Diferenciácia funkcií daná implicitne online. Implicitná derivácia funkcie

Uvažujme funkciu y(x), ktorá je zapísaná implicitne všeobecný pohľad$ F(x,y(x)) = 0 $. Deriváciu implicitnej funkcie možno nájsť dvoma spôsobmi:

Diferencovaním oboch strán rovnice
Použitím hotového vzorca $ y" = - \frac(F"_x)(F"_y) $

Ako nájsť?

Metóda 1

Nie je potrebné explicitne pretypovať funkciu. Musíte okamžite začať rozlišovať ľavú a pravú stranu rovnice vzhľadom na $ x $. Za povšimnutie stojí, že derivácia $ y" $ sa počíta podľa pravidla diferenciácie komplexnej funkcie. Napríklad $ (y^2)"_x = 2yy" $. Po nájdení derivácie je potrebné vyjadriť $ y" $ z výslednej rovnice a umiestnite $ y" $ na ľavú stranu.

Metóda 2

Môžete použiť vzorec, ktorý používa parciálne derivácie implicitnej funkcie $ F(x,y(x)) = 0 $ v čitateli a menovateli. Ak chcete nájsť čitateľa, vezmite derivát vzhľadom na $ x $ a ako menovateľ vezmite derivát vzhľadom na $ y $.

Druhá derivácia implicitnej funkcie sa dá nájsť opakovaným derivovaním prvej derivácie implicitnej funkcie.

Príklady riešení

Uvažujme praktické príklady riešenia na výpočet derivácie implicitne danej funkcie.

Príklad 1
Nájdite deriváciu implicitnej funkcie $ 3x^2y^2 -5x = 3y - 1 $
Riešenie
Využime metódu č.1. Konkrétne rozlišujeme ľavú a pravú stranu rovnice: $$ (3x^2y^2 -5x)"_x = (3r - 1)"_x $$ Pri diferencovaní nezabudnite použiť vzorec pre deriváciu súčinu funkcií: $$ (3x^2)"_x y^2 + 3x^2 (y^2)"_x - (5x)"_x = (3y)"_x - (1)"_x $$ $$ 6x y^2 + 3x^2 2yy" - 5 = 3 roky" $$ $$ 6x y^2 - 5 = 3r" - 6x^2 yy" $$ $$ 6x y^2 - 5 = y"(3-6x^2 y) $$ $$ y" = \frac(6x y^2 - 5)(3 - 6x^2y ) $$ Ak nemôžete vyriešiť svoj problém, pošlite nám ho. My zabezpečíme podrobné riešenie. Budete si môcť pozrieť priebeh výpočtu a získať informácie. Pomôže vám to získať známku od učiteľa včas!
Odpoveď
$$ y" = \frac(6x y^2 - 5)(3 - 6x^2y ) $$

Príklad 2
Funkcia je daná implicitne, nájdite deriváciu $ 3x^4 y^5 + e^(7x-4y) -4x^5 -2y^4 = 0 $
Riešenie
Využime metódu č.2. Nájdenie parciálnych derivácií funkcie $ F(x,y) = 0 $ Nech je $ y $ konštantné a diferencované vzhľadom na $ x $: $$ F"_x = 12x^3 y^5 + e^(7x-4y) \cdot 7 - 20x^4 $$ $$ F"_x = 12x^3 y^5 + 7e^(7x-4y) - 20x^4 $$ Teraz považujeme $ x $ za konštantu a diferencujeme vzhľadom na $ y $: $$ F"_y = 15x^4 y^4 + e^(7x-4y) \cdot (-4) - 8y^3 $$ $$ F"_y = 15x^4 y^4 - 4e^(7x-4y) - 8r^3 $$ Teraz do vzorca dosadíme $ y" = -\frac(F"_y)(F"_x) $ a dostaneme: $$ y" = -\frac(12x^3 y^5 + 7e^(7x-4y) - 20x^4)(15x^4 y^4 - 4e^(7x-4y) - 8y^3) $$
Odpoveď
$$ y" = -\frac(12x^3 y^5 + 7e^(7x-4y) - 20x^4)(15x^4 y^4 - 4e^(7x-4y) - 8y^3) $$

Definícia. Nech je funkcia $y = f(x)$ definovaná v určitom intervale obsahujúcom bod $x_0$. Dajme argumentu prírastok $\Delta x $ tak, aby neopustil tento interval. Nájdeme zodpovedajúci prírastok funkcie $\Delta y $ (pri pohybe z bodu $x_0 $ do bodu $x_0 + \Delta x $) a zostavíme vzťah $\frac(\Delta y)(\Delta x) $. Ak existuje limit pre tento pomer na $\Delta x \rightarrow 0$, potom sa zadaný limit nazýva derivácia funkcie$y=f(x) $ v bode $x_0 $ a označte $f"(x_0) $.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Symbol y sa často používa na označenie derivácie." Všimnite si, že y" = f(x) je Nová funkcia, ale prirodzene spojená s funkciou y = f(x), definovanou vo všetkých bodoch x, v ktorých existuje vyššie uvedená limita. Táto funkcia sa volá takto: derivácia funkcie y = f(x).

Geometrický význam derivácie je nasledujúca. Ak je možné nakresliť dotyčnicu ku grafu funkcie y = f(x) v bode s os x=a, ktorý nie je rovnobežný s osou y, potom f(a) vyjadruje sklon dotyčnice. :
$k = f"(a)$

Keďže $k = tg(a) $, potom platí rovnosť $f"(a) = tan(a) $.

Teraz poďme interpretovať definíciu derivácie z pohľadu približných rovnosti. Nech funkcia $y = f(x)$ má deriváciu v konkrétnom bode $x$:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
To znamená, že blízko bodu x je približná rovnosť $\frac(\Delta y)(\Delta x) \približne f"(x)$, t.j. $\Delta y \približne f"(x) \cdot\ Delta x$. Zmysluplný význam výslednej približnej rovnosti je nasledovný: prírastok funkcie je „takmer úmerný“ prírastku argumentu a koeficient úmernosti je hodnota derivácie v daný bod X. Napríklad pre funkciu $y = x^2$ platí približná rovnosť $\Delta y \cca 2x \cdot \Delta x $. Ak dôkladne analyzujeme definíciu derivátu, zistíme, že obsahuje algoritmus na jeho nájdenie.

Poďme to sformulovať.

Ako nájsť deriváciu funkcie y = f(x)?

1. Opravte hodnotu $x$, nájdite $f(x)$
2. Dajte argumentu $x$ prírastok $\Delta x$, prejdite na nový bod$x+ \Delta x $, nájdite $f(x+ \Delta x) $
3. Nájdite prírastok funkcie: $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) $
4. Vytvorte vzťah $\frac(\Delta y)(\Delta x) $
5. Vypočítajte $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Táto limita je deriváciou funkcie v bode x.

Ak funkcia y = f(x) má deriváciu v bode x, potom sa nazýva diferencovateľná v bode x. Zavolá sa procedúra na nájdenie derivácie funkcie y = f(x). diferenciácia funkcie y = f(x).

Poďme diskutovať o nasledujúcej otázke: ako spolu súvisí spojitosť a diferencovateľnosť funkcie v bode?

Nech je funkcia y = f(x) diferencovateľná v bode x. Potom je možné ku grafu funkcie v bode M(x; f(x)) nakresliť dotyčnicu a pripomíname, že uhlový koeficient dotyčnice sa rovná f "(x). Takýto graf sa nemôže „rozbiť“ v bode M, teda funkcia musí byť spojitá v bode x.

Boli to „praktické“ argumenty. Uveďme dôslednejšie zdôvodnenie. Ak je funkcia y = f(x) diferencovateľná v bode x, potom platí približná rovnosť $\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x$. Ak v tejto rovnosti $\Delta x $ inklinuje k nule, potom $\Delta y $ bude inklinovať k nule, a to je podmienka spojitosti funkcie v bode.

takže, ak je funkcia diferencovateľná v bode x, potom je v tomto bode spojitá.

Opačné tvrdenie nie je pravdivé. Napríklad: funkcia y = |x| je všade spojitá, najmä v bode x = 0, ale dotyčnica ku grafu funkcie v „bode spojenia“ (0; 0) neexistuje. Ak v určitom bode nemožno nakresliť tangens ku grafu funkcie, potom derivácia v tomto bode neexistuje.

Ešte jeden príklad. Funkcia $y=\sqrt(x)$ je spojitá na celej číselnej osi, vrátane bodu x = 0. A dotyčnica ku grafu funkcie existuje v akomkoľvek bode, vrátane bodu x = 0 Ale v tomto bode sa dotyčnica zhoduje s osou y, t.j. je kolmá na os x, jej rovnica má tvar x = 0. Takáto priamka nemá uhlový koeficient, čo znamená, že $f "(0)$ neexistuje.

Zoznámili sme sa teda s novou vlastnosťou funkcie – diferencovateľnosťou. Ako možno z grafu funkcie vyvodiť záver, že je diferencovateľná?

Odpoveď je vlastne uvedená vyššie. Ak je v určitom bode možné nakresliť dotyčnicu ku grafu funkcie, ktorá nie je kolmá na os x, potom je funkcia v tomto bode diferencovateľná. Ak v určitom bode dotyčnica ku grafu funkcie neexistuje alebo je kolmá na os x, potom funkcia v tomto bode nie je diferencovateľná.

Pravidlá diferenciácie

Operácia nájdenia derivátu sa nazýva diferenciácia. Pri vykonávaní tejto operácie musíte často pracovať s kvocientmi, súčtami, súčinmi funkcií, ako aj „funkciami funkcií“, teda komplexnými funkciami. Na základe definície derivátu vieme odvodiť pravidlá diferenciácie, ktoré túto prácu uľahčia. Ak je C konštantné číslo a f=f(x), g=g(x) sú niektoré diferencovateľné funkcie, potom platí nasledovné pravidlá diferenciácie:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Derivácia komplexnej funkcie:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabuľka derivácií niektorých funkcií

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Nech je funkcia špecifikovaná implicitne pomocou rovnice
(1) .
A nech má táto rovnica nejakú hodnotu jediné rozhodnutie. Nech je funkcia diferencovateľná funkcia v bode , A
.
Potom pri tejto hodnote existuje derivácia, ktorá je určená vzorcom:
(2) .

Dôkaz

Aby ste to dokázali, zvážte funkciu ako komplexnú funkciu premennej:
.
Aplikujme pravidlo diferenciácie komplexnej funkcie a nájdime deriváciu vzhľadom na premennú z ľavej a pravej strany rovnice
(3) :
.
Pretože derivácia konštanty je nula a potom
(4) ;
.

Vzorec je osvedčený.

Deriváty vyššieho rádu

Prepíšme rovnicu (4) pomocou rôznych zápisov:
(4) .
Zároveň sú komplexné funkcie premennej:
;
.
Závislosť je určená rovnicou (1):
(1) .

Nájdeme deriváciu vzhľadom na premennú z ľavej a pravej strany rovnice (4).
Podľa vzorca pre deriváciu komplexnej funkcie máme:
;
.
Podľa vzorca derivátu produktu:

.
Pomocou vzorca odvodeného súčtu:

.

Pretože derivácia pravej strany rovnice (4) sa rovná nule, potom
(5) .
Nahradením derivácie tu získame hodnotu derivácie druhého rádu v implicitnej forme.

Podobným spôsobom derivovaním rovnice (5) dostaneme rovnicu obsahujúcu deriváciu tretieho rádu:
.
Nahradením nájdených hodnôt derivácií prvého a druhého rádu nájdeme hodnotu derivácie tretieho rádu.

Pokračujúcou diferenciáciou možno nájsť derivát akéhokoľvek poriadku.

Príklady

Príklad 1

Nájdite deriváciu prvého rádu funkcie danej implicitne rovnicou:
(P1) .

Riešenie podľa vzorca 2

Derivát nájdeme pomocou vzorca (2):
(2) .

Presuňme všetky premenné do ľavá strana aby rovnica nadobudla tvar .
.
Odtiaľ.

Nájdeme deriváciu vzhľadom na , pričom ju považujeme za konštantnú.
;
;
;
.

Nájdeme deriváciu vzhľadom na premennú, berúc do úvahy premennú konštantu.
;
;
;
.

Pomocou vzorca (2) zistíme:
.

Výsledok môžeme zjednodušiť, ak si všimneme, že podľa pôvodnej rovnice (A.1) . Nahradíme:
.
Vynásobte čitateľa a menovateľa:
.

Riešenie druhého spôsobu

Vyriešme tento príklad druhým spôsobom. Aby sme to dosiahli, nájdeme deriváciu vzhľadom na premennú ľavej a pravej strany pôvodnej rovnice (A1).

Aplikujeme:
.
Použijeme vzorec derivačnej frakcie:
;
.
Použijeme vzorec pre deriváciu komplexnej funkcie:
.
Derivujme pôvodnú rovnicu (A1).
(P1) ;
;
.
Násobíme a zoskupujeme pojmy.
;
.

Dosadíme (z rovnice (A1)):
.
Vynásobte:
.

Odpoveď

Príklad 2

Nájdite deriváciu druhého rádu funkcie danej implicitne pomocou rovnice:
(A2.1) .

Riešenie

Pôvodnú rovnicu diferencujeme vzhľadom na premennú, pretože je funkciou:
;
.
Aplikujeme vzorec pre deriváciu komplexnej funkcie.
.

Rozlišujme pôvodnú rovnicu (A2.1):
;
.
Z pôvodnej rovnice (A2.1) vyplýva, že . Nahradíme:
.
Otvorte zátvorky a zoskupte členov:
;
(A2.2) .
Nájdeme deriváciu prvého rádu:
(A2.3) .

Aby sme našli deriváciu druhého rádu, derivujeme rovnicu (A2.2).
;
;
;
.
Nahradime výraz za deriváciu prvého rádu (A2.3):
.
Vynásobte:

;
.
Odtiaľto nájdeme derivát druhého rádu.

Odpoveď

Príklad 3

Nájdite deriváciu tretieho rádu funkcie danej implicitne pomocou rovnice:
(A3.1) .

Riešenie

Pôvodnú rovnicu diferencujeme vzhľadom na premennú za predpokladu, že je funkciou .
;
;
;
;
;
;
(A3.2) ;

Diferencujme rovnicu (A3.2) vzhľadom na premennú .
;
;
;
;
;
(A3.3) .

Derivujme rovnicu (A3.3).
;
;
;
;
;
(A3.4) .

Z rovníc (A3.2), (A3.3) a (A3.4) nájdeme hodnoty derivácií na .
;
;
.

Najprv sa pozrime na implicitnú funkciu jednej premennej. Je určená rovnicou (1), ktorá spája každé x z určitej oblasti X s určitým y. Potom na X je funkcia y=f(x) určená touto rovnicou. Volajú ju implicitne alebo implicitne dané. Ak sa dá vyriešiť rovnica (1) vzhľadom na y, t.j. získajte tvar y=f(x), potom sa zadaním implicitnej funkcie stane explicitné. Nie vždy je však možné rovnicu vyriešiť a v tomto prípade nie je vždy jasné, či implicitná funkcia y=f(x), definovaná rovnicou (1) v niektorom okolí bodu (x 0 , y 0 ), vôbec existuje.

Napríklad rovnica
je nerozhodnuteľný relatívny a nie je jasné, či napríklad definuje implicitnú funkciu v nejakom okolí bodu (1,0). Všimnite si, že existujú rovnice, ktoré nedefinujú žiadnu funkciu (x 2 +y 2 +1=0).

Nasledujúca veta sa ukazuje ako pravdivá:

Veta"Existencia a diferencovateľnosť implicitnej funkcie" (bez dôkazu)

Nech je daná rovnica
(1) a funkciu
, spĺňa podmienky:

potom:

. (2)

Geometricky veta hovorí, že v okolí bodu
, kde sú splnené podmienky vety, implicitná funkcia definovaná rovnicou (1) môže byť špecifikovaná explicitne y=f(x), pretože Pre každú hodnotu x existuje jedinečné y. Aj keď nenájdeme výraz pre funkciu v explicitnom tvare, sme si istí, že v niektorom okolí bodu M 0 je to už v princípe možné.

Pozrime sa na rovnaký príklad:
. Pozrime sa na podmienky:

1)
,
- funkcia aj jej derivácie sú spojité v okolí bodu (1,0) (ako súčet a súčin spojitých).

2)
.

3)
. To znamená, že implicitná funkcia y = f(x) existuje v okolí bodu (1,0). Nemôžeme ho zapísať explicitne, ale stále môžeme nájsť jeho derivát, ktorý bude dokonca spojitý:

Uvažujme teraz implicitná funkcia viacerých premenných. Nech je daná rovnica

. (2)

Ak ku každému páru hodnôt (x, y) z určitej oblasti rovnica (2) priraďuje jednu špecifickú hodnotu z, potom sa hovorí, že táto rovnica implicitne definuje jednohodnotovú funkciu dvoch premenných.
.

Platná je aj príslušná veta o existencii a diferenciácii implicitnej funkcie viacerých premenných.

Veta 2: Nech je daná rovnica
(2) a funkciu
spĺňa podmienky:

Príklad:
. Táto rovnica definuje z ako dvojhodnotovú implicitnú funkciu x a y
. Ak skontrolujeme podmienky vety v blízkosti bodu, napríklad (0,0,1), vidíme, že všetky podmienky sú splnené:

To znamená, že v okolí bodu (0,0,1) existuje implicitná jednohodnotová funkcia: Okamžite môžeme povedať, že toto je
, definujúce hornú hemisféru.

Existujú spojité parciálne derivácie
Mimochodom, ukážu sa byť rovnaké, ak diferencujeme implicitnú funkciu vyjadrenú explicitne priamo.

Definícia a veta o existencii a diferenciácii implicitnej funkcie viac argumenty su podobne.

Derivácia funkcie špecifikovanej implicitne

Alebo skrátka derivácia implicitnej funkcie. Čo je to implicitná funkcia? Keďže moje hodiny sú praktické, snažím sa vyhýbať definíciám a teorémom, ale tu by bolo vhodné to urobiť. Čo je to vlastne funkcia?

Funkcia jednej premennej je pravidlo, podľa ktorého každej hodnote nezávislej premennej zodpovedá jedna a len jedna hodnota funkcie.

Premenná sa volá nezávislá premenná alebo argument.
Premenná sa volá závislá premenná alebo funkciu.

Zhruba povedané, písmeno „Y“ je v tomto prípade funkciou.

Doteraz sme sa zamerali na funkcie definované v explicitné formulár. Čo to znamená? Urobme zhrnutie na konkrétnych príkladoch.

Zvážte funkciu

Vidíme, že vľavo máme osamelú „hru“ (funkciu) a vpravo - iba "X". Teda funkcia výslovne vyjadrené prostredníctvom nezávislej premennej.

Pozrime sa na ďalšiu funkciu:

Tu sú premenné zmiešané. Navyše akýmkoľvek spôsobom nemožné vyjadrite „Y“ iba prostredníctvom „X“. Aké sú tieto metódy? Prenášanie pojmov z časti do časti so zmenou znamienka, ich vyraďovanie zo zátvoriek, hádzanie faktorov podľa pravidla proporcie atď. Prepíšte rovnosť a skúste explicitne vyjadriť „y“: . Môžete krútiť a otáčať rovnicu celé hodiny, ale neuspejete.

Dovoľte mi predstaviť vám: – príklad implicitná funkcia.

V priebehu matematickej analýzy sa dokázalo, že implicitná funkcia existuje(nie však vždy), má graf (rovnako ako „normálna“ funkcia). Implicitná funkcia je úplne rovnaká existuje prvá derivácia, druhá derivácia atď. Ako sa hovorí, všetky práva sexuálnych menšín sú rešpektované.

A v tejto lekcii sa naučíme, ako nájsť deriváciu funkcie definovanej implicitne. Nie je to také ťažké! Všetky pravidlá diferenciácie, tabuľka derivácií elementárne funkcie zostávajú v platnosti. Rozdiel je v jednom zvláštnom momente, na ktorý sa pozrieme práve teraz.

Áno, a poviem vám dobrú správu - úlohy uvedené nižšie sa vykonávajú podľa pomerne prísneho a jasného algoritmu bez kameňa pred tromi stopami.

Príklad 1

1) V prvej fáze pripojíme ťahy na obe časti:

2) Používame pravidlá linearity derivácie (prvé dve pravidlá lekcie Ako nájsť derivát? Príklady riešení):

3) Priama diferenciácia.
Ako rozlišovať je úplne jasné. Čo robiť, keď sú pod ťahmi „hry“?

- až do hanby, derivácia funkcie sa rovná jej derivácii: .

Ako sa odlíšiť
Tu máme komplexná funkcia. prečo? Zdá sa, že pod sínusom je iba jedno písmeno „Y“. Faktom však je, že existuje iba jedno písmeno „y“ - JE SAMA FUNKCIOU(pozri definíciu na začiatku hodiny). Sínus je teda vonkajšia funkcia, - vnútorná funkcia. Pravidlo používame na diferenciáciu komplexnej funkcie :

Produkt rozlišujeme podľa zaužívaného pravidla :

Upozorňujeme, že – je tiež komplexná funkcia, každá „hra so zvončekmi a píšťalkami“ je komplexná funkcia:

Samotné riešenie by malo vyzerať asi takto:

Ak existujú zátvorky, rozbaľte ich:

4) Na ľavej strane zhromažďujeme výrazy, ktoré obsahujú „Y“ s prvočíslom. Presuňte všetko ostatné na pravú stranu:

5) Na ľavej strane vyberieme deriváciu zo zátvoriek:

6) A podľa pravidla proporcie umiestnime tieto zátvorky do menovateľa pravej strany:

Derivát sa našiel. Pripravený.

Je zaujímavé poznamenať, že každá funkcia môže byť prepísaná implicitne. Napríklad funkcia možno prepísať takto: . A rozlíšiť to pomocou algoritmu, o ktorom sme práve hovorili. V skutočnosti sa frázy „implicitná funkcia“ a „implicitná funkcia“ líšia v jednej sémantickej nuancii. Fráza „implicitne špecifikovaná funkcia“ je všeobecnejšia a správnejšia, – táto funkcia je špecifikovaná implicitne, ale tu môžete vyjadriť „hru“ a prezentovať funkciu explicitne. Fráza „implicitná funkcia“ sa vzťahuje na „klasickú“ implicitnú funkciu, keď „hra“ nemôže byť vyjadrená.

Druhé riešenie

Pozor! S druhou metódou sa môžete zoznámiť iba vtedy, ak viete, ako ju s istotou nájsť parciálne deriváty. Začiatočníci v kalkulácii a figuríny, prosím nečítaj a preskoč tento bod, inak bude vaša hlava úplný chaos.

Nájdite deriváciu implicitnej funkcie pomocou druhej metódy.

Všetky výrazy presunieme na ľavú stranu:

A zvážte funkciu dvoch premenných:

Potom je možné nájsť našu deriváciu pomocou vzorca
Poďme nájsť parciálne derivácie:

Takto:

Druhé riešenie umožňuje vykonať kontrolu. Neodporúča sa im však vypisovať konečnú verziu zadania, pretože parciálne derivácie sa ovládajú neskôr a študent, ktorý študuje tému „Derivácia funkcie jednej premennej“, by parciálne derivácie ešte nemal poznať.

Pozrime sa na niekoľko ďalších príkladov.

Príklad 2

Nájdite deriváciu funkcie danej implicitne

Pridajte ťahy do oboch častí:

Používame pravidlá linearity:

Hľadanie derivátov:

Otvorenie všetkých zátvoriek:

Všetky výrazy s presunieme na ľavú stranu, zvyšok na pravú stranu:

Na ľavej strane sme to dali zo zátvoriek:

Konečná odpoveď: