Hogyan kell helyesen összeadni a különböző nevezőjű törteket. Műveletek törtekkel

Az óra tartalma

Azonos nevezőjű törtek összeadása

A törtek hozzáadásának két típusa van:

Azonos nevezőjű törtek összeadása
Törtek hozzáadása -val különböző nevezők

Kezdjük az azonos nevezőjű törtek összeadásával. Itt minden egyszerű. Az azonos nevezőjű törtek hozzáadásához hozzá kell adni a számlálóikat, és a nevezőt változatlanul kell hagyni. Például vegyük össze a törteket és a . Hozzáadjuk a számlálókat, és a nevezőt változatlanul hagyjuk:

Ez a példa könnyen érthető, ha egy négy részre osztott pizzára gondolunk. Ha pizzát adsz a pizzához, akkor pizzát kapsz:

2. példa Adjunk hozzá törteket és .

A válasz kiderült, hogy nem megfelelő tört. Ha eljön a feladat vége, akkor szokás a helytelen törtektől megszabadulni. Ahhoz, hogy megszabaduljon egy nem megfelelő törttől, ki kell választania az egész részt. Esetünkben az egész rész könnyen kiosztható - kettő osztva kettővel egyenlő eggyel:

Ez a példa könnyen érthető, ha egy két részre osztott pizzára gondolunk. Ha több pizzát adsz a pizzához, egy egész pizzát kapsz:

3. példa. Adjunk hozzá törteket és .

Adja hozzá ismét a számlálókat, és hagyja változatlanul a nevezőt:

Ez a példa könnyen érthető, ha egy három részre osztott pizzára gondolunk. Ha több pizzát adsz a pizzához, akkor pizzákat kapsz:

4. példa Keresse meg egy kifejezés értékét

Ez a példa pontosan ugyanúgy van megoldva, mint az előzőek. A számlálókat hozzá kell adni, a nevezőt pedig változatlanul kell hagyni:

Próbáljuk meg egy kép segítségével ábrázolni a megoldásunkat. Ha pizzát ad hozzá egy pizzához, és további pizzákat ad hozzá, 1 egész pizzát és még több pizzát kap.

Amint látja, az azonos nevezővel rendelkező törtek hozzáadása nem nehéz. Elég megérteni a következő szabályokat:

Az azonos nevezőjű törtek hozzáadásához hozzá kell adni a számlálóikat, és a nevezőt változatlanul kell hagyni;

Különböző nevezőjű törtek összeadása

Most megtanuljuk, hogyan adjunk hozzá különböző nevezőkkel rendelkező törteket. Törtek összeadásakor a törtek nevezőinek azonosaknak kell lenniük. De nem mindig egyformák.

Például törtek adhatók hozzá, mert ugyanazok a nevezők.

De a törteket nem lehet egyszerre összeadni, mert ezeknek a törteknek más a nevezője. Ilyen esetekben a törteket ugyanarra a (közös) nevezőre kell redukálni.

Többféle módon is csökkenthetjük a törteket ugyanarra a nevezőre. Ma csak az egyiket vizsgáljuk meg, mivel a többi módszer bonyolultnak tűnhet egy kezdő számára.

A módszer lényege abban rejlik, hogy mindkét tört nevezői közül az elsőt (LCM) keressük. Ezután az LCM-et elosztjuk az első tört nevezőjével, és megkapjuk az első további tényezőt. Ugyanezt teszik a második törttel is - az LCM-et elosztják a második tört nevezőjével, és megkapják a második további tényezőt.

Ekkor a törtek számlálóit és nevezőit megszorozzuk további tényezőivel. Ezen műveletek eredményeként a különböző nevezővel rendelkező törtek azonos nevezővel rendelkező törtekké alakulnak. És már tudjuk, hogyan kell ilyen törteket összeadni.

1. példa. Adjunk hozzá törteket és

Először is megtaláljuk mindkét tört nevezőjének legkisebb közös többszörösét. Az első tört nevezője a 3, a másodiké pedig a 2. Ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse a 6

LCM (2 és 3) = 6

Most térjünk vissza a törtekhez és . Először elosztjuk az LCM-et az első tört nevezőjével, és megkapjuk az első további tényezőt. Az LCM a 6-os szám, az első tört nevezője pedig a 3. A 6-ot elosztjuk 3-mal, 2-t kapunk.

A kapott 2-es szám az első további tényező. Leírjuk az első törtre. Ehhez egy kis ferde vonalat készítünk a tört fölé, és felírjuk a talált további tényezőt fölé:

Ugyanezt tesszük a második törttel is. Az LCM-et elosztjuk a második tört nevezőjével, és megkapjuk a második járulékos tényezőt. Az LCM a 6-os szám, a második tört nevezője pedig a 2. A 6-ot elosztjuk 2-vel, 3-at kapunk.

A kapott 3-as szám a második kiegészítő tényező. A második törtbe írjuk. Ismét készítünk egy kis ferde vonalat a második tört fölé, és fölé írjuk a talált további tényezőt:

Most már készen állunk a hozzáadásra. Továbbra is meg kell szorozni a törtek számlálóit és nevezőit további tényezőkkel:

Nézze meg alaposan, mire jutottunk. Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezővel rendelkező törtek olyan törtekké alakultak, amelyeknek azonos nevezője volt. És már tudjuk, hogyan kell ilyen törteket összeadni. Fejezzük be ezt a példát a végére:

Ezzel a példa véget ér. Hozzáadni kiderül.

Próbáljuk meg egy kép segítségével ábrázolni a megoldásunkat. Ha pizzát adsz egy pizzához, akkor egy egész pizzát és egy pizza másik hatodát kapod:

A törtek azonos (közös) nevezőre való redukálása kép segítségével is ábrázolható. A és a törteket közös nevezőre hozva megkapjuk a és a törteket. Ezt a két frakciót ugyanazok a pizzaszeletek képviselik. Az egyetlen különbség az lesz, hogy ezúttal egyenlő részekre osztják őket (azonos nevezőre csökkentve).

Az első rajzon egy töredék látható (hatból négy darab), a második képen pedig egy töredék (hatból három darab). Ezeket a darabokat összerakva (hatból hét darabot) kapunk. Ez a tört helytelen, ezért kiemeltük benne az egész részt. Az eredmény az lett (egy egész pizza és egy másik hatodik pizza).

Vegye figyelembe, hogy ezt a példát túlságosan részletesen festettük le. NÁL NÉL oktatási intézmények nem szokás ilyen részletesen írni. Gyorsan meg kell találnia mindkét nevező és a hozzájuk tartozó további tényezők LCM-jét, valamint gyorsan meg kell szoroznia a számlálói és nevezői által talált további tényezőket. Az iskolában ezt a példát a következőképpen kell leírnunk:

De van az érem másik oldala is. Ha a matematika tanulmányozásának első szakaszában nem készülnek részletes feljegyzések, akkor ilyen jellegű kérdések „Honnan jön ez a szám?”, „Miért válnak a törtek hirtelen teljesen más törtté? «.

A különböző nevezőkkel rendelkező törtek összeadásának megkönnyítése érdekében kövesse az alábbi lépésenkénti utasításokat:

Keresse meg a törtek nevezőinek LCM-jét;
Ossza el az LCM-et az egyes törtek nevezőjével, és kapjon további szorzót minden törtre;
Szorozzuk meg a törtek számlálóit és nevezőit további tényezőikkel;
Adjon hozzá azonos nevezővel rendelkező törteket;
Ha a válasz helytelen törtnek bizonyult, válassza ki a teljes részét;

2. példa Keresse meg egy kifejezés értékét .

Használjuk a fenti utasításokat.

1. lépés. Keresse meg a törtek nevezőinek LCM-jét

Keresse meg mindkét tört nevezőinek LCM-jét! A törtek nevezői a 2, 3 és 4 számok

2. lépés: Ossza el az LCM-et az egyes törtek nevezőjével, és kapjon további szorzót minden törthez

Ossza el az LCM-et az első tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, az első tört nevezője pedig a 2. A 12-t elosztjuk 2-vel, így 6-ot kapunk. Az első további 6-os tényezőt kaptuk. Az első tört fölé írjuk:

Most elosztjuk az LCM-et a második tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, a második tört nevezője pedig a 3. A 12-t elosztjuk 3-mal, így 4-et kapunk. A második további 4-es tényezőt kaptuk. A második tört fölé írjuk:

Most elosztjuk az LCM-et a harmadik tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, a harmadik tört nevezője pedig a 4. A 12-t elosztjuk 4-gyel, így 3-at kapunk. A harmadik 3-as további tényezőt kaptuk. A harmadik tört fölé írjuk:

3. lépés. Szorozzuk meg a törtek számlálóit és nevezőit a további tényezőkkel

A számlálókat és a nevezőket megszorozzuk további tényezőinkkel:

4. lépés: Adjon hozzá azonos nevezővel rendelkező törteket

Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezőjű törtek olyan törtekké alakultak, amelyek azonos (közös) nevezővel rendelkeznek. Ezeket a frakciókat kell hozzáadni. Összeadni:

Az összeadás nem fért egy sorba, ezért a fennmaradó kifejezést áthelyeztük a következő sorba. Ez a matematikában megengedett. Ha egy kifejezés nem fér el egy sorba, akkor átkerül a következő sorba, és egyenlőségjelet (=) kell tenni az első sor végére és az új sor elejére. A második sorban lévő egyenlőségjel azt jelzi, hogy ez az első sorban lévő kifejezés folytatása.

5. lépés: Ha a válasz helytelen törtnek bizonyult, válassza ki benne a teljes részt

A válaszunk egy helytelen tört. Ki kell emelnünk az egész részét. Kiemeljük:

Megvan a válasz

Azonos nevezőjű törtek kivonása

Kétféle törtkivonás létezik:

Azonos nevezőjű törtek kivonása
Különböző nevezőjű törtek kivonása

Először is, tanuljuk meg, hogyan kell kivonni az azonos nevezővel rendelkező törteket. Itt minden egyszerű. Ha egy törtből egy másikat szeretne kivonni, ki kell vonnia a második tört számlálóját az első tört számlálójából, és a nevezőt változatlannak kell hagynia.

Például keressük meg a kifejezés értékét. A példa megoldásához ki kell vonni a második tört számlálóját az első tört számlálójából, és a nevezőt változatlanul kell hagyni. Csináljuk:

Ez a példa könnyen érthető, ha egy négy részre osztott pizzára gondolunk. Ha pizzát vágsz ki egy pizzából, akkor pizzát kapsz:

2. példa Keresse meg a kifejezés értékét.

Ismét az első tört számlálójából vonja ki a második tört számlálóját, és hagyja változatlanul a nevezőt:

Ez a példa könnyen érthető, ha egy három részre osztott pizzára gondolunk. Ha pizzát vágsz ki egy pizzából, akkor pizzát kapsz:

3. példa Keresse meg egy kifejezés értékét

Ez a példa pontosan ugyanúgy van megoldva, mint az előzőek. Az első tört számlálójából ki kell vonni a fennmaradó törtek számlálóit:

Mint látható, nincs semmi bonyolult az azonos nevezőjű törtek kivonásában. Elég megérteni a következő szabályokat:

Ha egy törtből egy másikat szeretne kivonni, ki kell vonnia a második tört számlálóját az első tört számlálójából, és a nevezőt változatlanul kell hagynia;
Ha a válasz helytelen törtnek bizonyult, akkor ki kell választania a teljes részt benne.

Különböző nevezőjű törtek kivonása

Például egy tört kivonható egy törtből, mivel ezeknek a törteknek ugyanaz a nevezője. De a törtből nem lehet kivonni egy törtet, mert ezeknek a törteknek más a nevezője. Ilyen esetekben a törteket ugyanarra a (közös) nevezőre kell redukálni.

A közös nevezőt ugyanazon elv alapján találjuk meg, amelyet a különböző nevezőjű törtek összeadásakor használtunk. Először is keresse meg mindkét tört nevezőinek LCM-jét. Ezután az LCM-et elosztjuk az első tört nevezőjével, és megkapjuk az első további tényezőt, amelyet az első tört fölé írunk. Hasonlóképpen, az LCM-et elosztjuk a második tört nevezőjével, és egy második további tényezőt kapunk, amelyet a második tört fölé írunk.

A törteket ezután megszorozzuk további tényezőikkel. E műveletek eredményeként a különböző nevezővel rendelkező törtek azonos nevezővel rendelkező törtekké alakulnak. És már tudjuk, hogyan kell kivonni az ilyen törteket.

1. példa Keresse meg egy kifejezés értékét:

Ezeknek a törteknek különböző nevezői vannak, ezért ugyanarra a (közös) nevezőre kell hozni őket.

Először is megtaláljuk mindkét tört nevezőjének LCM-jét. Az első tört nevezője a 3, a másodiké pedig a 4. Ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse a 12

LCM (3 és 4) = 12

Most vissza a törtekhez és

Keressünk egy további tényezőt az első törthez. Ehhez elosztjuk az LCM-et az első tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, az első tört nevezője pedig a 3. A 12-t elosztjuk 3-mal, így 4-et kapunk. Az első tört fölé írjuk a négyet:

Ugyanezt tesszük a második törttel is. Az LCM-et elosztjuk a második tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, a második tört nevezője pedig a 4. Oszd el a 12-t 4-gyel, így 3-at kapunk. Írj hármast a második törtre:

Most már készen állunk a kivonásra. Továbbra is meg kell szorozni a törteket további tényezőikkel:

Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezővel rendelkező törtek olyan törtekké alakultak, amelyeknek azonos nevezője volt. És már tudjuk, hogyan kell kivonni az ilyen törteket. Fejezzük be ezt a példát a végére:

Megvan a válasz

Próbáljuk meg egy kép segítségével ábrázolni a megoldásunkat. Ha pizzát vágsz egy pizzából, akkor pizzát kapsz.

Ez a megoldás részletes változata. Iskolai lévén ezt a példát rövidebben kellene megoldanunk. Egy ilyen megoldás így nézne ki:

A törtek és a közös nevezőre való redukálás kép segítségével is ábrázolható. Ezeket a törteket közös nevezőre hozva megkapjuk a és a törteket. Ezeket a törtrészeket ugyanazok a pizzaszeletek képviselik, de ezúttal ugyanazokra a törtekre lesznek felosztva (azonos nevezőre redukálva):

Az első rajzon egy töredék látható (nyolc darab a tizenkettőből), a második képen pedig egy töredék (három darab a tizenkettőből). Ha nyolc darabból három darabot levágunk, a tizenkettőből öt darabot kapunk. A tört ezt az öt darabot írja le.

2. példa Keresse meg egy kifejezés értékét

Ezeknek a törteknek különböző nevezői vannak, ezért először ugyanarra a (közös) nevezőre kell hozni őket.

Keresse meg e törtek nevezőinek LCM-jét.

A törtek nevezői a 10, 3 és 5 számok. Ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse a 30

LCM(10;3;5) = 30

Most minden törthez további tényezőket találunk. Ehhez elosztjuk az LCM-et az egyes törtek nevezőjével.

Keressünk egy további tényezőt az első törthez. Az LCM a 30-as szám, az első tört nevezője pedig a 10. A 30-at elosztva 10-zel kapjuk az első további 3-as tényezőt. Az első tört fölé írjuk:

Most találunk egy további tényezőt a második törthez. Ossza el az LCM-et a második tört nevezőjével. Az LCM a 30-as szám, a második tört nevezője pedig a 3. A 30-at elosztva 3-mal kapjuk a második további 10-es tényezőt. A második tört fölé írjuk:

Most találunk egy további tényezőt a harmadik törthez. Ossza el az LCM-et a harmadik tört nevezőjével. Az LCM a 30-as szám, a harmadik tört nevezője pedig az 5. A 30-at elosztva 5-tel kapjuk a harmadik további 6-os tényezőt. A harmadik tört fölé írjuk:

Most minden készen áll a kivonásra. Továbbra is meg kell szorozni a törteket további tényezőikkel:

Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezőjű törtek olyan törtekké alakultak, amelyek azonos (közös) nevezővel rendelkeznek. És már tudjuk, hogyan kell kivonni az ilyen törteket. Fejezzük be ezt a példát.

A példa folytatása nem fog elférni egy sorba, ezért a folytatást áthelyezzük a következő sorba. Ne feledkezzünk meg az egyenlőségjelről (=) az új sorban:

A válasz helyes törtnek bizonyult, és úgy tűnik, minden megfelel nekünk, de túl nehézkes és csúnya. Meg kellene könnyítenünk. Mit lehet tenni? Csökkentheti ezt a részt.

A tört csökkentéséhez el kell osztania a számlálót és a nevezőt (gcd) a 20 és 30 számokkal.

Tehát megtaláljuk a 20 és 30 számok GCD-jét:

Most visszatérünk példánkhoz, és elosztjuk a tört számlálóját és nevezőjét a talált GCD-vel, azaz 10-zel

Megvan a válasz

Tört szorzása számmal

Egy tört számmal való szorzásához meg kell szorozni az adott tört számlálóját ezzel a számmal, és a nevezőt változatlanul kell hagyni.

1. példa. Szorozzuk meg a törtet 1-gyel.

Szorozzuk meg a tört számlálóját 1-gyel

A bejegyzés félig 1 idő alatt érthető. Például, ha egyszer pizzát veszel, akkor pizzát kapsz

A szorzás törvényeiből tudjuk, hogy ha a szorzót és a szorzót felcseréljük, akkor a szorzat nem változik. Ha a kifejezést így írjuk, akkor a szorzat továbbra is egyenlő lesz. Ismét működik az egész szám és a tört szorzásának szabálya:

Ez a bejegyzés úgy értelmezhető, hogy az egység felét elveszi. Például, ha van 1 egész pizza és a felét kivesszük, akkor pizzánk lesz:

2. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét

Szorozzuk meg a tört számlálóját 4-gyel

A válasz egy helytelen tört. Vegyünk egy egész részt:

A kifejezés úgy értelmezhető, hogy 4-szer kétnegyedet vesz. Például, ha 4-szer veszel pizzát, akkor két egész pizzát kapsz.

És ha a szorzót és a szorzót helyeken felcseréljük, megkapjuk a kifejezést. Ez is egyenlő lesz 2-vel. Ez a kifejezés úgy értelmezhető, hogy négy egész pizzából két pizzát veszünk:

A törttel megszorzott szám és a tört nevezője akkor lesz feloldva, ha egynél nagyobb közös osztójuk van.

Például egy kifejezést kétféleképpen lehet kiértékelni.

Első út. Szorozzuk meg a 4-et a tört számlálójával, és hagyjuk változatlanul a tört nevezőjét:

Második út. A szorozandó négyes és a tört nevezőjében lévő négyes csökkenthető. Ezeket a négyeseket csökkentheti 4-gyel, mivel két négyes legnagyobb közös osztója maga a négy:

Ugyanezt az eredményt kaptuk 3. A négyesek lecsökkentése után új számok alakulnak ki helyettük: két egyes. De ha megszorozzuk egyet hármasával, majd elosztjuk eggyel, az nem változtat semmit. Ezért a megoldást rövidebben is leírhatjuk:

A csökkentés akkor is elvégezhető, ha az első módszer alkalmazása mellett döntöttünk, de a 4-es szám és a 3-as számláló szorzásának szakaszában a csökkentés mellett döntöttünk:

De például a kifejezés csak az első módon számítható ki - szorozza meg 7-et a tört nevezőjével, és hagyja változatlanul a nevezőt:

Ez annak a ténynek köszönhető, hogy a 7-es számnak és a tört nevezőjének nincs egynél nagyobb közös osztója, és ennek megfelelően nem csökken.

Egyes tanulók tévesen lerövidítik a szorzás alatt álló számot és a tört számlálóját. Ezt nem tudod megtenni. Például a következő bejegyzés helytelen:

A tört csökkentése azt jelenti valamint számláló és nevező osztva lesz ugyanazzal a számmal. A kifejezéssel kapcsolatos helyzetben az osztás csak a számlálóban történik, mivel ennek beírása megegyezik az írással. Látjuk, hogy az osztás csak a számlálóban történik, a nevezőben nem történik osztás.

Törtek szorzása

A törtek szorzásához meg kell szorozni a számlálójukat és a nevezőiket. Ha a válasz helytelen tört, akkor a teljes részt ki kell jelölnie benne.

1. példa Keresse meg a kifejezés értékét.

Megvan a válasz. Kívánatos ezt a részt csökkenteni. A tört 2-vel csökkenthető. Ekkor a végső oldat a következő formát ölti:

A kifejezés úgy értelmezhető, hogy egy fél pizzából pizzát veszünk. Tegyük fel, hogy van egy fél pizza:

Hogyan lehet ebből a feléből kivenni a kétharmadot? Először ezt a felét három egyenlő részre kell osztania:

És ebből a három darabból vegyél kettőt:

Hozunk pizzát. Ne feledje, hogyan néz ki egy pizza három részre osztva:

Ebből a pizzából egy szelet és az általunk vett két szelet azonos méretű lesz:

Más szavakkal, beszélgetünk körülbelül akkora pizza. Ezért a kifejezés értéke az

2. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét

Szorozzuk meg az első tört számlálóját a második tört számlálójával, az első tört nevezőjét pedig a második tört nevezőjével:

A válasz egy helytelen tört. Vegyünk egy egész részt:

3. példa Keresse meg egy kifejezés értékét

Szorozzuk meg az első tört számlálóját a második tört számlálójával, az első tört nevezőjét pedig a második tört nevezőjével:

A válasz helyes törtnek bizonyult, de jó lesz, ha csökkentik. Ennek a törtnek a csökkentéséhez el kell osztania ennek a törtnek a számlálóját és nevezőjét a 105 és 450 számok legnagyobb közös osztójával (GCD).

Tehát keressük meg a 105 és 450 számok GCD-jét:

Most elosztjuk a most megtalált GCD-re adott válaszunk számlálóját és nevezőjét, azaz 15-tel

Egy egész szám törtként való ábrázolása

Bármely egész szám ábrázolható törtként. Például az 5-ös szám ábrázolható . Ettől kezdve az öt nem fogja megváltoztatni a jelentését, mivel a kifejezés azt jelenti, hogy „az ötös szám osztva eggyel”, és ez, mint tudod, egyenlő öttel:

Fordított számok

Most megismerkedünk érdekes téma a matematikában. Ezt "fordított számoknak" hívják.

Meghatározás. Fordítva a számhoza az a szám, amivel megszorozvaa egységet ad.

Változó helyett helyettesítsük ezt a definíciót a az 5-ös számot, és próbálja meg elolvasni a definíciót:

Fordítva a számhoz 5 az a szám, amivel megszorozva 5 egységet ad.

Lehet-e találni olyan számot, amelyet 5-tel megszorozva egyet adunk? Kiderült, hogy lehet. Képzeljük el az ötöt törtként:

Ezután szorozza meg ezt a törtet önmagával, csak cserélje fel a számlálót és a nevezőt. Más szóval, szorozzuk meg a törtet önmagával, csak fordítva:

Mi lesz ennek az eredménye? Ha folytatjuk a példa megoldását, egyet kapunk:

Ez azt jelenti, hogy az 5-ös szám inverze a szám, mivel ha 5-öt megszorozzuk eggyel, akkor egyet kapunk.

A reciprok bármely más egész számra is megtalálható.

Megtalálhatja bármely más tört reciprokát is. Ehhez elég megfordítani.

Tört osztása számmal

Tegyük fel, hogy van egy fél pizza:

Osszuk el egyenlő arányban kettő között. Hány pizzát kap egyenként?

Látható, hogy a pizza felének felosztása után két egyforma darabot kaptunk, amelyek egy-egy pizzát alkotnak. Szóval mindenki kap egy pizzát.

A Kr.e. ötödik században az ókori görög filozófus, Eleai Zénón megfogalmazta híres apóriáit, amelyek közül a leghíresebb az „Achilles és a teknősbéka” aporia. Így hangzik:

Tegyük fel, hogy Akhilleusz tízszer gyorsabban fut, mint a teknősbéka, és ezer lépéssel lemaradt tőle. Azalatt az idő alatt, amíg Akhilleusz ezt a távot lefutja, a teknősbéka száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. Amikor Akhilleusz száz lépést futott, a teknősbéka újabb tíz lépést fog kúszni, és így tovább. A folyamat a végtelenségig folytatódik, Akhilleusz soha nem éri utol a teknősbékát.

Ez az érvelés logikus megrázkódtatássá vált minden következő generáció számára. Arisztotelész, Diogenész, Kant, Hegel, Gilbert... Valamennyien, így vagy úgy, Zénón aporiáit tekintették. A sokk olyan erős volt, hogy " ... a viták jelenleg is folytatódnak, a tudományos közösségnek még nem sikerült egységes véleményre jutnia a paradoxonok lényegéről ... matematikai elemzés, halmazelmélet, új fizikai és filozófiai megközelítések vontak be a kérdés vizsgálatába ; egyik sem lett a probléma általánosan elfogadott megoldása..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Mindenki megérti, hogy becsapják, de senki sem érti, mi a megtévesztés.

A matematika szempontjából Zénó aporiájában egyértelműen bemutatta az átmenetet az értékről a másikra. Ez az átmenet konstansok helyett alkalmazást jelent. Ha jól értem, a változó mértékegységek alkalmazására szolgáló matematikai apparátus vagy még nem alakult ki, vagy nem alkalmazták Zénó apóriájára. A megszokott logikánk alkalmazása csapdába vezet bennünket. Mi a gondolkodás tehetetlensége folytán állandó időegységeket alkalmazunk a reciprokra. Fizikai szempontból úgy tűnik, hogy az idő lelassul és teljesen megáll abban a pillanatban, amikor Akhilleusz utoléri a teknősbékát. Ha megáll az idő, Akhilleusz már nem tudja megelőzni a teknősbékát.

Ha megfordítjuk a megszokott logikát, minden a helyére kerül. Akhilleusz állandó sebességgel fut. Útjának minden következő szakasza tízszer rövidebb, mint az előző. Ennek megfelelően a leküzdésére fordított idő tízszer kevesebb, mint az előzőnél. Ha ebben a helyzetben alkalmazzuk a "végtelen" fogalmát, akkor helyes lenne azt mondani, hogy "Achilles végtelenül gyorsan utoléri a teknősbékát".

Hogyan lehet elkerülni ezt a logikai csapdát? Maradjon állandó időegységben, és ne váltson át reciprok értékekre. Zénón nyelvén ez így néz ki:

Amíg Akhilleusz ezer lépést tesz meg, addig a teknősbéka száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. A következő időintervallumban, amely megegyezik az elsővel, Akhilleusz további ezer lépést fut, a teknősbéka pedig száz lépést kúszik. Most Akhilleusz nyolcszáz lépéssel megelőzi a teknősbékát.

Ez a megközelítés adekvát módon írja le a valóságot minden logikai paradoxon nélkül. De ez nem teljes megoldás a problémára. Einstein kijelentése a fénysebesség leküzdhetetlenségéről nagyon hasonlít Zénón „Achilles és a teknős” című apóriájához. Ezt a problémát még tanulmányoznunk, újra kell gondolnunk és meg kell oldanunk. A megoldást pedig nem végtelenül nagy számokban, hanem mértékegységekben kell keresni.

Zénón egy másik érdekes apóriája egy repülő nyílról mesél:

A repülő nyíl mozdulatlan, hiszen az idő minden pillanatában nyugalomban van, és mivel minden pillanatban nyugalomban van, mindig nyugalomban van.

Ebben az apóriában a logikai paradoxont nagyon egyszerűen leküzdjük - elég tisztázni, hogy a repülő nyíl minden egyes pillanatban nyugalomban van a tér különböző pontjain, ami valójában mozgás. Itt még egy szempontot kell megjegyezni. Egy úton lévő autóról készült fénykép alapján lehetetlen meghatározni sem a mozgás tényét, sem a távolságot. Az autó mozgásának tényének megállapításához két, ugyanarról a pontról, különböző időpontokban készült fényképre van szükség, de ezek alapján nem lehet meghatározni a távolságot. Az autótól való távolság meghatározásához két fényképre van szükség, amelyek a tér különböző pontjairól készültek egyidejűleg, de nem tudja meghatározni a mozgás tényét (természetesen további adatokra van szükség a számításokhoz, a trigonometria segít) . Amit különösen szeretnék rámutatni, az az, hogy két pont az időben és két pont a térben két különböző dolog, amelyeket nem szabad összetéveszteni, mivel eltérő lehetőségeket biztosítanak a felfedezéshez.

2018. július 4., szerda

A halmaz és a multihalmaz közötti különbségeket nagyon jól leírja a Wikipédia. Nézzük.

Mint látható, "a halmaznak nem lehet két egyforma eleme", de ha a halmazban azonos elemek vannak, akkor az ilyen halmazt "multisetnek" nevezzük. Az értelmes lények soha nem fogják megérteni az abszurditás ilyen logikáját. Ez a beszélő papagájok és kiképzett majmok szintje, ahol az elme hiányzik a „teljesen” szóból. A matematikusok hétköznapi oktatóként viselkednek, és abszurd elképzeléseiket hirdetik nekünk.

Egyszer régen a hidat építő mérnökök egy csónakban ültek a híd alatt a híd tesztelése közben. Ha a híd összeomlott, a középszerű mérnök meghalt teremtménye romjai alatt. Ha a híd bírta a terhelést, a tehetséges mérnök más hidakat épített.

Bármennyire is bújnak a matematikusok a „figyelj, a házban vagyok” kifejezés mögé, vagy inkább „a matematika elvont fogalmakat tanulmányoz”, van egy köldökzsinór, amely elválaszthatatlanul összeköti őket a valósággal. Ez a köldökzsinór pénz. Alkalmazzuk a matematikai halmazelméletet magukra a matematikusokra.

Nagyon jól tanultunk matematikát, és most a pénztárnál ülünk, és fizetünk. Itt egy matematikus jön hozzánk a pénzéért. A teljes összeget megszámoljuk neki, és az asztalunkra rakjuk különböző kupacokba, amelyekbe azonos címletű bankjegyeket teszünk. Ezután minden kupacból kiveszünk egy számlát, és megadjuk a matematikusnak a "matematikai fizetési készletét". Magyarázzuk el a matematikát, hogy a többi számlát csak akkor kapja meg, ha bebizonyítja, hogy az azonos elemek nélküli halmaz nem egyenlő az azonos elemeket tartalmazó halmazzal. Itt kezdődik a móka.

Először is működni fog a képviselői logika: "másokra alkalmazhatod, de rám nem!" Továbbá megkezdődik annak biztosítása, hogy az azonos címletű bankjegyeken különböző bankjegyszámok szerepelnek, ami azt jelenti, hogy nem tekinthetők azonos elemeknek. Nos, a fizetést érmében számoljuk – az érméken nincsenek számok. Itt a matematikus eszeveszetten felidézi majd a fizikát: a különböző érmék különböző mennyiségű szennyeződést tartalmaznak, a kristályszerkezet és az atomok elrendezése minden érménél egyedi ...

És most nekem van a legtöbb érdeklődés Kérdezzen: hol van az a határ, amelyen túl egy multihalmaz elemei halmaz elemeivé válnak és fordítva? Ilyen vonal nem létezik - mindent a sámánok döntenek el, a tudomány itt még csak közel sem.

Nézz ide. Azonos pályaterületű futballstadionokat választunk. A mezők területe azonos, ami azt jelenti, hogy van egy multikészletünk. De ha figyelembe vesszük az azonos stadionok nevét, akkor sokat kapunk, mert a nevek különbözőek. Amint látja, ugyanaz az elemkészlet egyszerre halmaz és multihalmaz is. Mennyire helyes? És itt a matematikus-sámán-shuller elővesz egy adu ászt az ingujjából, és mesélni kezd nekünk egy halmazról vagy egy multihalmazról. Mindenesetre meg fog győzni minket az igazáról.

Ahhoz, hogy megértsük, hogyan operálnak a modern sámánok a halmazelmélettel, a valósághoz kötve, elég egy kérdésre válaszolni: miben különböznek egy halmaz elemei egy másik halmaz elemeitől? Megmutatom, minden "nem egyetlen egészként elképzelhető" vagy "egyetlen egészként nem elképzelhető" nélkül.

2018. március 18. vasárnap

Egy szám számjegyeinek összege sámánok tánca tamburával, aminek semmi köze a matematikához. Igen, matematika órán azt tanítják, hogy keressük meg egy szám számjegyeinek összegét és használjuk, de ők azért sámánok, hogy megtanítsák a leszármazottaikat tudásukra és bölcsességükre, különben a sámánok egyszerűen kihalnak.

Bizonyítékra van szüksége? Nyissa meg a Wikipédiát, és próbálja meg megtalálni a „Számjegyek összege” oldalt. Ő nem létezik. A matematikában nincs olyan képlet, amellyel bármely szám számjegyeinek összegét meg lehetne találni. Hiszen a számok grafikus szimbólumok, amelyekkel számokat írunk, és a matematika nyelvén a feladat így hangzik: "Keresd meg a tetszőleges számot ábrázoló grafikus szimbólumok összegét." A matematikusok nem tudják megoldani ezt a problémát, de a sámánok alapvetően meg tudják oldani.

Találjuk ki, mit és hogyan tegyünk annak érdekében, hogy megtaláljuk egy adott szám számjegyeinek összegét. Tegyük fel, hogy az 12345-ös számunk van. Mit kell tenni, hogy megtaláljuk ennek a számnak a számjegyeinek összegét? Vegyük sorra az összes lépést.

1. Írja fel a számot egy papírra. Mit tettünk? A számot számgrafikus szimbólummá alakítottuk. Ez nem matematikai művelet.

2. Egy kapott képet több, külön számokat tartalmazó képre vágtunk. A kép kivágása nem matematikai művelet.

3. Alakítsa át az egyes grafikus karaktereket számokká. Ez nem matematikai művelet.

4. Adja össze a kapott számokat. Ez most a matematika.

Az 12345-ös szám számjegyeinek összege 15. Ezek a matematikusok által használt "szabás- és varrótanfolyamok" a sámánoktól. De ez még nem minden.

A matematika szempontjából nem mindegy, hogy milyen számrendszerbe írjuk a számot. Szóval, be különböző rendszerek számolva ugyanazon szám számjegyeinek összege eltérő lesz. A matematikában a számrendszert alsó indexként tüntetjük fel a számtól jobbra. TÓL TŐL egy nagy szám 12345 Nem akarom becsapni a fejem, vegye figyelembe a cikk 26-os számát. Írjuk fel ezt a számot bináris, oktális, decimális és hexadecimális számrendszerben. Nem fogunk minden lépést mikroszkóp alatt megvizsgálni, ezt már megtettük. Nézzük az eredményt.

Mint látható, a különböző számrendszerekben ugyanazon szám számjegyeinek összege eltérő. Ennek az eredménynek semmi köze a matematikához. Ez olyan, mintha egy téglalap területét méterben és centiméterben találná meg, teljesen más eredményt adna.

A nulla minden számrendszerben ugyanúgy néz ki, és nincs számjegyösszege. Ez egy újabb érv amellett, hogy . Kérdés a matematikusokhoz: hogyan jelölik a matematikában azt, ami nem szám? A matematikusok számára a számokon kívül más nem létezik? A sámánoknak ezt megengedhetem, de a tudósoknak nem. A valóság nem csak a számokból áll.

A kapott eredményt annak bizonyítékának kell tekinteni, hogy a számrendszerek a számok mértékegységei. Hiszen nem hasonlíthatjuk össze a számokat különböző mértékegységekkel. Ha ugyanazok a műveletek ugyanazon mennyiség különböző mértékegységeivel eltérő eredményre vezetnek az összehasonlítás után, akkor ennek semmi köze a matematikához.

Mi az igazi matematika? Ilyenkor egy matematikai művelet eredménye nem függ a szám értékétől, az alkalmazott mértékegységtől és attól, hogy ki végzi el ezt a műveletet.

Jel az ajtón Kinyitja az ajtót és azt mondja:

Jaj! Ez nem a női mosdó?
- Fiatal nő! Ez egy laboratórium a lelkek határtalan szentségének tanulmányozására a mennybemenetelkor! Nimbus felül és nyíl felfelé. Milyen másik wc?

Nő... Egy halo a tetején és egy nyíl lefelé férfi.

Ha naponta többször felvillan a szemed előtt egy ilyen dizájnművészeti alkotás,

Akkor nem meglepő, hogy hirtelen egy furcsa ikont talál az autójában:

Én személy szerint arra törekszem, hogy mínusz négy fokot lássak egy kakiló emberben (egy kép) (több kép összeállítása: mínusz jel, négyes szám, fokok megjelölése). És ezt a lányt nem tartom bolondnak, aki nem ismeri a fizikát. Csak egy íves sztereotípiája van a grafikus képek észleléséről. A matematikusok pedig állandóan ezt tanítják nekünk. Íme egy példa.

Az 1A nem „mínusz négy fok” vagy „egy a”. Ez a "kaki ember" vagy a "huszonhat" szám a hexadecimális számrendszerben. Azok, akik folyamatosan ebben a számrendszerben dolgoznak, a számot és a betűt automatikusan egy grafikus szimbólumként érzékelik.

A törtek közönséges számok, összeadhatók és kivonhatók is. De mivel van nevezőjük, itt összetettebb szabályokra van szükség, mint az egész számokhoz.

Tekintsük a legegyszerűbb esetet, amikor két azonos nevezővel rendelkező tört van. Akkor:

Azonos nevezőjű törtek hozzáadásához adja hozzá a számlálóikat, és hagyja változatlanul a nevezőt.

Az azonos nevezőjű törtek kivonásához ki kell vonni a második számlálóját az első tört számlálójából, és ismét változatlanul hagyni kell a nevezőt.

Az egyes kifejezéseken belül a törtek nevezői egyenlőek. A törtek összeadása és kivonása definíciójával a következőket kapjuk:

Amint látja, semmi bonyolult: csak össze kell adni vagy ki kell vonni a számlálókat – és ennyi.

De még ilyen egyszerű cselekedetekben is sikerül hibázni az embereknek. Leggyakrabban elfelejtik, hogy a nevező nem változik. Például amikor hozzáadják őket, akkor is elkezdenek összeadni, és ez alapvetően rossz.

Megszabadul rossz szokás A nevezők hozzáadása elég egyszerű. Próbáld meg ugyanezt tenni a kivonáskor is. Ennek eredményeként a nevező nulla lesz, és a tört (hirtelen!) értelmét veszti.

Ezért ne feledjük egyszer s mindenkorra: összeadáskor és kivonáskor a nevező nem változik!

Ezenkívül sokan hibáznak több negatív tört hozzáadásakor. Zavar a jelekkel: hol kell mínuszt tenni, és hol - pluszt.

Ez a probléma is nagyon könnyen megoldható. Elég megjegyezni, hogy a törtjel előtti mínusz mindig átvihető a számlálóba - és fordítva. És persze ne felejts el két egyszerű szabályt:

Pluszszorok mínusz mínuszt ad;
Két negatívum igenlővé tesz.

Elemezzük mindezt konkrét példákkal:

Egy feladat. Keresse meg a kifejezés értékét:

Az első esetben minden egyszerű, a másodikban mínuszokat adunk a törtek számlálóihoz:

Mi van, ha a nevezők eltérőek

Nem adhat hozzá közvetlenül különböző nevezőjű törteket. Ez a módszer legalábbis számomra ismeretlen. Az eredeti törtek azonban mindig átírhatók, így a nevezők azonosakká válnak.

A törtek átszámításának számos módja van. Ezek közül hármat a „Törtek közös nevezőre hozása” című leckében tárgyalunk, ezért itt nem foglalkozunk velük. Nézzünk néhány példát:

Egy feladat. Keresse meg a kifejezés értékét:

Az első esetben a törteket a "keresztirányú" módszerrel közös nevezőre hozzuk. A másodikban az LCM-et fogjuk keresni. Vegye figyelembe, hogy 6 = 2 3; 9 = 3 · 3. Ezekben a bővítésekben az utolsó tényezők egyenlőek, az elsők pedig koprímek. Ezért LCM(6; 9) = 2 3 3 = 18.

Mi van akkor, ha a törtnek egész része van

A kedvedre tehetek: a törtek különböző nevezői nem a legnagyobb rossz. Sokkal több hiba történik, ha a teljes részt kiemeli a tört tagokban.

Természetesen az ilyen törtek számára vannak saját összeadási és kivonási algoritmusok, de ezek meglehetősen bonyolultak és hosszú tanulmányozást igényelnek. Jobb, ha használja az alábbi egyszerű diagramot:

Konvertálja az egész részt tartalmazó törteket nem megfelelővé. Normál tagokat kapunk (még ha különböző nevezőkkel is), amelyek kiszámítása a fent tárgyalt szabályok szerint történik;
Valójában számítsa ki a kapott törtek összegét vagy különbségét. Ennek eredményeként gyakorlatilag meg fogjuk találni a választ;
Ha a feladatban csak ennyi kellett, akkor végrehajtjuk az inverz transzformációt, azaz. megszabadulunk a helytelen törttől, kiemelve benne az egész részt.

A helytelen törtekre való váltás és az egész rész kiemelésének szabályait a „Mi a numerikus tört” című leckében részletesen ismertetjük. Ha nem emlékszik, feltétlenül ismételje meg. Példák:

Egy feladat. Keresse meg a kifejezés értékét:

Itt minden egyszerű. Az egyes kifejezéseken belüli nevezők egyenlőek, így marad az összes tört helytelenné alakítása és számolás. Nekünk van:

A számítások egyszerűsítése érdekében az utolsó példákban kihagytam néhány nyilvánvaló lépést.

Egy kis megjegyzés az utolsó két példához, ahol a kiemelt egész részt tartalmazó törteket kivonjuk. A második tört előtti mínusz azt jelenti, hogy a teljes tört kivonásra kerül, és nem csak a teljes része.

Olvasd el újra ezt a mondatot, nézd meg a példákat, és gondolkozz el rajta. Itt sok hibát követnek el a kezdők. Az ellenőrző munkában szeretnek ilyen feladatokat adni. Ismételten találkozni fog velük ennek a leckének a tesztjein is, amelyeket hamarosan közzétesznek.

Összefoglalás: A számítástechnika általános sémája

Befejezésül adok egy általános algoritmust, amely segít megtalálni két vagy több tört összegét vagy különbségét:

Ha egy egész rész egy vagy több törtben kiemelve van, alakítsa át ezeket a törteket nem megfelelő törtekké;
Hozd az összes tört közös nevezőt az Ön számára megfelelő módon (kivéve persze, ha a problémák összeállítói ezt tették);
Adja össze vagy vonja ki a kapott számokat az azonos nevezőjű törtek összeadási és kivonási szabályai szerint;
Ha lehetséges, csökkentse az eredményt. Ha a tört hibásnak bizonyult, válassza ki a teljes részt.

Ne feledje, hogy jobb, ha az egész részt kiemeli a feladat legvégén, közvetlenül a válasz megírása előtt.

Gyermeke házi feladatot hozott az iskolából, és nem tudja, hogyan oldja meg? Akkor ez a mini oktatóanyag neked szól!

Hogyan adjunk tizedesjegyeket

Kényelmesebb tizedes törteket hozzáadni egy oszlophoz. A tizedesjegyek hozzáadásához egy egyszerű szabályt kell követnie:

A számjegynek a számjegy alatt kell lennie, vesszőnek a vessző alatt.

Ahogy a példában is látható, egész egységek vannak egymás alatt, a tizedek és századok egymás alatt. Most hozzáadjuk a számokat, figyelmen kívül hagyva a vesszőt. Mi a teendő a vesszővel? A vessző átkerül arra a helyre, ahol az egész számok kiürítésében állt.

Egyenlő nevezőjű törtek összeadása

A közös nevezővel történő összeadáshoz a nevezőt változatlanul kell hagynia, meg kell keresnie a számlálók összegét, és ki kell kapnia egy törtet, amely a teljes összeg lesz.

Különböző nevezőjű törtek összeadása közös többszörös megtalálásával

Az első dolog, amire figyelni kell, az a nevezők. A nevezők különbözőek, nem oszthatók-e egymással, ugye prímszámok. Először egy közös nevezőt kell találnia, ennek többféle módja van:

1/3 + 3/4 = 13/12, a példa megoldásához meg kell találnunk a legkisebb közös többszöröst (LCM), amely osztható lesz 2 nevezővel. A és b legkisebb többszörösének jelölésére - LCM (a; b). NÁL NÉL ezt a példát LCM (3;4) = 12. Ellenőrzés: 12:3=4; 12:4=3.
A tényezőket megszorozzuk, és a kapott számokat összeadjuk, 13/12-t kapunk - nem megfelelő tört.

A nem megfelelő tört megfelelő törtté alakításához a számlálót elosztjuk a nevezővel, így az 1 egész számot kapjuk, a maradék 1 a számláló, a 12 pedig a nevező.

Törtek összeadása keresztszorzással

Különböző nevezőjű törtek összeadására van egy másik módszer a „keresztenként” képlet szerint. Ez egy garantált módja a nevezők kiegyenlítésének, ehhez meg kell szorozni a számlálókat egy tört nevezőjével és fordítva. Ha csak be van kapcsolva kezdeti szakaszban törtek tanulása, akkor ez a módszer a legegyszerűbb és legpontosabb, hogyan lehet megfelelő eredményt elérni különböző nevezőjű törtek összeadásakor.

Műveletek törtekkel.

Figyelem!
Vannak további
anyag az 555. külön szakaszban.
Azoknak, akik erősen "nem nagyon..."
És azoknak, akik "nagyon...")

Tehát mik a törtek, a törtek típusai, transzformációk - emlékeztünk. Foglalkozzunk a fő kérdéssel.

Mit lehet csinálni a törtekkel? Igen, minden ugyanaz, mint a közönséges számoknál. Összeadás, kivonás, szorzás, osztás.

Mindezek a műveletek decimális a törtekkel végzett műveletek nem különböznek az egész számokkal végzett műveletektől. Tulajdonképpen erre jók, decimálisan. Az egyetlen dolog, hogy helyesen kell beírnia a vesszőt.

vegyes számok, mint mondtam, a legtöbb művelethez kevés hasznuk van. Még mindig át kell őket alakítani közönséges törtekké.

És itt vannak a műveletek közönséges törtek okosabb lesz. És sokkal fontosabb! Hadd emlékeztesselek: minden olyan művelet, amely törtkifejezéseket tartalmaz betűkkel, szinuszokkal, ismeretlenekkel és így tovább, és így tovább, nem különbözik a közönséges törtekkel végzett műveletektől! A közönséges törtekkel végzett műveletek minden algebra alapját képezik. Ez az oka annak, hogy itt nagyon részletesen elemezzük ezt az egész aritmetikát.

Törtek összeadása és kivonása.

A törteket mindenki összeadhatja (kivonhatja) azonos nevezővel (nagyon remélem!). Nos, hadd emlékeztesselek arra, hogy teljesen feledékeny vagyok: összeadáskor (kivonáskor) a nevező nem változik. A számlálókat összeadjuk (kivonjuk), így megkapjuk az eredmény számlálóját. Típus:

Röviden, be Általános nézet:

Mi van, ha a nevezők eltérőek? Ezután a tört fő tulajdonságát felhasználva (itt megint jól jött!) A nevezőket azonosra tesszük! Például:

Itt a 2/5-ből a 4/10-es törtet kellett elkészíteni. Kizárólag abból a célból, hogy a nevezők azonosak legyenek. Megjegyzem minden esetre, hogy 2/5 és 4/10 az ugyanaz a tört! Csak a 2/5 kellemetlen számunkra, a 4/10 pedig még semmi.

Egyébként ez a lényege bármilyen matematikai feladat megoldásának. Amikor kint vagyunk kényelmetlen kifejezések igen ugyanaz, de kényelmesebben megoldható.

Egy másik példa:

Hasonló a helyzet. Itt 48-at csinálunk a 16-ból. Egyszerű szorzással 3. Ez minden világos. De itt valami ilyesmivel találkozunk:

Hogyan legyen?! Hetesből nehéz kilencet csinálni! De okosak vagyunk, ismerjük a szabályokat! Váltsunk át minden tört, hogy a nevezők azonosak legyenek. Ezt "közös nevezőre redukálásnak" hívják:

Hogyan! Honnan tudtam a 63-ról? Nagyon egyszerű! A 63 egy olyan szám, amely egyenlően osztható 7-tel és 9-cel egyszerre. Ilyen szám mindig megkapható a nevezők szorzásával. Ha egy számot megszorozunk például 7-tel, akkor az eredményt biztosan elosztjuk 7-tel!

Ha több törtet kell összeadni (kivonni), akkor ezt nem kell párban, lépésről lépésre megtenni. Csak meg kell találnia azt a nevezőt, amely minden törtre közös, és minden törtet ugyanarra a nevezőre kell hoznia. Például:

És mi lesz a közös nevező? Természetesen megszorozhat 2-t, 4-et, 8-at és 16-ot. 1024-et kapunk. Rémálom. Könnyebb megbecsülni, hogy a 16-os szám tökéletesen osztható 2-vel, 4-gyel és 8-cal, ezért ezekből a számokból könnyen 16-ot kaphatunk, ez a szám lesz a közös nevező. Váltsunk 1/2-ből 8/16-ra, 3/4-ből 12/16-ra, és így tovább.

Egyébként ha az 1024-et vesszük közös nevezőnek, akkor is minden sikerül, a végén minden lecsökken. Csak nem mindenki jut el idáig, a számítások miatt...

Oldja meg a példát saját maga. Nem logaritmus... 29/16-nak kellene lennie.

Szóval, a törtek összeadásával (kivonásával) egyértelmű, remélem? Természetesen egyszerűbb a rövidített változatban dolgozni, további szorzókkal. De ez az öröm azok számára elérhető, akik becsületesen dolgoztak az alsóbb osztályokban ... És nem felejtettek el semmit.

És most ugyanazokat a műveleteket fogjuk elvégezni, de nem törtekkel, hanem a törtkifejezések. Itt lesznek új gereblyék, igen...

Tehát két tört kifejezést kell hozzáadnunk:

A nevezőket azonossá kell tennünk. És csak segítséggel szorzás! Tehát a tört fő tulajdonsága azt mondja. Ezért nem tudok egyet hozzáadni az x-hez a nevező első törtjében. (De jó lenne!). De ha megszorozod a nevezőket, meglátod, minden összenő! Tehát felírjuk a tört sorát, felül hagyunk egy üres helyet, majd hozzáadjuk, és alá írjuk a nevezők szorzatát, hogy ne felejtsük el:

És természetesen nem szorozunk semmit a jobb oldalon, nem nyitunk zárójeleket! És most, a jobb oldal közös nevezőjét nézve, azt gondoljuk: ahhoz, hogy az x (x + 1) nevezőt megkapjuk az első törtben, meg kell szoroznunk ennek a törtnek a számlálóját és nevezőjét (x + 1) . És a második törtben - x. Ezt kapod:

Jegyzet! Itt vannak a zárójelek! Ez az a gereblye, amelyre sokan rálépnek. Természetesen nem zárójelben, hanem a hiányukban. A zárójelek azért jelennek meg, mert szaporodunk az egész számláló és az egész névadó! És nem az egyes darabjaik...

A jobb oldali számlálóba írjuk a számlálók összegét, minden úgy van, mint a numerikus törtekben, majd a jobb oldali számlálóban nyissuk ki a zárójeleket, i. mindent megszoroz, és hasonlót ad. Nem kell a nevezőkben a zárójeleket kinyitni, nem kell szorozni valamit! Általában nevezőben (bármilyen) a termék mindig kellemesebb! Kapunk:

Itt kaptuk a választ. A folyamat hosszúnak és nehéznek tűnik, de a gyakorlattól függ. Oldj meg példákat, szokj hozzá, minden egyszerű lesz. Akik elsajátították a törteket kellő időben, mindezeket a műveleteket egy balra kell elvégezni, a gépen!

És még egy megjegyzés. Sokan híresen foglalkoznak a törtekkel, de ragaszkodnak a példákhoz egész számok. Típus: 2 + 1/2 + 3/4= ? Hova kell rögzíteni a kettőt? Nem kell sehova rögzíteni, egy kettesből töredéket kell készíteni. Nem könnyű, nagyon egyszerű! 2=2/1. Mint ez. Bármely egész szám felírható törtként. A számláló maga a szám, a nevező egy. A 7 az 7/1, a 3 a 3/1 és így tovább. Ugyanez a helyzet a betűkkel. (a + b) \u003d (a + b) / 1, x \u003d x / 1 stb. És akkor ezekkel a törtekkel dolgozunk az összes szabály szerint.

Nos, összeadáskor - a törtek kivonásával a tudás felfrissült. A törtek átalakítása egyik típusból a másikba - ismételve. Azt is ellenőrizheti. leszámolunk egy kicsit?)

Kiszámítja: