickej rovnice, ako aj ich číslo (ak existuje).

Vzorec (rovnica) diskriminantu kvadratickej rovnice

Všeobecne akceptovaný vzorec pre diskriminant kvadratickej rovnice je nasledovný: D = b 2 – 4ac. Výpočtom diskriminantu pomocou zadaného vzorca môžete nielen určiť prítomnosť a počet koreňov kvadratickej rovnice, ale aj zvoliť metódu hľadania týchto koreňov, ktorých je v závislosti od typu kvadratickej rovnice niekoľko.

Čo to znamená, ak je diskriminant nulový \ Vzorec pre korene kvadratickej rovnice, ak je diskriminant nulový

Diskriminant, ako vyplýva zo vzorca, je označený latinské písmeno D. V prípade, že sa diskriminant rovná nule, treba dospieť k záveru, že kvadratická rovnica v tvare ax 2 + bx + c = 0, kde a ≠ 0, má iba jeden koreň, ktorý sa vypočíta pomocou zjednodušeného vzorca . Tento vzorec platí len vtedy, keď je diskriminant nulový a vyzerá takto: x = –b/2a, kde x je koreň kvadratickej rovnice, b a a sú zodpovedajúce premenné kvadratickej rovnice. Ak chcete nájsť koreň kvadratickej rovnice, musíte vydeliť zápornú hodnotu premennej b dvojnásobkom hodnoty premennej a. Výsledný výraz bude riešením kvadratickej rovnice.

Riešenie kvadratickej rovnice pomocou diskriminantu

Ak sa pri výpočte diskriminantu pomocou vyššie uvedeného vzorca ukáže kladná hodnota(D je väčšie ako nula), potom má kvadratická rovnica dva korene, ktoré sa vypočítajú pomocou nasledujúcich vzorcov: x 1 = (–b + vD)/2a, x 2 = (–b – vD)/2a. Najčastejšie sa diskriminant nevypočítava samostatne, ale radikálne vyjadrenie vo forme diskriminačného vzorca sa jednoducho dosadí do hodnoty D, z ktorej sa extrahuje koreň. Ak má premenná b párnu hodnotu, potom na výpočet koreňov kvadratickej rovnice v tvare ax 2 + bx + c = 0, kde a ≠ 0, môžete použiť aj tieto vzorce: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a, x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, kde k = b/2.

V niektorých prípadoch na praktické riešenie kvadratických rovníc môžete použiť Vietovu vetu, ktorá hovorí, že pre súčet koreňov kvadratickej rovnice tvaru x 2 + px + q = 0 je hodnota x 1 + x 2 = –p bude pravdivé a pre súčin koreňov zadanej rovnice – výraz x 1 x x 2 = q.

Môže byť diskriminant menší ako nula?

Pri výpočte diskriminačnej hodnoty sa môžete stretnúť so situáciou, ktorá nespadá pod žiadny z popísaných prípadov – keď má diskriminant zápornú hodnotu (teda menšiu ako nulu). V tomto prípade sa všeobecne uznáva, že kvadratická rovnica v tvare ax 2 + bx + c = 0, kde a ≠ 0, nemá reálne korene, preto sa jej riešenie obmedzí na výpočet diskriminantu a vyššie uvedené vzorce lebo korene kvadratickej rovnice nebudú platiť v tomto prípade budú. Zároveň je v odpovedi na kvadratickú rovnicu napísané, že „rovnica nemá žiadne skutočné korene“.

Vysvetľujúce video:

Viac jednoduchým spôsobom. Ak to chcete urobiť, vložte z zo zátvoriek. Dostanete: z(аz + b) = 0. Faktory môžu byť napísané: z=0 a аz + b = 0, keďže výsledkom oboch môže byť nula. V zápise az + b = 0 posunieme druhého doprava s iným znamienkom. Odtiaľ dostaneme z1 = 0 a z2 = -b/a. Toto sú korene originálu.

Ak existuje neúplná rovnica tvaru аz² + с = 0, v tomto prípade sa nájdu jednoduchým prevodom voľného člena na pravá strana rovnice Zmeňte aj jeho znamenie. Výsledkom bude az² = -с. Vyjadrite z² = -c/a. Vezmite odmocninu a napíšte dve riešenia - kladnú a zápornú druhú odmocninu.

Poznámka

Ak sú v rovnici zlomkové koeficienty, vynásobte celú rovnicu príslušným faktorom, aby ste sa zlomkov zbavili.

