Hodina matematiky na tému „ploché a trojrozmerné geometrické telesá“. Veľká encyklopédia ropy a zemného plynu

Späť dopredu

Pozor! Ukážka snímky slúži len na informačné účely a nemusí predstavovať celý rozsah prezentácie. Ak máš záujem táto práca prosím stiahnite si plnú verziu.

Cieľ:

• prehlbovanie a rozširovanie predstáv detí o plochých a objemných predmetoch; porovnávať ich a identifikovať rozdiely medzi nimi;
• identifikácia a zovšeobecnenie vedomostí žiakov o geometrických útvaroch a ich vlastnostiach;
• konštrukcia rôznych plochých figúrok;
• rozvoj zručností pracovať v skupine, dodržiavať pravidlá, stanoviť si cieľ, dosiahnuť ho, analyzovať svoju prácu a prácu skupiny.

Formulár: lekcia-cesta alebo skupinová práca v mimoškolských aktivitách.

Vybavenie: triedna prezentácia; pre každú skupinu: konštruktér, obálky s úlohami a figúrkami, geometrické telesá, karty pravidiel.

Pokrok v lekcii

I. Organizačný moment.

Prišli sme sem študovať, nie leňošiť, ale pracovať.
Tvrdo pracujeme a pozorne počúvame.
Spoločne, veselo a priateľsky, robíme všetko, čo je potrebné.

Naša práca dnes prebieha v skupinách. Zopakujme si pravidlá našej práce: (na stoloch každej skupiny je kartička, zapamätajte si každé pravidlo - seniorské skupiny postupne). Pravidlá sú v prílohe.

Viete, že v obrovskom svete matematiky existuje veľmi zaujímavá krajina s krásnym názvom - Geometria. Táto krajina je obývaná nie číslami, ale rôznymi líniami, postavami a telami. (Snímka 2)

Dnes sa vydáme na cestu krajinou geometrie a navštívime mestá, kde žijú ploché a trojrozmerné postavy. Našou úlohou je zistiť, ktoré geometrické obrazce sú ploché a ktoré sú objemové a ako sa líšia.

Poletíme teplovzdušným balónom. (Snímka 3)

Prečo si myslíš? - Poskladané z geometrických tvarov.

Počas cesty zistíme, do ktorej skupiny patria časti nášho balóna.

II. Hlavná časť.

Tak choď!

Vidíme mesto pred sebou. Aké mesto? Pozri!

1 zastávka - distribučná.

Áno, nie jedno mesto, ale dve. (Snímka 4)

Pred vami sú dve mestá. Prečítajte si ich mená.

Na stoloch tiež vidíte rôzne postavy - to sú obyvatelia miest. Zvážte postavy v obálke, pomenujte ich, povedzte o jednej.

Skupinová práca.

Teraz mi povedz, v ktorých číslach si sa usadil Mesto plochých postáv.

Odpovede detí. (Snímka 4 – doľava)

Čo majú spoločné všetky postavičky lietadiel?

(Celé sa hodia na list, stôl, nevystupujú nad rovinu, dajú sa vystrihnúť z papiera.)

Tvrdia to matematici lietadlo - ide o dvojrozmerný priestor, t.j. má dva rozmery: dĺžku a šírku.

Čo ešte ploché postavy Vieš?

Segmenty, rovné čiary, trojuholníky, kruhy...

Teraz pomenujte postavy, ktoré sa usadili Mesto objemových figúr.

Odpovede detí. (Snímka 4-doprava)

Čo majú tieto čísla spoločné?

Bez ohľadu na to, ako ich položíte, zdvihnú sa nad stôl, dosku.

Aké ďalšie objemové údaje poznáte? Každá skupina pomenuje svoje trojrozmerné postavy. Odpovede detí.

V geometrii existuje špeciálne meno pre objemové čísla - geometrické teleso.

Všetky telá okolo nás majú troch rozmerov: dĺžka, šírka a výška. Je pravda, že nie všetky geometrické telesá môžu určiť dĺžku, šírku, výšku. Ale pri kváder Môcť.

Ukážka učiteľom, deti skúmajú svoje krabice na stoloch. Všetky jeho plochy sú pravouhlé. Veľa vecí je takýchto. Pomenujte ich. (Snímka 6) Odpovede detí.

Vráťme sa k našej teplovzdušný balón. Z akých figúrok, plochých alebo objemných, pozostáva? - Valec a guľa sú objemné figúrky a stužkové čiary sú ploché. (Snímka 7)

Slnko vyšlo vysoko a my letíme ďaleko.

2 zastávka - vedecká. Skupina číslo 1.

Teraz hádajte, o ktorej postave hovoríme.

Študent 1: Tri rohy, tri strany

Môže mať rôznu dĺžku. ( trojuholník). (Snímka 8)

Študent 2: toto číslo je ploché. Má 3 vrcholy, 3 rohy, 3 strany. Môže byť rovnaký resp rôzne dĺžky strany.

Študent 3: Trojuholník je tvorený tromi úsečkami.

Čo je to za postavu, plochú alebo trojrozmernú? Odpovede detí.

(Snímka 9) OBÁLKA s geometrickými tvarmi. Ďalší obrázok...

Skupina číslo 2.

Študent 1: Zakrúžkuj celú tehlu kriedou na chodníku,

A získate postavu - samozrejme, že ju poznáte.

Toto obdĺžnik. („kliknite“ na snímku )

Študent 2: Obdĺžnik má 4 rohy, 4 vrcholy, 4 strany. Párovo rovnaké.

Študent 3: Model je uzavretá prerušovaná čiara 4 článkov. Odkazy sú v pároch rovnaké.

Skupina číslo 3.

Študent 1: Všetky štyri strany majú rovnakú dĺžku.

Rád sa vám predstaví, ale volá sa... ( námestie).

Študent 2:štvorec má 4 vrcholy, 4 rohy, 4 rovnaké strany.

Študent 3: model - uzavretá línia 4 článkov rovnakej dĺžky.

Skupina číslo 4.

Študent 1: Trojuholník strčil nos do prúdového vysávača.

A bez nosa, on, - ach jaj! - Vyzerala ako sukňa.

Najzaujímavejšie je, ako sa volá teraz. ( lichobežník)

Študent 2: 4 rohy, 4 vrcholy, 4 strany. Všetky strany sú rôzne alebo sú rovnaké a základne sú odlišné.

Študent 3: model - 4 uzavreté čiary, rohy - 2 tupé a 2 ostré.

Skupina číslo 5.

Študent 1: ak by všetky štvorce stáli vo vrcholoch pod uhlom,

Chlapci to videli, nie sme štvorci, ale ... ( diamanty.)

Študent 2: 4 rohy, 4 vrcholy, 4 strany. Strany sú rovnaké, opačné uhly sú tiež rovnaké.

Študent 3: model - 4 uzavreté línie, definované uhly.

Slnko vyšlo vysoko a my letíme ďaleko.
Zastavte sa dopredu. Čo to je? Pozri!

3 zastávka – zastavenie. Telesná výchova: „Bod, bodka, čiarka ...“ Tanečné pohyby na hudbu. (videozáznam pre triedu)

4 doraz - dizajn. (Snímka 10) Predtým, ako ste kontajnery s dizajnovými dielmi. Každá skupina musí zostaviť figúrky podľa zadania. (Pozri v prílohe).

Nájdite úlohu, vyriešte detaily, prediskutujte akčný plán a pustite sa do práce: zbierajte geometrické tvary. Pomenujte ich.

Pracovať v pároch. Seniorské skupiny – pomáhať, organizovať. Rozbor práce.

III. Zhrnutie lekcie. Reflexia. Naša prvá cesta krajinou geometrie sa teda skončila. Ale budete musieť navštíviť túto úžasnú a úžasnú krajinu viackrát a naučiť sa veľa nových vecí.Dnes ste všetci pracovali úžasne a preto ste ... bravo.

Rozbor práce skupín: či bola úloha splnená, kvalita práce, dodržiavanie pravidiel (karty na hodnotenie práce v skupinách).

Naša lekcia sa skončila. Ďakujem za tvoju pozornosť. (snímka 11)

APLIKÁCIA:

Úlohy v skupine č. 1:

1. Zvážte geometrické tvary, pomenujte ich a vyberte TROJUHOLNÍKY.

4. Vytvorte modely figúrok.

Úlohy v skupine č. 2:

1. Zvážte geometrické tvary, pomenujte ich a vyberte OBDŽNÍKY.

2. Povedzte nám, čo viete o tomto geometrickom útvare.

3. Zvážte, ako zostaviť MODEL tohto obrázku. Vysvetlite.

4. Vytvorte modely figúrok.

Úlohy v skupine č. 3:

1. Zvážte geometrické tvary, pomenujte ich a vyberte ŠTVOREC.

2. Povedzte nám, čo viete o tomto geometrickom útvare.

3. Zvážte, ako zostaviť MODEL tohto obrázku. Vysvetlite.

4. Vytvorte modely figúrok.

Úlohy v skupine č. 4:

1. Zvážte geometrické tvary, pomenujte ich a vyberte TRAPEZIA.

2. Povedzte nám, čo viete o tomto geometrickom útvare.

3. Zvážte, ako zostaviť MODEL tohto obrázku. Vysvetlite.

4. Vytvorte modely figúrok.

Úlohy v skupine č. 5:

1. Zvážte geometrické tvary, pomenujte ich a vyberte RHOMBOS.

2. Povedzte nám, čo viete o tomto geometrickom útvare.

3. Zvážte, ako zostaviť MODEL tohto obrázku. Vysvetlite.

4. Vytvorte modely figúrok.

Pravidlá skupiny.

• Rešpektujte svojho priateľa.
• Určite si vypočujte každého.
• Buďte zodpovední za svoju prácu a za spoločnú vec.
• Buďte tolerantní voči kritike.
• Nesúhlasím - navrhnite!

Geometrické tvary sú pevné telesá, ktoré v euklidovskom (trojrozmernom) priestore zaberajú nenulový objem. Tieto čísla študuje odvetvie matematiky nazývané "priestorová geometria". Poznatky o vlastnostiach trojrozmerných útvarov sa využívajú v strojárstve a v prírodných vedách. Zvážte v článku otázku, geometrické trojrozmerné postavy a ich názvy.

Geometrické telesá

Keďže tieto telesá majú konečný rozmer v troch priestorových smeroch, na ich opis v geometrii sa používa systém troch súradnicových osí. Tieto osi majú nasledujúce vlastnosti:

1. Sú navzájom ortogonálne, teda kolmé.
2. Tieto osi sú normalizované, čo znamená, že základné vektory každej osi majú rovnakú dĺžku.
3. Ktorákoľvek zo súradnicových osí je výsledkom krížového súčinu ostatných dvoch.

Keď už hovoríme o geometrických objemových útvaroch a ich menách, treba poznamenať, že všetky patria do jednej z 2 veľkých tried:

1. Trieda mnohostenov. Tieto figúrky, založené na názve triedy, majú rovné hrany a ploché tváre. Tvár je rovina, ktorá ohraničuje tvar. Spojenie dvoch plôch sa nazýva hrana a spojenie troch plôch je vrchol. Mnohosteny zahŕňajú geometrický obrazec kocky, štvorsteny, hranoly, pyramídy. Pre tieto obrázky platí Eulerova veta, ktorá stanovuje vzťah medzi počtom strán (C), hrán (P) a vrcholov (B) pre každý mnohosten. Matematicky je táto veta napísaná takto: C + B = P + 2.
2. Trieda okrúhlych telies alebo rotačných telies. Tieto obrazce majú aspoň jeden zakrivený povrch, ktorý ich tvorí. Napríklad guľa, kužeľ, valec, torus.

Pokiaľ ide o vlastnosti trojrozmerných postáv, mali by sa rozlišovať dve najdôležitejšie z nich:

1. Prítomnosť určitého objemu, ktorý postava zaberá v priestore.
2. Prítomnosť každého objemového čísla

Obidve vlastnosti každého obrázku sú opísané špecifickými matematickými vzorcami.

Nižšie zvážte najjednoduchšie geometrické objemové útvary a ich názvy: kocka, pyramída, hranol, štvorsten a guľa.

Figurálna kocka: popis

Pod geometrickým obrazcom kocky sa rozumie trojrozmerné teleso, ktoré je tvorené 6 štvorcovými rovinami alebo plochami. Tento obrazec sa tiež nazýva pravidelný šesťsten, pretože má 6 strán, alebo pravouhlý rovnobežnosten, pretože pozostáva z 3 párov rovnobežných strán, ktoré sú navzájom kolmé. Nazýva sa kocka, ktorej základňa je štvorec a výška sa rovná strane základne.

Keďže kocka je mnohosten alebo mnohosten, možno na ňu aplikovať Eulerovu vetu a určiť počet jej hrán. S vedomím, že počet strán je 6 a kocka má 8 vrcholov, počet hrán je: P \u003d C + B - 2 \u003d 6 + 8 - 2 \u003d 12.

Ak písmenom „a“ označíme dĺžku strany kocky, potom vzorce pre jej objem a povrch budú vyzerať takto: V = a 3 a S = 6 * a 2.

figúrková pyramída

Pyramída je mnohosten, ktorý pozostáva z jednoduchého mnohostena (základňa pyramídy) a trojuholníkov, ktoré sa k základni pripájajú a majú jeden spoločný vrchol (vrchol pyramídy). Trojuholníky sa nazývajú bočné steny pyramídy.

Geometrické charakteristiky pyramídy závisia od toho, ktorý mnohouholník leží na jej základni, ako aj od toho, či je pyramída rovná alebo šikmá. Pod priamou pyramídou sa rozumie taká pyramída, ktorej priamka kolmá na základňu, vedená cez vrchol pyramídy, pretína základňu v jej geometrickom strede.

Jednou z jednoduchých pyramíd je štvorhranná rovná pyramída, na základni ktorej leží štvorec so stranou „a“, výška tejto pyramídy je „h“. Pre tento pyramídový obrázok sa objem a plocha rovnajú: V \u003d a 2 * h / 3 a S \u003d 2 * a * √ (h 2 + a 2 / 4) + a 2. Ak o to požiadame, berúc do úvahy skutočnosť, že počet plôch je 5 a počet vrcholov je 5, získame počet hrán: P \u003d 5 + 5 - 2 \u003d 8.

Obrázok štvorstenu: popis

Pod geometrickým obrazcom štvorstenu sa rozumie trojrozmerné teleso tvorené 4 plochami. Na základe vlastností priestoru môžu takéto tváre predstavovať iba trojuholníky. Štvorsten je teda špeciálny prípad pyramídy, ktorá má na základni trojuholník.

Ak sú všetky 4 trojuholníky tvoriace steny štvorstenu rovnostranné a navzájom si rovné, potom sa takýto štvorsten nazýva pravidelný. Tento štvorsten má 4 plochy a 4 vrcholy, počet hrán je 4 + 4 - 2 = 6. Aplikovaním štandardných vzorcov z plochej geometrie pre príslušný útvar dostaneme: V = a 3 * √2/12 a S = √3*a 2, kde a je dĺžka strany rovnostranného trojuholníka.

Je zaujímavé poznamenať, že v prírode majú niektoré molekuly tvar pravidelný štvorsten. Napríklad molekula metánu CH 4, v ktorej sú atómy vodíka umiestnené vo vrcholoch štvorstenu a sú spojené s atómom uhlíka kovalentnými chemickými väzbami. Atóm uhlíka sa nachádza v geometrickom strede štvorstenu.

Tvar štvorstenu, ktorý sa ľahko vyrába, sa používa aj v strojárstve. Napríklad štvorstenný tvar sa používa pri výrobe kotiev pre lode. Poznač si to vesmírna sonda Mars Pathfinder od NASA, ktorý pristál na povrchu Marsu 4. júla 1997, mal tiež tvar štvorstenu.

Figurálny hranol

Tento geometrický útvar možno získať tak, že zoberieme dva mnohosteny a umiestnime ich rovnobežne k sebe rôzne lietadlá priestory a ich vrcholy navzájom vhodne spojte. Výsledkom je hranol, dva mnohosteny sa nazývajú jeho základne a povrchy spájajúce tieto mnohosteny budú vo forme rovnobežníkov. Hranol sa nazýva priamka, ak jeho strany (rovnobežníky) sú obdĺžniky.

Hranol je mnohosten, takže preň platí Eulerova veta. Napríklad, ak základom hranola je šesťuholník, potom počet strán hranola je 8 a počet vrcholov je 12. Počet hrán bude: P = 8 + 12 - 2 = 18. šesťuholník so stranou a je objem: V = a 2 *h*√3/4, plocha povrchu je: S = 3*a*(a*√3 + 2*h).

Keď už hovoríme o jednoduchých geometrických objemových útvaroch a ich menách, mali by sme spomenúť loptu. Objemové teleso nazývané guľa sa chápe ako teleso, ktoré je ohraničené guľou. Guľa je zase súbor bodov v priestore rovnako vzdialených od jedného bodu, ktorý sa nazýva stred gule.

Keďže lopta patrí do triedy okrúhlych telies, potom pre ňu neexistuje žiadna koncepcia strán, hrán a vrcholov. Povrch gule ohraničujúcej loptu sa nachádza podľa vzorca: S \u003d 4 * pi * r 2 a objem lopty možno vypočítať podľa vzorca: V \u003d 4 * pi * r 3 / 3, kde pi je číslo pi (3.14), r je polomer gule (gule).

Objemové telesá. Rozhliadnite sa okolo seba a všade nájdete objemové telesá. Ide o geometrické útvary, ktoré majú tri rozmery: dĺžku, šírku a výšku. Napríklad, aby sme si predstavili výškovú budovu, stačí povedať: "Tento dom je dlhý tri schodiská, dve okná široké a šesť poschodí vysoký." vám známy z ZÁKLADNÁ ŠKOLA kváder a kocka sú úplne opísané tromi rozmermi. Všetky predmety okolo nás majú tri rozmery, no nie všetky sa dajú nazvať dĺžkou, šírkou a výškou. Napríklad pre strom môžeme určiť iba výšku, pre lano - dĺžku, pre jamu - hĺbku. A na loptu? Má tiež tri rozmery? Hovoríme, že teleso má tri rozmery (je objemné), ak sa doň dá umiestniť kocka alebo guľa.

snímka 2 z prezentácie "Vzorec pre objem mnohostenu". Veľkosť archívu s prezentáciou je 1207 KB.

Geometria 11. ročník

zhrnutie iné prezentácie

"Geometrické telesá revolúcie" - Viditeľnosť. Praktická časť. Práca tvorivého tímu. opakovanie teórie. Ľudia tvorivých profesií. Výmena skúseností. Inšpirácia. Organizovanie času. Učenie môže byť len zábava. Múzeum geometrických telies. Ľudia oddaní vede. Telá. Vedci pracujú. Bol tam jeden mudrc. Zhrnutie. Valcový povrch. Pracujúci ľudia. Vedomosti študentov. revolučné orgány. Elementárne znalosti.

"Veta o troch kolmiach" - Bod. Kolmosť čiar. Myslenie. Veta o troch kolmiciach. Kolmo na rovinu rovnobežníka. Rovno. Nohy. Kolmý. Veta. Diagonálne križovatky. Úsečka. Kolmo na rovinu trojuholníka. Kosoštvorcová strana. Strany trojuholníka. Vzdialenosť. Kolmice na čiary. Myslieť si. Sekcia MA. Stavebné úlohy. Dôkaz. Inverzná veta. Úlohy na aplikáciu TTP.

"Oblasť gule" - Priemer gule (d=2R). Polomer veľký kruh je polomer gule. Vrstva=vsh.Seg.1-vsh.Seg.2. Výška segmentu (h). Povrchová plocha gule s polomerom. Základ segmentu. Vsh. sektory = 2/3PR2h. Stred gule (C). Objem gule, guľového segmentu a guľovej vrstvy. Plocha prvého je vyjadrená polomerom. krát viac plochy veľký kruhový povrch. a povrch gule - ako 4PR2. je opísaná lopta. Objem gule je 288.

"Vo svete mnohostenov" - Mnohostenov. Vrch kocky. Svet mnohostenov. Telá Kepler-Poinsot. Matematika. Kráľovská hrobka. Eulerova charakteristika. Tetrahedron. Geometria. Maják Faros. Konvexné mnohosteny. Telo Archimedes. Mnohosten v umení. Oheň. hviezdicový dvanástnik. Magnus Wenninger. Eulerova veta. Alexandrijský maják. Pravidelné mnohosteny. päť konvexných pravidelné mnohosteny. Vývoj niektorých mnohostenov.

"Filozof Pytagoras" - Znalosť základov hudby. Slovo "filozof". Život a vedecké objavy Pytagoras. Pytagoras sa stretol s perzskými mágmi. Matematika. Smer letu. Motto. egyptské chrámy. Myšlienka. Zakladateľ modernej matematiky. Pravda. Nesmrteľná myšlienka. Mnesarch. Pytagoras.

"Problémy v súradniciach" - Nájdite dĺžku vektora a, ak má súradnice: (-5; -1; 7). Najjednoduchšie problémy v súradniciach. Skalárny súčin vektorov. AB vektor. Riešenie problémov: (kartami). Ako vypočítať dĺžku vektora vzhľadom na jeho súradnice. Ciele lekcie. Čo sa volá skalárny produkt vektory. Vzdialenosť medzi bodmi A a B. Vektor A má súradnice (-3; 3; 1). M je stred segmentu AB. Plán lekcie. Ako nájsť súradnice stredu segmentu.

Objemové telesá je možné získať v počítači rôzne cesty. Najčastejšie používaným spôsobom je spájanie základných telies.

Posun delaminačnej plochy ternárneho systému s polymérnou zložkou (tieňovaná plocha v porovnaní so systémom pozostávajúcim zo zložiek s nízkou molekulovou hmotnosťou (plocha ohraničená bodkovanou krivkou. P - polymér, P, P3 - kvapaliny s nízkou molekulovou hmotnosťou.) | Podmienená transformácia.

Objemové telo zväzku opísaného vyššie je samozrejme idealizovaná schéma.

Toto trojrozmerné telo sa skladá z častí nazývaných sekcie. Každá sekcia je uzavretá medzi dvoma susednými rovinami prechádzajúcich susednou izosadrou a má tvar zrezaného elipsoidného kužeľa. Objemové teleso pozostávajúce z takýchto sekcií slúži ako geometrický model nádrže. Toto trojrozmerné teleso sa bude nazývať kužeľovo-elipsový model plynového bazéna (KZ model), ktorý musí byť zostavený tak, aby sa ukázal ako objemovo izomorfný s objektom, t.j. tak, aby objemy modelovej časti a zodpovedajúcej časti nádrže boli rovnaké.

Ak trojrozmerné teleso vznikne rotáciou plochej plochy A okolo osi, ktorá leží v jej rovine, no nepretína ju, potom bude mať tvar prstenca. Nech je taký krúžok navinutý drôtom, ktorého závity sú umiestnené v rovine prechádzajúcej osou krúžku; potom sa aktuálna funkcia vrstvy drôtu bude rovnať f (1 / 2n) n &, kde n - celkový počet otáčky, peklo - azimutálny uhol, meraný okolo osi prstenca.

Modelky hromadné telá, tónovo riešené podľa tejto schémy, sú znázornené na obr. 1.5.4. Aj keď algoritmus nezohľadňuje padajúce tiene, celková expresivita obrazu zostáva pomerne vysoká kvôli istote zobrazenia, že tvár patrí do jedného alebo druhého systému ortogonálne orientovaných rovín. Ak sú tri oblasti označené vyššie na obrázku znázornené rôznymi farbami, efekt bude ešte väčší. Fyzikálny model takých grafické riešenie znázornené na obr. 1.5.5. Je založená na princípe osvetlenia objektu tromi zdrojmi rôznych farieb, umiestnenými v súlade s akceptovaným systémom ortogonálnych rovín.

Pre existujúce objemové telo nastavte atribúty, definujúce typ koncového prvku a materiál.

Druhy rovnováhy.

V prípade objemových telies sa tento postup musí vykonať trikrát. Ťažisko môže ležať vo vnútri aj mimo tela, napríklad polkruh hrubého homogénneho drôtu má ťažisko mimo tela.

Cvičenia na identifikáciu priestorových úrovní hĺbky.| Postupnosť fáz vývoja kompozície s niekoľkými úrovňami hĺbky.| Tónový vývoj kompozícií zložitej priestorovej štruktúry.

Pri zobrazovaní trojrozmerných telies žiaci najčastejšie využívajú metódu zobrazenia hĺbky vytvorením svetlej siluety na tmavé pozadie. Niekedy táto metóda vedie k nedorozumeniu o povahe objemovo-priestorovej formy. Obraz v tomto prípade zodpovedá povahe vnímania reálnej podoby.

Definícia ťažiska objemových telies je spojená s pojmami rovina a os symetrie. Rovina symetrie je rovina, ktorá rozdeľuje dané teleso na dve polovice, ktoré sú veľkosťou a tvarom úplne identické. Z tohto dôvodu leží ťažisko symetrického telesa v rovine symetrie.