>> Lekcia 11. Stĺpcové a čiarové grafy

Pomer medzi veličinami môže byť vizuálne znázornený stĺpcami alebo segmentmi.

V tabuľke je uvedený čas, ktorý deti strávia na ceste z domu do školy.

Diagram sa dá ľahko odvodiť rôzne vlastnosti vzťahy medzi veličinami. Napríklad podľa nášho diagramu je okamžite jasné, že Igor sa dostane do školy najdlhšie a Tanya je najrýchlejšia, že Olya a Misha trávia rovnaký čas na ceste do školy - 15 minút a cesta do školy trvá Sashe. a Igor viac ako 15 minút atď.

jeden . Čarovná krajina sa skladá z piatich častí: Ružová krajina. Žltá, modrá. Fialové a Smaragdové mesto.

a) Stĺpcový graf zobrazuje množstvo zrážok, ktoré spadlo za rok v Modrej krajine. Pomocou diagramu odpovedzte na otázky:

1) Koľko zrážok spadlo v septembri?
2) Kedy spadlo najmenej zrážok a kedy najviac?
3) V ktorých mesiacoch spadlo rovnaké množstvo zrážok?
4) Kedy spadlo 90 mm zrážok a kedy viac ako 90 mm?
5) Kedy spadlo menej ako 60 mm zrážok?
b) O koľko menej pršalo v auguste ako v októbri?
7) Koľko zrážok spadlo v každom ročnom období? Koľko zrážok spadlo za celý rok?

b) Podľa tabuľky zostavte stĺpcový graf zrážok v Smaragdovom meste za rok. Analyzujte to.

c) Čiarový graf zobrazuje informácie o pôrodnosti detí v Ružovej krajine za daný rok. Pomocou diagramu odpovedzte na otázky:

1) Koľko detí sa narodilo v júli?
2) V ktorom mesiaci sa narodilo najviac detí a v ktorom - najmenej?
3) Koľko detí sa narodilo v lete? Koľko detí sa narodilo za rok?
4) O koľko viac detí sa narodilo v máji ako v apríli?
5) V ktorých mesiacoch sa narodilo 500 detí?
6) V ktorých mesiacoch sa narodilo viac ako 600 detí?

Nakreslite prerušovanú čiaru, ktorá postupne spája horné konce segmentov diagramu, a určte, v ktorých mesiacoch sa pôrodnosť detí zvýšila, v ktorých mesiacoch sa znížila a kedy sa nezmenila.

d) Podľa tabuľky zostavte lineárny graf pôrodnosti detí v Purpurovej krajine. Analyzujte to.

2. Určte súradnice bodov A, B, C, D, E a F a nájdite dĺžku úsečiek AB, CD, EF.

3. Vyriešte rovnice:

4. „Blitzový turnaj“.

a) Vrana Kaggi-Karr preletela za 4 hodiny a km. Ako ďaleko preletí za 7 hodín, ak letí rovnakou rýchlosťou?

b) Ellie kráčala po údolí b km a po horskej ceste - iba 24 % tejto cesty. Ako rýchlo išla Ellie po horskej ceste, ak ju prešla za 3 hodiny?

c) V armáde Oorfene Deuce bolo c desiatnikov, čo predstavovalo 15% z počtu vojakov v jeho armáde. O koľko viac vojakov ako desiatnikov bolo v armáde Oorfene Deuce?

d) Oorfene Deuce sa rozhodol vyrobiť x drevených vojakov pre svoju armádu. Cez deň robí vojakov. Koľko vojakov mu zostane vyrobiť po 9 dňoch práca ?

e) Sailor Charlie mala 5 rokov pred 5 rokmi. Koľko bude mať o 4 roky?

5. Ružová krajina má 540 000 obyvateľov, čo je počet obyvateľov Modrej krajiny. V Žltej krajine žije 40 % z celkového počtu obyvateľov Ružovej a Modrej krajiny a Purpurová krajina má o 78 000 obyvateľov viac ako Žltá krajina. Koľko obyvateľov má Smaragdové mesto, ak v Čarovnej krajine žije 3 000 000 obyvateľov?

6. Napíšte množinu prirodzených riešení nerovnosti:

7*. Nakreslite diagram Začarovanej krajiny, ak je známe, že Modrá, Purpurová a Ružová krajina majú spoločnú hranicu s ostatnými štyrmi časťami. Žltá krajina a Smaragdové mesto nemajú medzi sebou spoločnú hranicu a Žltá krajina je zo všetkých strán obklopená Veľkou púšťou, ktorá oddeľuje Magická krajina zo zvyšku sveta.

Peterson Ľudmila Georgievna. Matematika. 4. trieda. Časť 3. - M.: Vydavateľstvo Yuventa, 2005, - 64 s.: ill.

Obsah lekcie zhrnutie lekcie podpora rámcová lekcia prezentácia akceleračné metódy interaktívne technológie Prax úlohy a cvičenia samovyšetrenie workshopy, školenia, prípady, questy domáce úlohy diskusia otázky rétorické otázky od študentov Ilustrácie audio, videoklipy a multimédiá fotografie, obrázky, grafika, tabuľky, schémy humor, anekdoty, vtipy, komiksové podobenstvá, výroky, krížovky, citáty Doplnky abstraktyčlánky čipy pre zvedavých cheat sheets učebnice základný a doplnkový slovník pojmov iné Zdokonaľovanie učebníc a vyučovacích hodínoprava chýb v učebnici aktualizácia fragmentu v učebnici prvky inovácie v lekcii nahradenie zastaraných vedomostí novými Len pre učiteľov perfektné lekcie kalendárny plán na rok usmernenia diskusné programy Integrované lekcie

Niektoré problémy možno pohodlne a vizuálne vyriešiť pomocou Euler-Vennových diagramov. Napríklad úlohy na zostavách. Ak neviete, čo sú Euler-Vennove diagramy a ako ich zostaviť, prečítajte si najskôr.

Teraz poďme analyzovať typické úlohy o súpravách.

Úloha 1.

Na škole s hĺbkovým štúdiom cudzích jazykov sa uskutočnil prieskum medzi 100 študentmi. Žiakom bola položená otázka: Čo cudzie jazykyštuduješ?". Ukázalo sa, že 48 študentov študuje angličtinu, 26 - francúzštinu, 28 - nemčinu. 8 študentov študuje angličtinu a nemčinu, 8 - angličtinu a francúzštinu, 13 - francúzštinu a nemčinu. 24 študentov neštuduje angličtinu ani francúzštinu, ani nemčina Koľko študentov v prieskume študuje súčasne tri jazyky: angličtinu, francúzštinu a nemčinu?

odpoveď: 3.

Riešenie:

• veľa školákov, ktorí sa učia angličtinu ("A");
• veľa školákov, ktorí sa učia francúzsky ("F");
• veľa školákov, ktorí sa učia nemčinu ("N").

Ukážme si pomocou Euler-Vennovho diagramu, čo nám dáva podmienka.

Označme požadovanú oblasť A=1, F=1, H=1 ako "x" (v tabuľke nižšie oblasť č. 7). Ostatné oblasti vyjadrujeme pomocou x.

0) Kraj A=0, F=0, H=0: 24 školákov - dané podľa stavu problému.

1) Oblasť A=0, F=0, H=1: 28-(8-x+x+13-x)=7+x študentov.

2) Oblasť A=0, F=1, H=0: 26-(8-x+x+13-x)=5+x študentov.

3) Kraj A=0, F=1, H=1: 13 školákov.

4) Oblasť A=1, F=0, H=0: 48-(8-x+x+8-x)=32+x školákov.

5) Kraj A=1, F=0, H=1: 8 školákov.

6) Kraj A=1, F=1, H=0: 8 školákov.

№ oblasti	ALE	F	H	Množstvo školákov
0	0	0	0	24
1	0	0	1	7+x
2	0	1	0	5+x
3	0	1	1	13
4	1	0	0	32+x
5	1	0	1	8
6	1	1	0	8
7	1	1	1	X

Definujme x:

24+7+(x+5)+x+(13-x)+(32+x)+(8-x)+(8-x)+x=100.

x=100-(24+7+5+13+32+8+8)=100-97=3.

Ukázalo sa, že 3 školáci študujú súčasne tri jazyky: angličtinu, francúzštinu a nemčinu.

Takto bude vyzerať Euler-Venn diagram so známym x:

Úloha 2.

Na matematickej olympiáde mali školákov vyriešiť tri úlohy: jednu z algebry, jednu z geometrie a jednu z trigonometrie. Olympiády sa zúčastnilo 1000 školákov. Výsledky olympiády boli nasledovné: 800 účastníkov riešilo úlohu z algebry, 700 z geometrie, 600 z trigonometrie 600 študentov riešilo úlohy z algebry a geometrie, 500 z algebry a trigonometrie, 400 z geometrie a trigonometrie. 300 ľudí riešilo úlohy z algebry, geometrie a trigonometrie. Koľko žiakov nevyriešilo žiaden problém?

odpoveď: 100.

Riešenie:

Najprv definujeme množiny a zavedieme notáciu. Sú tri z nich:

• súbor problémov v algebre ("A");
• súbor problémov v geometrii ("G");
• súbor problémov v trigonometrii ("T").

Ukážme si, čo potrebujeme nájsť:

Stanovme počet študentov pre všetky možné oblasti.

Označme požadovanú oblasť A=0, G=0, T=0 ako "x" (v tabuľke nižšie oblasť č. 0).

Poďme nájsť zvyšok oblastí:

1) Región A=0, D=0, T=1: žiadni školáci.

2) Región A=0, D=1, T=0: žiadni školáci.

3) Kraj A=0, D=1, T=1: 100 školákov.

4) Región A=1, D=0, T=0: žiadni školáci.

5) Kraj A=1, D=0, T=1: 200 školákov.

6) Kraj A=1, D=1, T=0: 300 školákov.

7) Kraj A=1, D=1, T=1: 300 školákov.

Zapíšme si hodnoty oblastí do tabuľky:

№ oblasti	ALE	G	T	Množstvo školákov
0	0	0	0	X
1	0	0	1	0
2	0	1	0	0
3	0	1	1	100
4	1	0	0	0
5	1	0	1	200
6	1	1	0	300
7	1	1	1	300

Nakreslite hodnoty pre všetky oblasti pomocou grafu:

Definujme x:

x=U-(A V G V T), kde U je vesmír.

A V G V T \u003d 0 + 0 + 0 + 300 + 300 + 200 + 100 \u003d 900.

Dostali sme, že 100 školákov nevyriešilo ani jeden problém.

Úloha 3.

Na fyzikálnej olympiáde mali školákov vyriešiť tri úlohy: jednu z kinematiky, jednu z termodynamiky a jednu z optiky. Výsledky olympiády boli nasledovné: Úlohu z kinematiky riešilo 400 účastníkov, z termodynamiky 350, z optiky 300. Úlohy z kinematiky a termodynamiky riešilo 300 študentov, z kinematiky a optiky 200, z termodynamiky a optiky 150. 100 ľudí riešilo úlohy z kinematiky, termodynamiky a optiky. Koľko študentov vyriešilo dve úlohy?

odpoveď: 350.

Riešenie:

Najprv definujeme množiny a zavedieme notáciu. Sú tri z nich:

• súbor úloh z kinematiky ("K");
• súbor problémov v termodynamike ("T");
• súbor problémov v optike ("O").

Ukážme si pomocou Euler-Vennovho diagramu, čo nám dáva podmienka:

Ukážme si, čo potrebujeme nájsť:

Určme počet študentov pre všetky možné oblasti:

0) Oblasť K=0, T=0, O=0: nedefinovaná.

1) Región K=0, T=0, O=1: 50 študentov.

2) Región K=0, T=1, O=0: žiadni školáci.

3) Región K=0, T=1, O=1: 50 študentov.

4) Región K=1, T=0, O=0: žiadni školáci.

5) Kraj K=1, T=0, O=1: 100 školákov.

6) Kraj K=1, T=1, O=0: 200 školákov.

7) Kraj K=1, T=1, O=1: 100 školákov.

Zapíšme si hodnoty oblastí do tabuľky:

№ oblasti	Komu	T	O	Množstvo školákov
0	0	0	0	-
1	0	0	1	50
2	0	1	0	0
3	0	1	1	50
4	1	0	0	0
5	1	0	1	100
6	1	1	0	200
7	1	1	1	100

Nakreslite hodnoty pre všetky oblasti pomocou grafu:

Definujme x.

x=200+100+50=350.

Prijatých 350 školákov vyriešilo dva problémy.

Úloha 4.

Medzi okoloidúcimi urobil prieskum. Bola položená otázka: "Aký druh domáceho maznáčika máte?". Podľa výsledkov prieskumu vyšlo, že 150 ľudí má mačku, 130 psa a 50 vtáka. 60 ľudí má mačku a psa, 20 má mačku a vtáka, 30 má psa a vtáka. 70 ľudí nemá domáce zviera vôbec. 10 ľudí má mačku, psa a vtáka. Koľko okoloidúcich sa zúčastnilo prieskumu?

odpoveď: 300.

Riešenie:

Najprv definujeme množiny a zavedieme notáciu. Sú tri z nich:

• veľa ľudí, ktorí majú mačku ("K");
• veľa ľudí, ktorí majú psa ("C");
• veľa ľudí, ktorí majú vtáka ("P").

Ukážme si pomocou Euler-Vennovho diagramu, čo nám dáva podmienka:

Ukážme si, čo potrebujeme nájsť:

Určme počet ľudí pre všetky možné oblasti:

0) Plocha K=0, S=0, P=0: 70 osôb.

1) Plocha K=0, S=0, P=1: 10 osôb.

2) Oblasť K=0, S=1, P=0: 50 osôb.

3) Plocha K=0, S=1, P=1: 20 osôb.

4) Plocha K=1, S=0, P=0: 80 osôb.

5) Plocha K=1, T=0, O=1: 10 osôb.

6) Región K=1, T=1, O=0: 50 osôb.

7) Región K=1, T=1, O=1: 10 osôb.

Zapíšme si hodnoty oblastí do tabuľky:

№ oblasti	Komu	C	P	Množstvo človek
0	0	0	0	70
1	0	0	1	10
2	0	1	0	50
3	0	1	1	20
4	1	0	0	80
5	1	0	1	10
6	1	1	0	50
7	1	1	1	10

Nakreslite hodnoty pre všetky oblasti pomocou grafu:

Definujme x:

x=U (vesmír)

U=70+10+50+20+80+10+50+10=300.

Zistilo sa, že prieskumu sa zúčastnilo 300 ľudí.

Úloha 5.

Na jednu z univerzít vstúpilo do jednej špecializácie 120 ľudí. Uchádzači robili tri skúšky: z matematiky, z informatiky a z ruského jazyka. Matematiku prospelo 60 ľudí, informatiku - 40. Matematiku a informatiku prospelo 30 uchádzačov, 30 - matematiku a ruštinu, 25 - informatiku a ruštinu. Všetky tri skúšky zvládlo 20 ľudí, neúspešne 50 ľudí. Koľko uchádzačov prešlo ruským jazykom?

Prvá úroveň

Riešenie rovníc, nerovníc, sústav pomocou funkčných grafov. Vizuálny sprievodca (2019)

Mnohé úlohy, ktoré sme zvyknutí počítať čisto algebraicky, sa dajú vyriešiť oveľa jednoduchšie a rýchlejšie, pomôže nám v tom použitie funkčných grafov. Hovoríte "ako to?" niečo nakresliť a čo nakresliť? Verte mi, niekedy je to pohodlnejšie a jednoduchšie. Môžeme začať? Začnime rovnicami!

Grafické riešenie rovníc

Grafické riešenie lineárnych rovníc

Ako už viete, graf lineárnej rovnice je priamka, odtiaľ názov tohto typu. Lineárne rovnice sa algebraicky riešia celkom jednoducho – všetky neznáme prenesieme na jednu stranu rovnice, všetko, čo vieme, na druhú a voila! Našli sme koreň. Teraz vám ukážem, ako na to grafickým spôsobom.

Takže máte rovnicu:

Ako to vyriešiť?
možnosť 1 a najbežnejšie je presunúť neznáme na jednu stranu a známe na druhú, dostaneme:

A teraz staviame. Čo si dostal?

Čo je podľa vás koreňom našej rovnice? Správne, súradnice priesečníka grafov:

Naša odpoveď je

To je celá múdrosť grafického riešenia. Ako môžete ľahko skontrolovať, koreňom našej rovnice je číslo!

Ako som povedal vyššie, toto je najbežnejšia možnosť, blízko k algebraické riešenie, ale dá sa to urobiť aj inak. Aby sme zvážili alternatívne riešenie, vráťme sa k našej rovnici:

Tentokrát nebudeme nič presúvať zo strany na stranu, ale budeme priamo vytvárať grafy, ako sú teraz:

Postavený? Pozri!

Aké je riešenie tentokrát? V poriadku. Rovnaká je súradnica priesečníka grafov:

A naša odpoveď je opäť.

Ako vidíte, s lineárne rovnice všetko je mimoriadne jednoduché. Je načase pouvažovať o niečom zložitejšom... Napr. grafické riešenie kvadratických rovníc.

Grafické riešenie kvadratických rovníc

Začnime teda riešiť kvadratickú rovnicu. Povedzme, že potrebujete nájsť korene tejto rovnice:

Samozrejme, teraz môžete začať počítať cez diskriminant alebo podľa vety Vieta, ale mnohí na nervy robia chyby pri násobení alebo umocňovaní, najmä ak je príklad s veľké čísla, a ako viete, na skúške nebudete mať kalkulačku ... Preto sa skúsme pri riešení tejto rovnice trochu uvoľniť a kresliť.

Graficky nájsť riešenia daná rovnica môcť rôzne cesty. Zvážte rôzne možnosti a môžete si vybrať, ktorý sa vám najviac páči.

Metóda 1. Priamo

Zostavíme parabolu podľa tejto rovnice:

Aby som to urýchlil, dám vám jeden malý tip: Konštrukciu je vhodné začať určením vrcholu paraboly. Nasledujúce vzorce pomôžu určiť súradnice vrcholu paraboly:

Hovoríte: „Prestaň! Vzorec pre je veľmi podobný vzorcu na nájdenie diskriminačného „áno, je, a to je obrovská nevýhoda“ priameho „vybudovania paraboly na nájdenie jej koreňov. Počítajme však do konca a potom vám ukážem, ako si to oveľa (oveľa!) uľahčiť!

Počítal si? Aké sú súradnice vrcholu paraboly? Poďme na to spolu:

Presne tá istá odpoveď? Výborne! A teraz už poznáme súradnice vrcholu a na zostavenie paraboly potrebujeme viac ... bodov. Čo si myslíte, koľko minimálnych bodov potrebujeme? Správne, .

Viete, že parabola je symetrická podľa svojho vrcholu, napríklad:

V súlade s tým potrebujeme ďalšie dva body pozdĺž ľavej alebo pravej vetvy paraboly a v budúcnosti budeme tieto body symetricky odrážať na opačnej strane:

Vraciame sa k našej parabole. V našom prípade ide o pointu. Potrebujeme ďalšie dva body, môžeme si vziať pozitívne, ale môžeme vziať negatívne? Aké sú pre vás najlepšie body? Je pre mňa pohodlnejšie pracovať s kladnými, preto budem kalkulovať s a.

Teraz máme tri body a môžeme ľahko zostaviť našu parabolu tak, že budeme odrážať posledné dva body okolo jej vrcholu:

Aké je podľa vás riešenie rovnice? To je pravda, body, v ktorých, to je, a. Pretože.

A ak to povieme, tak to znamená, že sa musí aj rovnať, príp.

len? Dokončili sme s vami riešenie rovnice zložitým grafickým spôsobom, alebo bude viac!

Samozrejme, našu odpoveď môžete skontrolovať algebraicky - korene môžete vypočítať pomocou Vietovej vety alebo Diskriminanty. Čo si dostal? rovnaké? Tu vidíte! Teraz sa pozrime na veľmi jednoduché grafické riešenie, som si istý, že sa vám bude veľmi páčiť!

Metóda 2. Rozdelenie na niekoľko funkcií

Zoberme si tiež všetko, našu rovnicu: , ale napíšeme ju trochu iným spôsobom, a to:

Môžeme to napísať takto? Môžeme, keďže transformácia je ekvivalentná. Pozrime sa ďalej.

Zostavme dve funkcie oddelene:

1. - graf je jednoduchá parabola, ktorú ľahko zostavíte aj bez definovania vrcholu pomocou vzorcov a zhotovenia tabuľky na určenie ďalších bodov.
2. - graf je priamka, ktorú môžete rovnako ľahko zostaviť odhadom hodnôt a v hlave bez toho, aby ste sa museli uchýliť k kalkulačke.

Postavený? Porovnajte s tým, čo som dostal:

Čo je podľa vás koreňom rovnice v tomto prípade? Správne! Súradnice podľa, ktoré sa získajú krížením dvoch grafov, a to:

Preto je riešením tejto rovnice:

Čo hovoríš? Súhlasíte, táto metóda riešenia je oveľa jednoduchšia ako predchádzajúca a dokonca jednoduchšia ako hľadanie koreňov cez diskriminant! Ak áno, vyskúšajte túto metódu na vyriešenie nasledujúcej rovnice:

Čo si dostal? Porovnajme naše grafy:

Grafy ukazujú, že odpovede sú:

Zvládli ste to? Výborne! Teraz sa pozrime na rovnice trochu zložitejšie, konkrétne na riešenie zmiešaných rovníc, teda rovníc obsahujúcich funkcie rôznych typov.

Grafické riešenie zmiešaných rovníc

Teraz skúsme vyriešiť nasledovné:

Samozrejme, môžete všetko uviesť do spoločného menovateľa, nájsť korene výslednej rovnice, pričom nezabudnite vziať do úvahy ODZ, ale opäť sa to pokúsime vyriešiť graficky, ako sme to urobili vo všetkých predchádzajúcich prípadoch.

Tentoraz si nakreslíme nasledujúce 2 grafy:

1. - graf je hyperbola
2. - graf je priamka, ktorú môžete ľahko zostaviť odhadom hodnôt a v hlave bez toho, aby ste sa uchýlili k kalkulačke.

Realizované? Teraz začnite stavať.

Tu je to, čo sa mi stalo:

Pri pohľade na tento obrázok, aké sú korene našej rovnice?

Je to tak a. Tu je potvrdenie:

Skúste do rovnice zapojiť naše korene. Stalo?

V poriadku! Súhlasíte, grafické riešenie takýchto rovníc je potešením!

Skúste rovnicu vyriešiť sami graficky:

Dám vám tip: presuňte časť rovnice do pravá strana aby obe strany mali čo najjednoduchšie funkcie na zostavenie. Máte tip? Konajte!

Teraz sa pozrime, čo máte:

Respektíve:

1. - kubická parabola.
2. - obyčajná priamka.

Nuž, staviame:

Ako ste si dlho písali, koreň tejto rovnice je -.

Po vyriešení tohto veľké množstvo príklady, som si istý, že ste si uvedomili, ako môžete jednoducho a rýchlo riešiť rovnice graficky. Je čas prísť na to, ako riešiť systémy týmto spôsobom.

Grafické riešenie systémov

Grafické riešenie sústav sa v podstate nelíši od grafického riešenia rovníc. Zostavíme tiež dva grafy a ich priesečníky budú koreňmi tohto systému. Jeden graf je jedna rovnica, druhý graf je ďalšia rovnica. Všetko je mimoriadne jednoduché!

Začnime tým najjednoduchším – riešením sústav lineárnych rovníc.

Riešenie sústav lineárnych rovníc

Povedzme, že máme nasledujúci systém:

Na začiatok to pretvoríme tak, že naľavo je všetko, s čím súvisí, a napravo - s čím súvisí. Inými slovami, tieto rovnice píšeme ako funkciu v pre nás obvyklom tvare:

A teraz postavíme dve rovné čiary. Aké je riešenie v našom prípade? Správne! Bod ich priesečníka! A tu musíte byť veľmi, veľmi opatrní! Premýšľajte prečo? Dám vám nápovedu: máme do činenia so systémom: systém má oboje a... Máte nápovedu?

V poriadku! Pri riešení sústavy sa musíme pozerať na obe súradnice, a nielen, ako pri riešení rovníc! Ďalší dôležitý bod- zapíšte si ich správne a nezamieňajte, kde máme hodnotu a kde je hodnota! Zaznamenané? Teraz porovnajme všetko v poradí:

A odpovede: i. Urobiť kontrolu - dosadiť nájdené korene do systému a presvedčiť sa, či sme to graficky vyriešili správne?

Riešenie sústav nelineárnych rovníc

Ale čo keď namiesto jednej priamky budeme mať kvadratická rovnica? Je to v poriadku! Namiesto priamky postavíte parabolu! Nedôveruj? Skúste vyriešiť nasledujúci systém:

Aký je náš ďalší krok? Správne, zapíšte si to, aby bolo pre nás vhodné vytvárať grafy:

A teraz je to všetko o maličkosti – postavil som to rýchlo a tu je riešenie pre vás! budova:

Grafika je rovnaká? Teraz označte riešenia systému na obrázku a správne zapíšte odhalené odpovede!

Urobil som všetko? Porovnaj s mojimi poznámkami:

V poriadku? Výborne! Na také úlohy už klikáte ako oriešky! A ak áno, dáme vám zložitejší systém:

Čo robíme? Správne! Systém píšeme tak, aby bolo vhodné ho zostaviť:

Dám vám malú nápovedu, pretože systém vyzerá veľmi komplikovane! Pri zostavovaní grafov ich stavajte „viac“ a hlavne sa nečudujte množstvu priesečníkov.

Tak, poďme! Vydýchnutý? Teraz začnite stavať!

No, ako? Pekne? Koľko priesečníkov ste získali? Mám tri! Porovnajme naše grafy:

Rovnakým spôsobom? Teraz si pozorne zapíšte všetky riešenia nášho systému:

Teraz sa znova pozrite na systém:

Viete si predstaviť, že by ste to vyriešili len za 15 minút? Súhlaste, matematika je stále jednoduchá, najmä pri pohľade na výraz sa nebojíte urobiť chybu, ale vezmete to a rozhodnete sa! Si veľký chalan!

Grafické riešenie nerovností

Grafické riešenie lineárnych nerovností

Po poslednom príklade ste na to! Teraz vydýchnite - v porovnaní s predchádzajúcimi časťami bude táto veľmi, veľmi ľahká!

Začneme ako obvykle grafickým riešením lineárnej nerovnosti. Napríklad tento:

Na začiatok vykonáme najjednoduchšie transformácie - otvoríme zátvorky dokonalých štvorcov a dáme podobné výrazy:

Nerovnosť nie je striktná, preto - nie je zahrnutá v intervale a riešením budú všetky body, ktoré sú vpravo, pretože viac, viac atď.

odpoveď:

To je všetko! ľahko? Poďme vyriešiť jednoduchú nerovnosť s dvoma premennými:

Nakreslíme funkciu v súradnicovom systéme.

Máte takýto graf? A teraz sa pozorne pozrieme na to, čo máme v nerovnosti? menej? Maľujeme teda všetko, čo je naľavo od našej priamky. Čo keby ich bolo viac? To je pravda, potom by premaľovali všetko, čo je napravo od našej priamky. Všetko je jednoduché.

Všetky riešenia tejto nerovnosti sú „zatienené“ oranžová. To je všetko, dvojpremenná nerovnosť je vyriešená. To znamená, že riešením sú súradnice a ľubovoľný bod z tieňovanej oblasti.

Grafické riešenie kvadratických nerovností

Teraz sa budeme zaoberať tým, ako graficky vyriešiť kvadratické nerovnosti.

Ale predtým, než prejdeme priamo k veci, zopakujme si pár vecí o funkcii štvorca.

Za čo je zodpovedný diskriminant? Presne tak, pre polohu grafu voči osi (ak si to nepamätáte, tak si určite prečítajte teóriu o kvadratických funkciách).

V každom prípade je tu pre vás malá pripomienka:

Teraz, keď sme si osviežili všetok materiál v pamäti, poďme na vec – nerovnosť graficky vyriešime.

Hneď vám prezradím, že sú dve možnosti riešenia.

možnosť 1

Našu parabolu zapíšeme ako funkciu:

Pomocou vzorcov určíme súradnice vrcholu paraboly (rovnakým spôsobom ako pri riešení kvadratických rovníc):

Počítal si? Čo si dostal?

Teraz si vezmime ďalšie dve rôzne body a vypočítať pre nich:

Začneme budovať jednu vetvu paraboly:

Symetricky odrážame naše body na inej vetve paraboly:

Teraz späť k našej nerovnosti.

Potrebujeme byť menej ako nula, respektíve:

Keďže v našej nerovnosti je znamienko striktne menej, vylúčime koncové body - „vystrčíme“.

odpoveď:

Dlhá cesta, však? Teraz vám ukážem jednoduchšiu verziu grafického riešenia s použitím rovnakej nerovnosti ako príklad:

Možnosť 2

Vrátime sa k našej nerovnosti a označíme intervaly, ktoré potrebujeme:

Súhlasíte, je to oveľa rýchlejšie.

Teraz si napíšme odpoveď:

Uvažujme o inej metóde riešenia, ktorá zjednodušuje algebraickú časť, ale hlavnou vecou nie je zmiasť sa.

Vynásobte ľavú a pravú stranu:

Skúste vyriešiť nasledovné štvorcová nerovnosť akýmkoľvek spôsobom sa vám páči.

Zvládli ste to?

Pozrite sa, ako dopadol môj graf:

odpoveď: .

Grafické riešenie zmiešaných nerovností

Teraz prejdime k zložitejším nerovnostiam!

Ako sa vám páči toto:

Hrozné, však? Úprimne povedané, netuším, ako to vyriešiť algebraicky ... Ale to nie je potrebné. Graficky v tom nie je nič zložité! Oči sa boja, ale ruky robia!

Prvá vec, s ktorou začneme, je zostavenie dvoch grafov:

Nebudem písať tabuľku pre každého – som si istý, že to zvládnete perfektne aj sami (samozrejme, existuje toľko príkladov na riešenie!).

Maľované? Teraz vytvorte dva grafy.

Porovnáme naše kresby?

Máte to rovnako? Výborne! Teraz umiestnime priesečníky a určme farbou, ktorý graf by sme mali mať, teoreticky by mal byť väčší, tzn. Pozrite sa, čo sa nakoniec stalo:

A teraz sa len pozrieme, kde je náš vybraný graf vyššie ako graf? Pokojne si vezmite ceruzku a premaľujte túto oblasť! Bude to riešenie našej komplexnej nerovnosti!

V akých intervaloch pozdĺž osi sme vyššie ako? Správny, . Toto je odpoveď!

Teraz môžete zvládnuť akúkoľvek rovnicu a akýkoľvek systém a ešte viac akúkoľvek nerovnosť!

STRUČNE O HLAVNOM

Algoritmus na riešenie rovníc pomocou funkčných grafov:

1. Vyjadrite sa
2. Definujte typ funkcie
3. Zostavme grafy výsledných funkcií
4. Nájdite priesečníky grafov
5. Správne zapíšte odpoveď (berúc do úvahy značky ODZ a nerovnosti)
6. Skontrolujte odpoveď (dosaďte korene v rovnici alebo systéme)

Ďalšie informácie o vykresľovaní funkčných grafov nájdete v téme "".

Jean Zelazny, riaditeľ vizuálnych konceptov v McKinsey, vie o svojej práci všetko. To nie je prekvapujúce: za 55 rokov svojho života, ktoré venoval štúdiu diagramov a iným vizualizačným metódam, nazbieral dostatok skúseností, o ktoré sa podelil v knihe Speak the Diagram Language.

Naši čitatelia získajú mesiac na Bookmate zadarmo: zadajte promo kód RUSBASE na odkaze http://bookmate.com/code.

Krok 3. Od porovnania k grafu – Vyberte typ grafu

Každý typ porovnania zodpovedá určitému typu diagramov. Vyberte typ vizualizácie na základe typu porovnania.

Myšlienku formulujeme

Zmapovanie začína formulovaním hlavnej myšlienky, ktorú ním chcete sprostredkovať publiku. Hlavnou myšlienkou je odpoveď na otázku, čo presne nám dáta ukazujú a ako spolu súvisia.

Najjednoduchší spôsob formulácie Hlavná myšlienka- vložte to do názvu diagramu.

Názov by mal byť konkrétny a niesť odpoveď na otázku, ktorú položíte publiku. Pri výbere slov používajte kvantitatívne a kvalitatívne charakteristiky a snažte sa vyhnúť bežným frázam a výrazom.

Príklady špecifických a všeobecných nadpisov

Nezabudnite na hlavné pravidlo: jeden diagram - jeden nápad. Nesnažte sa ukázať všetky súvislosti a myšlienky, ktoré ste našli na jednom grafe. Takéto diagramy budú preťažené a ťažko čitateľné.

Určite typ porovnania

Akákoľvek myšlienka a myšlienka môže byť vyjadrená pomocou jedného z piatich typov porovnania. Vašou úlohou je vybrať správny typ porovnania a zvoliť preň vhodný diagram.

Malá nápoveda:

Čiastočné porovnanie – vaše údaje vykazujú určitý podiel vo vzťahu k celku.

Porovnanie polohy − Chcete ukázať, ako spolu údaje súvisia.

Časové porovnanie − Ukazujete, ako sa údaje menia v priebehu času.

Porovnanie frekvencie − Chcete ukázať, koľko objektov spadá do určitých rozsahov.

Korelačné porovnanie − Ukazujete, ako spolu údaje súvisia.

Výber dokonalého grafu

Každý typ porovnania má svoj vlastný typ grafov. Je to od neho správna voľba závisí zrozumiteľnosť vnímania vizualizovaných údajov.

Celkovo existuje päť typov grafov a niektoré z ich variácií a kombinácií:

1. Koláčový graf

Známy „koláč“ je najpoužívanejším typom grafu. Podľa Jina je to neopodstatnené, pretože tento typ je najmenej praktický a mal by tvoriť niečo vyše 5 % všetkých diagramov v prezentáciách.

2. Stĺpcový graf

Jednotlivé hodnoty v tomto grafe sú reprezentované pruhmi rôznej dĺžky usporiadanými horizontálne pozdĺž osi x. Podľa autora ide o najviac podceňovaný graf, najflexibilnejší a najuniverzálnejší typ a mal by tvoriť 25 % všetkých používané grafy.

3. Histogram

Kvantitatívne pomery určitého ukazovateľa sú prezentované vo forme obdĺžnikov, ktorých plochy sú úmerné. Najčastejšie sa pre pohodlie vnímania berie šírka obdĺžnikov rovnaká, zatiaľ čo ich výška určuje pomer zobrazeného parametra.

4. Graf

Čiarové grafy, ktoré poznajú všetci zo školy, pozostávajú z bodov na súradnicovej mriežke spojených čiarami. Používa sa na charakterizáciu variácií, dynamiky a vzťahov. Spolu s histogramom by mali tvoriť polovicu použitých grafov.

5. Bodový graf

Je to tiež bodový graf, slúži na umiestnenie údajových bodov na vodorovnú a vertikálna os ukázať mieru vplyvu jednej premennej na druhú. Podľa Zelazného by sa mal použiť v 10 % prípadov.

Nezabudni! hlavným cieľomľubovoľný graf – na jasné zobrazenie spojení alebo závislostí medzi údajmi. Ak ilustrácia nedokáže odrážať vzťah, je lepšie použiť tabuľky.

dvojité porovnanie

V niektorých prípadoch je potrebné zobraziť niekoľko typov porovnávaných údajov a vzťah medzi nimi na jednom grafe.

V takýchto prípadoch je potrebné určiť hlavný typ porovnania a na základe neho vybrať graf. Ak chcete napríklad zobraziť podiel jednotlivých oddelení na celkových tržbách spoločnosti v závislosti od mesiacov, je lepšie použiť na časové porovnanie typy grafov: graf alebo stĺpcový graf. A ak vás viac nezaujímajú zmeny v čase, ale konkrétne úspechy, použite stĺpcové grafy.

Pamätajte: ak nemôžete jednoducho a jasne vyjadriť hlavnú myšlienku na jednom grafe kombináciou údajov, je lepšie použiť dva samostatné widgety.

Váhy, legendy a iné nápisy

Ideálny diagram je zrozumiteľný aj bez Ďalšie informácie na nej. To však neznamená, že nemôžete použiť stupnicu alebo legendu na lepšiu komunikáciu hlavného bodu.

Všeobecné pravidlá pre pridávanie ďalších informácií:

Nepreťažujú diagram.

Neodvádzajú pozornosť od hlavného obrazu.

Dopĺňajú schému.

Konkrétne príklady pre každý typ porovnania a grafov nájdete v knihe alebo ich použite. elektronickej verzii na webovej stránke vydavateľstva.

Abstrakt z hodiny matematiky v 6. ročníku na tému „Diagramy“.

Smirnova Larisa Vladimirovna, učiteľka strednej školy Bolshekoshinskaya v regióne Tver, okres Selizharovsky, obec Bolshaya Kosha
Popis materiálu: Navrhujem vypracovanie vyučovacej hodiny matematiky interaktívnymi vyučovacími metódami v 6. ročníku na tému „Diagramy“. Tento materiál bude užitočný pre učiteľov matematiky, ktorí vyučujú podľa učebnice I. I. Zubareva, A. G. Mordkovicha.
Účel lekcie: zaviesť pojem graf rôzne druhy diagramy; naučiť študentov čítať diagramy a odpovedať na otázky.
Vybavenie: počítač, projektor, písomka.
Metodické metódy: rozhovor – dialóg, herná situácia, práca v malých skupinách.

Priebeh udalosti.

Motivácia.
Každý deň musíme pracovať s obrovským množstvom informácií. Je nemožné zapamätať si všetky informácie, ktoré k nám prichádzajú. Preto si zapisujeme to najpotrebnejšie pre nás. Navyše sa snažíme zaznamenávať tak, aby sme neskôr tieto informácie mohli ľahko použiť – vybrať potrebné údaje, niečo porovnať.
Tabuľka je najjednoduchší spôsob usporiadania údajov. Niektoré tabuľky už poznáme (násobilka, rozvrh hodín, stránka denníka).

Tabuľky sú pohodlné na objednávanie a vyhľadávanie údajov (uľahčujú hľadanie potrebných informácií, nenútia vás študovať všetky dostupné informácie, ale okamžite nájdete to, čo potrebujete, uľahčujú porovnávanie informácií rovnakého typu a potrebný výber). Neposkytujú však vizuálnu reprezentáciu. Preto sa dnes zoznámime s iným spôsobom podávania informácií, ktorý je v mnohých smeroch pohodlnejší a prehľadnejší ako tabuľka.
Ak chcete zistiť tému našej lekcie, musíte vyriešiť jednoduché šifrovanie. S úlohou sa ľahko vyrovnáte, ak si pamätáte, ako rozložiť čísla na prvočísla.

Prezentácia témy a cieľov lekcie.
Témou našej lekcie je teda „Diagramy, čítanie diagramov“
Dnes sa v lekcii naučíme: čo je diagram, aké typy diagramov existujú, ako správne čítať diagramy.
Učenie sa nového materiálu.
Urobili ste prieskum medzi žiakmi 4. – 9. ročníka na tému „Obľúbené ročné obdobie“ a poskytli ste mi tabuľku. Urobil som graf na tomto stole.

Porovnajte tabuľku a graf.
1. Pomocou čoho - tabuliek alebo grafov je podľa vás pohodlnejšie porovnávať údaje?
2. Aký je najnázornejší, vizuálny spôsob podávania informácií – vo forme tabuľky alebo diagramu?
Diagramy sa používajú, keď chcú vizuálne prezentovať nejaké informácie. Grafy sa často používajú v novinách, časopisoch a knihách na znázornenie rôznych údajov. Údaje v grafoch sa porovnávajú ľahšie ako v tabuľkách.
Zapíšme si definíciu grafu.
Diagram (v preklade z gréčtiny diagramma - obrázok, kresba, kresba) je grafický obrázok, ktorý jasne zobrazuje pomer ľubovoľných veličín.
Existuje mnoho typov grafov: stĺpcové, lineárne, kruhové, kužeľové;
cylindrický. Typ grafu závisí od geometrický obrazec sú prezentované informácie.

Zoberme si obrázok 8. V ňom sú vo forme diagramu uvedené informácie o rozdelení výdavkov na osobu a mesiac. Čo si myslíte, aké informácie sú v tomto diagrame horizontálne? (Typ výdavkov) A vertikálne? (Výška výdavkov) Vo forme akých čísel sú v diagrame znázornené typy výdavkov? (bary) Ako by sa volal takýto diagram? (stĺpcový)

Pozrime sa na obrázok 9. Aké čísla predstavujú typy výdavkov v tomto diagrame? (Čiarky) Ako by sa volal takýto diagram? (lineárne)

Pozrime sa na obrázok 10. Aké čísla predstavujú typy výdavkov v tomto diagrame? (Kuželky). Ako sa volá takýto diagram? (kónický)

Pozrime sa na obrázok 11. Aké čísla predstavujú typy výdavkov v tomto diagrame? (Valce). Ako sa volá takýto diagram? (valcový)

Zvážte obrázok 12. Aký údaj predstavuje druhy výdavkov v tomto diagrame? (Kruh). Ako sa volá takýto diagram? (Kruhový). Aký je rozdiel medzi koláčovým grafom a všetkými ostatnými? (Kruh je rozdelený na podiely (časti). Každá časť predstavuje určitý druh výdavku)
interaktívne cvičenie.
Vysvetlenie pravidiel interaktívneho cvičenia:
Teraz sa naučme čítať diagramy. Ak to chcete urobiť, odporúčame vám zahrať si hru Interview. Budete sa hrať na novinárov, to znamená, že sa ma budete pýtať a ja budem komparzista - odpovedzte na vaše otázky. (Deti dostanú pripravené otázky na kartách, učiteľ odpovedá na položené otázky a ukazuje, ako čítať z diagramu)

Otázky k diagramu:
Aké je najlepšie obdobie roka pre dáždniky? (Leto)
V ktorom ročnom období sa dáždniky predávajú najhoršie? (zima)
V akom ročnom období sa palčiaky nepredávajú? (Leto)
V ktorom ročnom období sa palčiaky najlepšie predávajú? (zima)
Aký produkt sa predáva približne rovnako vo všetkých ročných obdobiach? (rukavice)
Čo sa na jar predáva lepšie – rukavice alebo palčiaky? (rukavice)
Koľkokrát sú palčiaky v zime lepšie ako dáždniky? (2 krát)
Koľkokrát sa dáždniky v lete predávajú lepšie ako rukavice? (9 krát)
Aký produkt sa predáva rovnako na jar av lete? (tašky)
Urobte interaktívne cvičenie.
Teraz vám odporúčam hrať túto hru vo dvojiciach.
Vašou úlohou je diskutovať o otázkach a písať odpovede do zošita.
Ďalej by ste mali odpovedať na tieto otázky pri tabuli formou rozhovoru.
Otázky k diagramom.

Obsah vitamínu A (mg na 100 g)
Je pravda, že mrkva je hlavným zdrojom vitamínu A?
Usporiadajte potraviny tak, aby sa zvýšil obsah vitamínu A.
Ktorá potravina má najviac vitamínu A?
Aká je posledná potravina z hľadiska obsahu vitamínu A?
O koľko viac vitamínu A má zelený hrášok ako čierne ríbezle?
O koľko vitamínu A je menej v suchých šípkach ako v mrkve?
Koľkokrát viac vitamínu A je v mrkve ako v červenej paprike?

Obsah vitamínu C (mg na 100 g)
Je pravda, že citrón je hlavným zdrojom vitamínu C?
Ktorá potravina obsahuje najviac vitamínu C?
Ktorá potravina obsahuje najmenej vitamínu C?
Koľkokrát viac vitamínu C obsahuje suchý šípok ako citrón?
Koľkokrát obsahuje pomaranč menej vitamínu C ako suchý?
Šípka?
Aký je druhý najväčší produkt vitamínu C?
O koľko viac vitamínu C je v červenej paprike ako v čiernej ríbezli?

Aké je najlepšie ročné obdobie na šaty?
V ktorom ročnom období sa sukne predávajú najhoršie?
Aký je najpredávanejší tovar na jar?
Aký je na jar najhoršie predávaný produkt?
Aký je najpredávanejší produkt v zime?
Aký je najpredávanejší produkt v zime?
Koľkokrát sa sukne predávajú lepšie na jar ako v zime?
Aký produkt je najmenej obľúbený na jeseň, v zime a na jar?

Výška príjmov obchodného podniku (v tisícoch rubľov) za rôzne tovary
Kedy je najlepšie ročné obdobie na predaj banánov?
V ktorom ročnom období najviac predávate pomaranče?
Ktorý produkt sa na jeseň predáva najlepšie?
Aký je najpredávanejší produkt v lete?
Ktorý produkt sa na jar predáva najlepšie?
Ktorý produkt sa v lete predáva najlepšie?
O koľkokrát sa banány predávajú lepšie v zime ako na jeseň?
Ktorý produkt je najmenej obľúbený vo všetkých ročných obdobiach?
Reflexia.
Pokračujte vo vete:
Dnes som sa dozvedel….
Dnes som sa naučil...
V budúcnosti by som sa rád naučil...
Odpovedz na otázku:
čo je graf?
Aké sú grafy?
Čo majú tabuľky a grafy spoločné, aký je rozdiel?
Chceli by ste sa naučiť vytvárať diagramy sami?
Hodnotenie. Sebavedomie.
Skúste niekoľkými slovami zhodnotiť svoju prácu a prácu vašej skupiny.
Čo sa podarilo? Na čom ešte treba popracovať?
Domáca úloha: odsek 34, č. 1028 (a, b), str. 229-230 počítadlo. úlohy №2,3