Online kalkulačka uhla medzi čiarami s riešením. Nájdenie uhla medzi rovnými čiarami

Definícia. Ak sú dané dve čiary y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, potom ostrý uhol medzi týmito čiarami bude definovaný ako

Dve čiary sú rovnobežné, ak k 1 = k 2. Dve čiary sú kolmé, ak k 1 = -1/ k 2.

Veta.Čiary Ax + Bу + C = 0 a A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sú rovnobežné, keď sú koeficienty A 1 = λA, B 1 = λB úmerné. Ak aj C 1 = λC, potom sa čiary zhodujú. Súradnice priesečníka dvoch priamok sa nachádzajú ako riešenie sústavy rovníc týchto priamok.

Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom

Kolmo na danú čiaru

Definícia. Priamka prechádzajúca bodom M 1 (x 1, y 1) a kolmá na priamku y = kx + b je vyjadrená rovnicou:

Vzdialenosť od bodu k čiare

Veta. Ak je daný bod M(x 0, y 0), potom vzdialenosť k priamke Ax + Bу + C = 0 je určená ako

.

Dôkaz. Nech bod M 1 (x 1, y 1) je základňou kolmice spadnutej z bodu M na danú priamku. Potom vzdialenosť medzi bodmi M a M 1:

(1)

Súradnice x 1 a y 1 možno nájsť riešením sústavy rovníc:

Druhá rovnica sústavy je rovnica priamky prechádzajúcej cez ňu daný bod M 0 je kolmá na danú priamku. Ak transformujeme prvú rovnicu systému do tvaru:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

potom pri riešení dostaneme:

Dosadením týchto výrazov do rovnice (1) zistíme:

Veta je dokázaná.

Príklad. Určte uhol medzi čiarami: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

ki = -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p/4.

Príklad. Ukážte, že priamky 3x – 5y + 7 = 0 a 10x + 6y – 3 = 0 sú kolmé.

Riešenie. Nájdeme: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, teda čiary sú kolmé.

Príklad. Dané sú vrcholy trojuholníka A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Nájdite rovnicu výšky nakreslenú z vrcholu C.

Riešenie. Nájdeme rovnicu strany AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Požadovaná výšková rovnica má tvar: Ax + By + C = 0 alebo y = kx + b. k = . Potom y =. Pretože nadmorská výška prechádza bodom C, vtedy jej súradnice vyhovujú túto rovnicu: odkiaľ b = 17. Spolu: .

Odpoveď: 3 x + 2 roky – 34 = 0.

Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom v danom smere. Rovnica priamky prechádzajúcej cez dva dané body. Uhol medzi dvoma priamymi čiarami. Podmienka rovnobežnosti a kolmosti dvoch priamok. Určenie priesečníka dvoch priamok

1. Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom A(X 1 , r 1) v danom smere, určenom sklonom k,

r - r 1 = k(X - X 1). (1)

Táto rovnica definuje ceruzku čiar prechádzajúcich bodom A(X 1 , r 1), ktorý sa nazýva stred lúča.

2. Rovnica priamky prechádzajúcej cez dva body: A(X 1 , r 1) a B(X 2 , r 2), napísané takto:

Uhlový koeficient priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi je určený vzorcom

3. Uhol medzi rovnými čiarami A A B je uhol, o ktorý sa musí otočiť prvá priamka A okolo priesečníka týchto čiar proti smeru hodinových ručičiek, kým sa nezhoduje s druhou čiarou B. Ak sú dve priamky dané rovnicami so sklonom

r = k 1 X + B 1 ,

r = k 2 X + B 2 , (4)

potom je uhol medzi nimi určený vzorcom

Treba poznamenať, že v čitateli zlomku sa sklon prvého riadku odpočítava od sklonu druhého riadku.

Ak sú rovnice priamky uvedené v všeobecný pohľad

A 1 X + B 1 r + C 1 = 0,

A 2 X + B 2 r + C 2 = 0, (6)

uhol medzi nimi je určený vzorcom

4. Podmienky pre rovnobežnosť dvoch čiar:

a) Ak sú priamky dané rovnicami (4) s uhlovým koeficientom, potom nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou ich rovnobežnosti je rovnosť ich uhlových koeficientov:

k 1 = k 2 . (8)

b) Pre prípad, keď sú priamky dané rovnicami vo všeobecnom tvare (6), je nutnou a postačujúcou podmienkou ich rovnobežnosti, aby koeficienty pre zodpovedajúce súradnice prúdu v ich rovniciach boli úmerné, t.j.

5. Podmienky pre kolmosť dvoch priamok:

a) V prípade, keď sú priamky dané rovnicami (4) s uhlovým koeficientom, nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou ich kolmosti je, aby ich uhlové koeficienty boli inverzné čo do veľkosti a opačného znamienka, t.j.

Túto podmienku je možné zapísať aj do formulára

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Ak sú rovnice priamok uvedené vo všeobecnom tvare (6), potom podmienkou ich kolmosti (nutnej a postačujúcej) je splnenie rovnosti

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Súradnice priesečníka dvoch priamok nájdeme riešením sústavy rovníc (6). Čiary (6) sa pretínajú vtedy a len vtedy

1. Napíšte rovnice priamok prechádzajúcich bodom M, z ktorých jedna je rovnobežná a druhá kolmá na danú priamku l.

Budem stručný. Uhol medzi dvoma priamkami sa rovná uhlu medzi ich smerovými vektormi. Ak sa vám teda podarí nájsť súradnice smerových vektorov a = (x 1 ; y 1 ; z 1) a b = (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2), môžete nájsť uhol. Presnejšie, kosínus uhla podľa vzorca:

Pozrime sa, ako tento vzorec funguje na konkrétnych príkladoch:

Úloha. V kocke ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 sú vyznačené body E a F - stredy hrán A 1 B 1 a B 1 C 1, resp. Nájdite uhol medzi čiarami AE a BF.

Keďže hrana kocky nie je zadaná, nastavíme AB = 1. Zavedieme štandardný súradnicový systém: počiatok je v bode A, osi x, y, z smerujú pozdĺž AB, AD a AA 1, v tomto poradí. Jednotkový segment sa rovná AB = 1. Teraz nájdime súradnice smerových vektorov pre naše čiary.

Nájdite súradnice vektora AE. Na to potrebujeme body A = (0; 0; 0) a E = (0,5; 0; 1). Keďže bod E je stredom úsečky A 1 B 1, jeho súradnice sa rovnajú aritmetickému priemeru súradníc koncov. Všimnite si, že počiatok vektora AE sa zhoduje s počiatkom súradníc, takže AE = (0,5; 0; 1).

Teraz sa pozrime na BF vektor. Podobne analyzujeme body B = (1; 0; 0) a F = (1; 0,5; 1), pretože F je stred segmentu B 1 C 1. Máme:
BF = (1 − 1; 0,5 − 0; 1 − 0) = (0; 0,5; 1).

Smerové vektory sú teda pripravené. Kosínus uhla medzi priamkami je kosínus uhla medzi smerovými vektormi, takže máme:

Úloha. V pravidelnom trojuholníkovom hranole ABCA 1 B 1 C 1, ktorého všetky hrany sú rovné 1, sú vyznačené body D a E - stredy hrán A 1 B 1 a B 1 C 1, resp. Nájdite uhol medzi čiarami AD a BE.

Zavedieme štandardný súradnicový systém: počiatok je v bode A, os x smeruje pozdĺž AB, z - pozdĺž AA 1. Nasmerujme os y tak, aby sa rovina OXY zhodovala s rovinou ABC. Jednotkový segment sa rovná AB = 1. Nájdite súradnice smerových vektorov pre požadované čiary.

Najprv nájdime súradnice vektora AD. Zvážte body: A = (0; 0; 0) a D = (0,5; 0; 1), pretože D - stred segmentu A 1 B 1. Keďže začiatok vektora AD sa zhoduje s počiatkom súradníc, dostaneme AD = (0,5; 0; 1).

Teraz nájdime súradnice vektora BE. Bod B = (1; 0; 0) sa dá ľahko vypočítať. S bodom E - stredom segmentu C 1 B 1 - je to trochu zložitejšie. Máme:

Zostáva nájsť kosínus uhla:

Úloha. V pravidelnom šesťhrannom hranole ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, ktorého všetky hrany sú rovné 1, sú vyznačené body K a L - stredy hrán A 1 B 1 a B 1 C 1, resp. . Nájdite uhol medzi priamkami AK a BL.

Zavedme štandardný súradnicový systém pre hranol: počiatok súradníc umiestnime do stredu spodnej základne, os x smeruje pozdĺž FC, os y smeruje cez stredy segmentov AB a DE a os z os smeruje vertikálne nahor. Jednotkový segment je opäť rovný AB = 1. Zapíšme si súradnice bodov záujmu, ktoré nás zaujímajú:

Body K a L sú stredovými bodmi segmentov A 1 B 1 a B 1 C 1, takže ich súradnice sa nachádzajú aritmetickým priemerom. Keď poznáme body, nájdeme súradnice smerových vektorov AK a BL:

Teraz nájdime kosínus uhla:

Úloha. V pravidelnej štvorhrannej pyramíde SABCD, ktorej všetky hrany sú rovné 1, sú označené body E a F - stredy strán SB a SC. Nájdite uhol medzi čiarami AE a BF.

Zavedme štandardný súradnicový systém: počiatok je v bode A, osi x a y sú nasmerované pozdĺž AB a AD a os z smeruje vertikálne nahor. Jednotkový segment sa rovná AB = 1.

Body E a F sú stredovými bodmi segmentov SB a SC, takže ich súradnice sa nachádzajú ako aritmetický priemer koncov. Zapíšme si súradnice bodov záujmu:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Keď poznáme body, nájdeme súradnice smerových vektorov AE a BF:

Súradnice vektora AE sa zhodujú so súradnicami bodu E, pretože bod A je počiatok. Zostáva nájsť kosínus uhla:

Inštrukcie

Poznámka

Perióda funkcie trigonometrickej dotyčnice sa rovná 180 stupňom, čo znamená, že uhly sklonu priamych čiar nemôžu v absolútnej hodnote prekročiť túto hodnotu.

Užitočné rady

Ak sú uhlové koeficienty navzájom rovnaké, potom je uhol medzi týmito čiarami 0, pretože tieto čiary sa buď zhodujú, alebo sú rovnobežné.

Na určenie hodnoty uhla medzi pretínajúcimi sa priamkami je potrebné obe priamky (alebo jednu z nich) presunúť do novej polohy metódou paralelný prenos pred križovatkou. Potom by ste mali nájsť uhol medzi výslednými pretínajúcimi sa čiarami.

Budete potrebovať

• pravítko, správny trojuholník, ceruzka, uhlomer.

Inštrukcie

Nech je teda daný vektor V = (a, b, c) a rovina A x + B y + C z = 0, kde A, B a C sú súradnice normály N. Potom kosínus uhla α medzi vektormi V a N sa rovná: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

Na výpočet uhla v stupňoch alebo radiánoch je potrebné z výsledného výrazu vypočítať inverznú funkciu ku kosínusu, t.j. arkkozín:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

Príklad: nájsť rohu medzi vektor(5, -3, 8) a lietadlo, daný všeobecná rovnica 2 x – 5 y + 3 z = 0. Riešenie: zapíšte súradnice normálového vektora roviny N = (2, -5, 3). Dosaďte všetky známe hodnoty do daného vzorca: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Video k téme

Priamka, ktorá má jeden spoločný bod s kružnicou, je dotyčnicou kružnice. Ďalšou vlastnosťou dotyčnice je, že je vždy kolmá na polomer nakreslený k bodu dotyku, to znamená, že dotyčnica a polomer tvoria priamku. rohu. Ak sú dve dotyčnice ku kružnici AB a AC nakreslené z jedného bodu A, potom sú si vždy navzájom rovné. Určenie uhla medzi dotyčnicami ( rohu ABC) sa robí pomocou Pytagorovej vety.

Inštrukcie

Na určenie uhla potrebujete poznať polomer kružnice OB a OS a vzdialenosť začiatočného bodu dotyčnice od stredu kružnice - O. Takže uhly ABO a ASO sú rovnaké, polomer OB je, napríklad 10 cm a vzdialenosť od stredu kružnice AO je 15 cm Určte dĺžku dotyčnice pomocou vzorca v súlade s Pytagorovou vetou: AB = Odmocnina od AO2 – OB2 alebo 152 - 102 = 225 – 100 = 125;

Uhol medzi priamkami v priestore budeme nazývať ktorýkoľvek zo susedných uhlov tvorených dvoma priamkami vedenými cez ľubovoľný bod rovnobežný s údajmi.

Nech sú v priestore uvedené dve čiary:

Je zrejmé, že uhol φ medzi priamkami možno brať ako uhol medzi ich smerovými vektormi a . Pretože potom pomocou vzorca pre kosínus uhla medzi vektormi dostaneme

Podmienky rovnobežnosti a kolmosti dvoch priamok sú ekvivalentné podmienkam rovnobežnosti a kolmosti ich smerových vektorov a:

Dve rovno paralelný vtedy a len vtedy, ak sú im zodpovedajúce koeficienty pomerné, t.j. l 1 rovnobežka l 2 vtedy a len vtedy, ak sú rovnobežné .

Dve rovno kolmý práve vtedy, ak súčet súčinov príslušných koeficientov je rovný nule: .

U cieľ medzi čiarou a rovinou

Nech je to rovno d- nie je kolmá na rovinu θ;
d′− projekcia priamky d k rovine 9;
Najmenší z uhlov medzi priamymi čiarami d A d"zavoláme uhol medzi priamkou a rovinou.
Označme to ako φ=( d,θ)
Ak d⊥θ, potom ( d,0) = π/2

Oi→j→k→− pravouhlý súradnicový systém.
Rovinná rovnica:

θ: Ax+Autor:+Cz+D=0

Predpokladáme, že priamka je definovaná bodom a smerovým vektorom: d[M 0,p→]
Vektor n→(A,B,C)⊥θ
Potom zostáva zistiť uhol medzi vektormi n→ a p→, označme to ako γ=( n→,p→).

Ak je uhol γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Ak je uhol γ>π/2, potom požadovaný uhol je φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

potom uhol medzi priamkou a rovinou možno vypočítať pomocou vzorca:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√p 21+p 22+p 23

Otázka 29. Pojem kvadratickej formy. Znamenková určitosť kvadratických foriem.

Kvadratický tvar j (x 1, x 2, …, x n) n reálnych premenných x 1, x 2, …, x n sa nazýva súčet tvaru
, (1)

Kde a ij – niektoré čísla nazývané koeficienty. Bez straty všeobecnosti to môžeme predpokladať a ij = a ji.

Kvadratická forma je tzv platný, Ak a ij Î GR. Matica kvadratického tvaru sa nazýva matica zložená z jej koeficientov. Kvadratický tvar (1) zodpovedá jedinej symetrickej matici
Teda A T = A. V dôsledku toho možno kvadratickú formu (1) zapísať v maticovom tvare j ( X) = x T Ah, Kde x T = (X 1 X 2 … x n). (2)

A naopak, každá symetrická matica (2) zodpovedá jedinej kvadratickej forme až po zápis premenných.

Hodnosť kvadratického tvaru sa nazýva hodnosť jeho matice. Kvadratická forma je tzv nedegenerovaný, ak jeho matica nie je jednotná A. (pripomeňme, že matica A sa nazýva nedegenerovaná, ak jej determinant nie je rovná nule). V opačnom prípade je kvadratická forma degenerovaná.

kladné definitívne(alebo striktne pozitívne), ak

j ( X) > 0 , pre hocikoho X = (X 1 , X 2 , …, x n), okrem X = (0, 0, …, 0).

Matrix A pozitívne definitná kvadratická forma j ( X) sa nazýva aj pozitívne definitíva. Pozitívne definitná kvadratická forma teda zodpovedá jedinečnej pozitívne definitívnej matici a naopak.

Kvadratická forma (1) sa nazýva negatívne definované(alebo striktne negatívne), ak

j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), okrem X = (0, 0, …, 0).

Podobne ako vyššie, matica negatívne definitívnej kvadratickej formy sa tiež nazýva negatívne definitná.

V dôsledku toho je kladná (záporná) určitá kvadratická forma j ( X) dosiahne minimálnu (maximálnu) hodnotu j ( X*) = 0 at X* = (0, 0, …, 0).

Všimnite si, že väčšina kvadratických foriem nie je znamienkovo ​​definovaná, to znamená, že nie sú ani pozitívne, ani negatívne. Takéto kvadratické formy sa menia na 0 nielen v počiatku súradnicového systému, ale aj v iných bodoch.

Kedy n> 2, na kontrolu znamienka kvadratického tvaru sú potrebné špeciálne kritériá. Pozrime sa na ne.

Hlavne maloletí kvadratické formy sa nazývajú maloletí:

to znamená, že ide o maloletých v poradí 1, 2, ..., n matice A, umiestnený v ľavom hornom rohu, posledný z nich sa zhoduje s determinantom matice A.

Pozitívne kritérium jednoznačnosti (Sylvesterovo kritérium)

X) = x T Ah bola kladná definitívna, je potrebné a postačujúce, aby všetky hlavné neplnoleté matice A boli pozitívne, teda: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Negatívne kritérium istoty Aby kvadratická forma j ( X) = x T Ah bol záporne určitý, je potrebné a postačujúce, aby jeho hlavné maloletí párneho poradia boli kladné a nepárneho poradia - záporné, t.j.: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n

Ach-och-och-och-och... no je to ťažké, akoby si čítal vetu sám pre seba =) Relax však pomôže neskôr, najmä keď som si dnes kúpila príslušné doplnky. Preto poďme k prvej časti, dúfam, že do konca článku si udržím veselú náladu.

Relatívna poloha dvoch priamych čiar

To je prípad, keď publikum spieva v zbore. Dve rovné čiary môžu:

1) zápas;

2) byť paralelné: ;

3) alebo sa pretínajú v jediný bod: .

Pomoc pre figuríny : Prosím, zapamätajte si matematickú značku križovatky, bude sa objavovať veľmi často. Zápis znamená, že čiara sa pretína s čiarou v bode .

Ako určiť vzájomnú polohu dvoch čiar?

Začnime prvým prípadom:

Dve čiary sa zhodujú vtedy a len vtedy, ak sú ich zodpovedajúce koeficienty proporcionálne, to znamená, že existuje číslo „lambda“, aby boli splnené rovnosti

Uvažujme priame čiary a zo zodpovedajúcich koeficientov vytvorte tri rovnice: . Z každej rovnice vyplýva, že tieto čiary sa teda zhodujú.

Vskutku, ak sú všetky koeficienty rovnice vynásobte –1 (znamienka zmeny) a všetky koeficienty rovnice znížením o 2, dostanete rovnakú rovnicu: .

Druhý prípad, keď sú čiary rovnobežné:

Dve čiary sú rovnobežné vtedy a len vtedy, ak sú ich koeficienty premenných úmerné: , Ale.

Ako príklad zvážte dve priame čiary. Skontrolujeme proporcionalitu zodpovedajúcich koeficientov pre premenné:

Je však celkom zrejmé, že.

A tretí prípad, keď sa čiary pretínajú:

Dve čiary sa pretínajú vtedy a len vtedy, ak ich koeficienty premenných NIE sú proporcionálne, to znamená, že NEEXISTUJE taká hodnota „lambda“, aby boli splnené rovnosti

Takže pre priame čiary vytvoríme systém:

Z prvej rovnice vyplýva, že , a z druhej rovnice: , čo znamená systém je nekonzistentný(žiadne riešenia). Koeficienty premenných teda nie sú proporcionálne.

Záver: čiary sa pretínajú

V praktických problémoch môžete použiť práve diskutovanú schému riešenia. Mimochodom, veľmi to pripomína algoritmus na kontrolu kolinearity vektorov, na ktorý sme sa pozreli v triede Koncept lineárnej (ne)závislosti vektorov. Základy vektorov. Existuje však civilizovanejší obal:

Príklad 1

Zistite vzájomnú polohu čiar:

Riešenie založené na štúdiu smerových vektorov priamych čiar:

a) Z rovníc nájdeme smerové vektory priamok: .

, čo znamená, že vektory nie sú kolineárne a čiary sa pretínajú.

Pre každý prípad dám na križovatku kameň so značkami:

Zvyšok preskočte kameň a choďte ďalej, priamo ku Kašchei nesmrteľnému =)

b) Nájdite smerové vektory čiar:

Čiary majú rovnaký smerový vektor, čo znamená, že sú buď rovnobežné alebo zhodné. Tu nie je potrebné počítať determinant.

Je zrejmé, že koeficienty neznámych sú úmerné a .

Poďme zistiť, či je rovnosť pravdivá:

teda

c) Nájdite smerové vektory čiar:

Vypočítajme determinant tvorený súradnicami týchto vektorov:
, preto sú smerové vektory kolineárne. Čiary sú buď rovnobežné alebo zhodné.

Koeficient proporcionality „lambda“ je ľahko viditeľný priamo z pomeru vektorov kolineárneho smeru. Dá sa to však zistiť aj prostredníctvom koeficientov samotných rovníc: .

Teraz poďme zistiť, či je rovnosť pravdivá. Oba voľné termíny sú nulové, takže:

Výsledná hodnota spĺňa túto rovnicu (vo všeobecnosti ju spĺňa akékoľvek číslo).

Čiary sa teda zhodujú.

Odpoveď:

Veľmi skoro sa naučíte (alebo dokonca ste sa už naučili) riešiť diskutovaný problém doslova v priebehu niekoľkých sekúnd. V tomto ohľade nevidím zmysel ponúkať čokoľvek pre nezávislé riešenie, je lepšie položiť ďalšiu dôležitú tehlu do geometrického základu:

Ako zostrojiť priamku rovnobežnú s danou?

Pre neznalosť tohto najjednoduchšia úloha Zbojník slávik prísne trestá.

Príklad 2

Priamka je daná rovnicou. Napíšte rovnicu pre rovnobežku, ktorá prechádza bodom.

Riešenie: Neznámy riadok označme písmenom . Čo o nej hovorí stav? Priamka prechádza bodom. A ak sú čiary rovnobežné, potom je zrejmé, že smerový vektor priamky „tse“ je vhodný aj na zostrojenie priamky „de“.

Z rovnice vyberieme smerový vektor:

Odpoveď:

Príklad geometrie vyzerá jednoducho:

Analytické testovanie pozostáva z nasledujúcich krokov:

1) Skontrolujeme, či priamky majú rovnaký smerový vektor (ak rovnica priamky nie je správne zjednodušená, vektory budú kolineárne).

2) Skontrolujte, či bod vyhovuje výslednej rovnici.

Vo väčšine prípadov možno analytické testovanie ľahko vykonať ústne. Pozrite sa na dve rovnice a mnohí z vás rýchlo určia rovnobežnosť čiar bez akéhokoľvek kreslenia.

Príklady nezávislých riešení dnes budú kreatívne. Pretože stále budete musieť súťažiť s Babou Yagou a ona, viete, je milovníčkou najrôznejších hádaniek.

Príklad 3

Napíšte rovnicu pre priamku prechádzajúcu bodom rovnobežným s priamkou ak

Existuje racionálny a nie až taký racionálny spôsob, ako to vyriešiť. Najkratšia cesta je na konci hodiny.

Trochu sme pracovali s paralelnými líniami a vrátime sa k nim neskôr. Prípad zhodujúcich sa línií je málo zaujímavý, preto sa pozrime na problém, ktorý je vám známy školské osnovy:

Ako nájsť priesečník dvoch čiar?

Ak rovno pretínajú v bode , potom sú jeho súradnice riešením sústavy lineárnych rovníc

Ako nájsť priesečník čiar? Vyriešte systém.

Nech sa páči geometrický význam systémy dvoch lineárne rovnice s dvoma neznámymi- sú to dve pretínajúce sa (najčastejšie) čiary v rovine.

Príklad 4

Nájdite priesečník čiar

Riešenie: Existujú dva spôsoby riešenia - grafický a analytický.

Grafická metóda je jednoducho nakresliť dané čiary a zistiť priesečník priamo z výkresu:

Tu je naša pointa: . Pre kontrolu by ste mali nahradiť jej súradnice do každej rovnice čiary, mali by sa zmestiť tam aj tam. Inými slovami, súradnice bodu sú riešením systému. V podstate sme sa pozreli na grafické riešenie sústavy lineárnych rovníc s dvoma rovnicami, dvoma neznámymi.

Grafická metóda samozrejme nie je zlá, no sú tu citeľné nevýhody. Nie, nejde o to, že siedmaci sa takto rozhodujú, ide o to, že vytvorenie správneho a PRESNEHO nákresu zaberie čas. Navyše, niektoré rovné čiary nie je také ľahké zostrojiť a samotný priesečník sa môže nachádzať niekde v tridsiatom kráľovstve mimo zošitového listu.

Preto je vhodnejšie hľadať priesečník analytická metóda. Poďme vyriešiť systém:

Na riešenie systému bola použitá metóda sčítania rovníc po členoch. Ak chcete rozvíjať príslušné zručnosti, vezmite si lekciu Ako vyriešiť sústavu rovníc?

Odpoveď:

Kontrola je triviálna - súradnice priesečníka musia spĺňať každú rovnicu systému.

Príklad 5

Nájdite priesečník čiar, ak sa pretínajú.

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Je vhodné rozdeliť úlohu do niekoľkých etáp. Analýza stavu naznačuje, že je potrebné:
1) Napíšte rovnicu priamky.
2) Napíšte rovnicu priamky.
3) Zistite vzájomnú polohu čiar.
4) Ak sa čiary pretínajú, nájdite priesečník.

Vývoj akčného algoritmu je typický pre mnohé geometrické problémy a budem sa na to opakovane zameriavať.

Úplné riešenie a odpoveď na konci lekcie:

Predtým, ako sme sa dostali k druhej časti lekcie, neboli opotrebované ani topánky:

Kolmé čiary. Vzdialenosť od bodu k čiare.
Uhol medzi rovnými čiarami

Začnime typickou a veľmi dôležitou úlohou. V prvej časti sme sa naučili, ako postaviť priamku rovnobežnú s touto, a teraz sa chatrč na kuracích stehnách otočí o 90 stupňov:

Ako zostrojiť priamku kolmú na danú?

Príklad 6

Priamka je daná rovnicou. Napíšte rovnicu kolmú na priamku prechádzajúcu bodom.

Riešenie: Podľa podmienok je známe, že . Bolo by pekné nájsť smerový vektor čiary. Keďže čiary sú kolmé, trik je jednoduchý:

Z rovnice „odstránime“ normálový vektor: , ktorý bude smerovacím vektorom priamky.

Zostavme rovnicu priamky pomocou bodu a smerového vektora:

Odpoveď:

Rozšírime geometrický náčrt:

Hmmm... Oranžová obloha, oranžové more, oranžová ťava.

Analytické overenie riešenia:

1) Z rovníc vyberieme smerové vektory a s pomocou skalárny súčin vektorov prichádzame k záveru, že priamky sú skutočne kolmé: .

Mimochodom, môžete použiť normálne vektory, je to ešte jednoduchšie.

2) Skontrolujte, či bod vyhovuje výslednej rovnici .

Test je opäť jednoduché vykonať ústne.

Príklad 7

Nájdite priesečník kolmých čiar, ak je rovnica známa a bodka.

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. V úlohe je viacero akcií, preto je vhodné formulovať riešenie bod po bode.

Naša vzrušujúca cesta pokračuje:

Vzdialenosť od bodu k čiare

Máme pred sebou rovný pás rieky a našou úlohou je dostať sa k nemu najkratšou cestou. Neexistujú žiadne prekážky a najoptimálnejšou trasou bude pohyb po kolmici. To znamená, že vzdialenosť od bodu k priamke je dĺžka kolmého segmentu.

Vzdialenosť v geometrii sa tradične označuje gréckym písmenom „rho“, napríklad: – vzdialenosť od bodu „em“ k priamke „de“.

Vzdialenosť od bodu k čiare vyjadrené vzorcom

Príklad 8

Nájdite vzdialenosť od bodu k čiare

Riešenie: všetko, čo musíte urobiť, je starostlivo nahradiť čísla do vzorca a vykonať výpočty:

Odpoveď:

Urobme výkres:

Nájdená vzdialenosť od bodu k čiare je presne dĺžka červeného segmentu. Ak nakreslíte kresbu na kockovaný papier v mierke 1 jednotky. = 1 cm (2 bunky), potom možno vzdialenosť odmerať obyčajným pravítkom.

Uvažujme o ďalšej úlohe založenej na rovnakom výkrese:

Úlohou je nájsť súradnice bodu, ktorý je symetrický k bodu vzhľadom na priamku . Navrhujem vykonať kroky sami, ale načrtnem algoritmus riešenia s priebežnými výsledkami:

1) Nájdite čiaru, ktorá je kolmá na čiaru.

2) Nájdite priesečník čiar: .

Obe akcie sú podrobne diskutované v tejto lekcii.

3) Bod je stredom segmentu. Poznáme súradnice stredu a jedného z koncov. Autor: vzorce pre súradnice stredu segmentu nájdeme .

Bolo by dobré skontrolovať, či je vzdialenosť tiež 2,2 jednotky.

Tu môžu nastať problémy s výpočtami, ale mikrokalkulačka je veľkou pomocou vo veži, ktorá vám umožní vypočítať bežné zlomky. Už som Vám mnohokrát poradil a budem Vás odporúčať znova.

Ako nájsť vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými čiarami?

Príklad 9

Nájdite vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými čiarami

Toto je ďalší príklad, aby ste sa rozhodli sami. Dám vám malú nápovedu: existuje nekonečne veľa spôsobov, ako to vyriešiť. Zhrnutie na konci lekcie, ale je lepšie sa pokúsiť uhádnuť sami, myslím, že vaša vynaliezavosť bola dobre vyvinutá.

Uhol medzi dvoma rovnými čiarami

Každý roh je zárubňa:


V geometrii sa uhol medzi dvoma priamkami považuje za MENŠÍ uhol, z čoho automaticky vyplýva, že nemôže byť tupý. Na obrázku sa uhol označený červeným oblúkom nepovažuje za uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami. A jeho “zelený” sused resp opačne orientované„malinový“ kútik.

Ak sú čiary kolmé, potom ktorýkoľvek zo 4 uhlov možno považovať za uhol medzi nimi.

Ako sa líšia uhly? Orientácia. Po prvé, zásadne dôležitý je smer, v ktorom sa uhol „posúva“. Po druhé, negatívne orientovaný uhol sa zapíše so znamienkom mínus, napríklad ak .

Prečo som ti to povedal? Zdá sa, že si vystačíme s obvyklou koncepciou uhla. Faktom je, že vzorce, podľa ktorých nájdeme uhly, môžu ľahko vyústiť do negatívneho výsledku, a to by vás nemalo zaskočiť. Uhol so znamienkom mínus nie je o nič horší a má veľmi špecifický geometrický význam. V prípade záporného uhla na výkrese nezabudnite označiť jeho orientáciu šípkou (v smere hodinových ručičiek).

Ako nájsť uhol medzi dvoma priamkami? Existujú dva pracovné vzorce:

Príklad 10

Nájdite uhol medzi čiarami

Riešenie A Metóda jedna

Zvážte dve priame čiary, dané rovnicami všeobecne:

Ak rovno nie kolmá, To orientovaný Uhol medzi nimi možno vypočítať pomocou vzorca:

Pozorne si všímajme menovateľa – presne taký je skalárny produkt smerovanie vektorov priamych čiar:

Ak , potom sa menovateľ vzorca stane nulou a vektory budú ortogonálne a čiary budú kolmé. Preto bola vznesená výhrada k nekolmosti priamych čiar vo formulácii.

Na základe vyššie uvedeného je vhodné formalizovať riešenie v dvoch krokoch:

1) Poďme počítať skalárny produkt smerovanie vektorov priamych čiar:
, čo znamená, že čiary nie sú kolmé.

2) Nájdite uhol medzi priamymi čiarami pomocou vzorca:

Pomocou inverznej funkcie je ľahké nájsť samotný uhol. V tomto prípade použijeme nepárnosť arkustangens (pozri. Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií):

Odpoveď:

V odpovedi uvádzame presná hodnota, ako aj približnú hodnotu (najlepšie v stupňoch a radiánoch), vypočítanú pomocou kalkulačky.

No, mínus, mínus, nič veľké. Tu je geometrická ilustrácia:

Nie je prekvapujúce, že sa ukázalo, že uhol má negatívnu orientáciu, pretože v probléme je prvé číslo priamka a „odskrutkovanie“ uhla začalo presne s ním.

Ak naozaj chcete získať kladný uhol, musíte zameniť čiary, to znamená vziať koeficienty z druhej rovnice a zoberte koeficienty z prvej rovnice. Stručne povedané, musíte začať s priamym .