Sčítajte a násobte dané matice. Matrice

1. ročník, vyššia matematika, štúdium matice a základné úkony na nich. Tu systematizujeme základné operácie, ktoré možno vykonávať s maticami. Kde začať so zoznamovaním sa s matrikami? Samozrejme, od tých najjednoduchších vecí – definície, základné pojmy a jednoduché operácie. Uisťujeme vás, že matrikám bude rozumieť každý, kto sa im aspoň trochu venuje!

Definícia matice

Matrix je obdĺžniková tabuľka prvkov. No čo ak jednoduchým jazykom- tabuľka s číslami.

Typicky sa matice označujú veľkými písmenami s latinskými písmenami. Napríklad matica A , matica B a tak ďalej. Matice môžu byť rôzne veľkosti: obdĺžnikové, štvorcové, existujú aj riadkové matice a stĺpcové matice nazývané vektory. Veľkosť matice je určená počtom riadkov a stĺpcov. Napíšme napríklad obdĺžnikovú maticu veľkosti m na n , Kde m – počet riadkov a n – počet stĺpcov.

Položky, pre ktoré i=j (a11, a22, .. ) tvoria hlavnú uhlopriečku matice a nazývajú sa uhlopriečka.

Čo môžete robiť s matrikami? Pridať/Odčítať, vynásobiť číslom, množiť sa medzi sebou, transponovať. Teraz o všetkých týchto základných operáciách s maticami v poradí.

Operácie sčítania a odčítania matice

Okamžite vás upozorňujeme, že môžete pridať iba matice rovnakej veľkosti. Výsledkom bude matica rovnakej veľkosti. Pridávanie (alebo odčítanie) matíc je jednoduché - stačí sčítať ich zodpovedajúce prvky . Uveďme si príklad. Vykonajte sčítanie dvoch matíc A a B veľkosti dva krát dva.

Odčítanie sa vykonáva analogicky, iba s opačným znamienkom.

Každá matica môže byť vynásobená ľubovoľným číslom. Robiť to, musíte vynásobiť každý jeho prvok týmto číslom. Napríklad vynásobme maticu A z prvého príkladu číslom 5:

Operácia násobenia matice

Nie všetky matice sa dajú spolu násobiť. Napríklad máme dve matice - A a B. Vzájomne ich možno vynásobiť len vtedy, ak sa počet stĺpcov matice A rovná počtu riadkov matice B. V tomto prípade každý prvok výslednej matice, ktorý sa nachádza v i-tom riadku a j-tom stĺpci, sa bude rovnať súčtu súčinov zodpovedajúcich prvkov v i-tom riadku prvého faktora a j-tom stĺpci druhy. Aby sme pochopili tento algoritmus, napíšme si, ako sa násobia dve štvorcové matice:

A príklad s reálnymi číslami. Vynásobme matice:

Operácia maticovej transpozície

Maticová transpozícia je operácia, pri ktorej sa vymenia zodpovedajúce riadky a stĺpce. Napríklad transponujme maticu A z prvého príkladu:

Maticový determinant

Determinant alebo determinant je jedným zo základných pojmov lineárnej algebry. Kedysi ľudia prišli na to lineárne rovnice, a za nimi sme museli prísť s determinantom. Nakoniec je len na vás, ako sa s tým všetkým vysporiadate, takže posledný tlak!

Determinant je numerická charakteristika štvorcovej matice, ktorá je potrebná na riešenie mnohých problémov.
Ak chcete vypočítať determinant najjednoduchšej štvorcovej matice, musíte vypočítať rozdiel medzi produktmi prvkov hlavnej a sekundárnej uhlopriečky.

Determinant matice prvého rádu, ktorá pozostáva z jedného prvku, sa rovná tomuto prvku.

Čo ak je matica tri krát tri? Je to náročnejšie, ale dá sa to zvládnuť.

