Alapvető döntési rendszer (konkrét példa). Hogyan találjunk nem triviális és alapvető megoldást egy lineáris homogén egyenletrendszerre

Hadd M 0 a (4) homogén rendszer megoldásainak halmaza lineáris egyenletek.

Meghatározás 6.12. Vektorok Val vel 1 ,Val vel 2 , …, p, amelyek egy homogén lineáris egyenletrendszer megoldásai, úgynevezett alapvető megoldáskészlet(rövidítve FNR) ha

1) vektorok Val vel 1 ,Val vel 2 , …, p lineárisan független (azaz egyik sem fejezhető ki a többivel);

2) egy homogén lineáris egyenletrendszer bármely más megoldása kifejezhető megoldásokkal Val vel 1 ,Val vel 2 , …, p.

Vegye figyelembe, hogy ha Val vel 1 ,Val vel 2 , …, p néhány f.n.r., akkor a kifejezés alapján k 1× Val vel 1 + k 2× Val vel 2 + … + kp× p le tudja írni az egész készletet M 0 megoldása a (4) rendszernek, így hívják a rendszermegoldás általános képe (4).

6.6. Tétel. Bármely határozatlan homogén lineáris egyenletrendszernek van egy alapvető megoldási halmaza.

A megoldások alapvető halmazának megtalálásának módja a következő:

megtalálja közös döntés homogén lineáris egyenletrendszer;

Épít ( n – r) ennek a rendszernek a részmegoldásai, míg a szabad ismeretlenek értékeinek identitásmátrixot kell alkotniuk;

Írja le a benne szereplő megoldás általános formáját! M 0 .

6.5. példa. Találja meg a megoldások alapvető halmazát következő rendszer:

Megoldás. Keressük ennek a rendszernek az általános megoldását.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ Ennek a rendszernek öt ismeretlenje van ( n= 5), ebből két fő ismeretlen ( r= 2), három szabad ismeretlen ( n – r), azaz a megoldások alapvető halmaza három megoldási vektort tartalmaz. Építsük meg őket. Nekünk van x 1 és x 3 - fő ismeretlenek, x 2 , x 4 , x 5 - ingyenes ismeretlenek

A szabad ismeretlenek értékei x 2 , x 4 , x 5 alkotják az identitásmátrixot E harmadik rend. Megvannak a vektorok Val vel 1 ,Val vel 2 , Val vel 3 forma f.n.r. ezt a rendszert. Ekkor ennek a homogén rendszernek a megoldásainak halmaza lesz M 0 = {k 1× Val vel 1 + k 2× Val vel 2 + k 3× Val vel 3 , k 1 , k 2 , k 3 О R).

Nézzük most meg egy homogén lineáris egyenletrendszer nullától eltérő megoldásainak létezésének feltételeit, más szóval egy alapvető megoldáshalmaz létezésének feltételeit.

Egy homogén lineáris egyenletrendszernek nullától eltérő megoldásai vannak, azaz határozatlan, ha

1) a rendszer főmátrixának rangja kisebb, mint az ismeretlenek száma;

2) egy homogén lineáris egyenletrendszerben az egyenletek száma kevesebb, mint az ismeretlenek száma;

3) ha egy homogén lineáris egyenletrendszerben az egyenletek száma megegyezik az ismeretlenek számával, és a főmátrix determinánsa nulla(azaz | A| = 0).

6.6. példa. A paraméter melyik értékénél a homogén lineáris egyenletrendszer vannak nem nulla megoldások?

Megoldás. Állítsuk össze ennek a rendszernek a főmátrixát és keressük meg a determinánsát: = = 1×(–1) 1+1 × = – a– 4. Ennek a mátrixnak a determinánsa egyenlő nullával, amikor a = –4.

Válasz: –4.

7. Számtan n-dimenziós vektortér

Alapfogalmak

Az előző részekben már találkoztunk a bizonyos sorrendbe rendezett valós számok halmazának fogalmával. Ez egy sormátrix (vagy oszlopmátrix) és egy lineáris egyenletrendszer megoldása n ismeretlen. Ez az információ összefoglalható.

Meghatározás 7.1. n-dimenziós aritmetikai vektor rendezett halmazának nevezzük n valós számok.

Eszközök a= (a 1 , a 2 , …, a n), hol egy énО R, én = 1, 2, …, n a vektor általános képe. Szám n hívott dimenzió vektor, és a számok a én hívta koordináták.

Például: a= (1, –8, 7, 4, ) egy ötdimenziós vektor.

Minden kész n-dimenziós vektorokat általában úgy jelöljük R n.

Meghatározás 7.2. Két vektor a= (a 1 , a 2 , …, a n) és b= (b 1 , b 2 , …, b n) azonos méretű egyenlő akkor és csak akkor, ha a megfelelő koordinátáik egyenlőek, azaz a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.

Meghatározás 7.3.összeg két n-dimenziós vektorok a= (a 1 , a 2 , …, a n) és b= (b 1 , b 2 , …, b n) vektornak nevezzük a + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a n+b n).

Meghatározás 7.4. munka valós szám k vektoronként a= (a 1 , a 2 , …, a n) vektornak nevezzük k× a = (k×a 1, k×a 2 , …, k×a n)

Meghatározás 7.5. Vektor ról ről= (0, 0, …, 0) meghívásra kerül nulla(vagy null-vektor).

Könnyen ellenőrizhető, hogy a vektorok összeadásának és valós számmal való szorzásának műveletei (műveletei) a következő tulajdonságokkal rendelkeznek-e: a, b, c Î R n, " k, lОR:

1) a + b = b + a;

2) a + (b+ c) = (a + b) + c;

3) a + ról ről = a;

4) a+ (–a) = ról ről;

5) 1× a = a, 1 О R;

6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;

7) (k + l)× a = k× a + l× a;

8) k×( a + b) = k× a + k× b.

Meghatározás 7.6. Sok R n a vektorok összeadása és a rajta megadott valós számmal való szorzás műveleteivel nevezzük aritmetikai n-dimenziós vektortér.

Lineáris homogén egyenletrendszerek- alakja ∑a k i x i = 0. ahol m > n vagy m Egy homogén lineáris egyenletrendszer mindig konzisztens, mivel rangA = rangB . Biztos van benne nullákból álló megoldás, amit ún jelentéktelen.

Szolgálati megbízás. Az online számológépet úgy tervezték, hogy egy nem triviális és alapvető megoldást találjon az SLAE-hez. Az eredményül kapott megoldás Word fájlba kerül (lásd a megoldási példát).

Utasítás. Válassza ki a mátrix méretét:

változók száma: 2 3 4 5 6 7 8 és sorok száma 2 3 4 5 6

Lineáris homogén egyenletrendszerek tulajdonságai

Annak érdekében, hogy a rendszer rendelkezzen nem triviális megoldások, szükséges és elegendő, hogy mátrixának rangja kisebb legyen, mint az ismeretlenek száma.

Tétel. Az m=n esetben a rendszernek akkor és csak akkor van nem triviális megoldása, ha ennek a rendszernek a determinánsa nulla.

Tétel. A megoldások bármely lineáris kombinációja egy rendszerre egyben megoldás is a rendszerre.
Meghatározás. A lineáris homogén egyenletrendszer megoldásainak halmazát ún alapvető döntési rendszer ha ez a gyűjtemény lineárisan független megoldásokból áll és a rendszer bármely megoldása ezen megoldások lineáris kombinációja.

Tétel. Ha a rendszermátrix r rangja kisebb, mint az n ismeretlenek száma, akkor létezik egy alapvető megoldási rendszer, amely (n-r) megoldásokból áll.

Algoritmus lineáris homogén egyenletrendszerek megoldására

1. Keresse meg a mátrix rangját!
2. Kiválasztjuk az alapmollt. Kiválasztjuk a függő (alap) és a szabad ismeretleneket.
3. Áthúzzuk a rendszer azon egyenleteit, amelyek együtthatói nem szerepeltek az alapmollban, mivel ezek a többi következményei (az alapmoll tétel szerint).
4. A szabad ismeretleneket tartalmazó egyenletek feltételei átkerülnek a jobb oldalra. Ennek eredményeként egy r egyenletrendszert kapunk, amelyben r ismeretlen, ekvivalens az adott egyenletnek, amelynek determinánsa különbözik nullától.
5. A kapott rendszert az ismeretlenek kiiktatásával oldjuk meg. A függő változókat szabad változókkal kifejező relációkat találunk.
6. Ha a mátrix rangja nem számával egyenlő változókat, akkor megtaláljuk a rendszer alapvető megoldását.
7. A rang = n esetén triviális megoldásunk van.

Példa. Keresse meg a vektorrendszer alapját (a 1 , a 2 ,...,a m), rangsorolja és fejezze ki a vektorokat bázissal! Ha a 1 =(0,0,1,-1) és 2 =(1,1,2,0) és 3 =(1,1,1,1) és 4 =(3,2,1 ,4) és 5 =(2,1,0,3).
Felírjuk a rendszer fő mátrixát:

Szorozzuk meg a 3. sort (-3)-mal. Adjuk hozzá a negyedik sort a harmadikhoz:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

Szorozzuk meg a 4. sort (-2)-vel. Szorozzuk meg az 5. sort (3-mal). Adjuk hozzá az 5. sort a 4.-hez:
Adjuk hozzá a 2. sort az 1. sorhoz:
Keresse meg a mátrix rangját!
A mátrix együtthatóival rendelkező rendszer megegyezik az eredeti rendszerrel, és a következő formában van:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x1 + x2 = - 3x4
Az ismeretlenek kiküszöbölésének módszerével egy nem triviális megoldást találunk:
Kaptunk x 1, x 2, x 3 függő változókat kifejező relációkat a szabad x 4-ig, azaz általános megoldást találtunk:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4

Homogén lineáris egyenletrendszer egy mező felett

MEGHATÁROZÁS. Az (1) egyenletrendszer alapvető megoldási rendszere megoldásainak nem üres, lineárisan független rendszere, amelynek lineáris fesztávja egybeesik az (1) rendszer összes megoldásának halmazával.

Vegyük észre, hogy egy homogén lineáris egyenletrendszernek, amelynek csak nulla megoldása van, nincs alapvető megoldási rendszere.

JAVASLAT 3.11. Egy homogén lineáris egyenletrendszer bármely két alapvető megoldási rendszere ugyanannyi megoldásból áll.

Bizonyíték. Valójában az (1) homogén egyenletrendszer bármely két alapvető megoldási rendszere ekvivalens és lineárisan független. Ezért az 1.12 állítás szerint a rangjuk egyenlő. Ezért egy alaprendszerben található megoldások száma megegyezik bármely más alapvető megoldási rendszerben szereplő megoldások számával.

