Dnes je jednou z najdôležitejších zručností každého špecialistu schopnosť riešiť diferenciálne rovnice. Riešenie diferenciálnych rovníc - bez toho sa nezaobíde ani jedna aplikovaná úloha, či už ide o výpočet akéhokoľvek fyzikálneho parametra alebo modelovanie zmien v dôsledku prijatej makroekonomickej politiky. Tieto rovnice sú dôležité aj pre množstvo iných vied, ako je chémia, biológia, medicína atď. Nižšie uvádzame príklad použitia diferenciálne rovnice v ekonómii, ale predtým si stručne povieme o hlavných typoch rovníc.

Diferenciálne rovnice - najjednoduchšie typy

Mudrci hovorili, že zákony nášho vesmíru sú napísané matematickým jazykom. Samozrejme, v algebre je veľa príkladov rôzne rovnice, ale to sú z veľkej časti edukačné príklady, ktoré nie sú v praxi použiteľné. Naozaj zaujímavá matematika začína, keď chceme opísať procesy, ktoré sa vyskytujú v skutočný život. Ako však môžeme reflektovať časový faktor, ktorý riadi reálne procesy – infláciu, produkciu alebo demografické ukazovatele?

Pripomeňme si jednu dôležitú definíciu z kurzu matematiky týkajúcu sa derivácie funkcie. Derivácia je rýchlosť zmeny funkcie, preto nám môže pomôcť odrážať časový faktor v rovnici.

To znamená, že vytvoríme rovnicu s funkciou, ktorá popisuje ukazovateľ, ktorý nás zaujíma, a do rovnice pridáme deriváciu tejto funkcie. Toto je diferenciálna rovnica. Teraz prejdime k tým najjednoduchším typy diferenciálnych rovníc pre figuríny.

Najjednoduchšia diferenciálna rovnica má tvar $y'(x)=f(x)$, kde $f(x)$ je určitá funkcia a $y'(x)$ je derivácia alebo rýchlosť zmeny požadovaného funkciu. Dá sa to vyriešiť obyčajnou integráciou: $$y(x)=\int f(x)dx.$$

Po druhé najjednoduchší typ sa nazýva diferenciálna rovnica so separovateľnými premennými. Takáto rovnica vyzerá takto: $y’(x)=f(x)\cdot g(y)$. Je vidieť, že súčasťou zostrojenej funkcie je aj závislá premenná $y$. Rovnica sa dá vyriešiť veľmi jednoducho - musíte „oddeliť premenné“, to znamená, že ju privediete do tvaru $y'(x)/g(y)=f(x)$ alebo $dy/g(y) =f(x)dx$. Zostáva integrovať obe strany $$\int \frac(dy)(g(y))=\int f(x)dx$$ - to je riešenie diferenciálnej rovnice separovateľného typu.

Posledným jednoduchým typom je lineárna diferenciálna rovnica prvého rádu. Má tvar $y’+p(x)y=q(x)$. Tu sú $p(x)$ a $q(x)$ niektoré funkcie a $y=y(x)$ je požadovaná funkcia. Na riešenie takejto rovnice sa používajú špeciálne metódy (Lagrangeova metóda variácie ľubovoľnej konštanty, Bernoulliho substitučná metóda).

Je ich viac komplexné druhy rovnice - rovnice druhého, tretieho a všeobecne ľubovoľného rádu, homogénne a nehomogénne rovnice, ako aj sústavy diferenciálnych rovníc. Na ich vyriešenie potrebujete predbežná príprava a skúsenosti s riešením jednoduchších problémov.

Pre fyziku a nečakane aj financie majú veľký význam takzvané parciálne diferenciálne rovnice. To znamená, že požadovaná funkcia závisí od viacerých premenných súčasne. Napríklad Black-Scholesova rovnica z oblasti finančného inžinierstva popisuje hodnotu opcie (typu cenného papiera) v závislosti od jej ziskovosti, veľkosti platieb a dátumu začiatku a konca platieb. Riešenie parciálnej diferenciálnej rovnice je pomerne zložité, zvyčajne ho musíte použiť špeciálne programy, ako napríklad Matlab alebo Maple.

Príklad aplikácie diferenciálnej rovnice v ekonómii

Uveďme, ako sme sľúbili, jednoduchý príklad riešenia diferenciálnej rovnice. Najprv si stanovme úlohu.

Pre niektoré firmy má funkcia hraničného príjmu z predaja jej produktov tvar $MR=10-0,2q$. Tu $MR$ je hraničný príjem firmy a $q$ je objem výroby. Musíme zistiť celkový príjem.

Ako vidíte z problému, ide o aplikovaný príklad z mikroekonómie. Mnoho firiem a podnikov neustále čelí takýmto výpočtom pri svojej činnosti.

Začnime s riešením. Ako je známe z mikroekonómie, hraničný príjem je odvodený od celkových príjmov a pri nulových predajoch je príjem nulový.

Z matematického hľadiska sa úloha zredukovala na riešenie diferenciálnej rovnice $R’=10-0,2q$ za podmienky $R(0)=0$.

Integrujme rovnicu, ak vezmeme primitívnu funkciu oboch strán, dostaneme spoločné rozhodnutie: $$R(q) = \int (10-0,2q)dq = 10 q-0,1q^2+C. $$

Ak chcete nájsť konštantu $C$, pripomeňte si podmienku $R(0)=0$. Dosadíme: $$R(0) =0-0+C = 0. $$ Takže C=0 a naša funkcia celkového príjmu má tvar $R(q)=10q-0,1q^2$. Problém je vyriešený.

Ďalšie príklady podľa odlišné typy Diaľkové ovládače sú zhromaždené na stránke:

Diferenciálne rovnice prvého rádu. Príklady riešení.
Diferenciálne rovnice so separovateľnými premennými

Diferenciálne rovnice (DE). Tieto dve slová zvyčajne vydesia bežného človeka. Zdá sa, že diferenciálne rovnice sú pre mnohých študentov niečo zakázané a ťažko zvládnuteľné. Uuuuuu... diferenciálne rovnice, ako to všetko prežijem?!

Tento názor a tento postoj je zásadne nesprávny, pretože v skutočnosti DIFERENCIÁLNE ROVNICE – JE TO JEDNODUCHÉ A AJ ZÁBAVNÉ. Čo potrebujete vedieť a vedieť, aby ste sa naučili riešiť diferenciálne rovnice? Ak chcete úspešne študovať difúzy, musíte byť dobrí v integrácii a rozlišovaní. Čím lepšie sa témy študujú Derivácia funkcie jednej premennej A Neurčitý integrál, tým ľahšie bude porozumieť diferenciálnym rovniciam. Poviem viac, ak máte viac-menej slušné integračné schopnosti, tak téma je už takmer zvládnutá! Čím viac integrálov rôzne druhy viete sa rozhodnúť - tým lepšie. prečo? Budete musieť veľa integrovať. A rozlišovať. Tiež vysoko odporucany naučiť sa nájsť.

V 95% prípadov v testy Existujú 3 typy diferenciálnych rovníc prvého rádu: oddeliteľné rovnice na ktoré sa pozrieme v tejto lekcii; homogénne rovnice A lineárne nehomogénne rovnice. Pre tých, ktorí začínajú študovať difúzory, vám odporúčam, aby ste si prečítali lekcie presne v tomto poradí a po preštudovaní prvých dvoch článkov nezaškodí upevniť svoje zručnosti na ďalšom workshope - rovnice redukujúce na homogénne.

Existujú ešte zriedkavejšie typy diferenciálnych rovníc: totálne diferenciálne rovnice, Bernoulliho rovnice a niektoré ďalšie. Najdôležitejšie z posledných dvoch typov sú rovnice v totálnych diferenciáloch, keďže okrem tejto diferenciálnej rovnice uvažujem nový materiál – čiastočná integrácia.

Ak vám zostáva len deň alebo dva, To pre ultra rýchlu prípravu Existuje bleskový kurz vo formáte pdf.

Takže orientačné body sú nastavené - poďme na to:

Najprv si spomeňme na obvyklé algebraické rovnice. Obsahujú premenné a čísla. Najjednoduchší príklad: . Čo znamená vyriešiť obyčajnú rovnicu? To znamená nájsť súbor čísel, ktoré spĺňajú túto rovnicu. Je ľahké si všimnúť, že detská rovnica má jeden koreň: . Len pre zábavu, poďme skontrolovať a nahradiť nájdený koreň do našej rovnice:

– získa sa správna rovnosť, čo znamená, že riešenie bolo nájdené správne.

Difúzory sú navrhnuté v podstate rovnakým spôsobom!

Diferenciálnej rovnice prvá objednávka všeobecne obsahuje:
1) nezávislá premenná;
2) závislá premenná (funkcia);
3) prvá derivácia funkcie: .

V niektorých rovniciach 1. rádu nemusia byť žiadne „x“ a/alebo „y“, ale to nie je podstatné – dôležitéísť do riadiacej miestnosti bol prvá derivácia a nemal deriváty vyšších rádov – atď.

Čo znamená ? Riešenie diferenciálnej rovnice znamená hľadanie súbor všetkých funkcií, ktoré spĺňajú túto rovnicu. Takáto množina funkcií má často tvar (– ľubovoľná konštanta), ktorý sa nazýva všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice.

Príklad 1

Riešiť diferenciálnu rovnicu

Plná munícia. Kde začať Riešenie?

Najprv musíte prepísať derivát do trochu inej podoby. Pripomíname si ťažkopádne označenie, ktoré sa mnohým z vás zrejme zdalo smiešne a zbytočné. Toto vládne v difúzoroch!

V druhom kroku sa pozrime, či je to možné samostatné premenné?Čo to znamená oddeliť premenné? Zhruba povedané, na ľavej strane musíme odísť len "Gréci", A napravo organizovať iba "X". Rozdelenie premenných sa vykonáva pomocou „školských“ manipulácií: ich vyňatie zo zátvoriek, prenos termínov z časti do časti so zmenou znamienka, prenos faktorov z časti do časti podľa pravidla proporcie atď.

Diferenciály a sú plnými multiplikátormi a aktívnymi účastníkmi nepriateľských akcií. V uvažovanom príklade sú premenné ľahko oddelené prehodením faktorov podľa pravidla proporcie:

Premenné sú oddelené. Na ľavej strane sú iba „Y“, na pravej strane iba „X“.

Ďalšia fáza - integrácia diferenciálnej rovnice. Je to jednoduché, integrály vložíme na obe strany:

Samozrejme, musíme brať integrály. V tomto prípade sú tabuľkové:

Ako si pamätáme, konštanta je priradená akejkoľvek primitívnej derivácii. Sú tu dva integrály, ale konštantu stačí napísať raz (keďže konštanta + konštanta sa stále rovná inej konštante). Vo väčšine prípadov je umiestnený v pravá strana.

Presne povedané, po zobratí integrálov sa diferenciálna rovnica považuje za vyriešenú. Jediná vec je, že naše „y“ nie je vyjadrené pomocou „x“, to znamená, že je prezentované riešenie v implicitnom formulár. Riešenie diferenciálnej rovnice v implicitnom tvare sa nazýva všeobecný integrál diferenciálnej rovnice. To znamená, že ide o všeobecný integrál.

Odpoveď v tejto forme je celkom prijateľná, existuje však lepšia možnosť? Skúsme sa dostať spoločné rozhodnutie.

prosím, pamätajte na prvú techniku, je veľmi bežný a často sa používa v praktických úlohách: ak sa po integrácii objaví logaritmus na pravej strane, potom v mnohých prípadoch (nie vždy!) je tiež vhodné zapísať konštantu pod logaritmus.

teda NAMIESTO záznamy sa zvyčajne píšu .

Prečo je to potrebné? A aby sa uľahčilo vyjadrenie „hry“. Použitie vlastnosti logaritmov . V tomto prípade:

Teraz je možné odstrániť logaritmy a moduly:

Funkcia je uvedená explicitne. Toto je všeobecné riešenie.

Odpoveď: spoločné rozhodnutie: .

Odpovede na mnohé diferenciálne rovnice sa dajú pomerne ľahko skontrolovať. V našom prípade sa to robí celkom jednoducho, vezmeme nájdené riešenie a rozlíšime ho:

Potom deriváciu dosadíme do pôvodnej rovnice:

– získa sa správna rovnosť, čo znamená, že všeobecné riešenie vyhovuje rovnici, čo je potrebné skontrolovať.

Zadaním rôznych hodnôt konštanty môžete získať nekonečný počet súkromné ​​riešenia Diferenciálnej rovnice. Je zrejmé, že niektorá z funkcií , atď. vyhovuje diferenciálnej rovnici.

Niekedy sa nazýva všeobecné riešenie rodina funkcií. IN v tomto príklade spoločné rozhodnutie je rodina lineárnych funkcií, alebo presnejšie, rodina priamej úmernosti.

Po dôkladnom preštudovaní prvého príkladu je vhodné odpovedať na niekoľko naivné otázky o diferenciálnych rovnicach:

1)V tomto príklade sa nám podarilo oddeliť premenné. Dá sa to urobiť vždy? Nie vždy. A ešte častejšie sa premenné nedajú oddeliť. Napríklad v homogénne rovnice prvého poriadku, musíte ho najskôr vymeniť. V iných typoch rovníc, napríklad v lineárnej nehomogénnej rovnici prvého rádu, musíte na nájdenie všeobecného riešenia použiť rôzne techniky a metódy. Rovnice so separovateľnými premennými, o ktorých uvažujeme v prvej lekcii, sú najjednoduchším typom diferenciálnych rovníc.

2) Je vždy možné integrovať diferenciálnu rovnicu? Nie vždy. Je veľmi ľahké prísť s „vymyslenou“ rovnicou, ktorá sa nedá integrovať, navyše existujú integrály, ktoré nemožno vziať. Ale takéto DE možno vyriešiť približne pomocou špeciálnych metód. D'Alembert a Cauchy zaručujú... ...fuj, číha viac. Keď som práve teraz veľa čítal, skoro som dodal "z iného sveta."

3) V tomto príklade sme dostali riešenie vo forme všeobecného integrálu . Je vždy možné nájsť všeobecné riešenie zo všeobecného integrálu, teda explicitne vyjadriť „y“? Nie vždy. Napríklad: . No, ako tu môžete vyjadriť „grécky“?! V takýchto prípadoch by mala byť odpoveď napísaná ako všeobecný integrál. Okrem toho je niekedy možné nájsť všeobecné riešenie, ale je napísané tak ťažkopádne a nemotorne, že je lepšie nechať odpoveď vo forme všeobecného integrálu

4) ...možno to zatiaľ stačí. V prvom príklade sme sa stretli Ďalší dôležitý bod , ale aby som „atrapy“ nezasypal lavínou nových informácií, nechám to na ďalšiu hodinu.

Neponáhľajme sa. Ďalšie jednoduché diaľkové ovládanie a ďalšie typické riešenie:

Príklad 2

Nájdite konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice, ktoré spĺňa počiatočnú podmienku

Riešenie: podľa stavu treba nájsť súkromné ​​riešenie DE, ktorý spĺňa danú počiatočnú podmienku. Táto formulácia otázky je aj tzv Cauchy problém.

Najprv nájdeme všeobecné riešenie. V rovnici nie je žiadna premenná „x“, ale to by nemalo zmiasť, hlavná vec je, že má prvú deriváciu.

Deriváciu prepíšeme do požadovaného tvaru:

Je zrejmé, že premenné môžu byť oddelené, chlapci vľavo, dievčatá vpravo:

Integrujme rovnicu:

Získa sa všeobecný integrál. Tu som nakreslil konštantu s hviezdičkou, faktom je, že veľmi skoro sa zmení na inú konštantu.

Teraz sa pokúsime transformovať všeobecný integrál na všeobecné riešenie (explicitne vyjadrite „y“). Pripomeňme si staré dobré veci zo školy: . V tomto prípade:

Konštanta v ukazovateli vyzerá akosi nekóšer, takže je zvyčajne privedená k zemi. V detailoch sa to deje takto. Pomocou vlastnosti stupňov prepíšeme funkciu takto:

Ak je konštanta, potom je tiež nejaká konštanta, premenme ju na písmeno:

Pamätajte, že „zbúranie“ je konštanta druhá technika, ktorý sa často používa pri riešení diferenciálnych rovníc.

Takže všeobecné riešenie je: . Toto je pekná rodina exponenciálnych funkcií.

V záverečnej fáze musíte nájsť konkrétne riešenie, ktoré spĺňa danú počiatočnú podmienku. Toto je tiež jednoduché.

aká je úloha? Treba vyzdvihnúť taký hodnotu konštanty tak, aby bola podmienka splnená.

Dá sa naformátovať rôznymi spôsobmi, ale toto bude asi najprehľadnejší spôsob. Vo všeobecnom riešení namiesto „X“ nahradíme nulu a namiesto „Y“ nahradíme dvojku:



teda

Štandardné prevedenie:

Teraz dosadíme nájdenú hodnotu konštanty do všeobecného riešenia:
– toto je konkrétne riešenie, ktoré potrebujeme.

Odpoveď: súkromné ​​riešenie:

Skontrolujme to. Kontrola súkromného riešenia zahŕňa dve fázy:

Najprv musíte skontrolovať, či konkrétne nájdené riešenie skutočne spĺňa počiatočnú podmienku? Namiesto „X“ dosadíme nulu a uvidíme, čo sa stane:
- áno, skutočne bola prijatá dvojka, čo znamená, že počiatočná podmienka je splnená.

Druhá etapa je už známa. Zoberieme výsledné konkrétne riešenie a nájdeme deriváciu:

Do pôvodnej rovnice dosadíme:

– dosiahne sa správna rovnosť.

Záver: konkrétne riešenie bolo nájdené správne.

Prejdime k zmysluplnejším príkladom.

Príklad 3

Riešiť diferenciálnu rovnicu

Riešenie: Deriváciu prepíšeme do tvaru, ktorý potrebujeme:

Hodnotíme, či je možné oddeliť premenné? Môcť. Posúvame druhý výraz na pravú stranu so zmenou znamienka:

A prenášame multiplikátory podľa pravidla proporcie:

Premenné sú oddelené, integrujme obe časti:

Musím vás varovať, blíži sa súdny deň. Ak ste sa dobre neučili neurčité integrály, máte vyriešených niekoľko príkladov, potom už nie je kam ísť - teraz ich budete musieť zvládnuť.

Integrál ľavej strany je ľahké nájsť. S integrálom kotangens sa zaoberáme štandardnou technikou, na ktorú sme sa pozreli v lekcii Integrácia goniometrických funkcií minulý rok:

Na pravej strane máme logaritmus a podľa môjho prvého technické poradenstvo, konštanta by sa mala zapísať aj pod logaritmus.

Teraz sa pokúsime zjednodušiť všeobecný integrál. Keďže máme iba logaritmy, je celkom možné (a nevyhnutné) sa ich zbaviť. Používaním známe vlastnosti Logaritmy „balíme“ čo najviac. Napíšem to veľmi podrobne:

Obal je dokončený tak, aby bol barbarsky potrhaný:

Dá sa vyjadriť „hra“? Môcť. Je potrebné zarovnať obe časti.

Ale nemusíte to robiť.

Tretí technický tip: ak na získanie všeobecného riešenia je potrebné pozdvihnúť sa k moci alebo zakoreniť, potom Väčšinou mali by ste sa zdržať týchto akcií a nechať odpoveď vo forme všeobecného integrálu. Faktom je, že všeobecné riešenie bude vyzerať jednoducho hrozne - s veľkými koreňmi, znakmi a iným odpadom.

Preto odpoveď zapíšeme vo forme všeobecného integrálu. Považuje sa za osvedčený postup uvádzať ho vo forme , to znamená na pravej strane, ak je to možné, ponechať iba konštantu. Nie je to potrebné, ale potešiť profesora je vždy prospešné ;-)

odpoveď: všeobecný integrál:

! Poznámka: Všeobecný integrál akejkoľvek rovnice možno zapísať viacerými spôsobmi. Ak sa teda váš výsledok nezhoduje s predtým známou odpoveďou, neznamená to, že ste rovnicu vyriešili nesprávne.

Všeobecný integrál sa dá tiež celkom ľahko skontrolovať, hlavná vec je vedieť ho nájsť derivácia funkcie špecifikovanej implicitne. Rozlišujme odpoveď:

Oba výrazy vynásobíme:

A rozdeliť podľa:

Pôvodná diferenciálna rovnica bola získaná presne, čo znamená, že všeobecný integrál bol nájdený správne.

Príklad 4

Nájdite konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice, ktoré spĺňa počiatočnú podmienku. Vykonajte kontrolu.

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami.

Dovoľte mi pripomenúť, že algoritmus pozostáva z dvoch fáz:
1) nájdenie všeobecného riešenia;
2) nájdenie požadovaného konkrétneho riešenia.

Kontrola sa tiež vykonáva v dvoch krokoch (pozri vzor v príklade č. 2), je potrebné:
1) uistite sa, že nájdené konkrétne riešenie spĺňa počiatočnú podmienku;
2) skontrolujte, či konkrétne riešenie vo všeobecnosti vyhovuje diferenciálnej rovnici.

Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Príklad 5

Nájdite konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice , ktoré spĺňajú počiatočnú podmienku. Vykonajte kontrolu.

Riešenie: Najprv nájdime všeobecné riešenie. Táto rovnica už obsahuje hotové diferenciály a preto je riešenie zjednodušené. Oddeľujeme premenné:

Integrujme rovnicu:

Integrál vľavo je tabuľkový, integrál vpravo je braný metóda subsumovania funkcie pod diferenciálne znamienko:

Všeobecný integrál bol získaný, je možné úspešne vyjadriť všeobecné riešenie? Môcť. Logaritmy zavesíme na obe strany. Keďže sú kladné, znamienka modulu sú zbytočné:

(Dúfam, že každý chápe premenu, takéto veci by už mali byť známe)

Takže všeobecné riešenie je:

Nájdime konkrétne riešenie zodpovedajúce danej počiatočnej podmienke.
Vo všeobecnom riešení namiesto „X“ nahradíme nulu a namiesto „Y“ nahradíme logaritmus dvoch:

Známejší dizajn:

Nájdenú hodnotu konštanty dosadíme do všeobecného riešenia.

odpoveď: súkromné ​​riešenie:

Kontrola: Najprv skontrolujte, či je splnená počiatočná podmienka:
- všetko je dobré.

Teraz skontrolujme, či nájdené konkrétne riešenie vôbec vyhovuje diferenciálnej rovnici. Nájdenie derivátu:

Pozrime sa na pôvodnú rovnicu: – uvádza sa v diferenciáloch. Existujú dva spôsoby kontroly. Je možné vyjadriť diferenciál z nájdenej derivácie:

Nájdené partikulárne riešenie a výsledný diferenciál dosadíme do pôvodnej rovnice :

Používame základnú logaritmickú identitu:

Získa sa správna rovnosť, čo znamená, že konkrétne riešenie bolo nájdené správne.

Druhá metóda kontroly je zrkadlová a známejšia: z rovnice Vyjadrime deriváciu, aby sme to urobili, rozdelíme všetky časti takto:

A do transformovanej DE dosadíme získané parciálne riešenie a nájdenú deriváciu. V dôsledku zjednodušení by sa mala dosiahnuť aj správna rovnosť.

Príklad 6

Riešiť diferenciálnu rovnicu. Uveďte odpoveď vo forme všeobecného integrálu.

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami, úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Aké ťažkosti číhajú pri riešení diferenciálnych rovníc so separovateľnými premennými?

1) Nie vždy je zrejmé (najmä pre „čajník“), že premenné možno oddeliť. Uvažujme podmienený príklad: . Tu musíte vyňať faktory zo zátvoriek: a oddeliť korene: . Je jasné, čo robiť ďalej.

2) Ťažkosti so samotnou integráciou. Integrály často nie sú najjednoduchšie a ak existujú nedostatky v zručnostiach vyhľadávania neurčitý integrál, potom to bude s mnohými difúzormi ťažké. Okrem toho je medzi zostavovateľmi zbierok a školiacich príručiek populárna logika „keďže diferenciálna rovnica je jednoduchá, nech sú aspoň integrály komplikovanejšie“.

3) Transformácie s konštantou. Ako si každý všimol, s konštantou v diferenciálnych rovniciach sa dá narábať celkom voľne a niektoré transformácie nie sú začiatočníkovi vždy jasné. Pozrime sa na ďalší podmienený príklad: . Odporúča sa vynásobiť všetky pojmy v ňom 2: . Výsledná konštanta je tiež nejaký druh konštanty, ktorú možno označiť: . Áno, a keďže na pravej strane je logaritmus, potom je vhodné prepísať konštantu vo forme inej konštanty: .

Problém je, že sa často neobťažujú indexmi a používajú rovnaké písmeno. Výsledkom je, že záznam o rozhodnutí má nasledujúcu formu:

Aký druh kacírstva? Sú tam chyby! Presne povedané, áno. Z vecného hľadiska však k chybám nedochádza, pretože v dôsledku transformácie premennej konštanty sa stále získava premenná konštanta.

Alebo iný príklad, predpokladajme, že v priebehu riešenia rovnice sa získa všeobecný integrál. Táto odpoveď vyzerá škaredo, preto je vhodné zmeniť znamienko každého výrazu: . Formálne je tu ešte jedna chyba - malo by to byť napísané vpravo. Neoficiálne sa však predpokladá, že „mínus ce“ je stále konštanta ( čo môže rovnako ľahko nadobudnúť akýkoľvek význam!), takže dávať „mínus“ nedáva zmysel a môžete použiť rovnaké písmeno.

Pokúsim sa vyhnúť neopatrnému prístupu a pri prepočte konštantám stále priraďujem rôzne indexy.

Príklad 7

Riešiť diferenciálnu rovnicu. Vykonajte kontrolu.

Riešenie: Táto rovnica umožňuje oddelenie premenných. Oddeľujeme premenné:

Poďme integrovať:

Konštantu tu nie je potrebné definovať ako logaritmus, pretože z toho nebude nič užitočné.

odpoveď: všeobecný integrál:

Kontrola: Odlíšte odpoveď ( implicitná funkcia):

Zlomkov sa zbavíme tak, že oba pojmy vynásobíme:

Pôvodná diferenciálna rovnica bola získaná, čo znamená, že všeobecný integrál bol nájdený správne.

Príklad 8

Nájdite konkrétne riešenie DE.
,

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Jediným náznakom je, že tu získate všeobecný integrál a správnejšie povedané, musíte sa snažiť nájsť nie konkrétne riešenie, ale čiastočný integrál. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

diferenciálna rovnica (DE) - toto je rovnica,
kde sú nezávislé premenné, y je funkcia a sú parciálne derivácie.

Obyčajná diferenciálna rovnica je diferenciálna rovnica, ktorá má iba jednu nezávislú premennú, .

Parciálna diferenciálna rovnica je diferenciálna rovnica, ktorá má dve alebo viac nezávislých premenných.

Slová „obyčajné“ a „čiastočné deriváty“ možno vynechať, ak je jasné, o ktorej rovnici sa uvažuje. Ďalej sú uvažované obyčajné diferenciálne rovnice.

Poradie diferenciálnej rovnice je poradie najvyššej derivácie.

Tu je príklad rovnice prvého poriadku:

Tu je príklad rovnice štvrtého rádu:

Niekedy je diferenciálna rovnica prvého poriadku napísaná z hľadiska diferenciálov:

V tomto prípade sú premenné x a y rovnaké. To znamená, že nezávislá premenná môže byť buď x alebo y. V prvom prípade je y funkciou x. V druhom prípade je x funkciou y. V prípade potreby môžeme túto rovnicu zredukovať na formu, ktorá explicitne obsahuje deriváciu y′.
Vydelením tejto rovnice dx dostaneme:
.
Od a z toho vyplýva
.

Riešenie diferenciálnych rovníc

Deriváty z elementárne funkcie sú vyjadrené prostredníctvom elementárnych funkcií. Integrály elementárnych funkcií sa často nevyjadrujú ako elementárne funkcie. S diferenciálnymi rovnicami je situácia ešte horšia. V dôsledku riešenia môžete získať:

• explicitná závislosť funkcie od premennej;

  Riešenie diferenciálnej rovnice je funkcia y = u (X), ktorý je definovaný, n-krát diferencovateľný a .

• implicitná závislosť vo forme rovnice typu Φ (x, y) = 0 alebo sústavy rovníc;

  Integrál diferenciálnej rovnice je riešením diferenciálnej rovnice, ktorá má implicitný tvar.

• závislosť vyjadrená prostredníctvom elementárnych funkcií a integrálov z nich;

  Riešenie diferenciálnej rovnice v kvadratúrach - ide o hľadanie riešenia v podobe kombinácie elementárnych funkcií a ich integrálov.

• riešenie nemôže byť vyjadrené elementárnymi funkciami.

Keďže pri riešení diferenciálnych rovníc ide o výpočet integrálov, riešenie zahŕňa sústavu konštánt C 1, C 2, C 3, ... C n. Počet konštánt sa rovná poradiu rovnice. Parciálny integrál diferenciálnej rovnice je všeobecný integrál at dané hodnoty konštanty C 1, C 2, C 3, ..., C n.

Referencie:
V.V. Stepanov, Priebeh diferenciálnych rovníc, "LKI", 2015.
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Zbierka úloh z vyššej matematiky, „Lan“, 2003.

Tento článok je východiskovým bodom pri štúdiu teórie diferenciálnych rovníc. Tu sú základné definície a pojmy, ktoré sa budú v texte neustále objavovať. Pre lepšiu asimiláciu a pochopenie sú definície uvedené s príkladmi.

diferenciálna rovnica (DE) je rovnica, ktorá zahŕňa neznámu funkciu pod derivačným alebo diferenciálnym znamienkom.

Ak je neznáma funkcia funkciou jednej premennej, potom sa volá diferenciálna rovnica obyčajný(skrátene ODE - obyčajná diferenciálna rovnica). Ak je neznáma funkcia funkciou mnohých premenných, potom sa volá diferenciálna rovnica parciálna diferenciálna rovnica.

Maximálny rád derivácie neznámej funkcie vstupujúcej do diferenciálnej rovnice sa nazýva poriadku diferenciálnej rovnice.

Tu sú príklady ODR prvého, druhého a piateho rádu

Ako príklady parciálnych diferenciálnych rovníc druhého rádu uvádzame

Ďalej budeme uvažovať len obyčajné diferenciálne rovnice n-tého rádu tvaru alebo , kde Ф(x, y) = 0 je neznáma funkcia špecifikovaná implicitne (ak je to možné, napíšeme ju v explicitnom zobrazení y = f(x) ).

Proces hľadania riešení diferenciálnej rovnice sa nazýva integráciou diferenciálnej rovnice.

Riešenie diferenciálnej rovnice je implicitne špecifikovaná funkcia Ф(x, y) = 0 (v niektorých prípadoch môže byť funkcia y vyjadrená explicitne prostredníctvom argumentu x), ktorá mení diferenciálnu rovnicu na identitu.

POZNÁMKA.

Riešenie diferenciálnej rovnice sa vždy hľadá na vopred určenom intervale X.

Prečo o tom hovoríme oddelene? Áno, pretože v mnohých problémoch sa interval X neuvádza. To znamená, že podmienka problémov je zvyčajne formulovaná takto: „nájdite riešenie obyčajnej diferenciálnej rovnice " V tomto prípade sa predpokladá, že riešenie by sa malo hľadať pre všetky x, pre ktoré má zmysel požadovaná funkcia y aj pôvodná rovnica.

Riešenie diferenciálnej rovnice sa často nazýva integrál diferenciálnej rovnice.

Funkcie alebo možno nazvať riešením diferenciálnej rovnice.

Jedným z riešení diferenciálnej rovnice je funkcia. Skutočne, dosadením tejto funkcie do pôvodnej rovnice získame identitu . Je ľahké vidieť, že ďalším riešením tejto ODR je napríklad . Diferenciálne rovnice teda môžu mať mnoho riešení.

Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice je množina riešení obsahujúcich všetky bez výnimky riešenia tejto diferenciálnej rovnice.

Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice sa tiež nazýva všeobecný integrál diferenciálnej rovnice.

Vráťme sa k príkladu. Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice má tvar alebo , kde C je ľubovoľná konštanta. Vyššie sme uviedli dve riešenia tejto ODR, ktoré sa získajú zo všeobecného integrálu diferenciálnej rovnice dosadením C = 0 a C = 1.

Ak riešenie diferenciálnej rovnice spĺňa pôvodne určené dodatočné podmienky, potom sa nazýva čiastočné riešenie diferenciálnej rovnice.

Čiastočné riešenie diferenciálnej rovnice spĺňajúce podmienku y(1)=1 je . naozaj, A .

Hlavnými problémami teórie diferenciálnych rovníc sú Cauchyho problémy, okrajové problémy a problémy hľadania všeobecného riešenia diferenciálnej rovnice na ľubovoľnom danom intervale X.

Cauchy problém je problém nájsť konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice, ktoré spĺňa dané počiatočné podmienky, kde sú čísla.

Problém hraničnej hodnoty je problém nájsť konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice druhého rádu, ktoré spĺňa dodatočné podmienky v hraničných bodoch x 0 a x 1:
f (x 0) = f 0, f (x 1) = f 1, kde f 0 a f 1 sú dané čísla.

Problém hraničnej hodnoty sa často nazýva hraničný problém.

Nazýva sa obyčajná diferenciálna rovnica n-tého rádu lineárne, ak má tvar , a existujú koeficienty spojité funkcie argument x na integračnom intervale.

Riešenie diferenciálnych rovníc. Vďaka nášmu online službu Môžete riešiť diferenciálne rovnice akéhokoľvek typu a zložitosti: nehomogénne, homogénne, nelineárne, lineárne, prvého, druhého rádu, so separovateľnými alebo neoddeliteľnými premennými atď. Získate riešenie diferenciálnych rovníc v analytickej forme s Detailný popis. Mnoho ľudí sa zaujíma: prečo je potrebné riešiť diferenciálne rovnice online? Tento typ rovníc je veľmi bežný v matematike a fyzike, kde nebude možné vyriešiť veľa problémov bez výpočtu diferenciálnej rovnice. Diferenciálne rovnice sú bežné aj v ekonómii, medicíne, biológii, chémii a iných vedách. Riešenie takejto rovnice online výrazne zjednodušuje vaše úlohy, dáva vám príležitosť lepšie pochopiť materiál a otestovať sa. Výhody riešenia diferenciálnych rovníc online. Moderná webová stránka matematických služieb vám umožňuje online riešiť diferenciálne rovnice akejkoľvek zložitosti. Ako viete, existuje veľké množstvo typy diferenciálnych rovníc a každá z nich má svoje metódy riešenia. V našej službe nájdete online riešenia diferenciálnych rovníc akéhokoľvek rádu a typu. Ak chcete získať riešenie, odporúčame vám vyplniť počiatočné údaje a kliknúť na tlačidlo „Riešenie“. Chyby vo fungovaní služby sú vylúčené, takže si môžete byť 100% istý, že ste dostali správnu odpoveď. Riešte diferenciálne rovnice s našou službou. Riešte diferenciálne rovnice online. Štandardne je v takejto rovnici funkcia y funkciou premennej x. Môžete si ale určiť aj vlastné označenie premennej. Ak napríklad zadáte y(t) v diferenciálnej rovnici, naša služba automaticky určí, že y je funkciou premennej t. Poradie celej diferenciálnej rovnice bude závisieť od maximálneho poriadku derivácie funkcie prítomnej v rovnici. Riešenie takejto rovnice znamená nájsť požadovanú funkciu. Naša služba vám pomôže vyriešiť diferenciálne rovnice online. Vyriešenie rovnice z vašej strany nevyžaduje veľa úsilia. Stačí zadať ľavú a pravú stranu rovnice do požadovaných polí a kliknúť na tlačidlo „Riešenie“. Pri zadávaní musí byť derivácia funkcie označená apostrofom. V priebehu niekoľkých sekúnd dostanete hotový výrobok podrobné riešenie Diferenciálnej rovnice. Naša služba je úplne zadarmo. Diferenciálne rovnice so separovateľnými premennými. Ak je v diferenciálnej rovnici na ľavej strane výraz závislý od y a na pravej strane výraz závislý od x, potom sa takáto diferenciálna rovnica volá s oddeliteľnými premennými. Ľavá strana môže obsahovať deriváciu y; riešenie diferenciálnych rovníc tohto typu bude vo forme funkcie y, vyjadrenej integrálom pravej strany rovnice. Ak na ľavej strane existuje diferenciál funkcie y, potom sú v tomto prípade obe strany rovnice integrované. Keď premenné v diferenciálnej rovnici nie sú oddelené, bude potrebné ich oddeliť, aby sa získala oddelená diferenciálna rovnica. Lineárna diferenciálna rovnica. Diferenciálna rovnica, ktorej funkcia a všetky jej derivácie sú v prvom stupni, sa nazýva lineárna. Všeobecná forma rovnice: y’+a1(x)y=f(x). f(x) a a1(x) sú spojité funkcie x. Riešenie diferenciálnych rovníc tohto typu sa redukuje na integráciu dvoch diferenciálnych rovníc s oddelenými premennými. Poradie diferenciálnej rovnice. Diferenciálna rovnica môže byť prvého, druhého, n-tého rádu. Poradie diferenciálnej rovnice určuje poradie najvyššej derivácie, ktorú obsahuje. V našej službe môžete online riešiť diferenciálne rovnice pre prvú, druhú, tretiu atď. objednať. Riešením rovnice bude ľubovoľná funkcia y=f(x), jej dosadením do rovnice získate identitu. Proces hľadania riešenia diferenciálnej rovnice sa nazýva integrácia. Cauchy problém. Ak je okrem samotnej diferenciálnej rovnice daná aj počiatočná podmienka y(x0)=y0, potom sa to nazýva Cauchyho problém. K riešeniu rovnice sa pridajú ukazovatele y0 a x0 a určí sa hodnota ľubovoľnej konštanty C a potom sa určí konkrétne riešenie rovnice pri tejto hodnote C. Toto je riešenie Cauchyho úlohy. Cauchyho problém sa nazýva aj problém s okrajovými podmienkami, ktorý je veľmi bežný vo fyzike a mechanike. Máte tiež možnosť nastaviť Cauchyho problém, teda zo všetkých možné riešenia rovnice, vyberte kvocient, ktorý spĺňa dané počiatočné podmienky.