Moment sily (synonymá: krútiaci moment, krútiaci moment, krútiaci moment, krútiaci moment) - vektorová fyzikálna veličina rovnajúca sa vektorovému súčinu polomerového vektora ťahaného z osi rotácie do bodu pôsobenia sily a vektora tejto sily. Charakterizuje rotačné pôsobenie sily na pevné teleso.

Pojmy „rotačný“ a „krútiaci moment“ vo všeobecnosti nie sú totožné, pretože v technológii sa pojem „rotačný“ moment považuje za vonkajšiu silu pôsobiacu na objekt a „krútiaci moment“ je vnútorná sila vznikajúca v objekte pod vplyv aplikovaného zaťaženia (tento koncept sa používa v oblasti odolnosti materiálov).

Všeobecné informácie

Špeciálne prípady

Vzorec krútiaceho momentu páky

Veľmi zaujímavým špeciálnym prípadom je definícia momentu sily v poli:

$\backslash left|\backslash vec\; M\backslash right|\; =\; \backslash left|\backslash vec(M)\_1\backslash right|\; \backslash left|\backslash vec\; F\backslash right|$, Kde: $\backslash left|\backslash vec(M)\_1\backslash right|$- pákový moment, $\backslash left|\backslash vec\; F\backslash right|$- veľkosť pôsobiacej sily.

Problém s týmto znázornením je, že neudáva smer momentu sily, ale len jeho veľkosť. Ak je sila kolmá na vektor $\backslash vec\; r$, moment páky sa bude rovnať vzdialenosti od stredu a moment sily bude maximálny:

$\backslash left|\backslash vec(T)\backslash right|\; =\; \backslash vľavo|\backslash vec\; r\backslash vpravo|\; \backslash left|\backslash vec\; F\backslash right|$

Sila pod uhlom

Ak sila $\backslash vec\; F$ nasmerovaný pod uhlom $\backslash theta$ na páku r, teda $M\; =\; r\; F\backslash sin\backslash theta$.

Statická rovnováha

Aby bol objekt v rovnováhe, musí byť nulový nielen súčet všetkých síl, ale aj súčet všetkých momentov sily okolo akéhokoľvek bodu. Pre dvojrozmerný prípad s horizontálnymi a vertikálnymi silami: súčet síl v dvoch rozmeroch ΣH=0, ΣV=0 a momentu sily v treťom rozmere ΣM=0.

Moment sily ako funkcia času

$\backslash vec\; M\; =\; \backslash frac(d\backslash vec\; L)(dt)$,

Kde $\backslash vec\; L$- moment impulzu.

Vezmime si pevné telo. Pohyb pevný možno znázorniť ako pohyb určitého bodu a rotáciu okolo neho.

Moment hybnosti vo vzťahu k bodu O tuhého telesa možno opísať ako súčin momentu zotrvačnosti a uhlovej rýchlosti vzhľadom na ťažisko a lineárneho pohybu ťažiska.

$\backslash vec(L\_o)\; =\; I\_c\backslash ,\backslash vec\backslash omega\; +$

Budeme uvažovať rotačné pohyby v Koenigovom súradnicovom systéme, pretože je oveľa ťažšie opísať pohyb tuhého telesa vo svetovom súradnicovom systéme.

Rozlišujme tento výraz vzhľadom na čas. A keď $ja$ je teda konštantná hodnota v čase

$\backslash vec\; M\; =\; I\backslash frac(d\backslash vec\backslash omega)(dt)\; =\; I\backslash vec\backslash alpha$,

Vzťah medzi krútiacim momentom a prácou

$A\; =\; \backslash int\_(\backslash theta\_1)^(\backslash theta\_2)\; \backslash left|\backslash vec\; M\backslash right|\; \backslash mathrm(d)\backslash theta$

V prípade konštantného momentu dostaneme:

$A\; =\; \backslash vľavo|\backslash vec\; M\backslash vpravo|\backslash theta$

Uhlová rýchlosť je zvyčajne známa $\backslash omega$ v radiánoch za sekundu a dobe pôsobenia krútiaceho momentu $t$.

Potom sa práca vykonaná momentom sily vypočíta ako:

$A\; =\; \backslash left|\backslash vec\; M\backslash right|\backslash omega\; t$

Moment sily o bode

Ak existuje hmotný bod $O\_F$, na ktorý pôsobí sila $\backslash vec\; F$, potom moment sily vzhľadom na bod $O$ rovná vektorovému súčinu polomerového vektora $\backslash vec\; r$, spájajúce body $O$ A $O\_F$, k vektoru sily $\backslash vec\; F$:

$\backslash vec(M\_O)\; =\; \backslash vľavo[\backslash vec\; r\; \backslash times\; \backslash vec\; F\backslash vpravo]$.

Moment sily okolo osi

Moment sily vzhľadom na os sa rovná algebraickému momentu priemetu tejto sily na rovinu kolmú na túto os vzhľadom na priesečník osi s rovinou, tj. $M\_z(F)\; =\; M\_o(F")\; =\; F"h"$.

Jednotky

Moment sily sa meria v newtonmetre. 1 Nm je moment vyvolaný silou 1 N na páku s dĺžkou 1 m, pôsobiacou na koniec páky a smerujúcou kolmo na ňu.

Meranie krútiaceho momentu

Dnes sa meranie momentu sily vykonáva pomocou tenzometrov, optických a indukčných snímačov zaťaženia.

pozri tiež

Napíšte recenziu na článok „Moment of Power“

Úryvok charakterizujúci Moment sily

Ale hoci na konci bitky ľudia pociťovali všetku hrôzu svojho činu, hoci by radi prestali, niektoré nepochopiteľné tajomná sila stále ich viedli a spotení, celí od pušného prachu a krvi, ostali jeden po troch, delostrelci, hoci sa potkýnali a lapali po dychu od únavy, priniesli náboje, nabili, namierili, použili zápalnice; a delové gule leteli rovnako rýchlo a kruto z oboch strán a sploštili ľudské telo a tá strašná vec sa diala ďalej, čo sa nedeje z vôle ľudí, ale z vôle toho, kto vedie ľudí a svety.
Každý, kto by sa pozrel na rozrušené zákutia ruskej armády, by povedal, že Francúzi musia vynaložiť ešte jedno malé úsilie a ruská armáda zmizne; a každý, kto by sa pozrel do úzadia Francúzov, by povedal, že Rusi musia vynaložiť ešte jedno malé úsilie a Francúzi zahynú. Ale ani Francúzi, ani Rusi túto snahu nevyvinuli a plamene bitky pomaly dohoreli.
Rusi túto snahu nevyvinuli, pretože to neboli oni, kto zaútočil na Francúzov. Na začiatku bitky stáli iba na ceste do Moskvy, blokovali ju a tak isto stáli aj na konci bitky, ako stáli na jej začiatku. Ale aj keby cieľom Rusov bolo zostreliť Francúzov, nemohli vynaložiť toto posledné úsilie, pretože všetky ruské jednotky boli porazené, v bitke nebola ani jedna časť jednotiek, ktorá by nebola zranená. Rusi, ktorí zostali na svojich miestach, stratili polovicu svojej armády.
Francúzi, so spomienkou na všetky predchádzajúce víťazstvá pätnástich rokov, s dôverou v Napoleonovu neporaziteľnosť, s vedomím, že dobyli časť bojiska, že stratili len štvrtinu svojich mužov a že ešte dvadsaťtisíc neporušených strážcov, bolo ľahké vynaložiť toto úsilie. Francúzi, ktorí zaútočili na ruskú armádu, aby ju vyradili z pozície, museli vynaložiť toto úsilie, pretože kým Rusi, rovnako ako pred bitkou, blokovali cestu do Moskvy, francúzsky cieľ nebol dosiahnutý a všetci ich úsilie a straty boli zbytočné. Francúzi však túto snahu nevyvinuli. Niektorí historici hovoria, že Napoleon mal dať svoju starú gardu neporušenú, aby bitku vyhral. Hovoriť o tom, čo by sa stalo, keby Napoleon dal svoju stráž, je to isté, ako hovoriť o tom, čo by sa stalo, keby sa jar zmenila na jeseň. Toto sa nemohlo stať. Napoleon nedal svoje stráže, pretože to nechcel, ale to sa nedalo. Všetci generáli, dôstojníci a vojaci francúzskej armády vedeli, že sa to nedá, lebo padlý duch armády to nedovolil.
Napoleon nebol jediný, kto zažil ten snový pocit, že hrozný švih jeho ruky bezmocne padá, ale všetci generáli, všetci vojaci francúzskej armády, ktorí sa zúčastnili aj nezúčastnili, po všetkých skúsenostiach z predchádzajúcich bitiek (kam po desaťnásobne menšom úsilí nepriateľ utiekol), zažil rovnaký pocit hrôzy pred tým nepriateľom, ktorý po strate polovice armády stál na konci rovnako hrozivo ako na začiatku bitky. Morálna sila francúzskej útočnej armády bola vyčerpaná. Nie víťazstvo, ktoré je určované kusmi materiálu nazbieranými na palice nazývané transparenty, a priestorom, na ktorom stáli a stoja jednotky, ale morálnym víťazstvom, ktoré presvedčí nepriateľa o morálnej nadradenosti jeho nepriateľa a o jeho vlastnej bezmocnosti, vyhrali Rusi pod vedením Borodina. Francúzska invázia, ako rozzúrená šelma, ktorá pri svojom behu utrpela smrteľnú ranu, pocítila svoju smrť; ale nemohla sa zastaviť, rovnako ako si nemohla pomôcť, aby sa vychýlila dvakrát slabšie ruská armáda. Po tomto zatlačení francúzska armáda ešte by sa mohla dostať do Moskvy; ale tam, bez nového úsilia zo strany ruskej armády, muselo zomrieť, krvácajúc zo smrteľnej rany spôsobenej v Borodine. Priamym dôsledkom bitky pri Borodine bol bezpríčinný útek Napoleona z Moskvy, návrat po starej smolenskej ceste, smrť päťstotisícovej invázie a smrť napoleonského Francúzska, ktoré bolo po prvýkrát položené pri Borodine. rukou najsilnejšieho nepriateľa v duchu.

Absolútna kontinuita pohybu je pre ľudskú myseľ nepochopiteľná. Zákonitosti akéhokoľvek pohybu sa človeku vyjasnia až vtedy, keď skúma svojvoľne brané jednotky tohto pohybu. Ale zároveň z tohto svojvoľného rozdelenia nepretržitého pohybu na nespojité jednotky pramení väčšina ľudských chýb.
Známy je takzvaný sofizmus staroveku, ktorý spočíva v tom, že Achilles nikdy nedostihne korytnačku vpredu, napriek tomu, že Achilles kráča desaťkrát rýchlejšie ako korytnačka: len čo Achilles prejde priestorom, ktorý ho oddeľuje. od korytnačky prejde korytnačka pred ním jednu desatinu tohto priestoru; Achilles prejde túto desiatu, korytnačka jednu stotinu atď. ad infinitum. Starovekom sa táto úloha zdala neriešiteľná. Nezmyselnosť rozhodnutia (že Achilles korytnačku nikdy nedobehne) vyplývala z toho, že nespojité jednotky pohybu boli svojvoľne povolené, pričom pohyb Achilla aj korytnačky bol nepretržitý.
Preberaním stále menších jednotiek pohybu sa k riešeniu problému iba približujeme, ale nikdy ho nedosahujeme. Iba ak pripustíme nekonečne malú hodnotu a z nej stúpajúcu progresiu na desatinu a vezmeme súčet tejto geometrickej progresie, dosiahneme riešenie otázky. Nový odbor matematiky, ktorý dosiahol umenie narábať s nekonečne malými veličinami a v iných oblastiach komplexné problémy pohyb teraz poskytuje odpovede na otázky, ktoré sa zdali neriešiteľné.
Toto nové, starovekým ľuďom neznáme odvetvie matematiky, keď uvažujeme o pohybových otázkach, pripúšťa nekonečne malé množstvá, teda také, pri ktorých sa obnovuje hlavná podmienka pohybu (absolútna kontinuita), čím sa opravuje nevyhnutná chyba, ktorú ľudská myseľ nedokáže. pomôcť ale urobiť pri zvažovaní namiesto súvislého pohybu jednotlivé jednotky pohybu.
Pri hľadaní zákonitostí historického pohybu sa deje presne to isté.
Pohyb ľudstva, ktorý je výsledkom nespočetnej ľudskej tyranie, prebieha nepretržite.
Pochopenie zákonitostí tohto hnutia je cieľom histórie. Aby však ľudská myseľ pochopila zákonitosti nepretržitého pohybu súčtu všetkej svojvôle ľudí, umožňuje ľubovoľné, nespojité jednotky. Prvou metódou dejín je vziať ľubovoľnú sériu súvislých udalostí a zvážiť ju oddelene od ostatných, pričom neexistuje a nemôže byť začiatok žiadnej udalosti a jedna udalosť vždy plynule nasleduje za druhou. Druhou technikou je považovať pôsobenie jednej osoby, kráľa, veliteľa, za súčet svojvôle ľudí, pričom súčet ľudskej svojvôle sa nikdy nevyjadruje v činnosti jedného historická osoba.
Historická veda vo svojom pohybe neustále prijíma do úvahy stále menšie a menšie jednotky a týmto spôsobom sa snaží priblížiť k pravde. Ale bez ohľadu na to, aké malé sú jednotky, ktoré história akceptuje, máme pocit, že predpoklad jednotky oddelenej od inej, predpoklad začiatku nejakého javu a predpoklad, že svojvôľa všetkých ľudí je vyjadrená v konaní jednej historickej osoby, sú sami o sebe falošní.
Každý záver dejín sa bez najmenšej námahy zo strany kritiky rozpadá ako prach, nezanecháva po sebe nič, len vďaka tomu, že si kritika vyberá za objekt pozorovania väčší či menší nesúvislý celok; na čo má vždy právo, keďže prevzatá historická jednotka je vždy ľubovoľná.
Len ak umožníme pozorovanie nekonečne malej jednotke – diferenciálu dejín, to znamená homogénnych pudov ľudí, a po dosiahnutí umenia integrácie (pričom súčty týchto nekonečne malých hodnôt), môžeme dúfať, že pochopíme zákony histórie.
Prvých pätnásť rokov 19. storočia v Európe predstavovalo mimoriadny pohyb miliónov ľudí. Ľudia opúšťajú svoje obvyklé zamestnania, ponáhľajú sa z jednej strany Európy na druhú, okrádajú sa, zabíjajú sa, víťazia a zúfajú a celý život sa na niekoľko rokov mení a predstavuje zosilnený pohyb, ktorý sa najskôr zväčšuje, potom slabne. Aký bol dôvod tohto pohybu alebo podľa akých zákonov k nemu došlo? – pýta sa ľudská myseľ.
Historici, odpovedajúc na túto otázku, nám opisujú činy a prejavy niekoľkých desiatok ľudí v jednej z budov v meste Paríž, pričom tieto činy a prejavy nazývajú slovom revolúcia; potom podajú podrobný životopis Napoleona a niektorých ľudí, ktorí sú mu sympatizujúci a nepriateľskí, hovoria o vplyve niektorých z týchto ľudí na iných a hovoria: preto vzniklo toto hnutie a toto sú jeho zákony.
Ale ľudská myseľ nielenže odmieta veriť tomuto vysvetleniu, ale priamo hovorí, že spôsob vysvetlenia nie je správny, pretože pri tomto vysvetlení sa najslabší jav berie ako príčina najsilnejšieho. Súčet ľudskej svojvôle urobil revolúciu aj Napoleona a iba súčet týchto svojvôl ich toleroval a zničil.

Definícia 1

Moment sily je reprezentovaný krútiacim momentom alebo rotačným momentom, ktorý je vektorovou fyzikálnou veličinou.

Je definovaný ako vektorový súčin vektora sily, ako aj vektora polomeru, ktorý sa ťahá od osi otáčania do bodu pôsobenia špecifikovanej sily.

Moment sily je charakteristikou rotačného účinku sily na pevné teleso. Pojmy „rotačný“ a „krútiaci moment“ sa nebudú považovať za totožné, pretože v technológii sa pojem „rotačný“ moment považuje za vonkajšiu silu pôsobiacu na objekt.

Zároveň sa pojem „krútiaci moment“ zvažuje vo formáte vnútornej sily, ktorá vzniká v objekte pod vplyvom určitých aplikovaných zaťažení (podobný koncept sa používa pre odolnosť materiálov).

Koncept momentu sily

Moment sily vo fyzike možno považovať vo forme takzvanej „rotačnej sily“. Mernou jednotkou SI je newton meter. Moment sily možno nazvať aj „momentom niekoľkých síl“, ako sa uvádza v Archimedesovej práci o pákach.

Poznámka 1

IN jednoduché príklady, pri pôsobení sily na páku v kolmom vzťahu k nej sa moment sily určí ako súčin veľkosti zadanej sily a vzdialenosti od osi otáčania páky.

Napríklad sila troch newtonov aplikovaná vo vzdialenosti dvoch metrov od osi otáčania páky vytvára moment ekvivalentný sile jedného newtona aplikovanej na páku vo vzdialenosti 6 metrov. Presnejšie, moment sily častice sa určuje vo formáte vektorového produktu:

$\vec (M)=\vec(r)\vec(F)$, kde:

• $\vec (F)$ predstavuje silu pôsobiacu na časticu,
• $\vec (r)$ je polomer vektora častice.

Vo fyzike treba energiu chápať ako skalárnu veličinu, kým krútiaci moment by sme považovali za (pseudo)vektorovú veličinu. Zhoda rozmerov takýchto veličín nebude náhodná: moment sily 1 N m, ktorý pôsobí počas celej otáčky, mechanická práca, uvádza energiu 2 $\pi$ jouly. Matematicky to vyzerá takto:

$E = M\theta$, kde:

• $E$ predstavuje energiu;
• $M$ sa považuje za krútiaci moment;
• $\theta$ bude uhol v radiánoch.

Dnes sa meranie momentu sily vykonáva pomocou špeciálnych snímačov zaťaženia tenzometrického, optického a indukčného typu.

Vzorce na výpočet momentu sily

Zaujímavou vecou vo fyzike je výpočet momentu sily v poli, vyrobený podľa vzorca:

$\vec(M) = \vec(M_1)\vec(F)$, kde:

• $\vec(M_1)$ sa považuje za pákový moment;
• $\vec(F)$ predstavuje veľkosť pôsobiacej sily.

Nevýhodou takéhoto znázornenia je skutočnosť, že neurčuje smer momentu sily, ale len jeho veľkosť. Ak je sila kolmá na vektor $\vec(r)$, moment páky sa bude rovnať vzdialenosti od stredu k bodu pôsobiacej sily. V tomto prípade bude moment sily maximálny:

$\vec(T)=\vec(r)\vec(F)$

Keď sila vykoná určitú činnosť v akejkoľvek vzdialenosti, vykoná mechanickú prácu. Rovnakým spôsobom bude fungovať moment sily (pri vykonávaní akcie cez uhlovú vzdialenosť).

$P = \vec (M)\omega $

V existujúcom medzinárodnom meracom systéme bude výkon $P$ meraný vo wattoch a samotný moment sily sa bude merať v newtonmetroch. V tomto prípade sa uhlová rýchlosť určuje v radiánoch za sekundu.

Moment viacerých síl

Poznámka 2

Keď je teleso vystavené dvom rovnakým a tiež opačne smerujúcim silám, ktoré neležia na rovnakej priamke, teleso nie je v stave rovnováhy. Vysvetľuje sa to tým, že výsledný moment naznačených síl vzhľadom na niektorú z osí nemá nulovú hodnotu, keďže obe znázornené sily majú momenty smerované rovnakým smerom (dvojica síl).

V situácii, keď je telo upevnené na osi, sa bude otáčať pod vplyvom niekoľkých síl. Ak na voľné teleso pôsobí dvojica síl, začne sa potom otáčať okolo osi prechádzajúcej cez ťažisko telesa.

Moment dvojice síl sa považuje za rovnaký vzhľadom na akúkoľvek os, ktorá je kolmá na rovinu dvojice. V tomto prípade bude celkový moment $M$ dvojice vždy rovný súčinu jednej zo síl $F$ a vzdialenosti $l$ medzi silami (rameno dvojice) bez ohľadu na typy segmentov do ktorým rozdeľuje polohu osi.

$M=(FL_1+FL-2) = F(L_1+L_2)=FL$

V situácii, keď je výsledný moment niekoľkých síl rovný nule, bude považovaný za rovnaký vzhľadom na všetky osi navzájom rovnobežné. Z tohto dôvodu je možné pôsobenie všetkých týchto síl na teleso nahradiť pôsobením len jednej dvojice síl s rovnakým momentom.

Nazýva sa moment sily vzhľadom na os otáčania fyzikálne množstvo, rovná súčinu sily jeho ramena.

Moment sily je určený vzorcom:

M - FI, kde F je sila, I je sila rameno.

Rameno sily je najkratšia vzdialenosť od čiary pôsobenia sily k osi rotácie telesa.

Na obr. 1.33 a zobrazuje tuhé teleso schopné otáčania okolo osi. Os otáčania tohto telesa je kolmá na rovinu obrázku a prechádza bodom označeným písmenom O. Rameno sily F je tu vzdialenosť 1Hot od osi otáčania k pôsobisku sily. Nájdite to nasledovne. Najprv nakreslite čiaru pôsobenia sily. Potom sa z bodu O, ktorým prechádza os otáčania telesa, spustí kolmica na čiaru pôsobenia sily. Dĺžka tejto kolmice je rameno danej sily.

Moment sily charakterizuje rotačný účinok sily. Táto akcia závisí od sily aj pákového efektu. Čím väčšie je rameno, tým menšia sila musí byť použitá, aby sa dosiahol požadovaný výsledok, t. j. rovnaký moment sily (pozri (1.33)). Preto je oveľa ťažšie otvoriť dvere zatlačením v blízkosti pántov ako uchopením za kľučku a je oveľa jednoduchšie odskrutkovať maticu dlhým ako krátkym kľúčom.

Jednotkou momentu sily SI je moment sily 1 N, ktorého rameno sa rovná 1 m - newton meter (N m).

Pravidlo okamihov

Tuhé teleso schopné otáčania okolo pevnej osi je v rovnováhe, ak moment sily M, ktorý ho otáča v smere hodinových ručičiek, sa rovná momentu sily M2, ktorý ho otáča proti smeru hodinových ručičiek:

M1 = -M2 alebo F111 = -F212.

Pravidlo momentov je dôsledkom jednej z teorém mechaniky, ktorú v roku 1687 sformuloval francúzsky vedec P. Varignon.

Ak na teleso pôsobia dve rovnaké a opačne smerujúce sily, ktoré neležia na tej istej priamke, potom také teleso nie je v rovnováhe, pretože výsledný moment týchto síl vzhľadom na žiadnu os nie je rovná nule, pretože obe sily majú momenty smerované rovnakým smerom. Dve takéto sily súčasne pôsobiace na teleso sa nazývajú dvojice síl. Ak je teleso upevnené na osi, potom sa pôsobením dvojice síl bude otáčať. Ak na voľné teleso pôsobí dvojica síl, potom sa bude otáčať okolo osi prechádzajúcej ťažiskom telesa, obr. 1,33, b.

Moment dvojice síl je rovnaký okolo akejkoľvek osi kolmej na rovinu dvojice. Celkový moment M dvojice sa vždy rovná súčinu jednej zo síl F a vzdialenosti I medzi silami, ktorá sa nazýva rameno dvojice, bez ohľadu na to, aké segmenty a /2 je poloha osi párové rameno je rozdelené na:

M = Fll + F12=F(11 + 12) = Fl.

Moment viacerých síl, ktorých výslednica je nula, bude rovnaký voči všetkým osám navzájom rovnobežným, preto pôsobenie všetkých týchto síl na teleso možno nahradiť pôsobením jednej dvojice síl s rovnakou moment.

Moment pár síl

Moment sily voči ľubovoľnému bodu (stredu) je vektor, ktorý sa číselne rovná súčinu modulu sily a ramena, t.j. na najkratšiu vzdialenosť od určeného bodu k čiare pôsobenia sily a smeruje kolmo na rovinu prechádzajúcu zvoleným bodom a čiaru pôsobenia sily v smere, z ktorého „rotácia“ vykonávaná silou okolo zdá sa, že bod sa vyskytuje proti smeru hodinových ručičiek. Moment sily charakterizuje jeho rotačné pôsobenie.

Ak O– bod, voči ktorému sa nachádza moment sily F, potom je moment sily označený symbolom M o (F). Ukážme, že ak je bod aplikácie sily F určený polomerovým vektorom r, potom je vzťah platný

Mo (F) = r x F. (3.6)

Podľa tohto pomeru moment sily sa rovná vektorovému súčinu vektora r vektorom F.

V skutočnosti je modul vektorového produktu rovný

M o ( F)=rF hriech= Fh, (3.7)

Kde h- rameno sily. Všimnite si tiež, že vektor M o (F) smerované kolmo na rovinu prechádzajúcu vektormi r A F, v smere, z ktorého je najkratšia zákruta vektora r do smeru vektora F Zdá sa, že sa vyskytuje proti smeru hodinových ručičiek. Vzorec (3.6) teda úplne určuje modul a smer momentu sily F.

Niekedy je užitočné napísať do formulára vzorec (3.7).

M o ( F)=2S, (3.8)

Kde S- oblasť trojuholníka OAV.

Nechaj X, r, z sú súradnice bodu pôsobenia sily a Fx, Fy, Fz– projekcie sily na súradnicové osi. Potom ak bod O sa nachádza v počiatku, moment sily je vyjadrený takto:

Z toho vyplýva, že projekcie momentu sily na súradnicové osi sú určené vzorcami:

M Ox(F)=yF z -zF y,

M Oy(F)=zF x -xF z ,

M Oy(F)=xF y -yF x. (3.10)

Predstavme si teraz koncept projekcie sily na rovinu.

Nech sa dáva sila F a nejaké lietadlo. Do tejto roviny pustíme kolmice zo začiatku a konca vektora sily.

Projekcia sily na rovinu volal vektor , ktorej začiatok a koniec sa zhodujú s priemetom začiatku a priemetu konca sily do tejto roviny.

Ak za uvažovanú rovinu berieme rovinu xOy, potom projekcia sily F v tejto rovine bude vektor Fxy.

Moment sily Fxy vzhľadom na bod O(priesečníky osí z s lietadlom xOy) možno vypočítať pomocou vzorca (3.9), ak to vezmeme z=0, Fz=0. Dostaneme

MO(Fxy)=(xF y -yF x)k.

Moment teda smeruje pozdĺž osi z a jeho premietanie na os z sa presne zhoduje s priemetom momentu sily na rovnakú os F vzhľadom na bod O. Inými slovami,

M Oz(F)=M Oz(Fxy)= xF y -yF x. (3.11)

Je zrejmé, že rovnaký výsledok možno získať, ak premietneme silu F k akejkoľvek inej rovine rovnobežnej xOy. V tomto prípade je to priesečník osi z s lietadlom to bude iné (označujeme nový bod križovatky cez O 1). Všetky množstvá zahrnuté na pravej strane rovnosti (3.11) X, pri, F x, F y zostane nezmenená, a preto môže byť napísaná

M Oz(F)=M01z ( Fxy).

Inými slovami, priemet momentu sily vzhľadom na bod na os prechádzajúcu týmto bodom nezávisí od výberu bodu na osi . Preto v tom, čo nasleduje, namiesto symbolu M Oz(F) použijeme symbol Mz(F). Projekcia tohto momentu sa nazýva moment sily okolo osi z. Často je vhodnejšie vypočítať moment sily okolo osi premietnutím sily F na rovine kolmej na os a výpočet hodnoty Mz(Fxy).

V súlade so vzorcom (3.7) a pri zohľadnení znamienka projekcie získame:

Mz(F)=Mz(Fxy)=± F xy h*. (3.12)

Tu h*– rameno sily Fxy vzhľadom na bod O. Ak pozorovateľ vidí z kladného smeru osi z, že sila Fxy má tendenciu otáčať telo okolo osi z proti smeru hodinových ručičiek, potom sa použije znamienko „+“ a inak znamienko „–“.

Vzorec (3.12) umožňuje formulovať nasledujúce pravidlo pre výpočet momentu sily okolo osi. K tomu potrebujete:

· vyberte ľubovoľný bod na osi a zostrojte rovinu kolmú na os;

· premietnuť silu do tejto roviny;

· určiť rameno priemetu sily h*.

Moment sily vzhľadom na os sa rovná súčinu modulu priemetu sily na jej rameno, braného s príslušným znamienkom (pozri pravidlo uvedené vyššie).

Zo vzorca (3.12) vyplýva, že moment sily okolo osi je nulový v dvoch prípadoch:

· keď je priemet sily do roviny kolmej na os nulový, t.j. keď sú sila a os rovnobežné ;

pri projekcii ramena h* rovná sa nule, t.j. keď akčná línia pretína os .

Oba tieto prípady je možné spojiť do jedného: moment sily okolo osi je nulový vtedy a len vtedy, ak línia pôsobenia sily a osi sú v rovnakej rovine .

Úloha 3.1. Vypočítajte vzhľadom na bod O moment moci F, aplikované do bodky A a diagonálne smerované čelo kocky so stranou A.

Pri riešení takýchto problémov je vhodné najskôr vypočítať momenty sily F vzhľadom na súradnicové osi X, r, z. Súradnice bodu A použitie sily F bude

Projekcie sily F na súradnicových osiach:

Nahradením týchto hodnôt rovnosťami (3.10) zistíme

, , .

Rovnaké výrazy pre momenty sily F vzhľadom na súradnicové osi možno získať pomocou vzorca (3.12). Aby sme to dosiahli, navrhujeme silu F v rovine kolmej na os X A pri. To je zrejmé . Použitím vyššie uvedeného pravidla dostaneme, ako by sa dalo očakávať, rovnaké výrazy:

, , .

Momentový modul je určený rovnosťou

.

Predstavme si teraz pojem chvíle páru. Najprv zistime, čomu sa rovná súčet momentov síl, ktoré tvoria pár, vzhľadom na ľubovoľný bod. Nechaj O je ľubovoľný bod v priestore a F A F" – sily, ktoré tvoria pár.

Potom Mo (F)= OA × F, Mo (F")= OB × F",

Mo (F) + Mo (F")= OA × F+ OB × F",

ale odkedy F= -F", To

Mo (F) + Mo (F")= OA × F- OB × F=(OA-OB)× F.

Berúc do úvahy rovnosť OA-OB=BA , konečne nájdeme:

Mo (F) + Mo (F")= VA × F.

teda súčet momentov síl, ktoré tvoria dvojicu, nezávisí od polohy bodu, voči ktorému sú momenty brané .

Vektorové umelecké dielo VA × F a volá sa pár moment . Moment páru je označený symbolom M(F, F"), a

M(F, F")=VA × F= AB × F",

alebo v skratke

M=VA × F= AB × F". (3.13)

Vzhľadom na pravú stranu tejto rovnosti si to všimneme moment páru je vektor kolmý na rovinu páru, ktorého modul sa rovná súčinu modulu jednej sily páru ramenom páru (t.j. najkratšou vzdialenosťou medzi priamkami pôsobenia páru). sily tvoriace pár) a nasmerované v smere, z ktorého je viditeľná „rotácia“ páru proti smeru hodinových ručičiek . Ak h– teda rameno dvojice M(F, F")=h × F.

Už zo samotnej definície je zrejmé, že moment dvojice síl je voľný vektor, ktorého pôsobisko nie je definované (dodatočné odôvodnenie tejto poznámky vyplýva z 2. a 3. vety tejto kapitoly).

Na to, aby dvojica síl tvorila vyvážený systém (sústava síl ekvivalentná nule), je potrebné a postačujúce, aby moment dvojice bol rovný nule. Ak je moment páru nulový, M=h × F, potom buď F=0, t.j. žiadna sila, alebo pár rameno h rovná sa nule. Ale v tomto prípade budú sily páru pôsobiť v jednej priamke; keďže majú rovnakú veľkosť a smerujú v opačných smeroch, potom na základe axiómy 1 vytvoria vyvážený systém. Naopak, ak dve sily F 1 A F 2, ktoré tvoria pár, sú vyvážené, potom na základe rovnakej axiómy 1 pôsobia v jednej priamke. Ale v tomto prípade pákový efekt páru h rovná sa nule a preto M=h × F=0.

Párové vety

Dokážme tri vety, pomocou ktorých sú možné ekvivalentné transformácie párov. Pri všetkých úvahách treba pamätať na to, že sa týkajú párov pôsobiacich na akomkoľvek pevnom tele.

Veta 1. Dva páry ležiace v rovnakej rovine môžu byť nahradené jedným párom ležiacim v rovnakej rovine, pričom moment sa rovná súčtu momentov týchto dvoch párov.

Ak chcete dokázať túto vetu, zvážte dve dvojice ( F 1,F" 1) A ( F 2,F" 2) a presúvajte body pôsobenia všetkých síl po líniách ich pôsobenia do bodov A A IN resp. Sčítaním síl podľa axiómy 3 dostaneme

R=F1+F 2 A R"=F" 1+F" 2,

ale F 1=-F" 1 A F 2=-F" 2.

teda R = - R", t.j. silu R A R" tvoria pár. Nájdite moment tejto dvojice pomocou vzorca (3.13):

M = M(R, R")=VA× R= VA× (F 1+F 2)=VA× F 1+VA× F 2. (3.14)

Keď sa sily, ktoré tvoria dvojicu, prenášajú pozdĺž línií ich pôsobenia, nezmení sa ani rameno, ani smer otáčania dvojice, preto sa nemení ani moment dvojice. znamená,

BA x F1 = M(F 1,F" 1)=M 1, VA× F2 = M(F 2,F" 2)=M 2

a vzorec (3.14) má tvar

M=M1+M2, (3.15)

čo dokazuje platnosť vyššie formulovanej vety.

Urobme dve poznámky k tejto vete.

1. Línie pôsobenia síl, ktoré tvoria dvojice, sa môžu ukázať ako rovnobežné. Veta zostáva v tomto prípade platná, ale na jej dôkaz je potrebné použiť pravidlo sčítania rovnobežných síl.

2. Po pridaní sa môže ukázať, že M(R, R")=0; Na základe vyššie uvedenej poznámky vyplýva, že kolekcia dvoch párov ( F 1,F" 1, F 2,F" 2)=0.

Veta 2. Dva páry, ktoré majú geometricky rovnaké momenty, sú ekvivalentné.

Nechajte na tele v rovine ja pár ( F 1,F" 1) s momentom M 1. Ukážme, že tento pár môže byť nahradený iným párom ( F 2,F" 2), ktorý sa nachádza v rovine II, keby len jej chvíľa M 2 rovná sa M 1(podľa definície (pozri 1.1) to bude znamenať, že páry ( F 1,F" 1) A ( F 2,F" 2) sú rovnocenné). V prvom rade si všimneme, že lietadlá ja A II musia byť rovnobežné, najmä sa môžu zhodovať. Vskutku, z paralelnosti momentov M 1 A M 2(v našom prípade M 1=M 2) vyplýva, že roviny pôsobenia dvojíc kolmých na momenty sú tiež rovnobežné.

Predstavme si nový pár ( F 3,F" 3) a pripojte ho spolu s párom ( F 2,F" 2) k telu, pričom oba páry umiestnite do roviny II. Aby ste to dosiahli, podľa axiómy 2 musíte vybrať pár ( F 3,F" 3) s momentom M 3 takže aplikovaný systém síl ( F 2,F" 2, F 3,F" 3) bol vyrovnaný. Dá sa to urobiť napríklad takto: dať F 3=-F" 1 A F" 3 =-F 1 a spojiť body pôsobenia týchto síl s projekciami A 1 a IN 1 bod A A IN do lietadla II. V súlade s konštrukciou budeme mať: M3 = -M1 alebo vzhľadom na to M1 = M2,

M2 + M3= 0.

Ak vezmeme do úvahy druhú poznámku k predchádzajúcej vete, dostaneme ( F 2,F" 2, F 3,F" 3) = 0. Teda páry ( F 2,F" 2) A ( F 3,F" 3) sú vzájomne vyvážené a ich pripútanie k telu nenarúša jeho stav (axióma 2), takže

(F 1,F" 1)= (F 1,F" 1, F 2,F" 2, F 3,F" 3). (3.16)

Na druhej strane sily F 1 A F 3, a F" 1 A F" 3 možno pridať podľa pravidla sčítania paralelných síl smerujúcich jedným smerom. V module sú všetky tieto sily navzájom rovnaké, teda ich výslednice R A R" musí byť aplikovaný v priesečníku uhlopriečok obdĺžnika ABB 1 A 1; okrem toho majú rovnakú veľkosť a smerujú v opačných smeroch. To znamená, že tvoria systém ekvivalentný nule. takže,

(F 1,F" 1, F 3,F" 3)=(R, R")=0.

Teraz môžeme písať

(F 1,F" 1, F 2,F" 2, F 3,F" 3)=(F 3,F" 3). (3.17)

Porovnaním vzťahov (3.16) a (3.17) dostaneme ( F 1,F" 1)=(F 2,F" 2), čo bolo potrebné dokázať.

Z tejto vety vyplýva, že dvojica síl sa môže pohybovať v rovine jej pôsobenia, prenášať do rovnobežnej roviny; nakoniec, vo dvojici môžete súčasne meniť sily a páku, pričom zachovávate iba smer otáčania dvojice a modul jej momentu ( F 1 h 1 =F 2 h 2).

V nasledujúcom texte budeme vo veľkej miere využívať takéto ekvivalentné párové transformácie.

Veta 3. Dve dvojice ležiace v pretínajúcich sa rovinách sú ekvivalentné jednej dvojici, ktorej moment sa rovná súčtu momentov dvoch daných dvojíc.

Nechajte páry ( F 1,F" 1) A ( F 2,F" 2) sa nachádzajú v pretínajúcich sa rovinách ja A II resp. Pomocou dôsledkov vety 2 zredukujeme oba páry na rameno AB, ktorý sa nachádza na priesečníku rovín ja A II. Označme transformované dvojice ( Q 1,Q" 1) A ( Q 2,Q" 2). V tomto prípade musia byť dodržané rovnosti

M1 = M(Q 1,Q" 1)=M(F 1,F" 1) A M2 = M(Q 2,Q" 2)=M(F 2,F" 2).

Pridajme podľa axiómy 3 sily pôsobiace v bodoch A A IN resp. Potom dostaneme R=Q1+Q2 A R"=Q"1 +Q" 2. Zvažujem to Q"1 = -Q1 A Q"2 = -Q2, dostaneme R=-R". Dokázali sme teda, že systém dvoch párov je ekvivalentný jednému páru ( R,R").

Nájdime ten moment M tento pár. Na základe vzorca (3.13) máme

M(R,R")=VA× (Q 1 + Q 2)=VA× Q1 + VA× Q 2=

=M(Q 1,Q" 1)+M(Q 2,Q" 2)=M(F 1,F" 1)+M(F 2,F" 2)

M=M1+M2,

tie. veta je dokázaná.

Všimnite si, že získaný výsledok platí aj pre dvojice ležiace v rovnobežných rovinách. Podľa vety 2 je možné takéto dvojice zredukovať na jednu rovinu a pomocou vety 1 ich nahradiť jednou dvojicou, ktorej moment sa rovná súčtu momentov jednotlivých dvojíc.

Vyššie dokázané párové teorémy nám umožňujú vyvodiť dôležitý záver: moment páru je voľný vektor a úplne určuje pôsobenie páru na absolútne tuhé teleso . V skutočnosti sme už dokázali, že ak majú dve dvojice rovnaké momenty (teda ležia v rovnakej rovine alebo v rovnobežných rovinách), potom sú si navzájom ekvivalentné (Veta 2). Na druhej strane, dva páry ležiace v pretínajúcich sa rovinách nemôžu byť ekvivalentné, pretože by to znamenalo, že jeden z nich a pár oproti druhému sú ekvivalentné nule, čo je nemožné, pretože súčet momentov takýchto párov je nenulový.

Zavedený koncept momentu páru je teda mimoriadne užitočný, pretože úplne odráža mechanické pôsobenie páru na telo. V tomto zmysle môžeme povedať, že moment vyčerpávajúcim spôsobom predstavuje pôsobenie dvojice na tuhé teleso.

Pre deformovateľné telesá nie je možné použiť vyššie uvedenú teóriu párov. Dva protiľahlé páry, pôsobiace napríklad na koncoch tyče, sú z hľadiska statiky tuhého telesa ekvivalentné nule. Medzitým ich pôsobenie na deformovateľnú tyč spôsobuje jej krútenie a čím väčšie sú momentové moduly, tým väčší je krútiaci moment.

Prejdime k riešeniu prvého a druhého problému statiky, kedy na teleso pôsobia len dvojice síl.

Moment sily. Okamih impulzu.

Nech sa určité teleso vplyvom sily F pôsobiacej v bode A dostane do rotácie okolo osi OO“ (obr. 1.14).

Sila pôsobí v rovine kolmej na os. Nazýva sa kolmica p spadnutá z bodu O (ležiaceho na osi) do smeru sily rameno sily. Súčin sily ramena určuje modul momentu sily vzhľadom na bod O:

M = Fp = Frsina.

Moment silyje vektor určený vektorovým súčinom vektora polomeru bodu pôsobenia sily a vektora sily:

(3.1)
Jednotkou momentu sily je newtonmeter (N m).

Smer M možno nájsť pomocou pravého skrutkového pravítka.

moment impulzu častica je vektorový súčin polomeru vektora častice a jej hybnosti:

alebo v skalárnej forme L = rPsinα

Táto veličina je vektorová a zhoduje sa v smere s vektormi ω.

§ 3.2 Moment zotrvačnosti. Steinerova veta

Mierou zotrvačnosti telies počas translačného pohybu je hmotnosť. Zotrvačnosť telies pri rotačnom pohybe závisí nielen od hmotnosti, ale aj od jej rozloženia v priestore vzhľadom na os rotácie. Mierou zotrvačnosti pri rotačnom pohybe je veličina tzv moment zotrvačnosti tela vzhľadom na os otáčania.

