Gaussov algoritmus na riešenie sústav lineárnych rovníc. Opačná metóda Gaussovej metódy

Gaussova metóda, nazývaná aj metóda postupnej eliminácie neznámych, je nasledovná. Pomocou elementárnych transformácií sa systém lineárnych rovníc dostane do takej formy, že jeho matica koeficientov sa ukáže ako lichobežníkový (rovnaký ako trojuholníkový alebo stupňovitý) alebo blízko k lichobežníkovi (priamy ťah Gaussovej metódy, ďalej - jednoducho rovný ťah). Príklad takéhoto systému a jeho riešenie je na obrázku vyššie.

V takomto systéme posledná rovnica obsahuje iba jednu premennú a jej hodnotu možno jednoznačne nájsť. Hodnota tejto premennej sa potom dosadí do predchádzajúcej rovnice ( inverzná ku Gaussovej metóde , potom len naopak), z ktorej sa nájde predchádzajúca premenná atď.

V lichobežníkovom (trojuholníkovom) systéme, ako vidíme, tretia rovnica už neobsahuje premenné r A X a druhá rovnica je premenná X .

Potom, čo matica systému nadobudne lichobežníkový tvar, už nie je ťažké pochopiť problematiku kompatibility systému, určiť počet riešení a nájsť riešenia samotné.

Výhody metódy:

1. pri riešení systémov lineárne rovnice s počtom rovníc a neznámych viac ako tri nie je Gaussova metóda taká ťažkopádna ako Cramerova metóda, keďže riešenie pomocou Gaussovej metódy vyžaduje menej výpočtov;
2. Pomocou Gaussovej metódy môžete riešiť neurčité sústavy lineárnych rovníc, teda mať spoločné rozhodnutie(a pozrieme sa na ne v tejto lekcii), ale pomocou Cramerovej metódy môžeme len konštatovať, že systém je neistý;
3. môžete riešiť sústavy lineárnych rovníc, v ktorých sa počet neznámych nerovná počtu rovníc (v tejto lekcii ich tiež rozoberieme);
4. Metóda je založená na elementárnych (školských) metódach - metóde dosadzovania neznámych a metóde sčítania rovníc, ktorých sme sa dotkli v zodpovedajúcom článku.

Aby každý pochopil jednoduchosť, s akou sa riešia lichobežníkové (trojuholníkové, stupňovité) sústavy lineárnych rovníc, uvádzame riešenie takejto sústavy pomocou spätného pohybu. Rýchle riešenie tohto systému bolo znázornené na obrázku na začiatku hodiny.

Príklad 1 Vyriešte systém lineárnych rovníc pomocou inverzných:

Riešenie. V tomto lichobežníkovom systéme premenná z možno jednoznačne nájsť z tretej rovnice. Jej hodnotu dosadíme do druhej rovnice a dostaneme hodnotu premennej r:

Teraz poznáme hodnoty dvoch premenných - z A r. Dosadíme ich do prvej rovnice a dostaneme hodnotu premennej X:

Z predchádzajúcich krokov vypíšeme riešenie sústavy rovníc:

Na získanie takejto lichobežníkovej sústavy lineárnych rovníc, ktorú sme vyriešili veľmi jednoducho, je potrebné použiť dopredný zdvih spojený s elementárnymi transformáciami sústavy lineárnych rovníc. Tiež to nie je veľmi ťažké.

Elementárne transformácie sústavy lineárnych rovníc

Opakovaním školskej metódy algebraického sčítania rovníc sústavy sme zistili, že k jednej z rovníc sústavy môžeme pridať ďalšiu rovnicu sústavy a každú z rovníc možno vynásobiť nejakými číslami. Výsledkom je systém lineárnych rovníc ekvivalentný tomuto systému. V nej už jedna rovnica obsahovala len jednu premennú, ktorej dosadením hodnoty do iných rovníc sa dostávame k riešeniu. Takéto sčítanie je jedným z typov elementárnej transformácie systému. Pri použití Gaussovej metódy môžeme použiť niekoľko typov transformácií.

Animácia vyššie ukazuje, ako sa sústava rovníc postupne mení na lichobežníkový. Teda ten, ktorý ste videli v úplne prvej animácii a presvedčili ste sa, že je ľahké z neho nájsť hodnoty všetkých neznámych. Ako vykonať takúto transformáciu a samozrejme príklady budú ďalej diskutované.

Pri riešení sústav lineárnych rovníc s ľubovoľným počtom rovníc a neznámych v sústave rovníc a v rozšírenej matici sústavy Môcť:

1. preusporiadať riadky (toto bolo spomenuté na samom začiatku tohto článku);
2. ak výsledkom iných transformácií sú rovnaké alebo proporcionálne riadky, možno ich vymazať, s výnimkou jedného;
3. odstrániť „nulové“ riadky, kde sa všetky koeficienty rovnajú nule;
4. vynásobte alebo vydeľte ľubovoľný reťazec určitým číslom;
5. k ľubovoľnému riadku pridajte ďalší riadok, vynásobený určitým číslom.

Výsledkom transformácií je sústava lineárnych rovníc ekvivalentná tejto sústave.