Vedomosti, ako sa rozhodnúť kvadratické rovnice, je potrebná pre školákov aj študentov, niekedy môže pomôcť aj dospelému v bežnom živote. Existuje niekoľko špecifických metód riešenia.

Riešenie kvadratických rovníc

Kvadratická rovnica tvaru a*x^2+b*x+c=0. Koeficient x je požadovaná premenná, a, b, c sú číselné koeficienty. Pamätajte, že znamienko „+“ sa môže zmeniť na znamienko „-“.

S cieľom rozhodnúť daná rovnica, musíte použiť Vietovu vetu alebo nájsť diskriminant. Najbežnejšou metódou je nájsť diskriminant, keďže pre niektoré hodnoty a, b, c nie je možné použiť Vietovu vetu.

Ak chcete nájsť diskriminant (D), musíte napísať vzorec D=b^2 - 4*a*c. Hodnota D môže byť väčšia, menšia alebo rovná nule. Ak je D väčšie alebo menšie ako nula, potom budú dva korene, ak D = 0, zostane iba jeden koreň, presnejšie môžeme povedať, že D má v tomto prípade dva ekvivalentné korene. Dosaďte do vzorca známe koeficienty a, b, c a vypočítajte hodnotu.

Potom, čo ste našli diskriminant, použite vzorce na nájdenie x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, kde sqrt je funkcia, ktorá znamená získanie druhej odmocniny daného čísla. Po výpočte týchto výrazov nájdete dva korene vašej rovnice, po ktorých sa rovnica považuje za vyriešenú.

Ak je D menšie ako nula, potom má stále korene. Táto sekcia sa v škole prakticky neštuduje. Vysokoškoláci by si mali uvedomiť, že pod odmocninou sa objavuje záporné číslo. Zbavia sa ho zvýraznením imaginárnej časti, čiže -1 pod odmocninou sa vždy rovná imaginárnemu prvku „i“, ktorý sa vynásobí odmocninou s rovnakým kladným číslom. Napríklad, ak D=sqrt(-20), po transformácii dostaneme D=sqrt(20)*i. Po tejto transformácii sa riešenie rovnice zredukuje na rovnaké nájdenie koreňov, ako je opísané vyššie.

Vietov teorém pozostáva z výberu hodnôt x(1) a x(2). Používajú sa dve rovnaké rovnice: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. A veľmi dôležitý bod je znamienko pred koeficientom b, nezabudnite, že toto znamienko je opačné ako v rovnici. Na prvý pohľad sa zdá, že výpočet x(1) a x(2) je veľmi jednoduchý, no pri riešení sa stretnete s tým, že budete musieť vyberať čísla.

Prvky riešenia kvadratických rovníc

Podľa pravidiel matematiky sa niektoré dajú faktorizovať: (a+x(1))*(b-x(2))=0, ak sa vám podarilo pretransformovať túto kvadratickú rovnicu podobným spôsobom pomocou matematických vzorcov, tak pokojne napíšte odpoveď. x(1) a x(2) sa budú rovnať susedným koeficientom v zátvorkách, ale s opačným znamienkom.

Tiež nezabudnite na neúplné kvadratické rovnice. Možno vám chýbajú niektoré výrazy; ak áno, potom sú všetky jeho koeficienty jednoducho rovné nule. Ak pred x^2 alebo x nie je nič, potom sa koeficienty a a b rovnajú 1.

Napríklad pre trojčlenku \(3x^2+2x-7\) bude diskriminant rovný \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). A pre trojčlenku \(x^2-5x+11\) sa bude rovnať \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

Diskriminant sa označuje ako \(D\) a často sa používa pri riešení. Tiež podľa hodnoty diskriminantu môžete pochopiť, ako približne vyzerá graf (pozri nižšie).

Diskriminant a korene kvadratickej rovnice

Diskriminačná hodnota ukazuje počet kvadratických rovníc:
- ak je \(D\) kladné, rovnica bude mať dva korene;
- ak sa \(D\) rovná nule – existuje len jeden koreň;
- ak je \(D\) záporné, neexistujú žiadne korene.

Toto nie je potrebné učiť, nie je ťažké dospieť k takémuto záveru, stačí vedieť, že z diskriminantu (teda \(\sqrt(D)\) je zahrnuté vo vzorci na výpočet koreňov kvadratickej rovnica: \(x_(1)=\)\( \frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) a \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt( D))(2a)\) Pozrime sa na každý prípad podrobnejšie.

Ak je diskriminant pozitívny

V tomto prípade je jeho koreň nejaké kladné číslo, čo znamená, že \(x_(1)\) a \(x_(2)\) budú mať rôzny význam, pretože v prvom vzorci \(\sqrt(D)\ ) sa pridáva a v druhom sa odčítava. A máme dva rôzne korene.

Príklad : Nájdite korene rovnice \(x^2+2x-3=0\)
Riešenie :

Odpoveď : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

Ak je diskriminant nulový

Koľko koreňov bude, ak bude diskriminant nulový? Uvažujme.

Koreňové vzorce vyzerajú takto: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) a \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . A ak je diskriminant nulový, potom jeho koreň je tiež nula. Potom sa ukáže:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

To znamená, že hodnoty koreňov rovnice budú rovnaké, pretože pridanie alebo odčítanie nuly nič nezmení.

Príklad : Nájdite korene rovnice \(x^2-4x+4=0\)
Riešenie :

\(x^2-4x+4=0\)		Vypíšeme koeficienty:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		Diskriminant vypočítame pomocou vzorca \(D=b^2-4ac\)
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		Hľadanie koreňov rovnice
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		Dostali sme dva rovnaké korene, takže nemá zmysel ich písať oddelene – píšeme ich ako jeden.

Odpoveď : \(x=2\)

V pokračovaní témy „Riešenie rovníc“ vám materiál v tomto článku predstaví kvadratické rovnice.

Pozrime sa na všetko podrobne: podstatu a zápis kvadratickej rovnice, definujte sprievodné pojmy, analyzujte schému riešenia neúplných a úplných rovníc, zoznámte sa so vzorcom koreňov a diskriminantu, vytvorte súvislosti medzi koreňmi a koeficientmi, a samozrejme dáme aj názorné riešenie praktických príkladov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadratická rovnica, jej typy

Definícia 1

Kvadratická rovnica je rovnica napísaná ako a x 2 + b x + c = 0, Kde X– premenné, a , b a c– niektoré čísla, kým a nie je nula.

Kvadratické rovnice sa často nazývajú aj rovnice druhého stupňa, pretože kvadratická rovnica je v podstate algebraická rovnica druhého stupňa.

Uveďme príklad na ilustráciu danej definície: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 atď. Toto sú kvadratické rovnice.

Definícia 2

Čísla a, b a c sú koeficienty kvadratickej rovnice a x 2 + b x + c = 0, pričom koeficient a sa nazýva prvý, alebo senior, alebo koeficient pri x 2, b - druhý koeficient, alebo koeficient pri X, A c nazývaný voľný člen.

Napríklad v kvadratickej rovnici 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 vodiaci koeficient je 6, druhý koeficient je − 2 , a voľný termín sa rovná − 11 . Venujme pozornosť tomu, že keď koeficienty b a/alebo c sú záporné, potom použite krátka forma záznamy ako 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, ale nie 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Ujasnime si aj tento aspekt: ​​ak koeficienty a a/alebo b rovný 1 alebo − 1 , potom sa nemôžu explicitne podieľať na písaní kvadratickej rovnice, čo sa vysvetľuje zvláštnosťami zápisu uvedených číselných koeficientov. Napríklad v kvadratickej rovnici y2 − y + 7 = 0 vodiaci koeficient je 1 a druhý koeficient je − 1 .

Redukované a neredukované kvadratické rovnice

Na základe hodnoty prvého koeficientu sa kvadratické rovnice delia na redukované a neredukované.

Definícia 3

Redukovaná kvadratická rovnica je kvadratická rovnica, kde vodiaci koeficient je 1. Pre ostatné hodnoty vedúceho koeficientu je kvadratická rovnica neredukovaná.

Uveďme príklady: kvadratické rovnice x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 sú redukované, v každej z nich je vodiaci koeficient 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- neredukovaná kvadratická rovnica, kde prvý koeficient je odlišný od 1 .

Akákoľvek neredukovaná kvadratická rovnica môže byť prevedená na redukovanú rovnicu vydelením oboch strán prvým koeficientom (ekvivalentná transformácia). Transformovaná rovnica bude mať rovnaké korene ako daná neredukovaná rovnica alebo tiež nebude mať žiadne korene.

Úvaha konkrétny príklad nám umožní názorne demonštrovať prechod z neredukovanej kvadratickej rovnice na redukovanú.

Príklad 1

Vzhľadom na rovnicu 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Pôvodnú rovnicu je potrebné previesť do redukovanej podoby.

Riešenie

Podľa vyššie uvedenej schémy vydelíme obe strany pôvodnej rovnice vodiacim koeficientom 6. Potom dostaneme: (6 x 2 + 18 x − 7): 3 = 0: 3 a toto je to isté ako: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 a ďalej: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. Odtiaľ: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Takto sa získa rovnica ekvivalentná danej rovnici.

odpoveď: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Úplné a neúplné kvadratické rovnice

Prejdime k definícii kvadratickej rovnice. V ňom sme to špecifikovali a ≠ 0. Podobná podmienka je potrebná pre rovnicu a x 2 + b x + c = 0 bol presne štvorcový, keďže o hod a = 0 v podstate sa premieňa na lineárna rovnica b x + c = 0.

V prípade, že koeficienty b A c sa rovnajú nule (čo je možné jednotlivo aj spoločne), kvadratická rovnica sa nazýva neúplná.

Definícia 4

Neúplná kvadratická rovnica- taká kvadratická rovnica a x 2 + b x + c = 0, kde je aspoň jeden z koeficientov b A c(alebo oboje) je nula.

Kompletná kvadratická rovnica– kvadratická rovnica, v ktorej sa všetky číselné koeficienty nerovnajú nule.

Poďme diskutovať o tom, prečo sa typom kvadratických rovníc dávajú práve tieto názvy.

Keď b = 0, kvadratická rovnica nadobúda tvar a x 2 + 0 x + c = 0, ktorý je rovnaký ako a x 2 + c = 0. O c = 0 kvadratická rovnica je napísaná ako a x 2 + b x + 0 = 0, čo je ekvivalentné a x 2 + b x = 0. O b = 0 A c = 0 rovnica bude mať tvar a x 2 = 0. Rovnice, ktoré sme získali, sa líšia od úplnej kvadratickej rovnice tým, že ich ľavé strany neobsahujú ani člen s premennou x, ani voľný člen, ani oboje. V skutočnosti táto skutočnosť dala tomuto typu rovnice názov – neúplná.

Napríklad x 2 + 3 x + 4 = 0 a − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 sú úplné kvadratické rovnice; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – neúplné kvadratické rovnice.

Riešenie neúplných kvadratických rovníc

Vyššie uvedená definícia umožňuje rozlíšiť nasledujúce typy neúplných kvadratických rovníc:

• a x 2 = 0, táto rovnica zodpovedá koeficientom b = 0 a c = 0;
• a x2 + c = 0 pri b = 0;
• a x 2 + b x x = 0 pri c = 0.

Uvažujme postupne o riešení každého typu neúplnej kvadratickej rovnice.

Riešenie rovnice a x 2 =0

Ako bolo uvedené vyššie, táto rovnica zodpovedá koeficientom b A c, rovná nule. Rovnica a x 2 = 0 možno previesť na ekvivalentnú rovnicu x 2 = 0, ktorý dostaneme vydelením oboch strán pôvodnej rovnice číslom a, nerovná sa nule. Zjavným faktom je, že koreň rovnice x 2 = 0 toto je nula, pretože 0 2 = 0 . Táto rovnica nemá žiadne iné korene, čo možno vysvetliť vlastnosťami stupňa: pre ľubovoľné číslo p, nie rovná nule, nerovnosť je pravdivá p2 > 0, z ktorého vyplýva, že kedy p ≠ 0 rovnosť p2 = 0 sa nikdy nedosiahne.

Definícia 5

Pre neúplnú kvadratickú rovnicu a x 2 = 0 teda existuje jeden koreň x = 0.

Príklad 2

Napríklad vyriešme neúplnú kvadratickú rovnicu − 3 x 2 = 0. Je ekvivalentná rovnici x 2 = 0, jej jediným koreňom je x = 0, potom má pôvodná rovnica jediný koreň - nulu.

Stručne povedané, riešenie je napísané takto:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Riešenie rovnice a x 2 + c = 0

Ďalšie v poradí je riešenie neúplných kvadratických rovníc, kde b = 0, c ≠ 0, teda rovnice tvaru a x 2 + c = 0. Transformujme túto rovnicu presunutím člena z jednej strany rovnice na druhú, zmenou znamienka na opačnú stranu a vydelením oboch strán rovnice číslom, ktoré sa nerovná nule:

• prevod c na pravú stranu, čo dáva rovnicu a x 2 = − c;
• vydeľte obe strany rovnice a, skončíme s x = - c a .

Naše transformácie sú ekvivalentné, teda aj výsledná rovnica je ekvivalentná pôvodnej a táto skutočnosť umožňuje vyvodiť závery o koreňoch rovnice. Z toho, aké sú hodnoty a A c hodnota výrazu - c a závisí: môže mať znamienko mínus (napríklad ak a = 1 A c = 2, potom - c a = - 2 1 = - 2) alebo znamienko plus (napríklad ak a = - 2 A c = 6 potom - ca = - 6 - 2 = 3); nie je to nula, pretože c ≠ 0. Zastavme sa podrobnejšie pri situáciách, keď - c a< 0 и - c a > 0 .

V prípade, keď - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p rovnosť p 2 = - c a nemôže byť pravdivá.

Všetko je iné, keď - c a > 0: zapamätajte si druhú odmocninu a bude zrejmé, že koreň rovnice x 2 = - c a bude číslo - c a, keďže - c a 2 = - c a. Nie je ťažké pochopiť, že číslo - - c a je tiež koreňom rovnice x 2 = - c a: skutočne - - c a 2 = - c a.

Rovnica nebude mať žiadne iné korene. Môžeme to demonštrovať pomocou metódy protirečenia. Na začiatok si definujme zápisy pre korene nájdené vyššie ako x 1 A − x 1. Predpokladajme, že aj rovnica x 2 = - c a má koreň x 2, ktorý sa líši od koreňov x 1 A − x 1. Poznáme to dosadením do rovnice X jej korene, transformujeme rovnicu na spravodlivú číselnú rovnosť.

Pre x 1 A − x 1 píšeme: x 1 2 = - c a , a pre x 2- x 2 2 = - c a . Na základe vlastností číselných rovníc odčítame jeden správny člen rovnosti po člene od druhého, čím získame: x 1 2 − x 2 2 = 0. Vlastnosti operácií s číslami využívame na prepísanie poslednej rovnosti ako (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Je známe, že súčin dvoch čísel je nula vtedy a len vtedy, ak aspoň jedno z čísel je nula. Z uvedeného vyplýva, že x 1 − x 2 = 0 a/alebo x 1 + x 2 = 0, čo je to isté x 2 = x 1 a/alebo x 2 = − x 1. Vznikol zjavný rozpor, pretože najprv sa zhodlo, že koreň rovnice x 2 sa líši od x 1 A − x 1. Takže sme dokázali, že rovnica nemá iné korene ako x = - ca a x = - - c a.

Zhrňme si všetky vyššie uvedené argumenty.

Definícia 6

Neúplná kvadratická rovnica a x 2 + c = 0 je ekvivalentná rovnici x 2 = - c a, ktorá:

• nebude mať korene v - c a< 0 ;
• bude mať dva korene x = - ca a x = - - c a pre - c a > 0.

Uveďme príklady riešenia rovníc a x 2 + c = 0.

Príklad 3

Daná kvadratická rovnica 9 x 2 + 7 = 0. Je potrebné nájsť riešenie.

Riešenie

Presuňme voľný člen na pravú stranu rovnice, potom rovnica nadobudne tvar 9 x 2 = - 7.
Vydelme obe strany výslednej rovnice o 9 , dospejeme k x 2 = - 7 9 . Na pravej strane vidíme číslo so znamienkom mínus, čo znamená: y daná rovnicažiadne korene. Potom pôvodná neúplná kvadratická rovnica 9 x 2 + 7 = 0 nebude mať korene.

odpoveď: rovnica 9 x 2 + 7 = 0 nemá korene.

Príklad 4

Je potrebné vyriešiť rovnicu − x 2 + 36 = 0.

Riešenie

Presuňme sa o 36 na pravú stranu: − x 2 = − 36.
Rozdeľme obe časti podľa − 1 , dostaneme x 2 = 36. Na pravej strane je kladné číslo, z čoho to môžeme usúdiť x = 36 resp x = -36.
Vyberme koreň a zapíšme si konečný výsledok: neúplná kvadratická rovnica − x 2 + 36 = 0 má dva korene x=6 alebo x = − 6.

odpoveď: x=6 alebo x = − 6.

Riešenie rovnice a x 2 +b x=0

Analyzujme tretí typ neúplných kvadratických rovníc, keď c = 0. Nájsť riešenie neúplnej kvadratickej rovnice a x 2 + b x = 0, použijeme metódu faktorizácie. Rozložme polynóm, ktorý je na ľavej strane rovnice, a vyberme spoločný faktor zo zátvoriek X. Tento krok umožní transformovať pôvodnú neúplnú kvadratickú rovnicu na jej ekvivalent x (a x + b) = 0. A táto rovnica je zase ekvivalentná množine rovníc x = 0 A a x + b = 0. Rovnica a x + b = 0 lineárny a jeho koreň: x = − b a.

Definícia 7

Teda neúplná kvadratická rovnica a x 2 + b x = 0 bude mať dva korene x = 0 A x = − b a.

Posilnime materiál príkladom.

Príklad 5

Je potrebné nájsť riešenie rovnice 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Riešenie

Vytiahneme to X mimo zátvorky dostaneme rovnicu x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Táto rovnica je ekvivalentná s rovnicami x = 0 a 2 3 x - 2 2 7 = 0. Teraz by ste mali vyriešiť výslednú lineárnu rovnicu: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Stručne napíšte riešenie rovnice takto:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 alebo 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 alebo x = 3 3 7

odpoveď: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminant, vzorec pre korene kvadratickej rovnice

Na nájdenie riešení kvadratických rovníc existuje koreňový vzorec:

Definícia 8

x = - b ± D 2 · a, kde D = b 2 − 4 a c– takzvaný diskriminant kvadratickej rovnice.

Zápis x = - b ± D 2 · a v podstate znamená, že x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Bolo by užitočné pochopiť, ako bol tento vzorec odvodený a ako ho aplikovať.

Odvodenie vzorca pre korene kvadratickej rovnice

Postavme sa pred úlohu vyriešiť kvadratickú rovnicu a x 2 + b x + c = 0. Urobme niekoľko ekvivalentných transformácií:

• vydeľte obe strany rovnice číslom a, odlišné od nuly, dostaneme nasledujúcu kvadratickú rovnicu: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• Vyberme celý štvorec na ľavej strane výslednej rovnice:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
  Potom rovnica nadobudne tvar: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Teraz je možné preniesť posledné dva pojmy na pravú stranu, pričom znamienko zmeníme na opačné, po čom dostaneme: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Nakoniec transformujeme výraz napísaný na pravej strane poslednej rovnosti:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Dostávame sa teda k rovnici x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , ekvivalentnej pôvodnej rovnici a x 2 + b x + c = 0.

Riešenie takýchto rovníc sme skúmali v predchádzajúcich odsekoch (riešenie neúplných kvadratických rovníc). Už získané skúsenosti umožňujú vyvodiť záver o koreňoch rovnice x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• s b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• keď b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, rovnica je x + b 2 · a 2 = 0, potom x + b 2 · a = 0.

Odtiaľ je zrejmý jediný koreň x = - b 2 · a;

• pre b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 bude platiť nasledovné: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 alebo x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , čo je rovnaké ako x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 alebo x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, t.j. rovnica má dva korene.

Je možné dospieť k záveru, že prítomnosť alebo neprítomnosť koreňov rovnice x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (a teda pôvodnej rovnice) závisí od znamienka výrazu b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 napísané na pravej strane. A znak tohto výrazu je daný znakom čitateľa (menovateľ 4 a 2 bude vždy kladný), teda znak výrazu b 2 − 4 a c. Tento výraz b 2 − 4 a c je uvedený názov - diskriminant kvadratickej rovnice a písmeno D je definované ako jej označenie. Tu môžete napísať podstatu diskriminantu - na základe jeho hodnoty a znamienka môžu usúdiť, či kvadratická rovnica bude mať skutočné korene, a ak áno, aký je počet koreňov - jeden alebo dva.

Vráťme sa k rovnici x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Prepíšme to pomocou diskriminačného zápisu: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Znova sformulujme naše závery:

Definícia 9

• pri D< 0 rovnica nemá skutočné korene;
• pri D = 0 rovnica má jeden koreň x = - b 2 · a ;
• pri D > 0 rovnica má dva korene: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 alebo x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Na základe vlastností radikálov možno tieto korene zapísať v tvare: x = - b 2 · a + D 2 · a alebo - b 2 · a - D 2 · a. A keď otvoríme moduly a zlomky privedieme k spoločnému menovateľovi, dostaneme: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Takže výsledkom našej úvahy bolo odvodenie vzorca pre korene kvadratickej rovnice:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminant D vypočítané podľa vzorca D = b 2 − 4 a c.

Tieto vzorce umožňujú určiť oba skutočné korene, keď je diskriminant väčší ako nula. Keď je diskriminant nulový, použitím oboch vzorcov sa získa rovnaký koreň, ako jediné rozhodnutie kvadratická rovnica. V prípade, že je diskriminant záporný, ak sa pokúsime použiť vzorec pre koreň kvadratickej rovnice, budeme čeliť potrebe extrahovať Odmocnina zo záporného čísla, čím sa dostaneme za reálne čísla. O negatívny diskriminant Kvadratická rovnica nebude mať skutočné korene, ale je možný pár komplexne konjugovaných koreňov, určených rovnakými koreňovými vzorcami, aké sme získali.

Algoritmus riešenia kvadratických rovníc pomocou koreňových vzorcov

Je možné vyriešiť kvadratickú rovnicu okamžite použitím koreňového vzorca, ale vo všeobecnosti sa to robí, keď je potrebné nájsť zložité korene.

Vo väčšine prípadov to zvyčajne znamená hľadanie nie komplexných, ale skutočných koreňov kvadratickej rovnice. Potom je optimálne pred použitím vzorcov pre korene kvadratickej rovnice najprv určiť diskriminant a uistiť sa, že nie je záporný (inak dôjdeme k záveru, že rovnica nemá žiadne skutočné korene), a potom pristúpiť k výpočtu hodnotu koreňov.

Vyššie uvedené úvahy umožňujú formulovať algoritmus na riešenie kvadratickej rovnice.

Definícia 10

Na vyriešenie kvadratickej rovnice a x 2 + b x + c = 0, potrebné:

• podľa vzorca D = b 2 − 4 a c nájsť diskriminačnú hodnotu;
• v D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• pre D = 0 nájdite jediný koreň rovnice pomocou vzorca x = - b 2 · a ;
• pre D > 0 určte dva reálne korene kvadratickej rovnice pomocou vzorca x = - b ± D 2 · a.

Všimnite si, že keď je diskriminant nulový, môžete použiť vzorec x = - b ± D 2 · a, dá to rovnaký výsledok ako vzorec x = - b 2 · a.

Pozrime sa na príklady.

Príklady riešenia kvadratických rovníc

Uveďme riešenia príkladov pre rôzne hodnoty diskriminantu.

Príklad 6

Musíme nájsť korene rovnice x 2 + 2 x − 6 = 0.

Riešenie

Zapíšme si číselné koeficienty kvadratickej rovnice: a = 1, b = 2 a c = - 6. Ďalej postupujeme podľa algoritmu, t.j. Začnime s výpočtom diskriminantu, za ktorý dosadíme koeficienty a, b A c do diskriminačného vzorca: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Takže dostaneme D > 0, čo znamená, že pôvodná rovnica bude mať dva skutočné korene.
Na ich nájdenie použijeme koreňový vzorec x = - b ± D 2 · a a dosadením zodpovedajúcich hodnôt dostaneme: x = - 2 ± 28 2 · 1. Zjednodušme výsledný výraz odstránením faktora z koreňového znamienka a následným zmenšením zlomku:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 alebo x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 alebo x = - 1 - 7

odpoveď: x = - 1 + 7, x = - 1 - 7.

Príklad 7

Treba vyriešiť kvadratickú rovnicu − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Riešenie

Definujme diskriminant: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Pri tejto hodnote diskriminantu bude mať pôvodná rovnica len jeden koreň, určený vzorcom x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

odpoveď: x = 3,5.

Príklad 8

Je potrebné vyriešiť rovnicu 5 y2 + 6 y + 2 = 0

Riešenie

Číselné koeficienty tejto rovnice budú: a = 5, b = 6 a c = 2. Na nájdenie diskriminantu použijeme tieto hodnoty: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Vypočítaný diskriminant je záporný, takže pôvodná kvadratická rovnica nemá žiadne skutočné korene.

V prípade, že úlohou je označiť komplexné korene, použijeme koreňový vzorec a vykonáme akcie s komplexnými číslami:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 alebo x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i alebo x = - 3 5 - 1 5 · i.

odpoveď: neexistujú žiadne skutočné korene; komplexné korene sú nasledovné: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

IN školské osnovy Neexistuje žiadna štandardná požiadavka na hľadanie komplexných koreňov, preto, ak sa pri riešení určí, že diskriminant je záporný, okamžite sa zapíše odpoveď, že neexistujú žiadne skutočné korene.

Koreňový vzorec pre párne sekundové koeficienty

Koreňový vzorec x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) umožňuje získať iný vzorec, kompaktnejší, umožňujúci nájsť riešenia kvadratických rovníc s párnym koeficientom pre x ( alebo s koeficientom v tvare 2 · n, napríklad 2 3 alebo 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Ukážme si, ako je tento vzorec odvodený.

Stojíme pred úlohou nájsť riešenie kvadratickej rovnice a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Postupujeme podľa algoritmu: určíme diskriminant D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) a potom použijeme koreňový vzorec:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a.

Označme výraz n 2 − a · c ako D 1 (niekedy sa označuje aj D "). Potom vzorec pre korene uvažovanej kvadratickej rovnice s druhým koeficientom 2 · n bude mať tvar:

x = - n ± D 1 a, kde D 1 = n 2 − a · c.