Ha az (1) homogén egyenletrendszer A főmátrixa nulla, akkor bármelyik vektor -ból az (1) rendszer megoldása; ebben az esetben a lineárisan független vektorok tetszőleges gyűjteménye a -tól kezdve alapvető megoldási rendszer. Ha az A mátrix oszloprangja , akkor az (1) rendszernek csak egy megoldása van - nulla; ezért ebben az esetben az (1) egyenletrendszernek nincs alapvető megoldási rendszere.

3.12. TÉTEL. Ha egy homogén lineáris egyenletrendszer (1) főmátrixának rangja kisebb, mint a változók száma, akkor az (1) rendszernek van egy megoldásokból álló alapvető megoldási rendszere.

Bizonyíték. Ha az (1) homogén rendszer A főmátrixának rangja nulla vagy , akkor fentebb megmutattuk, hogy a tétel igaz. Ezért az alábbiakban feltételezzük, hogy feltételezzük, hogy az A mátrix első oszlopai lineárisan függetlenek. Ebben az esetben az A mátrix soronként ekvivalens a redukált lépéses mátrixszal, az (1) rendszer pedig a következő redukált lépéses egyenletrendszerrel:

Könnyen ellenőrizhető, hogy a (2) rendszer szabad változóinak bármely értékrendszere megfelel-e a (2) rendszer és így az (1) rendszer egyetlen megoldásának. Pontosabban, csak a (2) és az (1) rendszer nulla megoldása felel meg a nulla értékek rendszerének.

A (2) rendszerben az egyik szabad változóhoz 1-gyel egyenlő értéket rendelünk, a többi változóhoz pedig nulla értéket. Ennek eredményeként a (2) egyenletrendszer megoldásait kapjuk, amelyeket a következő C mátrix soraiként írunk fel:

Ennek a mátrixnak a sorrendszere lineárisan független. Valóban, az egyenlőségből származó bármely skalárhoz

egyenlőség következik

és ebből kifolyólag az egyenlőség

Bizonyítsuk be, hogy a C mátrix sorrendszerének lineáris fesztávja egybeesik az (1) rendszer összes megoldásának halmazával.

Az (1) rendszer önkényes megoldása. Aztán a vektor

rendszer megoldása is (1), és

A homogén rendszer oldatai a következő tulajdonságokkal rendelkeznek. Ha a vektor = (α 1 , α 2 ,... , α n) a (15.14) rendszer megoldása, akkor tetszőleges számra k vektor k = (kα 1 , ka 2 ,..., kα n) lesz a megoldás erre a rendszerre. Ha a (15.14) rendszer megoldása az = (γ 1 , γ 2 , ... ,γ vektor n), majd az összeget + ennek a rendszernek a megoldása is lesz. Ebből következik tehát egy homogén rendszer megoldásainak tetszőleges lineáris kombinációja ennek a rendszernek a megoldása is.

Mint a 12.2. szakaszból tudjuk, bármely rendszer n-dimenziós vektorok, amelyek több mint P vektorok, lineárisan függ. Így a (15.14) homogén rendszer megoldásvektorainak halmazából választhatunk egy bázist, azaz. az adott rendszer bármely megoldásvektora ennek a bázisnak a vektorainak lineáris kombinációja lesz. Minden ilyen alapot nevezünk alapvető döntési rendszer homogén lineáris egyenletrendszer. A következő tétel igaz, amit bizonyítás nélkül mutatunk be.

4. TÉTEL. Ha egy homogén egyenletrendszer r rangja(15.14) kisebb, mint az n ismeretlenek száma, akkor a rendszer bármely alapvető megoldási rendszere (15.14) n - r megoldásból áll.

Mutassunk most egy módszert az alapvető megoldási rendszer (FSR) megtalálására. Legyen rangja a (15.14) homogén egyenletrendszernek r< п. Aztán, ahogy Cramer szabályaiból következik, ennek a rendszernek az alapvető ismeretlenségei x 1 , x 2 , … x r lineárisan fejezik ki szabad változókkal x r + 1 , x r + 2 , ..., x n:

A homogén rendszer (15.14) egyes megoldásait a következő elv szerint különítjük el. Az első 1. megoldásvektor megtalálásához beállítjuk x r + 1 = 1, x r + 2 = x r +3 = ... = x n= 0. Ekkor megtaláljuk a második megoldást 2: elfogadjuk x r+2 = 1 és a többi r- 1 szabad változó nullára van állítva. Más szóval, minden szabad változóhoz szekvenciálisan egyetlen értéket rendelünk, a többit nullára állítjuk. Így a megoldások alapvető rendszere vektor formában, figyelembe véve az elsőt r bázisváltozók (15.15) alakja

Az FSR (15.16) a homogén rendszer (15.14) egyik alapvető megoldási halmaza.

1. példa Keressen megoldást és FSR-t egy homogén egyenletrendszerre

Megoldás. Ezt a rendszert Gauss-módszerrel fogjuk megoldani. Mivel a rendszeregyenletek száma kevesebb, mint az ismeretlenek száma, feltételezzük x 1 , x 2 , x 3 alapvető ismeretlen, és x 4 , X 5 , x 6 - szabad változók. Állítsuk össze a rendszer kiterjesztett mátrixát, és hajtsuk végre azokat a műveleteket, amelyek a metódus közvetlen menetét alkotják.

Lineáris rendszerek megoldása algebrai egyenletek(SLAE) kétségtelenül a lineáris algebra kurzus legfontosabb témája. A matematika minden ágából származó feladatok nagy száma a lineáris egyenletrendszerek megoldására redukálódik. Ezek a tényezők magyarázzák a cikk létrehozásának okát. A cikk anyaga úgy van megválogatva és felépített, hogy segítségével Ön is meg tudja tenni

• válassza ki a lineáris algebrai egyenletrendszer optimális megoldási módját,
• tanulmányozza a választott módszer elméletét,
• oldja meg lineáris egyenletrendszerét, miután részletesen átgondolta a tipikus példák és problémák megoldását.

A cikk anyagának rövid ismertetése.

Először megadjuk az összes szükséges definíciót, fogalmat, és bevezetünk néhány jelölést.

Ezután megvizsgáljuk azokat a lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására szolgáló módszereket, amelyekben az egyenletek száma egyenlő az ismeretlen változók számával, és amelyek egyetlen döntés. Először a Cramer-módszerre összpontosítunk, másodszor bemutatjuk az ilyen egyenletrendszerek megoldására szolgáló mátrixmódszert, harmadszor pedig a Gauss-módszert (az ismeretlen változók egymást követő kiküszöbölésének módszerét) elemezzük. Az elmélet megszilárdítása érdekében minden bizonnyal számos SLAE-t fogunk különféle módon megoldani.

Ezt követően térjünk át a lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására Általános nézet, amelyben az egyenletek száma nem esik egybe az ismeretlen változók számával vagy a rendszer fő mátrixa degenerált. Megfogalmazzuk a Kronecker-Capelli tételt, amely lehetővé teszi az SLAE-k kompatibilitásának megállapítását. Elemezzük a rendszerek megoldását (kompatibilitásuk esetén) egy mátrix base moll fogalmával. Megfontoljuk a Gauss-módszert is, és részletesen leírjuk a példák megoldásait.

Ügyeljen arra, hogy foglalkozzon a homogén és inhomogén lineáris algebrai egyenletrendszerek általános megoldásának szerkezetével. Adjuk meg az alapvető megoldási rendszer fogalmát, és mutassuk meg, hogyan íródik le az SLAE általános megoldása az alapvető megoldási rendszer vektorai segítségével. A jobb megértés érdekében nézzünk meg néhány példát.

Végezetül figyelembe vesszük a lineárisra redukált egyenletrendszereket, valamint különféle problémákat, amelyek megoldásában SLAE-k merülnek fel.

Oldalnavigáció.

Definíciók, fogalmak, megnevezések.

P lineáris algebrai egyenletekből álló rendszereket fogunk figyelembe venni n ismeretlen változóval (p egyenlő lehet n ) alakú

Ismeretlen változók, - együtthatók (néhány valós vagy komplex szám), - szabad tagok (valós vagy komplex számok is).

A SLAE ezen formáját hívják koordináta.

NÁL NÉL mátrix forma ennek az egyenletrendszernek az alakja,
ahol - a rendszer főmátrixa, - az ismeretlen változók mátrixoszlopa, - a szabad tagok mátrixoszlopa.

Ha az A mátrixhoz (n + 1)-edik oszlopként hozzáadjuk a szabad tagok mátrixoszlopát, akkor megkapjuk az ún. kiterjesztett mátrix lineáris egyenletrendszerek. Általában a kibővített mátrixot T betűvel jelöljük, és a szabad tagok oszlopát függőleges vonal választja el a többi oszloptól, azaz

Lineáris algebrai egyenletrendszer megoldásával Ismeretlen változók értékkészletének nevezzük, amely a rendszer összes egyenletét azonossággá alakítja. Mátrix egyenlet ugyanis az ismeretlen változók adott értékei is azonossággá alakulnak.

Ha egy egyenletrendszernek van legalább egy megoldása, akkor azt ún közös.

Ha az egyenletrendszernek nincs megoldása, akkor ún összeegyeztethetetlen.

Ha egy SLAE-nek egyedi megoldása van, akkor azt hívják bizonyos; ha több megoldás létezik, akkor - bizonytalan.

Ha a rendszer összes egyenletének szabad tagja nulla , akkor a rendszer meghívásra kerül homogén, másképp - heterogén.

Elemi lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása.

Ha a rendszeregyenletek száma megegyezik az ismeretlen változók számával, és főmátrixának determinánsa nem egyenlő nullával, akkor az ilyen SLAE-ket hívjuk. alapvető. Az ilyen egyenletrendszereknek egyedi megoldásuk van, és homogén rendszer esetén minden ismeretlen változó nullával egyenlő.

Az ilyen SLAE-ket ben kezdtük el tanulmányozni Gimnázium. Megoldásukkor vettünk egy egyenletet, egy ismeretlen változót a többiekkel kifejeztünk és behelyettesítettünk a többi egyenletbe, majd vettük a következő egyenletet, kifejeztük a következő ismeretlen változót és behelyettesítettük más egyenletekkel stb. Vagy az összeadás módszerét alkalmazták, vagyis két vagy több egyenletet adtak hozzá néhány ismeretlen változó kiküszöbölésére. Ezekkel a módszerekkel nem foglalkozunk részletesen, mivel ezek lényegében a Gauss-módszer módosításai.

Az elemi lineáris egyenletrendszerek megoldásának fő módszerei a Cramer-módszer, a mátrix-módszer és a Gauss-módszer. Tegyük rendbe őket.

Lineáris egyenletrendszerek megoldása Cramer módszerével.

Meg kell oldanunk egy lineáris algebrai egyenletrendszert

amelyben az egyenletek száma egyenlő az ismeretlen változók számával és a rendszer főmátrixának determinánsa nullától eltérő, azaz.

Legyen a rendszer főmátrixának determinánsa, és olyan mátrixok determinánsai, amelyeket A-ból cserével kapunk 1., 2., …, n-edik oszlop, illetve a szabad tagok oszlopa:

Ilyen jelöléssel az ismeretlen változókat a Cramer-féle as módszer képleteivel számítjuk ki . Így találjuk meg a Cramer-módszerrel egy lineáris algebrai egyenletrendszer megoldását.

Példa.

Cramer módszer .

Megoldás.

A rendszer fő mátrixának van formája . Számítsa ki a meghatározóját (ha szükséges, lásd a cikket):

Mivel a rendszer főmátrixának determinánsa nem nulla, a rendszernek van egy egyedi megoldása, amelyet Cramer módszerével találhatunk meg.

Állítsa össze és számítsa ki a szükséges determinánsokat! (a determinánst úgy kapjuk meg, hogy az A mátrix első oszlopát szabad tagokból álló oszlopra cseréljük, a determinánst - ha a második oszlopot szabad tagokból álló oszlopra cseréljük, - az A mátrix harmadik oszlopát szabad tagokból álló oszlopra cseréljük ):

Ismeretlen változók keresése képletekkel :

Válasz:

A Cramer-módszer fő hátránya (ha hátránynak nevezhető) a determinánsok kiszámításának bonyolultsága, ha a rendszeregyenletek száma több mint három.

Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása mátrix módszerrel (inverz mátrix segítségével).

Adjuk meg a lineáris algebrai egyenletrendszert mátrix formában, ahol az A mátrix mérete n x n, determinánsa pedig nem nulla.

Mivel , akkor az A mátrix invertálható, azaz van inverz mátrix. Ha az egyenlőség mindkét részét megszorozzuk a bal oldalon, akkor egy képletet kapunk az ismeretlen változók oszlopmátrixának megkeresésére. Így megkaptuk a megoldást a lineáris algebrai egyenletrendszerre mátrix módszer.

Példa.

Lineáris egyenletrendszer megoldása mátrix módszer.

Megoldás.

Írjuk át az egyenletrendszert mátrix alakban:

Mert

akkor az SLAE mátrix módszerrel megoldható. Használva inverz mátrix ennek a rendszernek a megoldása a következőképpen érhető el .

Építsünk inverz mátrixot az A mátrix elemeinek algebrai komplementereinek mátrixával (ha szükséges, lásd a cikket):

Ki kell számítani - az ismeretlen változók mátrixát az inverz mátrix szorzásával a szabad tagok mátrixoszlopán (ha szükséges, lásd a cikket):

Válasz:

vagy más jelöléssel x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

A lineáris algebrai egyenletrendszerek mátrix módszerrel történő megoldásának fő problémája az inverz mátrix megtalálásának bonyolultsága, különösen a harmadiknál ​​magasabb rendű négyzetmátrixok esetében.

Lineáris egyenletrendszerek megoldása Gauss módszerrel.

Tegyük fel, hogy megoldást kell találnunk egy n lineáris egyenletrendszerre n ismeretlen változóval
amelynek főmátrixának determinánsa nullától eltérő.

A Gauss-módszer lényege ismeretlen változók egymást követő kizárásából áll: először x 1 ki van zárva a rendszer összes egyenletéből, a másodiktól kezdve, majd x 2 ki van zárva minden egyenletből, a harmadiktól kezdve, és így tovább, amíg csak az ismeretlen változóig x n az utolsó egyenletben marad. A rendszer egyenleteinek egy ilyen transzformációját az ismeretlen változók egymás utáni kiküszöbölésére az ún. közvetlen Gauss-módszer. A Gauss-módszer előrefutásának befejezése után az utolsó egyenletből x n, az utolsó előtti egyenletből x n-1 kerül kiszámításra ezzel az értékkel, és így tovább, x 1 az első egyenletből. Az ismeretlen változók kiszámításának folyamatát, amikor a rendszer utolsó egyenletéből az első egyenletbe lépünk, az ún. fordított Gauss-módszer.

Röviden írjuk le az ismeretlen változók kiküszöbölésére szolgáló algoritmust.

Feltételezzük, hogy , mivel ezt mindig elérhetjük a rendszer egyenleteinek átrendezésével. Az ismeretlen x 1 változót kizárjuk a rendszer összes egyenletéből, a másodiktól kezdve. Ehhez adjuk hozzá az első egyenletet szorozva a rendszer második egyenletéhez, adjuk hozzá az első szorzatot a harmadik egyenlethez, és így tovább, adjuk hozzá az első egyenletet szorozva az n-edik egyenlethez. Az egyenletrendszer az ilyen transzformációk után a következő alakot veszi fel

hol egy .

Ugyanerre az eredményre jutnánk, ha x 1-et más ismeretlen változókkal fejeznénk ki a rendszer első egyenletében, és a kapott kifejezést behelyettesítenénk az összes többi egyenletbe. Így az x 1 változót a másodiktól kezdve minden egyenletből kizárjuk.

Ezután hasonlóan járunk el, de csak a kapott rendszer egy részével, amelyet az ábrán jelölünk

Ehhez adjuk hozzá a másodikat szorozva a rendszer harmadik egyenletéhez, adjuk hozzá a másodikat szorozva a negyedik egyenlethez, és így tovább, adjuk hozzá a másodikat szorozva az n-edik egyenlethez. Az egyenletrendszer az ilyen transzformációk után a következő alakot veszi fel

hol egy . Így az x 2 változót a harmadiktól kezdve minden egyenletből kizárjuk.

Ezután továbblépünk az ismeretlen x 3 kiküszöbölésére, miközben hasonlóan járunk el az ábrán jelölt rendszerrésszel

Folytatjuk tehát a Gauss-módszer közvetlen menetét, amíg a rendszer fel nem veszi a formát

Mostantól kezdjük fordított löket Gauss-módszer: az utolsó egyenletből kiszámoljuk x n-t úgy, hogy x n kapott értékét felhasználva az utolsó előtti egyenletből x n-1-et találunk, és így tovább, az első egyenletből x 1-et találunk.

Példa.

Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss módszer.

Megoldás.

Zárjuk ki a rendszer második és harmadik egyenletéből az ismeretlen x 1 változót. Ehhez a második és a harmadik egyenlet mindkét részéhez hozzáadjuk az első egyenlet megfelelő részét, szorozva ezzel:

Most kivesszük x 2-t a harmadik egyenletből úgy, hogy hozzáadjuk a bal és a megfelelő részek a második egyenlet bal és jobb oldala, megszorozva:

Ezen a Gauss-módszer előremenete befejeződött, elkezdjük a fordított pályát.

A kapott egyenletrendszer utolsó egyenletéből x 3-at találunk:

A második egyenletből azt kapjuk, hogy .

Az első egyenletből megtaláljuk a fennmaradó ismeretlen változót, és ezzel teljessé válik a Gauss-módszer fordított menete.

Válasz:

X 1 \u003d 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Általános alakú lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása.

Általános esetben a p rendszer egyenleteinek száma nem esik egybe az n ismeretlen változók számával:

Az ilyen SLAE-knek nincs megoldása, egyetlen megoldásuk van, vagy végtelen sok megoldásuk van. Ez az állítás azokra az egyenletrendszerekre is vonatkozik, amelyek fő mátrixa négyzetes és degenerált.

Kronecker-Capelli tétel.

Mielőtt megoldást találnánk egy lineáris egyenletrendszerre, meg kell állapítani annak kompatibilitását. Arra a kérdésre, hogy mikor kompatibilis az SLAE, és mikor nem kompatibilis, megadja a választ Kronecker–Capelli tétel:
Ahhoz, hogy egy p egyenletrendszer n ismeretlennel (p egyenlő n-nel) konzisztens legyen, szükséges és elegendő, hogy a rendszer főmátrixának rangja egyenlő legyen a kiterjesztett mátrix rangjával, azaz Rank( A)=Ranghely(T) .

Példaként tekintsük a Kronecker-Cappelli tétel alkalmazását lineáris egyenletrendszer kompatibilitásának meghatározására.

Példa.

Nézze meg, hogy a lineáris egyenletrendszer rendelkezik-e megoldásokat.

Megoldás.

. Használjuk a kiskorúak határolásának módszerét. Másodrendű minor különbözik a nullától. Nézzük a körülötte lévő harmadrendű kiskorúakat:

Mivel az összes szomszédos harmadrendű kiskorú nulla, a főmátrix rangja kettő.

Viszont a kiterjesztett mátrix rangja egyenlő hárommal, mivel a harmadrendű moll

különbözik a nullától.

Ily módon Rang(A) , ezért a Kronecker-Capelli-tétel szerint azt a következtetést vonhatjuk le, hogy az eredeti lineáris egyenletrendszer inkonzisztens.

Válasz:

Nincs megoldási rendszer.

Tehát megtanultuk megállapítani a rendszer inkonzisztenciáját a Kronecker-Capelli tétel segítségével.

De hogyan találjuk meg az SLAE megoldását, ha a kompatibilitás megvan?

Ehhez szükségünk van a mátrix base moll fogalmára és a mátrix rangjára vonatkozó tételre.

Az A mátrix nullától eltérő legmagasabb rendű mollját hívjuk alapvető.

A base moll definíciójából következik, hogy sorrendje megegyezik a mátrix rangjával. Egy nem nulla A mátrixhoz több alapmoll is lehet, mindig van egy alapmoll.

Vegyük például a mátrixot .

Ennek a mátrixnak minden harmadrendű minorja nulla, mivel a mátrix harmadik sorának elemei az első és a második sor megfelelő elemeinek összege.

A következő másodrendű minorok alapvetőek, mivel nem nullák

Kiskorúak nem alapvetőek, mivel egyenlők nullával.

Mátrix rangtétel.

Ha egy p-rendű mátrix rangja r, akkor a mátrix sorainak (és oszlopainak) minden olyan eleme, amely nem képezi a választott bázis-mollt, lineárisan a sorok (és oszlopok) megfelelő elemeivel van kifejezve. ), amelyek a minor alapját képezik.

Mit ad nekünk a mátrix rangtétel?

Ha a Kronecker-Capelli tétellel megállapítottuk a rendszer kompatibilitását, akkor a rendszer főmátrixának bármely alapmollját választjuk (sorrendje egyenlő r-vel), és kizárunk a rendszerből minden olyan egyenletet, amely nem alkotják a választott alapmollt. Az így kapott SLAE ekvivalens lesz az eredetivel, mivel az elvetett egyenletek továbbra is redundánsak (a mátrix rangtétel szerint a fennmaradó egyenletek lineáris kombinációja).

Ennek eredményeként a rendszer túlzott egyenleteinek elvetése után két eset lehetséges.

Ha a kapott rendszerben az r egyenletek száma megegyezik az ismeretlen változók számával, akkor ez határozott lesz, és az egyetlen megoldást a Cramer módszerrel, a mátrix módszerrel vagy a Gauss módszerrel találhatjuk meg.

Példa.

.

Megoldás.

A rendszer főmátrixának rangja egyenlő kettővel, mivel a másodrendű moll különbözik a nullától. Kiterjesztett mátrix rang is egyenlő kettővel, mivel a harmadrendű egyetlen moll egyenlő nullával

és a fent vizsgált másodrendű moll nullától eltérő. A Kronecker-Capelli tétel alapján megállapítható az eredeti lineáris egyenletrendszer kompatibilitása, mivel Rank(A)=Rank(T)=2 .

Alapnak kisebbet vesszük . Az első és a második egyenlet együtthatói alkotják:


A rendszer harmadik egyenlete nem vesz részt az alapmoll kialakításában, ezért a mátrix rangtétel alapján kizárjuk a rendszerből:


Így kaptunk egy elemi lineáris algebrai egyenletrendszert. Oldjuk meg Cramer módszerével:


Válasz:

x 1 \u003d 1, x 2 = 2.

Ha az eredményül kapott SLAE-ben az r egyenletek száma kisebb, mint az n ismeretlen változók száma, akkor az alap-mollt alkotó tagokat az egyenletek bal oldali részeiben hagyjuk, a fennmaradó tagokat pedig átvisszük az egyenletek jobb oldali részébe. ellentétes előjelű rendszer.

Az egyenletek bal oldalán maradó ismeretlen változókat (r darab van belőlük) ún. fő-.

A jobb oldalon kötött ismeretlen változókat (n - r van belőlük) hívjuk ingyenes.

Most feltételezzük, hogy a szabad ismeretlen változók tetszőleges értéket vehetnek fel, míg az r fő ismeretlen változót egyedi módon fejezzük ki a szabad ismeretlen változókkal. Kifejezésüket a kapott SLAE Cramer módszerrel, mátrix módszerrel vagy Gauss módszerrel történő megoldásával találhatjuk meg.

Vegyünk egy példát.

Példa.

Lineáris algebrai egyenletrendszer megoldása .

Megoldás.

Keresse meg a rendszer főmátrixának rangját! határos kiskorúak módszerével. Vegyünk egy 1 1 = 1-et nem nulla elsőrendű mollnak. Kezdjünk el keresni egy nem nulla másodrendű mollot, amely körülveszi ezt a minort:


Így találtunk egy nem nulla másodrendű mollot. Kezdjük el keresni egy nem nulla határos harmadrendű mollot:


Így a fő mátrix rangja három. A kiterjesztett mátrix rangja szintén három, vagyis a rendszer konzisztens.

A talált, harmadrendű nem nulla moll alapnak számít.

Az érthetőség kedvéért bemutatjuk azokat az elemeket, amelyek a minor alapját képezik:


Az alapmollban részt vevő kifejezéseket a rendszer egyenletek bal oldalán hagyjuk, a többit pedig ellentétes előjellel a jobb oldalra helyezzük át:


A szabad ismeretlen változóknak x 2 és x 5 tetszőleges értéket adunk, vagyis veszünk , ahol tetszőleges számok vannak. Ebben az esetben a SLAE a formát veszi fel


A kapott elemi lineáris algebrai egyenletrendszert Cramer módszerrel oldjuk meg:


Következésképpen,.

A válaszban ne felejtse el megadni a szabad ismeretlen változókat.

Válasz:

Hol vannak tetszőleges számok.

Összesít.

Egy általános formájú lineáris algebrai egyenletrendszer megoldásához először a Kronecker-Capelli-tétel segítségével megtudjuk annak kompatibilitását. Ha a fő mátrix rangja nem egyenlő a kiterjesztett mátrix rangjával, akkor arra a következtetésre jutunk, hogy a rendszer inkonzisztens.

Ha a főmátrix rangja megegyezik a kiterjesztett mátrix rangjával, akkor az alapmollt választjuk, és elvetjük a rendszer azon egyenleteit, amelyek nem vesznek részt a választott alapmoll kialakításában.

Ha a base minor sorrendje megegyezik az ismeretlen változók számával, akkor az SLAE-nek van egy egyedi megoldása, amely bármely általunk ismert módszerrel megtalálható.

Ha az alapmoll sorrendje kisebb, mint az ismeretlen változók száma, akkor a fő ismeretlen változókkal rendelkező tagokat a rendszer egyenleteinek bal oldalán hagyjuk, a fennmaradó tagokat áthelyezzük a jobb oldalra, és tetszőleges értékeket adunk hozzá. a szabad ismeretlen változókhoz. A kapott lineáris egyenletrendszerből a fő ismeretlen változókat Cramer módszerrel, mátrix módszerrel vagy Gauss módszerrel találjuk meg.

Gauss-módszer általános alakú lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására.

A Gauss-módszerrel bármilyen típusú lineáris algebrai egyenletrendszer megoldható anélkül, hogy előzetes kompatibilitási vizsgálatokat végeznénk. Az ismeretlen változók egymás utáni kiküszöbölésének folyamata lehetővé teszi mind az SLAE kompatibilitására, mind inkonzisztenciájára vonatkozó következtetések levonását, és ha létezik megoldás, akkor azt megtalálni.

A számítási munka szempontjából a Gauss-módszer előnyösebb.

Nézd Részletes leírásés példákat elemzett a Gauss-módszer általános alakú lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására című cikkben.

Homogén és inhomogén lineáris algebrai rendszerek általános megoldásának rögzítése az alapvető megoldási rendszer vektoraival.

Ebben a részben a végtelen számú megoldással rendelkező lineáris algebrai egyenletek együttes homogén és inhomogén rendszereire összpontosítunk.

Először foglalkozzunk a homogén rendszerekkel.

Alapvető döntési rendszer Egy p lineáris algebrai egyenletekből álló, n ismeretlen változós homogén rendszer ennek a rendszernek (n – r) lineárisan független megoldásainak halmaza, ahol r a rendszer főmátrixának alapmoll sorrendje.

Ha egy homogén SLAE lineárisan független megoldásait X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) mátrixoszlopoknak jelöljük 1 ) , akkor ennek a homogén rendszernek az általános megoldását a megoldások alaprendszerének vektorainak lineáris kombinációjaként ábrázoljuk tetszőleges állandó együtthatóval С 1 , С 2 , …, С (n-r), azaz .

Mit jelent a homogén lineáris algebrai egyenletrendszer (oroslau) általános megoldása?

A jelentés egyszerű: a képlet mindent meghatároz lehetséges megoldások az eredeti SLAE, vagyis tetszőleges С 1 , С 2 , …, С (n-r) állandók értékkészletét véve a képlet szerint az eredeti homogén SLAE egyik megoldását kapjuk.

Így, ha találunk egy alapvető megoldási rendszert, akkor ennek a homogén SLAE-nek minden megoldását beállíthatjuk .

Mutassuk meg a homogén SLAE alapvető megoldási rendszerének felépítésének folyamatát.

Az eredeti lineáris egyenletrendszer alapmollját választjuk, minden más egyenletet kizárunk a rendszerből, és az ellentétes előjelű rendszer egyenleteinek jobb oldalára visszük át az összes szabad ismeretlen változót tartalmazó tagot. Adjuk meg a szabad ismeretlen változóknak az 1,0,0,…,0 értékeket, és számítsuk ki a fő ismeretleneket úgy, hogy a kapott elemi lineáris egyenletrendszert bármilyen módon, például Cramer-módszerrel megoldjuk. Így X (1) lesz – az alaprendszer első megoldása. Ha a szabad ismeretleneknek megadjuk a 0,1,0,0,…,0 értékeket és kiszámítjuk a fő ismeretleneket, akkor X (2)-t kapunk. Stb. Ha a szabad ismeretlen változóknak 0,0,…,0,1 értékeket adunk, és kiszámítjuk a fő ismeretleneket, akkor X (n-r) -t kapunk. Így épül fel a homogén SLAE alapvető megoldási rendszere és írható fel általános megoldása a formába.

Inhomogén lineáris algebrai egyenletrendszerek esetén az általános megoldást a következőképpen ábrázoljuk

Nézzünk példákat.

Példa.

Keresse meg az alapvető megoldási rendszert és egy homogén lineáris algebrai egyenletrendszer általános megoldását .

Megoldás.

A homogén lineáris egyenletrendszerek főmátrixának rangja mindig megegyezik a kiterjesztett mátrix rangjával. Határozzuk meg a főmátrix rangját a kiskorúak szegélyezésének módszerével. Elsőrendű nem nulla mollként a rendszer főmátrixának a 1 1 = 9 elemét vesszük. Keresse meg a másodrendű nem-nulla moll határvonalát:

A nullától eltérő másodrendű moll található. Nézzük végig a vele határos harmadrendű kiskorúakat, keresve egy nem nulla egyet:

A harmadik rendű összes szomszédos kiskorú nulla, ezért a fő és a kiterjesztett mátrix rangja kettő. Vegyük az alap minort. Az érthetőség kedvéért megjegyezzük a rendszer elemeit, amelyek azt alkotják:

Az eredeti SLAE harmadik egyenlete nem vesz részt az alapmoll kialakításában, ezért kizárható:

A fő ismeretleneket tartalmazó kifejezéseket az egyenletek jobb oldalán hagyjuk, a szabad ismeretleneket tartalmazó tagokat pedig átvisszük a jobb oldalra:

Alkossunk egy alapvető megoldási rendszert az eredeti homogén lineáris egyenletrendszerre. Ennek az SLAE-nek az alapvető megoldási rendszere két megoldásból áll, mivel az eredeti SLAE négy ismeretlen változót tartalmaz, az alapmoll sorrendje pedig kettő. Az X (1) megtalálásához a szabad ismeretlen változóknak az x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0 értékeket adjuk meg, majd az egyenletrendszerből megtaláljuk a fő ismeretleneket.
.