Algoritmus a príklady riešenia sústavy lineárnych rovníc so štvorcovou maticou sústavy pomocou Gaussovej metódy

Uvažujme najskôr o riešení sústav lineárnych rovníc, v ktorých sa počet neznámych rovná počtu rovníc. Matica takéhoto systému je štvorcová, to znamená, že počet riadkov v nej sa rovná počtu stĺpcov.

Príklad 2 Riešte sústavu lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy

Riešenie sústav lineárnych rovníc školské spôsoby, vynásobili sme jednu z rovníc člen po člen určitým číslom, takže koeficienty prvej premennej v dvoch rovniciach boli opačné čísla. Pri pridávaní rovníc táto premenná odpadá. Gaussova metóda funguje podobne.

Pre zjednodušenie vzhľad riešenia vytvorme rozšírenú maticu systému:

V tejto matici sú koeficienty neznámych umiestnené vľavo pred zvislou čiarou a voľné členy sú umiestnené vpravo za zvislou čiarou.

Pre pohodlie deliacich koeficientov pre premenné (na získanie delenia jednotkou) Vymeňme prvý a druhý riadok matice systému. Získame systém ekvivalentný tomuto systému, pretože v systéme lineárnych rovníc možno rovnice zamieňať:

Pomocou novej prvej rovnice odstrániť premennú X z druhej a všetkých nasledujúcich rovníc. Aby sme to urobili, do druhého riadku matice pridáme prvý riadok vynásobený (v našom prípade ), do tretieho riadku - prvý riadok násobený (v našom prípade ).

To je možné, pretože

Ak by v našom systéme boli viac ako tri rovnice, potom by sme museli do všetkých nasledujúcich rovníc pridať prvý riadok, vynásobený pomerom zodpovedajúcich koeficientov, braný so znamienkom mínus.

Výsledkom je, že získame maticu ekvivalentnú tomuto systému nový systém rovnice, v ktorých sú všetky rovnice, počnúc druhým neobsahujú premennú X :

Aby ste zjednodušili druhý riadok výsledného systému, vynásobte ho a znova získajte maticu systému rovníc ekvivalentných tomuto systému:

Teraz, keď ponecháme prvú rovnicu výsledného systému nezmenenú, pomocou druhej rovnice eliminujeme premennú r zo všetkých nasledujúcich rovníc. Aby sme to urobili, do tretieho riadku matice systému pridáme druhý riadok, vynásobený (v našom prípade ).

Ak by v našom systéme existovalo viac ako tri rovnice, museli by sme do všetkých nasledujúcich rovníc pridať druhý riadok, vynásobený pomerom zodpovedajúcich koeficientov so znamienkom mínus.

Výsledkom je, že opäť získame maticu systému ekvivalentného tomuto systému lineárnych rovníc:

Získali sme ekvivalentný lichobežníkový systém lineárnych rovníc:

Ak je počet rovníc a premenných väčší ako v našom príklade, potom proces postupného odstraňovania premenných pokračuje, kým sa matica systému nestane lichobežníkovou, ako v našom demo príklade.

Nájdeme riešenie „od konca“ - spätný pohyb. Pre to z poslednej rovnice určíme z:
.
Nahradením tejto hodnoty do predchádzajúcej rovnice nájdeme r:

Z prvej rovnice nájdeme X:

Odpoveď: riešenie tejto sústavy rovníc je .

: v tomto prípade bude daná rovnaká odpoveď, ak má systém jedinečné riešenie. Ak má systém nekonečný počet riešení, toto bude odpoveď a toto je predmetom piatej časti tejto lekcie.

Vyriešte systém lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy sami a potom sa pozrite na riešenie

Opäť tu máme príklad konzistentného a určitého systému lineárnych rovníc, v ktorom sa počet rovníc rovná počtu neznámych. Rozdiel od nášho ukážkového príkladu z algoritmu je v tom, že už existujú štyri rovnice a štyri neznáme.

Príklad 4. Riešte sústavu lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy:

Teraz musíte použiť druhú rovnicu na odstránenie premennej z nasledujúcich rovníc. Vykonajte prípravné práce. Aby to bolo pohodlnejšie s pomerom koeficientov, musíte jeden získať v druhom stĺpci druhého riadku. Ak to chcete urobiť, odpočítajte tretí od druhého riadku a vynásobte výsledný druhý riadok -1.

Urobme teraz samotnú elimináciu premennej z tretej a štvrtej rovnice. Ak to chcete urobiť, pridajte druhý riadok, vynásobený , do tretieho riadku a druhý, násobený , do štvrtého riadku.

Teraz pomocou tretej rovnice odstránime premennú zo štvrtej rovnice. Ak to chcete urobiť, pridajte tretí riadok k štvrtému riadku, vynásobte ho . Získame rozšírenú trapézovú matricu.

Získali sme sústavu rovníc, ktorá je ekvivalentná s tento systém:

Následne sú výsledné a dané systémy kompatibilné a jednoznačné. Konečné riešenie nájdeme „od konca“. Zo štvrtej rovnice môžeme priamo vyjadriť hodnotu premennej „x-štyri“:

Túto hodnotu dosadíme do tretej rovnice sústavy a dostaneme

,

,

Nakoniec, nahradenie hodnoty

Prvá rovnica dáva

,

kde nájdeme „x prvé“:

Odpoveď: tento systém rovníc má jediné rozhodnutie .

Riešenie systému môžete skontrolovať aj na kalkulačke Cramerovou metódou: v tomto prípade dostanete rovnakú odpoveď, ak má systém jedinečné riešenie.

Riešenie aplikovaných úloh pomocou Gaussovej metódy na príklade úlohy o zliatinách

Systémy lineárnych rovníc sa používajú na modelovanie reálnych objektov vo fyzickom svete. Poďme vyriešiť jeden z týchto problémov - zliatiny. Podobnými problémami sú problémy so zmesami, náklady alebo podiel jednotlivých tovarov v skupine tovarov a pod.

Príklad 5. Tri kusy zliatiny majú celkovú hmotnosť 150 kg. Prvá zliatina obsahuje 60% medi, druhá - 30%, tretia - 10%. Okrem toho je v druhej a tretej zliatine spolu o 28,4 kg medi menej ako v prvej zliatine a v tretej zliatine je o 6,2 kg menej medi ako v druhej. Nájdite hmotnosť každého kusu zliatiny.

Riešenie. Zostavíme sústavu lineárnych rovníc:

Vynásobíme druhú a tretiu rovnicu 10, dostaneme ekvivalentný systém lineárnych rovníc:

Vytvárame rozšírenú maticu systému:

Pozor, priamo vpred. Pričítaním (v našom prípade odčítaním) jedného riadku vynásobeného číslom (aplikujeme ho dvakrát) dochádza s rozšírenou maticou systému k nasledujúcim transformáciám:

Priamy ťah je u konca. Získali sme expandovanú lichobežníkovú matricu.

Aplikujeme spätný pohyb. Nájdeme riešenie od konca. To vidíme.

Z druhej rovnice zistíme

Z tretej rovnice -

Riešenie systému môžete skontrolovať aj na kalkulačke Cramerovou metódou: v tomto prípade dostanete rovnakú odpoveď, ak má systém jedinečné riešenie.

O jednoduchosti Gaussovej metódy svedčí fakt, že jej vynájdenie trvalo nemeckému matematikovi Carlovi Friedrichovi Gaussovi len 15 minút. Okrem metódy pomenovanej po ňom je z diel Gaussa známe príslovie „Nemali by sme si zamieňať to, čo sa nám zdá neuveriteľné a neprirodzené, s absolútne nemožným“ – akýsi druh stručné pokyny robiť objavy.

V mnohých aplikovaných úlohách nemusí byť tretie obmedzenie, teda tretia rovnica, potom musíte riešiť sústavu dvoch rovníc s tromi neznámymi pomocou Gaussovej metódy, alebo naopak, neznámych je menej ako rovníc. Teraz začneme riešiť takéto sústavy rovníc.

Pomocou Gaussovej metódy môžete určiť, či je niektorý systém kompatibilný alebo nekompatibilný n lineárne rovnice s n premenné.

Gaussova metóda a sústavy lineárnych rovníc s nekonečným počtom riešení

Ďalším príkladom je konzistentný, ale neurčitý systém lineárnych rovníc, ktorý má nekonečný počet riešení.

Po vykonaní transformácií v rozšírenej matici systému (preusporiadanie riadkov, vynásobenie a delenie riadkov určitým číslom, pridanie ďalšieho k jednému riadku) sa mohli objaviť riadky formulára

Ak vo všetkých rovniciach majú tvar

Voľné členy sa rovnajú nule, to znamená, že systém je neurčitý, to znamená, že má nekonečný počet riešení a rovnice tohto typu sú „nadbytočné“ a vylučujeme ich zo systému.

Príklad 6.

Riešenie. Vytvorme rozšírenú maticu systému. Potom pomocou prvej rovnice odstránime premennú z nasledujúcich rovníc. Ak to chcete urobiť, pridajte do druhého, tretieho a štvrtého riadku prvý, vynásobený:

Teraz pridajme druhý riadok k tretiemu a štvrtému.

V dôsledku toho sa dostávame k systému

Posledné dve rovnice sa zmenili na rovnice tvaru. Tieto rovnice sú splnené pre akúkoľvek hodnotu neznámych a môžu byť vyradené.

Aby sme splnili druhú rovnicu, môžeme zvoliť ľubovoľné hodnoty pre a , potom bude hodnota pre určená jednoznačne: . Z prvej rovnice je hodnota pre tiež nájdená jednoznačne: .

Daný aj posledný systém sú konzistentné, ale neisté a vzorce

pre ľubovoľné a dajte nám všetky riešenia daného systému.

Gaussova metóda a sústavy lineárnych rovníc bez riešení

Ďalším príkladom je nekonzistentný systém lineárnych rovníc, teda taký, ktorý nemá riešenia. Odpoveď na takéto problémy je formulovaná takto: systém nemá riešenia.

Ako už bolo spomenuté v súvislosti s prvým príkladom, po vykonaní transformácií by sa v rozšírenej matici systému mohli objaviť riadky formulára

zodpovedajúca rovnici tvaru

Ak medzi nimi existuje aspoň jedna rovnica s nenulovým voľným členom (t.j. ), potom je táto sústava rovníc nekonzistentná, to znamená, že nemá riešenia a jej riešenie je úplné.

Príklad 7. Riešte sústavu lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy:

Riešenie. Zostavíme rozšírenú maticu systému. Pomocou prvej rovnice vylúčime premennú z nasledujúcich rovníc. Ak to chcete urobiť, pridajte prvý riadok vynásobený k druhému riadku, prvý riadok vynásobený tretím riadkom a prvý riadok vynásobený štvrtým riadkom.

Teraz musíte použiť druhú rovnicu na odstránenie premennej z nasledujúcich rovníc. Aby sme získali celočíselné pomery koeficientov, prehodíme druhý a tretí riadok rozšírenej matice systému.

Ak chcete vylúčiť tretiu a štvrtú rovnicu, pridajte druhú vynásobenú , do tretieho riadku a druhú násobenú , do štvrtého riadku.

Teraz pomocou tretej rovnice odstránime premennú zo štvrtej rovnice. Ak to chcete urobiť, pridajte tretí riadok k štvrtému riadku, vynásobte ho .

Zadaný systém je teda ekvivalentná nasledovnému:

Výsledný systém je nekonzistentný, pretože jeho posledná rovnica nemôže byť splnená žiadnymi hodnotami neznámych. Preto tento systém nemá žiadne riešenia.

Jedným z najjednoduchších spôsobov riešenia sústavy lineárnych rovníc je technika založená na výpočte determinantov ( Cramerovo pravidlo). Jeho výhodou je, že vám umožňuje okamžite zaznamenať riešenie, čo je obzvlášť výhodné v prípadoch, keď koeficienty systému nie sú čísla, ale niektoré parametre. Jeho nevýhodou je ťažkopádnosť výpočtov v prípade veľké číslo rovnice, navyše Cramerovo pravidlo nie je priamo aplikovateľné na systémy, v ktorých sa počet rovníc nezhoduje s počtom neznámych. V takýchto prípadoch sa zvyčajne používa Gaussova metóda.

Nazývajú sa sústavy lineárnych rovníc s rovnakou množinou riešení ekvivalent. Je zrejmé, že množina riešení lineárneho systému sa nezmení, ak dôjde k zámene rovníc, alebo ak sa jedna z rovníc vynásobí nejakým nenulovým číslom, alebo ak sa jedna rovnica pridá k druhej.

Gaussova metóda (metóda sekvenčnej eliminácie neznámych) je, že pomocou elementárnych transformácií sa systém redukuje na ekvivalentný systém stupňovitého typu. Najprv pomocou 1. rovnice eliminujeme X 1 všetkých nasledujúcich rovníc systému. Potom pomocou 2. rovnice eliminujeme X 2 z 3. a všetkých nasledujúcich rovníc. Tento proces, tzv priama Gaussova metóda, pokračuje, kým na ľavej strane poslednej rovnice nezostane iba jedna neznáma x n. Po tomto je hotovo inverzná ku Gaussovej metóde– riešenie poslednej rovnice, nájdeme x n; potom pomocou tejto hodnoty vypočítame z predposlednej rovnice x n-1 atď. Nájdeme posledného X 1 z prvej rovnice.

Je vhodné vykonávať gaussovské transformácie vykonávaním transformácií nie so samotnými rovnicami, ale s maticami ich koeficientov. Zvážte maticu:

volal rozšírená matica systému, pretože okrem hlavnej matice systému obsahuje stĺpec voľných výrazov. Gaussova metóda je založená na redukcii hlavnej matice systému do trojuholníkového tvaru (alebo lichobežníkového tvaru v prípade neštvorcových systémov) pomocou elementárnych riadkových transformácií (!) rozšírenej matice systému.

Príklad 5.1. Vyriešte systém pomocou Gaussovej metódy:

Riešenie. Vypíšme rozšírenú maticu systému a pomocou prvého riadku potom vynulujeme zostávajúce prvky:

dostaneme nuly v 2., 3. a 4. riadku prvého stĺpca:

Teraz potrebujeme, aby sa všetky prvky v druhom stĺpci pod 2. riadkom rovnali nule. Ak to chcete urobiť, môžete vynásobiť druhý riadok -4/7 a pridať ho k tretiemu riadku. Aby sme sa však nezaoberali zlomkami, vytvorme jednotku v 2. riadku druhého stĺpca a len

Teraz, aby ste získali trojuholníkovú maticu, musíte resetovať prvok štvrtého riadku 3. stĺpca, aby ste to urobili, môžete vynásobiť tretí riadok 8/54 a pridať ho do štvrtého; Aby sme sa však nezaoberali zlomkami, prehodíme 3. a 4. riadok a 3. a 4. stĺpec a až potom vynulujeme zadaný prvok. Všimnite si, že pri preusporiadaní stĺpcov menia príslušné premenné miesta a to je potrebné mať na pamäti; iné elementárne transformácie so stĺpcami (sčítanie a násobenie číslom) nie je možné vykonať!

Posledná zjednodušená matica zodpovedá sústave rovníc ekvivalentnej tej pôvodnej:

Odtiaľto pomocou inverznej Gaussovej metódy zistíme zo štvrtej rovnice X 3 = -1; z tretieho X 4 = –2, od druhého X 2 = 2 az prvej rovnice X 1 = 1. V maticovom tvare sa odpoveď zapíše ako

Uvažovali sme o prípade, keď je systém určitý, t.j. keď je len jedno riešenie. Pozrime sa, čo sa stane, ak je systém nekonzistentný alebo neistý.

Príklad 5.2. Preskúmajte systém pomocou Gaussovej metódy:

Riešenie. Vypíšeme a transformujeme rozšírenú maticu systému

Napíšeme zjednodušený systém rovníc:

Tu v poslednej rovnici vychádza, že 0=4, t.j. rozpor. Systém následne nemá riešenie, t.j. ona nezlučiteľné. à

Príklad 5.3. Preskúmajte a vyriešte systém pomocou Gaussovej metódy:

Riešenie. Vypíšeme a transformujeme rozšírenú maticu systému:

V dôsledku transformácií obsahuje posledný riadok iba nuly. To znamená, že počet rovníc sa znížil o jednu:

Po zjednodušeniach teda zostali dve rovnice a štyri neznáme, t.j. dve neznáme „navyše“. Nech sú „nadbytočné“, alebo, ako sa hovorí, voľné premenné, bude X 3 a X 4. Potom

Veriaci X 3 = 2a A X 4 = b, dostaneme X 2 = 1–a A X 1 = 2b–a; alebo v matricovej forme

Takto napísané riešenie sa nazýva všeobecný, pretože, dávať parametre a A b rôzne hodnoty, možno popísať všetky možné riešenia systému. a

Dnes pochopíme Gaussovu metódu na riešenie lineárnych systémov algebraické rovnice. O tom, aké sú tieto systémy, si môžete prečítať v predchádzajúcom článku venovanom riešeniu rovnakých SLAE pomocou Cramerovej metódy. Gaussova metóda nevyžaduje žiadne špecifické znalosti, potrebujete len pozornosť a dôslednosť. Napriek tomu, že z matematického hľadiska postačuje na jej uplatnenie školská príprava, študenti si túto metódu často osvojujú len ťažko. V tomto článku sa ich pokúsime zredukovať na nič!

Gaussova metóda

M Gaussova metóda– najuniverzálnejšia metóda riešenia SLAE (s výnimkou veľmi veľkých systémov). Na rozdiel od toho, čo bolo diskutované vyššie, je vhodný nielen pre systémy, ktoré majú jediné riešenie, ale aj pre systémy, ktoré majú nekonečný počet riešení. Tu sú tri možné možnosti.

1. Systém má jedinečné riešenie (determinant hlavnej matice systému sa nerovná nule);
2. Systém má nekonečné množstvo riešení;
3. Neexistujú žiadne riešenia, systém je nekompatibilný.

Máme teda systém (nech má jedno riešenie) a ideme ho riešiť pomocou Gaussovej metódy. Ako to funguje?

Gaussova metóda pozostáva z dvoch etáp – doprednej a inverznej.

Priamy ťah Gaussovej metódy

Najprv si zapíšme rozšírenú maticu systému. Ak to chcete urobiť, pridajte stĺpec voľných členov do hlavnej matice.

Celá podstata Gaussovej metódy je priviesť túto maticu do stupňovitého (alebo, ako sa tiež hovorí, trojuholníkového) tvaru pomocou elementárnych transformácií. V tejto forme by pod (alebo nad) hlavnou uhlopriečkou matice mali byť iba nuly.

Čo môžeš urobiť:

1. Môžete zmeniť usporiadanie riadkov matice;
2. Ak sú v matici rovnaké (alebo proporcionálne) riadky, môžete odstrániť všetky okrem jedného;
3. Reťazec môžete násobiť alebo deliť ľubovoľným číslom (okrem nuly);
4. Nulové riadky sú odstránené;
5. K reťazcu môžete pripojiť reťazec vynásobený číslom iným ako nula.

Reverzná Gaussova metóda

Potom, čo takto transformujeme systém, jedna neznáma Xn sa stane známym a vy môžete opačné poradie nájdite všetky zostávajúce neznáme dosadením už známych x do rovníc systému, až po prvé.

Keď je internet vždy po ruke, môžete vyriešiť sústavu rovníc pomocou Gaussovej metódy online. Koeficienty stačí zadať do online kalkulačky. Ale musíte uznať, že je oveľa príjemnejšie uvedomiť si, že príklad nevyriešil počítačový program, ale váš vlastný mozog.

Príklad riešenia sústavy rovníc pomocou Gaussovej metódy

A teraz - príklad, aby bolo všetko jasné a zrozumiteľné. Nech je daný systém lineárnych rovníc a musíte ho vyriešiť pomocou Gaussovej metódy:

Najprv napíšeme rozšírenú maticu:

Teraz urobme premeny. Pamätáme si, že potrebujeme dosiahnuť trojuholníkový vzhľad matrice. Vynásobme 1. riadok (3). Vynásobte 2. riadok (-1). Pridajte 2. riadok k 1. a získajte:

Potom vynásobte 3. riadok (-1). Pridajme 3. riadok k 2.:

Vynásobme 1. riadok (6). Vynásobme 2. riadok (13). Pridajme 2. riadok k 1.:

Voila - systém je uvedený do vhodnej formy. Zostáva nájsť neznáme:

Systém v v tomto príklade má unikátne riešenie. Riešením systémov s nekonečným počtom riešení sa budeme venovať v samostatnom článku. Možno zo začiatku nebudete vedieť, kde začať s transformáciou matrixu, ale po vhodnom precvičení to pochopíte a SLAE rozlúsknete Gaussovou metódou ako orechy. A ak zrazu narazíte na SLA, ktorá sa ukáže ako príliš tvrdý oriešok, kontaktujte našich autorov! môžete zanechať žiadosť v korešpondenčnom úrade. Spolu vyriešime akýkoľvek problém!

The online kalkulačka nájde riešenie sústavy lineárnych rovníc (SLE) pomocou Gaussovej metódy. Dané podrobné riešenie. Ak chcete vypočítať, vyberte počet premenných a počet rovníc. Potom zadajte údaje do buniek a kliknite na tlačidlo "Vypočítať".

x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 = = =

Zastúpenie čísel:

Celé čísla a/alebo Bežné zlomky
Celé čísla a/alebo desatinné čísla

Počet miest za oddeľovačom desatinných miest

×

POZOR

Vymazať všetky bunky?

Zavrieť Vymazať

Pokyny na zadávanie údajov.Čísla sa zadávajú ako celé čísla (príklady: 487, 5, -7623 atď.), desatinné miesta (napr. 67., 102,54 atď.) alebo zlomky. Zlomok je potrebné zadať v tvare a/b, kde a a b (b>0) sú celé čísla resp desatinné čísla. Príklady 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 atď.

Gaussova metóda

Gaussova metóda je metóda prechodu z pôvodného systému lineárnych rovníc (pomocou ekvivalentných transformácií) k systému, ktorý je ľahšie riešiteľný ako pôvodný systém.

Ekvivalentné transformácie sústavy lineárnych rovníc sú:

• výmena dvoch rovníc v systéme,
• vynásobením akejkoľvek rovnice v systéme nenulovým reálnym číslom,
• pridanie do jednej rovnice ďalšej rovnice vynásobenej ľubovoľným číslom.

Zvážte systém lineárnych rovníc:

(1)

Napíšme systém (1) v maticovom tvare:

Ax=b

(2)

(3)

A- nazývaná matica koeficientov systému, b- pravá strana obmedzení, X− vektor premenných, ktoré sa majú nájsť. Nechajte hodnosť ( A)=p.

Ekvivalentné transformácie nemenia hodnosť matice koeficientov a hodnosť rozšírenej matice systému. Množina riešení systému sa pri ekvivalentných transformáciách tiež nemení. Podstatou Gaussovej metódy je redukcia matice koeficientov A na diagonálne alebo stupňovité.

Zostavme rozšírenú maticu systému:

V ďalšej fáze resetujeme všetky prvky stĺpca 2 pod prvkom. Ak je tento prvok nula, potom sa tento riadok prehodí s riadkom ležiacim pod týmto riadkom, ktorý má v druhom stĺpci nenulový prvok. Potom resetujte všetky prvky stĺpca 2 pod vedúcim prvkom a 22. Ak to chcete urobiť, pridajte riadky 3, ... m s reťazcom 2 vynásobeným − a 32 /a 22 , ..., −a m2/ a 22, resp. Pokračovaním postupu získame maticu diagonálneho alebo stupňovitého tvaru. Nech má výsledná rozšírená matica tvar:

(7)

Pretože rangA=rang(A|b), potom množina riešení (7) je ( n−p)− rozmanitosť. Preto n−p neznáme môžu byť zvolené ľubovoľne. Zostávajúce neznáme zo systému (7) sa vypočítajú nasledovne. Z poslednej rovnice vyjadríme X p cez zostávajúce premenné a vložte do predchádzajúcich výrazov. Ďalej z predposlednej rovnice vyjadríme X p−1 cez zostávajúce premenné a vložiť do predchádzajúcich výrazov atď. Pozrime sa na Gaussovu metódu na konkrétnych príkladoch.

Príklady riešenia sústavy lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy

Príklad 1. Nájdite všeobecné riešenie sústavy lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy:

Označme podľa a ij prvky i-tý riadok a j stĺpec.

a jedenásť . Ak to chcete urobiť, pridajte riadky 2,3 k riadku 1, vynásobte -2/3,-1/2, v tomto poradí:

Typ maticového záznamu: Ax=b, Kde

Označme podľa a ij prvky i-tý riadok a j stĺpec.

Vylúčme prvky 1. stĺpca matice pod prvkom a jedenásť . Ak to chcete urobiť, pridajte riadky 2,3 k riadku 1, vynásobte -1/5,-6/5:

Každý riadok matice vydelíme zodpovedajúcim vodiacim prvkom (ak vodiaci prvok existuje):

Kde X 3 , X

Nahradením horných výrazov nižšími dostaneme riešenie.

Potom môže byť vektorové riešenie reprezentované takto:

Kde X 3 , X 4 sú ľubovoľné reálne čísla.

Definícia a popis Gaussovej metódy

Metóda Gaussovej transformácie (známa aj ako metóda postupnej eliminácie neznámych premenných z rovnice alebo matice) na riešenie sústav lineárnych rovníc je klasickou metódou riešenia sústav algebraických rovníc (SLAE). Táto klasická metóda sa používa aj na riešenie problémov, ako je získavanie inverzné matice a určenie hodnosti matice.

Transformácia pomocou Gaussovej metódy pozostáva z vykonávania malých (elementárnych) sekvenčných zmien systému lineárnych algebraických rovníc, čo vedie k eliminácii premenných z neho zhora nadol s vytvorením nového trojuholníkového systému rovníc, ktorý je ekvivalentný pôvodnému systému. jeden.

Definícia 1

Táto časť riešenia sa nazýva dopredné Gaussovo riešenie, pretože celý proces prebieha zhora nadol.

Po zmenšení pôvodného systému rovníc na trojuholníkový sú všetky premenné systému nájdené zdola nahor (to znamená, že prvé nájdené premenné sú umiestnené presne na posledných riadkoch systému alebo matice). Táto časť riešenia je známa aj ako inverzia Gaussovho riešenia. Jeho algoritmus je nasledovný: najprv sa vypočítajú premenné najbližšie k spodnej časti systému rovníc alebo matice, potom sa výsledné hodnoty dosadia vyššie a tak sa nájde ďalšia premenná atď.

Popis algoritmu Gaussovej metódy

Postupnosť akcií pre všeobecné riešenie systému rovníc pomocou Gaussovej metódy spočíva v striedavom aplikovaní dopredného a spätného ťahu na maticu založenú na SLAE. Nech má počiatočný systém rovníc nasledujúci tvar:

$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(cases)$

Na riešenie SLAE pomocou Gaussovej metódy je potrebné napísať pôvodný systém rovníc vo forme matice:

$A = \začiatok(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vbodky & … & \vbodky \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

Matica $A$ sa nazýva hlavná matica a predstavuje koeficienty premenných zapísaných v poradí a $b$ sa nazýva stĺpec jej voľných členov. Matica $A$, zapísaná cez pruh so stĺpcom voľných výrazov, sa nazýva rozšírená matica:

$A = \begin(pole)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(pole)$

Teraz je potrebné pomocou elementárnych transformácií na systéme rovníc (alebo na matici, pretože je to pohodlnejšie), priviesť ju do nasledujúcej podoby:

$\begin(cases) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(cases)$ (1)

Matica získaná z koeficientov transformovaného systému rovnice (1) sa nazýva kroková matica takto zvyčajne vyzerajú:

$A = \begin(pole)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(pole)$

Tieto matice sa vyznačujú nasledujúcim súborom vlastností:

1. Všetky jeho nulové riadky prichádzajú po nenulových riadkoch
2. Ak je niektorý riadok matice s číslom $k$ nenulový, potom predchádzajúci riadok tej istej matice má menej núl ako tento s číslom $k$.

Po získaní krokovej matice je potrebné dosadiť výsledné premenné do zostávajúcich rovníc (začínajúc od konca) a získať zostávajúce hodnoty premenných.

Základné pravidlá a povolené transformácie pri použití Gaussovej metódy

Pri zjednodušovaní matice alebo systému rovníc pomocou tejto metódy musíte použiť iba elementárne transformácie.

Takéto transformácie sa považujú za operácie, ktoré možno použiť na maticu alebo systém rovníc bez toho, aby sa zmenil ich význam:

• preskupenie niekoľkých riadkov,
• pridanie alebo odčítanie z jedného riadku matice ďalší riadok z neho,
• násobenie alebo delenie reťazca konštantou, ktorá sa nerovná nule,
• riadok pozostávajúci iba z núl, získaný v procese výpočtu a zjednodušenia systému, sa musí vypustiť,
• Musíte tiež odstrániť zbytočné proporcionálne čiary a vybrať pre systém jedinú s koeficientmi, ktoré sú vhodnejšie a pohodlnejšie pre ďalšie výpočty.

Všetky elementárne transformácie sú reverzibilné.

Analýza troch hlavných prípadov, ktoré vznikajú pri riešení lineárnych rovníc metódou jednoduchých Gaussových transformácií

Pri použití Gaussovej metódy na riešenie systémov vznikajú tri prípady:

1. Keď je systém nekonzistentný, to znamená, že nemá žiadne riešenia
2. Systém rovníc má riešenie a jedinečné a počet nenulových riadkov a stĺpcov v matici je rovnaký.
3. Systém má určité množstvo alebo sadu možné riešenia a počet riadkov v ňom je menší ako počet stĺpcov.

Výsledok riešenia s nekonzistentným systémom

Pre túto možnosť je pri riešení maticovej rovnice Gaussovou metódou typické získanie nejakej priamky s nemožnosťou naplnenia rovnosti. Ak sa teda vyskytne aspoň jedna nesprávna rovnosť, výsledné a pôvodné systémy nemajú riešenia, bez ohľadu na ostatné rovnice, ktoré obsahujú. Príklad nekonzistentnej matice:

$\začiatok(pole)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(pole)$

V poslednom riadku vznikla nemožná rovnosť: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

Sústava rovníc, ktorá má len jedno riešenie

Tieto systémy po zredukovaní na stupňovú maticu a odstránení riadkov s nulami majú v hlavnej matici rovnaký počet riadkov a stĺpcov. Tu najjednoduchší príklad takýto systém:

$\začiatok(prípady) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \koniec(prípady)$

Zapíšme si to vo forme matice:

$\začiatok(pole)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(pole)$

Aby sme dostali prvú bunku druhého riadku na nulu, vynásobíme horný riadok $-2$ a odpočítame ho od spodného riadku matice a necháme horný riadok v pôvodnom tvare, výsledkom je nasledovné :

$\začiatok(pole)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(pole)$

Tento príklad možno napísať ako systém:

$\začiatok(prípady) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \koniec(prípady)$

Spodná rovnica dáva pre $x$ nasledujúcu hodnotu: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Túto hodnotu dosadíme do hornej rovnice: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, dostaneme $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.

Systém s mnohými možnými riešeniami

Tento systém sa vyznačuje menším počtom významných riadkov ako je počet stĺpcov v ňom (zohľadňujú sa riadky hlavnej matice).

Premenné v takomto systéme sú rozdelené do dvoch typov: základné a voľné. Pri transformácii takéhoto systému treba hlavné premenné v ňom obsiahnuté ponechať v ľavej oblasti až po znamienko „=“ a zvyšné premenné preniesť do pravá strana rovnosť.

Takýto systém má len určité všeobecné riešenie.

Poďme to vyriešiť nasledujúci systém rovnice:

$\začiatok(prípady) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(cases)$

Zapíšme si to vo forme matice:

$\začiatok(pole)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(pole)$

Našou úlohou je nájsť všeobecné riešenie systému. Pre túto maticu budú základné premenné $y_1$ a $y_3$ (pre $y_1$ - keďže je na prvom mieste av prípade $y_3$ - je umiestnená za nulami).

Ako základné premenné volíme práve tie, ktoré sú prvé v rade a nerovnajú sa nule.

Zvyšné premenné sa nazývajú voľné, musíme cez ne vyjadriť tie základné.

Pomocou takzvaného spätného ťahu analyzujeme systém zdola nahor, aby sme to urobili, najprv vyjadríme $y_3$ zo spodného riadku systému:

5 $ y_3 – 4 y_4 = 1 $

5 $ y_3 = 4 y_4 + 1 $

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

Teraz dosadíme vyjadrené $y_3$ do hornej rovnice systému $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1 $

$y_1$ vyjadrujeme pomocou voľných premenných $y_2$ a $y_4$:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$ y_1 = -1,5x_2 – 0,1y_4 + 0,6 $

Riešenie je pripravené.

Príklad 1

Riešte slough pomocou Gaussovej metódy. Príklady. Príklad riešenia sústavy lineárnych rovníc daný maticou 3 x 3 pomocou Gaussovej metódy

$\začiatok(prípady) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \koniec(prípady)$

Napíšme náš systém vo forme rozšírenej matice:

$\začiatok(pole)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(pole)$

Teraz, kvôli pohodliu a praktickosti, musíte transformovať maticu tak, aby $1$ bolo v hornom rohu najvzdialenejšieho stĺpca.

Aby sme to urobili, do 1. riadku musíme pridať riadok zo stredu, vynásobený $-1$ a napísať stredný riadok tak, ako je, ukáže sa:

$\začiatok(pole)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(pole)$

$\začiatok(pole)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(pole) $

Vynásobte horný a posledný riadok $-1$ a tiež zameňte posledný a stredný riadok:

$\začiatok(pole)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(pole)$

$\začiatok(pole)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(pole)$

A vydeľte posledný riadok 3 dolármi:

$\začiatok(pole)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(pole)$

Získame nasledujúcu sústavu rovníc, ekvivalentnú tej pôvodnej:

$\začiatok(prípady) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \koniec(prípady)$

Z hornej rovnice vyjadríme $x_1$:

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1 $.

Príklad 2

Príklad riešenia systému definovaného pomocou matice 4 x 4 pomocou Gaussovej metódy

$\begin(pole)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 a 37 \\ \koniec(pole)$.

Na začiatku vymeníme horné riadky za ním, aby sme v ľavom hornom rohu dostali $1$:

$\begin(pole)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 a 37 \\ \koniec(pole)$.

Teraz vynásobte horný riadok $-2$ a pridajte k 2. a 3.. Do 4. pridáme prvý riadok, vynásobený $-3$:

$\begin(pole)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(pole)$

Teraz k riadku číslo 3 pridáme riadok 2 vynásobený $4$ a k riadku 4 pridáme riadok 2 vynásobený $-1$.

$\begin(pole)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(pole)$

Riadok 2 vynásobíme $-1$ a riadok 4 vydelíme $3$ a nahradíme riadok 3.

$\begin(pole)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 a 10 \\ \koniec(pole)$

Teraz pridáme do posledného riadku predposledný, vynásobený $-5$.

$\begin(pole)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 a 0 \\ \end(pole)$

Vyriešime výslednú sústavu rovníc:

$\začiatok(prípady) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3 r + 2g + m = 11\koniec (prípadov)$