Čo je párna a nepárna funkcia? Párne a nepárne funkcie

Grafy párnych a nie dokonca funkciu majú nasledujúce vlastnosti:

Ak je funkcia párna, jej graf je symetrický podľa ordináty. Ak je funkcia nepárna, jej graf je symetrický podľa počiatku.

Príklad. Zostrojte graf funkcie \(y=\vľavo|x \vpravo|\).

Riešenie. Zvážte funkciu: \(f\left(x \right)=\left|x \right|\) a namiesto \(x \) dosaďte opačné \(-x \). V dôsledku jednoduchých transformácií dostaneme: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ V inom slová, ak argument nahradíte opačným znamienkom, funkcia sa nezmení.

To znamená, že táto funkcia je párna a jej graf bude symetrický podľa ordinátnej osi ( vertikálna os). Graf tejto funkcie je znázornený na obrázku vľavo. To znamená, že pri vytváraní grafu môžete nakresliť iba polovicu a druhú časť (naľavo od zvislej osi, kresliť symetricky k pravej časti). Určením symetrie funkcie pred začatím vykresľovania jej grafu môžete výrazne zjednodušiť proces konštrukcie alebo štúdia funkcie. Ak je ťažké vykonať všeobecnú kontrolu, môžete to urobiť jednoduchšie: do rovnice nahraďte rovnaké hodnoty rôznych znakov. Napríklad -5 a 5. Ak sa hodnoty funkcie ukážu byť rovnaké, potom môžeme dúfať, že funkcia bude párna. Z matematického hľadiska tento prístup nie je úplne správny, ale z praktického hľadiska je pohodlný. Ak chcete zvýšiť spoľahlivosť výsledku, môžete nahradiť niekoľko párov takýchto opačných hodnôt.

Príklad. Zostrojte graf funkcie \(y=x\vľavo|x \vpravo|\).

Riešenie. Skontrolujeme to isté ako v predchádzajúcom príklade: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right ) $$ Znamená to, že pôvodná funkcia je nepárna (znamienko funkcie sa zmenilo na opačné).

Záver: funkcia je symetrická podľa pôvodu. Môžete postaviť iba jednu polovicu a druhú nakresliť symetricky. Tento druh symetrie je ťažšie nakresliť. To znamená, že sa na graf pozeráte z druhej strany hárku a dokonca aj hore nohami. Alebo môžete urobiť toto: vezmite nakreslenú časť a otočte ju okolo začiatku o 180 stupňov proti smeru hodinových ručičiek.

Príklad. Zostrojte graf funkcie \(y=x^3+x^2\).

Riešenie. Vykonajte rovnakú kontrolu zmeny znamienka ako v predchádzajúcich dvoch príkladoch. $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ Výsledkom je že: $$f\vľavo(-x \vpravo)\not=f\vľavo(x \vpravo),f\vľavo(-x \vpravo)\nie=-f\vľavo(x \vpravo)$$ A toto znamená, že funkcia nie je ani párna, ani nepárna.

Záver: funkcia nie je symetrická ani vzhľadom k počiatku, ani k stredu súradnicového systému. Stalo sa to preto, lebo ide o súčet dvoch funkcií: párne a nepárne. Rovnaká situácia nastane, ak odpočítate dve rôzne funkcie. Násobenie alebo delenie však povedie k inému výsledku. Napríklad súčin párnej a nepárnej funkcie vytvorí nepárnu funkciu. Alebo kvocient dvoch nepárnych čísel vedie k párnej funkcii.

Na tento účel použite milimetrový papier alebo grafickú kalkulačku. Vyberte ľubovoľný počet číselných hodnôt pre nezávislú premennú x (\displaystyle x) a vložte ich do funkcie na výpočet hodnôt pre závislú premennú y (\displaystyle y) . Nakreslite nájdené súradnice bodov na rovine súradníc a potom tieto body spojte, aby ste vytvorili graf funkcie.

• Do funkcie nahraďte kladné číselné hodnoty x (\displaystyle x) a zodpovedajúce záporné číselné hodnoty. Napríklad vzhľadom na funkciu . Nahraďte do nej nasledujúce hodnoty x (\displaystyle x):
  • f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(1)=2(1)^(2)+1=2+1=3) (1, 3) (\ štýl zobrazenia (1,3)) .
  • f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(2)=2(2)^(2)+1=2(4)+1 =8+1=9). Získali sme bod so súradnicami (2, 9) (\displaystyle (2,9)).
  • f (− 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(-1)=2(-1)^(2)+1=2+1=3) . Dostali sme bod so súradnicami (− 1, 3) (\displaystyle (-1,3)) .
  • f (− 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(-2)=2(-2)^(2)+1=2( 4)+1=8+1=9) . Dostali sme bod so súradnicami (− 2, 9) (\displaystyle (-2,9)) .

Skontrolujte, či je graf funkcie symetrický podľa osi Y zrkadlový odraz grafiku vzhľadom na súradnicovú os. Ak je časť grafu napravo od osi Y (kladné hodnoty nezávislej premennej) rovnaká ako časť grafu naľavo od osi Y (záporné hodnoty nezávislej premennej ), graf je symetrický podľa osi y Ak je funkcia symetrická podľa osi y, funkcia je párna.

• Pomocou jednotlivých bodov môžete skontrolovať symetriu grafu. Ak sa hodnota y (\displaystyle y) x (\displaystyle x) zhoduje s hodnotou y (\displaystyle y), ktorá sa zhoduje s hodnotou − x (\displaystyle -x) , funkcia je párna. V našom príklade s funkciou f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1) sme dostali nasledujúce súradnice bodov:
  • (1,3) a (-1,3)
  • (2,9) a (-2,9)
• Všimnite si, že pre x=1 a x=-1 je závislá premenná y=3 a pre x=2 a x=-2 je závislá premenná y=9. Funkcia je teda rovnomerná. V skutočnosti, aby ste presne určili formu funkcie, musíte zvážiť viac ako dva body, ale opísaná metóda je dobrou aproximáciou.

Skontrolujte, či je graf funkcie symetrický podľa počiatku. Počiatok je bod so súradnicami (0,0). Symetria okolo pôvodu znamená, že kladná hodnota y (\displaystyle y) (pre kladná hodnota x (\displaystyle x) ) zodpovedá zápornej hodnote y (\displaystyle y) (pre zápornú hodnotu x (\displaystyle x) ) a naopak. Nepárne funkcie majú symetriu okolo pôvodu.

• Ak do funkcie dosadíte niekoľko kladných a zodpovedajúcich záporných hodnôt x (\displaystyle x), hodnoty y (\displaystyle y) sa budú líšiť v znamienku. Napríklad zadanú funkciu f (x) = x 3 + x (\displaystyle f(x)=x^(3)+x) . Dosaďte doň niekoľko hodnôt x (\displaystyle x):
  • f (1) = 1 3 + 1 = 1 + 1 = 2 (\displaystyle f(1)=1^(3)+1=1+1=2) . Dostali sme bod so súradnicami (1,2).
  • f (− 1) = (− 1) 3 + (− 1) = − 1 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(3)+(-1)=-1- 1=-2)
  • f (2) = 2 3 + 2 = 8 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(3)+2=8+2=10)
  • f (− 2) = (− 2) 3 + (− 2) = − 8 − 2 = − 10 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(3)+(-2)=-8- 2 = -10). Dostali sme bod so súradnicami (-2,-10).
• Teda f(x) = -f(-x), to znamená, že funkcia je nepárna.

Skontrolujte, či má graf funkcie nejakú symetriu. Posledným typom funkcie je funkcia, ktorej graf nemá žiadnu symetriu, to znamená, že neexistuje zrkadlový obraz vzhľadom na zvislú os, ani vzhľadom na počiatok. Napríklad vzhľadom na funkciu .

• Do funkcie nahraďte niekoľko kladných a zodpovedajúcich záporných hodnôt x (\displaystyle x):
  • f (1) = 1 2 + 2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 (\displaystyle f(1)=1^(2)+2(1)+1=1+2+1=4 ). Dostali sme bod so súradnicami (1,4).
  • f (− 1) = (− 1) 2 + 2 (− 1) + (− 1) = 1 − 2 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(2)+2 (-1)+(-1)=1-2-1=-2). Dostali sme bod so súradnicami (-1,-2).
  • f (2) = 2 2 + 2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(2)+2(2)+2=4+4+2=10 ). Dostali sme bod so súradnicami (2,10).
  • f (− 2) = (− 2) 2 + 2 (− 2) + (− 2) = 4 − 4 − 2 = − 2 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(2)+2 (-2)+(-2)=4-4-2=-2). Dostali sme bod so súradnicami (2,-2).
• Podľa získaných výsledkov neexistuje žiadna symetria. Hodnoty y (\displaystyle y) pre opačné hodnoty x (\displaystyle x) nie sú rovnaké a nie sú opačné. Funkcia teda nie je ani párna, ani nepárna.
• Upozorňujeme, že funkciu f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) možno zapísať takto: f (x) = (x + 1 ) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)) . Pri zápise v tomto tvare sa funkcia objaví aj preto, že existuje párny exponent. Tento príklad však dokazuje, že typ funkcie nemožno rýchlo určiť, ak je nezávislá premenná uzavretá v zátvorkách. V tomto prípade musíte otvoriť zátvorky a analyzovať získané exponenty.

Štúdia funkcie.

1) D(y) – Definičný obor: množina všetkých týchto hodnôt premennej x. pre ktoré dávajú zmysel algebraické výrazy f(x) a g(x).

Ak je funkcia daná vzorcom, potom oblasť definície pozostáva zo všetkých hodnôt nezávislej premennej, pre ktoré má vzorec zmysel.

2) Vlastnosti funkcie: párne/nepárne, periodicita:

Funkcie, ktorých grafy sú symetrické vzhľadom na zmeny znamienka argumentu, sa nazývajú nepárne a párne.

Nepárna funkcia je funkcia, ktorá pri zmene znamienka nezávislej premennej (symetricky voči stredu súradníc) mení svoju hodnotu na opačnú.

Párna funkcia je funkcia, ktorá nemení svoju hodnotu pri zmene znamienka nezávislej premennej (symetricky podľa ordináty).

Ani párna, ani nepárna funkcia (funkcia všeobecný pohľad) je funkcia, ktorá nemá symetriu. Táto kategória obsahuje funkcie, ktoré nespadajú pod predchádzajúce 2 kategórie.

Volajú sa funkcie, ktoré nepatria do žiadnej z vyššie uvedených kategórií ani párne, ani nepárne(alebo všeobecné funkcie).

Nepárne funkcie

Nepárna mocnina kde je ľubovoľné celé číslo.

Dokonca aj funkcie

Dokonca aj mocnina kde je ľubovoľné celé číslo.

Periodická funkcia je funkcia, ktorá opakuje svoje hodnoty po určitom pravidelnom intervale argumentov, to znamená, že nemení svoju hodnotu, keď k argumentu pridáva nejaké pevné nenulové číslo (periódu funkcie) v celej doméne definícia.

3) Nuly (korene) funkcie sú body, kde sa stáva nulou.

Nájdenie priesečníka grafu s osou Oj. Aby ste to dosiahli, musíte vypočítať hodnotu f(0). Nájdite tiež priesečníky grafu s osou Vôl, prečo nájsť korene rovnice f(X) = 0 (alebo sa uistite, že neexistujú žiadne korene).

Body, v ktorých graf pretína os, sa nazývajú nuly funkcie. Ak chcete nájsť nuly funkcie, musíte vyriešiť rovnicu, to znamená nájsť tie hodnoty „x“, pri ktorých sa funkcia stáva nulou.

4) Intervaly stálosti znakov, znaky v nich.

Intervaly, v ktorých si funkcia f(x) zachováva znamienko.

Interval konštantného znamienka je interval, v ktorom je funkcia kladná alebo záporná.

NAD osou x.

POD osou.

5) Spojitosť (body diskontinuity, povaha diskontinuity, asymptoty).

Spojitá funkcia je funkcia bez „skokov“, teda taká, v ktorej malé zmeny v argumente vedú k malým zmenám v hodnote funkcie.

Odnímateľné body zlomu

Ak je limita funkcie existuje, ale funkcia nie je v tomto bode definovaná, alebo sa limit nezhoduje s hodnotou funkcie v tomto bode:

,

potom sa bod nazýva odnímateľný bod zlomu funkcie (v komplexnej analýze odnímateľný singulárny bod).

Ak funkciu „opravíme“ v bode odstrániteľnej diskontinuity a položíme , potom dostaneme funkciu, ktorá je v danom bode spojitá. Táto operácia s funkciou sa volá rozšírenie funkcie na nepretržitú alebo predefinovanie funkcie kontinuitou, čo odôvodňuje názov bodu ako bod odnímateľné prasknutie.

Body diskontinuity prvého a druhého druhu

Ak má funkcia v danom bode diskontinuitu (to znamená, že limita funkcie v danom bode chýba alebo sa nezhoduje s hodnotou funkcie v danom bode), potom pre numerické funkcie existujú dve možné možnosti: spojené s existenciou numerických funkcií jednostranné limity:

ak obe jednostranné limity existujú a sú konečné, potom sa takýto bod nazýva bodom diskontinuity prvého druhu. Odnímateľné body diskontinuity sú body diskontinuity prvého druhu;

ak aspoň jeden z jednostranné limity neexistuje alebo nie je konečnou veličinou, potom sa takýto bod nazýva bodom nespojitosti druhého druhu.

asymptota - rovno, ktorá má vlastnosť, že vzdialenosť od bodu na krivke k tomuto rovno má tendenciu k nule, keď sa bod vzďaľuje pozdĺž vetvy do nekonečna.

Vertikálne

Vertikálna asymptota - limitná čiara .

Spravidla pri určovaní vertikálnej asymptoty nehľadajú jednu limitu, ale dve jednostranné (ľavú a pravú). Toto sa robí s cieľom určiť, ako sa funkcia správa, keď sa približuje k vertikálnej asymptote z rôznych smerov. Napríklad:

Horizontálne

Horizontálna asymptota - rovno druhov, ktoré podliehajú existencii limit

.

Naklonený

Šikmá asymptota - rovno druhov, ktoré podliehajú existencii limity

Poznámka: funkcia nemôže mať viac ako dve šikmé (horizontálne) asymptoty.

Poznámka: ak aspoň jedna z dvoch limitov uvedených vyššie neexistuje (alebo sa rovná ), potom šikmá asymptota v (alebo ) neexistuje.

ak v položke 2.), potom , a limita sa nájde pomocou vzorca horizontálnej asymptoty, .

6) Hľadanie intervalov monotónnosti. Nájdite intervaly monotónnosti funkcie f(X) (čiže intervaly zvyšovania a znižovania). Robí sa to skúmaním znamienka derivácie f(X). Ak to chcete urobiť, nájdite derivát f(X) a vyriešte nerovnosť f(X)0. Na intervaloch, kde platí táto nerovnosť, funkcia f(X)zvyšuje. Kde platí obrátená nerovnosť f(X)0, funkcia f(X) klesá.

Nájdenie lokálneho extrému. Po zistení intervalov monotónnosti môžeme okamžite určiť miestne extrémy, kde je nárast nahradený poklesom, nachádzajú sa lokálne maximá a kde je pokles nahradený nárastom, nachádzajú sa lokálne minimá. Vypočítajte hodnotu funkcie v týchto bodoch. Ak má funkcia kritické body, ktoré nie sú lokálnymi extrémnymi bodmi, potom je užitočné vypočítať hodnotu funkcie aj v týchto bodoch.

Nájdenie najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie y = f(x) na segmente (pokračovanie)

1. Nájdite deriváciu funkcie: f(X). 2. Nájdite body, v ktorých je derivácia nula: f(X)=0X 1, X 2 ,... 3. Určte príslušnosť bodov X 1 ,X 2 , … segment [ a; b]: nech X 1a;b, A X 2a;b .

Ako vložiť matematické vzorce na webovú stránku?

Ak niekedy potrebujete pridať jeden alebo dva matematické vzorce na webovú stránku, najjednoduchší spôsob, ako to urobiť, je popísaný v článku: matematické vzorce sa na stránku jednoducho vkladajú vo forme obrázkov, ktoré automaticky generuje Wolfram Alpha . Táto univerzálna metóda okrem jednoduchosti pomôže zlepšiť viditeľnosť stránky vo vyhľadávačoch. Funguje to už dlho (a myslím si, že bude fungovať navždy), ale je už morálne zastarané.

Ak na svojej stránke pravidelne používate matematické vzorce, potom vám odporúčam použiť MathJax – špeciálnu knižnicu JavaScript, ktorá zobrazuje matematický zápis vo webových prehliadačoch pomocou značiek MathML, LaTeX alebo ASCIIMathML.

Existujú dva spôsoby, ako začať používať MathJax: (1) pomocou jednoduchého kódu môžete rýchlo pripojiť skript MathJax k vašej webovej stránke, ktorý sa automaticky načíta zo vzdialeného servera v správnom čase (zoznam serverov); (2) stiahnite si skript MathJax zo vzdialeného servera na váš server a pripojte ho ku všetkým stránkam vášho webu. Druhý spôsob – zložitejší a časovo náročnejší – zrýchli načítavanie stránok vášho webu a ak sa materský server MathJax z nejakého dôvodu stane dočasne nedostupným, váš vlastný web to nijako neovplyvní. Napriek týmto výhodám som zvolil prvý spôsob, keďže je jednoduchší, rýchlejší a nevyžaduje technické zručnosti. Nasledujte môj príklad a už za 5 minút budete môcť na svojej stránke využívať všetky funkcie MathJax.

Skript knižnice MathJax môžete pripojiť zo vzdialeného servera pomocou dvoch možností kódu prevzatých z hlavnej webovej stránky MathJax alebo na stránke dokumentácie:

Jednu z týchto možností kódu je potrebné skopírovať a vložiť do kódu vašej webovej stránky, najlepšie medzi značky alebo bezprostredne za značku. Podľa prvej možnosti sa MathJax načítava rýchlejšie a menej spomaľuje stránku. Ale druhá možnosť automaticky monitoruje a načítava najnovšie verzie MathJax. Ak vložíte prvý kód, bude potrebné ho pravidelne aktualizovať. Ak vložíte druhý kód, stránky sa budú načítavať pomalšie, ale nebudete musieť neustále sledovať aktualizácie MathJax.

Najjednoduchší spôsob pripojenia MathJax je v Blogger alebo WordPress: na ovládacom paneli lokality pridajte miniaplikáciu určenú na vkladanie kódu JavaScript tretej strany, skopírujte do nej prvú alebo druhú verziu vyššie uvedeného kódu na stiahnutie a umiestnite miniaplikáciu bližšie. na začiatok šablóny (mimochodom, nie je to vôbec potrebné, pretože skript MathJax sa načítava asynchrónne). To je všetko. Teraz sa naučte syntax značiek MathML, LaTeX a ASCIIMathML a ste pripravení vkladať matematické vzorce do webových stránok vašej lokality.

Akýkoľvek fraktál je skonštruovaný podľa určité pravidlo, ktorý sa postupne aplikuje neobmedzený počet krát. Každý takýto čas sa nazýva iterácia.

Iteračný algoritmus na zostavenie Mengerovej špongie je celkom jednoduchý: pôvodná kocka so stranou 1 je rozdelená rovinami rovnobežnými s jej plochami na 27 rovnakých kociek. Odstráni sa z nej jedna centrálna kocka a 6 kociek, ktoré k nej priliehajú pozdĺž plôch. Výsledkom je sada pozostávajúca zo zvyšných 20 menších kociek. Ak urobíme to isté s každou z týchto kociek, dostaneme súpravu pozostávajúcu zo 400 menších kociek. Pokračujúc v tomto procese donekonečna, dostaneme Mengerovu špongiu.

Funkcia je jedným z najdôležitejších matematických pojmov. Funkcia je závislosť premennej y od premennej x, ak každá hodnota x zodpovedá jedinej hodnote y. Premenná x sa nazýva nezávislá premenná alebo argument. Premenná y sa nazýva závislá premenná. Všetky hodnoty nezávislej premennej (premenná x) tvoria doménu definície funkcie. Všetky hodnoty, ktoré má závislá premenná (premenná y) tvoria rozsah funkcie.

Graf funkcie je množina všetkých bodov súradnicovej roviny, ktorých úsečky sa rovnajú hodnotám argumentu a ordináty sú zodpovedajúce hodnoty funkcie, teda hodnoty premennej x sú vynesené pozdĺž osi x a hodnoty premennej y sú vynesené pozdĺž osi y. Ak chcete zobraziť funkciu grafu, musíte poznať vlastnosti funkcie. Hlavné vlastnosti funkcie budú uvedené nižšie!

Na zostavenie grafu funkcie odporúčame použiť náš program – Grafické funkcie online. Ak máte nejaké otázky pri štúdiu materiálu na tejto stránke, vždy sa ich môžete opýtať na našom fóre. Aj na fóre vám pomôžu vyriešiť problémy z matematiky, chémie, geometrie, teórie pravdepodobnosti a mnohých iných predmetov!

Základné vlastnosti funkcií.

1) Oblasť definície funkcie a rozsah hodnôt funkcie.

Definičný obor funkcie je množina všetkých platných reálnych hodnôt argumentu x (premenná x), pre ktorú je definovaná funkcia y = f(x).
Rozsah funkcie je množina všetkých skutočných hodnôt y, ktoré funkcia akceptuje.

V elementárnej matematike sa funkcie študujú iba na množine reálnych čísel.

2) Nuly funkcie.

Volajú sa hodnoty x, pre ktoré y=0 funkčné nuly. Sú to úsečky priesečníkov funkčného grafu s osou Ox.

3) Intervaly konštantného znamienka funkcie.

Intervaly konštantného znamienka funkcie - nazývajú sa také intervaly hodnôt x, na ktorých sú hodnoty funkcie y buď iba kladné alebo iba záporné. intervaly konštantného znamienka funkcie.

4) Monotónnosť funkcie.

Rastúca funkcia (v určitom intervale) je funkcia, v ktorej väčšia hodnota argumentu z tohto intervalu zodpovedá väčšej hodnote funkcie.

Klesajúca funkcia (v určitom intervale) je funkcia, v ktorej väčšej hodnote argumentu z tohto intervalu zodpovedá menšia hodnota funkcie.

5) Rovnomernosť (nepárnosť) funkcie.

Párna funkcia je funkcia, ktorej definičný obor je symetrický vzhľadom na počiatok a pre ľubovoľné x f(-x) = f(x). Graf párnej funkcie je symetrický podľa ordináty.

Nepárna funkcia je funkcia, ktorej definičný obor je symetrický vzhľadom na počiatok a pre ľubovoľné x z definičného oboru platí rovnosť f(-x) = - f(x). Graf nepárnej funkcie je symetrický podľa pôvodu.

Dokonca aj funkcia
1) Definičný obor je symetrický vzhľadom na bod (0; 0), to znamená, že ak bod a patrí do definičného oboru, potom do definičného oboru patrí aj bod -a.
2) Pre akúkoľvek hodnotu x f(-x)=f(x)
3) Graf párnej funkcie je symetrický okolo osi Oy.

Nepárna funkcia má nasledujúce vlastnosti:
1) Definičný obor je symetrický okolo bodu (0; 0).
2) pre akúkoľvek hodnotu x patriacu do oblasti definície je splnená rovnosť f(-x)=-f(x)
3) Graf nepárnej funkcie je symetrický vzhľadom na počiatok (0; 0).

Nie každá funkcia je párna alebo nepárna. Funkcie všeobecný pohľad nie sú párne ani nepárne.

6) Obmedzené a neobmedzené funkcie.

Funkcia sa nazýva ohraničená, ak existuje kladné číslo M také, že |f(x)| ≤ M pre všetky hodnoty x. Ak takéto číslo neexistuje, funkcia je neobmedzená.

7) Periodicita funkcie.

Funkcia f(x) je periodická, ak existuje nenulové číslo T také, že pre ľubovoľné x z definičného oboru funkcie platí: f(x+T) = f(x). Toto najmenšie číslo sa nazýva perióda funkcie. Všetky goniometrické funkcie sú periodické. (trigonometrické vzorce).

Funkcia f sa nazýva periodická, ak existuje číslo také, že pre ľubovoľné x z definičného oboru platí rovnosť f(x)=f(x-T)=f(x+T). T je perióda funkcie.

Každá periodická funkcia má nekonečný počet periód. V praxi sa zvyčajne považuje za najmenšie pozitívne obdobie.

Hodnoty periodickej funkcie sa opakujú po intervale, ktorý sa rovná perióde. Používa sa pri vytváraní grafov.