Egy geometriai feladat koordinátamódszerrel történő megoldásához szükség van egy metszéspontra, amelynek koordinátáit a megoldásban felhasználjuk. Olyan helyzet áll elő, amikor két egyenes metszéspontjának koordinátáit kell megkeresni a síkon, vagy meg kell határozni ugyanazon egyenesek koordinátáit a térben. Ez a cikk az adott egyenesek metszéspontjainak koordinátáinak megtalálásának eseteit tárgyalja.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Meg kell határozni két egyenes metszéspontját.

Az egyenesek relatív helyzetét egy síkban ábrázoló szakasz azt mutatja, hogy egybeeshetnek, párhuzamosak lehetnek, egy közös pontban metszik egymást, vagy metszik egymást. A térben lévő két egyenest metszőnek nevezzük, ha van egy közös pontjuk.

A vonalak metszéspontjának meghatározása így hangzik:

1. definíció

Azt a pontot, ahol két egyenes metszi egymást, metszéspontjuknak nevezzük. Más szóval, a metszővonalak pontja a metszéspont.

Tekintsük az alábbi ábrát.

Mielőtt megtalálná két egyenes metszéspontjának koordinátáit, figyelembe kell venni az alábbi példát.

Ha van a síkon O x y koordinátarendszer, akkor két a és b egyenes adott. Az a egyenes megfelel az A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 alakú általános egyenletnek, a b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 egyenesre. Ekkor M 0 (x 0, y 0) a sík valamely pontja, meg kell határozni, hogy az M 0 pont lesz-e ezeknek az egyeneseknek a metszéspontja.

A probléma megoldásához be kell tartani a definíciót. Ekkor az egyeneseknek egy olyan pontban kell metszniük egymást, amelynek koordinátái a megadott A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 és A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 egyenletek megoldása. Ez azt jelenti, hogy a metszéspont koordinátáit behelyettesítjük az összes adott egyenletbe. Ha behelyettesítéskor a helyes azonosságot adják meg, akkor M 0 (x 0 , y 0) a metszéspontjuknak tekinthető.

1. példa

Adott két egymást metsző egyenes 5 x - 2 y - 16 = 0 és 2 x - 5 y - 19 = 0 . A (2, - 3) koordinátákkal rendelkező M 0 pont lesz a metszéspont.

Megoldás

Ahhoz, hogy az egyenesek metszéspontja valós legyen, szükséges, hogy az M 0 pont koordinátái kielégítsék az egyenesek egyenleteit. Ezt azok helyettesítésével ellenőrizzük. Ezt értjük

5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0

Mindkét egyenlőség igaz, ami azt jelenti, hogy M 0 (2, - 3) az adott egyenesek metszéspontja.

Ezt a megoldást az alábbi ábra koordinátavonalán ábrázoljuk.

Válasz:adott pont koordinátákkal (2, - 3) lesz az adott egyenesek metszéspontja.

2. példa

Az 5 x + 3 y - 1 = 0 és a 7 x - 2 y + 11 = 0 egyenesek az M 0 (2, - 3) pontban metszik-e egymást?

Megoldás

A feladat megoldásához minden egyenletben be kell cserélni a pont koordinátáit. Ezt értjük

5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

A második egyenlőség nem igaz, ami azt jelenti, hogy az adott pont nem tartozik a 7 x - 2 y + 11 = 0 egyeneshez. Ebből az következik, hogy az M 0 pont nem egyenesek metszéspontja.

A rajzon jól látható, hogy M 0 nem az egyenesek metszéspontja. Közös pontjuk van koordinátákkal (- 1 , 2) .

Válasz: a (2, - 3) koordinátákkal rendelkező pont nem az adott egyenesek metszéspontja.

Rátérünk két egyenes metszéspontjainak koordinátáira a megadott egyenletek segítségével a síkon.

Két metsző a és b egyenest az A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 és A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 alakú egyenletek adnak meg O x y-ban. Az M 0 metszéspont kijelölésénél azt kapjuk, hogy folytassuk a koordináták keresését az A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 és az A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 egyenletek szerint.

A definícióból nyilvánvaló, hogy M 0 az egyenesek közös metszéspontja. Ebben az esetben a koordinátáinak ki kell elégíteniük az A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 és az A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 egyenleteket. Más szóval, ez az eredményül kapott A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 rendszer megoldása.

Ez azt jelenti, hogy a metszéspont koordinátáinak megtalálásához az összes egyenletet hozzá kell adni a rendszerhez, és meg kell oldani.

3. példa

Adott két x - 9 y + 14 = 0 és 5 x - 2 y - 16 = 0 egyenes a síkon. meg kell találnia a kereszteződésüket.

Megoldás

Az egyenlet feltételére vonatkozó adatokat rendszerbe kell gyűjteni, amely után x - 9 y + 14 \u003d 0 5 x - 2 y - 16 \u003d 0. A megoldáshoz az első egyenletet feloldjuk x-re, a kifejezést behelyettesítjük a másodikba:

x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 5 9 y - 14 - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 43 y - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 y = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2

A kapott számok azok a koordináták, amelyeket meg kellett találni.

Válasz: M 0 (4, 2) az x - 9 y + 14 = 0 és az 5 x - 2 y - 16 = 0 egyenesek metszéspontja.

A koordináták keresése a rendszer megoldására redukálódik lineáris egyenletek. Ha a feltételnek megfelelően az egyenletnek egy másik formája is adott, akkor azt normál alakra kell redukálni.

4. példa

Határozzuk meg az x - 5 = y - 4 - 3 és x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R egyenesek metszéspontjainak koordinátáit!

Megoldás

Először össze kell hoznia az egyenleteket Általános nézet. Ekkor azt kapjuk, hogy x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R így transzformálódik:

x = 4 + 9 λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 (x - 4) = 9 (y - 2) ⇔ x - 9 y + 14 = 0

Ezután felvesszük az x - 5 = y - 4 - 3 kanonikus alak egyenletét és transzformáljuk. Ezt értjük

x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 x = - 5 y - 4 ⇔ 3 x - 5 y + 20 = 0

Ebből következik, hogy a koordináták a metszéspont

x - 9 év + 14 = 0 3 x - 5 év + 20 = 0 ⇔ x - 9 y = - 14 3 x - 5 év = - 20

Alkalmazzuk Cramer módszerét a koordináták megkereséséhez:

∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 (- 5) - (- 9) 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 (- 5) - (- 9) ( - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 (- 20) - (- 14) 3 = 22 ⇒ y = ∆ y ∆ = 212

Válasz: M 0 (-5, 1) .

Van egy másik módszer a síkon elhelyezkedő egyenesek metszéspontjának koordinátáinak megtalálására. Akkor alkalmazható, ha az egyik egyenest x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R alakú parametrikus egyenletek adják meg. Ekkor x = x 1 + a x λ és y = y 1 + a y λ helyett x, ahol az x 1 + a x λ 0, y 1 + a y λ 0 koordinátájú metszéspontnak megfelelő λ = λ 0 értéket kapjuk.

5. példa

Határozzuk meg az x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R és x - 5 = y - 4 - 3 egyenes metszéspontjának koordinátáit .

Megoldás

Az x - 5 \u003d y - 4 - 3-ban helyettesítést kell végrehajtani az x \u003d 4 + 9 λ, y \u003d 2 + λ kifejezéssel, akkor kapjuk:

4 + 9 λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3

Megoldáskor azt kapjuk, hogy λ = - 1 . Ez azt jelenti, hogy van egy metszéspont az x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R és az x - 5 = y - 4 - 3 egyenesek között . A koordináták kiszámításához be kell cserélni a λ = - 1 kifejezést a parametrikus egyenletbe. Ekkor azt kapjuk, hogy x = 4 + 9 (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1 .

Válasz: M 0 (-5, 1) .

A téma teljes megértéséhez ismernie kell néhány árnyalatot.

Először meg kell értenie a vonalak helyét. Amikor metszik egymást, akkor megtaláljuk a koordinátákat, más esetekben nem lesz megoldás. Ezt az ellenőrzést elkerülendő összeállíthatunk egy A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 alakú rendszert Ha van megoldás, akkor azt a következtetést vonjuk le, hogy az egyenesek metszik egymást. Ha nincs megoldás, akkor párhuzamosak. Ha egy rendszernek végtelen számú megoldása van, akkor azt mondjuk, hogy azonosak.

6. példa

Adott x 3 + y - 4 = 1 és y = 4 3 x - 4 egyenesek. Határozza meg, van-e közös pontjuk.

Megoldás

A megadott egyenleteket leegyszerűsítve 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 és 4 3 x - y - 4 = 0 .

Az egyenleteket rendszerbe kell gyűjteni a következő megoldáshoz:

1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 y = 1 4 3 x - y = 4

Ez azt mutatja, hogy az egyenletek egymáson keresztül fejeződnek ki, ekkor végtelen számú megoldást kapunk. Ekkor az x 3 + y - 4 = 1 és y = 4 3 x - 4 egyenletek ugyanazt az egyenest határozzák meg. Ezért nincsenek metszéspontok.

Válasz: a megadott egyenletek ugyanazt az egyenest határozzák meg.

7. példa

Határozzuk meg a 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 és a 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 egyenesek pontjának koordinátáit!

Megoldás

Feltétel alapján lehetséges, hogy a vonalak nem metszik egymást. Írj egyenletrendszert és oldd meg! A megoldáshoz a Gauss-módszert kell használni, mivel segítségével ellenőrizhető az egyenlet kompatibilitása. A következő rendszert kapjuk:

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 y - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 év = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) (- (3 + 2)) = 1 + - 7 ( - (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2

Rossz egyenlőséget kaptunk, így a rendszernek nincs megoldása. Arra a következtetésre jutunk, hogy az egyenesek párhuzamosak. Nincsenek metszéspontok.

A második megoldás.

Először meg kell határoznia a vonalak metszéspontjának jelenlétét.

n 1 → = (2 , 2 - 3) a 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 egyenes normálvektora, akkor az n 2 → = (2 (3 + 2) , -7 vektor a normálvektor a 2 3 + 2 x - 7 egyenesre y - 1 = 0 .

Ellenőrizni kell az n 1 → = (2, 2 - 3) és n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7) vektorok kollinearitását. 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7 alakú egyenlőséget kapunk. Helyes, mert 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0 . Ebből következik, hogy a vektorok kollineárisak. Ez azt jelenti, hogy az egyenesek párhuzamosak és nincs metszéspontjuk.

Válasz: metszéspontok nincsenek, az egyenesek párhuzamosak.

8. példa

Határozzuk meg a megadott 2 x - 1 = 0 és y = 5 4 x - 2 egyenesek metszésponti koordinátáit!

Megoldás

A megoldáshoz egyenletrendszert állítunk össze. Kapunk

2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2

Keresse meg a főmátrix determinánsát! Ehhez 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2 . Mivel ő nem nulla, a rendszernek 1 megoldása van. Ebből következik, hogy a vonalak metszik egymást. Oldjuk meg a metszéspontok koordinátáinak megkeresésére szolgáló rendszert:

2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8

Azt kaptuk, hogy az adott egyenesek metszéspontja M 0 (1 2 , - 11 8) koordinátákkal rendelkezik.

Válasz: M 0 (1 2 , - 11 8) .

Két egyenes metszéspontjának koordinátáinak megtalálása a térben

Ugyanígy megtaláljuk a térvonalak metszéspontjait is.

Ha az a és b egyeneseket az O x y z koordinátasíkban a metsző síkok egyenletei adjuk meg, akkor van egy a egyenes, amely meghatározható adott rendszer A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 = 0 és b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D egyenes 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 .

Ha az M 0 pont az egyenesek metszéspontja, akkor a koordinátáinak mindkét egyenlet megoldásának kell lenniük. Lineáris egyenleteket kapunk a rendszerben:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0

Tekintsük az ilyen feladatokat példákkal.

9. példa

Határozza meg az adott egyenesek metszéspontjának koordinátáit x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 és 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0

Megoldás

Összeállítjuk az x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 rendszert és megoldjuk. A koordináták megtalálásához a mátrixon keresztül kell megoldani. Ekkor megkapjuk a   A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 alakú főmátrixot és a T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4 kiterjesztett mátrixot. A mátrix rangját Gauss szerint határozzuk meg.

Ezt értjük

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

Ebből következik, hogy a kiterjesztett mátrix rangja 3. Ekkor az x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 egyenletrendszer csak egy megoldást eredményez.

A bázismoll determinánsa 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0, akkor az utolsó egyenlet nem illik. Azt kapjuk, hogy x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y - 3. Rendszermegoldás x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3 .

Tehát azt kaptuk, hogy az x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 és a 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 metszéspontnak vannak (1 , - 3 , 0) koordinátái.

Válasz: (1 , - 3 , 0) .

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 formájú rendszer = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0-nak csak egy megoldása van. Tehát az a és b egyenesek metszik egymást.

Más esetekben az egyenletnek nincs megoldása, vagyis nincsenek közös pontok sem. Vagyis lehetetlen koordinátákkal rendelkező pontot találni, mivel az nem létezik.

Ezért az A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z alakú rendszer. + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 Gauss-módszerrel oldjuk meg. Összeférhetetlensége miatt a vonalak nem metszik egymást. Ha végtelen sok megoldás létezik, akkor ezek egybeesnek.

A mátrix fő és kiterjesztett rangjának kiszámításával dönthet, majd alkalmazza a Kronecker-Capelli tételt. Kapunk egyet, sok ill teljes hiánya megoldásokat.

10. példa

Az x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 és x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 egyenesek egyenletei adottak. Keresse meg a metszéspontot.

Megoldás

Először állítsunk fel egyenletrendszert. Azt kapjuk, hogy x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 . Gauss módszerrel oldjuk meg:

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

Nyilvánvaló, hogy a rendszernek nincsenek megoldásai, ami azt jelenti, hogy a vonalak nem metszik egymást. Nincs metszéspont.

Válasz: nincs metszéspont.

Ha az egyeneseket kononikus vagy parametrikus egyenletekkel adjuk meg, akkor ezeket metsző síkok egyenleteinek alakjába kell hozni, majd meg kell keresni a koordinátákat.

11. példa

Adott két egyenes x = - 3 - λ y = - 3 · λ z = - 2 + 3 · λ , λ ∈ R és x 2 = y - 3 0 = z 5 O x y z - ben . Keresse meg a metszéspontot.

Megoldás

Egyeneseket állítunk fel két egymást metsző sík egyenletével. Ezt értjük

x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0

Megtaláljuk a 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 koordinátákat, ehhez kiszámoljuk a mátrix rangjait. A mátrix rangja ​3, az alapmoll pedig 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 = - 3 ≠ 0, ami azt jelenti, hogy az utolsó egyenletet ki kell zárni a rendszerből. Ezt értjük

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0

Oldjuk meg a rendszert Cramer módszerével. Azt kapjuk, hogy x = - 2 y = 3 z = - 5 . Innen azt kapjuk, hogy az adott egyenesek metszéspontja egy (- 2 , 3 , - 5) koordinátájú pontot ad.

Válasz: (- 2 , 3 , - 5) .

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Egyes geometriai feladatok koordinátamódszerrel történő megoldása során meg kell találni az egyenesek metszéspontjának koordinátáit. Leggyakrabban két egyenes metszéspontjának koordinátáit kell keresni a síkon, de néha szükségessé válik két térbeli egyenes metszéspontjának koordinátáinak meghatározása. Ebben a cikkben annak a pontnak a koordinátáinak megtalálásával fogunk foglalkozni, ahol két egyenes metszi egymást.

Oldalnavigáció.

Két egyenes metszéspontja egy definíció.

Először határozzuk meg két egyenes metszéspontját.

Az egyenesek egymáshoz viszonyított helyzete a síkon című részben látható, hogy a síkon lévő két egyenes vagy egybeeshet (és végtelen sok közös pontjuk van), vagy párhuzamosak (ebben az esetben két egyenesnek nincs pontja közös) vagy metszéspontjai, amelyeknek egy közös pontjuk van. Több lehetőség is van két egyenes térbeli kölcsönös elrendezésére - egybeeshetnek (végtelen sok közös pontjuk van), lehetnek párhuzamosak (vagyis egy síkban fekszenek és nem metszik egymást), lehetnek metszőek is (nem egy síkban fekszenek), és lehet egy közös pontjuk is, azaz metszéspontjuk. Tehát két egyenest a síkban és a térben metszőnek nevezünk, ha van egy közös pontjuk.

A metsző egyenesek definíciójából az következik vonalak metszéspontjának meghatározása: Azt a pontot, ahol két egyenes metszi egymást, ezen egyenesek metszéspontjának nevezzük. Más szóval, két metsző egyenes egyetlen közös pontja ezeknek az egyeneseknek a metszéspontja.

Az érthetőség kedvéért grafikusan ábrázoljuk két egyenes síkbeli és térbeli metszéspontját.

Lap teteje

Két egyenes metszéspontjának koordinátáinak megtalálása a síkon.

Mielőtt a síkban két egyenes metszéspontjának koordinátáit az ismert egyenleteik szerint megtalálnánk, egy segédproblémát tekintünk.

Oxy aés b. Feltételezzük, hogy a közvetlen a megfelel az egyenes és az egyenes általános egyenletének b- típus. Legyen a sík valamely pontja, és meg kell találni, hogy a pont az M 0 az adott egyenesek metszéspontja.

Oldjuk meg a problémát.

Ha egy M0 aés b, akkor definíció szerint ez is a sorba tartozik aés közvetlen b, azaz koordinátáinak egyszerre kell teljesíteniük az egyenletet és az egyenletet is. Ezért be kell cserélnünk a pont koordinátáit M 0 Adott egyenesek egyenleteibe, és nézze meg, kapunk-e két igaz egyenlőséget. Ha a pont koordináták M 0 kielégíti mindkét és egyenletet, akkor a vonalak metszéspontja aés b, másképp M 0 .

A lényeg M 0 koordinátákkal (2, -3) vonalak metszéspontja 5x-2y-16=0és 2x-5y-19=0?

Ha egy M 0 az adott egyenesek metszéspontja, akkor a koordinátái kielégítik az egyenesek egyenleteit. Ellenőrizzük ezt a pont koordinátáinak helyettesítésével M 0 a megadott egyenletekbe:

Két valódi egyenlőségünk van tehát, M 0 (2, -3)- vonalak metszéspontja 5x-2y-16=0és 2x-5y-19=0.

Az áttekinthetőség kedvéért egy rajzot mutatunk be, amelyen az egyenesek láthatók és a metszéspontjuk koordinátái láthatók.

igen, pont M 0 (2, -3) a vonalak metszéspontja 5x-2y-16=0és 2x-5y-19=0.

A vonalak metszik egymást? 5x+3y-1=0és 7x-2y+11=0 azon a ponton M 0 (2, -3)?

Helyettesítsd be a pont koordinátáit! M 0 az egyenesek egyenletébe, ezzel a művelettel ellenőrizzük, hogy a pont tartozik-e a ponthoz M 0 mindkét sor egyszerre:

A második egyenlet óta, amikor behelyettesítjük a pont koordinátáit M 0 nem vált valódi egyenlőséggé, akkor a lényeg M 0 nem tartozik a sorba 7x-2y+11=0. Ebből a tényből arra a következtetésre juthatunk, hogy a lényeg M 0 nem az adott egyenesek metszéspontja.

A rajzon is jól látszik, hogy a lényeg M 0 nem vonalak metszéspontja 5x+3y-1=0és 7x-2y+11=0. Nyilvánvaló, hogy az adott egyenesek egy koordinátájú pontban metszik egymást (-1, 2) .

M 0 (2, -3) nem vonalak metszéspontja 5x+3y-1=0és 7x-2y+11=0.

Most továbbléphetünk a két egyenes metszéspontjának koordinátáinak megtalálásához a síkon megadott egyenesegyenletek szerint.

Legyen egy derékszögű derékszögű koordinátarendszer a síkon rögzítve Oxyés adott két metsző egyenes aés b egyenletek és ill. Jelöljük az adott egyenesek metszéspontját mint M 0és oldja meg a következő feladatot: keresse meg két egyenes metszéspontjának koordinátáit aés b ezen egyenesek ismert egyenletei szerint és .

Pont M0 az egyes metsző egyenesekhez tartozik aés b definíció szerint. Ezután az egyenesek metszéspontjának koordinátái aés b teljesíti mind az egyenletet, mind az egyenletet. Ezért két egyenes metszéspontjának koordinátái aés b egyenletrendszer megoldása (lásd a lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása című cikket).

Így megkeresni a síkon meghatározott két egyenes metszéspontjának koordinátáit általános egyenletek, egy adott egyenesek egyenleteiből összeállított rendszert kell megoldanod.

Nézzünk egy példamegoldást.

Határozzuk meg két egyenes metszéspontját egy téglalap alakú koordinátarendszerben a síkban az egyenletekkel x-9y+14=0és 5x-2y-16=0.

Adunk két általános egyenes egyenletet, ezekből állítunk össze egy rendszert: . A kapott egyenletrendszer megoldásai könnyen megtalálhatók, ha az első egyenletét a változóhoz képest megoldjuk. xés cserélje be ezt a kifejezést a második egyenletbe:

Az egyenletrendszer talált megoldása megadja két egyenes metszéspontjának kívánt koordinátáit.

M 0 (4, 2)- vonalak metszéspontja x-9y+14=0és 5x-2y-16=0.

Tehát két egyenes metszéspontjának koordinátáit, amelyeket általános egyenletek határoznak meg a síkon, egy két lineáris egyenletrendszer megoldására redukálunk, két ismeretlen változóval. De mi van akkor, ha a síkon lévő egyeneseket nem általános egyenletek adják meg, hanem más típusú egyenletek (lásd az egyenes egyenlet típusait a síkon)? Ezekben az esetekben először az egyenesek egyenleteit hozhatja általános formába, és csak ezután keresheti meg a metszéspont koordinátáit.

Mielőtt megkeresnénk az adott egyenesek metszéspontjának koordinátáit, általános formába hozzuk az egyenleteiket. Az egyenes paraméteres egyenleteiből az egyenes általános egyenletébe való átmenet a következő:

Most pedig költsünk szükséges intézkedéseket Val vel kanonikus egyenlet egyenesen:

Így az egyenesek metszéspontjának kívánt koordinátái jelentik a megoldást a alakú egyenletrendszerre. A megoldáshoz Cramer módszerét használjuk:

M 0 (-5, 1)

Van egy másik módja annak, hogy megtaláljuk a síkban lévő két egyenes metszéspontjának koordinátáit. Akkor célszerű használni, ha az egyik egyenest formájú parametrikus egyenletek adják meg, a másikat pedig egy más típusú egyenes egyenlet. Ebben az esetben a változók helyett egy másik egyenletbe xés y behelyettesítheti a és kifejezéseket, ahonnan az adott egyenesek metszéspontjának megfelelő értéket kaphatja meg. Ebben az esetben az egyenesek metszéspontjának koordinátái vannak.

Keressük meg így az előző példában szereplő egyenesek metszéspontjának koordinátáit.

Határozzuk meg a és az egyenesek metszéspontjának koordinátáit.

Helyettesítsd be a közvetlen kifejezés egyenletében:

Az eredményül kapott egyenletet megoldva azt kapjuk, hogy . Ez az érték a és a vonalak közös pontjának felel meg. A metszéspont koordinátáit behelyettesítéssel számítjuk ki parametrikus egyenletek egyenes:
.

M 0 (-5, 1).

A kép teljessé tételéhez még egy pontot kell megvitatni.

Mielőtt a síkban két egyenes metszéspontjának koordinátáit megkeresnénk, célszerű megbizonyosodni arról, hogy az adott egyenesek valóban metszik egymást. Ha kiderül, hogy az eredeti egyenesek egybeesnek vagy párhuzamosak, akkor szó sem lehet az ilyen egyenesek metszéspontjának koordinátáiról.

Természetesen megteheti ezt az ellenőrzést, és azonnal elkészítheti az űrlap egyenletrendszerét, és megoldhatja azt. Ha az egyenletrendszer rendelkezik egyetlen döntés, akkor megadja annak a pontnak a koordinátáit, ahol az eredeti egyenesek metszik egymást. Ha az egyenletrendszernek nincs megoldása, akkor azt a következtetést vonhatjuk le, hogy az eredeti egyenesek párhuzamosak (mivel nincs ilyen valós számpár xés y, amely egyszerre teljesíti az adott egyenesek mindkét egyenletét). Az egyenletrendszer végtelen megoldáshalmazának jelenlétéből az következik, hogy az eredeti egyeneseknek végtelen sok közös pontja van, vagyis egybeesnek.

Nézzünk példákat, amelyek ezekre a helyzetekre illeszkednek.

Nézze meg, hogy az egyenesek és az egyenesek metszik-e, és ha metszik egymást, akkor keresse meg a metszéspont koordinátáit.

A megadott egyenesek egyenletei megfelelnek az és egyenleteknek. Oldjuk meg az ezekből az egyenletekből összeállított rendszert.

Nyilvánvaló, hogy a rendszer egyenletei lineárisan fejeződnek ki egymáson keresztül (a rendszer második egyenletét az elsőből úgy kapjuk meg, hogy mindkét részét megszorozzuk 4 ), ezért az egyenletrendszernek végtelen számú megoldása van. Így az egyenletek és egyenletek ugyanazt az egyenest határozzák meg, és nem beszélhetünk ezen egyenesek metszéspontjának koordinátáinak megtalálásáról.

egyenletek és téglalap alakú koordinátarendszerben vannak meghatározva Oxy ugyanaz az egyenes, így nem beszélhetünk a metszéspont koordinátáinak megtalálásáról.

Keresse meg az egyenesek metszéspontjának koordinátáit, és ha lehetséges!

A probléma feltétele elismeri, hogy a vonalak nem metszik egymást. Állítsunk össze ezekből az egyenletekből egy rendszert. Megoldására a Gauss-módszert alkalmazzuk, mivel ezzel megállapíthatjuk az egyenletrendszer kompatibilitását vagy inkonzisztenciáját, illetve kompatibilitása esetén megoldást találhatunk:

A rendszer utolsó egyenlete a Gauss-módszer közvetlen lefutása után hibás egyenlőséggé alakult, ezért az egyenletrendszernek nincs megoldása. Ebből arra következtethetünk, hogy az eredeti egyenesek párhuzamosak, és nem beszélhetünk ezen egyenesek metszéspontjának koordinátáinak megtalálásáról.

A második megoldás.

Nézzük meg, hogy az adott egyenesek metszik-e egymást.

A normálvektor egy egyenes, a vektor pedig egy egyenes normálvektora. Ellenőrizzük az és vektorok kollinaritási feltételének teljesülését: az egyenlőség igaz, hiszen ezért az adott egyenesek normálvektorai kollineárisak. Ekkor ezek a vonalak párhuzamosak vagy egybeesnek. Így nem tudjuk megtalálni az eredeti egyenesek metszéspontjának koordinátáit.

lehetetlen megtalálni az adott egyenesek metszéspontjának koordinátáit, mivel ezek az egyenesek párhuzamosak.

Keresse meg az egyenesek metszéspontjának koordinátáit! 2x-1=0és ha keresztezik egymást.

Állítsunk össze egyenletrendszert, amely adott egyenesek általános egyenletei: . Ennek az egyenletrendszernek a főmátrixának determinánsa különbözik a nullától, ezért az egyenletrendszernek egyedi megoldása van, amely az adott egyenesek metszéspontját jelzi.

Az egyenesek metszéspontjának koordinátáinak megtalálásához meg kell oldanunk a rendszert:

Az így kapott megoldás megadja az egyenesek metszéspontjának koordinátáit, azaz - az egyenesek metszéspontját 2x-1=0és .

Lap teteje

Két egyenes metszéspontjának koordinátáinak megtalálása a térben.

A háromdimenziós térben lévő két egyenes metszéspontjának koordinátáit hasonlóan találjuk meg.

Legyen a metsző vonalak aés b derékszögű koordinátarendszerben adjuk meg Oxyz két egymást metsző sík egyenlete, azaz egy egyenes a az űrlap és a vonal rendszere határozza meg b- . Hadd M 0- vonalak metszéspontja aés b. Aztán a lényeg M 0 definíció szerint a sorhoz tartozik aés közvetlen b, ezért koordinátái kielégítik mindkét egyenes egyenletét. Így az egyenesek metszéspontjának koordinátái aés b alakú lineáris egyenletrendszer megoldását ábrázolja. Itt szükségünk lesz információra az olyan lineáris egyenletrendszerek megoldásáról szóló részből, amelyekben az egyenletek száma nem esik egybe az ismeretlen változók számával.

Nézzünk példákat.

Határozzuk meg a térben az és egyenletekkel megadott két egyenes metszéspontjának koordinátáit.

Adott egyenesek egyenleteiből alkossunk egyenletrendszert: . Ennek a rendszernek a megoldása megadja a térbeli vonalak metszéspontjának kívánt koordinátáit. Találjunk megoldástírott egyenletrendszer.

A rendszer főmátrixa formájú , a kiterjesztett pedig - .

Határozza meg a mátrix rangját! DEés mátrix rang T. A kiskorúak határolásának módszerét alkalmazzuk, de a determinánsok számítását nem írjuk le részletesen (ha szükséges, lásd a mátrix determinánsának kiszámításáról szóló cikket):

Így a fő mátrix rangja megegyezik a kiterjesztett mátrix rangjával, és egyenlő hárommal.

Ezért az egyenletrendszernek egyedi megoldása van.

Alapmollnak a determinánst vesszük, ezért az utolsó egyenletet ki kell zárni az egyenletrendszerből, mivel nem vesz részt a bázismoll kialakításában. Így,

A kapott rendszer megoldása könnyen megtalálható:

Így a vonalak metszéspontja és koordinátái vannak (1, -3, 0) .

(1, -3, 0) .

Megjegyzendő, hogy az egyenletrendszernek akkor és csak akkor van egyedi megoldása, ha az egyenesek aés b metszik egymást. Ha közvetlen aés b párhuzamos vagy metsző, akkor az utolsó egyenletrendszernek nincs megoldása, mivel ebben az esetben az egyeneseknek nincs közös pontja. Ha egyenes aés b egybeesnek, akkor végtelen közös ponthalmazuk van, ezért a jelzett egyenletrendszernek végtelen megoldási halmaza van. Ezekben az esetekben azonban nem beszélhetünk az egyenesek metszéspontjának koordinátáinak megtalálásáról, mivel az egyenesek nem metszik egymást.

Így, ha nem tudjuk előre, az adott egyenesek metszik egymást aés b vagy nem, célszerű egy ilyen alakú egyenletrendszert összeállítani és Gauss-módszerrel megoldani. Ha egyedi megoldást kapunk, akkor az megfelel az egyenesek metszéspontjának koordinátáinak aés b. Ha a rendszer inkonzisztensnek bizonyul, akkor a közvetlen aés b ne keresztezd. Ha a rendszernek végtelen számú megoldása van, akkor a közvetlen aés b mérkőzés.

A Gauss-módszer használata nélkül is megteheti. Alternatív megoldásként kiszámíthatja a rendszer fő és kiterjesztett mátrixainak rangsorait, és a kapott adatok és a Kronecker-Capelli-tétel alapján következtetést vonhat le egyetlen megoldás létezéséről, vagy több megoldás létezéséről. vagy a megoldások hiányáról. Ízlés kérdése.

Ha az egyenesek és metszik egymást, akkor határozzuk meg a metszéspont koordinátáit.

Adott egyenletrendszert alkossunk meg: . Gauss-módszerrel oldjuk meg mátrix formában:

Világossá vált, hogy az egyenletrendszernek nincsenek megoldásai, ezért az adott egyenesek nem metszik egymást, és szó sem lehet ezen egyenesek metszéspontjának koordinátáinak megtalálásáról.

nem találjuk meg az adott egyenesek metszéspontjának koordinátáit, mivel ezek az egyenesek nem metszik egymást.

Ha a metsző egyeneseket egy térbeli egyenes kanonikus egyenlete vagy egy térbeli egyenes paraméteres egyenlete adja meg, akkor először meg kell szereznie az egyenleteiket két egymást metsző sík formájában, és csak ezután kell megkeresnie a metszéspont koordinátáit.

Egy téglalap alakú koordinátarendszerben két egymást metsző egyenest adunk meg Oxyz egyenletek és . Keresse meg ezen egyenesek metszéspontjának koordinátáit!

Állítsuk be a kezdeti egyeneseket két egymást metsző sík egyenletével:

Az egyenesek metszéspontjának koordinátáinak megtalálásához hátra van az egyenletrendszer megoldása. Ennek a rendszernek a fő mátrixának rangja megegyezik a kiterjesztett mátrix rangjával, és egyenlő hárommal (javaslom, hogy ellenőrizze ezt a tényt). Bázis-mollnak vesszük, ezért az utolsó egyenlet kizárható a rendszerből. Miután a kapott rendszert bármilyen módszerrel (például Cramer módszerrel) megoldottuk, megkapjuk a megoldást. Így a vonalak metszéspontja és koordinátái vannak (-2, 3, -5) .

Ha az egyenesek egy pontban metszik egymást, akkor annak koordinátái a megoldás lineáris egyenletrendszerek

Hogyan találjuk meg a vonalak metszéspontját? Oldja meg a rendszert.

Itt van neked geometriai érzék két lineáris egyenletrendszer két ismeretlennel két egymást metsző (leggyakrabban) egyenes egy síkon.

Kényelmes a problémát több szakaszra osztani. Az állapot elemzése azt sugallja, hogy szükséges:
1) Írja fel egy egyenes egyenletét!
2) Írja fel a második egyenes egyenletét!
3) Állapítsa meg a vonalak egymáshoz viszonyított helyzetét!
4) Ha az egyenesek metszik egymást, akkor keressük meg a metszéspontot.

13. példa

Keresse meg az egyenesek metszéspontját

Megoldás: Célszerű a metszéspontot keresni elemzési módszer. Oldjuk meg a rendszert:

Válasz:

6.4. Távolság ponttól vonalig

Előttünk a folyó egy egyenes sávja, és az a feladatunk, hogy a legrövidebb úton elérjük. Nincsenek akadályok, és a legoptimálisabb útvonal a merőlegesen való mozgás lesz. Vagyis a pont és az egyenes távolsága a merőleges szakasz hossza.

A távolságot a geometriában hagyományosan a görög "ro" betűvel jelölik, például: - az "em" pont és a "de" egyenes közötti távolság.

Távolság a ponttól egyenesre képlettel fejezzük ki

14. példa

Keresse meg egy pont és egy egyenes távolságát

Megoldás: mindössze annyit kell tennie, hogy gondosan behelyettesíti a számokat a képletbe, és elvégzi a számításokat:

Válasz:

6.5. A vonalak közötti szög.

15. példa

Keresse meg a vonalak közötti szöget.

1. Ellenőrizze, hogy a vonalak merőlegesek-e:

Kiszámít skaláris szorzat egyenesek irányvektorai:
tehát a vonalak nem merőlegesek.
2. A vonalak közötti szöget a következő képlet segítségével határozzuk meg:

Ilyen módon:

Válasz:

Másodrendű görbék. Kör

Legyen adott egy 0xy derékszögű koordinátarendszer a síkon.

Másodrendű görbe egy síkon lévő egyenest hívjuk, amelyet az M (x, y, z) pont aktuális koordinátáihoz képest másodfokú egyenlet határoz meg. Általában ennek az egyenletnek a következő a formája:

ahol az A, B, C, D, E, L együtthatók tetszőleges valós számok, és az A, B, C számok közül legalább egy nem nulla.

1.Körfogat a síkon lévő pontok halmazát nevezzük, amelynek távolsága egy rögzített M 0 (x 0, y 0) ponttól állandó és egyenlő R-vel. Az M 0 pontot a kör középpontjának nevezzük, és az R számot a sugara

- az M 0 (x 0, y 0) pontban középpontos és R sugarú kör egyenlete.

Ha a kör középpontja egybeesik az origóval, akkor:

a kör kanonikus egyenlete.

Ellipszis.

Ellipszis síkon lévő pontok halmazát nevezzük, amelyek mindegyikére két adott pont távolságának összege állandó érték (sőt, ez az érték nagyobb, mint az adott pontok közötti távolságok). Ezeket a pontokat ún ellipszis trükkök.

az ellipszis kanonikus egyenlete.

A relációt ún különcség ellipszis és jelölése: , . Azóta< 1.

Ezért az arány csökkenésével 1-re hajlik, azaz. b alig különbözik a-tól, és az ellipszis alakja közelebb kerül a kör alakjához. Korlátozó esetben at , egy kört kapunk, melynek egyenlete:

x 2 + y 2 \u003d a 2.

Hiperbola

Túlzás a síkon lévő pontok halmazát nevezzük, amelyek mindegyikére két adott pont távolságkülönbségének abszolút értéke, ún. trükköket, egy állandó érték (feltéve, hogy ez az érték kisebb, mint a fókuszpontok távolsága, és nem egyenlő 0-val).

Legyenek F 1 , F 2 gócok, a köztük lévő távolságot a parabola paraméterével, 2с-vel jelöljük.

a parabola kanonikus egyenlete.

Vegye figyelembe, hogy a negatív p egyenlete egy parabolát is meghatároz, amely a 0y tengelytől balra helyezkedik el. Az egyenlet egy parabolát ír le, amely szimmetrikus a 0y tengelyre, a 0x tengely felett helyezkedik el, ha p > 0, és a 0x tengely alatt fekszik p esetén< 0.

Az x tengely metszéspontjainak meg kell oldaniuk az y₁=y2 egyenletet, azaz k₁x+b₁=k₂x+b2.

Alakítsa át ezt az egyenlőtlenséget úgy, hogy k₁x-k₂x=b2-b1. Most fejezze ki x-et: x=(b2-b1)/(k1-k2). Így megtalálja a grafikonok metszéspontját, amely az OX tengely mentén helyezkedik el. Keresse meg az y tengely metszéspontját. Csak helyettesítse be bármelyik függvényben a korábban talált x értékét.

Az előző opció diagramokhoz alkalmas. Ha a funkció , használja a következő utasításokat. Ugyanúgy, mint a lineáris függvénynél, keresse meg x értékét. Ehhez oldjon meg egy másodfokú egyenletet. A 2x² + 2x - 4=0 egyenletben találjuk meg (az egyenletet példaként adjuk meg). Ehhez használja a következő képletet: D= b² - 4ac, ahol b az X előtti érték, c pedig a numerikus érték.

A számértékeket behelyettesítve egy D= 4 + 4*4= 4+16= 20 kifejezést kapunk. Az egyenletek a diszkrimináns értékétől függenek. Most adjuk hozzá vagy vonjuk ki (viszont) a gyökét a kapott diszkriminánsból a „-” jelű b változó értékéhez, és osszuk el az a együttható kétszeresével. Így megtalálja az egyenlet gyökereit, vagyis a metszéspontok koordinátáit.

A függvénygrafikonoknak van egy tulajdonsága: az OX tengely kétszer metszi egymást, vagyis az x tengely két koordinátáját találja meg. Ha egy periodikus X versus Y értéket kap, akkor tudja, hogy a gráf végtelen számú pontban metszi az x tengellyel. Ellenőrizze, hogy megtalálta-e a metszéspontokat. Ehhez helyettesítse be az X értékeket az f(x)=0 egyenletbe.

Források:

• Az egyenesek metszéspontjainak megtalálása

Ha ismeri a értékét, akkor azt mondhatja, hogy megoldott egy másodfokú egyenletet, mert a gyökerei nagyon könnyen megtalálhatók.

Szükséged lesz

• -a másodfokú egyenlet diszkriminánsának képlete;
• - A szorzótábla ismerete

Utasítás

Kapcsolódó videók

Hasznos tanácsok

A másodfokú egyenlet diszkriminánsa lehet pozitív, negatív vagy egyenlő 0-val.

Források:

• Megoldás másodfokú egyenletek
• diszkrimináns páros

3. tipp: Hogyan találjuk meg a függvénygráf metszéspontjainak koordinátáit

Az y \u003d f (x) függvény grafikonja a sík összes pontjának halmaza, az x koordináták, amelyekre kielégítik az y \u003d f (x) összefüggést. A függvénygráf vizuálisan szemlélteti egy függvény viselkedését és tulajdonságait. A grafikon felépítéséhez általában az x argumentum több értékét választják ki, és ezekre számítják ki az y=f(x) függvény megfelelő értékeit. Egy gráf pontosabb és vizuálisabb felépítéséhez hasznos megtalálni a metszéspontjait a koordinátatengelyekkel.

Utasítás

Az x-tengely (X-tengely) keresztezésekor a függvény értéke 0, azaz. y=f(x)=0. Az x kiszámításához meg kell oldani az f(x)=0 egyenletet. Függvény esetén az ax+b=0 egyenletet kapjuk, és azt találjuk, hogy x=-b/a.

Így az X tengely a (-b/a,0) pontban metszi egymást.

Bonyolultabb esetekben, például y másodfokú függése x-től, az f (x) \u003d 0 egyenletnek két gyöke van, ezért az x tengely kétszer metszi egymást. Abban az esetben, ha y függ az x-től, például y=sin(x), végtelen számú metszéspontja van az x tengellyel.

A függvény grafikonjának és az X tengellyel való metszéspontjainak koordinátáinak helyességének ellenőrzéséhez be kell cserélni az x f (x) talált értékeit. A kifejezés értékének bármely számított x esetén 0-val kell egyenlőnek lennie.

Utasítás

Először is meg kell beszélni a probléma megoldásához megfelelő koordinátarendszer kiválasztását. Az ilyen jellegű feladatokban általában az egyik háromszöget a 0X tengelyre helyezzük úgy, hogy az egyik pont egybeessen az origóval. Ezért ne térjen el a döntés általánosan elfogadott kánonjaitól, és tegye ugyanezt (lásd 1. ábra). Maga a háromszög megadásának módszere nem játszik alapvető szerepet, hiszen ezek közül mindig át lehet lépni (amit később láthatunk).

Adjuk meg a kívánt háromszöget az AC és AB két oldalának a(x1, y1) és b(x2, y2) vektorával. Ráadásul y1=0 konstrukcióval. A BC harmadik oldala ennek az illusztrációnak megfelelően c=a-b, c(x1-x2,y1 -y2). Az A pont a koordináták origójába kerül, vagyis annak koordináták A(0, 0). Ezt is könnyű belátni koordináták B (x2, y2), a C (x1, 0). Ebből arra következtethetünk, hogy egy háromszög két vektoros definíciója automatikusan egybeesett a hárompontos definíciójával.

Ezután ki kell egészítenie a kívánt háromszöget a méretében megfelelő ABDC paralelogrammára. Ráadásul azon a ponton kereszteződések A paralelogramma átlói, felosztásra kerülnek úgy, hogy AQ az ABC háromszög mediánja, A-ból leereszkedik a BC oldalra. Az s átlóvektor tartalmazza ezt, és a paralelogramma szabály szerint a és b geometriai összege. Ekkor s = a + b, és annak koordináták s(x1+x2, y1+y2)= s(x1+x2, y2). Ugyanaz koordináták szintén a D(x1+x2, y2) pontban lesz.

Most folytathatja az s-t, a medián AQ-t és ami a legfontosabb, a kívánt pontot tartalmazó egyenes egyenletének összeállítását. kereszteződések medián H. Mivel ennek az egyenesnek maga az s vektor a vezető, és a hozzá tartozó A (0, 0) pont is ismert, a legegyszerűbb egy síkegyenlet kanonikus formában történő használata: (x -x0) / m =(y-y0)/n. Itt (x0, y0) koordináták az egyenes tetszőleges pontja (A(0, 0) pont), és (m, n) – koordináták s (vektor (x1+x2, y2). Így a kívánt l1 sor így fog kinézni: x/(x1+x2)=y/ y2.

A megtalálás módja a kereszteződésben van. Ezért még egy egyenest kell találni, amely tartalmazza az ún. Egy másik АPBC paralelogramma 1 konstrukciója, amelynek g=a+c =g(2x1-x2, -y2) átlója tartalmazza a CW második mediánját, C-ből AB oldalra süllyesztve. Ez az átló tartalmazza a C(x1, 0) pontot, koordináták amely (x0, y0) szerepét tölti be, és az irányvektor itt a következő lesz: g(m, n)=g(2x1-x2, -y2). Innen l2-t a következő egyenlet adja: (x-x1)/(2 x1-x2)=y/(- y2).

Egyes geometriai feladatok koordinátamódszerrel történő megoldása során meg kell találni az egyenesek metszéspontjának koordinátáit. Leggyakrabban két egyenes metszéspontjának koordinátáit kell keresni a síkon, de néha szükségessé válik két térbeli egyenes metszéspontjának koordinátáinak meghatározása. Ebben a cikkben annak a pontnak a koordinátáinak megtalálásával fogunk foglalkozni, ahol két egyenes metszi egymást.

Oldalnavigáció.

Két egyenes metszéspontja egy definíció.

Először határozzuk meg két egyenes metszéspontját.

Ahhoz tehát, hogy a síkon általános egyenletekkel meghatározott két egyenes metszéspontjának koordinátáit megtaláljuk, egy adott egyenesek egyenleteiből összeállított rendszert kell megoldani.

Nézzünk egy példamegoldást.

Példa.

Határozzuk meg a síkban az x-9y+14=0 és az 5x-2y-16=0 egyenletekkel definiált két egyenes metszéspontját egy téglalap alakú koordinátarendszerben.

Megoldás.

Adunk két általános egyenes egyenletet, ezekből állítunk össze egy rendszert: . Az így kapott egyenletrendszer megoldásai könnyen megtalálhatók, ha az első egyenletét megoldjuk az x változóra vonatkozóan, és ezt a kifejezést behelyettesítjük a második egyenletbe:

Az egyenletrendszer talált megoldása megadja két egyenes metszéspontjának kívánt koordinátáit.

Válasz:

M 0(4, 2) x-9y+14=0 és 5x-2y-16=0.

Tehát két egyenes metszéspontjának koordinátáit, amelyeket általános egyenletek határoznak meg a síkon, egy két lineáris egyenletrendszer megoldására redukálunk, két ismeretlen változóval. De mi van akkor, ha a síkon lévő egyeneseket nem általános egyenletek adják meg, hanem más típusú egyenletek (lásd az egyenes egyenlet típusait a síkon)? Ezekben az esetekben először az egyenesek egyenleteit hozhatja általános formába, és csak ezután keresheti meg a metszéspont koordinátáit.

Példa.

és .

Megoldás.

Mielőtt megkeresnénk az adott egyenesek metszéspontjának koordinátáit, általános formába hozzuk az egyenleteiket. Átmenet parametrikus egyenletekről egyenesre ennek az egyenesnek az általános egyenletéhez a következő:

Most elvégezzük a szükséges műveleteket az egyenes kanonikus egyenletével:

Így az egyenesek metszéspontjának kívánt koordinátái az alakú egyenletrendszer megoldása. . A megoldáshoz a következőket használjuk:

Válasz:

M 0 (-5, 1)

Van egy másik módja annak, hogy megtaláljuk a síkban lévő két egyenes metszéspontjának koordinátáit. Kényelmes akkor használni, ha az egyik egyenest az alak paraméteres egyenlete adja meg , és a másik - egy másik formájú egyenes egyenlete. Ebben az esetben egy másik egyenletben az x és y változók helyett a kifejezéseket helyettesítheti és , amelyből az adott egyenesek metszéspontjának megfelelő értéket lehet majd megkapni. Ebben az esetben az egyenesek metszéspontjának koordinátái vannak.

Keressük meg így az előző példában szereplő egyenesek metszéspontjának koordinátáit.

Példa.

Határozza meg az egyenesek metszéspontjának koordinátáit! és .

Megoldás.

Helyettesítsd be a közvetlen kifejezés egyenletében:

Az eredményül kapott egyenletet megoldva azt kapjuk, hogy . Ez az érték a vonalak közös pontjának felel meg és . A metszéspont koordinátáit úgy számítjuk ki, hogy az egyenest behelyettesítjük a paraméteres egyenletekbe:
.

Válasz:

M 0 (-5, 1).

A kép teljessé tételéhez még egy pontot kell megvitatni.

Mielőtt a síkban két egyenes metszéspontjának koordinátáit megkeresnénk, célszerű megbizonyosodni arról, hogy az adott egyenesek valóban metszik egymást. Ha kiderül, hogy az eredeti egyenesek egybeesnek vagy párhuzamosak, akkor szó sem lehet az ilyen egyenesek metszéspontjának koordinátáiról.

Természetesen megteheti ezt az ellenőrzést, és azonnal összeállíthatja a forma egyenletrendszerét és oldja meg. Ha az egyenletrendszernek egyedi megoldása van, akkor ez megadja annak a pontnak a koordinátáit, ahol az eredeti egyenesek metszik egymást. Ha az egyenletrendszernek nincs megoldása, akkor azt a következtetést vonhatjuk le, hogy az eredeti egyenesek párhuzamosak (hiszen nincs olyan x és y valós számpár, amely egyidejűleg kielégítené az adott egyenesek mindkét egyenletét). Az egyenletrendszer végtelen megoldáshalmazának jelenlétéből az következik, hogy az eredeti egyeneseknek végtelen sok közös pontja van, vagyis egybeesnek.

Nézzünk példákat, amelyek ezekre a helyzetekre illeszkednek.

Példa.

Nézze meg, hogy az egyenesek és az egyenesek metszik-e, és ha metszik egymást, akkor keresse meg a metszéspont koordinátáit.

Megoldás.

A megadott egyenes egyenletek megfelelnek az egyenleteknek és . Oldjuk meg az ezekből az egyenletekből összeállított rendszert .

Nyilvánvaló, hogy a rendszer egyenletei lineárisan fejeződnek ki egymáson keresztül (a rendszer második egyenletét az elsőből úgy kapjuk meg, hogy mindkét részét megszorozzuk 4-gyel), ezért az egyenletrendszernek végtelen számú megoldása van. Így az egyenletek és egyenletek ugyanazt az egyenest határozzák meg, és nem beszélhetünk ezen egyenesek metszéspontjának koordinátáinak megtalálásáról.

Válasz:

Az egyenletek és ugyanazt az egyenest határozzák meg az Oxy derékszögű koordinátarendszerben, így nem beszélhetünk a metszéspont koordinátáinak megtalálásáról.

Példa.

Keresse meg az egyenesek metszéspontjának koordinátáit! és , ha lehetséges.

Megoldás.

A probléma feltétele elismeri, hogy a vonalak nem metszik egymást. Állítsunk össze ezekből az egyenletekből egy rendszert. Megoldásához alkalmazható, mivel lehetővé teszi az egyenletrendszer kompatibilitásának vagy inkonzisztenciájának megállapítását, és ha kompatibilis, akkor megoldást találni:

A rendszer utolsó egyenlete a Gauss-módszer közvetlen lefutása után hibás egyenlőséggé alakult, ezért az egyenletrendszernek nincs megoldása. Ebből arra következtethetünk, hogy az eredeti egyenesek párhuzamosak, és nem beszélhetünk ezen egyenesek metszéspontjának koordinátáinak megtalálásáról.

A második megoldás.

Nézzük meg, hogy az adott egyenesek metszik-e egymást.

- normál vonal vektor , és a vektor az egyenes normálvektora . Ellenőrizzük a végrehajtást és : egyenlőség igaz, hiszen ezért az adott egyenesek normálvektorai kollineárisak. Ekkor ezek a vonalak párhuzamosak vagy egybeesnek. Így nem tudjuk megtalálni az eredeti egyenesek metszéspontjának koordinátáit.

Válasz:

Az adott egyenesek metszéspontjának koordinátáit nem lehet megtalálni, mivel ezek az egyenesek párhuzamosak.

Példa.

Határozzuk meg a 2x-1=0 egyenesek metszéspontjának koordinátáit és azt, hogy metszik-e egymást!

Megoldás.

Összeállítunk egy egyenletrendszert, amely adott egyenesek általános egyenletei: . Ennek az egyenletrendszernek a főmátrixának determinánsa különbözik a nullától , tehát az egyenletrendszernek van egy egyedi megoldása, amely az adott egyenesek metszéspontját jelzi.

Az egyenesek metszéspontjának koordinátáinak megtalálásához meg kell oldanunk a rendszert:

A kapott megoldás megadja az egyenesek metszéspontjának koordinátáit, azaz 2x-1=0 és .

Válasz:

Két egyenes metszéspontjának koordinátáinak megtalálása a térben.

A háromdimenziós térben lévő két egyenes metszéspontjának koordinátáit hasonlóan találjuk meg.

Nézzünk példákat.

Példa.

Határozzuk meg a térben az egyenletekkel megadott két egyenes metszéspontjának koordinátáit! és .

Megoldás.

Adott egyenesek egyenleteiből egyenletrendszert állítunk össze: . Ennek a rendszernek a megoldása megadja a térbeli vonalak metszéspontjának kívánt koordinátáit. Keressük meg az írott egyenletrendszer megoldását.

A rendszer fő mátrixának van formája , és a kiterjesztett .

Határozzuk meg A és a T mátrix rangja. Mi használjuk