Je ľahké vidieť, že D = 4 · D 1 alebo D 1 = D 4. Inými slovami, D 1 je štvrtina diskriminantu. Je zrejmé, že znamienko D 1 je rovnaké ako znamienko D, čo znamená, že znamienko D 1 môže slúžiť aj ako indikátor prítomnosti alebo neprítomnosti koreňov kvadratickej rovnice.

Definícia 11

Na nájdenie riešenia kvadratickej rovnice s druhým koeficientom 2 n je teda potrebné:

• nájdite D 1 = n 2 − a · c ;
• v D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• keď D 1 = 0, určte jediný koreň rovnice pomocou vzorca x = - n a;
• pre D 1 > 0 určte dva skutočné korene pomocou vzorca x = - n ± D 1 a.

Príklad 9

Je potrebné vyriešiť kvadratickú rovnicu 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Riešenie

Druhý koeficient danej rovnice môžeme reprezentovať ako 2 · (− 3) . Potom danú kvadratickú rovnicu prepíšeme ako 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, kde a = 5, n = − 3 a c = − 32.

Vypočítajme štvrtú časť diskriminantu: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Výsledná hodnota je kladná, čo znamená, že rovnica má dva reálne korene. Určme ich pomocou zodpovedajúceho koreňového vzorca:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 alebo x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 alebo x = - 2

Bolo by možné vykonať výpočty pomocou obvyklého vzorca pre korene kvadratickej rovnice, ale v tomto prípade by bolo riešenie ťažkopádnejšie.

odpoveď: x = 315 alebo x = -2.

Zjednodušenie tvaru kvadratických rovníc

Niekedy je možné optimalizovať tvar pôvodnej rovnice, čo zjednoduší proces výpočtu koreňov.

Napríklad kvadratickú rovnicu 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 je jednoznačne vhodnejšie vyriešiť ako 1 200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Častejšie sa zjednodušenie tvaru kvadratickej rovnice vykonáva vynásobením alebo delením jej oboch strán určitým číslom. Napríklad vyššie sme ukázali zjednodušené znázornenie rovnice 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, získanej delením oboch strán číslom 100.

Takáto transformácia je možná, keď koeficienty kvadratickej rovnice nie sú navzájom základné čísla. Potom zvyčajne delíme obe strany rovnice najväčším spoločným deliteľom absolútnych hodnôt jej koeficientov.

Ako príklad použijeme kvadratickú rovnicu 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Určme GCD absolútnych hodnôt jeho koeficientov: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Vydelme obe strany pôvodnej kvadratickej rovnice 6 a získame ekvivalentnú kvadratickú rovnicu 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Vynásobením oboch strán kvadratickej rovnice sa zvyčajne zbavíte zlomkových koeficientov. V tomto prípade sa vynásobia najmenším spoločným násobkom menovateľov jeho koeficientov. Napríklad, ak sa každá časť kvadratickej rovnice 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 vynásobí LCM (6, 3, 1) = 6, zapíše sa viac v jednoduchej forme x 2 + 4 x − 18 = 0 .

Nakoniec si všimneme, že mínus na prvom koeficiente kvadratickej rovnice sa takmer vždy zbavíme zmenou znamienka každého člena rovnice, čo sa dosiahne vynásobením (alebo delením) oboch strán − 1. Napríklad z kvadratickej rovnice − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0 môžete prejsť na jej zjednodušenú verziu 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Vzťah medzi koreňmi a koeficientmi

Nám už známy vzorec pre korene kvadratických rovníc x = - b ± D 2 · a vyjadruje korene rovnice prostredníctvom jej číselných koeficientov. Na základe tohto vzorca máme možnosť špecifikovať ďalšie závislosti medzi koreňmi a koeficientmi.

Najznámejšie a použiteľné vzorce sú Vietov teorém:

x 1 + x 2 = - ba a x 2 = c a.

Konkrétne pre danú kvadratickú rovnicu je súčet koreňov druhým koeficientom s opačným znamienkom a súčin koreňov sa rovná voľnému členu. Napríklad pri pohľade na tvar kvadratickej rovnice 3 x 2 − 7 x + 22 = 0 je možné okamžite určiť, že súčet jej koreňov je 7 3 a súčin koreňov je 22 3.

Medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice môžete nájsť aj množstvo ďalších súvislostí. Napríklad súčet druhých mocnín koreňov kvadratickej rovnice možno vyjadriť pomocou koeficientov:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter