Hogyan oldjunk meg példákat vegyes törtszámmal. Különböző nevezőjű törtek kivonása

Törtek szorzása és osztása.

Figyelem!
Vannak további
anyag az 555. külön szakaszban.
Azoknak, akik erősen "nem nagyon..."
És azoknak, akik "nagyon...")

Ez a művelet sokkal szebb, mint az összeadás-kivonás! Mert az könnyebb. Emlékeztetlek: a tört törttel való szorzásához meg kell szorozni a számlálókat (ez lesz az eredmény számlálója) és a nevezőket (ez lesz a nevező). Azaz:

Például:

Minden rendkívül egyszerű. És kérlek, ne keress közös nevezőt! Nem kell ide...

Egy tört törttel való osztásához meg kell fordítania második(ez fontos!) tört, és szorozza meg őket, azaz:

Például:

Ha az egész számokkal és törtekkel való szorzást vagy osztást elkaptuk, az rendben van. Akárcsak az összeadásnál, egész számból törtet készítünk, amelynek nevezője egy egység – és menj! Például:

A középiskolában gyakran kell megküzdenie a háromemeletes (vagy akár négyemeletes!) törtekkel. Például:

Hogyan lehet ezt a törtet tisztességes formára hozni? Igen, ez nagyon egyszerű! Használja a két ponton keresztüli osztást:

De ne feledkezzünk meg a felosztási sorrendről sem! A szorzással ellentétben itt ez nagyon fontos! Természetesen nem fogjuk összekeverni a 4:2-t és a 2:4-et sem. De egy háromemeletes töredékben könnyű hibázni. Kérjük, vegye figyelembe például:

Az első esetben (kifejezés a bal oldalon):

A másodikban (kifejezés a jobb oldalon):

Érezd a különbséget? 4 és 1/9!

Mi a felosztás sorrendje? Vagy zárójelek, vagy (mint itt) a vízszintes kötőjelek hossza. Fejleszteni egy szemet. És ha nincsenek zárójelek vagy kötőjelek, például:

majd oszd-szorozd sorrendben, balról jobbra!

És nagyon egyszerű és fontos trükk. A diplomás akciókban jól fog jönni neked! Ossza el az egységet tetszőleges törttel, például 13/15-tel:

A lövés megfordult! És ez mindig megtörténik. Ha 1-et tetszőleges törttel osztunk, az eredmény ugyanaz a tört, csak megfordítva.

Ennyi a törtekkel végzett művelet. A dolog meglehetősen egyszerű, de több mint elég hibát ad. jegyzet gyakorlati tanácsokat, és ezek (hibák) kevesebbek lesznek!

Gyakorlati tippek:

1. A törtkifejezésekkel való munka során a legfontosabb a pontosság és a figyelmesség! Ezek nem közönséges szavak, nem jókívánságok! Ez súlyos igény! Végezzen minden számítást a vizsgán teljes értékű feladatként, koncentráltan és világosan. Jobb két extra sort írni egy piszkozatba, mint fejben számolgatni.

2. A példákban -val különböző típusok törtek - lépjen a közönséges törtekre.

3. Az összes törtet ütközésig csökkentjük.

4. A többszintű törtkifejezéseket kétpontos osztással redukáljuk közönségessé (követjük az osztás sorrendjét!).

5. Gondolatban törtre osztjuk az egységet, egyszerűen a tört megfordításával.

Itt vannak az elvégzendő feladatok. A válaszok minden feladat után megérkeznek. Használja a téma anyagait és gyakorlati tanácsait. Becsülje meg, hány példát tud helyesen megoldani. Első alkalommal! Számológép nélkül! És vonja le a megfelelő következtetéseket...

Emlékezzen a helyes válaszra a második (főleg a harmadik) alkalomból szerzett - nem számít! Ilyen a kemény élet.

Így, vizsga módban oldja meg ! Ez egyébként a vizsgára való felkészülés. Megoldunk egy példát, ellenőrizzük, megoldjuk a következőket. Mindent eldöntöttünk – újra ellenőriztük az elsőtől az utolsóig. De csak után nézd meg a válaszokat.

Kiszámítja:

Döntött?

Olyan válaszokat keres, amelyek megfelelnek a tiédnek. Kifejezetten összevissza írtam őket, távol a kísértéstől, hogy úgy mondjam... Itt vannak, pontosvesszővel leírva a válaszok.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

És most levonjuk a következtetéseket. Ha minden sikerült - örülök neked! Az elemi számítások törtekkel nem a te problémád! Komolyabb dolgokat is csinálhatsz. Ha nem...

Tehát két probléma közül az egyik van. Vagy mindkettőt egyszerre.) Tudáshiány és (vagy) figyelmetlenség. De ez megoldható Problémák.

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanulás – érdeklődéssel!)

függvényekkel, származékokkal ismerkedhet meg.

Műveletek törtekkel. Ebben a cikkben példákat elemezünk, mindent részletesen és magyarázatokkal. A közönséges törteket fogjuk figyelembe venni. A jövőben tizedesjegyeket fogunk elemezni. Azt javaslom, hogy nézze meg az egészet, és tanulmányozza egymás után.

1. Törtek összege, törtek különbsége.

Szabály: egyenlő nevezőjű törtek összeadásakor az eredmény egy tört - amelynek nevezője változatlan marad, számlálója pedig egyenlő lesz a törtek számlálóinak összegével.

Szabály: az azonos nevezőjű törtek különbségének kiszámításakor törtet kapunk - a nevező ugyanaz marad, és a második számlálóját kivonjuk az első tört számlálójából.

Az egyenlő nevezőjű törtek összegének és különbségének formális jelölése:

Példák (1):

Nyilvánvaló, hogy ha közönséges törteket adnak, akkor minden egyszerű, de ha keverik? Semmi bonyolult...

1.opció- átalakíthatja őket közönségessé, majd kiszámíthatja őket.

2. lehetőség- külön "dolgozhat" az egész és a tört részekkel.

Példák (2):

Még:

És ha két vegyes tört különbsége adott, és az első tört számlálója kisebb, mint a másodiké? Kétféleképpen is megtehető.

Példák (3):

* Lefordítva közönséges törtekre, kiszámítva a különbséget, a kapott nem megfelelő törtet vegyes frakcióvá alakítva.

* Egész és tört részekre osztva, hármat kapott, majd 3-at mutatott be 2 és 1 összegeként, a mértékegységet 11/11-ként, majd megállapította a 11/11 és 7/11 közötti különbséget, és kiszámította az eredményt. A fenti transzformációk jelentése az, hogy vegyük (kiválasztjuk) az egységet és törtként mutassuk be a számunkra szükséges nevezővel, majd ebből a törtből már levonhatunk egy másikat.

Egy másik példa:

Következtetés: létezik egy univerzális megközelítés - az egyenlő nevezőjű vegyes törtek összegének (különbségének) kiszámításához mindig átválthatók nem megfelelőekké, majd végrehajthatók szükséges intézkedés. Ezt követően, ha ennek eredményeként nem megfelelő törtet kapunk, azt vegyesre fordítjuk.

A fentiekben példákat néztünk meg olyan törtekkel, amelyeknek azonos nevezője van. Mi van, ha a nevezők különböznek? Ebben az esetben a törteket ugyanarra a nevezőre redukáljuk, és végrehajtjuk a megadott műveletet. Egy tört megváltoztatásához (átalakításához) a tört fő tulajdonságát használjuk.

Tekintsünk egyszerű példákat:

Ezekben a példákban azonnal látjuk, hogy az egyik tört hogyan alakítható át egyenlő nevezőkre.

Ha kijelöljük a törtek egy nevezőre való csökkentésének módjait, akkor ezt hívják meg ELSŐ MÓDSZER.

Vagyis a tört „kiértékelésekor” azonnal ki kell találnia, hogy egy ilyen megközelítés működni fog - ellenőrizzük, hogy a nagyobb nevező osztható-e a kisebbel. És ha fel van osztva, akkor végrehajtjuk az átalakítást - megszorozzuk a számlálót és a nevezőt úgy, hogy mindkét tört nevezője egyenlő legyen.

Most nézze meg ezeket a példákat:

Ez a megközelítés rájuk nem vonatkozik. Vannak más módszerek is a törtek közös nevezőre való csökkentésére, fontolja meg ezeket.

MÁSODIK módszer.

Szorozzuk meg az első tört számlálóját és nevezőjét a második nevezőjével, a második tört számlálóját és nevezőjét pedig az első nevezőjével:

*Valójában törteket hozunk a formába, amikor a nevezők egyenlővé válnak. Ezután alkalmazzuk azt a szabályt, hogy a félénkeket egyenlő nevezőkkel adjuk hozzá.

Példa:

*Ez a módszer univerzálisnak nevezhető, és mindig működik. Az egyetlen negatívum, hogy a számítások után kiderülhet egy töredék, amelyet tovább kell csökkenteni.

Vegyünk egy példát:

Látható, hogy a számláló és a nevező osztható 5-tel:

HARMADIK módszer.

Keresse meg a nevezők legkisebb közös többszörösét (LCM). Ez lesz a közös nevező. Mi ez a szám? Ez a legkisebb természetes szám, amely osztható az egyes számokkal.

Nézze, itt van két szám: 3 és 4, sok szám osztható velük - ezek 12, 24, 36, ... A legkisebb közülük a 12. Vagy a 6 és 15, 30, 60, 90 osztható velük.... Legkevesebb 30. Kérdés - hogyan határozható meg ez a legkisebb közös többszörös?

Van egy világos algoritmus, de gyakran ez azonnal elvégezhető számítások nélkül. Például a fenti példák szerint (3 és 4, 6 és 15) nincs szükség algoritmusra, nagy számokat vettünk (4 és 15), megdupláztuk, és azt láttuk, hogy oszthatók a második számmal, de számpárok. lehetnek mások, például 51 és 119.

Algoritmus. Több szám legkisebb közös többszörösének meghatározásához a következőket kell tennie:

- az egyes számokat SIMPLE tényezőkre bontani

- írd ki belőlük a NAGYOBB dekompozícióját

- szorozza meg más számok HIÁNYZÓ tényezőivel

Vegye figyelembe a példákat:

50 és 60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

bomlásban több hiányzik egy ötös

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 és 72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

nagyobb szám bővítésében kettő és három hiányzik

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Két prímszám legkisebb közös többszöröse egyenlő a szorzatukkal

Kérdés! És miért hasznos megtalálni a legkisebb közös többszöröst, mert használhatja a második módszert, és egyszerűen csökkentheti a kapott törtet? Igen, megteheti, de ez nem mindig kényelmes. Nézze meg, mi lesz a 48-as és 72-es szám nevezője, ha egyszerűen megszorozza őket 48∙72 = 3456-tal. Egyetért azzal, hogy kellemesebb kisebb számokkal dolgozni.

Vegye figyelembe a példákat:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

nagyobb szám bővítésében hiányzik egy hármas

=> LCM(51,119) = 3∙7∙17

És most alkalmazzuk az első módszert:

* Nézze meg a különbséget a számításokban, az első esetben van egy minimum, a másodikban pedig külön kell dolgozni egy darab papíron, és még a kapott töredéket is csökkenteni kell. Az LCM megtalálása jelentősen leegyszerűsíti a munkát.

További példák:

* A második példában már világos, hogy a legkisebb 40-zel és 60-zal osztható szám 120.

TELJES! ÁLTALÁNOS SZÁMÍTÁSI ALGORITMUS!

- törteket adunk a közönségesekhez, ha van egész rész.

- törteket hozunk közös nevezőre (először megnézzük, hogy az egyik nevező osztható-e a másikkal, ha osztható, akkor ennek a másik törtnek a számlálóját és nevezőjét megszorozzuk; ha nem osztható, akkor a másikon keresztül cselekszünk fent említett módszerek).

- egyenlő nevezőjű törteket kapva műveleteket hajtunk végre (összeadás, kivonás).

- szükség esetén csökkentjük az eredményt.

- ha szükséges, válassza ki a teljes részt.

2. Törtek szorzata.

A szabály egyszerű. A törtek szorzásakor a számlálóikat és a nevezőiket szorozzuk:

Példák:

A cikkben megmutatjuk hogyan kell a törteket megoldani egyszerű világos példákkal. Értsük meg, mi a tört, és gondoljuk át törtek megoldása!

koncepció törtek középiskola 6. osztályától kerül be a matematika tantárgyba.

A törtek így néznek ki: ±X / Y, ahol Y a nevező, azt mutatja meg, hogy az egész hány részre lett felosztva, X a számláló pedig azt, hogy hány ilyen részt vettek fel. Az érthetőség kedvéért vegyünk egy példát egy tortával:

Az első esetben a tortát egyformán felvágták, és az egyik felét vették, i.e. 1/2. A második esetben a tortát 7 részre vágták, ebből 4 részt vettek, i.e. 4/7.

Ha az egyik szám egy másikkal való osztásának része nem egész szám, akkor törtként írjuk le.

Például a 4:2 \u003d 2 kifejezés egész számot ad, de a 4:7 nem teljesen osztható, ezért ezt a kifejezést 4/7 törtként írjuk.

Más szavakkal töredék egy kifejezés, amely két szám vagy kifejezés felosztását jelöli, és amelyet perjellel írnak.

Ha a számláló kisebb, mint a nevező, akkor a tört helyes, ha fordítva, akkor helytelen. Egy tört egész számot tartalmazhat.

Például 5 egész 3/4.

Ez a bejegyzés azt jelenti, hogy a teljes 6 megszerzéséhez nem elég a négyből egy rész.

Ha emlékezni akarsz hogyan kell törteket megoldani a 6. osztály számára ezt meg kell értened törtek megoldása alapvetően néhány egyszerű dolog megértése.

• A tört lényegében egy tört kifejezése. Azaz numerikus kifejezés hogy egy adott érték mekkora része egy egészből. Például a 3/5 tört azt fejezi ki, hogy ha valami egészet 5 részre osztunk, és ennek az egésznek a részei vagy részei három.
• Egy tört lehet kisebb is, mint 1, például 1/2 (vagy lényegében fele), akkor helyes. Ha a tört nagyobb mint 1, például 3/2 (három fél vagy másfél), akkor ez hibás, és a megoldás egyszerűsítése érdekében jobb, ha a teljes részt választjuk ki 3/2= 1 egész 1 /2.
• A törtek ugyanazok a számok, mint az 1, 3, 10, sőt 100 is, csak a számok nem egészek, hanem törtek. Ezekkel ugyanazokat a műveleteket hajthatja végre, mint a számokkal. A törtek számolása nem bonyolultabb, és tovább konkrét példák megmutatjuk.

Hogyan oldjuk meg a törteket. Példák.

A törtekre számos aritmetikai művelet alkalmazható.

Tört közös nevezőre hozása

Például össze kell hasonlítania a 3/4 és 4/5 törteket.

A feladat megoldásához először keressük meg a legkisebb közös nevezőt, azaz. a legkisebb szám, amely maradék nélkül osztható a törtek nevezőivel

A legkisebb közös nevező(4,5) = 20

Ezután mindkét tört nevezője a legkisebb közös nevezőre csökken

Válasz: 15/20

Törtek összeadása és kivonása

Ha két tört összegét kell kiszámítani, először közös nevezőre hozzuk, majd a számlálókat összeadjuk, miközben a nevező változatlan marad. A törtek különbségét hasonló módon vesszük figyelembe, az egyetlen különbség az, hogy a számlálókat kivonjuk.

Például meg kell találnia az 1/2 és 1/3 törtek összegét

Most keresse meg a különbséget az 1/2 és 1/4 törtek között

Törtek szorzása és osztása

Itt a törtek megoldása egyszerű, itt minden nagyon egyszerű:

• Szorzás - a törtek számlálóit és nevezőit megszorozzák egymás között;
• Osztás - először egy törtet kapunk, a második tört reciproka, azaz. felcseréljük a számlálóját és a nevezőjét, ami után a kapott törteket megszorozzuk.

Például:

Ezen kb hogyan kell a törteket megoldani, összes. Ha bármilyen kérdése van a törtek megoldása, valami nem világos, akkor írd meg a megjegyzésekben, és válaszolunk.

Ha Ön tanár, a prezentáció letölthető Általános Iskola(http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) hasznos lesz.

Most, hogy megtanultuk az egyes törtek összeadását és szorzását, többet is mérlegelhetünk összetett szerkezetek. Például mi van akkor, ha a törtek összeadása, kivonása és szorzása egy feladatban történik?

Először is az összes törtet helytelenné kell konvertálnia. Ezután egymás után végrehajtjuk a szükséges műveleteket - ugyanabban a sorrendben, mint a közönséges számoknál. Ugyanis:

1. Először a hatványozást hajtják végre - megszabadulni az összes kitevőt tartalmazó kifejezéstől;
2. Ezután - osztás és szorzás;
3. Az utolsó lépés az összeadás és kivonás.

Természetesen, ha a kifejezésben zárójelek vannak, a műveletek sorrendje megváltozik - először mindent figyelembe kell venni, ami a zárójelben van. És ne feledje a helytelen törteket: csak akkor kell kijelölnie a teljes részt, ha az összes többi művelet már befejeződött.

Fordítsuk le az első kifejezés összes törtjét nem megfelelőre, majd hajtsuk végre a következő műveleteket:

Most keressük meg a második kifejezés értékét. Egész résszel rendelkező törtek nincsenek, zárójelek viszont vannak, ezért először összeadást, majd osztást hajtunk végre. Vegye figyelembe, hogy 14 = 7 2 . Akkor:

Végül nézzük a harmadik példát. Itt vannak zárójelek és diploma - jobb külön számolni. Ha 9 = 3 3 , akkor a következőt kapjuk:

Ügyeljen az utolsó példára. A tört hatványra emeléséhez külön kell emelni a számlálót erre a hatványra, és külön a nevezőt.

Dönthetsz másként is. Ha visszaemlékezünk a fokozat meghatározására, a probléma a törtek szokásos szorzására redukálódik:

Többszintű törtek

Eddig csak a "tiszta" törteket vettük figyelembe, amikor a számláló és a nevező az hétköznapi számok. Ez összhangban van a numerikus tört legelső leckében adott definíciójával.

De mi van akkor, ha egy összetettebb objektumot helyezünk a számlálóba vagy a nevezőbe? Például egy másik számtört? Az ilyen konstrukciók gyakran előfordulnak, különösen hosszú kifejezésekkel való munka során. Íme néhány példa:

Csak egy szabály van a többszintes frakciókkal való munkavégzéshez: azonnal meg kell szabadulnia tőlük. Az "extra" padlók eltávolítása meglehetősen egyszerű, ha emlékszel arra, hogy a törtsáv a szabványos osztási műveletet jelenti. Ezért bármely tört átírható a következőképpen:

Ezt a tényt felhasználva és az eljárást követve bármely többszintes törtet könnyedén le tudjuk redukálni egy normálra. Vessen egy pillantást a példákra:

Egy feladat. A többszintű törtek átalakítása gyakori törtekké:

Minden esetben átírjuk a főtörtet, az osztóvonalat osztásjelre cserélve. Ne feledje azt is, hogy bármely egész szám ábrázolható törtként 1-es nevezővel. 12 = 12/1; 3 = 3/1. Kapunk:

Az utolsó példában a törteket csökkentettük a végső szorzás előtt.

A többszintes törtekkel való munka sajátosságai

A többszintes törteknél van egy finomság, amelyet mindig emlékezni kell, különben rossz választ kaphat, még akkor is, ha minden számítás helyes volt. Nézd meg:

1. A számlálóban külön szám van 7, a nevezőben pedig a tört 12/5;
2. A számláló a 7/12-es tört, a nevező pedig az egyes szám 5.

Tehát egy lemezre két teljesen különböző értelmezést kaptunk. Ha számolsz, a válaszok is eltérőek lesznek:

Annak érdekében, hogy a rekord mindig egyértelműen olvasható legyen, használjon egy egyszerű szabályt: a fő tört elválasztó vonalának hosszabbnak kell lennie, mint a beágyazott sor. Lehetőleg többször.

Ha követi ezt a szabályt, akkor a fenti törteket a következőképpen kell írni:

Igen, valószínűleg csúnya, és túl sok helyet foglal. De jól fogsz számolni. Végül néhány példa, ahol valóban előfordulnak többszintű törtek:

Egy feladat. Kifejezésértékek keresése:

Tehát dolgozzunk az első példával. Alakítsuk át az összes törtet helytelenné, majd hajtsuk végre az összeadás és osztás műveleteit:

Tegyük ugyanezt a második példával is. Alakítsa át az összes törtet helytelenné, és hajtsa végre a szükséges műveleteket. Hogy ne untassam az olvasót, kihagyok néhány kézenfekvő számítást. Nekünk van:

Tekintettel arra, hogy a főtörtek számlálója és nevezője összegeket tartalmaz, a többszintes törtek írásának szabálya automatikusan betartásra kerül. Szintén az utolsó példában szándékosan hagytuk meg a 46/1 számot tört alakban az osztás végrehajtása érdekében.

Azt is megjegyzem, hogy mindkét példában a törtsáv valójában a zárójeleket helyettesíti: először is megtaláltuk az összeget, és csak ezután - a hányadost.

Valaki azt fogja mondani, hogy a helytelen törtekre való áttérés a második példában egyértelműen felesleges volt. Talán ez a helyzet. De így biztosítjuk magunkat a hibák ellen, mert a következő alkalommal sokkal bonyolultabbnak bizonyulhat a példa. Válassza ki magának, mi a fontosabb: a gyorsaság vagy a megbízhatóság.

Töredék- egy szám, amely egy egész számú törtszámból áll, és a következőképpen ábrázolható: a / b

Törtszámláló (a)- a tört sora feletti szám, amely mutatja azon részvények számát, amelyekre az egységet felosztották.

Tört nevező (b)- a tört sora alatti szám, amely azt mutatja, hogy hány részre osztották az egységet.

2. Törtek közös nevezőre hozása

3. Aritmetikai műveletek közönséges törtekkel

3.1. Kiegészítés közönséges törtek

3.2. Közönséges törtek kivonása

3.3. Közönséges törtek szorzása

3.4. Közönséges törtek felosztása

4. Reciprok számok

5. Tizedesjegyek

6. Aritmetikai műveletek tizedes törtekkel

6.1. Tizedesjegyek hozzáadása

6.2. Tizedesjegyek kivonása

6.3. Tizedes szorzás

6.4. Tizedes osztás

#egy. A tört alaptulajdonsága

Ha egy tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal a számmal szorozzuk vagy osztjuk, nulla, akkor az adott törtet kapja.

3/7=3*3/7*3=9/21, azaz 3/7=9/21

a/b=a*m/b*m - így néz ki egy tört fő tulajdonsága.

Más szóval, az eredeti tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal a természetes számmal megszorozva vagy elosztva az adott törtet kapjuk.

Ha egy ad=bc, akkor két tört a/b =c /d egyenlőnek számítanak.

Például a 3/5 és 9/15 törtek egyenlőek lesznek, mivel 3*15=5*9, azaz 45=45

Frakciócsökkentés egy tört cseréjének folyamata, amelyben az új tört megegyezik az eredetivel, de kisebb számlálóval és nevezővel.

A törteket a tört fő tulajdonsága alapján szokás redukálni.

Például, 45/60=15/ ​ ​20 =9/12=3/4 ​ ​ ​ (a számláló és a nevező osztható 3-mal, 5-tel és 15-tel).

redukálhatatlan tört a forma töredéke 3/4 ​ ​ , ahol a számláló és a nevező kölcsönösen prímszámok. A frakcióredukció fő célja a tört redukálhatatlanná tétele.

2. Törtek redukálása közös nevezőre

Két tört közös nevezőre hozása:

1) bontsa fel az egyes törtek nevezőjét prímtényezőkre;

2) szorozd meg az első tört számlálóját és nevezőjét a hiányzókkal!

a második nevező bővüléséből származó tényezők;

3) szorozza meg a második tört számlálóját és nevezőjét az első bővítésből hiányzó tényezőkkel.

Példák: Csökkentse a törteket közös nevezőre.

Bontsuk fel a nevezőket prímtényezőkre: 18=3∙3∙2, 15=3∙5

A tört számlálóját és nevezőjét megszoroztuk a második dekompozícióból hiányzó 5-tel.

a tört számlálója és nevezője az első bővítésből hiányzó 3. és 2. tényezővel.

=, 90 a törtek közös nevezője.

3. Aritmetikai műveletek közönséges törtekkel

3.1. Közönséges frakciók hozzáadása

a) Azonos nevezők esetén az első tört számlálóját hozzáadjuk a második tört számlálójához, így a nevező változatlan marad. Ahogy a példában is látható:

a/b+c/b=(a+c)/b ​ ​ ;

b) Különböző nevezőkkel a törteket először közös nevezőre redukáljuk, majd az a) szabály szerint összeadjuk a számlálókat:

7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12

3.2. Közönséges törtek kivonása

a) Ugyanazokkal a nevezőkkel vonja ki a második tört számlálóját az első tört számlálójából úgy, hogy a nevező változatlan marad:

a/b-c/b=(a-c)/b ​ ​ ;

b) Ha a törtek nevezői eltérőek, akkor először a törteket redukáljuk közös nevezőre, majd ismételjük meg az a) bekezdésben leírt lépéseket.

3.3. Közönséges törtek szorzása

A törtek szorzása a következő szabálynak megfelel:

a/b*c/d=a*c/b*d,

vagyis külön szorozzuk meg a számlálókat és a nevezőket.

Például:

3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.

3.4. Közönséges törtek felosztása

A törteket a következő módon osztjuk fel:

a/b:c/d=a*d/b*c,

azaz az a / b törtet megszorozzuk az adott reciprokával, azaz megszorozzuk d / c-vel.

Példa: 7/2:1/8=7/2*8/1=56/2=28

4. Reciprok számok

Ha egy a*b=1, akkor a b szám az fordított szám a számhoz.

Példa: a 9-es szám esetében fordítva 1/9 ​ ​ , mivel 9*1/9 = 1 , az 5-ös szám esetén - a reciproka 1/5 ​ ​ , mert 5* ​ 1/5 ​ ​ = 1 .

5. Tizedesjegyek

Decimális hívott megfelelő tört, melynek nevezője 10, 1000, 10000, …, 10^n 1 0 , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 , . . . , 1 0 ​ n​ ​ .

Például: 6/10 =0,6; 44/1000=0,044 ​ .

Ugyanígy nevezővel írják a helyteleneket 10^n vagy vegyes számok.

Például: 51/10= 5,1; 763/100=7,63

Tizedes tört formájában minden olyan közönséges tört szerepel, amelynek nevezője a 10-es szám bizonyos hatványának osztója.

nevező, amely a 10 szám egy bizonyos hatványának osztója.

Példa: 5 osztója 100-nak, tehát tört 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2 ​ 0 = 0 , 2 .

6. Aritmetikai műveletek tizedes törtekkel

6.1. Tizedesjegyek hozzáadása

Két tizedes tört hozzáadásához úgy kell elrendeznie őket, hogy ugyanazok a számjegyek és a vessző alatti vessző jelenjenek meg egymás alatt, majd a törteket közönséges számként kell hozzáadni.

6.2. Tizedesjegyek kivonása

Ugyanúgy működik, mint az összeadás.

6.3. Tizedes szorzás

Szorzáskor decimális számok elég a megadott számokat a vesszők (mint természetes számok) figyelmen kívül hagyásával megszorozni, és a kapott válaszban a jobb oldali vessző annyi számjegyet választ el, ahány tizedesvessző után van mindkét tényezőben összesen.

Végezzük el a 2,7 1,3-mal való szorzását. Nekünk van 27\cdot 13=351 2 7 ⋅ 1 3 = 3 5 1 . A két számjegyet jobb oldalon vesszővel választjuk el (az első és a második számjegy a tizedesvessző után egy számjegyet tartalmaz; 1+1=2 1 + 1 = 2 ). Ennek eredményeként azt kapjuk 2,7\cdot 1,3=3,51 2 , 7 ⋅ 1 , 3 = 3 , 5 1 .

Ha az eredmény kevesebb számjegy, mint amennyit vesszővel kell elválasztani, akkor a hiányzó nullákat írjuk elé, például:

A 10, 100, 1000-zel való szorzáshoz a tizedesvesszőt 1, 2, 3 számjeggyel jobbra kell mozgatni tizedes törtben (ha szükséges, bizonyos szám nullák).

Például: 1,47 \cdot 10 000 = 14 700 1 , 4 7 ⋅ 1 0 0 0 0 = 1 4 7 0 0 .

6.4. Tizedes osztás

A tizedes tört természetes számmal való osztása ugyanúgy történik, mint a természetes szám természetes számmal való osztása. Az egész rész felosztása után vessző kerül a privát mezőbe.

Ha az osztalék egész része kisebb, mint az osztó, akkor a válasz nulla egész szám, például:

Fontolja meg a tizedesjegy elosztását egy tizedessel. Tegyük fel, hogy 2,576-ot el kell osztanunk 1,12-vel. Először is megszorozzuk a tört osztóját és osztóját 100-zal, azaz a vesszőt jobbra mozgatjuk az osztóban és osztjuk annyi karakterrel, amennyi a tizedesvessző utáni osztóban van (ebben a példában , két). Ezután el kell osztania a 257,6 törtet a 112-es természetes számmal, vagyis a probléma a már megvizsgált esetre redukálódik:

Előfordul, hogy nem mindig sikerül a döntő decimális amikor az egyik számot elosztjuk a másikkal. Az eredmény egy végtelen tizedes. Ilyen esetekben lépjen a közönséges törtekre.

Például 2,8: 0,09= 28/10: 9/100= 28*100/10*9=2800/90=280/9= ​ 31 1/9 ​ ​ .