Geometrické objemové útvary a ich názvy: guľa, kocka, pyramída, hranol, štvorsten. Vypracovanie plánu hodiny matematiky na tému „Rovinové postavy a trojrozmerné telesá“ (3. ročník)

Objemové telesá Rozhliadnite sa okolo seba a všade nájdete trojrozmerné telá. Tieto sú takéto geometrické obrazce, ktoré majú tri rozmery: dĺžku, šírku a výšku. Napríklad, aby sme si predstavili viacposchodovú budovu, stačí povedať: „Tento dom má tri vchody, dve okná široké a šesť poschodí vysoký.“ Vám známy z Základná škola obdĺžnikový hranol a kocka sú úplne opísané v troch rozmeroch. Všetky predmety okolo nás majú tri rozmery, no nie všetky sa dajú pomenovať dĺžkou, šírkou a výškou. Napríklad pre strom môžeme určiť iba výšku, pre lano - dĺžku, pre dieru - hĺbku. A na loptu? Má tiež tri rozmery? Hovoríme, že teleso má tri rozmery (je objemové), ak doň možno umiestniť kocku alebo guľu. Guľa, valec aj kužeľ majú tri rozmery.

Mnohosten Teleso, ktoré je ohraničené rovinnými mnohouholníkmi, sa nazýva mnohosten. Napríklad kocka je ohraničená rovnakými štvorcami. Mnohouholníky, ktoré tvoria povrch mnohostena, sa nazývajú tváre. Strany týchto mnohouholníkov sú okrajmi mnohostenov. Vrcholy mnohouholníkov, vrcholy mnohostenov. Napríklad kocka má 6 stien (všetky rovnaké štvorce), 12 hrán a 8 vrcholov.

Polyhedra. Pyramída. Mnohosten na pravej strane má špeciálne meno: pravidelný štvorhranný ihlan. Slávna Cheopsova pyramída má presne tento tvar: na jej základni je štvorec a bočné strany sú rovnaké trojuholníky. Koľko stien, hrán a vrcholov má tento mnohosten? Niektoré tvary na obrázku sú mnohosteny a niektoré nie. Pod akými číslami sú zobrazené mnohosteny?

Konvexné a nekonvexné polygóny Polygóny, ako už vieme, môžu byť konvexné a nekonvexné. Konvexný mnohouholník leží na jednej strane ľubovoľnej čiary obsahujúcej ktorúkoľvek stranu mnohouholníka. A pre nekonvexnú stranu môžete nájsť takú stranu, že priamka, ktorá ju obsahuje, „rozreže“ mnohouholník na časti. Na obrázku je žltý mnohouholník konvexný a modrý nie je konvexný. Mnohosteny môžu byť tiež konvexné alebo nekonvexné. Konvexný mnohosten leží na jednej strane akejkoľvek roviny obsahujúcej ktorúkoľvek z jeho plôch. A pre nekonvexný mnohosten možno nájsť takú tvár, že rovina, ktorá ním prechádza, ho „rozreže“ na kúsky. Žltý mnohosten na obrázku je vypuklý. Modrý mnohosten je nekonvexný. Ktoré čísla na obrázku znázorňujú konvexné mnohosteny a ktoré nekonvexné?

Odpovedzte na otázky: 1. Aká je plocha kocky: a) úsečka b) bod c) štvorec; 2.Čo je hrana kocky: a) úsečka b) bod c) štvorec; 3.Čo predstavuje vrchol kocky: a) úsečku b) bod c) štvorec; 4. Koľko stien má pravouhlý rovnobežnosten: a) 8b) 6c) 12 5. Mnohosten je a) ľubovoľné objemové teleso b) teleso ohraničené plochými mnohouholníkmi

Odpovedzte na otázky: 6. Čo leží na základni pravidelného ihlanu a) obdĺžnika b) štvorca c) rovnobežníka 7. Aký obrazec je stenou pravidelného ihlanu a) obdĺžnika b) štvorca c) pravidelného trojuholníka 8. Konvexný mnohosten a) leží na jednej strane ktorejkoľvek roviny obsahujúcej ktorúkoľvek z jeho plôch b) akékoľvek objemové teleso c) leží na oboch stranách akejkoľvek roviny obsahujúcej ktorúkoľvek z jeho plôch. 9.Aké čísla sú zobrazené na obrázku pre konvexné mnohosteny?

Použité zdroje: Webová stránka školy dištančného vzdelávania (Moskva) Škola dištančného vzdelávania (Moskva) Online encyklopédia okolo sveta OGRANNIK.html OGRANNIK.html Yandex / obrázky %D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1 %8C%D0%BD%D0%B0%D 1%8F%20%D1%87%D0%B5%D1%82%D1%8B%D1%80%D1%91%D1 %85%D1%83% D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0 %D1%8F%20%D0%BF%D0%B8%D1%80%D0%B0%D0%BC% D0%B8 %D0%B4%D0%B0&spsite= ru%3A8080%2For%2Fget_att.jsp%3Fatt_id%3D2493&rpt=simage Učebnica geometrie 6-9

Objemové telesá. Rozhliadnite sa okolo seba a všade nájdete trojrozmerné telá. Ide o geometrické tvary, ktoré majú tri rozmery: dĺžku, šírku a výšku. Napríklad, aby sme si predstavili viacposchodovú budovu, stačí povedať: „Tento dom má tri vchody, dve okná široké a šesť poschodí vysoký.“ Obdĺžnikový hranol a kocka, ktoré poznáte zo základnej školy, sú kompletne opísané tromi rozmermi. Všetky predmety okolo nás majú tri rozmery, no nie všetky sa dajú pomenovať dĺžkou, šírkou a výškou. Napríklad pre strom môžeme určiť iba výšku, pre lano - dĺžku, pre dieru - hĺbku. A na loptu? Má tiež tri rozmery? Hovoríme, že teleso má tri rozmery (je objemové), ak doň možno umiestniť kocku alebo guľu.

Snímka 2 z prezentácie "Vzorec pre objem mnohostenu". Veľkosť archívu s prezentáciou je 1207 KB.

Geometria 11. ročník

zhrnutie iné prezentácie

„Geometrické rotačné telesá“ - Vizualizácia. Praktická časť. Práca tvorivého tímu. Opakovanie teórie. Ľudia tvorivých profesií. Výmena skúseností. Inšpirácia. Organizovanie času. Jediný spôsob, ako sa učiť, je baviť sa. múzeum geometrické telesá. Ľudia, ktorí sa venovali vede. Telá. Vedci pracujú. Kráčal mudrc. Zhrnutie. Valcový povrch. Ľudia robotníckych profesií. Vedomosti študentov. Rotačné telesá. Základné znalosti.

„Veta o troch kolmiciach“ - bod. Kolmosť čiar. Myslenie. Veta o troch kolmiciach. Kolmo na rovinu rovnobežníka. Rovno. Nohy. Kolmý. Veta. Priesečníky uhlopriečok. Segment čiary. Kolmo na rovinu trojuholníka. Strana kosoštvorca. Strany trojuholníka. Vzdialenosť. Kolmice na čiary. Zamyslite sa nad tým. MA segment. Stavebné úlohy. Dôkaz. Konverzná veta. Úlohy na používanie TTP.

„Oblasť gule“ - Priemer gule (d=2R). Polomer veľký kruh je polomer lopty. Vrstva=vsh.Seg.1-vsh.Seg.2. Výška segmentu (h). Povrchová plocha gule s polomerom. Základ segmentu. Vsh. sektory = 2/3PR2h. Stred gule (C). Objem gule, guľový segment a guľová vrstva. Plocha prvého je vyjadrená polomerom. krát viac plochy povrch veľkého kruhu. a povrch gule je 4РR2. je opísaná lopta. Objem gule je 288.

„Vo svete mnohostenov“ - mnohostenov. Vrch kocky. Svet mnohostenov. Telá Kepler-Poinsot. Matematika. Kráľovská hrobka. Eulerova charakteristika. Tetrahedron. Geometria. Maják Faros. Konvexné mnohosteny. Archimedove telá. Mnohosten v umení. Oheň. Hviezdicový dvanásťsten. Magnus Wenninger. Eulerova veta. Alexandrijský maják. Pravidelné mnohosteny. Päť konvexných pravidelné mnohosteny. Vývoj niektorých mnohostenov.

„Filozof Pythagoras“ - Znalosť základov hudby. Slovo "filozof". Život a vedecké objavy Pytagora. Pytagoras sa stretol s perzskými mágmi. Matematika. Smer letu. Motto. egyptské chrámy. Myšlienka. Zakladateľ modernej matematiky. Pravda. Nesmrteľná myšlienka. Mnesarchos. Pytagoras.

„Problémy v súradniciach“ - Nájdite dĺžku vektora a, ak má súradnice: (-5; -1; 7). Najjednoduchšie problémy v súradniciach. Bodový súčin vektorov. Vektor AB. Riešenie problémov: (pomocou kariet). Ako vypočítať dĺžku vektora z jeho súradníc. Ciele lekcie. Čo sa volá skalárny produkt vektory. Vzdialenosť medzi bodmi A a B. Vektor A má súradnice (-3; 3; 1). M – stred segmentu AB. Plán lekcie. Ako nájsť súradnice stredu segmentu.

Objemové telesá je možné získať v počítači rôzne cesty. Najčastejšie používaným spôsobom je spájanie základných telies.

Posun oblasti separácie ternárneho systému s polymérnou zložkou (tieňovaná plocha v porovnaní so systémom pozostávajúcim z nízkomolekulových zložiek (plocha ohraničená bodkovanou krivkou. P - polymér, P, P3 - nízkomolekul. kvapaliny.|.

Objemové telo zväzku opísaného vyššie je, prirodzene, idealizovaná schéma.

Toto objemové teleso pozostáva z častí nazývaných sekcie. Každá sekcia je uzavretá medzi dvoma susednými rovinami prechádzajúcich cez susediace izoomietky a má tvar zrezaného eliptického kužeľa. Objemové teleso pozostávajúce z takýchto sekcií slúži ako geometrický model nádrže. Toto objemové teleso nazveme kužeľovo-elipsový model plynovej náplne (CG model), ktorý musí byť skonštruovaný tak, aby sa ukázal ako objemovo izomorfný s objektom, t.j. aby objemy modelovej časti a zodpovedajúcej časti nádrže boli rovnaké.

Ak objemové teleso vznikne rotáciou plochej plochy A okolo osi ležiacej v jej rovine, ale nepretínajúcej ju, potom bude mať tvar prstenca. Nech je taký prsteň obalený drôtom, ktorého závity sú umiestnené v rovine prechádzajúcej osou prsteňa; potom sa aktuálna funkcia vrstvy drôtu bude rovnať φ (1 / 2π) π &, kde π je plný počet otáčky, peklo je azimutálny uhol meraný okolo osi prstenca.

Modely objemových telies, tonálne rozlíšené podľa tejto schémy, sú znázornené na obr. 1.5.4. Aj keď algoritmus nezohľadňuje padajúce tiene, celková expresivita obrazu zostáva pomerne vysoká kvôli istote zobrazenia, že tvár patrí do jedného alebo druhého systému ortogonálne orientovaných rovín. Ak sú tri oblasti uvedené vyššie na obrázku znázornené rôznymi farbami, efekt bude ešte väčší. Fyzikálny model takéhoto grafické riešenie znázornené na obr. 1.5.5. Je založená na princípe osvetlenia objektu tromi zdrojmi rôznych farieb, umiestnenými v súlade s akceptovaným systémom ortogonálnych rovín.

Pre existujúce objemové teleso nastavte atribúty s určením typu konečného prvku a materiálu.

Druhy rovnováhy.

V prípade objemových telies sa tento postup musí vykonať trikrát. Ťažisko môže ležať vo vnútri aj mimo tela, napríklad polkruh vyrobený z hrubého homogénneho drôtu má ťažisko mimo tela.

Cvičenia na identifikáciu úrovní priestorovej hĺbky.| Postupnosť fáz pri vytváraní kompozície s niekoľkými úrovňami hĺbky.| Tónový vývoj kompozícií zložitej priestorovej štruktúry.

Pri zobrazovaní trojrozmerných telies žiaci najčastejšie využívajú metódu zobrazenia hĺbky vytvorením svetlej siluety na tmavé pozadie. Niekedy táto metóda vedie k mylnej predstave o povahe objemovo-priestorovej formy. Obraz v tomto prípade zodpovedá povahe vnímania reálnej podoby.

Určenie ťažiska objemových telies je spojené s pojmami rovina a os súmernosti. Rovina symetrie je rovina, ktorá rozdeľuje dané teleso na dve polovice, ktoré sú veľkosťou a tvarom úplne identické. Z tohto dôvodu leží ťažisko symetrického telesa v rovine symetrie.

Rovnako ako pri probléme s hľadaním oblasti potrebujete sebavedomé kreslenie - to je takmer najdôležitejšia vec (keďže samotné integrály budú často jednoduché). Majster gramotný a rýchla technológia vykresľovanie je možné vykonať pomocou učebných materiálov a Geometrické transformácie grafov. Ale v skutočnosti som o dôležitosti kresieb hovoril už niekoľkokrát na hodinách.

Vo všeobecnosti existuje veľa zaujímavých aplikácií v integrálnom počte pomocou určitého integrálu, môžete vypočítať plochu postavy, objem rotovaného telesa, dĺžku oblúka, plochu rotácie a mnoho iného; viac. Takže to bude zábava, buďte optimistickí!

Predstavte si nejakú plochú postavu v rovine súradníc. Predstavený? ... som zvedavý, kto čo prezentoval... =))) Jej areál sme už našli. Okrem toho sa však toto číslo môže tiež otáčať a otáčať dvoma spôsobmi:

– okolo osi x;
– okolo zvislej osi.

Tento článok bude skúmať oba prípady. Zaujímavý je najmä druhý spôsob otáčania, ktorý spôsobuje najväčšie ťažkosti, no v skutočnosti je riešenie takmer rovnaké ako pri bežnejšom otáčaní okolo osi x. Ako bonus sa k tomu vrátim problém nájsť oblasť postavy, a poviem vám, ako nájsť oblasť druhým spôsobom - pozdĺž osi. Nie je to ani taký bonus, pretože materiál dobre zapadá do témy.

Začnime s najobľúbenejším typom rotácie.

plochá postava okolo osi

Príklad 1

Vypočítajte objem telesa získaného otáčaním útvaru ohraničeného priamkami okolo osi.

Riešenie: Rovnako ako v prípade problému s nájdením oblasti, riešenie začína kresbou plochej postavy. To znamená, že v rovine je potrebné zostrojiť obrazec ohraničený čiarami a nezabudnite, že rovnica určuje os. Ako efektívnejšie a rýchlejšie dokončiť kresbu nájdete na stránkach Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií A Určitý integrál. Ako vypočítať plochu obrázku. Toto je čínska pripomienka a na tomto mieste sa nebudem ďalej zdržiavať.

Nákres je tu celkom jednoduchý:

Požadovaná plochá postava je vytieňovaná modrou farbou, je to tá, ktorá sa otáča okolo osi. Výsledkom rotácie je mierne vajcovitý lietajúci tanier, ktorý je symetrický okolo osi. V skutočnosti má telo matematický názov, ale som príliš lenivý na to, aby som niečo objasnil v referenčnej knihe, takže ideme ďalej.

Ako vypočítať objem rotačného telesa?

Objem rotačného telesa možno vypočítať pomocou vzorca:

Vo vzorci musí byť číslo prítomné pred integrálom. Tak sa aj stalo – všetko, čo sa v živote točí, je spojené s touto konštantou.

Myslím, že je ľahké uhádnuť, ako nastaviť hranice integrácie „a“ a „byť“ z dokončeného výkresu.

Funkcia... čo je táto funkcia? Pozrime sa na výkres. Rovinný obrazec je ohraničený grafom paraboly v hornej časti. Toto je funkcia, ktorá je zahrnutá vo vzorci.

V praktických úlohách môže byť plochá postava niekedy umiestnená pod osou. To nič nemení - integrand vo vzorci je odmocnený: , teda integrál je vždy nezáporný, čo je veľmi logické.

Vypočítajme objem rotačného telesa pomocou tohto vzorca:

Ako som už poznamenal, integrál sa takmer vždy ukáže ako jednoduchý, hlavnou vecou je byť opatrný.

Odpoveď:

Vo svojej odpovedi musíte uviesť rozmer - kubické jednotky. To znamená, že v našom rotačnom tele je približne 3,35 „kociek“. Prečo kubický Jednotky? Pretože najuniverzálnejšia formulácia. Môžu tam byť kubické centimetre, môžu tam byť kubické metre, môžu tam byť kubické kilometre atď., toľko zelených mužíkov dokáže vaša fantázia vložiť do lietajúceho taniera.

Príklad 2

Nájdite objem telesa vytvoreného rotáciou okolo osi obrazca ohraničeného priamkami , ,

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Uvažujme ešte o dvoch komplexné úlohy, s ktorými sa v praxi tiež často stretávame.

Príklad 3

Vypočítajte objem telesa získaného otáčaním okolo osi x úsečky obrazca ohraničeného priamkami , , a

Riešenie: Ukážme si na výkrese plochý útvar ohraničený čiarami , , , , pričom nezabúdame, že rovnica definuje os:

Požadovaná figúrka je vytieňovaná modrou farbou. Keď sa otočí okolo svojej osi, ukáže sa, že je to neskutočná šiška so štyrmi rohmi.

Vypočítajme objem rotačného telesa ako rozdiel v objemoch telies.

Najprv sa pozrime na postavu zakrúžkovanú červenou farbou. Keď sa otáča okolo osi, získa sa zrezaný kužeľ. Označme objem tohto zrezaného kužeľa .

Zvážte obrázok, ktorý je zakrúžkovaný zelená. Ak otočíte tento obrazec okolo osi, získate tiež zrezaný kužeľ, len o niečo menší. Označme jej objem .

A samozrejme, rozdiel v objemoch je presne objemom našej „šišky“.

Na zistenie objemu rotačného telesa používame štandardný vzorec:

1) Číslo zakrúžkované červenou farbou je ohraničené priamkou, preto:

2) Obrázok zakrúžkovaný v zelenej farbe je ohraničený priamkou, preto:

3) Objem požadovaného rotačného telesa:

Odpoveď:

Je zaujímavé, že v tomto prípade je možné riešenie skontrolovať pomocou školského vzorca na výpočet objemu zrezaného kužeľa.

Samotné rozhodnutie je často napísané kratšie, asi takto:

Teraz si trochu oddýchneme a povieme vám o geometrických ilúziách.

Ľudia majú často ilúzie spojené so zväzkami, čo si v knihe všimol aj Perelman (iný). Zábavná geometria. Pozrite sa na plochý obrázok v riešenom probléme - zdá sa, že je malý na plochu a objem rotačného telesa je len niečo málo cez 50 kubických jednotiek, čo sa zdá byť príliš veľké. Mimochodom, priemerný človek vypije za celý život ekvivalent miestnosti 18 metrov štvorcových tekutiny, čo sa mu naopak zdá príliš malý objem.

Vo všeobecnosti bol vzdelávací systém v ZSSR skutočne najlepší. Tá istá kniha od Perelmana, vydaná ešte v roku 1950, veľmi dobre rozvíja, ako povedal humorista, myslenie a učí vás hľadať originálne, neštandardné riešenia problémov. Nedávno som si s veľkým záujmom znovu prečítal niektoré kapitoly, odporúčam, je to prístupné aj pre humanistov. Nie, nemusíte sa usmievať, že som ponúkol voľný čas, erudícia a široké obzory v komunikácii sú super.

Po lyrickej odbočke je vhodné vyriešiť kreatívnu úlohu:

Príklad 4

Vypočítajte objem telesa vytvoreného rotáciou okolo osi plochého útvaru ohraničeného priamkami , , kde .

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Upozorňujeme, že všetky prípady sa vyskytujú v pásme, inými slovami, hotové limity integrácie sú vlastne dané. Správne nakreslite grafy goniometrických funkcií, dovoľte mi pripomenúť vám lekciu o geometrické transformácie grafov: ak je argument delený dvoma: , potom sa grafy roztiahnu dvakrát pozdĺž osi. Je vhodné nájsť aspoň 3-4 body podľa trigonometrických tabuliek pre presnejšie dokončenie výkresu. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny. Mimochodom, úloha sa dá vyriešiť racionálne a nie veľmi racionálne.

Výpočet objemu telesa vzniknutého rotáciou
plochá postava okolo osi

Druhý odsek bude ešte zaujímavejší ako prvý. Úloha vypočítať objem rotačného telesa okolo súradnicovej osi je tiež pomerne častým hosťom v testovacej práci. Po ceste sa bude zvažovať problém nájsť oblasť postavy druhá metóda je integrácia pozdĺž osi, čo vám umožní nielen zlepšiť svoje zručnosti, ale tiež vás naučí nájsť najziskovejšie riešenie. Je v tom aj praktický bod. zmysel života! Ako s úsmevom spomínala moja učiteľka metód výučby matematiky, mnohí absolventi jej ďakovali slovami: „Váš predmet nám veľmi pomohol, teraz sme efektívni manažéri a optimálne riadime zamestnancov.“ Využívajúc túto príležitosť, vyjadrujem jej tiež veľkú vďaku, najmä preto, že získané vedomosti využívam na zamýšľaný účel =).

Odporúčam prečítať každému, aj úplným tupcom. Okrem toho materiál získaný v druhom odseku poskytne neoceniteľnú pomoc pri výpočte dvojitých integrálov.

Príklad 5

Vzhľadom na plochú postavu ohraničené čiarami , , .

1) Nájdite plochu plochej postavy ohraničenú týmito čiarami.
2) Nájdite objem telesa získaný otočením plochého útvaru ohraničeného týmito čiarami okolo osi.

Pozor! Aj keď si chcete prečítať len druhý bod, najprv Nevyhnutne prečítajte si prvý!

Riešenie: Úloha pozostáva z dvoch častí. Začnime námestím.

1) Urobme si kresbu:

Je ľahké vidieť, že funkcia špecifikuje hornú vetvu paraboly a funkcia špecifikuje dolnú vetvu paraboly. Pred nami je triviálna parabola, ktorá „leží na boku“.

Požadovaná postava, ktorej oblasť sa má nájsť, je zatienená modrou farbou.

Ako nájsť oblasť postavy? Dá sa nájsť „bežným“ spôsobom, o ktorom sa diskutovalo v triede Určitý integrál. Ako vypočítať plochu obrázku. Okrem toho sa plocha obrázka zistí ako súčet plôch:
- na segmente ;
- na segmente.

Preto:

Prečo je v tomto prípade bežné riešenie zlé? Po prvé, máme dva integrály. Po druhé, integrály sú korene a korene v integráloch nie sú darom a okrem toho sa môžete zmiasť pri nahrádzaní hraníc integrácie. V skutočnosti integrály, samozrejme, nie sú ničivé, ale v praxi môže byť všetko oveľa smutnejšie, len som pre problém zvolil „lepšie“ funkcie.

Existuje racionálnejšie riešenie: pozostáva z prechodu na inverzné funkcie a integrácie pozdĺž osi.

Ako sa dostať k inverzným funkciám? Zhruba povedané, musíte vyjadriť „x“ cez „y“. Najprv sa pozrime na parabolu:

To je dosť, ale uistite sa, že rovnakú funkciu je možné odvodiť z nižšej vetvy:

S rovnou čiarou je to jednoduchšie:

Teraz sa pozrite na os: pravidelne nakláňajte hlavu doprava o 90 stupňov, ako vysvetľujete (toto nie je vtip!). Obrázok, ktorý potrebujeme, leží na segmente, ktorý je označený červenou bodkovanou čiarou. V tomto prípade je na segmente priamka umiestnená nad parabolou, čo znamená, že oblasť obrázku by sa mala nájsť pomocou už známeho vzorca: . Čo sa zmenilo vo vzorci? Len list a nič viac.

! Poznámka: Mali by byť stanovené limity integrácie pozdĺž osi striktne zdola nahor!

Nájdenie oblasti:

V segmente teda:

Všimnite si prosím, ako som vykonal integráciu, je to najracionálnejší spôsob a v ďalšom odseku úlohy bude jasné prečo.

Pre čitateľov, ktorí pochybujú o správnosti integrácie, nájdem deriváty:

Získa sa pôvodná funkcia integrand, čo znamená, že integrácia bola vykonaná správne.

Odpoveď:

2) Vypočítajme objem telesa vytvoreného rotáciou tohto obrazca okolo osi.

Výkres prekreslím do trochu iného dizajnu:

Postava vytieňovaná modrou sa teda otáča okolo osi. Výsledkom je „vznášajúci sa motýľ“, ktorý sa otáča okolo svojej osi.

Aby sme našli objem rotačného telesa, budeme integrovať pozdĺž osi. Najprv musíme prejsť k inverzným funkciám. Toto už bolo urobené a podrobne popísané v predchádzajúcom odseku.

Teraz opäť nakloníme hlavu doprava a študujeme našu postavu. Je zrejmé, že objem rotačného telesa by sa mal nájsť ako rozdiel v objemoch.

Otáčame figúrku zakrúžkovanú červenou farbou okolo osi, výsledkom čoho je zrezaný kužeľ. Označme tento zväzok .

Zelenou zakrúžkovanou postavou otáčame okolo osi a označíme ju objemom výsledného rotačného telesa.

Objem nášho motýľa sa rovná rozdielu v objemoch.

Na zistenie objemu rotačného telesa používame vzorec:

Aký je rozdiel od vzorca v predchádzajúcom odseku? Iba v liste.

Ale výhoda integrácie, o ktorej som nedávno hovoril, sa hľadá oveľa ľahšie , skôr ako najprv zvýšiť integrand na 4. mocninu.

Odpoveď:

Nie však chorľavý motýľ.

Všimnite si, že ak sa rovnaká plochá figúrka otočí okolo osi, získate úplne iné telo otáčania, prirodzene s iným objemom.

Príklad 6

Daná plochá postava ohraničená čiarami a osou.

1) Prejdite na inverzné funkcie a nájdite oblasť rovinného útvaru ohraničenú týmito čiarami integráciou cez premennú.
2) Vypočítajte objem telesa získaného otáčaním plochého útvaru ohraničeného týmito čiarami okolo osi.

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Záujemcovia môžu nájsť plochu figúry aj „bežným“ spôsobom, a tým skontrolovať bod 1). Ale ak, opakujem, otočíte plochú postavu okolo osi, dostanete úplne iné telo otáčania s iným objemom, mimochodom, správna odpoveď (aj pre tých, ktorí radi riešia problémy).

Kompletné riešenie dvoch navrhnutých bodov úlohy je na konci vyučovacej hodiny.

Áno, a nezabudnite nakloniť hlavu doprava, aby ste pochopili rotáciu a limity integrácie!