Kvadratická rovnica má jeden koreň, ak je diskriminant. Kvadratické rovnice

Problémy kvadratických rovníc sa študujú v školských osnovách aj na univerzitách. Znamenajú rovnice tvaru a*x^2 + b*x + c = 0, kde X- premenná, a, b, c – konštanty; a<>0 Úlohou je nájsť korene rovnice.

Geometrický význam kvadratickej rovnice

Graf funkcie, ktorá je reprezentovaná kvadratickou rovnicou, je parabola. Riešenia (korene) kvadratická rovnica- sú to priesečníky paraboly s osou x (x). Z toho vyplýva, že existujú tri možné prípady:
1) parabola nemá žiadne priesečníky s osou x. To znamená, že je v hornej rovine s konármi hore alebo dole s konármi dole. V takýchto prípadoch kvadratická rovnica nemá skutočné korene (má dva komplexné korene).

2) parabola má jeden priesečník s osou Ox. Takýto bod sa nazýva vrchol paraboly a kvadratická rovnica v ňom nadobúda svoju minimálnu alebo maximálnu hodnotu. V tomto prípade má kvadratická rovnica jeden skutočný koreň (alebo dva rovnaké korene).

3) Posledný prípad je v praxi zaujímavejší - existujú dva body priesečníka paraboly s osou x. To znamená, že existujú dva skutočné korene rovnice.

Na základe analýzy koeficientov mocnin premenných možno vyvodiť zaujímavé závery o umiestnení paraboly.

1) Ak je koeficient a väčší ako nula, potom vetvy paraboly smerujú nahor, ak je záporný, vetvy paraboly smerujú nadol.

2) Ak je koeficient b väčší ako nula, tak vrchol paraboly leží v ľavej polrovine, ak má zápornú hodnotu, tak v pravej.

Odvodenie vzorca na riešenie kvadratickej rovnice

Prenesme konštantu z kvadratickej rovnice

pre znamienko rovnosti dostaneme výraz

Vynásobte obe strany číslom 4a

Ak chcete získať úplný štvorec vľavo, pridajte b^2 na obe strany a vykonajte transformáciu

Odtiaľto nájdeme

Vzorec pre diskriminant a korene kvadratickej rovnice

Diskriminant je hodnota radikálneho výrazu, ak je kladný, potom má rovnica dva reálne korene, vypočítané podľa vzorca Keď je diskriminant nula, kvadratická rovnica má jedno riešenie (dva zhodné korene), ktoré možno ľahko získať z vyššie uvedeného vzorca pre D=0, keď je diskriminant záporný, rovnica nemá žiadne skutočné korene. Riešenia kvadratickej rovnice sa však nachádzajú v komplexnej rovine a ich hodnota sa vypočíta pomocou vzorca

Vietov teorém

Uvažujme dva korene kvadratickej rovnice a na ich základe zostrojme kvadratickú rovnicu samotná Vietova veta ľahko vyplýva zo zápisu: ak máme kvadratickú rovnicu tvaru potom sa súčet jej koreňov rovná koeficientu p s opačným znamienkom a súčin koreňov rovnice sa rovná voľnému členu q. Vzorová reprezentácia vyššie uvedeného bude vyzerať takto: Ak v klasickej rovnici je konštanta a nenulová, musíte ňou rozdeliť celú rovnicu a potom použiť Vietovu vetu.

Rozvrh faktoringových kvadratických rovníc

Nech je úloha stanovená: vynásobte kvadratickú rovnicu. Aby sme to urobili, najprv vyriešime rovnicu (nájdime korene). Ďalej dosadíme nájdené korene do expanzného vzorca pre kvadratickú rovnicu. Tým sa problém vyrieši.

Úlohy kvadratických rovníc

Úloha 1. Nájdite korene kvadratickej rovnice

x^2-26x+120=0.

Riešenie: Zapíšte si koeficienty a dosaďte ich do diskriminačného vzorca

Odmocnina tejto hodnoty je 14, je ľahké ju nájsť pomocou kalkulačky alebo si ju zapamätať pri častom používaní, avšak pre pohodlie vám na konci článku uvediem zoznam druhých mocnín čísel, s ktorými sa môžete často stretnúť v takéto problémy.
Nájdenú hodnotu dosadíme do koreňového vzorca

a dostaneme

Úloha 2. Vyriešte rovnicu

2x 2 +x-3=0.

Riešenie: Máme kompletnú kvadratickú rovnicu, vypíšte koeficienty a nájdite diskriminant

Pomocou známych vzorcov nájdeme korene kvadratickej rovnice

Úloha 3. Vyriešte rovnicu

9x 2 -12x+4=0.

Riešenie: Máme úplnú kvadratickú rovnicu. Určenie diskriminantu

Máme prípad, keď sa korene zhodujú. Nájdite hodnoty koreňov pomocou vzorca

Úloha 4. Vyriešte rovnicu

x^2+x-6=0.

Riešenie: V prípadoch, keď sú pre x malé koeficienty, je vhodné použiť Vietovu vetu. Jeho podmienkou získame dve rovnice

Z druhej podmienky zistíme, že súčin sa musí rovnať -6. To znamená, že jeden z koreňov je negatívny. Máme nasledujúcu dvojicu možných riešení (-3;2), (3;-2) . Berúc do úvahy prvú podmienku, zamietame druhú dvojicu riešení.
Korene rovnice sú rovnaké

Úloha 5. Nájdite dĺžky strán obdĺžnika, ak jeho obvod je 18 cm a jeho plocha je 77 cm 2.

Riešenie: Polovica obvodu obdĺžnika sa rovná súčtu jeho priľahlých strán. Označme x ako väčšiu stranu, potom 18-x je jej menšia strana. Plocha obdĺžnika sa rovná súčinu týchto dĺžok:
x(18-x)=77;
alebo
x 2 -18x+77=0.
Nájdime diskriminantov rovníc

Výpočet koreňov rovnice

Ak x=11, To 18 = 7, platí to aj naopak (ak x=7, potom 21=9).

Úloha 6. Vynásobte kvadratickú rovnicu 10x 2 -11x+3=0.

Riešenie: Vypočítajme korene rovnice, na to nájdeme diskriminant

Nájdenú hodnotu dosadíme do koreňového vzorca a vypočítame

Aplikujeme vzorec na rozklad kvadratickej rovnice podľa koreňov

Otvorením zátvoriek získame identitu.

Kvadratická rovnica s parametrom

Príklad 1. Pri akých hodnotách parametrov A , má rovnica (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 jeden koreň?

Riešenie: Priamou substitúciou hodnoty a=3 vidíme, že nemá riešenie. Ďalej využijeme fakt, že s nulovým diskriminantom má rovnica jeden koreň násobnosti 2. Vypíšme diskriminant

Zjednodušme si to a prirovnajme to k nule

Získali sme kvadratickú rovnicu vzhľadom na parameter a, ktorej riešenie možno ľahko získať pomocou Vietovej vety. Súčet koreňov je 7 a ich súčin je 12. Jednoduchým hľadaním zistíme, že čísla 3,4 budú koreňmi rovnice. Keďže sme už na začiatku výpočtov zamietli riešenie a=3, jediné správne bude - a=4. Takže keď a=4 rovnica má jeden koreň.

Príklad 2. Pri akých hodnotách parametrov A , rovnica a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 má viac ako jeden koreň?

Riešenie: Najprv zvážime singulárne body, budú to hodnoty a=0 a a=-3. Keď a=0, rovnica sa zjednoduší na tvar 6x-9=0; x=3/2 a bude tam jeden koreň. Pre a= -3 získame identitu 0=0.
Vypočítajme diskriminant

a nájdite hodnotu a, pri ktorej je kladné

Z prvej podmienky dostaneme a>3. Pre druhú nájdeme diskriminant a korene rovnice

Definujme si intervaly, v ktorých funkcia trvá kladné hodnoty. Dosadením bodu a=0 dostaneme 3>0 . Takže mimo intervalu (-3;1/3) je funkcia záporná. Nezabudni na pointu a=0, ktorý by mal byť vylúčený, pretože pôvodná rovnica má v sebe jeden koreň.
Výsledkom je, že dostaneme dva intervaly, ktoré spĺňajú podmienky úlohy

Podobných úloh bude v praxi veľa, skúste si úlohy vyrátať sami a nezabudnite brať do úvahy podmienky, ktoré sa navzájom vylučujú. Dobre si preštudujte vzorce na riešenie kvadratických rovníc, ktoré sú často potrebné pri výpočtoch v rôznych problémoch a vedách.

V pokračovaní témy „Riešenie rovníc“ vám materiál v tomto článku predstaví kvadratické rovnice.

Pozrime sa na všetko podrobne: podstatu a zápis kvadratickej rovnice, definujte sprievodné pojmy, analyzujte schému riešenia neúplných a úplných rovníc, zoznámte sa so vzorcom koreňov a diskriminantu, vytvorte súvislosti medzi koreňmi a koeficientmi, a samozrejme dáme aj názorné riešenie praktických príkladov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadratická rovnica, jej typy

Definícia 1

Kvadratická rovnica je rovnica napísaná ako a x 2 + b x + c = 0, Kde X– premenné, a , b a c– niektoré čísla, kým a nie je nula.

Kvadratické rovnice sa často nazývajú aj rovnice druhého stupňa, pretože kvadratická rovnica je v podstate algebraická rovnica druhého stupňa.

Uveďme príklad na ilustráciu danej definície: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 atď. Toto sú kvadratické rovnice.

Definícia 2

Čísla a, b a c sú koeficienty kvadratickej rovnice a x 2 + b x + c = 0, pričom koeficient a sa nazýva prvý, alebo senior, alebo koeficient pri x 2, b - druhý koeficient, alebo koeficient pri X, A c nazývaný voľný člen.

Napríklad v kvadratickej rovnici 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 vedúci koeficient je 6, druhý koeficient je − 2 , a voľný termín sa rovná − 11 . Venujme pozornosť tomu, že keď koeficienty b a/alebo c sú negatívne, potom použite krátka forma záznamy ako 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, ale nie 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Ujasnime si aj tento aspekt: ak koeficienty a a/alebo b rovný 1 alebo − 1 , potom sa nemôžu explicitne podieľať na písaní kvadratickej rovnice, čo sa vysvetľuje zvláštnosťami zápisu uvedených číselných koeficientov. Napríklad v kvadratickej rovnici y2 − y + 7 = 0 vodiaci koeficient je 1 a druhý koeficient je − 1 .

Redukované a neredukované kvadratické rovnice

Na základe hodnoty prvého koeficientu sa kvadratické rovnice delia na redukované a neredukované.

Definícia 3

Redukovaná kvadratická rovnica je kvadratická rovnica, kde vodiaci koeficient je 1. Pre ostatné hodnoty vedúceho koeficientu je kvadratická rovnica neredukovaná.

Uveďme príklady: kvadratické rovnice x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 sú redukované, v každej z nich je vodiaci koeficient 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- neredukovaná kvadratická rovnica, kde prvý koeficient je odlišný od 1 .

Akákoľvek neredukovaná kvadratická rovnica môže byť prevedená na redukovanú rovnicu vydelením oboch strán prvým koeficientom (ekvivalentná transformácia). Transformovaná rovnica bude mať rovnaké korene ako daná neredukovaná rovnica alebo tiež nebude mať žiadne korene.

Úvaha konkrétny príklad nám umožní názorne demonštrovať prechod z neredukovanej kvadratickej rovnice na redukovanú.

Príklad 1

Vzhľadom na rovnicu 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Pôvodnú rovnicu je potrebné previesť do redukovanej podoby.

Riešenie

Podľa vyššie uvedenej schémy vydelíme obe strany pôvodnej rovnice vodiacim koeficientom 6. Potom dostaneme: (6 x 2 + 18 x − 7): 3 = 0: 3 a toto je to isté ako: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 a ďalej: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. Odtiaľ: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Takto sa získa rovnica ekvivalentná danej rovnici.

odpoveď: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Úplné a neúplné kvadratické rovnice

Poďme k definícii kvadratickej rovnice. V ňom sme to špecifikovali a ≠ 0. Podobná podmienka je potrebná pre rovnicu a x 2 + b x + c = 0 bol presne štvorcový, keďže o hod a = 0 v podstate sa premieňa na lineárna rovnica b x + c = 0.

V prípade, že koeficienty b A c sa rovnajú nule (čo je možné jednotlivo aj spoločne), kvadratická rovnica sa nazýva neúplná.

Definícia 4

Neúplná kvadratická rovnica- taká kvadratická rovnica a x 2 + b x + c = 0, kde je aspoň jeden z koeficientov b A c(alebo oboje) je nula.

Kompletná kvadratická rovnica– kvadratická rovnica, v ktorej sa všetky číselné koeficienty nerovnajú nule.

Poďme diskutovať o tom, prečo sa typom kvadratických rovníc dávajú práve tieto názvy.

Keď b = 0, kvadratická rovnica nadobúda tvar a x 2 + 0 x + c = 0, ktorý je rovnaký ako a x 2 + c = 0. O c = 0 kvadratická rovnica je napísaná ako a x 2 + b x + 0 = 0, čo je ekvivalentné a x 2 + b x = 0. O b = 0 A c = 0 rovnica bude mať tvar a x 2 = 0. Rovnice, ktoré sme získali, sa líšia od úplnej kvadratickej rovnice tým, že ich ľavé strany neobsahujú ani člen s premennou x, ani voľný člen, ani oboje. V skutočnosti táto skutočnosť dala tomuto typu rovnice názov – neúplná.

Napríklad x 2 + 3 x + 4 = 0 a − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 sú úplné kvadratické rovnice; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – neúplné kvadratické rovnice.

Riešenie neúplných kvadratických rovníc

Vyššie uvedená definícia umožňuje rozlíšiť nasledujúce typy neúplných kvadratických rovníc:

a x 2 = 0, táto rovnica zodpovedá koeficientom b = 0 a c = 0;
a x2 + c = 0 pri b = 0;
a x 2 + b x x = 0 pri c = 0.

Uvažujme postupne o riešení každého typu neúplnej kvadratickej rovnice.

Riešenie rovnice a x 2 =0

Ako bolo uvedené vyššie, táto rovnica zodpovedá koeficientom b A c, rovná nule. Rovnica a x 2 = 0 možno previesť na ekvivalentnú rovnicu x 2 = 0, ktorý dostaneme vydelením oboch strán pôvodnej rovnice číslom a, nerovná sa nule. Zjavným faktom je, že koreň rovnice x 2 = 0 toto je nula, pretože 0 2 = 0 . Táto rovnica nemá žiadne iné korene, čo možno vysvetliť vlastnosťami stupňa: pre ľubovoľné číslo p, nerovná sa nule, nerovnosť je pravdivá p2 > 0, z ktorého vyplýva, že kedy p ≠ 0 rovnosť p2 = 0 sa nikdy nedosiahne.

Definícia 5

Teda pre neúplnú kvadratickú rovnicu a x 2 = 0 existuje jeden koreň x = 0.

Príklad 2

Napríklad vyriešme neúplnú kvadratickú rovnicu − 3 x 2 = 0. Je ekvivalentná rovnici x 2 = 0, jej jediným koreňom je x = 0, potom má pôvodná rovnica jediný koreň - nulu.

Stručne povedané, riešenie je napísané takto:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Riešenie rovnice a x 2 + c = 0

Ďalšie v poradí je riešenie neúplných kvadratických rovníc, kde b = 0, c ≠ 0, teda rovnice tvaru a x 2 + c = 0. Transformujme túto rovnicu tak, že presunieme člen z jednej strany rovnice na druhú, zmeníme znamienko na opačné a obe strany rovnice vydelíme číslom, ktoré sa nerovná nule:

prevod c V pravá strana, čo dáva rovnicu a x 2 = − c;
vydeľte obe strany rovnice a, skončíme s x = - c a .

Naše transformácie sú ekvivalentné, výsledná rovnica je tiež ekvivalentná pôvodnej a táto skutočnosť umožňuje vyvodiť závery o koreňoch rovnice. Z toho, aké sú hodnoty a A c hodnota výrazu - c a závisí: môže mať znamienko mínus (napríklad ak a = 1 A c = 2, potom - c a = - 2 1 = - 2) alebo znamienko plus (napríklad ak a = - 2 A c = 6 potom - ca = - 6 - 2 = 3); nie je to nula, pretože c ≠ 0. Zastavme sa podrobnejšie pri situáciách, keď - c a< 0 и - c a > 0 .

V prípade, keď - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p rovnosť p 2 = - c a nemôže byť pravdivá.

Všetko je iné, keď - c a > 0: zapamätajte si druhú odmocninu a bude zrejmé, že koreň rovnice x 2 = - c a bude číslo - c a, keďže - c a 2 = - c a. Nie je ťažké pochopiť, že číslo - - c a je tiež koreňom rovnice x 2 = - c a: skutočne - - c a 2 = - c a.

Rovnica nebude mať žiadne iné korene. Môžeme to demonštrovať pomocou metódy protirečenia. Na začiatok definujme zápisy pre korene nájdené vyššie ako x 1 A − x 1. Predpokladajme, že aj rovnica x 2 = - c a má koreň x 2, ktorý sa líši od koreňov x 1 A − x 1. Poznáme to dosadením do rovnice X jej korene, transformujeme rovnicu na spravodlivú číselnú rovnosť.

Pre x 1 A − x 1 píšeme: x 1 2 = - c a , a pre x 2- x 2 2 = - c a . Na základe vlastností číselných rovníc odčítame jeden správny člen rovnosti po člene od druhého, čím získame: x 1 2 − x 2 2 = 0. Vlastnosti operácií s číslami využívame na prepísanie poslednej rovnosti ako (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Je známe, že súčin dvoch čísel je nula vtedy a len vtedy, ak aspoň jedno z čísel je nula. Z uvedeného vyplýva, že x 1 − x 2 = 0 a/alebo x 1 + x 2 = 0, čo je to isté x 2 = x 1 a/alebo x 2 = − x 1. Vznikol zjavný rozpor, pretože najprv sa zhodlo, že koreň rovnice x 2 sa líši od x 1 A − x 1. Takže sme dokázali, že rovnica nemá iné korene ako x = - ca a x = - - c a.

Zhrňme všetky vyššie uvedené argumenty.

Definícia 6

Neúplná kvadratická rovnica a x 2 + c = 0 je ekvivalentná rovnici x 2 = - c a, ktorá:

nebude mať korene v - c a< 0 ;
bude mať dva korene x = - ca a x = - - c a pre - c a > 0.

Uveďme príklady riešenia rovníc a x 2 + c = 0.

Príklad 3

Daná kvadratická rovnica 9 x 2 + 7 = 0. Je potrebné nájsť riešenie.

Riešenie

Presuňme voľný člen na pravú stranu rovnice, potom bude mať rovnica tvar 9 x 2 = - 7.
Vydelme obe strany výslednej rovnice o 9 , dospejeme k x 2 = - 7 9 . Na pravej strane vidíme číslo so znamienkom mínus, čo znamená: y daná rovnicažiadne korene. Potom pôvodná neúplná kvadratická rovnica 9 x 2 + 7 = 0 nebude mať korene.

odpoveď: rovnica 9 x 2 + 7 = 0 nemá korene.

Príklad 4

Je potrebné vyriešiť rovnicu − x 2 + 36 = 0.

Riešenie

Presuňme sa o 36 na pravú stranu: − x 2 = − 36.
Rozdeľme obe časti podľa − 1 , dostaneme x 2 = 36. Na pravej strane je kladné číslo, z čoho to môžeme usúdiť x = 36 resp x = -36.
Vyberme koreň a zapíšme si konečný výsledok: neúplná kvadratická rovnica − x 2 + 36 = 0 má dva korene x = 6 alebo x = − 6.

odpoveď: x = 6 alebo x = − 6.

Riešenie rovnice a x 2 +b x=0

Analyzujme tretí typ neúplných kvadratických rovníc, keď c = 0. Nájsť riešenie neúplnej kvadratickej rovnice a x 2 + b x = 0, použijeme metódu faktorizácie. Rozložme na faktor polynóm, ktorý je na ľavej strane rovnice, pričom spoločný faktor vyberieme zo zátvoriek X. Tento krok umožní transformovať pôvodnú neúplnú kvadratickú rovnicu na jej ekvivalent x (a x + b) = 0. A táto rovnica je zase ekvivalentná množine rovníc x = 0 A a x + b = 0. Rovnica a x + b = 0 lineárny a jeho koreň: x = − b a.

Definícia 7

Teda neúplná kvadratická rovnica a x 2 + b x = 0 bude mať dva korene x = 0 A x = − b a.

Posilnime materiál príkladom.

Príklad 5

Je potrebné nájsť riešenie rovnice 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Riešenie

Vytiahneme to X mimo zátvorky dostaneme rovnicu x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Táto rovnica je ekvivalentná s rovnicami x = 0 a 2 3 x - 2 2 7 = 0. Teraz by ste mali vyriešiť výslednú lineárnu rovnicu: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Stručne napíšte riešenie rovnice takto:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 alebo 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 alebo x = 3 3 7

odpoveď: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminant, vzorec pre korene kvadratickej rovnice

Na nájdenie riešení kvadratických rovníc existuje koreňový vzorec:

Definícia 8

x = - b ± D 2 · a, kde D = b 2 − 4 a c– takzvaný diskriminant kvadratickej rovnice.

Zápis x = - b ± D 2 · a v podstate znamená, že x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Bolo by užitočné pochopiť, ako bol tento vzorec odvodený a ako ho aplikovať.

Odvodenie vzorca pre korene kvadratickej rovnice

Postavme sa pred úlohu vyriešiť kvadratickú rovnicu a x 2 + b x + c = 0. Urobme niekoľko ekvivalentných transformácií:

vydeľte obe strany rovnice číslom a, odlišné od nuly, dostaneme nasledujúcu kvadratickú rovnicu: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
Vyberme celý štvorec na ľavej strane výslednej rovnice:
x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
Potom rovnica nadobudne tvar: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
Teraz je možné preniesť posledné dva pojmy na pravú stranu, pričom znamienko zmeníme na opačné, po čom dostaneme: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
Nakoniec transformujeme výraz napísaný na pravej strane poslednej rovnosti:
b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Dostávame sa teda k rovnici x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , ekvivalentnej pôvodnej rovnici a x 2 + b x + c = 0.

Riešenie takýchto rovníc sme skúmali v predchádzajúcich odsekoch (riešenie neúplných kvadratických rovníc). Už získané skúsenosti umožňujú vyvodiť záver o koreňoch rovnice x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

s b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
keď b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, rovnica je x + b 2 · a 2 = 0, potom x + b 2 · a = 0.

Odtiaľ je zrejmý jediný koreň x = - b 2 · a;

pre b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 bude platiť nasledovné: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 alebo x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , čo je rovnaké ako x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 alebo x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, t.j. rovnica má dva korene.

Je možné dospieť k záveru, že prítomnosť alebo neprítomnosť koreňov rovnice x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (a teda pôvodnej rovnice) závisí od znamienka výrazu b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 napísané na pravej strane. A znak tohto výrazu je daný znakom čitateľa (menovateľ 4 a 2 bude vždy kladný), teda znak výrazu b 2 − 4 a c. Tento výraz b 2 − 4 a c je uvedený názov - diskriminant kvadratickej rovnice a písmeno D je definované ako jej označenie. Tu si môžete zapísať podstatu diskriminantu - na základe jeho hodnoty a znamienka môžu usúdiť, či kvadratická rovnica bude mať skutočné korene, a ak áno, aký je počet koreňov - jeden alebo dva.

Vráťme sa k rovnici x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Prepíšme to pomocou diskriminačného zápisu: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Znova sformulujme naše závery:

Definícia 9

pri D< 0 rovnica nemá skutočné korene;
pri D = 0 rovnica má jeden koreň x = - b 2 · a ;
pri D > 0 rovnica má dva korene: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 alebo x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Na základe vlastností radikálov možno tieto korene zapísať v tvare: x = - b 2 · a + D 2 · a alebo - b 2 · a - D 2 · a. A keď otvoríme moduly a zlomky privedieme k spoločnému menovateľovi, dostaneme: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Takže výsledkom našej úvahy bolo odvodenie vzorca pre korene kvadratickej rovnice:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminant D vypočítané podľa vzorca D = b 2 − 4 a c.

Tieto vzorce umožňujú určiť oba skutočné korene, keď je diskriminant väčší ako nula. Keď je diskriminant nulový, použitie oboch vzorcov poskytne rovnaký koreň ako jediné riešenie kvadratickej rovnice. V prípade, že je diskriminant záporný, ak sa pokúsime použiť vzorec kvadratickej odmocniny, budeme čeliť potrebe vziať druhú odmocninu zo záporného čísla, čím sa dostaneme za hranice reálnych čísel. O negatívny diskriminant Kvadratická rovnica nebude mať skutočné korene, ale je možný pár komplexne konjugovaných koreňov, určených rovnakými koreňovými vzorcami, aké sme získali.

Algoritmus riešenia kvadratických rovníc pomocou koreňových vzorcov

Je možné vyriešiť kvadratickú rovnicu okamžitým použitím koreňového vzorca, ale vo všeobecnosti sa to robí, keď je potrebné nájsť zložité korene.

Vo väčšine prípadov to zvyčajne znamená hľadanie nie komplexných, ale skutočných koreňov kvadratickej rovnice. Potom je optimálne pred použitím vzorcov pre korene kvadratickej rovnice najprv určiť diskriminant a uistiť sa, že nie je záporný (inak dôjdeme k záveru, že rovnica nemá žiadne skutočné korene), a potom pristúpiť k výpočtu hodnotu koreňov.

Vyššie uvedené úvahy umožňujú formulovať algoritmus na riešenie kvadratickej rovnice.

Definícia 10

Na vyriešenie kvadratickej rovnice a x 2 + b x + c = 0, potrebné:

podľa vzorca D = b 2 − 4 a c nájsť diskriminačnú hodnotu;
v D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
pre D = 0 nájdite jediný koreň rovnice pomocou vzorca x = - b 2 · a ;
pre D > 0 určte dva reálne korene kvadratickej rovnice pomocou vzorca x = - b ± D 2 · a.

Všimnite si, že keď je diskriminant nulový, môžete použiť vzorec x = - b ± D 2 · a, poskytne rovnaký výsledok ako vzorec x = - b 2 · a.

Pozrime sa na príklady.

Príklady riešenia kvadratických rovníc

Uveďme riešenia príkladov pre rôzne hodnoty diskriminantu.

Príklad 6

Musíme nájsť korene rovnice x 2 + 2 x − 6 = 0.

Riešenie

Zapíšme si číselné koeficienty kvadratickej rovnice: a = 1, b = 2 a c = - 6. Ďalej postupujeme podľa algoritmu, t.j. Začnime s výpočtom diskriminantu, za ktorý dosadíme koeficienty a, b A c do diskriminačného vzorca: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Takže dostaneme D > 0, čo znamená, že pôvodná rovnica bude mať dva skutočné korene.
Na ich nájdenie použijeme koreňový vzorec x = - b ± D 2 · a a dosadením zodpovedajúcich hodnôt dostaneme: x = - 2 ± 28 2 · 1. Zjednodušme výsledný výraz odstránením faktora z koreňového znamienka a následným zmenšením zlomku:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 alebo x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 alebo x = - 1 - 7

odpoveď: x = - 1 + 7, x = - 1 - 7.

Príklad 7

Je potrebné vyriešiť kvadratickú rovnicu − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Riešenie

Definujme diskriminant: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Pri tejto hodnote diskriminantu bude mať pôvodná rovnica len jeden koreň, určený vzorcom x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

odpoveď: x = 3,5.

Príklad 8

Je potrebné vyriešiť rovnicu 5 y2 + 6 y + 2 = 0

Riešenie

Číselné koeficienty tejto rovnice budú: a = 5, b = 6 a c = 2. Na nájdenie diskriminantu použijeme tieto hodnoty: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Vypočítaný diskriminant je záporný, takže pôvodná kvadratická rovnica nemá žiadne skutočné korene.

V prípade, že úlohou je označiť komplexné korene, použijeme koreňový vzorec a vykonáme akcie s komplexnými číslami:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 alebo x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i alebo x = - 3 5 - 1 5 · i.

odpoveď: neexistujú žiadne skutočné korene; komplexné korene sú nasledovné: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

V školských osnovách nie je štandardne stanovená požiadavka hľadať komplexné korene, preto, ak sa pri riešení určí, že diskriminant je záporný, okamžite sa zapíše odpoveď, že žiadne skutočné korene neexistujú.

Koreňový vzorec pre párne sekundové koeficienty

Koreňový vzorec x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) umožňuje získať iný vzorec, kompaktnejší, umožňujúci nájsť riešenia kvadratických rovníc s párnym koeficientom pre x ( alebo s koeficientom v tvare 2 · n, napríklad 2 3 alebo 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Ukážme, ako je tento vzorec odvodený.

Stojíme pred úlohou nájsť riešenie kvadratickej rovnice a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Postupujeme podľa algoritmu: určíme diskriminant D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) a potom použijeme koreňový vzorec:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a.

Označme výraz n 2 − a · c ako D 1 (niekedy sa označuje aj D "). Potom vzorec pre korene uvažovanej kvadratickej rovnice s druhým koeficientom 2 · n bude mať tvar:

x = - n ± D 1 a, kde D 1 = n 2 − a · c.

Je ľahké vidieť, že D = 4 · D 1 alebo D 1 = D 4. Inými slovami, D 1 je štvrtina diskriminantu. Je zrejmé, že znamienko D 1 je rovnaké ako znamienko D, čo znamená, že znamienko D 1 môže slúžiť aj ako indikátor prítomnosti alebo neprítomnosti koreňov kvadratickej rovnice.

Definícia 11

Na nájdenie riešenia kvadratickej rovnice s druhým koeficientom 2 n je teda potrebné:

nájdite D 1 = n 2 − a · c ;
v D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
keď D 1 = 0, určte jediný koreň rovnice pomocou vzorca x = - n a;
pre D 1 > 0 určte dva skutočné korene pomocou vzorca x = - n ± D 1 a.

Príklad 9

Je potrebné vyriešiť kvadratickú rovnicu 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Riešenie

Druhý koeficient danej rovnice môžeme reprezentovať ako 2 · (− 3) . Potom danú kvadratickú rovnicu prepíšeme ako 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, kde a = 5, n = − 3 a c = − 32.

Vypočítajme štvrtú časť diskriminantu: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Výsledná hodnota je kladná, čo znamená, že rovnica má dva reálne korene. Určme ich pomocou zodpovedajúceho koreňového vzorca:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 alebo x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 alebo x = - 2

Bolo by možné vykonať výpočty pomocou obvyklého vzorca pre korene kvadratickej rovnice, ale v tomto prípade by bolo riešenie ťažkopádnejšie.

odpoveď: x = 315 alebo x = -2.

Zjednodušenie tvaru kvadratických rovníc

Niekedy je možné optimalizovať tvar pôvodnej rovnice, čo zjednoduší proces výpočtu koreňov.

Napríklad kvadratickú rovnicu 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 je jednoznačne vhodnejšie vyriešiť ako 1 200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Častejšie sa zjednodušenie tvaru kvadratickej rovnice vykonáva vynásobením alebo delením jej oboch strán určitým číslom. Napríklad vyššie sme ukázali zjednodušené znázornenie rovnice 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, získanej delením oboch strán číslom 100.

Takáto transformácia je možná, keď koeficienty kvadratickej rovnice nie sú navzájom základné čísla. Potom zvyčajne delíme obe strany rovnice najväčším spoločným deliteľom absolútnych hodnôt jej koeficientov.

Ako príklad použijeme kvadratickú rovnicu 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Určme GCD absolútnych hodnôt jeho koeficientov: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Vydelme obe strany pôvodnej kvadratickej rovnice 6 a získame ekvivalentnú kvadratickú rovnicu 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Vynásobením oboch strán kvadratickej rovnice sa zvyčajne zbavíte zlomkových koeficientov. V tomto prípade sa vynásobia najmenším spoločným násobkom menovateľov jeho koeficientov. Napríklad, ak sa každá časť kvadratickej rovnice 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 vynásobí LCM (6, 3, 1) = 6, zapíše sa viac v jednoduchej forme x 2 + 4 x − 18 = 0 .

Nakoniec si všimneme, že mínus na prvom koeficiente kvadratickej rovnice sa takmer vždy zbavíme zmenou znamienka každého člena rovnice, čo sa dosiahne vynásobením (alebo delením) oboch strán − 1. Napríklad z kvadratickej rovnice − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0 môžete prejsť na jej zjednodušenú verziu 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Vzťah medzi koreňmi a koeficientmi

Nám už známy vzorec pre korene kvadratických rovníc x = - b ± D 2 · a vyjadruje korene rovnice prostredníctvom jej číselných koeficientov. Na základe tohto vzorca máme možnosť špecifikovať ďalšie závislosti medzi koreňmi a koeficientmi.

Najznámejšie a použiteľné vzorce sú Vietov teorém:

x 1 + x 2 = - ba a x 2 = c a.

Konkrétne pre danú kvadratickú rovnicu je súčet koreňov druhý koeficient s opačným znamienkom a súčin koreňov sa rovná voľnému členu. Napríklad pri pohľade na tvar kvadratickej rovnice 3 x 2 − 7 x + 22 = 0 je možné okamžite určiť, že súčet jej koreňov je 7 3 a súčin koreňov je 22 3.

Medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice môžete nájsť aj množstvo ďalších súvislostí. Napríklad súčet druhých mocnín koreňov kvadratickej rovnice možno vyjadriť pomocou koeficientov:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Transformácia úplnej kvadratickej rovnice na neúplnú vyzerá takto (pre prípad \(b=0\)):

V prípadoch, keď \(c=0\) alebo keď sa oba koeficienty rovnajú nule, je všetko podobné.

Všimnite si prosím, že nie je možné, aby sa \(a\) rovnalo nule, nemôže sa rovnať nule, pretože v tomto prípade sa zmení na:

Riešenie neúplných kvadratických rovníc.

Najprv musíte pochopiť, že neúplná kvadratická rovnica je stále a , a preto ju možno vyriešiť rovnakým spôsobom ako obyčajnú kvadratickú rovnicu (via ). K tomu jednoducho doplníme chýbajúcu zložku rovnice s nulovým koeficientom.

Príklad : Nájdite korene rovnice \(3x^2-27=0\)
Riešenie :

		Máme neúplnú kvadratickú rovnicu s koeficientom \(b=0\). To znamená, že rovnicu môžeme napísať takto:
\(3x^2+0\cbodka x-27=0\)		V skutočnosti je to rovnaká rovnica ako na začiatku, ale teraz ju možno vyriešiť ako obyčajnú kvadratickú rovnicu. Najprv si vypíšeme koeficienty.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Vypočítajme diskriminant pomocou vzorca \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Nájdite korene rovnice pomocou vzorcov \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) a \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		Zapíšte si odpoveď

Odpoveď : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

Príklad : Nájdite korene rovnice \(-x^2+x=0\)
Riešenie :

		Opäť neúplná kvadratická rovnica, ale teraz nulová koeficient sa rovná\(c\). Rovnicu napíšeme ako úplnú.

Pokračujeme v štúdiu témy „ riešenie rovníc" S lineárnymi rovnicami sme sa už zoznámili a prechádzame k oboznamovaniu kvadratické rovnice.

Najprv sa pozrieme na to, čo je to kvadratická rovnica a ako sa v nej píše všeobecný pohľad a uveďte súvisiace definície. Potom pomocou príkladov podrobne preskúmame, ako sa riešia neúplné kvadratické rovnice. Ďalej prejdeme k riešeniu úplných rovníc, získame koreňový vzorec, zoznámime sa s diskriminantom kvadratickej rovnice a zvážime riešenia typických príkladov. Nakoniec vystopujme súvislosti medzi koreňmi a koeficientmi.

Navigácia na stránke.

Čo je to kvadratická rovnica? Ich typy

Najprv musíte jasne pochopiť, čo je kvadratická rovnica. Preto je logické začať rozhovor o kvadratických rovniciach definíciou kvadratickej rovnice, ako aj príbuzných definícií. Potom môžete zvážiť hlavné typy kvadratických rovníc: redukované a neredukované, ako aj úplné a neúplné rovnice.

Definícia a príklady kvadratických rovníc

Definícia.

Kvadratická rovnica je rovnica tvaru a x 2 + b x + c = 0, kde x je premenná, a, b a c sú nejaké čísla a a je nenulové.

Povedzme hneď, že kvadratické rovnice sa často nazývajú rovnice druhého stupňa. Je to spôsobené tým, že kvadratická rovnica je algebraická rovnica druhého stupňa.

Uvedená definícia nám umožňuje uviesť príklady kvadratických rovníc. Takže 2 x 2 + 6 x + 1 = 0, 0,2 x 2 + 2,5 x + 0,03 = 0 atď. Toto sú kvadratické rovnice.

Definícia.

čísla a, b a c sa nazývajú koeficienty kvadratickej rovnice a·x 2 +b·x+c=0 a koeficient a sa nazýva prvý alebo najvyšší alebo koeficient x 2, b je druhý koeficient alebo koeficient x a c je voľný člen .

Vezmime si napríklad kvadratickú rovnicu v tvare 5 x 2 −2 x −3=0, tu je vodiaci koeficient 5, druhý koeficient sa rovná −2 a voľný člen sa rovná −3. Upozorňujeme, že ak sú koeficienty b a/alebo c záporné, ako v práve uvedenom príklade, skrátená forma kvadratickej rovnice je 5 x 2 −2 x−3=0 , a nie 5 x 2 +(−2 ) ·x+(-3)=0.

Stojí za zmienku, že keď sa koeficienty a a/alebo b rovnajú 1 alebo -1, potom zvyčajne nie sú explicitne prítomné v kvadratickej rovnici, čo je spôsobené zvláštnosťami ich písania. Napríklad v kvadratickej rovnici y 2 −y+3=0 je vedúci koeficient jedna a koeficient y sa rovná −1.

Redukované a neredukované kvadratické rovnice

V závislosti od hodnoty vedúceho koeficientu sa rozlišujú redukované a neredukované kvadratické rovnice. Uveďme zodpovedajúce definície.

Definícia.

Nazýva sa kvadratická rovnica, v ktorej je vedúci koeficient 1 daná kvadratická rovnica. Inak platí kvadratická rovnica nedotknuté.

Podľa tejto definície kvadratické rovnice x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 atď. – daný, v každom z nich je prvý koeficient rovný jednej. A 5 x 2 −x−1=0 atď. - neredukované kvadratické rovnice, ich vodiace koeficienty sú odlišné od 1.

Z akejkoľvek neredukovanej kvadratickej rovnice vydelením oboch strán vodiacim koeficientom môžete prejsť k redukovanej. Táto akcia je ekvivalentnou transformáciou, to znamená, že takto získaná redukovaná kvadratická rovnica má rovnaké korene ako pôvodná neredukovaná kvadratická rovnica, alebo podobne ako ona nemá žiadne korene.

Pozrime sa na príklad, ako sa vykonáva prechod z neredukovanej kvadratickej rovnice na redukovanú.

Príklad.

Z rovnice 3 x 2 +12 x−7=0 prejdite na zodpovedajúcu redukovanú kvadratickú rovnicu.

Riešenie.

Potrebujeme len vydeliť obe strany pôvodnej rovnice vodiacim koeficientom 3, je nenulový, aby sme mohli vykonať túto akciu. Máme (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, čo je rovnaké, (3x2):3+(12 x):3−7:3=0 a potom (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, odkiaľ . Takto sme získali redukovanú kvadratickú rovnicu, ktorá je ekvivalentná pôvodnej.

odpoveď:

Úplné a neúplné kvadratické rovnice

Definícia kvadratickej rovnice obsahuje podmienku a≠0. Táto podmienka je potrebná, aby rovnica a x 2 + b x + c = 0 bola kvadratická, pretože keď a = 0, stáva sa vlastne lineárnou rovnicou v tvare b x + c = 0.

Pokiaľ ide o koeficienty b a c, môžu sa rovnať nule, jednotlivo aj spolu. V týchto prípadoch sa kvadratická rovnica nazýva neúplná.

Definícia.

Kvadratická rovnica a x 2 +b x+c=0 sa nazýva neúplné, ak sa aspoň jeden z koeficientov b, c rovná nule.

Vo svojom poradí

Definícia.

Kompletná kvadratická rovnica je rovnica, v ktorej sú všetky koeficienty odlišné od nuly.

Takéto mená neboli dané náhodou. To bude zrejmé z nasledujúcich diskusií.

Ak je koeficient b nula, potom má kvadratická rovnica tvar a·x 2 +0·x+c=0 a je ekvivalentná rovnici a·x 2 +c=0. Ak c=0, to znamená, že kvadratická rovnica má tvar a·x 2 +b·x+0=0, potom ju možno prepísať ako a·x 2 +b·x=0. A s b=0 ac=0 dostaneme kvadratickú rovnicu a·x 2 =0. Výsledné rovnice sa líšia od úplnej kvadratickej rovnice tým, že ich ľavé strany neobsahujú ani člen s premennou x, ani voľný člen, ani oboje. Odtiaľ pochádza ich názov – neúplné kvadratické rovnice.

Takže rovnice x 2 +x+1=0 a −2 x 2 −5 x+0,2=0 sú príklady úplných kvadratických rovníc a x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 sú neúplné kvadratické rovnice.

Riešenie neúplných kvadratických rovníc

Z informácií v predchádzajúcom odseku vyplýva, že existuje tri typy neúplných kvadratických rovníc:

a·x 2 =0, zodpovedajú tomu koeficienty b=0 a c=0;
ax2+c=0, keď b=0;
a ax2+bx=0, keď c=0.

Pozrime sa v poradí, ako sa riešia neúplné kvadratické rovnice každého z týchto typov.

a x 2 = 0

Začnime riešením neúplných kvadratických rovníc, v ktorých sú koeficienty b a c rovné nule, teda rovnicami v tvare a x 2 =0. Rovnica a·x 2 =0 je ekvivalentná rovnici x 2 =0, ktorá sa získa z originálu delením oboch častí nenulovým číslom a. Je zrejmé, že koreň rovnice x 2 = 0 je nula, pretože 0 2 = 0. Táto rovnica nemá žiadne iné korene, čo sa vysvetľuje tým, že pre akékoľvek nenulové číslo p platí nerovnosť p 2 >0, čo znamená, že pre p≠0 sa nikdy nedosiahne rovnosť p 2 =0.

Neúplná kvadratická rovnica a·x 2 =0 má teda jeden koreň x=0.

Ako príklad uvedieme riešenie neúplnej kvadratickej rovnice −4 x 2 =0. Je ekvivalentná rovnici x 2 =0, jej jediným koreňom je x=0, preto má pôvodná rovnica jeden koreň nula.

Krátke riešenie v tomto prípade možno napísať takto:
−4 x 2 = 0 ,
x 2 = 0,
x=0.

a x 2 + c = 0

Teraz sa pozrime, ako sa riešia neúplné kvadratické rovnice, v ktorých je koeficient b nula a c≠0, teda rovnice tvaru a x 2 +c=0. Vieme, že presun člena z jednej strany rovnice na druhú s opačným znamienkom, ako aj delenie oboch strán rovnice nenulovým číslom, dáva ekvivalentnú rovnicu. Preto môžeme vykonať nasledujúce ekvivalentné transformácie neúplnej kvadratickej rovnice a x 2 +c=0:

presuňte c na pravú stranu, čím získate rovnicu a x 2 =−c,
a obe strany vydelíme a, dostaneme .

Výsledná rovnica nám umožňuje vyvodiť závery o jej koreňoch. V závislosti od hodnôt a a c môže byť hodnota výrazu záporná (napríklad ak a=1 a c=2, potom ) alebo kladná (napríklad ak a=−2 a c=6, potom ), nie je nula , keďže podľa podmienky c≠0. Pozrime sa na prípady samostatne.

Ak , potom rovnica nemá korene. Toto tvrdenie vyplýva zo skutočnosti, že druhá mocnina ľubovoľného čísla je nezáporné číslo. Z toho vyplýva, že keď , potom pre žiadne číslo p nemôže platiť rovnosť.

Ak , potom je situácia s koreňmi rovnice iná. V tomto prípade, ak si spomenieme na , potom je koreň rovnice okamžite zrejmý, pretože . Je ľahké uhádnuť, že číslo je tiež koreňom rovnice, skutočne, . Táto rovnica nemá žiadne iné korene, čo sa dá ukázať napríklad protirečením. Poďme na to.

Označme korene práve oznámenej rovnice ako x 1 a −x 1 . Predpokladajme, že rovnica má ešte jeden koreň x 2, odlišný od uvedených koreňov x 1 a −x 1. Je známe, že dosadením jej koreňov do rovnice namiesto x sa rovnica zmení na správnu číselnú rovnosť. Pre x 1 a −x 1 máme , a pre x 2 máme . Vlastnosti numerických rovníc nám umožňujú vykonávať odčítanie správnych numerických rovníc po členoch, takže odčítanie zodpovedajúcich častí rovnosti dostane x 1 2 −x 2 2 =0. Vlastnosti operácií s číslami nám umožňujú prepísať výslednú rovnosť ako (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Vieme, že súčin dvoch čísel sa rovná nule práve vtedy, ak sa aspoň jedno z nich rovná nule. Z výslednej rovnosti teda vyplýva, že x 1 −x 2 =0 a/alebo x 1 +x 2 =0, čo je rovnaké, x 2 =x 1 a/alebo x 2 =−x 1. Došli sme teda k rozporu, keďže na začiatku sme povedali, že koreň rovnice x 2 je odlišný od x 1 a −x 1. To dokazuje, že rovnica nemá iné korene ako a .

Zhrňme si informácie v tomto odseku. Neúplná kvadratická rovnica a x 2 +c=0 je ekvivalentná rovnici, ktorá

nemá korene, ak,
má dva korene a ak .

Uvažujme príklady riešenia neúplných kvadratických rovníc v tvare a·x 2 +c=0.

Začnime kvadratickou rovnicou 9 x 2 +7=0. Po presunutí voľného člena na pravú stranu rovnice bude mať tvar 9 x 2 =−7. Vydelením oboch strán výslednej rovnice číslom 9 sa dostaneme k . Keďže pravá strana má záporné číslo, táto rovnica nemá korene, preto pôvodná neúplná kvadratická rovnica 9 x 2 +7 = 0 nemá korene.

Vyriešme ďalšiu neúplnú kvadratickú rovnicu −x 2 +9=0. Presunieme deviatku na pravú stranu: −x 2 =−9. Teraz vydelíme obe strany −1, dostaneme x 2 =9. Na pravej strane je kladné číslo, z ktorého usudzujeme, že alebo . Potom zapíšeme konečnú odpoveď: neúplná kvadratická rovnica −x 2 +9=0 má dva korene x=3 alebo x=−3.

a x 2 + b x = 0

Zostáva sa zaoberať riešením posledného typu neúplných kvadratických rovníc pre c=0. Neúplné kvadratické rovnice tvaru a x 2 + b x = 0 umožňujú riešiť faktorizačná metóda. Je zrejmé, že môžeme, nachádzame sa na ľavej strane rovnice, pre ktorú stačí vyňať spoločný faktor x zo zátvoriek. To nám umožňuje prejsť od pôvodnej neúplnej kvadratickej rovnice k ekvivalentnej rovnici v tvare x·(a·x+b)=0. A táto rovnica je ekvivalentná množine dvoch rovníc x=0 a a·x+b=0, z ktorých druhá je lineárna a má koreň x=−b/a.

Neúplná kvadratická rovnica a·x 2 +b·x=0 má teda dva korene x=0 a x=−b/a.

Pre konsolidáciu materiálu rozoberieme riešenie na konkrétnom príklade.

Príklad.

Vyriešte rovnicu.

Riešenie.

Vybratím x zo zátvoriek dostaneme rovnicu . Je ekvivalentom dvoch rovníc x=0 a . Vyriešime výslednú lineárnu rovnicu: a vydelíme zmiešané číslo o spoločný zlomok, nájdeme. Preto korene pôvodnej rovnice sú x=0 a .

Po získaní potrebnej praxe je možné riešenia takýchto rovníc stručne napísať:

odpoveď:

x=0, .

Diskriminant, vzorec pre korene kvadratickej rovnice

Na riešenie kvadratických rovníc existuje koreňový vzorec. Poďme si to zapísať vzorec pre korene kvadratickej rovnice: , Kde D=b2-4a c- tzv diskriminant kvadratickej rovnice. Zápis v podstate znamená, že .

Je užitočné vedieť, ako bol odvodený koreňový vzorec a ako sa používa pri hľadaní koreňov kvadratických rovníc. Poďme na to.

Odvodenie vzorca pre korene kvadratickej rovnice

Potrebujeme vyriešiť kvadratickú rovnicu a·x 2 +b·x+c=0. Urobme niekoľko ekvivalentných transformácií:

Obe strany tejto rovnice môžeme vydeliť nenulovým číslom a, výsledkom čoho je nasledujúca kvadratická rovnica.
Teraz vyberte celý štvorec na jeho ľavej strane: . Potom bude mať rovnica tvar .
V tejto fáze je možné preniesť posledné dva pojmy na pravú stranu s opačným znamienkom, máme .
A tiež transformujme výraz na pravej strane: .

Výsledkom je, že dospejeme k rovnici, ktorá je ekvivalentná pôvodnej kvadratickej rovnici a·x 2 +b·x+c=0.

Rovnice podobného tvaru sme už riešili v predchádzajúcich odsekoch, keď sme skúmali. To nám umožňuje vyvodiť nasledujúce závery týkajúce sa koreňov rovnice:

ak , potom rovnica nemá žiadne reálne riešenia;
if , tak rovnica má tvar , teda , z ktorej je viditeľný jej jediný koreň;
if , then or , čo je rovnaké ako alebo , to znamená, že rovnica má dva korene.

Prítomnosť alebo neprítomnosť koreňov rovnice, a teda aj pôvodnej kvadratickej rovnice, závisí od znamienka výrazu na pravej strane. Znamienko tohto výrazu je zasa určené znamienkom čitateľa, keďže menovateľ 4 a 2 je vždy kladný, teda znamienko výrazu b 2 −4 a c. Tento výraz b 2 −4 a c bol nazvaný diskriminant kvadratickej rovnice a označený listom D. Odtiaľ je jasná podstata diskriminantu - na základe jeho hodnoty a znamienka usudzujú, či má kvadratická rovnica skutočné korene, a ak áno, aké je ich číslo - jedna alebo dva.

Vráťme sa k rovnici a prepíšme ju pomocou diskriminačného zápisu: . A vyvodíme závery:

ak D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
ak D=0, potom táto rovnica má jeden koreň;
nakoniec, ak D>0, tak rovnica má dva korene alebo, ktoré môžeme prepísať do tvaru alebo a po rozšírení a privedení zlomkov na spoločného menovateľa dostaneme.

Odvodili sme teda vzorce pre korene kvadratickej rovnice, vyzerajú ako , kde diskriminant D vypočítame podľa vzorca D=b 2 −4·a·c.

S ich pomocou, s pozitívnym diskriminantom, môžete vypočítať oba skutočné korene kvadratickej rovnice. Keď sa diskriminant rovná nule, oba vzorce dávajú rovnakú hodnotu odmocniny, zodpovedajúcu jediné riešenie kvadratická rovnica. A so záporným diskriminantom, keď sa pokúšame použiť vzorec pre korene kvadratickej rovnice, čelíme extrakcii odmocnina od záporného čísla, čím sa dostaneme za hranice a školské osnovy. So záporným diskriminantom nemá kvadratická rovnica skutočné korene, ale má pár komplexný konjugát korene, ktoré možno nájsť pomocou rovnakých koreňových vzorcov, ktoré sme získali.

Algoritmus riešenia kvadratických rovníc pomocou koreňových vzorcov

V praxi pri riešení kvadratických rovníc môžete okamžite použiť koreňový vzorec na výpočet ich hodnôt. Ale to skôr súvisí s hľadaním zložitých koreňov.

V kurze školskej algebry to však zvyčajne je hovoríme o nie o komplexných, ale o skutočných koreňoch kvadratickej rovnice. V tomto prípade je vhodné pred použitím vzorcov pre korene kvadratickej rovnice najprv nájsť diskriminant, uistiť sa, že je nezáporný (v opačnom prípade môžeme konštatovať, že rovnica nemá skutočné korene), a až potom vypočítajte hodnoty koreňov.

Vyššie uvedená úvaha nám umožňuje písať Algoritmus na riešenie kvadratickej rovnice. Na vyriešenie kvadratickej rovnice a x 2 +b x+c=0 potrebujete:

pomocou diskriminačného vzorca D=b 2 −4·a·c vypočítajte jeho hodnotu;
dospieť k záveru, že kvadratická rovnica nemá skutočné korene, ak je diskriminant záporný;
vypočítajte jediný koreň rovnice pomocou vzorca, ak D=0;
nájdite dva skutočné korene kvadratickej rovnice pomocou koreňového vzorca, ak je diskriminant kladný.

Tu si všimneme, že ak je diskriminant rovný nule, môžete použiť aj vzorec, ktorý dá rovnakú hodnotu ako .

Môžete prejsť na príklady použitia algoritmu na riešenie kvadratických rovníc.

Príklady riešenia kvadratických rovníc

Uvažujme riešenia troch kvadratických rovníc s kladným, záporným a nulovým diskriminantom. Po ich riešení bude možné analogicky vyriešiť akúkoľvek inú kvadratickú rovnicu. Poďme začať.

Príklad.

Nájdite korene rovnice x 2 +2·x−6=0.

Riešenie.

V tomto prípade máme tieto koeficienty kvadratickej rovnice: a=1, b=2 a c=−6. Podľa algoritmu musíte najprv vypočítať diskriminant, dosadíme naznačené a, b a c do diskriminačného vzorca, máme D=b2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Keďže 28>0, teda diskriminant je väčší ako nula, má kvadratická rovnica dva reálne korene. Poďme ich nájsť pomocou koreňového vzorca, dostaneme , tu môžete zjednodušiť výsledné výrazy tým, že urobíte posunutie násobiteľa za koreňový znak nasleduje redukcia frakcie:

odpoveď:

Prejdime k ďalšiemu typickému príkladu.

Príklad.

Vyriešte kvadratickú rovnicu −4 x 2 +28 x−49=0 .

Riešenie.

Začneme hľadaním diskriminačného prvku: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Preto má táto kvadratická rovnica jeden koreň, ktorý nájdeme ako , tj.

odpoveď:

x = 3,5.

Zostáva zvážiť riešenie kvadratických rovníc so záporným diskriminantom.

Príklad.

Riešte rovnicu 5·y 2 +6·y+2=0.

Riešenie.

Tu sú koeficienty kvadratickej rovnice: a=5, b=6 a c=2. Tieto hodnoty dosadíme do diskriminačného vzorca, máme D=b2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Diskriminant je záporný, preto táto kvadratická rovnica nemá žiadne skutočné korene.

Ak potrebujete uviesť zložité korene, potom použijeme známy vzorec pre korene kvadratickej rovnice a vykonáme operácie s komplexnými číslami:

odpoveď:

neexistujú skutočné korene, zložité korene sú: .

Ešte raz si všimnime, že ak je diskriminant kvadratickej rovnice záporný, potom v škole zvyčajne okamžite zapíšu odpoveď, v ktorej naznačujú, že neexistujú žiadne skutočné korene a komplexné korene sa nenachádzajú.

Koreňový vzorec pre párne sekundové koeficienty

Vzorec pre korene kvadratickej rovnice, kde D=b 2 −4·a·c vám umožňuje získať vzorec kompaktnejšieho tvaru, ktorý vám umožňuje riešiť kvadratické rovnice s párnym koeficientom pre x (alebo jednoducho s a koeficient, ktorý má napríklad tvar 2·n alebo 14·ln5=2·7·ln5). Poďme ju dostať von.

Povedzme, že potrebujeme vyriešiť kvadratickú rovnicu v tvare a x 2 +2 n x+c=0. Poďme nájsť jeho korene pomocou vzorca, ktorý poznáme. Na tento účel vypočítame diskriminant D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c) a potom použijeme koreňový vzorec:

Výraz n 2 −a c označme ako D 1 (niekedy sa označuje aj D "). Potom vzorec pre korene uvažovanej kvadratickej rovnice s druhým koeficientom 2 n bude mať tvar , kde D 1 = n 2 −a·c.

Je ľahké vidieť, že D=4·D1 alebo D1=D/4. Inými slovami, D 1 je štvrtá časť rozlišovacieho znaku. Je jasné, že znamienko D 1 je rovnaké ako znamienko D . To znamená, že znamienko D 1 je tiež indikátorom prítomnosti alebo neprítomnosti koreňov kvadratickej rovnice.

Takže na vyriešenie kvadratickej rovnice s druhým koeficientom 2·n potrebujete

Vypočítajte D 1 =n 2 −a·c ;
Ak D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Ak D 1 = 0, potom vypočítajte jediný koreň rovnice pomocou vzorca;
Ak D 1 >0, potom pomocou vzorca nájdite dva skutočné korene.

Uvažujme o riešení príkladu pomocou koreňového vzorca získaného v tomto odseku.

Príklad.

Vyriešte kvadratickú rovnicu 5 x 2 −6 x −32=0 .

Riešenie.

Druhý koeficient tejto rovnice môže byť reprezentovaný ako 2·(−3) . To znamená, že môžete prepísať pôvodnú kvadratickú rovnicu v tvare 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, tu a=5, n=−3 a c=−32, a vypočítať štvrtú časť diskriminačný: D 1 = n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Keďže jej hodnota je kladná, rovnica má dva skutočné korene. Poďme ich nájsť pomocou príslušného koreňového vzorca:

Všimnite si, že bolo možné použiť obvyklý vzorec pre korene kvadratickej rovnice, ale v tomto prípade by bolo potrebné vykonať viac výpočtovej práce.

odpoveď:

Zjednodušenie tvaru kvadratických rovníc

Niekedy predtým, ako začnete počítať korene kvadratickej rovnice pomocou vzorcov, nezaškodí položiť si otázku: „Je možné zjednodušiť formu tejto rovnice? Súhlaste s tým, že z hľadiska výpočtov bude jednoduchšie vyriešiť kvadratickú rovnicu 11 x 2 −4 x−6=0 ako 1100 x 2 −400 x−600=0.

Typicky sa zjednodušenie tvaru kvadratickej rovnice dosiahne vynásobením alebo delením oboch strán určitým číslom. Napríklad v predchádzajúcom odseku bolo možné zjednodušiť rovnicu 1100 x 2 −400 x −600=0 vydelením oboch strán číslom 100.

Podobná transformácia sa vykonáva s kvadratickými rovnicami, ktorých koeficienty nie sú . V tomto prípade sú obe strany rovnice zvyčajne rozdelené absolútnymi hodnotami jej koeficientov. Vezmime si napríklad kvadratickú rovnicu 12 x 2 −42 x+48=0. absolútne hodnoty jeho koeficientov: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Vydelením oboch strán pôvodnej kvadratickej rovnice číslom 6 dostaneme ekvivalentnú kvadratickú rovnicu 2 x 2 −7 x+8=0.

A násobenie oboch strán kvadratickej rovnice sa zvyčajne robí, aby sa zbavili zlomkových koeficientov. V tomto prípade sa násobenie vykonáva menovateľmi jeho koeficientov. Napríklad, ak sú obe strany kvadratickej rovnice vynásobené LCM(6, 3, 1)=6, potom bude mať jednoduchší tvar x 2 +4·x−18=0.

Na záver tohto bodu poznamenávame, že takmer vždy sa zbavia mínusu pri najvyššom koeficiente kvadratickej rovnice zmenou znamienka všetkých členov, čo zodpovedá vynásobeniu (alebo deleniu) oboch strán −1. Napríklad zvyčajne sa prejde od kvadratickej rovnice −2 x 2 −3 x+7=0 k riešeniu 2 x 2 +3 x−7=0 .

Vzťah medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice

Vzorec pre korene kvadratickej rovnice vyjadruje korene rovnice prostredníctvom jej koeficientov. Na základe koreňového vzorca môžete získať ďalšie vzťahy medzi koreňmi a koeficientmi.

Najznámejšie a použiteľné vzorce z Vietovej vety sú tvaru a . Konkrétne pre danú kvadratickú rovnicu sa súčet koreňov rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom a súčin koreňov sa rovná voľnému členu. Napríklad pri pohľade na tvar kvadratickej rovnice 3 x 2 −7 x + 22 = 0 môžeme okamžite povedať, že súčet jej koreňov sa rovná 7/3 a súčin koreňov sa rovná 22. /3.

Pomocou už napísaných vzorcov môžete získať množstvo ďalších spojení medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice. Môžete napríklad vyjadriť súčet druhých mocnín koreňov kvadratickej rovnice prostredníctvom jej koeficientov: .

Bibliografia.

Algebra: učebnica pre 8. ročník. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovič A.G. Algebra. 8. trieda. V 2 hodinách 1. časť. Učebnica pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich. - 11. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: chor. ISBN 978-5-346-01155-2.

Je známe, že ide o konkrétnu verziu rovnosti ax 2 + bx + c = o, kde a, b a c sú reálne koeficienty pre neznáme x a kde a ≠ o, a b a c budú nuly – súčasne resp. oddelene. Napríklad c = o, b ≠ o alebo naopak. Takmer sme si zapamätali definíciu kvadratickej rovnice.

Trojčlenka druhého stupňa je nula. Jeho prvý koeficient a ≠ o, b a c môže nadobúdať ľubovoľné hodnoty. Hodnota premennej x bude potom, keď ju substitúcia zmení na správnu číselnú rovnosť. Zamerajme sa na reálne korene, hoci rovnice môžu byť aj riešeniami Úplnou sa zvykne nazývať rovnica, v ktorej žiadny z koeficientov nie je rovný o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o.
Vyriešme príklad. 2x 2 -9x-5 = oh, nájdeme
D = 81 + 40 = 121,
D je kladné, čo znamená, že existujú odmocniny, x 1 = (9+√121):4 = 5 a druhé x 2 = (9-√121):4 = -o.5. Kontrola pomôže uistiť sa, že sú správne.

Tu je krok za krokom riešenie kvadratickej rovnice

Pomocou diskriminantu môžete vyriešiť akúkoľvek rovnicu, na ľavej strane ktorej je známy kvadratický trinom pre a ≠ o. V našom príklade. 2x 2 -9x-5 = 0 (ax 2 +in+s = o)

Uvažujme, aké sú neúplné rovnice druhého stupňa

ax 2 +in = o. Voľný člen, koeficient c pri x 0, sa tu rovná nule v ≠ o.
Ako vyriešiť neúplnú kvadratickú rovnicu tohto typu? Vyberieme x zo zátvoriek. Spomeňme si, kedy sa súčin dvoch faktorov rovná nule.
x(ax+b) = o, môže to byť, keď x = o alebo keď ax+b = o.
Po vyriešení 2. máme x = -в/а.
V dôsledku toho máme korene x 1 = 0, podľa výpočtov x 2 = -b/a.
Teraz sa koeficient x rovná o a c sa nerovná (≠) o.
x 2 + c = o. Presuňme c na pravú stranu rovnosti, dostaneme x 2 = -с. Táto rovnica má skutočné korene iba vtedy, keď -c je kladné číslo (c ‹ o),
x 1 sa potom rovná √(-c), respektíve x 2 je -√(-c). V opačnom prípade rovnica nemá žiadne korene.
Posledná možnosť: b = c = o, teda ax 2 = o. Prirodzene, takáto jednoduchá rovnica má jeden koreň, x = o.

Špeciálne prípady

Pozreli sme sa na to, ako vyriešiť neúplnú kvadratickú rovnicu, a teraz si vezmime akékoľvek typy.

V úplnej kvadratickej rovnici je druhý koeficient x párne číslo.
Nech k = o,5b. Máme vzorce na výpočet diskriminantu a koreňov.
D/4 = k 2 - ac, korene sa vypočítajú ako x 1,2 = (-k±√(D/4))/a pre D › o.
x = -k/a pri D = o.
Pre D ‹ o neexistujú žiadne korene.
Sú dané kvadratické rovnice, keď sa koeficient x na druhú rovná 1, zvyčajne sa píšu x 2 + рх + q = o. Vzťahujú sa na ne všetky vyššie uvedené vzorce, ale výpočty sú o niečo jednoduchšie.
Príklad, x 2 -4x-9 = 0. Vypočítajte D: 2 2 +9, D = 13.
x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
Okrem toho sa dá ľahko aplikovať na uvedené. Hovorí sa, že súčet koreňov rovnice sa rovná -p, druhý koeficient je mínus (čo znamená opačné znamienko) a súčin týchto rovnakých koreňov bude. sa rovná q, voľnému členu. Pozrite sa, aké ľahké by bolo slovne určiť korene tejto rovnice. Pre neznížené (pre všetky koeficienty, nie rovná nule) táto veta platí nasledovne: súčet x 1 + x 2 sa rovná -b/a, súčin x 1 ·x 2 sa rovná c/a.

Súčet voľného členu c a prvého koeficientu a sa rovná koeficientu b. V tejto situácii má rovnica aspoň jeden koreň (ľahko dokázateľný), prvý sa nevyhnutne rovná -1 a druhý -c/a, ak existuje. Môžete si sami overiť, ako vyriešiť neúplnú kvadratickú rovnicu. Jednoduché ako koláč. Koeficienty môžu byť v určitých vzťahoch navzájom

x 2 + x = o, 7 x 2-7 = o.
Súčet všetkých koeficientov sa rovná o.
Korene takejto rovnice sú 1 a c/a. Príklad, 2x 2 -15x+13 = o.
x 1 = 1, x 2 = 13/2.

Existuje množstvo ďalších spôsobov riešenia rôznych rovníc druhého stupňa. Tu je napríklad metóda na extrakciu úplného štvorca z daného polynómu. Existuje niekoľko grafických metód. Keď sa často zaoberáte takýmito príkladmi, naučíte sa ich „klikať“ ako semená, pretože všetky metódy vám prídu na myseľ automaticky.