O 11. Koľkokrát sa zväčší objem pravidelného štvorstenu, ak sa všetky jeho okraje zväčšia osemnásobne?

Jednotná štátna skúška z matematiky.

Demo verzia č. 8.

Riešenie najťažších úloh skupiny B.

AT 3. Rovnobežník a obdĺžnik majú rovnaké strany. Nájdite ostrý uhol rovnobežníka, ak je jeho plocha polovica plochy obdĺžnika. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.

Riešenie.

Vzorec oblasti rovnobežníka:

S= a . b. hriech α, kde a, b- strany rovnobežníka, sin α - uhol medzi nimi.

Vzorec pre oblasť obdĺžnika:

S= a . b, Kde a, b- strany obdĺžnika.

1) Zdvojnásobte plochu obdĺžnika viac plochy rovnobežník s rovnakými stranami. To je:

a . b = 2 (a . b. hriech α).

2) Vypočítajte sínus uhla α:

a . b
hriech α = ———— = 1/2.
2(a . b)

3) Pamätajme na číselný kruh: ak je sínus uhla 1/2, potom sa tento uhol rovná 30°. Takže problém je vyriešený.

Odpoveď: 30.

O 10. HOD. Na gymnastickom šampionáte sa zúčastňuje 56 športovcov: 27 z Ruska, 22 z USA a zvyšok z Číny. Poradie, v ktorom gymnastky vystúpia, je určené žrebom. Nájdite pravdepodobnosť, že prvý súťažiaci športovec pochádza z Číny.

Riešenie.

Na šampionáte sa zúčastňuje 7 čínskych gymnastiek (56 - 27 - 22 = 7).

To znamená, že pravdepodobnosť, že Číňanka vystúpi ako prvá, je 7 z 56. Tento podiel poskladáme a prevedieme na desatinný zlomok, ktorý bude odpoveďou:

7/56 = 0,125.

Odpoveď: 0,125.

O 11. Koľkokrát sa zväčší objem pravidelného štvorstenu, ak sa všetky jeho okraje zväčšia osemnásobne?

Riešenie.

Vzorec pre objem štvorstenu:

V = √2/12. a 3 kde A- dĺžka okraja štvorstenu.

Vidíme, že objem štvorstenu závisí len od dĺžky jeho hrany. Teda ak porovnáme dva štvorsteny rôzne veľkosti, potom sa ukáže: koľkokrát viac a 3 jedného štvorstenu v porovnaní s druhým, jeho objem je rovnako počet krát väčší. To znamená, že problém možno jednoducho vyriešiť.

Nechaj A= 1. Potom a 3 = 1.

Zväčšíme dĺžku okraja 8-krát - teraz A= 8. Pozrime sa, čo sa stane v tomto prípade:

8 3 = 512.

Záver: ak sa okraj štvorstenu zväčší 8-krát, jeho objem sa zväčší 512-krát.

Odpoveď: 512.

O 12. Závislosť od objemu dopytu q(jednotky za mesiac) za produkty monopolného podniku z ceny p(tisíc rubľov) je daný vzorcom q= 50−5p. Podnikový príjem za mesiac r(tisíc rubľov) sa vypočíta pomocou vzorca r(p) = pq. Určte najvyššiu cenu p, pri ktorej mesačný príjem r(p) bude predstavovať 120 tisíc rubľov. Uveďte svoju odpoveď v tisícoch rubľov.

Riešenie.

Najprv si napíšme, čo vieme z problému:

r(p) = 120,

q= 50−5p.

Do výnosového vzorca r(p) = pq nahradíme tieto dve hodnoty, urobíme redukcie a dostaneme kvadratická rovnica:

p(50−5p) = 120,

50p - 5p 2 = 120,

5p 2 + 50p = 120,

5p 2 + 50p - 120 = 0,

5p 2 - 50p + 120 = 0,

p 2 - 10p + 24 = 0.

Po vyriešení kvadratickej rovnice dostaneme jej dva korene:

p 1 = 4, p 2 = 6.

Musíme určiť najvyššiu cenu – teda z dvoch hodnôt p vyberte druhú: 6 (tisíc rubľov).

Odpoveď: 6.

B13. Dve lode na suchý náklad sledujú paralelné kurzy rovnakým smerom cez more: prvá je dlhá 120 metrov, druhá má dĺžku 80 metrov. Najprv druhá nákladná loď zaostáva za prvou a v určitom čase je vzdialenosť od kormy prvej nákladnej lode po provu druhej 400 metrov. 12 minút potom prvá nákladná loď zaostáva za druhou, takže vzdialenosť od kormy druhej nákladnej lode po provu prvej lode je 600 metrov. O koľko kilometrov za hodinu je rýchlosť prvej nákladnej lode menšia ako rýchlosť druhej?

Riešenie.

Je dôležité pochopiť: prvý nestál na mieste, obaja sa pohli. Je nevyhnutné predstaviť si dve lode so suchým nákladom v pohybe, aby nedošlo k chybe alebo nepotrebným činnostiam, ktoré tiež povedú k nesprávnej odpovedi.

1) Druhá nákladná loď sa teda pohybovala rýchlejšie a za 12 minút predbehla prvú nákladnú loď o 600 metrov, čím prekonala oneskorenie 400 metrov, dĺžku prvej nákladnej lode a vzdialenosť rovnajúcu sa jej vlastnej dĺžke. V dôsledku toho sa posunula vzhľadom na prvú nákladnú loď o súčet všetkých týchto množstiev:

80 + 400 + 120 + 600 = 1200 (m).

12 min - 1200 m

60 minút — X m.

Odtiaľ:

X= 60. 1200: 12 = 6000 m alebo 6 km.

Rýchlosť druhej nákladnej lode je teda o 6 km/h väčšia ako rýchlosť prvej.

Problém je vyriešený.

Odpoveď: 6.

O 12. Počas kolapsu rádioaktívny izotop jeho hmotnosť klesá podľa zákona m(t) = m 0 2 -t/T, kde m 0 (mg) je počiatočná hmotnosť izotopu, t(min.) je čas, ktorý uplynul od počiatočného okamihu. T(min.) - polčas rozpadu izotopu. V počiatočnom momente bola hmotnosť izotopu m 0 = 80 mg. Polčas T = 3 min. Po koľkých minútach bude hmotnosť izotopu 10 mg?

B13. Rodinu tvoria manžel, manželka a ich študentská dcéra. Ak by sa manželov plat zdvojnásobil, celkový príjem rodiny by sa zvýšil o 60 %. Ak by sa štipendium dcéry znížilo na polovicu, celkový príjem rodiny by sa znížil o 2 %. Koľko percent z celkového príjmu rodiny tvorí mzda manželky?

B14. Nájsť najmenšia hodnota funkcie y = 8x 2 - x 3 + 13 na intervale [-5; 5].

ČASŤ 2

Na zaznamenanie riešení a odpovedí na úlohy C1 - C6 použite odpoveďový formulár č.2. Najprv si zapíšte číslo vykonávanej úlohy (C1, C2 atď.) a potom celé odôvodnené rozhodnutie a odpoveď.

C1. a) Vyriešte rovnicu 2sin 3 x - 2sinx + cos 2 x = 0.

b) Nájdite všetky korene tejto rovnice patriace do segmentu [-7π/2; -2π].

C2. Bod E je stredom hrany AA 1 kocky ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Nájdite uhol medzi priamkami DE a BD 1.

C3. Vyriešte systém nerovností

C4. V trojuholníku ABC sú nakreslené osy AA 1 a CC 1, K a M - základne kolmice klesnuté z bodu B na priamky AA 1 a CC 1.

a) Dokážte, že MK = AC.

b) Nájdite oblasť trojuholníka KVM, ak je známe, že AC = 10, BC = 6, AB = 8.

C5. Nájdite všetky hodnoty α, pre každú z nich platí rovnica

Má viac ako tri rôzne riešenia.

C6. Čísla sú napísané v rade: 1 2, 2 2 ..., (N - 1) 2, N 2. Medzi nimi sú náhodne umiestnené znaky „+“ a „-“ a nájde sa výsledný súčet. Môže sa táto suma rovnať:

a) 12, ak N=12?

b) 0, ak N=70?

c) 0, ak N = 48?

d) - 3, ak N = 90?

POUŽITE TEST - 2014 Z MATEMATIKY

MOŽNOSŤ 2

ČASŤ 1

Odpoveď na úlohy B1 - B14 musí byť celé číslo alebo konečné číslo desiatkový. Odpoveď zapíšte do formulára odpovede č. 1 napravo od čísla vykonávanej úlohy, počnúc od prvej bunky. Každé číslo, znamienko mínus a desatinnú čiarku zapíšte do samostatného poľa podľa vzorov uvedených vo formulári. Nie je potrebné písať merné jednotky.

V 1. V maloobchode stojí jedno číslo týždenníka „Report“ 27 rubľov a šesťmesačné predplatné tohto časopisu stojí 550 rubľov. Za šesť mesiacov vychádza 25 čísel časopisu. Koľko rubľov ušetrí pán Ivanov za šesť mesiacov, ak si nebude kupovať každé číslo časopisu samostatne, ale predplatí si ho?

AT 2. Tabuľka ukazuje priemerné skóre účastníkov v 10 krajinách v matematickom teste 4. ročníka v roku 2007 (na stupnici 10 500 bodov).

Pomocou grafu nájdite počet krajín s priemerným skóre medzi 495 a 515.

AT 3. Nájdite oblasť trojuholníka ABCD. Veľkosť každej bunky je 1 cm x 1 cm. Svoju odpoveď uveďte v centimetroch štvorcových.

AT 4. Pre skupinu zahraničných hostí je potrebné zakúpiť 20 sprievodcov. Potrebné príručky sa našli v troch internetových obchodoch. Podmienky nákupu a dodania sú uvedené v tabuľke. Určite, v ktorom obchode bude celková suma nákupu vrátane doručenia najmenšia. Vo svojej odpovedi napíšte najmenšiu sumu v rubľoch.

Dobrý deň, milí priatelia! V tomto článku sa pozrieme na niekoľko problémov, ktoré sa týkajú objemu kužeľa. V minulom článku sme si predstavili niekoľko úloh. Podstata je jednoduchá - je tu podmienka zníženia (zväčšenia) výšky kužeľa alebo polomeru o určitú hodnotu. Vyvstáva otázka, ako sa zmenila hlasitosť.Ešte raz vzorec pre objem kužeľa:

Najprv sa pozrieme na problémy a potom načrtnem niekoľko odporúčaní na riešenia.

27094. Koľkokrát sa zmenší objem kužeľa, ak sa jeho výška zmenší 3-krát?

Je zrejmé, že ak výšku znížime trikrát, objem sa tiež zníži trikrát (vzťah je lineárny). Formálne sa to dá napísať takto:

odpoveď: 3

27095. Koľkokrát sa zväčší objem kužeľa, ak sa polomer jeho základne zväčší 1,5-krát?

Zväčšíme polomer 1,5-krát:

Hlasitosť sa zvýši 2,25-krát.

Odpoveď: 2.25

*To znamená, že môžeme konštatovať:

Ak sa polomer základne kužeľa zmení (zväčší alebo zmenší) n-krát, potom sa jeho objem zodpovedajúcim spôsobom zvýši alebo zníži o n 2-krát. Pozrite si formálny zápis:

Položme si nasledujúci problém.Ako sa zmení objem kužeľa, ak sa jeho výška zväčší 10-krát a jeho polomer sa zmenší 4-krát?

Objem kužeľa sa rovná:

Zväčšíme výšku 10-krát a zmenšíme polomer o 4:

Hodnota 0,625 ukazuje, že hlasitosť sa zníži. To znamená, že objem výsledného kužeľa bude 0,625 objemu pôvodného kužeľa.

Túto zmenu možno vyjadriť aj nasledovne.

Rozdeľte objem pôvodného kužeľa objemom výsledného kužeľa a určte, koľkokrát dôjde k poklesu:

To znamená, že objem kužeľa sa zníži 1,6-krát.

Môžete to povedať - objem výsledného kužeľa je o 1,6 menší ako pôvodný.

Malé zhrnutie!

Ako vidíte, úlohy sú veľmi jednoduché. Podstatou procesu riešenia je „zmenšiť“ vzorec pre objem výsledného kužeľa na túto formu:

*To znamená, že výsledný objem je vyjadrený cez objem pôvodného kužeľa.

Samozrejme, ak sa bavíme len o zmene výšky, tak takýto problém sa dá riešiť aj ústne (priamy vzťah).

Druhý problém (kde sa mení len polomer), ak máte skúsenosti, sa dá riešiť aj ústne, ale je lepšie si podrobne zapísať postup výpočtu.

Problémy, pri ktorých hovoríme o zmene oboch veličín, na skúške neočakávame, ale buďte pre každý prípad pripravení.

V budúcnosti určite zvážime techniku, ktorú je veľmi vhodné použiť pri riešení takýchto úloh. Budeme sa rozprávať nielen o šiškách, ale aj o iných telách, nenechajte si ujsť, prihláste sa na odber noviniek.

To je všetko. Veľa šťastia!

S pozdravom Alexander Krutitskikh.

P.S: Bol by som vďačný, keby ste mi o stránke povedali na sociálnych sieťach.

Objem štvorstenu.V tomto článku sa pozrieme na niekoľko úloh s pyramídami. Ako viete, štvorsten je tiež pyramída. O definícia štvorstenu:

Štvorsten je najjednoduchší mnohosten, má 4 strany, ktoré sú trojuholníkmi. Štvorsten má 4 vrcholy, ku každému vrcholu sa zbiehajú 3 hrany a celkovo je 6 hrán Štvorsten, ktorého steny sú rovnostranné trojuholníky, sa nazýva pravidelný.

Objem pyramídy (a teda štvorstenu):

S - plocha základne pyramídy h – výška pyramídy

Vypočítajme objem pravidelného štvorstenu na hrane rovná hodnote a.

Potom bude plocha každej tváre rovnaká (v tomto prípade základňa ABC):

Vypočítajme výšku SO. Uvažujme správny trojuholník SOC:

*Je známe, že priesečníky trojuholníka sú delené priesečníkom v pomere 1 ku 2.

Vypočítajme CM. Podľa Pytagorovej vety:

Preto:

Objem štvorstenu sa teda bude rovnať:

Význam úloh diskutovaných nižšie je tento: všetky okraje pyramídy alebo iba výška sa niekoľkokrát zväčšia. Je zrejmé, že v tomto prípade sa zväčšuje aj jeho povrch. Ďalej musíte vypočítať, koľkokrát k tomuto zvýšeniu dôjde.

1. Ak sa zväčšuje iba výška pyramídy a je tu otázka o zmene objemu, potom je jasné, že sa zväčšuje priamo úmerne k počiatočnému objemu pyramídy, keďže závislosť je lineárna. Zjednodušene povedané, objem sa zväčšuje toľkokrát, koľkokrát rastie výška.

2. Ak hovoríme o zväčšení všetkých hrán pyramídy o určitý počet krát, potom je potrebné pochopiť, že výsledkom je pyramída podobná pôvodnej a jej plochy sú tiež podobné zodpovedajúcim plochám pyramídy. výsledná pyramída.

Dovoľte mi, aby som vám na tomto mieste v otázke podobnosti postáv a tiel navrhol, aby ste sa obrátili na teóriu načrtnutú v učebnici. V blízkej budúcnosti určite uverejním samostatný článok na túto tému.

Čo sa týka prezentovanej skupiny úloh, podotýkam, že pomocou podobnostných vlastností sú takéto úlohy vyriešené takmer v jednej akcii.

Tu je to, čo si musíte zapamätať a vedieť:

To znamená, že ak zväčšíme všetky okraje pyramídy o k krát, potom sa pomer plochy ktorejkoľvek z jej plôch k ploche pôvodnej zodpovedajúcej plochy bude rovnať k2. Prirodzene, pomer celkových plôch povrchov takýchto pyramíd bude tiež rovný k2.

a:

To znamená, že ak zväčšíme všetky okraje pyramídy k-krát, potom sa pomer objemu výslednej pyramídy k objemu pôvodnej pyramídy bude rovnať k 3 . Zoberme si úlohy:

Koľkokrát sa zväčší objem pravidelného štvorstenu, ak sa všetky jeho okraje zväčšia šestnásťkrát?

Štvorsten je pyramída, ktorej všetky strany sú rovnostranné trojuholníky.

Táto pyramída a pyramída získaná 16-násobným zvýšením všetkých jej hrán budú podobné, koeficient podobnosti sa teda bude rovnať 16.

Objemy podobných telies sú spojené ako kocka koeficientu podobnosti.To znamená, ako už bolo povedané, objem výslednej pyramídy sa rovná súčinu kocky koeficientu podobnosti a objemu pôvodnej pyramídy:

Určme, koľkokrát sa objem zvýši, a nájdime pomer objemov:

Ak sa teda všetky okraje zväčšia 16-krát, objem sa zvýši 4096-krát.

*Problém môžete vyriešiť inak. Označte okraj štvorstenu ako A, potom vyjadrite jeho výšku. Potom určte objemy pyramíd pomocou vzorca a potom nájdite pomer výsledných objemov. Ale takáto cesta bude neprimerane dlhá a bude si vyžadovať mnohonásobne viac času na vyriešenie.

Odpoveď: 4096

Koľkokrát sa objem pyramídy zväčší, ak sa jej výška zväčší dvanásťkrát?

Objem pyramídy sa rovná jednej tretine súčinu plochy základne a výšky:

S– základná plocha

h- výška pyramídy

Ak sa výška zvýši 12-krát, objem pyramídy sa tiež zväčší 12-krát (toto je lineárny vzťah):

odpoveď: 12

Koľkokrát sa plocha pravidelného štvorstenu zväčší, ak sa všetky jeho okraje zväčšia päťnásobne?

Všimnite si, že povrchová plocha štvorstenu sa rovná súčtu plôch jeho štyroch plôch, ktoré sú pravidelnými trojuholníkmi.

Prvý spôsob:

Určme povrchovú plochu pôvodného štvorstenu a zväčšeného a potom nájdime pomer plôch.

Nech je okraj štvorstenu rovný A, potom sa plocha tváre bude rovnať:

*Použili sme trojuholník.

To znamená, že povrch pôvodného štvorstenu sa bude rovnať:

Ak sa okraje štvorstenu zväčšia 5-krát, povrch sa zmení takto:

Pomer plochy je:

Ak sa teda okraje štvorstenu zväčšia päťnásobne, jeho povrch sa zväčší 25-krát.

Druhý spôsob:

Je známe, že keď sa lineárne rozmery obrazca zväčšia (zmenšia) o k-krát, získa sa obrazec, ktorý je mu podobný, ako druhá mocnina koeficientu podobnosti, to znamená:

k – to je koeficient podobnosti

V tejto úlohe k=5.

To znamená, že pomocou vlastnosti podobnosti sa problém rieši ústne:

* Plocha každej strany pyramídy sa zväčší 25-krát, čo znamená, že plocha celej pyramídy sa tiež zväčší 25-krát.

odpoveď: 25

27172. Koľkokrát sa povrch pyramídy zväčší, ak sa všetky jej okraje zdvojnásobia?

Táto úloha sa nelíši od predchádzajúcej. Nezáleží na tom, či hovoríme o štvorstene, pyramíde, kocke, rovnobežnostene alebo inom mnohostene. Ak sa povie, že všetky hrany sa zväčšia rovnakým počtom ráz, potom budú výsledné plochy „nového“ telesa podobné zodpovedajúcim plochám pôvodného telesa. To znamená, že plocha povrchu sa zväčší o k 2-krát (kde k je koeficient podobnosti).