Delenie algebraických zlomkov. Násobenie a delenie algebraických zlomkov

V tomto článku pokračujeme v skúmaní základných operácií, ktoré je možné vykonávať s algebraickými zlomkami. Tu sa pozrieme na násobenie a delenie: najprv budeme odvodzovať potrebné pravidlá a potom ich ilustrujte riešeniami problémov.

Ako správne deliť a násobiť algebraické zlomky

Ak chcete vykonať násobenie algebraické zlomky alebo delením jedného zlomku druhým, musíme použiť rovnaké pravidlá ako pre obyčajné zlomky. Pripomeňme si ich znenie.

Keď potrebujeme vynásobiť jeden obyčajný zlomok druhým, vykonáme oddelené násobenie čitateľov a oddelených menovateľov, po ktorých zapíšeme konečný zlomok a umiestnime zodpovedajúce produkty na miesto. Príklad takéhoto výpočtu:

2 3 4 7 = 2 4 3 7 = 8 21

A keď potrebujeme rozdeliť obyčajné zlomky, urobíme to vynásobením prevráteným zlomkom deliteľa, napríklad:

2 3: 7 11 = 2 3 11 7 = 22 7 = 1 1 21

Násobenie a delenie algebraických zlomkov sa riadi rovnakými princípmi. Sformulujme pravidlo:

Definícia 1

Ak chcete vynásobiť dva alebo viac algebraických zlomkov, musíte násobiť čitateľov a menovateľov oddelene. Výsledkom bude zlomok, ktorého čitateľ bude súčinom čitateľov a menovateľ bude súčinom menovateľov.

V doslovnom tvare môže byť pravidlo napísané ako a b · c d = a · c b · d. Tu a, b, c a d bude reprezentovať určité polynómy a b a d nemôže byť nula.

Definícia 2

Ak chcete rozdeliť jeden algebraický zlomok druhým, musíte vynásobiť prvý zlomok prevráteným zlomkom druhého.

Toto pravidlo možno napísať aj ako a b: c d = a b · d c = a · d b · c. Písmená a, b, c a d tu znamená polynómy, z ktorých a, b, c a d nemôže byť nula.

Pozrime sa oddelene na to, čo je reverzný algebraický zlomok. Je to zlomok, ktorý po vynásobení pôvodným výsledkom vyjde jedna. To znamená, že takéto zlomky budú podobné recipročným číslam. V opačnom prípade môžeme povedať, že recipročný algebraický zlomok pozostáva z rovnakých hodnôt ako pôvodný, ale jeho čitateľ a menovateľ sa menia. Takže vo vzťahu k zlomku a · b + 1 a 3 bude zlomok a 3 a · b + 1 inverzný.

Riešenie úloh násobenia a delenia algebraických zlomkov

V tomto odseku sa pozrieme na to, ako správne aplikovať vyššie uvedené pravidlá v praxi. Začnime jednoduchým a jasným príkladom.

Príklad 1

podmienka: vynásobte zlomok 1 x + y 3 · x · y x 2 + 5 a potom vydeľte jeden zlomok druhým.

Riešenie

Najprv urobme násobenie. Podľa pravidla musíte čitateľov a menovateľov vynásobiť oddelene:

1 x + y 3 x y x 2 + 5 = 1 3 x y (x + y) (x 2 + 5)

Dostali sme nový polynóm, na ktorý je potrebné zredukovať štandardný pohľad. Dokončime výpočty:

1 3 x y (x + y) (x 2 + 5) = 3 x y x 3 + 5 x + x 2 y + 5 y

Teraz sa pozrime, ako správne rozdeliť jeden zlomok druhým. Podľa pravidla musíme túto akciu nahradiť vynásobením prevráteným zlomkom x 2 + 5 3 x x y:

1 x + y: 3 x y x 2 + 5 = 1 x + y x 2 + 5 3 x y

Zredukujeme výsledný zlomok na štandardný tvar:

1 x + y x 2 + 5 3 x y = 1 x 2 + 5 (x + y) 3 x y = x 2 + 5 3 x 2 y + 3 x y 2

odpoveď: 1 x + y 3 x y x 2 + 5 = 3 x y x 3 + 5 x + x 2 y + 5 y; 1 x + y: 3 x y x 2 + 5 = x 2 + 5 3 x 2 y + 3 x y 2.

