Nájdite jednosmerné limity funkcie online. Ako vyriešiť limity pre figuríny

Prvá pozoruhodná hranica sa nazýva nasledujúca rovnosť:

\začiatok(rovnica)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(rovnica)

Keďže pre $\alpha\to(0)$ máme $\sin\alpha\to(0)$, hovoríme, že prvý úžasná hranica prezrádza neistotu tvaru $\frac(0)(0)$. Všeobecne povedané, vo vzorci (1) sa namiesto premennej $\alpha$ pod znamienkom sínus a v menovateli môže nachádzať akýkoľvek výraz, pokiaľ sú splnené dve podmienky:

Výrazy pod sínusovým znamienkom a v menovateli súčasne inklinujú k nule, t.j. existuje neurčitosť tvaru $\frac(0)(0)$.
Výrazy pod sínusovým znakom a v menovateli sú rovnaké.

Často sa používajú aj dôsledky z prvého pozoruhodného limitu:

\begin(rovnica) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(rovnica) \begin(rovnica) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \koniec(rovnica) \začiatok(rovnica) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(rovnica)

Na tejto stránke je vyriešených jedenásť príkladov. Príklad č. 1 je venovaný dôkazu vzorcov (2)-(4). Príklady #2, #3, #4 a #5 obsahujú riešenia s podrobnými komentármi. Príklady 6-10 obsahujú riešenia s malým alebo žiadnym komentárom, ako boli podrobné vysvetlenia uvedené v predchádzajúcich príkladoch. Pri riešení sa používajú niektoré goniometrické vzorce, ktoré sa dajú nájsť.

Poznamenávam, že prítomnosť goniometrických funkcií spolu s neistotou $\frac (0) (0)$ neznamená, že sa musí použiť prvá pozoruhodná hranica. Niekedy stačia jednoduché goniometrické transformácie – napríklad viď.

Príklad #1

Dokážte, že $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) Keďže $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, potom:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Keďže $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ a $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , že:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

b) Urobme náhradu $\alpha=\sin(y)$. Keďže $\sin(0)=0$, potom z podmienky $\alpha\to(0)$ máme $y\to(0)$. Okrem toho existuje okolie nuly, kde $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, takže:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Rovnosť $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ je dokázaná.

c) Urobme náhradu $\alpha=\tg(y)$. Keďže $\tg(0)=0$, podmienky $\alpha\to(0)$ a $y\to(0)$ sú ekvivalentné. Okrem toho existuje okolie nuly, kde $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, preto, spoliehajúc sa na výsledky bodu a), budeme mať:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Rovnosť $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ je dokázaná.

Rovnosti a), b), c) sa často používajú spolu s prvou pozoruhodnou hranicou.

Príklad č. 2

Limit výpočtu $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)( x+7))$.

Pretože $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ a $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, t.j. a čitateľ a menovateľ zlomku majú súčasne tendenciu k nule, potom tu máme do činenia s neurčitosťou tvaru $\frac(0)(0)$, t.j. hotový. Okrem toho je možné vidieť, že výrazy pod sínusovým znakom a v menovateli sú rovnaké (t. j. a je splnené):

Obe podmienky uvedené na začiatku stránky sú teda splnené. Z toho vyplýva, že vzorec je použiteľný, t.j. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 )) = 1 $.

Odpoveď: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7)) = 1 $.

Príklad č. 3

Nájdite $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Keďže $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ a $\lim_(x\to(0))x=0$, máme čo do činenia s neurčitosťou tvaru $\frac( 0)(0)$, t.j. hotový. Výrazy pod sínusovým znakom a v menovateli sa však nezhodujú. Tu je potrebné upraviť výraz v menovateli do požadovanej podoby. Potrebujeme, aby bol v menovateli výraz $9x$ - potom sa stane pravdou. V podstate nám v menovateli chýba faktor 9 $, ktorý nie je také ťažké zadať, stačí vynásobiť výraz v menovateli 9 $. Prirodzene, aby ste kompenzovali násobenie 9 $, budete musieť okamžite deliť 9 $ a deliť:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\vľavo|\frac(0)(0)\vpravo| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x) $$

Teraz sú výrazy v menovateli a pod sínusom rovnaké. Obe podmienky pre limit $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ sú splnené. Preto $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. A to znamená, že:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Odpoveď: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Príklad č. 4

Nájdite $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

Keďže $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ a $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, tu máme do činenia s neurčitosťou formulár $\frac(0)(0)$. Podoba prvej pozoruhodnej hranice je však prelomená. Čitateľ obsahujúci $\sin(5x)$ vyžaduje v menovateli $5x$. V tejto situácii je najjednoduchším spôsobom vydeliť čitateľa $5x$ a okamžite vynásobiť $5x$. Okrem toho vykonáme podobnú operáciu s menovateľom, vynásobením a delením $\tg(8x)$ $8x$:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\vľavo|\frac(0)(0)\vpravo| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Znížením o $x$ a odstránením konštanty $\frac(5)(8)$ z limitného znamienka dostaneme:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Všimnite si, že $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ plne spĺňa požiadavky pre prvý pozoruhodný limit. Ak chcete nájsť $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$, použite nasledujúci vzorec:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to) (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Odpoveď: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Príklad č. 5

Nájdite $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Keďže $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (pripomeňme, že $\cos(0)=1$) a $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, potom máme do činenia s neurčitosťou tvaru $\frac(0)(0)$. Ak však chcete použiť prvú úžasnú hranicu, mali by ste sa zbaviť kosínusu v čitateli tak, že prejdete na sínus (aby ste potom použili vzorec) alebo tangens (aby ste potom použili vzorec). Môžete to urobiť pomocou nasledujúcej transformácie:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Vráťme sa k limitu:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\vpravo) $$

Zlomok $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ je už blízko tvaru potrebného pre prvú pozoruhodnú hranicu. Poďme trochu pracovať so zlomkom $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ a upravíme ho na prvú úžasnú hranicu (všimnite si, že výrazy v čitateli a pod sínusom sa musia zhodovať):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\vpravo)^2$$

Vráťme sa k uvažovanej hranici:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) = 25. $$

Odpoveď: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Príklad č. 6

Nájdite limit $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Keďže $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ a $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, potom máme do činenia s neistotou $\frac(0)(0)$. Otvorme to pomocou prvej pozoruhodnej limitky. Aby sme to urobili, prejdime od kosínusov k sínusom. Keďže $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, potom:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Prechodom v danom limite na sínusy budeme mať:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\vľavo|\frac(0)(0)\vpravo| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\vpravo)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\vpravo)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\vľavo(\frac(\sin(x))(x)\vpravo)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Odpoveď: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Príklad č. 7

Vypočítať limit $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ za predpokladu $\alpha\neq\ beta $.

Podrobné vysvetlenia boli uvedené skôr, ale tu si jednoducho všimneme, že opäť existuje neurčitosť $\frac(0)(0)$. Presuňme sa od kosínusov k sínusom pomocou vzorca

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Pomocou vyššie uvedeného vzorca dostaneme:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\vpravo| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\vpravo))(x)\vpravo)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\vpravo))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\vpravo)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alfa-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alfa^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

Odpoveď: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.

Príklad č. 8

Nájdite limit $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

Keďže $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (pripomeňme, že $\sin(0)=\tg(0)=0$) a $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, potom tu máme do činenia s neurčitosťou tvaru $\frac(0)(0)$. Poďme si to rozobrať takto:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\vľavo|\frac(0)(0)\vpravo| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\vpravo)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\vpravo) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$

Odpoveď: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Príklad #9

Nájdite limit $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Pretože $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ a $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, potom je tu neurčitosť tvaru $\frac(0)(0)$. Pred jej rozširovaním je vhodné zmeniť premennú tak, aby nová premenná smerovala k nule (všimnite si, že vo vzorcoch premenná $\alpha \to 0$). Najjednoduchšie je zaviesť premennú $t=x-3$. Pre pohodlie ďalších transformácií (túto výhodu je možné vidieť v priebehu riešenia nižšie) sa však oplatí vykonať nasledujúcu náhradu: $t=\frac(x-3)(2)$. Podotýkam, že v tomto prípade sú použiteľné obe substitúcie, len druhá substitúcia vám umožní menej pracovať so zlomkami. Od $x\to(3)$, potom $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\vpravo| =\left|\begin(zarovnané)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(zarovnané)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Odpoveď: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Príklad #10

Nájdite hranicu $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2) $.

Opäť máme do činenia s neistotou $\frac(0)(0)$. Pred jej rozširovaním je vhodné urobiť zmenu premennej tak, aby nová premenná mala tendenciu k nule (všimnite si, že vo vzorcoch je premenná $\alpha\to(0)$). Najjednoduchšie je zaviesť premennú $t=\frac(\pi)(2)-x$. Keďže $x\to\frac(\pi)(2)$, potom $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\left|\begin(zarovnané)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(zarovnané)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Odpoveď: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

Príklad č. 11

Nájsť limity $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\) pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

V tomto prípade nemusíme použiť prvú nádhernú limitku. Poznámka: v prvom aj druhom limite sú iba goniometrické funkcie a čísla. V príkladoch tohto druhu je často možné zjednodušiť výraz nachádzajúci sa pod medzným znakom. V tomto prípade po spomínanom zjednodušení a redukcii niektorých faktorov neistota odpadá. Tento príklad som uviedol len s jediným cieľom: ukázať, že prítomnosť goniometrických funkcií pod znamienkom limity nemusí nutne znamenať aplikáciu prvej pozoruhodnej limity.

Keďže $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (pripomeňme, že $\sin\frac(\pi)(2)=1$) a $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (pripomeňme si, že $\cos\frac(\pi)(2)=0$), potom máme čo do činenia s neistotou v tvare $\frac(0)(0)$. To však vôbec neznamená, že musíme použiť prvú pozoruhodnú hranicu. Na odhalenie neistoty stačí vziať do úvahy, že $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Podobné riešenie je aj v Demidovičovej knihe riešení (č. 475). Čo sa týka druhej limity, tak ako v predchádzajúcich príkladoch tejto časti máme neistotu tvaru $\frac(0)(0)$. Prečo vzniká? Vzniká preto, že $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ a $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Tieto hodnoty používame na transformáciu výrazov v čitateli a menovateli. Účel našich akcií: zapísať súčet do čitateľa a menovateľa ako súčin. Mimochodom, často je vhodné zmeniť premennú v podobnom tvare tak, aby nová premenná mala tendenciu k nule (pozri napríklad príklady č. 9 alebo č. 10 na tejto stránke). V tomto príklade však nemá zmysel nahrádzať premennú, hoci v prípade potreby je ľahké implementovať nahradenie premennej $t=x-\frac(2\pi)(3)$.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\vpravo))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\vpravo)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

Ako vidíte, prvú nádhernú limitku sme aplikovať nemuseli. Samozrejme, že to možno urobiť, ak je to žiaduce (pozri poznámku nižšie), ale nie je to potrebné.

Aké by bolo riešenie s použitím prvej pozoruhodnej limity? ukázať skryť

Použitím prvého pozoruhodného limitu dostaneme:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ vpravo))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Odpoveď: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3)) $.

Aplikácia

Obmedzenia stránky online pre úplnú konsolidáciu materiálu pre študentov a školákov. Ako nájsť limit online pomocou nášho zdroja? Je to veľmi jednoduché, stačí správne napísať pôvodnú funkciu s premennou x, vybrať požadované nekonečno z selektora a kliknúť na tlačidlo "Riešenie". V prípade, že limit funkcie musí byť vypočítaný v niektorom bode x, potom musíte zadať číselnú hodnotu práve tohto bodu. Odpoveď na rozhodnutie o limite dostanete v priebehu niekoľkých sekúnd, inými slovami – okamžite. Ak však zadáte nesprávne údaje, služba vás automaticky upozorní na chybu. Opravte predtým zavedenú funkciu a získajte správne rozhodnutie limit. Na riešenie limitov sa používajú všetky možné techniky, obzvlášť často sa používa L'Hospitalova metóda, pretože je univerzálna a vedie k odpovedi rýchlejšie ako iné metódy výpočtu limity funkcie. Je zaujímavé zvážiť príklady, v ktorých je modul prítomný. Mimochodom, podľa pravidiel nášho zdroja je modul v matematike označený klasickou zvislou čiarou "|" alebo Abs(f(x)) z latinského absolútna. Na výpočet súčtu číselnej postupnosti je často potrebné riešenie limity. Ako každý vie, stačí správne vyjadriť čiastkový súčet sledovanej postupnosti a potom je všetko oveľa jednoduchšie vďaka našim bezplatná služba mieste, keďže výpočet limitu z čiastkového súčtu je konečným súčtom číselnej postupnosti. Všeobecne povedané, teória prechodu k limitu je základným konceptom celej matematickej analýzy. Všetko je založené práve na limitných prechodoch, to znamená, že riešenie limitov je základom vedy o matematickej analýze. Integrácia využíva aj prechod na limitu, kedy je integrál teoreticky reprezentovaný ako súčet neobmedzeného počtu plôch. Tam, kde je niečoho neobmedzený počet, teda tendencia počtu objektov k nekonečnu, vtedy vždy platí teória limitných prechodov a vo všeobecne akceptovanej podobe ide o riešenie limitov, ktoré pozná každý. Riešenie limitov online na stránke je jedinečná služba na získanie presnej a okamžitej odpovede v reálnom čase. Hranica funkcie (medzná hodnota funkcie) v daný bod , limitujúci pre definičný obor funkcie, je taká hodnota, ku ktorej smeruje hodnota uvažovanej funkcie, keď jej argument smeruje k danému bodu. Nezriedka, ba povedali by sme, že veľmi často, majú študenti pri štúdiu kalkulu otázku riešenia limitov online. Pýtať sa na riešenie limitu online s podrobným riešením len v špeciálnych prípadoch je zrejmé, že bez použitia výpočtovej kalkulačky limitov sa s náročnou úlohou nezaobídete. Riešenie limity našou službou je zárukou presnosti a jednoduchosti. Limita funkcie je zovšeobecnením pojmu limita postupnosti: spočiatku sa limita funkcie v bode chápala ako limita a postupnosť prvkov rozsahu funkcie zložená z obrazov bodov postupnosti prvkov definičného oboru funkcie konvergujúcich k danému bodu (limita, pri ktorej sa uvažuje); ak takáto hranica existuje, potom sa hovorí, že funkcia konverguje k špecifikovanej hodnote; ak takáto limita neexistuje, potom sa hovorí, že funkcia diverguje. Riešenie limitov online sa stáva pre používateľov jednoduchou odpoveďou za predpokladu, že vedia, ako vyriešiť limit online pomocou webovej stránky. Sústreďme sa a nedovoľme, aby nám chyby robili problémy v podobe neuspokojivých známok. Ako každé riešenie limitov online, aj vaša úloha bude prezentovaná pohodlnou a zrozumiteľnou formou, s podrobným riešením, v súlade so všetkými pravidlami a predpismi na získanie riešenia. Definícia limity funkcie je najčastejšie formulovaná v jazyku susedstiev. Tu sa limity funkcie uvažujú len v bodoch, ktoré sú limitujúce pre definičný obor funkcie, to znamená, že v každom okolí daného bodu sú body z definičného oboru práve tejto funkcie. To nám umožňuje hovoriť o tendencii argumentu funkcie k danému bodu. Limitný bod definičného oboru však nemusí patriť do samotného definičného oboru, a to sa dokazuje riešením limity: napríklad môžeme uvažovať limitu funkcie na koncoch otvoreného intervalu, na ktorom funkcia je definovaný. V tomto prípade samotné hranice intervalu nie sú zahrnuté v doméne definície. V tomto zmysle je systém punktovaných susedstiev daného bodu špeciálnym prípadom takejto bázy množín. Online riešenie limitov s detailným riešením prebieha v reálnom čase a aplikovanie vzorcov v explicitnej forme.Ušetríte čas a hlavne peniaze, keďže za to nežiadame odmenu. Ak v niektorom bode definičného oboru funkcie existuje limita a riešenie tejto limity sa rovná hodnote funkcie v danom bode, potom je funkcia v tomto bode spojitá. Na našej stránke je limitné riešenie dostupné online dvadsaťštyri hodín denne, každý deň a každú minútu.Je veľmi dôležité používať kalkulačku limitov a hlavné je použiť ju vždy, keď si potrebujete overiť svoje znalosti. Študenti jednoznačne ťažia zo všetkých týchto funkcií. Vypočítať limit, použiť a aplikovať iba teóriu, nie je vždy také jednoduché, ako hovoria skúsení študenti matematických katedier tamojších univerzít. Fakt zostáva faktom v prítomnosti cieľa. Zvyčajne nájdené riešenie limitov nie je lokálne aplikovateľné na nastavovanie problémov. Študent sa zaraduje, akonáhle objaví kalkulačku limitov online na internete a vo voľnom prístupe nielen pre seba, ale pre všetkých. Vymenovanie by sa malo považovať za matematiku vo všeobecnosti za jej chápanie. Ak sa na internete spýtate, ako podrobne nájsť limit online, množstvo stránok, ktoré sa objavia ako výsledok žiadosti, nepomôže tak, ako to robíme my. Rozdiel strán sa vynásobí ekvivalenciou výskytu. Prvotne legitímna limita funkcie musí byť určená ich formuláciou samotného matematického problému. Hamilton mal pravdu, ale stojí za to zvážiť vyjadrenia jeho súčasníkov. Ďaleko od výpočtu limitov online to tak nie je náročná úloha, ako sa niekomu na prvý pohľad môže zdať.. Aby sa neporušila pravda neochvejných teórií. Ak sa vrátime k východiskovej situácii, je potrebné vypočítať limit rýchlo, efektívne a v úhľadne naformátovanej forme. Bolo by to možné urobiť inak? Tento prístup je zrejmý a opodstatnený. Kalkulačka limitov je určená na zvýšenie vedomostí, zlepšenie kvality písania domácich úloh a zvýšenie celkovej nálady medzi žiakmi, preto bude pre nich to pravé. Stačí myslieť čo najrýchlejšie a myseľ zvíťazí. Explicitne hovoriť o online limitoch z hľadiska interpolácie je veľmi rafinované cvičenie pre profesionálov v ich remesle. Predpovedáme pomer systému neplánovaných rozdielov v bodoch v priestore. A opäť je problém redukovaný na neistotu na základe skutočnosti, že limita funkcie existuje v nekonečne a v určitom okolí lokálneho bodu na danej osi x po afinnej transformácii počiatočného výrazu. Bude jednoduchšie analyzovať stúpanie bodov v rovine a na vrchole vesmíru. IN všeobecné postavenie o odvodzovaní matematického vzorca sa nehovorí nič v prírode ani v teórii, takže online kalkulačka limitov sa používa na zamýšľaný účel v tomto zmysle. Bez definovania limitu online je pre mňa ťažké vykonať ďalšie výpočty v oblasti štúdia krivočiareho priestoru. Z hľadiska nájdenia skutočnej správnej odpovede by to nebolo jednoduchšie. Nie je možné vypočítať limitu, ak je daný bod v priestore vopred nedefinovaný? Vyvrátime prítomnosť odpovedí mimo študijného odboru. Z hľadiska matematickej analýzy možno polemizovať o riešení limity ako o začiatku skúmania postupnosti bodov na osi. Nevhodná môže byť samotná skutočnosť fungovania výpočtov. Čísla sú reprezentované ako nekonečná postupnosť a sú identifikované s počiatočným záznamom potom, čo sme limit online podrobne vyriešili podľa teórie. Len odôvodnené v prospech najlepšej hodnoty. Výsledok limitu funkcie, ako jasná chyba nesprávne formulovaného problému, môže skresliť predstavu o skutočnom mechanickom procese nestabilného systému. Schopnosť vyjadriť význam priamo do výrezu. Po porovnaní online limitu s podobným záznamom jednostrannej limitnej hodnoty je lepšie vyhnúť sa explicitnému vyjadreniu pomocou redukčných vzorcov. Okrem začiatku proporcionálneho vykonávania úlohy. Polynóm rozširujeme potom, čo sa nám podarí vypočítať jednostrannú limitu a zapísať ju do nekonečna. Jednoduché úvahy vedú v matematickej analýze k skutočnému výsledku. Jednoduché riešenie limitov často vedie k rôznemu stupňu rovnosti spustiteľných opačných matematických ilustrácií. Fibonacciho čiary a čísla rozlúštili online kalkulačku limitov, v závislosti od toho si môžete objednať nelimitný výpočet a zložitosť môže ustúpiť do úzadia. Existuje proces rozloženia grafu v rovine v reze trojrozmerného priestoru. To vyvolalo potrebu rôznych pohľadov na zložitý matematický problém. Výsledok vás však nenechá čakať. Prebiehajúci proces realizácie vzostupného produktu však skresľuje priestor riadkov a zapisuje online limit na zoznámenie sa s problémom. Prirodzenosť toku procesu akumulácie problémov určuje potrebu vedomostí zo všetkých oblastí matematických disciplín. Vynikajúca kalkulačka limitov sa stane v rukách zručných študentov nepostrádateľným nástrojom, ktorý ocenia všetky jej výhody oproti analógom digitálneho pokroku. V školách sa z nejakého dôvodu online limity volajú inak ako v ústavoch. Hodnota funkcie porastie zmenou argumentu. Dokonca aj Lopital povedal - nájsť limit funkcie je len polovica úspechu, je potrebné doviesť úlohu do logického záveru a predložiť odpoveď v rozšírenej podobe. Realita je adekvátna prítomnosti faktov v prípade. Historicky spojené s online limitom dôležité aspekty matematických disciplín a tvoria základ štúdia teórie čísel. Kódovanie stránky v matematických vzorcoch je dostupné v klientskom jazyku v prehliadači. Ako by ste vypočítali limit prijateľnou právnou metódou, bez toho, aby ste prinútili funkciu zmeniť sa v smere osi x. Vo všeobecnosti realita priestoru nezávisí len od konvexnosti funkcie alebo jej konkávnosti. Odstráňte z problému všetky neznáme a riešenie limitov zníži dostupné matematické zdroje na najnižšiu cenu. Riešenie zadanej úlohy opraví funkčnosť o sto percent. Vyskytujúce sa očakávanie podrobne prekročí online limit s ohľadom na odchýlku od najmenej významného singulárneho pomeru. Od matematického rozhodnutia v prospech vedy uplynuli tri dni. Je to vážne užitočná činnosť. Bez dôvodu neobmedzovania online by to znamenalo nesúlad v všeobecný prístup na riešenie situačných problémov. najlepší titul v budúcnosti sa bude vyžadovať jednostranný limit s neistotou 0/0. Zdroj môže byť nielen krásny a dobrý, ale aj užitočný, keď dokáže vypočítať limit za vás. Veľký vedec ako študent skúmal funkcie pre písanie vedecká práca. Prešlo desať rokov. Pred rôznymi nuansami stojí za to jednoznačne komentovať matematické očakávanie v prospech skutočnosti, že limita funkcie si požičiava divergenciu princípov. Reagovali na nariadené kontrolné práce. V matematike má výnimočné postavenie vo vyučovaní, napodiv, štúdium online limitu s recipročnými vzťahmi s tretími stranami. Ako sa to bežne stáva. Nevieš sa na nič hrať. Po rozbore prístupov študujúcich študentov k matematickým teóriám dôkladne necháme rozhodnutie o limitoch na záverečnú fázu. Toto je význam nasledujúceho, preskúmajte text. Refrakcia jednoznačne definuje matematický výraz ako podstatu prijímanej informácie. limit online je podstatou určenia skutočnej polohy matematického systému relativity viacsmerných vektorov. V tomto zmysle chcem vyjadriť svoj vlastný názor. Rovnako ako v predchádzajúcej úlohe. Online rozlišovacia hranica podrobne rozširuje svoj vplyv na matematický pohľad na sekvenčné štúdium programovej analýzy v študijnom odbore. V kontexte teórie je matematika niečo vyššie ako len veda. Vernosť sa potvrdzuje činmi. Ak je hranica nesprávne vypočítaná, nie je možné úmyselne prerušiť reťaz po sebe idúcich čísel, ktoré začínajú ich pohyb nahor. Obojstranný povrch je vyjadrený v v naturáliách v plnej veľkosti. Okrem možnosti skúmať matematickú analýzu limita funkcie uzatvára postupnosť funkčných radov ako epsilon susedstvo v danom bode. Na rozdiel od teórie funkcií nie sú vylúčené chyby vo výpočtoch, ale to je dané situáciou. Delením limitom online problému je možné napísať funkciu variabilnej divergencie pre rýchly súčin nelineárneho systému trojrozmerného priestoru. Základom operácie je triviálny prípad. Na analýzu tohto prípadu nemusíte byť študent. Súbor momentov prebiehajúceho výpočtu, spočiatku riešenie limitov, definuje ako fungovanie celého integrálneho systému postupu pozdĺž osi y na viacerých hodnotách čísel. Za základnú hodnotu berieme najmenšiu možnú matematickú hodnotu. Záver je zrejmý. Vzdialenosť medzi rovinami pomôže teoreticky rozšíriť online limity, keďže aplikácia metódy divergentného výpočtu cirkumpolárneho aspektu významnosti nemá základný význam. Vynikajúca voľba, ak je kalkulačka limitov umiestnená na serveri, môže sa brať tak, ako je, bez skreslenia významnosti zmeny povrchu v oblastiach, inak sa problém linearity zvýši. Kompletná matematická analýza odhalila nestabilitu systému spolu s jeho popisom v oblasti najmenšieho okolia bodu. Ako každý funkčný limit pozdĺž osi priesečníka súradníc a úsečiek je možné uzavrieť číselné hodnoty objektov do určitého minimálneho okolia podľa rozloženia funkčnosti výskumného procesu. Napíšme si úlohu bod po bode. Existuje rozdelenie na etapy písania. Akademické tvrdenia, že je naozaj ťažké alebo vôbec nie jednoduché vypočítať limit, sú podložené analýzou matematických pohľadov všetkých študentov a absolventov bez výnimky. Prípadné medzivýsledky vás nenechajú čakať na dlhú dobu. Vyššie uvedená hranica online podrobne skúma absolútne minimum systémového rozdielu objektov, za ktorým je skreslená linearita priestoru matematiky. Veľkoplošnú segmentáciu oblasti študenti nevyužívajú na výpočet viacnásobnej nezrovnalosti po napísaní online kalkulačky limitu odčítania. Po začiatku zakážeme žiakom opakovať úlohy na štúdium priestorového prostredia v matematike. Keďže sme už našli limitu funkcie, zostavme si graf jej štúdia na rovine. Os y zvýrazníme špeciálnou farbou a ukážeme smer čiar. Existuje stabilita. Počas písania odpovede je dlhodobo prítomná neistota. Vypočítajte limitu funkcie v bode jednoducho analýzou rozdielu limitov v nekonečne za počiatočných podmienok. Táto metóda nie je známa každému používateľovi. Potrebujeme matematickú analýzu. Riešenie limitov hromadí skúsenosti v hlavách generácií na dlhé roky. Nie je možné neskomplikovať proces. Za jej uzavretie sú zodpovední študenti všetkých generácií. Všetky vyššie uvedené sa môžu začať meniť v prípade absencie fixujúceho argumentu, pokiaľ ide o polohu funkcií blízko určitého bodu, zaostávajúce za limitnými kalkulačkami z hľadiska rozdielu vo výpočtovej sile. Poďme študovať funkciu, aby sme získali výslednú odpoveď. Záver nie je jednoznačný. Implicitne vyňaté z celkového počtu preddefinované funkcie po prevode matematických výrazov zostáva posledný krok správne a s vysoká presnosť nájsť limity online. Je potrebné skontrolovať prijateľnosť vydaného rozhodnutia. Proces pokračuje. Nájdite postupnosť izolovane od funkcií a matematici musia s použitím svojich rozsiahlych skúseností vypočítať hranicu za odôvodnením správneho smeru v štúdii. Takýto výsledok nepotrebuje teoretický vzostup. Zmeňte podiel čísel vo vnútri nejakého okolia nenulového bodu na osi x na bočnú limitnú kalkulačku online premenný priestorový uhol sklonu pod písomnou úlohou z matematiky. Spojme dve oblasti v priestore. Nezhody riešiteľov o tom, ako limita funkcie nadobúda vlastnosti jednostranných hodnôt v priestore, nemožno ignorovať posilnenými kontrolovanými výkonmi študentov. Smer v online limite matematiky zaujal jeden z najmenších sporných stanovísk o neistote vo výpočtoch tých istých limitov. V ranom štádiu vedy sa študent naučí naspamäť online kalkulačku limitov pre výšku rovnoramenných trojuholníkov a kociek so stranou troch polomerov kruhu. Vyriešenie limitov v štúdiu fungujúceho matematického oslabeného systému zo strany výskumnej roviny nechajme na svedomí študentov. Pohľad študenta na teóriu čísel je nejednoznačný. Každý má svoj vlastný názor. Správny smer v štúdiu matematiky pomôže vypočítať limit v pravom slova zmysle, ako je to na univerzitách vo vyspelých krajinách. Kotangens v matematike sa počíta ako limitná kalkulačka a je pomerom dvoch ďalších elementárnych goniometrických funkcií, konkrétne kosínusu a sínusu argumentu. Tým je riešenie v polovičných segmentoch ukončené. Iný prístup pravdepodobne nevyrieši situáciu v prospech minulého okamihu. Dá sa dlho rozprávať o tom, ako je veľmi ťažké a zbytočné riešiť limit online do detailov bez pochopenia, no tento prístup je náchylný na budovanie vnútornej disciplíny študentov k lepšiemu.

Teória limitov je jednou z oblastí matematickej analýzy. Otázka riešenia limitov je pomerne rozsiahla, keďže metód na riešenie limitov existujú desiatky rôzne druhy. Existujú desiatky nuancií a trikov, ktoré vám umožňujú vyriešiť jeden alebo druhý limit. Napriek tomu sa ešte pokúsime pochopiť hlavné typy limitov, s ktorými sa v praxi najčastejšie stretávame.

Začnime samotným konceptom limitu. Ale najprv krátko historický odkaz. Bol raz jeden Francúz Augustin Louis Cauchy v 19. storočí, ktorý prísne definoval mnohé pojmy matanu a položil jeho základy. Musím povedať, že tento uznávaný matematik sníval, sníva a bude snívať v nočných morách všetkých študentov fyziky a matematických fakúlt, keďže dokázal obrovské množstvo teorémov matematickej analýzy a jedna veta je vražednejšia ako druhá. Z tohto dôvodu nebudeme uvažovať stanovenie Cauchyho limitu, ale skúsme urobiť dve veci:

1. Pochopte, čo je to limit.
2. Naučte sa riešiť hlavné typy limitov.

Ospravedlňujem sa za niektoré nevedecké vysvetlenia, dôležité je, aby bol materiál zrozumiteľný aj pre čajník, čo je vlastne úlohou projektu.

Aký je teda limit?

A hned priklad, preco si skakat babatko ....

Akýkoľvek limit pozostáva z troch častí:

1) Známa ikona limitu.
2) Záznamy pod ikonou limitu, v tomto prípade . Záznam znie "x inklinuje k jednote." Najčastejšie - presne, aj keď namiesto "x" v praxi existujú iné premenné. V praktických úlohách môže byť namiesto jednotky absolútne ľubovoľné číslo, ako aj nekonečno ().
3) Funkcie pod medzným znakom, v tomto prípade .

Samotný záznam znie takto: "limita funkcie, keď x smeruje k jednote."

Poďme analyzovať nasledujúce dôležitá otázkaČo znamená výraz „X“? hľadá k jednote? A čo je to vlastne „snažiť sa“?
Pojem limita je takpovediac konceptom, dynamický. Zostavme postupnosť: najprv , potom , , ..., , ….
To znamená, že výraz „x hľadá k jednej“ treba chápať nasledovne – „x“ dôsledne preberá hodnoty ktoré sú nekonečne blízke jednote a prakticky sa s ňou zhodujú.

Ako vyriešiť vyššie uvedený príklad? Na základe vyššie uvedeného stačí nahradiť jednotku vo funkcii pod značkou limitu:

Takže prvé pravidlo znie: Keď je daný limit, najskôr sa pokúste zapojiť číslo do funkcie.

Skontrolovali sme najjednoduchší limit, ale tieto sa vyskytujú aj v praxi a nie sú také zriedkavé!

Príklad nekonečna:

Pochopenie, čo to je? To je prípad, keď sa zvyšuje donekonečna, teda: najprv, potom, potom, potom a tak ďalej donekonečna.

A čo sa stane s funkciou v tomto čase?
, , , …

Takže: ak , potom má funkcia tendenciu k mínus nekonečnu:

Zhruba povedané, podľa nášho prvého pravidla dosadíme do funkcie nekonečno namiesto "x" a dostaneme odpoveď .

Ďalší príklad s nekonečnom:

Opäť začneme zvyšovať do nekonečna a pozrieme sa na správanie funkcie:

Záver: pre , funkcia sa zvyšuje na neurčito:

A ďalšia séria príkladov:

Skúste si v duchu analyzovať nasledovné a zapamätajte si najjednoduchšie typy limitov:

, , , , , , , , ,
Ak máte niekde pochybnosti, môžete si vziať do ruky kalkulačku a trochu si zacvičiť.
V prípade, že , skúste zostaviť sekvenciu , , . Ak potom , , .

! Poznámka: presne vzaté, takýto prístup s konštrukciou postupností niekoľkých čísel je nesprávny, ale je celkom vhodný na pochopenie najjednoduchších príkladov.

Venujte pozornosť aj nasledujúcej veci. Aj keď je daný limit Vysoké číslo na vrchole aj s miliónom: potom je to jedno , pretože skôr či neskôr „x“ začne naberať také gigantické hodnoty, že milión v porovnaní s nimi bude skutočný mikrób.

Čo si treba zapamätať a pochopiť z vyššie uvedeného?

1) Keď je daný limit, najprv sa jednoducho pokúsime do funkcie nahradiť číslo.

2) Musíte pochopiť a okamžite vyriešiť tie najjednoduchšie limity, ako napr , , atď.

Okrem toho má limit veľmi dobrý geometrický zmysel. Pre lepšie pochopenie témy odporúčam oboznámiť sa s metodickým materiálom Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií. Po prečítaní tohto článku nielenže konečne pochopíte, čo je limita, ale zoznámite sa aj so zaujímavými prípadmi, kedy je limita funkcie všeobecne neexistuje!

V praxi je, žiaľ, darčekov málo. A tak sa obraciame na úvahy o zložitejších limitoch. Mimochodom, na túto tému existuje intenzívny kurz vo formáte pdf, čo je užitočné najmä vtedy, ak máte VEĽMI málo času na prípravu. Ale materiály stránky, samozrejme, nie sú horšie:

Teraz budeme uvažovať o skupine limít, keď , a funkciou je zlomok, v čitateľovi a menovateli ktorých sú polynómy

Príklad:

Vypočítať limit

Podľa nášho pravidla sa pokúsime dosadiť nekonečno do funkcie. Čo získame na vrchole? Nekonečno. A čo sa deje nižšie? Tiež nekonečno. Máme teda takzvanú neurčitosť formy. Niekto by si mohol myslieť, že , a odpoveď je pripravená, ale vo všeobecnom prípade to tak vôbec nie je a musí sa použiť nejaké riešenie, ktoré teraz zvážime.

Ako sa vysporiadať s limitmi tohto typu?

Najprv sa pozrieme na čitateľa a nájdeme najvyššiu mocnosť:

Najvyššia mocnina v čitateli je dvojka.

Teraz sa pozrieme na menovateľa a tiež nájdeme najvyšší stupeň:

Najvyššia mocnina menovateľa je dvojka.

Potom zvolíme najvyššiu mocninu čitateľa a menovateľa: v tomto príklade sú rovnaké a rovnajú sa dvom.

Spôsob riešenia je teda nasledovný: na odhalenie neistoty je potrebné deliť čitateľa a menovateľa na najvyššiu mieru.

Tu je odpoveď a už vôbec nie nekonečno.

Čo je podstatné pri rozhodovaní?

Najprv uvedieme neistotu, ak existuje.

Po druhé, je žiaduce prerušiť riešenie pre prechodné vysvetlenia. Zvyčajne používam znak, ktorý nemá žiadny matematický význam, ale znamená, že riešenie je prerušené na prechodné vysvetlenie.

Po tretie, v limite je žiaduce označiť, čo a kam smeruje. Keď je práca vypracovaná ručne, je pohodlnejšie to urobiť takto:

Pre poznámky je lepšie použiť jednoduchú ceruzku.

Samozrejme, nemôžete s tým nič urobiť, ale potom si možno učiteľ všimne nedostatky v riešení alebo začne klásť doplňujúce otázky k zadaniu. A potrebuješ to?

Príklad 2

Nájdite hranicu
Opäť v čitateli a menovateli nájdeme v najvyššom stupni:

Maximálny stupeň v čitateli: 3
Maximálny stupeň v menovateli: 4
Vyberte si najväčší hodnotu, v tomto prípade štyri.
Podľa nášho algoritmu, aby sme odhalili neistotu, delíme čitateľa a menovateľa .
Kompletné zadanie môže vyzerať takto:

Vydeľte čitateľa a menovateľa podľa

Príklad 3

Nájdite hranicu
Maximálny stupeň "x" v čitateli: 2
Maximálna mocnina "x" v menovateli: 1 (možno napísať ako)
Na odhalenie neistoty je potrebné vydeliť čitateľa a menovateľa číslom . Čisté riešenie môže vyzerať takto:

Vydeľte čitateľa a menovateľa podľa

Záznam neznamená delenie nulou (nulou sa deliť nedá), ale delenie nekonečne malým číslom.

Teda pri odhalení neurčitosti formy môžeme dostať konečné číslo, nula alebo nekonečno.

Limity s typovou neistotou a spôsob ich riešenia

Ďalšia skupina limitov je trochu podobná limitom, ktoré sme práve uvažovali: v čitateli a menovateli sú polynómy, ale „x“ už nemá tendenciu k nekonečnu, ale k konečné číslo.

Príklad 4

Vyriešte limit
Najprv skúsme nahradiť -1 zlomkom:

V tomto prípade sa získa takzvaná neistota.

Všeobecné pravidlo : ak sú v čitateli a menovateli polynómy a je tam neurčitosť tvaru , tak na jeho zverejnenie faktorizujte čitateľa a menovateľa.

Na to musíte najčastejšie vyriešiť kvadratickú rovnicu a (alebo) použiť skrátené vzorce násobenia. Ak ste na tieto veci zabudli, navštívte stránku Matematické vzorce a tabuľky a oboznámiť sa s metodickým materiálom Horúce školské matematické vzorce. Mimochodom, najlepšie je si to vytlačiť, vyžaduje sa to veľmi často a informácie z papiera sa lepšie vstrebávajú.

Poďme teda vyriešiť náš limit

Faktorizácia čitateľa a menovateľa

Ak chcete rozdeliť čitateľa na faktor, musíte vyriešiť kvadratickú rovnicu:

Najprv nájdeme diskriminant:

A jeho druhá odmocnina: .

Ak je diskriminant veľký, napríklad 361, použijeme kalkulačku, extrakčnú funkciu odmocnina je na najjednoduchšej kalkulačke.

! Ak koreň nie je extrahovaný úplne (získa sa zlomkové číslo s čiarkou), je veľmi pravdepodobné, že diskriminant bol vypočítaný nesprávne alebo je v úlohe preklep.

Ďalej nájdeme korene:

Takto:

Všetky. Čitateľ je faktorizovaný.

Menovateľ. Menovateľ je už najjednoduchší faktor a neexistuje spôsob, ako ho zjednodušiť.

Samozrejme sa to dá skrátiť na:

Teraz dosadíme -1 do výrazu, ktorý zostane pod medzným znakom:

Prirodzene, v teste, na teste, na skúške, riešenie nikdy nie je namaľované tak podrobne. Vo finálnej verzii by mal dizajn vyzerať asi takto:

Rozložme čitateľa na faktor.

Príklad 5

Vypočítať limit

Po prvé, "čisté" riešenie

Rozložme čitateľa a menovateľa na faktor.

Čitateľ:
Menovateľ:

,

Čo je dôležité v tomto príklade?
Najprv musíte dobre pochopiť, ako sa čitateľ odhaľuje, najprv sme dali zátvorku 2 a potom sme použili vzorec rozdielu štvorcov. Toto je vzorec, ktorý musíte poznať a vidieť.

Odporúčanie: Ak je v limite (takmer akéhokoľvek typu) možné vybrať číslo zo zátvorky, potom to vždy robíme.
Okrem toho je vhodné vziať takéto čísla za hraničné znamenie. Prečo? Len aby neprekážali. Hlavnou vecou je nestratiť tieto čísla v priebehu rozhodovania.

Upozorňujeme, že v záverečnej fáze riešenia som vybral dvojku pre ikonu limitu a potom mínus.

! Dôležité
V priebehu riešenia sa veľmi často vyskytuje typový fragment. Znížte tento zlomokje zakázané . Najprv musíte zmeniť znamienko čitateľa alebo menovateľa (do zátvoriek vložte -1).
, čiže sa objaví znamienko mínus, s ktorým sa počíta pri výpočte limitu a netreba oň vôbec prísť.

Vo všeobecnosti som si všimol, že najčastejšie pri hľadaní limitov tohto typu musíte vyriešiť dve kvadratické rovnice, to znamená, že čitateľ aj menovateľ obsahujú štvorcové trojčlenky.

Metóda násobenia čitateľa a menovateľa pridruženým výrazom

Naďalej zvažujeme neistotu formy

Ďalší typ limitov je podobný predchádzajúcemu typu. Jediná vec, okrem polynómov, pridáme korene.

Príklad 6

Nájdite hranicu

Začíname sa rozhodovať.

Najprv sa pokúsime dosadiť 3 vo výraze pod limitným znakom
Ešte raz opakujem – toto je prvá vec, ktorú treba urobiť pre AKÝKOĽVEK limit. Táto akcia zvyčajne vykonávané mentálne alebo na návrh.

Získa sa neistota tvaru, ktorú je potrebné odstrániť.

Ako ste si určite všimli, v čitateli máme rozdiel v koreňoch. A je zvykom zbaviť sa koreňov v matematike, ak je to možné. Prečo? A život je bez nich jednoduchší.

Pre tých, ktorí sa chcú dozvedieť, ako nájsť limity v tomto článku, o tom budeme hovoriť. Nebudeme sa vŕtať v teórii, zvyčajne ju prednášajú učitelia. Takže „nudná teória“ by mala byť načrtnutá vo vašich zošitoch. Ak nie, potom si môžete prečítať učebnice prevzaté z knižnice vzdelávacia inštitúcia alebo iné online zdroje.

Pojem limita je teda dosť dôležitý pri štúdiu kurzu vyššej matematiky, najmä keď narazíte na integrálny počet a pochopíte vzťah medzi limitou a integrálom. V aktuálnom materiáli sa budú brať do úvahy jednoduché príklady, ako aj spôsoby ich riešenia.

Príklady riešení

Príklad 1
Vypočítajte a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $
Riešenie
a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Tieto limity nám často posielajú so žiadosťou o pomoc pri riešení. Rozhodli sme sa ich poukázať na samostatný príklad a vysvetliť, že tieto limity si spravidla jednoducho treba pamätať. Ak nemôžete vyriešiť svoj problém, pošlite nám ho. My zabezpečíme podrobné riešenie. Budete sa môcť zoznámiť s priebehom výpočtu a získať informácie. To vám pomôže získať kredit od učiteľa včas!
Odpoveď
$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac (1)(x) = 0 $$

Čo robiť s neurčitosťou tvaru: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Príklad 3
Vyriešte $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $
Riešenie
Ako vždy začneme dosadením hodnoty $ x $ do výrazu pod medzným znakom. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0) (0) $$ Čo bude ďalej? Aký by mal byť výsledok? Keďže ide o neistotu, toto ešte nie je odpoveď a pokračujeme vo výpočte. Keďže v čitateloch máme polynóm, rozložíme ho na faktory pomocou známeho vzorca $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Spomenul si? Skvelé! Teraz pokračujte a aplikujte to na pieseň :) Dostaneme, že čitateľ $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Pokračujeme v riešení vzhľadom na vyššie uvedenú transformáciu: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1 ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$
Odpoveď
$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Zoberme si limitu v posledných dvoch príkladoch do nekonečna a zvážme neistotu: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Príklad 5
Vypočítajte $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $
Riešenie
$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Čo robiť? Ako byť? Neprepadajte panike, pretože nemožné je možné. Je potrebné odstrániť zátvorky v čitateli aj v menovateli X a potom ho zmenšiť. Potom sa pokúste vypočítať limit. Skúšam... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Použitím definície z príkladu 2 a dosadením nekonečna za x dostaneme: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$
Odpoveď
$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Algoritmus na výpočet limitov

Poďme si teda stručne zhrnúť analyzované príklady a vytvoriť algoritmus na riešenie limitov:

Vo výraze za znamienkom limity dosaďte bod x. Ak sa ukáže určitý počet, alebo nekonečno, potom je limita úplne vyriešená. V opačnom prípade máme neistotu: "nula delená nulou" alebo "nekonečno delené nekonečnom" a prejdite na ďalšie odseky inštrukcie.
Ak chcete odstrániť neistotu „nula deliť nulou“, musíte čitateľa a menovateľa rozložiť na faktor. Znížiť podobné. Dosaďte bod x vo výraze pod limitným znakom.
Ak je neistota "nekonečno delené nekonečnom", potom vyberieme v čitateli aj v menovateli x najväčšieho stupňa. Skrátime x. Do zvyšného výrazu dosadíme hodnoty x pod limitom.

V tomto článku ste sa zoznámili so základmi riešenia limitov, ktoré sa často používajú v kurze Calculus. Samozrejme, toto nie sú všetky typy problémov, ktoré ponúkajú skúšajúci, ale len tie najjednoduchšie limity. O iných typoch úloh si povieme v budúcich článkoch, no najprv sa musíte naučiť túto lekciu, aby ste mohli ísť ďalej. Budeme diskutovať o tom, čo robiť, ak existujú korene, stupne, budeme študovať nekonečne malé ekvivalentné funkcie, nádherné limity, L'Hopitalovo pravidlo.

Ak nedokážete určiť limity sami, neprepadajte panike. Vždy radi pomôžeme!

Z vyššie uvedeného článku sa dozviete, aký je limit a s čím sa to jedáva – to je VEĽMI dôležité. prečo? Možno nerozumiete, čo sú determinanty a úspešne ich riešite, možno vôbec nerozumiete, čo je to derivácia a nájdete ich na „päťke“. Ale ak nerozumiete tomu, čo je limit, potom bude ťažké vyriešiť praktické úlohy. Tiež nebude zbytočné zoznámiť sa so vzorkami návrhu rozhodnutí a mojimi odporúčaniami pre dizajn. Všetky informácie sú prezentované jednoduchým a prístupným spôsobom.

Ale na účely túto lekciu Budeme potrebovať nasledujúce učebné materiály: Pozoruhodné limity A Goniometrické vzorce. Nájdete ich na stránke. Najlepšie je vytlačiť návody - je to oveľa pohodlnejšie, okrem toho sa k nim často musí pristupovať offline.

Čo je pozoruhodné na úžasných limitoch? Pozoruhodnosť týchto limitov spočíva v tom, že ich dokázali najväčšie mysle slávnych matematikov a vďační potomkovia nemusia trpieť strašnými limitmi s hromadou goniometrických funkcií, logaritmov a stupňov. To znamená, že pri hľadaní hraníc použijeme hotové výsledky, ktoré sú teoreticky dokázané.

Existuje niekoľko pozoruhodných limitov, ale v praxi majú študenti externého štúdia v 95% prípadov dva pozoruhodné limity: Prvá úžasná limitka, Druhá úžasná limitka. Treba podotknúť, že ide o historicky ustálené mená, a keď napríklad hovoria o „prvej pozoruhodnej hranici“, majú na mysli veľmi špecifickú vec, a nie nejakú náhodnú hranicu prevzatú zo stropu.

Prvá úžasná limitka

Zvážte nasledujúci limit: (namiesto pôvodného písmena „on“ použijem grécke písmeno „alfa“, je to pohodlnejšie z hľadiska prezentácie materiálu).

Podľa nášho pravidla pre hľadanie limitov (pozri článok Limity. Príklady riešení) skúsime do funkcie dosadiť nulu: v čitateli dostaneme nulu (sínus nuly nula), menovateľ je samozrejme tiež nula. Stretávame sa teda s neurčitosťou formy, ktorú našťastie netreba prezrádzať. V priebehu matematickej analýzy sa dokázalo, že:

Tento matematický fakt je tzv Prvá úžasná limitka. Nebudem poskytovať analytický dôkaz limity, ale v lekcii zvážime jej geometrický význam nekonečne malé funkcie.

Často v praktických úlohách môžu byť funkcie usporiadané inak, to nič nemení:

– rovnaká prvá úžasná hranica.

Ale nemôžete zmeniť usporiadanie čitateľa a menovateľa sami! Ak je limit uvedený vo forme , musí byť vyriešený v rovnakom tvare bez toho, aby sa čokoľvek preskupovalo.

V praxi môže ako parameter pôsobiť nielen premenná, ale aj elementárna funkcia, komplexná funkcia. Dôležité je len to, aby mala tendenciu k nule.

Príklady:
, , ,

Tu , , , , a všetko bzučí - platí prvý úžasný limit.

A tu je ďalší záznam - heréza:

prečo? Pretože polynóm nemá tendenciu k nule, má tendenciu k päťke.

Mimochodom, otázka je na zásyp, ale aký je limit ? Odpoveď nájdete na konci lekcie.

V praxi nie je všetko také plynulé, takmer nikdy sa študentovi neponúkne riešenie voľného limitu a získanie ľahkého zápočtu. Hmmm... píšem tieto riadky a napadla ma veľmi dôležitá myšlienka – napokon, zdá sa, že je lepšie si „zadarmo“ matematické definície a vzorce zapamätať naspamäť, to môže byť neoceniteľnou pomocou pri teste, keď o otázke sa rozhodne medzi „dvoma“ a „tromi“ a učiteľ sa rozhodne položiť študentovi jednoduchú otázku alebo ponúknuť riešenie najjednoduchší príklad(„možno (a) ešte vie čo?“).

Prejdime na praktické príklady:

Príklad 1

Nájdite hranicu

Ak si všimneme sínus v limite, malo by nás to okamžite priviesť k zamysleniu sa nad možnosťou uplatnenia prvej pozoruhodnej limity.

Najprv sa pokúsime nahradiť 0 vo výraze pod limitným znakom (robíme to mentálne alebo na koncepte):

Máme teda neurčitosť formy, jeho určite uveďte pri rozhodovaní. Výraz pod hranicou vyzerá ako prvá úžasná hranica, ale nie je to úplne ono, je pod sínusom, ale v menovateli.

V takýchto prípadoch musíme prvú nádhernú hranicu zorganizovať sami pomocou umelého zariadenia. Úvaha môže byť nasledovná: „pod sínusom, ktorý máme, čo znamená, že sa musíme dostať aj do menovateľa“.
A to sa robí veľmi jednoducho:

To znamená, že menovateľ je v tomto prípade umelo vynásobený 7 a delený rovnakými siedmimi. Teraz nahrávka nadobudla známu podobu.
Keď je úloha vypracovaná ručne, odporúča sa označiť prvý úžasný limit jednoduchou ceruzkou:

Čo sa stalo? V skutočnosti sa zakrúžkovaný výraz zmenil na jednotku a zmizol v produkte:

Teraz zostáva len zbaviť sa trojposchodového zlomku:

Kto zabudol na zjednodušenie viacpodlažných frakcií, obnovte si prosím materiál v referenčnej knihe Horúce školské matematické vzorce .

Pripravený. Konečná odpoveď:

Ak nechcete používať značky ceruzkou, riešenie môže byť naformátované takto:

“

Používame prvú pozoruhodnú hranicu

“

Príklad 2

Nájdite hranicu

Opäť vidíme zlomok a sínus v limite. Pokúsime sa nahradiť nulu v čitateli a menovateli:

V skutočnosti máme neistotu, a preto sa musíme pokúsiť zorganizovať prvý pozoruhodný limit. Na lekcii Limity. Príklady riešení zvážili sme pravidlo, že keď máme neistotu, musíme čitateľa a menovateľa rozdeliť na faktory. Tu - to isté, predstavíme stupne ako súčin (násobiče):

Podobne ako v predchádzajúcom príklade načrtneme ceruzkou úžasné limity (tu sú dve z nich) a naznačíme, že majú tendenciu k jednej:

V skutočnosti je odpoveď pripravená:

V nasledujúcich príkladoch nebudem robiť umenie v programe Paint, myslím, že ako správne zostaviť riešenie v notebooku - už rozumiete.

Príklad 3

Nájdite hranicu

Vo výraze pod limitným znakom dosadíme nulu:

Dosiahla sa neistota, ktorú je potrebné zverejniť. Ak je v limite tangens, potom sa takmer vždy prevedie na sínus a kosínus podľa známeho trigonometrického vzorca (mimochodom, približne to isté robia s kotangensom, pozri nižšie). metodický materiál Horúce trigonometrické vzorce Na stránke Matematické vzorce, tabuľky a referenčné materiály).

V tomto prípade:

Kosínus nuly sa rovná jednej a je ľahké sa ho zbaviť (nezabudnite označiť, že smeruje k jednotke):

Ak je teda v limite kosínus NÁSOBITEĽ, potom sa, zhruba povedané, musí zmeniť na jednotku, ktorá zmizne v produkte.

Tu sa všetko ukázalo byť jednoduchšie, bez akýchkoľvek násobení a delení. Prvý pozoruhodný limit sa tiež zmení na jednotu a zmizne v produkte:

V dôsledku toho sa získa nekonečno, to sa stáva.

Príklad 4

Nájdite hranicu

Pokúsime sa nahradiť nulu v čitateli a menovateli:

Získaná neistota (kosínus nuly, ako si pamätáme, sa rovná jednej)

Používame trigonometrický vzorec. Zaznamenať si! Z nejakého dôvodu sú limity pomocou tohto vzorca veľmi bežné.

Vyberáme konštantné multiplikátory za ikonou limitu:

Poďme usporiadať prvý pozoruhodný limit:

Tu máme iba jednu úžasnú hranicu, ktorá sa zmení na jednu a zmizne v produkte:

Zbavme sa trojposchodia:

Limita je skutočne vyriešená, naznačujeme, že zostávajúci sínus má tendenciu k nule:

Príklad 5

Nájdite hranicu

Tento príklad je zložitejší, skúste na to prísť sami:

Niektoré limity sa dajú zmenou premennej znížiť na 1. pozoruhodnú hranicu, o tom sa dočítate trochu neskôr v článku Metódy limitného riešenia.

Druhá úžasná limitka

V teórii matematickej analýzy je dokázané, že:

Táto skutočnosť je tzv druhá pozoruhodná hranica.

Referencia: je iracionálne číslo.

Ako parameter môže pôsobiť nielen premenná, ale aj komplexná funkcia. Dôležité je len to, že sa usiluje o nekonečno.

Príklad 6

Nájdite hranicu

Keď je výraz pod znakom limitu v moci - toto je prvé znamenie, že sa musíte pokúsiť uplatniť druhý úžasný limit.

Najprv sa však ako vždy snažíme donekonečna suplovať veľké číslo do výrazu, akým princípom sa to robí, bolo analyzované v lekcii Limity. Príklady riešení.

Je ľahké vidieť, že kedy základ stupňa a exponent - , to znamená, že existuje neurčitosť tvaru:

Táto neistota je práve odhalená pomocou druhého pozoruhodného limitu. Ale ako sa často stáva, druhá úžasná hranica neleží na striebornom podnose a musí byť umelo organizovaná. Môžete to zdôvodniť takto: v tomto príklade parameter znamená, že sa musíme v ukazovateli tiež usporiadať. Aby sme to urobili, zdvihneme základňu na mocninu a tak, aby sa výraz nezmenil, zdvihneme ju na mocninu:

Keď je úloha vypracovaná ručne, ceruzkou označíme:

Takmer všetko je pripravené, hrozný stupeň sa zmenil na pekný list:

Zároveň sa na indikátor presunie samotná ikona limitu:

Príklad 7

Nájdite hranicu

Pozor! Tento typ limitov je veľmi bežný, prosím, veľmi pozorne si preštudujte tento príklad.

Vo výraze pod limitným znakom sa snažíme dosadiť nekonečne veľké číslo:

Výsledkom je neistota. Ale druhý pozoruhodný limit platí pre neurčitosť formy. Čo robiť? Musíte previesť základ stupňa. Hádame sa takto: v menovateli máme , čo znamená, že sa musíme zorganizovať aj v čitateli.