Pre takúto maticu sa hodnota determinantu rovná súčtu súčinov prvkov hlavnej uhlopriečky a súčinov prvkov ležiacich na trojuholníkoch s plochou rovnobežnou s hlavnou uhlopriečkou, z ktorých je súčin prvky vedľajšej uhlopriečky a súčin prvkov ležiacich na trojuholníkoch s plochou rovnobežnej vedľajšej uhlopriečky sa odčítajú.

Našťastie, počítanie determinantov matíc veľké veľkosti v praxi je to zriedka potrebné.

Tu sme sa pozreli na základné operácie s maticami. Samozrejme, v skutočný život možno sa nikdy nestretnete ani s náznakom maticový systém rovníc alebo naopak čeliť oveľa zložitejším prípadom, kedy si musíte poriadne polámať hlavu. Práve pre takéto prípady existujú profesionálne študentské služby. Požiadajte o pomoc, získajte kvalitu a podrobné riešenie, užite si akademický úspech a voľný čas.

Pridanie matice$ A $ a $ B $ je aritmetická operácia, v dôsledku ktorej by sa mala získať matica $ C $, ktorej každý prvok sa rovná súčtu zodpovedajúcich prvkov pridaných matíc:

$$ c_(ij) = a_(ij) + b_(ij) $$

Detailne Vzorec na sčítanie dvoch matíc vyzerá takto:

$$ A + B = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_( 32) & a_(33) \end(pmatrix) + \begin(pmatrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) & b_(33) \end(pmatrix) = $$

$$ = \begin(pmatrix) a_(11) + b_(11) & a_(12)+b_(12) & a_(13)+b_(13) \\ a_(21)+b_(21) & a_ (22)+b_(22) & a_(23)+b_(23) \\ a_(31)+b_(31) & a_(32)+b_(32) & a_(33)+b_(33) \ end(pmatrix) = C$$

Upozorňujeme, že môžete pridávať a odčítavať iba matice rovnakej dimenzie. So súčtom alebo rozdielom bude výsledkom matica $ C $ rovnakej dimenzie ako členy (odčítané) matíc $ A $ a $ B $. Ak sa matice $ A $ a $ B $ navzájom líšia veľkosťou, potom pridanie (odčítanie) takýchto matíc bude chybou!

Vzorec pridáva matice 3 x 3, čo znamená, že výsledkom by mala byť matica 3 x 3.

Odčítanie matícúplne podobný sčítaciemu algoritmu, len so znamienkom mínus. Každý prvok požadovanej matice $C$ sa získa odčítaním zodpovedajúcich prvkov matíc $A$ a $B$:

$$ c_(ij) = a_(ij) - b_(ij) $$

Zapíšme si podrobné vzorec na odčítanie dvoch matíc:

$$ A - B = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_( 32) & a_(33) \end(pmatrix) - \begin(pmatrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) & b_(33) \end(pmatrix) = $$

$$ = \begin(pmatrix) a_(11) - b_(11) & a_(12)-b_(12) & a_(13)-b_(13) \\ a_(21)-b_(21) & a_ (22)-b_(22) & a_(23)-b_(23) \\ a_(31)-b_(31) & a_(32)-b_(32) & a_(33)-b_(33) \ end(pmatrix) = C$$

Za zmienku tiež stojí, že matice nemôžete sčítať a odčítať s obyčajnými číslami, ako aj s niektorými ďalšími prvkami

Pre ďalšie riešenia úloh s maticami bude užitočné poznať vlastnosti sčítania (odčítania).

Vlastnosti

Ak sú matice $ A,B,C $ rovnakej veľkosti, potom sa na ne vzťahuje vlastnosť asociatívnosti: $$ A + (B + C) = (A + B) + C $$
Pre každú maticu existuje nulová matica, označená $ O $, po sčítaní (odčítaní), s ktorou sa pôvodná matica nemení: $$ A \pm O = A $$
Pre každú nenulovú maticu $ A $ existuje opačná matica $ (-A) $, ktorej súčet mizne: $ $ A + (-A) = 0 $ $
Pri sčítaní (odčítaní) matíc je povolená vlastnosť komutativity, to znamená, že matice $ A $ a $ B $ je možné zamieňať: $$ A + B = B + A $$ $$ A - B = B - A $$

Príklady riešení

Príklad 1
Dané matice $ A = \začiatok(pmatica) 2&3 \\ -1& 4 \end(pmatica) $ a $ B = \začiatok(pmatica) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmatica) $. Vykonajte sčítanie matice a potom odčítanie.
Riešenie
Najprv skontrolujeme rozmernosť matíc. Matica $ A $ má rozmer $ 2 \krát 2 $, druhá matica $ B $ má rozmer $ 2 \krát 2 $. To znamená, že s týmito maticami je možné vykonávať spoločnú operáciu sčítania a odčítania. Pripomeňme, že pre súčet je potrebné vykonať párové sčítanie zodpovedajúcich prvkov matíc $ A \text( a ) B $. $$ A + B = \začiatok(pmatica) 2&3 \\ -1& 4 \koniec(pmatica) + \začiatok(pmatica) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmatica) = $$ $$ = \začiatok(pmatica) 2 + 1 & 3 + (-3) \\ -1 + 2 & 4 + 5 \koniec(pmatica) = \začiatok(pmatica) 3 & 0 \\ 1 & 9 \end( pmatica) $$ Podobne ako pri súčte nájdeme rozdiel matíc nahradením znamienka „plus“ znamienkom „mínus“: $$ A - B = \začiatok(pmatica) 2&3 \\ -1& 4 \koniec(pmatica) + \začiatok(pmatica) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmatica) = $$ $$ = \začiatok(pmatica) 2 - 1 & 3 - (-3) \\ -1 - 2 & 4 - 5 \koniec(pmatica) = \začiatok(pmatica) 1 & 6 \\ -3 & -1 \ end(pmatrix) $$ Ak nemôžete vyriešiť svoj problém, pošlite nám ho. Poskytneme podrobné riešenie. Budete si môcť pozrieť priebeh výpočtu a získať informácie. Pomôže vám to získať známku od učiteľa včas!
Odpoveď
$$ A + B = \začiatok(pmatica) 3 & 0 \\ 1 & 9 \end(pmatica); A - B = \začiatok(pmatica) 1 & 6 \\ -3 & -1 \end(pmatica) $$

V článku: "Sčítanie a odčítanie matíc" definície, pravidlá, komentáre, vlastnosti operácií a praktické príklady riešenia.

Táto téma bude pokrývať operácie, ako je sčítanie a odčítanie matíc, násobenie matice číslom, násobenie matice maticou a transpozícia matice. Všetky symboly použité na tejto stránke sú prevzaté z predchádzajúcej témy.

Sčítanie a odčítanie matíc.

Súčet $A+B$ matíc $A_(m\krát n)=(a_(ij))$ a $B_(m\krát n)=(b_(ij))$ sa nazýva matica $C_(m \krát n) =(c_(ij))$, kde $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ pre všetky $i=\overline(1,m)$ a $j=\overline( 1, n) $.

Podobná definícia sa zavádza pre rozdiel matíc:

Rozdiel medzi maticami $A-B$ $A_(m\krát n)=(a_(ij))$ a $B_(m\krát n)=(b_(ij))$ je matica $C_(m\krát n)=( c_(ij))$, kde $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ pre všetky $i=\overline(1,m)$ a $j=\overline(1, n) $.

Vysvetlenie položky $i=\overline(1,m)$: show\hide

Zápis "$i=\overline(1,m)$" znamená, že parameter $i$ sa mení od 1 do m. Napríklad zápis $i=\overline(1,5)$ znamená, že parameter $i$ nadobúda hodnoty 1, 2, 3, 4, 5.

Stojí za zmienku, že operácie sčítania a odčítania sú definované len pre matice rovnakej veľkosti. Vo všeobecnosti sú sčítanie a odčítanie matíc operácie, ktoré sú intuitívne jasné, pretože v podstate znamenajú len sčítanie alebo odčítanie zodpovedajúcich prvkov.

Príklad č.1

Sú uvedené tri matice:

$$ A=\left(\začiatok(pole) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(pole) \vpravo)\;\; B=\left(\začiatok(pole) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(pole) \right); \;\; F=\left(\začiatok(pole) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(pole) \vpravo). $$

Je možné nájsť maticu $A+F$? Nájdite matice $C$ a $D$, ak $C=A+B$ a $D=A-B$.

Matica $A$ obsahuje 2 riadky a 3 stĺpce (inými slovami, veľkosť matice $A$ je $2\krát 3$) a matica $F$ obsahuje 2 riadky a 2 stĺpce. Veľkosti matíc $A$ a $F$ sa nezhodujú, preto ich nemôžeme sčítať, t.j. operácia $A+F$ nie je pre tieto matice definovaná.

Veľkosti matíc $A$ a $B$ sú rovnaké, t.j. maticové údaje obsahujú rovnaké množstvo riadky a stĺpce, takže na ne možno použiť operáciu sčítania.

$$ C=A+B=\left(\začiatok(pole) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(pole) \right)+ \left(\začiatok(pole ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(pole) \right)=\\= \left(\begin(pole) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(pole) \right)= \left(\začiatok(pole) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(pole) \vpravo) $$

Poďme nájsť maticu $D=A-B$:

$$ D=A-B=\left(\začiatok(pole) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(pole) \right)- \left(\začiatok(pole) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(pole) \right)=\\= \left(\začiatok(pole) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(pole) \right)= \left(\začiatok(pole) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \2 & 9 & 6 \end(pole) \vpravo) $$

Odpoveď: $C=\left(\začiatok(pole) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(pole) \right)$, $D=\left(\začiatok(pole) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(pole) \right)$.

Násobenie matice číslom.

Súčin matice $A_(m\krát n)=(a_(ij))$ číslom $\alpha$ je matica $B_(m\krát n)=(b_(ij))$, kde $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ pre všetky $i=\overline(1,m)$ a $j=\overline(1,n)$.

Jednoducho povedané, vynásobenie matice určitým číslom znamená vynásobenie každého prvku danej matice týmto číslom.

Príklad č.2

Matica je daná: $ A=\left(\begin(pole) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(pole) \right)$. Nájdite matice $3\cdot A$, $-5\cdot A$ a $-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\začiatok(pole) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(pole) \vpravo) =\left(\začiatok( pole) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(pole) \right)= \left(\začiatok(pole) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(pole) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\začiatok (pole) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(pole) \right) =\left(\začiatok(pole) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(pole) \right)= \left(\začiatok(pole) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(pole) \vpravo). $$

Zápis $-A$ je skrátený zápis pre $-1\cdot A$. To znamená, že ak chcete nájsť $-A$, musíte vynásobiť všetky prvky matice $A$ (-1). V podstate to znamená, že znamienko všetkých prvkov matice $A$ sa zmení na opak:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\začiatok(pole) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(pole) \right)= \ left(\začiatok(pole) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(pole) \right) $$

Odpoveď: $3\cdot A=\left(\začiatok(pole) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \koniec(pole) \vpravo);\; -5\cdot A=\left(\začiatok(pole) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \koniec(pole) \vpravo);\; -A=\left(\začiatok(pole) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(pole) \right)$.

Súčin dvoch matíc.

Definícia tejto operácie je ťažkopádna a na prvý pohľad nejasná. Preto najprv upozorním všeobecná definícia a potom sa podrobne pozrieme na to, čo to znamená a ako s tým pracovať.

Súčin matice $A_(m\krát n)=(a_(ij))$ maticou $B_(n\krát k)=(b_(ij))$ je matica $C_(m\krát k) )=(c_( ij))$, pre ktoré sa každý prvok $c_(ij)$ rovná súčtu súčinov zodpovedajúcich prvkov i-tý riadok matica $A$ do prvkov j-tého stĺpca matice $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_(p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Pozrime sa na násobenie matice krok za krokom na príklade. Mali by ste však okamžite poznamenať, že nie všetky matice sa dajú vynásobiť. Ak chceme maticu $A$ vynásobiť maticou $B$, tak sa najprv musíme uistiť, že počet stĺpcov matice $A$ sa rovná počtu riadkov matice $B$ (takéto matice sa často nazývajú dohodnuté). Napríklad maticu $A_(5\krát 4)$ (matica obsahuje 5 riadkov a 4 stĺpce) nemožno vynásobiť maticou $F_(9\krát 8)$ (9 riadkov a 8 stĺpcov), pretože číslo stĺpcov matice $A $ sa nerovná počtu riadkov matice $F$, t.j. $4\neq 9$. Maticu $A_(5\krát 4)$ však môžete vynásobiť maticou $B_(4\krát 9)$, pretože počet stĺpcov matice $A$ sa rovná počtu riadkov matice $ B$. V tomto prípade výsledkom vynásobenia matíc $A_(5\krát 4)$ a $B_(4\krát 9)$ bude matica $C_(5\krát 9)$ obsahujúca 5 riadkov a 9 stĺpcov:

Príklad č.3

Dané matice: $ A=\left(\začiatok(pole) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (pole) \right)$ a $ B=\left(\begin(pole) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(pole) \right) $. Nájdite maticu $C=A\cdot B$.

Najprv si okamžite určme veľkosť matice $C$. Keďže matica $A$ má veľkosť $3\krát 4$ a matica $B$ má veľkosť $4\krát 2$, potom veľkosť matice $C$ je: $3\krát 2$:

Takže ako výsledok súčinu matíc $A$ a $B$ by sme mali dostať maticu $C$ pozostávajúcu z troch riadkov a dvoch stĺpcov: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_ (11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(pole) \vpravo)$. Ak označenie prvkov vyvoláva otázky, môžete sa pozrieť na predchádzajúcu tému: „Typy matíc“, na začiatku ktorej je vysvetlené označenie prvkov matice. Náš cieľ: nájsť hodnoty všetkých prvkov matice $C$.

Začnime prvkom $c_(11)$. Ak chcete získať prvok $c_(11)$, musíte nájsť súčet súčinov prvkov prvého riadku matice $A$ a prvého stĺpca matice $B$:

Na nájdenie samotného prvku $c_(11)$ je potrebné vynásobiť prvky prvého riadku matice $A$ zodpovedajúcimi prvkami prvého stĺpca matice $B$, t.j. prvý prvok k prvému, druhý k druhému, tretí k tretiemu, štvrtý k štvrtému. Zhrnieme získané výsledky:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

Pokračujme v riešení a nájdime $c_(12)$. Aby ste to dosiahli, budete musieť vynásobiť prvky prvého riadku matice $A$ a druhého stĺpca matice $B$:

Podobne ako v predchádzajúcom máme:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

Všetky prvky prvého riadku matice $C$ boli nájdené. Prejdime na druhý riadok, ktorý začína prvkom $c_(21)$. Aby ste to našli, budete musieť vynásobiť prvky druhého riadku matice $A$ a prvého stĺpca matice $B$:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

Ďalší prvok $c_(22)$ nájdeme vynásobením prvkov druhého riadku matice $A$ zodpovedajúcimi prvkami druhého stĺpca matice $B$:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

Ak chcete nájsť $c_(31)$, vynásobte prvky tretieho riadku matice $A$ prvkami prvého stĺpca matice $B$:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

A nakoniec, aby ste našli prvok $c_(32)$, budete musieť vynásobiť prvky tretieho riadku matice $A$ zodpovedajúcimi prvkami druhého stĺpca matice $B$:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

Všetky prvky matice $C$ boli nájdené, zostáva už len napísať, že $C=\left(\begin(pole) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( pole) \vpravo)$ . Alebo, aby som napísal celé:

$$ C=A\cdot B =\left(\začiatok(pole) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(pole) \right)\cdot \left(\začiatok(pole) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(pole) \right) =\left(\začiatok(pole) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(pole) \vpravo). $$

Odpoveď: $C=\left(\začiatok(pole) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \koniec(pole) \vpravo)$.

Mimochodom, často nie je dôvod podrobne popisovať umiestnenie každého prvku výslednej matice. Pre matice, ktorých veľkosť je malá, môžete urobiť toto:

Za zmienku tiež stojí, že maticové násobenie je nekomutatívne. To znamená, že vo všeobecnom prípade $A\cdot B\neq B\cdot A$. Len pre niektoré typy matíc, ktoré sú tzv permutabilné(alebo dochádzanie), platí rovnosť $A\cdot B=B\cdot A$. Práve na základe nekomutatívnosti násobenia musíme presne uviesť, ako násobíme výraz konkrétnou maticou: vpravo alebo vľavo. Napríklad fráza „vynásobte obe strany rovnosti $3E-F=Y$ maticou $A$ vpravo“ znamená, že chcete získať nasledujúcu rovnosť: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.

Transponovaná vzhľadom na maticu $A_(m\krát n)=(a_(ij))$ je matica $A_(n\krát m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, pre prvky, ktoré $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

Jednoducho povedané, aby ste získali transponovanú maticu $A^T$, musíte nahradiť stĺpce v pôvodnej matici $A$ zodpovedajúcimi riadkami podľa tohto princípu: bol prvý riadok - bude prvý stĺpec ; bol druhý riadok - bude druhý stĺpec; bol tam tretí riadok - bude tam tretí stĺpec a tak ďalej. Napríklad nájdime transponovanú maticu na maticu $A_(3\krát 5)$:

Ak teda pôvodná matica mala veľkosť $3\krát 5$, potom transponovaná matica má veľkosť $5\krát 3$.

Niektoré vlastnosti operácií s maticami.

Tu sa predpokladá, že $\alpha$, $\beta$ sú nejaké čísla a $A$, $B$, $C$ sú matice. Pre prvé štyri vlastnosti som uviedol mená, ostatné možno pomenovať analogicky s prvými štyrmi.

$A+B=B+A$ (komutativita sčítania)
$A+(B+C)=(A+B)+C$ (asociatívnosť sčítania)
$(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (distributívnosť násobenia maticou vzhľadom na sčítanie čísel)
$\alpha\cdot(A+B)=\alfa A+\alpha B$ (distributívnosť násobenia číslom vzhľadom na sčítanie matice)
$A(BC)=(AB)C$
$(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)$
$A\cdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\cdot A=BA+CA$.
$A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$, kde $E$ je matica identity zodpovedajúcej objednávky.
$A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$, kde $O$ je nulová matica vhodnej veľkosti.
$\left(A^T \right)^T=A$
$(A+B)^T=A^T+B^T$
$(AB)^T=B^T\cdot A^T$
$\left(\alpha A \right)^T=\alpha A^T$

V ďalšej časti sa budeme zaoberať operáciou umocnenia matice na nezápornú celočíselnú mocninu a tiež vyriešime príklady, v ktorých je potrebné vykonať niekoľko operácií s maticami.

Toto je koncept, ktorý zhŕňa všetko možné operácie, vyrobené s matricami. Matematická matica - tabuľka prvkov. O stole kde m linky a n stĺpci, hovorí sa, že táto matica má rozmer m na n.

Celkový pohľad na maticu:

Pre matricové riešenia je potrebné pochopiť, čo je matica a poznať jej hlavné parametre. Hlavné prvky matice:

Hlavná uhlopriečka, pozostávajúca z prvkov 11, 22....mn.
Bočná uhlopriečka pozostávajúca z prvkov a 1n , a 2n-1 .....a m1.

Hlavné typy matríc:

Štvorec je matica, kde počet riadkov = počet stĺpcov ( m=n).
Nula – kde všetky prvky matice = 0.
Transponovaná matica - matica IN, ktorý bol získaný z pôvodnej matrice A nahradením riadkov stĺpcami.
Jednota - všetky prvky hlavnej uhlopriečky = 1, všetky ostatné = 0.
Inverzná matica je matica, ktorá po vynásobení pôvodnou maticou vedie k matici identity.

Matica môže byť symetrická vzhľadom na hlavnú a vedľajšiu uhlopriečku. Teda ak a 12 = a 21, a 13 = a 31,….a 23 =a 32…. a m-1n = a mn-1, potom je matica symetrická okolo hlavnej uhlopriečky. Symetrické môžu byť iba štvorcové matice.

Metódy riešenia matíc.

Takmer všetky metódy riešenia matíc spočívajú v hľadaní jej determinantu n rádu a väčšina z nich je dosť ťažkopádna. Na nájdenie determinantu 2. a 3. rádu existujú iné, racionálnejšie metódy.

Hľadanie determinantov 2. rádu.

Na výpočet determinantu matice A 2. rádu je potrebné odpočítať súčin prvkov vedľajšej uhlopriečky od súčinu prvkov hlavnej uhlopriečky:

Metódy hľadania determinantov 3. rádu.

Nižšie sú uvedené pravidlá na nájdenie determinantu 3. rádu.

Zjednodušené pravidlo trojuholníka ako jedného z metódy riešenia matíc, možno znázorniť takto:

Inými slovami, súčin prvkov v prvom determinante, ktoré sú spojené priamkami, sa berie so znamienkom „+“; Aj pre druhý determinant sa zodpovedajúce produkty berú so znamienkom „-“, to znamená podľa nasledujúcej schémy:

O riešenie matíc pomocou Sarrusovho pravidla, napravo od determinantu pridajte prvé 2 stĺpce a produkty zodpovedajúcich prvkov na hlavnej uhlopriečke a na uhlopriečkach, ktoré sú s ňou rovnobežné, sa vezmú so znamienkom „+“; a produkty zodpovedajúcich prvkov sekundárnej uhlopriečky a uhlopriečok, ktoré sú s ňou rovnobežné, so znamienkom „-“:

Rozloženie determinantu v riadku alebo stĺpci pri riešení matíc.

Determinant sa rovná súčtu súčinov prvkov radu determinantu a ich algebraických doplnkov. Zvyčajne sa vyberie riadok/stĺpec, ktorý obsahuje nuly. Riadok alebo stĺpec, pozdĺž ktorého sa rozklad uskutočňuje, bude označený šípkou.

Redukcia determinantu na trojuholníkový tvar pri riešení matíc.

O riešenie matíc spôsob redukcie determinantu na trojuholníkový tvar, fungujú takto: pomocou najjednoduchších transformácií na riadkoch alebo stĺpcoch sa determinant stane trojuholníkovým tvarom a potom sa jeho hodnota v súlade s vlastnosťami determinantu bude rovnať súčinu prvkov, ktoré sú na hlavnej diagonále.

Laplaceova veta na riešenie matíc.

Pri riešení matíc pomocou Laplaceovej vety potrebujete poznať samotnú vetu. Laplaceova veta: Nech Δ - to je determinant n- poradie. Vyberáme ľubovoľné k riadkov (alebo stĺpcov). k≤ n - 1. V tomto prípade súčet súčinov všetkých maloletých k-ty poriadok obsiahnutý vo vybranom k riadkov (stĺpcov), svojimi algebraickými doplnkami sa budú rovnať determinantu.

Riešenie inverznej matice.

Postupnosť akcií pre inverzné maticové riešenia:

Zistite, či je daná matica štvorcová. Ak je odpoveď záporná, je jasné, že pre ňu nemôže existovať inverzná matica.
Vypočítame algebraické doplnky.
Poskladáme zjednocovaciu (vzájomnú, adjungovanú) maticu C.
Inverznú maticu poskladáme z algebraických sčítaní: všetkých prvkov adjungovanej matice C deliť determinantom počiatočnej matice. Výsledná matica bude požadovaná inverzná matica vzhľadom k danej.
Skontrolujeme vykonanú prácu: vynásobíme počiatočnú maticu a výslednú maticu, výsledkom by mala byť matica identity.

Riešenie maticových systémov.

Pre riešenia maticových systémov Najčastejšie sa používa Gaussova metóda.

Gaussova metóda je štandardná metóda na riešenie lineárnych sústav algebraické rovnice(SLAE) a spočíva v tom, že premenné sú sekvenčne eliminované, t.j. pomocou elementárnych zmien sa sústava rovníc dostane do ekvivalentnej sústavy trojuholníkového tvaru a z nej postupne, počnúc od poslednej (číslom ), nájde sa každý prvok systému.

Gaussova metóda je najuniverzálnejším a najlepším nástrojom na hľadanie maticových riešení. Ak má systém nekonečný počet riešení alebo je systém nekompatibilný, nemožno ho vyriešiť pomocou Cramerovho pravidla a maticovej metódy.

Gaussova metóda tiež zahŕňa priame (redukovanie rozšírenej matice na stupňovitú formu, t. j. získanie núl pod hlavnou uhlopriečkou) a spätné (získanie núl nad hlavnou diagonálou rozšírenej matice) pohyby. Pohyb vpred je Gaussova metóda, spätný pohyb je Gauss-Jordanova metóda. Gauss-Jordanova metóda sa od Gaussovej metódy líši len v postupnosti eliminácie premenných.

Matice, oboznámte sa s jej základnými pojmami. Určujúcimi prvkami matice sú jej uhlopriečky a bočné uhlopriečky. Domov začína prvkom v prvom riadku, prvom stĺpci a pokračuje k prvku v poslednom stĺpci, poslednom riadku (to znamená, že prechádza zľava doprava). Bočná diagonála začína naopak v prvom riadku, ale v poslednom stĺpci a pokračuje k prvku, ktorý má súradnice prvého stĺpca a posledného riadku (prechádza sprava doľava).

Ak chcete prejsť k nasledujúcim definíciám a algebraickým operáciám s maticami, preštudujte si typy matíc. Najjednoduchšie sú štvorcové, jednotkové, nulové a inverzné. Počet stĺpcov a riadkov sa zhoduje. Transponovaná matica, nazvime ju B, sa získa z matice A nahradením stĺpcov riadkami. V jednotke sú všetky prvky hlavnej uhlopriečky jednotky a ostatné sú nuly. A v nule sú aj prvky uhlopriečok nulové. inverzná matica- to je ten, pre ktorý sa pôvodná matica dostane do jednotkového tvaru.

Matica môže byť tiež symetrická okolo hlavnej alebo vedľajšej osi. To znamená, že prvok so súradnicami a(1;2), kde 1 je číslo riadku a 2 je číslo stĺpca, sa rovná a(2;1). A(3;1)=A(1;3) a tak ďalej. Zodpovedajúce matice sú také matice, v ktorých sa počet stĺpcov jedného rovná počtu riadkov druhého (takéto matice možno násobiť).

Hlavné činnosti, ktoré možno vykonať s maticami, sú sčítanie, násobenie a nájdenie determinantu. Ak majú matice rovnakú veľkosť, to znamená, že majú rovnaký počet riadkov a stĺpcov, možno ich pridať. Je potrebné pridať prvky, ktoré sú v maticiach na rovnakých miestach, to znamená pridať a (m; n) s c v (m; n), kde m a n sú zodpovedajúce súradnice stĺpca a riadku. Pri sčítavaní matíc platí hlavné pravidlo bežného aritmetického sčítania - pri zmene miest členov sa súčet nemení. Ak teda namiesto jednoduchého prvku a existuje výraz a + b, potom ho možno pridať k prvku c inej súmernej matice podľa pravidiel a + (b + c) = (a + b) + c.

Vyššie uvedené zhodné matice môžete vynásobiť. Takto vznikne matica, kde každý prvok je súčtom párovo vynásobených prvkov radu matice A a stĺpca matice B. Pri násobení je poradie akcií veľmi dôležité. m*n sa nerovná n*m.

Jednou z hlavných akcií je aj hľadanie. Nazýva sa aj determinant a označuje sa takto: det. Táto hodnota je určená modulo, to znamená, že nikdy nie je záporná. Najjednoduchší spôsob, ako nájsť determinant, je štvorcová matica 2x2. Aby ste to dosiahli, musíte vynásobiť prvky hlavnej uhlopriečky a odpočítať od nich vynásobené prvky vedľajšej uhlopriečky.