Proces delenia a násobenia obyčajných zlomkov často vedie k výsledkom, ktoré možno skrátiť, napríklad 2 9 · 3 8 = 6 72 = 1 12. Keď robíme tieto veci s algebraickými zlomkami, môžeme tiež získať redukovateľné výsledky. Na tento účel je užitočné najprv rozložiť čitateľa a menovateľa pôvodného polynómu na samostatné faktory. V prípade potreby si znova prečítajte článok o tom, ako to urobiť správne. Pozrime sa na príklad problému, v ktorom budete musieť zmenšiť zlomky.

Príklad 2

podmienka: vynásobte zlomky x 2 + 2 · x + 1 18 · x 3 a 6 · x x 2 - 1 .

Riešenie

Pred výpočtom súčinu rozložme čitateľa prvého pôvodného zlomku a menovateľa druhého na faktor. Na to potrebujeme skrátené vzorce násobenia. Vypočítame:

x 2 + 2 x + 1 18 x 3 6 x x 2 - 1 = x + 1 2 18 x 3 6 x (x - 1) (x + 1) = x + 1 2 6 · x 18 · x 3 · x - 1 x + 1

Máme zlomok, ktorý možno znížiť:

x + 1 2 6 x 18 x 3 x - 1 x + 1 = x + 1 3 x 2 (x - 1)

O tom, ako sa to robí, sme písali v článku venovanom redukcii algebraických zlomkov.

Vynásobením monomiálu a polynómu v menovateli dostaneme výsledok, ktorý potrebujeme:

x + 1 3 x 2 (x - 1) = x + 1 3 x 3 - 3 x 2

Tu je prepis celého riešenia bez vysvetlenia:

x 2 + 2 x + 1 18 x 3 6 x x 2 - 1 = x + 1 2 18 x 3 6 x (x - 1) (x + 1) = x + 1 2 6 · x 18 · x 3 · x - 1 · x + 1 = = x + 1 3 · x 2 · (x - 1) = x + 1 3 · x 3 - 3 · x 2

odpoveď: x 2 + 2 x + 1 18 x 3 6 x x 2 - 1 = x + 1 3 x 3 - 3 x 2 .

V niektorých prípadoch je vhodné transformovať pôvodné zlomky pred násobením alebo delením, aby boli ďalšie výpočty rýchlejšie a jednoduchšie.

Príklad 3

podmienka: deliť 2 1 7 · x - 1 12 · x 7 - x .

Riešenie: Začnime zjednodušením algebraického zlomku 2 1 7 · x - 1, aby sme sa zbavili zlomkového koeficientu. Aby sme to dosiahli, vynásobíme obe časti zlomku siedmimi (táto akcia je možná vďaka hlavnej vlastnosti algebraického zlomku). V dôsledku toho dostaneme nasledovné:

2 1 7 x - 1 = 7 2 7 1 7 x - 1 = 14 x - 7

Vidíme, že menovateľ zlomku 12 x 7 - x, ktorým musíme deliť prvý zlomok, a menovateľ výsledného zlomku sú navzájom opačné výrazy. Zmenou znamienka čitateľa a menovateľa 12 x 7 - x dostaneme 12 x 7 - x = - 12 x x - 7.

Po všetkých transformáciách môžeme konečne prejsť priamo k deleniu algebraických zlomkov:

2 1 7 x - 1: 12 x 7 - x = 14 x - 7: - 12 x x - 7 = 14 x - 7 x - 7 - 12 x = 14 x - 7 x - 7 - 12 x = = 14 - 12 x = 2 7 - 2 2 3 x = 7 - 6 x = - 7 6 x

odpoveď: 2 1 7 x - 1: 12 x 7 - x = - 7 6 x .

Ako násobiť alebo deliť algebraický zlomok polynómom

Na vykonanie takejto akcie môžeme použiť rovnaké pravidlá, ktoré sme uviedli vyššie. Najprv musíte reprezentovať polynóm vo forme algebraického zlomku s jednotkou v menovateli. Táto akcia je podobná prevodu prirodzeného čísla na zlomok. Môžete napríklad nahradiť polynóm x 2 + x - 4 na x 2 + x − 4 1. Výsledné výrazy budú identicky rovnaké.

Príklad 4

podmienka: delte algebraický zlomok polynómom x + 4 5 · x · y: x 2 - 16.

Riešenie

x + 4 5 x y: x 2 - 16 = x + 4 5 x y: x 2 - 16 1 = x + 4 5 x y 1 x 2 - 16 = = x + 4 5 x y 1 (x - 4) x + 4 = (x + 4) 1 5 x y (x - 4) (x + 4) = 1 5 x y x - 4 = = 1 5 x 2 y - 20 x y

odpoveď: x + 4 5 x y: x 2 - 16 = 1 5 x 2 r - 20 x y.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

V tomto článku sa pozrieme na základné operácie s algebraickými zlomkami:

• redukčné frakcie
• násobenie zlomkov
• deliace zlomky

Začnime s redukcia algebraických zlomkov.

Zdalo by sa, algoritmus zrejmé.

Komu znížiť algebraické zlomky, potrebovať

1. Čitateľ a menovateľ zlomku vynásobte.

2. Znížte rovnaké faktory.

Školáci však často robia chybu, keď „redukujú“ nie faktory, ale pojmy. Napríklad existujú amatéri, ktorí „redukujú“ zlomky a ako výsledok dostanú , čo, samozrejme, nie je pravda.

Pozrime sa na príklady:

1. Znížiť zlomok:

1. Rozložme čitateľa pomocou vzorca druhej mocniny súčtu a menovateľa pomocou vzorca rozdielu druhých mocnín

2. Čitateľa a menovateľa vydeľte

2. Znížiť zlomok:

1. Rozložme čitateľa na faktor. Keďže čitateľ obsahuje štyri pojmy, používame zoskupovanie.

2. Rozložme menovateľa na faktor. Môžeme použiť aj zoskupovanie.

3. Zapíšme si zlomok, ktorý sme dostali, a zredukujeme rovnaké faktory:

Násobenie algebraických zlomkov.

Pri násobení algebraických zlomkov násobíme čitateľa čitateľom a menovateľa násobíme menovateľom.

Dôležité! S vynásobením čitateľa a menovateľa zlomku sa netreba ponáhľať. Potom, čo sme si zapísali súčin čitateľov zlomkov v čitateli a súčin menovatelov v menovateli, musíme rozdeliť každý faktor a zlomok zmenšiť.

Pozrime sa na príklady:

3. Zjednodušte výraz:

1. Napíšme súčin zlomkov: v čitateli súčin čitateľov a v menovateli súčin menovatelov:

2. Rozložme každú zátvorku na faktor:

Teraz musíme znížiť rovnaké faktory. Všimnite si, že výrazy a sa líšia iba znamienkom: a ako výsledok vydelenia prvého výrazu druhým dostaneme -1.

takže,

Algebraické zlomky delíme podľa nasledujúceho pravidla:

Teda Ak chcete deliť zlomkom, musíte vynásobiť "prevráteným".

Vidíme, že delenie zlomkov vedie k násobeniu a násobenie nakoniec vedie k redukcii zlomkov.

Pozrime sa na príklad:

4. Zjednodušte výraz:

Zapnuté túto lekciu Budú diskutované pravidlá násobenia a delenia algebraických zlomkov, ako aj príklady aplikácie týchto pravidiel. Násobenie a delenie algebraických zlomkov sa nelíši od násobenia a delenia obyčajných zlomkov. Prítomnosť premenných zároveň vedie k trochu zložitejším spôsobom zjednodušenia výsledných výrazov. Napriek tomu, že násobenie a delenie zlomkov je jednoduchšie ako ich sčítanie a odčítanie, k štúdiu tejto témy je potrebné pristupovať mimoriadne zodpovedne, pretože je v ňom veľa úskalí, ktorým sa zvyčajne nevenuje pozornosť. V rámci lekcie budeme študovať nielen pravidlá násobenia a delenia zlomkov, ale aj analyzovať nuansy, ktoré môžu vzniknúť pri ich používaní.

Predmet:Algebraické zlomky. Aritmetické operácie na algebraických zlomkoch

lekcia:Násobenie a delenie algebraických zlomkov

Pravidlá pre násobenie a delenie algebraických zlomkov sú úplne podobné pravidlám pre násobenie a delenie obyčajných zlomkov. Pripomeňme si ich:

To znamená, že na vynásobenie zlomkov je potrebné vynásobiť ich čitateľov (toto bude čitateľ súčinu) a vynásobiť ich menovateľov (bude to menovateľ súčinu).

Delenie zlomkom je násobenie prevráteným zlomkom, to znamená, že na rozdelenie dvoch zlomkov je potrebné vynásobiť prvý z nich (delenec) prevráteným druhým (deliteľom).

Napriek jednoduchosti týchto pravidiel sa veľa ľudí pri riešení príkladov na túto tému mýli v množstve špeciálnych prípadov. Pozrime sa bližšie na tieto špeciálne prípady:

Vo všetkých týchto pravidlách sme použili nasledujúcu skutočnosť: .

Poďme vyriešiť niekoľko príkladov násobenia a delenia obyčajných zlomkov, aby sme si zapamätali, ako tieto pravidlá používať.

Príklad 1

Poznámka: Pri redukcii zlomkov sme použili rozklad čísel na prvočiniteľa. Pripomeňme si to základné čísla tieto sa nazývajú celé čísla, ktoré sú deliteľné iba samými sebou. Zvyšné čísla sú volané zložený . Číslo nie je ani prvočíslo, ani zložené. Príklady základné čísla: .

Príklad 2

Uvažujme teraz o jednom zo špeciálnych prípadov s obyčajnými zlomkami.

Príklad 3

Ako môžete vidieť, násobenie a delenie obyčajných zlomkov, v prípade správna aplikácia Pravidlá nie sú zložité.

Pozrime sa na násobenie a delenie algebraických zlomkov.

Príklad 4

Príklad 5

Všimnite si, že je možné a dokonca potrebné zmenšiť zlomky po násobení podľa rovnakých pravidiel, ktoré sme predtým zvažovali v lekciách venovaných redukcii algebraických zlomkov. Pozrime sa na niekoľko jednoduché príklady pre špeciálne prípady.

Príklad 6

Príklad 7

Uvažujme teraz trochu viac komplexné príklady o násobení a delení zlomkov.

Príklad 8

Príklad 9

Príklad 10

Príklad 11

Príklad 12

Príklad 13

Predtým sme sa pozreli na zlomky, v ktorých čitateľ aj menovateľ boli jednočlenné. V niektorých prípadoch je však potrebné násobiť alebo deliť zlomky, ktorých čitateľmi a menovateľmi sú polynómy. V tomto prípade zostávajú pravidlá rovnaké, ale na zníženie je potrebné použiť skrátené vzorce násobenia a zátvorky.

Príklad 14

Príklad 15

Príklad 16

Príklad 17

Príklad 18

Téma: Násobenie a delenie algebraických zlomkov

Vzdelanie je to, čo zostane, keď všetko naučené už bolo zabudnuté.

