1. példa. megtalálja közös döntésés a rendszer valamilyen sajátos megoldása

Megoldás csináld számológéppel. Kiírjuk a kiterjesztett és fő mátrixokat:

Az A főmátrixot szaggatott vonal választja el, felülről az ismeretlen rendszereket írjuk, szem előtt tartva a rendszer egyenleteiben szereplő tagok lehetséges permutációját. A kiterjesztett mátrix rangját meghatározva egyidejűleg megtaláljuk a fő rangját is. A B mátrixban az első és a második oszlop arányos. A két arányos oszlopból csak egy eshet az alap-mollba, ezért mozgassuk át például az első oszlopot a szaggatott vonalon túl az ellenkező előjellel. A rendszer számára ez azt jelenti, hogy a tagokat x 1-ről áthelyezzük ide jobb oldal egyenletek.

A mátrixot háromszög alakúra hozzuk. Csak sorokkal fogunk dolgozni, mivel ha egy mátrixsort nullától eltérő számmal megszorozunk, és egy másik sort adunk hozzá a rendszerhez, akkor az egyenletet meg kell szorozni ugyanazzal a számmal, és hozzáadni egy másik egyenlethez, ami nem változtatja meg a rendszer megoldását. . Munka az első sorral: szorozza meg a mátrix első sorát (-3)-mal, és adja hozzá a második és harmadik sorhoz. Ezután az első sort megszorozzuk (-2)-vel, és hozzáadjuk a negyedikhez.

A második és a harmadik sor arányos, ezért az egyik, például a második áthúzható. Ez egyenértékű a rendszer második egyenletének törlésével, mivel ez a harmadik egyenlet következménye.

Most a második sorral dolgozunk: szorozzuk meg (-1)-gyel, és adjuk hozzá a harmadikhoz.

A szaggatott moll a legmagasabb rendű (az összes lehetséges moll közül), és nem nulla (egyenlő a főátló elemeinek szorzatával), és ez a moll a főmátrixhoz és a kiterjesztetthez is tartozik, ezért rangA = cseng B = 3 .
Kisebb alapvető. Tartalmazza az ismeretlen x 2, x 3, x 4 együtthatóit, ami azt jelenti, hogy az ismeretlen x 2, x 3, x 4 függő, x 1, x 5 pedig szabad.
Átalakítjuk a mátrixot úgy, hogy csak az alap moll marad a bal oldalon (ami megfelel a fenti megoldási algoritmus 4. pontjának).

Ennek a mátrixnak az együtthatóival rendelkező rendszer egyenértékű az eredeti rendszerrel, és a formája van

Az ismeretlenek kiküszöbölésének módszerével a következőket találjuk:
, ,

Kaptunk x 2, x 3, x 4 függő változókat kifejező relációkat szabad x 1 és x 5 között, azaz általános megoldást találtunk:

Tetszőleges értékeket adva a szabad ismeretleneknek, tetszőleges számú konkrét megoldást kapunk. Keressünk két konkrét megoldást:
1) legyen x 1 = x 5 = 0, akkor x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) tedd fel x 1 = 1, x 5 = -1, majd x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Így két megoldást találtunk: (0,1, -3,3,0) - egy megoldás, (1,4, -7,7, -1) - egy másik megoldás.

2. példa. Vizsgálja meg a kompatibilitást, keresse meg a rendszer általános és egy konkrét megoldását

Megoldás. Rendezzük át az első és a második egyenletet úgy, hogy az első egyenletben legyen egy egység, és írjuk fel a B mátrixot.

A negyedik oszlopban nullákat kapunk, az első sorban működve:

Most kapja meg a nullákat a harmadik oszlopban a második sor használatával:

A harmadik és a negyedik sor arányos, így az egyik a rang megváltoztatása nélkül áthúzható:
Szorozzuk meg a harmadik sort (-2)-vel, és adjuk hozzá a negyedikhez:

Látjuk, hogy a fő és a kiterjesztett mátrixok rangja 4, és a rang egybeesik az ismeretlenek számával, ezért a rendszer egyetlen döntés:
;
x 4 = 10-3x 1 - 3x 2 - 2x 3 \u003d 11.

3. példa. Vizsgálja meg a rendszer kompatibilitását, és keressen megoldást, ha létezik.

Megoldás. Összeállítjuk a rendszer kiterjesztett mátrixát.

Rendezd át az első két egyenletet úgy, hogy a bal felső sarokban 1 legyen:
Az első sort (-1) megszorozva hozzáadjuk a harmadikhoz:

Szorozzuk meg a második sort (-2)-vel, és adjuk hozzá a harmadikhoz:

A rendszer inkonzisztens, mivel a főmátrix kapott egy nullákból álló sort, amelyet a rang megtalálásakor áthúzunk, és az utolsó sor marad a kiterjesztett mátrixban, azaz r B > r A .

Gyakorlat. Kutatás ezt a rendszert kompatibilitási egyenleteket, és oldja meg mátrixszámítással.
Megoldás

Példa. Bizonyítsa be a rendszer kompatibilitását lineáris egyenletekés kétféleképpen oldja meg: 1) Gauss-módszerrel; 2) Cramer-módszer. (írja be a választ a következő formában: x1,x2,x3)
Megoldás :doc :doc :xls
Válasz: 2,-1,3.

Példa. Adott egy lineáris egyenletrendszer. Bizonyítsa be a kompatibilitását. Keresse meg a rendszer általános és egy konkrét megoldását.
Megoldás
Válasz: x 3 \u003d - 1 + x 4 + x 5; x 2 \u003d 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

Gyakorlat. Keressen általános és egyedi megoldásokat minden rendszerhez.
Megoldás. Ezt a rendszert a Kronecker-Capelli-tétel segítségével vizsgáljuk.
Kiírjuk a kiterjesztett és fő mátrixokat:

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
x 1	x2	x 3	x4	x5

Itt az A mátrix félkövér betűkkel van szedve.
A mátrixot háromszög alakúra hozzuk. Csak sorokkal fogunk dolgozni, mivel ha egy mátrixsort nullától eltérő számmal megszorozunk, és egy másik sort adunk hozzá a rendszerhez, akkor az egyenletet meg kell szorozni ugyanazzal a számmal, és hozzáadni egy másik egyenlethez, ami nem változtatja meg a rendszer megoldását. .
Szorozzuk meg az 1. sort (3-mal). Szorozzuk meg a 2. sort (-1)-gyel. Adjuk hozzá a 2. sort az 1. sorhoz:

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

Szorozzuk meg a 2. sort (2-vel). Szorozzuk meg a 3. sort (-3)-mal. Adjuk hozzá a 3. sort a 2. sorhoz:

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Szorozzuk meg a 2. sort (-1)-gyel. Adjuk hozzá a 2. sort az 1. sorhoz:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

A kiválasztott moll a legmagasabb rendű (a lehetséges mollok között) és különbözik a nullától (egyenlő a reciprok átlón lévő elemek szorzatával), és ez a moll a főmátrixhoz és a kiterjesztetthez is tartozik, ezért rang( A) = cseng(B) = 3 Mivel a főmátrix rangja megegyezik a kiterjesztett rangjával, akkor a rendszer együttműködő.
Ez a minor alap. Tartalmazza az ismeretlen x 1, x 2, x 3 együtthatóit, ami azt jelenti, hogy az ismeretlen x 1, x 2, x 3 függő (alap), az x 4, x 5 pedig szabad.
Átalakítjuk a mátrixot úgy, hogy csak az alapmoll marad a bal oldalon.

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
x 1	x2	x 3		x4	x5

A mátrix együtthatóival rendelkező rendszer megegyezik az eredeti rendszerrel, és a következő formában van:
27x3=
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Az ismeretlenek kiküszöbölésének módszerével a következőket találjuk:
Kaptunk x 1, x 2, x 3 függő változókat kifejező relációkat a szabad x 4, x 5 között, vagyis azt találtuk közös döntés:
x 3 = 0
x2 = 1 - 3x4 + 6x5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
bizonytalan, mert több megoldása is van.

Gyakorlat. Oldja meg az egyenletrendszert!
Válasz:x 2 = 2 - 1,67x3 + 0,67x4
x 1 = 5 – 3,67 x 3 + 0,67 x 4
Tetszőleges értékeket adva a szabad ismeretleneknek, tetszőleges számú konkrét megoldást kapunk. A rendszer az bizonytalan

M lineáris egyenletrendszer n ismeretlennel formarendszernek nevezzük

ahol aijés b i (én=1,…,m; b=1,…,n) néhány ismert szám, és x 1,…,x n- ismeretlen. Az együtthatók jelölésében aij első index én jelöli az egyenlet számát, a másodikat j az ismeretlen száma, amelyen ez az együttható áll.

Az ismeretlenek együtthatói mátrix formájában lesznek felírva , amit hívni fogunk rendszermátrix.

Az egyenletek jobb oldalán található számok b 1 ,…,b m hívott ingyenes tagok.

Összesített n számok c 1 ,…,c n hívott döntés ennek a rendszernek, ha a rendszer minden egyenlete egyenlőséggé válik, miután számokat helyettesítünk bele c 1 ,…,c n a megfelelő ismeretlenek helyett x 1,…,x n.

A mi feladatunk az lesz, hogy megoldásokat találjunk a rendszerre. Ebben az esetben három helyzet állhat elő:

Olyan lineáris egyenletrendszert nevezünk, amelynek legalább egy megoldása van közös. Ellenkező esetben pl. ha a rendszernek nincsenek megoldásai, akkor ún összeegyeztethetetlen.

Fontolja meg, hogyan találhat megoldást a rendszerre.

MÁTRIX MÓDSZER LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER MEGOLDÁSÁRA

A mátrixok lehetővé teszik egy lineáris egyenletrendszer rövid leírását. Adjunk meg egy három egyenletrendszert három ismeretlennel:

Tekintsük a rendszer mátrixát valamint az ismeretlen és szabad tagok mátrixoszlopai

Keressük meg a terméket

azok. a szorzat eredményeként megkapjuk ennek a rendszernek az egyenleteinek bal oldalát. Ekkor a mátrixegyenlőség definícióját használva ez a rendszer így írható fel

vagy rövidebb A∙X=B.

Itt a mátrixok Aés B ismertek, és a mátrix x ismeretlen. Meg kell találni, mert. elemei ennek a rendszernek a megoldása. Ezt az egyenletet ún mátrix egyenlet.

Legyen a mátrix determináns különbözik nullától | A| ≠ 0. Akkor mátrix egyenlet a következő módon oldjuk meg. Szorozzuk meg a bal oldali egyenlet mindkét oldalát a mátrixszal A-1, a mátrix inverze A: . Mert a A -1 A = Eés E∙X=X, akkor a mátrixegyenlet megoldását a formában kapjuk meg X = A -1 B .

Vegye figyelembe, hogy azóta inverz mátrix csak négyzetes mátrixokra található, akkor a mátrix módszerrel csak azokat a rendszereket tudjuk megoldani, amelyekben az egyenletek száma megegyezik az ismeretlenek számával. A rendszer mátrixos jelölése azonban lehetséges abban az esetben is, ha az egyenletek száma nem egyenlő az ismeretlenek számával, akkor a mátrix A nem négyzet alakú, és ezért lehetetlen megoldást találni a rendszerre a formában X = A -1 B.

Példák. Egyenletrendszerek megoldása.

CRAMER SZABÁLYA

Tekintsünk egy 3 lineáris egyenletrendszert három ismeretlennel:

A rendszer mátrixának megfelelő harmadrendű determináns, azaz. ismeretlenek együtthatóiból áll,

hívott rendszer meghatározó.

További három determinánst állítunk össze a következőképpen: a D determinánsban egymás után 1, 2 és 3 oszlopot cserélünk szabad tagokból álló oszlopra.

Ekkor a következő eredményt tudjuk bizonyítani.

Tétel (Cramer-szabály). Ha a rendszer determinánsa Δ ≠ 0, akkor a vizsgált rendszernek csak egy megoldása van, és

Bizonyíték. Tehát vegyünk egy három egyenletből álló rendszert három ismeretlennel. Szorozzuk meg a rendszer 1. egyenletét az algebrai komplementerrel A 11 elem egy 11, 2. egyenlet - be A21és 3. - on A 31:

Adjuk hozzá ezeket az egyenleteket:

Tekintsük ennek az egyenletnek mindegyik zárójelét és jobb oldalát. A determináns 1. oszlop elemei szerinti kiterjesztésének tételével

Hasonlóképpen kimutatható, hogy és .

Végül is ezt könnyű belátni

Így megkapjuk az egyenlőséget: .

Következésképpen,.

A és egyenlőségeket hasonlóan származtatjuk, ahonnan a tétel állítása következik.

Így megjegyezzük, hogy ha a rendszer determinánsa Δ ≠ 0, akkor a rendszernek egyedi megoldása van, és fordítva. Ha a rendszer meghatározója nulla, akkor a rendszernek vagy végtelen számú megoldása van, vagy nincs megoldása, i.e. összeegyeztethetetlen.

Példák. Egyenletrendszer megoldása

GAUSS MÓDSZER

A korábban vizsgált módszerekkel csak azokat a rendszereket lehet megoldani, amelyekben az egyenletek száma egybeesik az ismeretlenek számával, és a rendszer determinánsának nullától eltérőnek kell lennie. A Gauss-módszer univerzálisabb, és tetszőleges számú egyenletű rendszerekhez alkalmas. Ez abból áll, hogy a rendszer egyenleteiből egymást követően ki kell zárni az ismeretleneket.

Tekintsünk ismét egy három egyenletrendszert három ismeretlennel:

.

Az elsõ egyenletet változatlanul hagyjuk, a 2. és 3. egyenletbõl pedig kizárjuk a tartalmazó kifejezéseket x 1. Ehhez elosztjuk a második egyenletet a 21 és szorozzuk meg - a 11, majd add össze az 1. egyenlettel. Hasonlóképpen felosztjuk a harmadik egyenletet is a 31 és szorozzuk meg - a 11, majd add hozzá az elsőhöz. Ennek eredményeként az eredeti rendszer a következő formában lesz:

Most az utolsó egyenletből kiküszöböljük a tartalmazó kifejezést x2. Ehhez osszuk el a harmadik egyenletet -vel, szorozzuk meg és adjuk hozzá a másodikhoz. Ekkor lesz egy egyenletrendszerünk:

Ezért az utolsó egyenletből könnyű megtalálni x 3, majd a 2. egyenletből x2és végül 1-től - x 1.

A Gauss-módszer alkalmazásakor az egyenletek szükség esetén felcserélhetők.

Gyakran írás helyett új rendszer az egyenletek a rendszer kiterjesztett mátrixának kiírására korlátozódnak:

majd elemi transzformációk segítségével hozza háromszög vagy átló formába.

Nak nek elemi átalakulások A mátrixok a következő transzformációkat tartalmazzák:

1. sorok vagy oszlopok permutációja;
2. egy karakterlánc szorzása nullától eltérő számmal;
3. egy sorhoz további sorokat ad.

Példák: Egyenletrendszerek megoldása Gauss módszerrel.

Így a rendszernek végtelen számú megoldása van.

§egy. Lineáris egyenletrendszerek.

nézet rendszer

rendszernek nevezik m lineáris egyenletek -val n ismeretlen.

Itt
- ismeretlen, - együtthatók ismeretlenekre,
- az egyenletek szabad tagjai.

Ha az egyenletek minden szabad tagja nulla, akkor a rendszert hívjuk homogén.Döntés rendszert számhalmaznak nevezzük
, amikor ismeretlenek helyett behelyettesítjük őket a rendszerbe, minden egyenlet azonossággá alakul. A rendszer ún közös ha van legalább egy megoldása. Egyedi megoldású közös rendszert ún bizonyos. A két rendszert ún egyenértékű ha megoldásaik halmazai megegyeznek.

Az (1) rendszer mátrix formában ábrázolható az egyenlet segítségével

(2)

.

§2. Lineáris egyenletrendszerek kompatibilitása.

Az (1) rendszer kiterjesztett mátrixát mátrixnak nevezzük

Kronecker - Capelli tétel. Az (1) rendszer akkor és csak akkor konzisztens, ha a rendszermátrix rangja megegyezik a kiterjesztett mátrix rangjával:

.

§3. Rendszermegoldásn lineáris egyenletek -valn ismeretlen.

Tekintsünk egy inhomogén rendszert n lineáris egyenletek -val n ismeretlen:

(3)

Cramer tétele.Ha a rendszer fő meghatározója (3)
, akkor a rendszernek van egy egyedi megoldása, amelyet a képletek határoznak meg:

azok.
,

ahol - a determinánsból kapott determináns csere oszlopból a szabad tagok oszlopába.

Ha egy
, és legalább az egyik ≠0, akkor a rendszernek nincs megoldása.

Ha egy
, akkor a rendszernek végtelen sok megoldása van.

A (3) rendszer a (2) mátrixjelölésével megoldható. Ha a mátrix rangja DE egyenlő n, azaz
, majd a mátrix DE van egy inverze
. A mátrix egyenlet szorzása
mátrixhoz
a bal oldalon a következőket kapjuk:

.

Az utolsó egyenlőség a lineáris egyenletrendszerek inverz mátrix segítségével történő megoldásának módját fejezi ki.

Példa. Oldja meg az egyenletrendszert az inverz mátrix segítségével!

Megoldás. Mátrix
nem degenerált, mert
, tehát van egy inverz mátrix. Számítsuk ki az inverz mátrixot:
.

,

Gyakorlat. Oldja meg a rendszert Cramer módszerével.

§4. Tetszőleges lineáris egyenletrendszerek megoldása.

Legyen adott egy (1) alakú inhomogén lineáris egyenletrendszer.

Tegyük fel, hogy a rendszer konzisztens, pl. a Kronecker-Capelli tétel feltétele teljesül:
. Ha a mátrix rangja
(az ismeretlenek számához), akkor a rendszer egyedi megoldással rendelkezik. Ha egy
, akkor a rendszernek végtelen sok megoldása van. Magyarázzuk el.

Legyen a mátrix rangja r(A)= r< n. Mert a
, akkor létezik néhány nem nulla kisebb sorrend r. Nevezzük alapmollnak. Azokat az ismeretleneket, amelyek együtthatói az alap-mollt alkotják, alapváltozóknak nevezzük. A fennmaradó ismeretleneket szabad változóknak nevezzük. Átrendezzük az egyenleteket és átszámozzuk a változókat úgy, hogy ez a minor a rendszermátrix bal felső sarkában legyen:

.

Első r sorok lineárisan függetlenek, a többi rajtuk keresztül fejeződik ki. Ezért ezeket a sorokat (egyenleteket) el lehet vetni. Kapunk:

Adjunk a szabad változóknak tetszőleges számértékeket: . Csak az alapváltozókat hagyjuk a bal oldalon, a szabad változókat pedig a jobb oldalra helyezzük át.

Van rendszer r lineáris egyenletek -val r ismeretlen, melynek determinánsa eltér 0-tól. Egyedi megoldása van.

Ezt a rendszert az (1) lineáris egyenletrendszer általános megoldásának nevezzük. Ellenkező esetben: az alapváltozók kifejezését szabad változókkal nevezzük közös megoldás rendszerek. Ebből végtelen számot kaphat privát döntések, szabad változóknak tetszőleges értéket adva. A szabad változók nulla értékeinél általánosból kapott konkrét megoldást nevezzük alap megoldás. A különböző alapmegoldások száma nem haladja meg
. A nem negatív összetevőket tartalmazó alapmegoldást ún döntő rendszermegoldás.

Példa.

,r=2.

Változók
- alap,
- ingyenes.

Adjuk össze az egyenleteket; Expressz
keresztül
:

- közös döntés.

- privát megoldás
.

- alap megoldás, alap.

§5. Gauss módszer.

A Gauss-módszer egy univerzális módszer tetszőleges lineáris egyenletrendszerek tanulmányozására és megoldására. Ez abból áll, hogy a rendszert átlós (vagy háromszög alakú) formába hozzuk az ismeretlenek szekvenciális eliminálásával olyan elemi transzformációk segítségével, amelyek nem sértik a rendszerek egyenértékűségét. Egy változó akkor tekinthető kizártnak, ha a rendszer egyetlen egyenletében szerepel 1-es együtthatóval.

Elemi átalakulások rendszerek a következők:

Egyenlet szorzása nullától eltérő számmal;

Tetszőleges számmal szorzott egyenlet összeadása egy másik egyenlettel;

Egyenletek átrendezése;

A 0 = 0 egyenlet eldobása.

Az elemi transzformációkat nem egyenleteken, hanem a kapott ekvivalens rendszerek kiterjesztett mátrixain lehet végrehajtani.

Példa.

Megoldás. Felírjuk a rendszer kiterjesztett mátrixát:

.

Elemi transzformációkat végrehajtva a mátrix bal oldalát hozzuk az egységformába: a főátlón egységeket, azon kívül pedig nullákat hozunk létre.

Megjegyzés. Ha elemi transzformációk végrehajtásakor egy 0 alakú egyenlet = ahhoz(ahol nak nek0), akkor a rendszer inkonzisztens.

A lineáris egyenletrendszerek megoldása az ismeretlenek egymás utáni kiküszöbölésének módszerével formalizálható formában táblázatok.

A táblázat bal oldali oszlopa a kizárt (alap) változókról tartalmaz információkat. A többi oszlop az ismeretlenek együtthatóit és az egyenletek szabad tagját tartalmazza.

A rendszer kibővített mátrixa be van írva a forrástáblába. Ezután folytassa a jordán átalakítások végrehajtásával:

1. Válasszon egy változót , amely alapja lesz. A megfelelő oszlopot kulcsoszlopnak nevezzük. Válasszon egy egyenletet, amelyben ez a változó megmarad, más egyenletekből kizárva. A megfelelő táblázatsort kulcssornak nevezzük. Együttható A kulcssor és a kulcsoszlop metszéspontjában álló billentyűt kulcsnak nevezzük.

2. A kulcskarakterlánc elemei fel vannak osztva a kulcselemmel.

3. A kulcsoszlop nullákkal van kitöltve.

4. A fennmaradó elemek kiszámítása a téglalap szabály szerint történik. Egy téglalapot alkotnak, amelynek szemközti csúcsaiban van egy kulcselem és egy újraszámított elem; a téglalap átlóján lévő elemek kulcselemmel való szorzatából egy másik átló elemeinek szorzatát levonjuk, a kapott különbséget elosztjuk a kulcselemmel.

Példa. Keresse meg az egyenletrendszer általános és alapmegoldását:

Megoldás.

A rendszer általános megoldása:

Alap megoldás:
.

Az egyszeri helyettesítési transzformáció lehetővé teszi, hogy a rendszer egyik bázisáról a másikra lépjünk: az egyik főváltozó helyett az egyik szabad változó kerül be a bázisba. Ehhez a szabad változó oszlopában kiválasztunk egy kulcselemet, és a transzformációkat a fenti algoritmus szerint hajtjuk végre.

6. §. Támogatási megoldások keresése

A lineáris egyenletrendszer referenciamegoldása olyan alapmegoldás, amely nem tartalmaz negatív komponenseket.

A rendszer támogatási megoldásait Gauss módszerrel találjuk meg az alábbi feltételek mellett.

1. Az eredeti rendszerben minden szabad kifejezésnek nem negatívnak kell lennie:
.

2. A kulcselemet a pozitív együtthatók közül választjuk ki.

3. Ha a bázisba bevitt változónak több pozitív együtthatója van, akkor az a kulcssor, amelyben a legkisebb a szabad tag és a pozitív együttható aránya.

Megjegyzés 1. Ha az ismeretlenek kiküszöbölése során megjelenik egy egyenlet, amelyben minden együttható nem pozitív, és a szabad tag
, akkor a rendszernek nincsenek nem negatív megoldásai.

2. megjegyzés. Ha a szabad változók együtthatóinak oszlopaiban egyetlen pozitív elem sincs, akkor az átmenet másik referenciamegoldásra lehetetlen.

Példa.

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

I. A probléma megfogalmazása.

II. Homogén és heterogén rendszerek kompatibilitása.

III. Rendszer t egyenleteket t ismeretlen. Cramer szabálya.

IV. Mátrix módszer egyenletrendszerek megoldására.

V. Gauss-módszer.

I. A probléma megfogalmazása.

A forma egyenletrendszere

rendszernek nevezik m lineáris egyenletek -val n ismeretlen
. Ennek a rendszernek az egyenleteinek együtthatói mátrix formájában vannak felírva

hívott rendszermátrix (1).

Az egyenletek jobb oldalán lévő számok alakulnak ki ingyenes tagok rovata {B}:

.

Ha oszlop ( B}={0 ), akkor az egyenletrendszert nevezzük homogén. Ellenkező esetben amikor ( B}≠{0 ) - rendszer heterogén.

Az (1) lineáris egyenletrendszer felírható mátrix alakban

[A]{x}={B}. (2)

Itt - ismeretlenek oszlopa.

Az (1) egyenletrendszer megoldása a halmaz megtalálását jelenti n számok
úgy, hogy amikor behelyettesítjük az (1) rendszerbe az ismeretlen helyett
a rendszer minden egyenlete azonossággá válik. Számok
egyenletrendszer megoldásának nevezzük.

Egy lineáris egyenletrendszernek egy megoldása lehet

,

végtelen számú megoldása lehet

vagy egyáltalán nincsenek megoldásai

.

Olyan egyenletrendszereket nevezünk, amelyeknek nincs megoldásuk összeegyeztethetetlen. Ha egy egyenletrendszernek van legalább egy megoldása, akkor azt ún közös. Az egyenletrendszert ún bizonyos ha egyedi megoldása van, és bizonytalan ha végtelen számú megoldása van.

II. Homogén és heterogén rendszerek kompatibilitása.

Az (1) lineáris egyenletrendszer kompatibilitási feltétele a következőben van megfogalmazva Kronecker-Capelli tétel: egy lineáris egyenletrendszernek akkor és csak akkor van legalább egy megoldása, ha a rendszer mátrixának rangja megegyezik a kiterjesztett mátrix rangjával:
.

A rendszer kiterjesztett mátrixa az a mátrix, amelyet a rendszer mátrixából kapunk úgy, hogy jobb oldalon hozzárendelünk egy szabad tagok oszlopát:

.

Ha Rg AA* , akkor az egyenletrendszer inkonzisztens.

A Kronecker-Capelli tételnek megfelelő homogén lineáris egyenletrendszerek mindig konzisztensek. Tekintsük egy homogén rendszer esetét, amelyben az egyenletek száma egyenlő az ismeretlenek számával, azaz. m=n. Ha egy ilyen rendszer mátrixának determinánsa nem egyenlő nullával, azaz.
, a homogén rendszernek egyedi megoldása van, ami triviális (nulla). A homogén rendszereknek végtelen számú megoldása van, ha a rendszer egyenletei között vannak lineárisan függő egyenletek, pl.
.

Példa. Tekintsünk egy három lineáris egyenletből álló homogén rendszert három ismeretlennel:

és vizsgálja meg a megoldásai számának kérdését. Mindegyik egyenlet az origón áthaladó sík egyenletének tekinthető ( D=0 ). Az egyenletrendszernek egyedi megoldása van, ha mindhárom sík egy pontban metszi egymást. Ráadásul normálvektoraik nem egysíkúak, és ezért a feltétel

.

A rendszer megoldása ebben az esetben x=0, y=0, z=0 .

Ha a három sík közül legalább kettő, például az első és a második párhuzamos, pl. , akkor a rendszer mátrixának determinánsa nulla, és a rendszernek végtelen számú megoldása van. Sőt, a megoldások a koordináták lesznek x, y, z egy egyenes összes pontja

Ha mindhárom sík egybeesik, akkor az egyenletrendszer egy egyenletre redukálódik

,

és a megoldás az ezen a síkon található összes pont koordinátája lesz.

Az inhomogén lineáris egyenletrendszerek vizsgálatakor a kompatibilitás kérdését a Kronecker-Capelli tétel segítségével oldjuk meg. Ha egy ilyen rendszerben az egyenletek száma egyenlő az ismeretlenek számával, akkor a rendszernek egyedi megoldása van, ha a determinánsa nem egyenlő nullával. Ellenkező esetben a rendszer vagy inkonzisztens, vagy végtelen számú megoldása van.

Példa. Két egyenlet inhomogén rendszerét vizsgáljuk két ismeretlennel

.

A rendszer egyenletei a síkban lévő két egyenes egyenleteinek tekinthetők. A rendszer inkonzisztens, ha az egyenesek párhuzamosak, pl.
,
. Ebben az esetben a rendszermátrix rangja 1:

Rg A=1 , mert
,

míg a kiterjesztett mátrix rangja
egyenlő kettővel, mivel ehhez a harmadik oszlopot tartalmazó másodrendű moll választható alapmollnak.

A vizsgált esetben Rg AA * .

Ha a vonalak egybeesnek, pl. , akkor az egyenletrendszernek végtelen számú megoldása van: az egyenes pontjainak koordinátái
. Ebben az esetben Rg A= Rg A * =1.

A rendszernek egyedi megoldása van, amikor a vonalak nem párhuzamosak, pl.
. Ennek a rendszernek a megoldása az egyenesek metszéspontjának koordinátái

III. Rendszert egyenletekett ismeretlen. Cramer szabálya.

Tekintsük a legegyszerűbb esetet, amikor a rendszeregyenletek száma egyenlő az ismeretlenek számával, azaz. m= n. Ha a rendszer mátrixának determinánsa nem nulla, akkor a rendszer megoldását a Cramer-szabály segítségével találhatjuk meg:

(3)

Itt
- rendszermátrix meghatározó,

- a [ A] csere én oszlopból a szabad tagok oszlopába:

.

Példa. Oldja meg az egyenletrendszert Cramer módszerével!

Megoldás :

1) keresse meg a rendszer meghatározóját

2) keresse meg a segéddeterminánsokat

3) találjon megoldást a rendszerre a Cramer-szabály szerint:

A megoldás eredménye az egyenletrendszerbe való behelyettesítéssel ellenőrizhető

Megtörténik a megfelelő személyazonosság.

IV. Mátrix módszer egyenletrendszerek megoldására.

A lineáris egyenletrendszert mátrix alakban írjuk fel (2)

[A]{x}={B}

és szorozzuk meg a (2) reláció jobb és bal részét balról a mátrixszal [ A -1 ], a rendszermátrix inverze:

[A -1 ][A]{x}=[A -1 ]{B}. (2)

Az inverz mátrix definíciója szerint a szorzat [ A -1 ][A]=[E], és az identitásmátrix tulajdonságai alapján [ E]{x}={x). Ekkor a (2") relációból kapjuk

{x}=[A -1 ]{B}. (4)

A (4) reláció a lineáris egyenletrendszerek megoldására szolgáló mátrixmódszer alapja: meg kell találni a rendszer mátrixával inverz mátrixot, és meg kell szorozni vele a rendszer jobb oldali részeinek oszlopvektorát.

Példa. Az előző példában vizsgált egyenletrendszert mátrix módszerrel oldjuk meg.

Rendszermátrix
annak meghatározó det A==183 .

Jobb oldali oszlop
.

A mátrix megtalálásához [ A -1 ], keresse meg a [ A]:

vagy

Az inverz mátrix kiszámításának képlete tartalmazza
, akkor

Most találhatunk megoldást a rendszerre

Aztán végre megkapjuk .

V. Gauss-módszer.

Nagyszámú ismeretlen esetén az egyenletrendszer Cramer-módszerrel vagy mátrix-módszerrel történő megoldása magasrendű determinánsok számításával vagy nagy mátrixok megfordításával jár együtt. Ezek az eljárások még a modern számítógépek számára is nagyon fáradságosak. Ezért a nagyszámú egyenletrendszer megoldásához gyakrabban használják a Gauss-módszert.

A Gauss-módszer az ismeretlenek egymást követő eliminálásából áll a rendszer kiterjesztett mátrixának elemi transzformációjával. Az elemi mátrixtranszformációk közé tartozik a sorok permutációja, a sorok összeadása, a sorok szorzása a nullától eltérő számokkal. Az átalakítások eredményeként a rendszer mátrixa lecsökkenthető egy felső háromszög alakúra, amelynek főátlóján egységek vannak, a főátló alatt pedig nullák. Ez a Gauss-módszer közvetlen lépése. A módszer fordított menete az ismeretlenek közvetlen meghatározásából áll, az utolsótól kezdve.

Szemléltessük a Gauss-módszert az egyenletrendszer megoldásának példáján

Az előrelépés első lépésénél biztosított, hogy az együttható
Az átalakult rendszerből egyenlővé vált 1 , és az együtthatók
és
nullára fordult. Ehhez meg kell szorozni az első egyenletet 1/10 , szorozd meg a második egyenletet 10 és add hozzá az elsőhöz, szorozd meg a harmadik egyenletet ezzel -10/2 és add hozzá az elsőhöz. Ezen átalakítások után azt kapjuk

A második lépésben biztosítjuk, hogy a transzformációk után az együttható
egyenlővé vált 1 , és az együttható
. Ehhez elosztjuk a második egyenletet 42 , és szorozd meg a harmadik egyenletet -42/27 és add hozzá a másodikhoz. Egyenletrendszert kapunk

A harmadik lépés az együttható megszerzése
. Ehhez elosztjuk a harmadik egyenletet (37 - 84/27) ; kapunk

Itt ér véget a Gauss-módszer közvetlen lefolyása, mert a rendszer mátrixa a felső háromszög alakúra redukálódik:

Visszafelé haladva megtaláljuk az ismeretleneket

A lineáris egyenletrendszer n lineáris egyenlet uniója, amelyek mindegyike k változót tartalmaz. Így van írva:

Sokan, amikor először találkoznak magasabb algebrával, tévesen azt hiszik, hogy az egyenletek számának szükségszerűen egybe kell esnie a változók számával. Az iskolai algebrában általában ez a helyzet, de a magasabb algebrára ez általában nem igaz.

Egy egyenletrendszer megoldása egy számsorozat (k 1, k 2, ..., k n ), amely a rendszer egyes egyenleteinek megoldása, i.e. ha ebbe az egyenletbe behelyettesítjük az x 1 , x 2 , ..., x n változók helyett, a helyes numerikus egyenlőséget adja.

Ennek megfelelően egy egyenletrendszer megoldása azt jelenti, hogy megtaláljuk az összes megoldásának halmazát, vagy bebizonyítjuk, hogy ez a halmaz üres. Mivel az egyenletek száma és az ismeretlenek száma nem azonos, három eset lehetséges:

1. A rendszer inkonzisztens, pl. az összes megoldás halmaza üres. Meglehetősen ritka eset, amely könnyen észlelhető, függetlenül attól, hogy melyik módszerrel kell megoldani a rendszert.
2. A rendszer konzisztens és meghatározott, azaz. pontosan egy megoldása van. A klasszikus változat, az iskola óta jól ismert.
3. A rendszer konzisztens és definiálatlan, i.e. végtelenül sok megoldása van. Ez a legnehezebb lehetőség. Nem elég kijelenteni, hogy "a rendszernek végtelen számú megoldása van" - le kell írni, hogy ez a halmaz hogyan van elrendezve.

Az x i változót akkor nevezzük megengedettnek, ha csak a rendszer egy egyenletében szerepel, és 1-es együtthatóval. Más szóval, a többi egyenletben az x i változó együtthatójának nullával kell egyenlőnek lennie.

Ha minden egyenletben kiválasztunk egy megengedett változót, akkor a teljes egyenletrendszerre vonatkozó megengedett változók halmazát kapjuk. Magát a rendszert, ebben a formában írva, szintén engedélyezettnek nevezzük. Általánosságban elmondható, hogy egy és ugyanaz a kezdeti rendszer redukálható különböző engedélyezett rendszerekre, de ez most nem érint minket. Példák az engedélyezett rendszerekre:

Mindkét rendszer megengedett az x 1, x 3 és x 4 változók tekintetében. Ugyanakkor ugyanazzal a sikerrel lehet érvelni, hogy a második rendszer megengedett x 1, x 3 és x 5 vonatkozásában. Elég a legújabb egyenletet átírni x 5 = x 4 alakban.

Most nézzünk meg egy általánosabb esetet. Tegyük fel, hogy összesen k változónk van, amelyek közül r megengedett. Ekkor két eset lehetséges:

1. A megengedett r változók száma megegyezik a k változók teljes számával: r = k. Egy k egyenletrendszert kapunk, amelyben r = k megengedett változók. Egy ilyen rendszer együttműködésen alapuló és határozott, mert x 1 = b 1, x 2 \u003d b 2, ..., x k = b k;
2. A megengedett r változók száma kisebb, mint a k :r változók összes száma< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Tehát a fenti rendszerekben az x 2 , x 5 , x 6 (az első rendszerhez) és az x 2 , x 5 (a második rendszerhez) változók szabadok. Azt az esetet, amikor vannak szabad változók, jobban meg lehet fogalmazni tételként:

Figyelem: ez egy nagyon fontos pont! Attól függően, hogy hogyan írja meg a végső rendszert, ugyanaz a változó lehet engedélyezett és szabad is. A legtöbb haladó matektanár azt javasolja, hogy a változókat lexikográfiai sorrendben írják ki, pl. növekvő index. Ezt a tanácsot azonban egyáltalán nem kell követnie.

Tétel. Ha egy n egyenletrendszerben az x 1 , x 2 , ..., x r változók megengedettek, és x r + 1 , x r + 2 , ..., x k szabadok, akkor:

1. Ha beállítjuk a szabad változók értékeit (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k ), majd megkeressük az x 1 , x 2 , . .., x r , az egyik megoldást kapjuk.
2. Ha két megoldásban a szabad változók értéke megegyezik, akkor a megengedett változók értéke is megegyezik, pl. a megoldások egyenlőek.

Mi ennek a tételnek az értelme? Ahhoz, hogy a megengedett egyenletrendszer összes megoldását megkapjuk, elegendő a szabad változókat kiemelni. Ezután a szabad változókhoz különböző értékeket rendelve kész megoldásokat kapunk. Ez minden – így megkaphatja a rendszer összes megoldását. Nincsenek más megoldások.

Következtetés: a megengedett egyenletrendszer mindig konzisztens. Ha a megengedett rendszerben az egyenletek száma megegyezik a változók számával, akkor a rendszer határozott, ha kevesebb, akkor határozatlan.

És minden rendben is lenne, de felmerül a kérdés: hogyan lehet az eredeti egyenletrendszerből kihozni a feloldottat? Erre van