Laue

Ciele:

Vzdelávacie:

pin ZUN k téme

vykonať iniciálu kontrola prúdu vedomostí

pracovať na medzerách

Vzdelávacie:

prispievajú k rozvoju komunikatívnej kompetencie, t.j. schopnosť efektívne spolupracovať s inými ľuďmi.

podporovať rozvoj kooperatívnej kompetencie, t.j. schopnosť pracovať vo dvojiciach.

prispieť k rozvoju problémovej kompetencie, t.j. schopnosť pochopiť nevyhnutnosť ťažkostí vznikajúcich v priebehu akejkoľvek činnosti.

Vzdelávacie:

vštepiť schopnosť primerane ohodnotiť prácu vykonanú priateľom;

Pri práci vo dvojici pestujte vlastnosti vzájomnej pomoci a podpory.

Metodické:

vytváranie podmienok pre prejav individuality a kognitívnej aktivity žiakov;

ukázať metodiku vedenia vyučovacej hodiny s navrhovaním výsledkov vzdelávacie aktivity a spôsoby, ako ich študovať na základe prístupu založeného na kompetenciách.

Vybavenie: doska, farebná krieda. Tabuľka "Násobenie a delenie algebraických zlomkov"; karty pre individuálna práca, „pripomienkové“ karty. Úloha vo voľnej minúte.

Počas vyučovania

Organizovanie času

Plán hodiny je napísaný na tabuli:

Orálna rozcvička.

Samostatná práca.

Riešenie úloh.

Práca vo dvojici.

Zhrnutie lekcie.

Domáca úloha.

učiteľ: Za starých čias v Rusku sa verilo, že ak je človek zdatný v matematike, znamená to najvyšší stupeňštipendium. A schopnosť správne vidieť a počuť je prvým krokom k múdrosti. Chcel by som, aby dnes všetci študenti vo vašej triede ukázali, akí sú múdri a akí sú ľudia znalí algebry 7. ročníka.

Takže téma lekcie je „Násobenie a delenie algebraických zlomkov V minulej lekcii ste začali študovať túto tému a diskutovali sme o tom, prečo sme ju študovali. Pripomeňme si, kde sa nám to bude hodiť už o pár lekcií.

študenti: Na spoločné akcie s algebraickými zlomkami, na riešenie rovníc, a teda problémov.

učiteľ: Už za starých čias v Rusi hovorili, že množenie je muka a delenie je problém. Každý, kto vedel rýchlo a presne násobiť a deliť, bol považovaný za veľkého matematika.

Aké ciele si stanovíte?

študenti: Pokračujte v štúdiu témy, naučte sa rýchlo a presne násobiť a deliť.

učiteľ: Aby sme dosiahli naše ciele, (otvoríme plán napísaný na tabuli, vyslovíme ho)

1. Ústna rozcvička: (v tomto čase 3 - 4 ľudia riešia cvičenie na zmenšovanie zlomkov v pároch) faktorizujte, dopĺňajte prázdne miesta

1= (y-1) (...), 5a+5b=... (a+b), xy-x=x (...), 14-2x=...

znížiť zlomok

Zlomky, zlomky, zlomky, znížte ich, nešetrite nimi.

nájsť chybu pri násobení a delení algebraických zlomkov

učiteľ: Kde sa stala chyba? Prečo došlo k chybe? Aké pravidlo študent nepoznal? Ktorú ste poznali? Ako to urobiť správne?

2. Práca v zošite, číslo z učebnice 488 (1) Rozbor, rozhodnutie, overenie.

učiteľ: A teraz budete mať možnosť ukázať svoje vedomosti pri vypĺňaní testu, a aby som vás inšpiroval k práci, prečítam vám báseň „Aby si učiteľ zapísal „5“ do denníka, vedel vynásobiť čitateľa čitateľom v okamihu, a aby bol s vami učiteľ spokojný, vynásobíte prvého menovateľa druhým“

Samokontrola, vzájomná kontrola. Podľa kritérií (vyvesených na tabuli) B-1 (321), B-2 (132) pomocou správnych kódov, hodnotenie vo dvojiciach. Počiatočný výsledok. hodnotenia.

Práca na chybách vo dvojiciach žiak – učiteľ

Ak vo dvojiciach nie sú žiadne chyby, vykonajte úlohu vo voľnej minúte.

Zjednodušte výraz a nájdite jeho hodnotu, keď

5. Zhrnutie lekcie

Na konci hodiny by som od vás rád vedel, aké druhy práce vám spôsobovali ťažkosti? Prečo si myslíš? Čo nové ste sa naučili? Koľkí z vás sú spokojní s prácou v triede? Myslíte si, že ciele stanovené na začiatku hodiny boli dosiahnuté?

Učiteľ: Chcel by som ukončiť lekciu slovami francúzskeho inžiniera-fyzika Laue: „Vzdelanie je to, čo zostáva, keď všetko, čo sa naučil, je už zabudnuté.“

Dúfam, že na tento materiál nezabudnete, aby sa tak nestalo, musíte splniť zadania č. 486 487 488 párne.

zhrnutie ďalších prezentácií

„Transformácia algebraických výrazov“ - Algoritmus na sčítanie a odčítanie algebraických zlomkov. Práca na posilňovaní zručností sčítania, odčítania, násobenia. Plán lekcie. Algebraické výrazy a ich premenou. Vykonajte operáciu násobenia zlomkov. Nájdite chyby. Výraz pozostávajúci z číslic a písmen. Algoritmus na redukciu algebraických zlomkov na spoločného menovateľa. Poradie akcií. Znížte zlomok a nájdite rovnaký zlomok pre každý zlomok.

„Algebra kvadratických funkcií“ - Vzorce pre skrátené násobenie. Kvadratické rovnice. Funkcia. Graf ktorej kvadratickej funkcie je znázornený na obrázku. Riešenie nerovností. Kvadratická funkcia. Graf funkcie. Parabola. Y = x2 + 4x. Referenčný materiál.

„Kombinatorické problémy a ich riešenia“ - Shkolnikovi o teórii pravdepodobnosti. Vzhľad stochastickej čiary. Kombinatorické problémy a ich riešenia. Obsah programu. Požiadavky na úroveň školenia. Prezentácie. Plánovanie lekcie. Prehlbovanie vedomostí žiakov. Výchovno-tematický plán. Vysvetľujúca poznámka.

„Algebra „Geometric progression““ – Zapíšte si prvých päť členov geometrického postupu. Porovnajte matematické predmety v každej skupine. Geometrická progresia. Vyberte si výrok, ktorý vám vyhovuje. Matematický diktát. Osobné ciele. Minúta telesnej výchovy. Napíšte ľubovoľnú postupnosť čísel do jedného zo stĺpcov. Kontrola pokroku. "Nemôžete sa naučiť matematiku tým, že budete sledovať, ako to robí sused..." Ivan Niven. Hlavná vlastnosť geometrickej progresie.

„Riešenie nerovností s dvoma premennými“ – Otestujte sa. X2+Y2-9 a X2+Y2. Oblasti na riešenie nerovností. Vyberme si dvojicu čísel, ktoré budú riešením. Koncept nerovností s dvoma premennými. Pravidlo skúšobného bodu. Pár významov. Funkčné grafy. Riešenie nerovností v dvoch premenných. Riešenie nerovností.

„Pokroky v živote“ - Informácie z histórie. Sekvencie: cesta do hlbín storočí. Koľko polená je v jednom stohu? Problémy s praktickým obsahom z moderných učebníc algebry. priemerná cena výroby. O dedinských povestiach. Jedna rastlina púpava. Vzorce. Pokrok v bankovníctve a priemysle. Vošky. Ciliates. Vlastnosti aritmetických a geometrických postupností. Postupy a bankové vyrovnania.