Moment zotrvačnosti hmotného bodu vzhľadom na os rotácie sa súčin hmotnosti tohto bodu a štvorca jeho vzdialenosti od osi nazýva:

I i = m i r i 2 (3.2)

Moment zotrvačnosti telesa vzhľadom na os otáčania nazývame súčet momentov zotrvačnosti hmotných bodov, ktoré tvoria toto teleso:

(3.3)

Moment zotrvačnosti telesa závisí od toho, okolo ktorej osi sa otáča a ako je hmotnosť telesa rozložená v objeme.

Najľahšie sa určí moment zotrvačnosti telies, ktoré majú pravidelný geometrický tvar a rovnomerné rozloženie hmoty po objeme.

· Moment zotrvačnosti homogénnej tyče vzhľadom k osi prechádzajúcej stredom zotrvačnosti a kolmej na tyč

(3.6)

· Moment zotrvačnosti homogénneho valca vo vzťahu k osi kolmej na jej základňu a prechádzajúcej stredom zotrvačnosti,

(3.7)

· Moment zotrvačnosti tenkostenného valca alebo obruč vo vzťahu k osi kolmej na rovinu jej základne a prechádzajúcej jej stredom,

(3.8)

· Moment zotrvačnosti gule vzhľadom na priemer

(3.9)

Obr.3.2

Uvedené vzorce pre momenty zotrvačnosti telies sú uvedené za podmienky, že os otáčania prechádza stredom zotrvačnosti. Na určenie momentov zotrvačnosti telesa vzhľadom na ľubovoľnú os by ste mali použiť Steinerova veta : moment zotrvačnosti telesa voči ľubovoľnej osi rotácie sa rovná súčtu momentov zotrvačnosti telesa voči osi rovnobežnej s danou osou a prechádzajúcej ťažiskom telesa, a súčin telesnej hmotnosti druhou mocninou vzdialenosti medzi osami:

(3.11)

Jednotkou momentu zotrvačnosti je kilogram meter štvorcový (kg m2).

Moment zotrvačnosti homogénnej tyče vo vzťahu k osi prechádzajúcej jej koncom sa teda podľa Steinerovej vety rovná

(3.12)

§ 3.3 Rovnica dynamiky rotačného pohybu tuhého telesa

Uvažujme najskôr hmotný bod A s hmotnosťou m, pohybujúci sa po kružnici s polomerom r (obr. 1.16). Nech naň pôsobí konštantná sila F smerujúca tangenciálne ku kružnici. Podľa druhého Newtonovho zákona táto sila spôsobuje tangenciálne zrýchlenie alebo F = m a τ .

Použitie vzťahu aτ = βr, získame F = m βr.

Vynásobme obe strany vyššie uvedenej rovnice r.

Fr = mpr2. (3.13)

Ľavá strana výrazu (3.13) je moment sily: M = Fr. Pravá časť je súčin uhlového zrýchlenia β a momentu zotrvačnosti hmotného bodu A: J= m r 2.

Uhlové zrýchlenie bodu, keď sa otáča okolo pevnej osi, je úmerné krútiacemu momentu a nepriamo úmerné momentu zotrvačnosti (základná rovnica dynamiky rotačného pohybu hmotného bodu):

M = β J alebo (3.14)

Pri konštantnom krútiacom momente bude uhlové zrýchlenie konštantnou hodnotou a môže byť vyjadrené rozdielom uhlových rýchlostí:

(3.15)

Potom môže byť základná rovnica pre dynamiku rotačného pohybu napísaná vo forme

alebo (3.16)

[ - moment impulzu (alebo moment hybnosti), МΔt - impulz momentu síl (alebo impulz momentu)].

Základnú rovnicu pre dynamiku rotačného pohybu možno zapísať ako

(3.17)

§ 3.4 Zákon zachovania momentu hybnosti

Uvažujme častý prípad rotačného pohybu, keď je celkový moment vonkajších síl nulový. Keď sa teleso otáča, každá častica sa pohybuje s ním lineárna rýchlosťυ = ωr, .

Moment hybnosti rotujúceho telesa sa rovná súčtu momentov

impulzy jeho jednotlivých častíc:

(3.18)

Zmena momentu hybnosti sa rovná impulzu krútiaceho momentu:

dL=d(Jω)=Jdω=Mdt (3,19)

Ak je celkový moment všetkých vonkajších síl pôsobiacich na telesnú sústavu vzhľadom na ľubovoľnú pevnú os rovný nule, t.j. M=0, potom dL a vektorový súčet momentu hybnosti telies sústavy sa v čase nemení.

Súčet momentu hybnosti všetkých telies v izolovanej sústave zostáva nezmenený ( zákon zachovania momentu hybnosti):

d(Jω)=0 Jω=konšt. (3,20)

Podľa zákona zachovania momentu hybnosti môžeme písať

J 1 ω 1 = J 2 ω 2 (3,21)

kde J 1 a ω 1 sú momenty zotrvačnosti a uhlovej rýchlosti v počiatočnom časovom okamihu a J 2 aj ω 2 – v čase t.

Zo zákona zachovania momentu hybnosti vyplýva, že keď M = 0, pri rotácii sústavy okolo osi musí byť každá zmena vzdialenosti od telies k osi rotácie sprevádzaná zmenou rýchlosti ich rotácie. rotácia okolo tejto osi. Keď sa vzdialenosť zväčšuje, rýchlosť otáčania sa znižuje, keď sa vzdialenosť zmenšuje, zvyšuje sa. Napríklad gymnasta, ktorý robí salto, aby mal čas urobiť niekoľko otáčok vo vzduchu, sa počas skoku stočí do klbka. Balerína či krasokorčuliarka, točiaca sa v piruete, rozpaží, ak chce rotáciu spomaliť, a naopak, pri čo najrýchlejšej rotácii si ich pritlačí k telu.

§ 3.5 Kinetická energia rotujúceho telesa

Určme kinetickú energiu tuhého telesa otáčajúceho sa okolo pevnej osi. Rozdeľme toto teleso na n hmotných bodov. Každý bod sa pohybuje lineárnou rýchlosťou υ i =ωr i, potom kinetická energia bodu

alebo

Celková kinetická energia rotujúceho tuhého telesa sa rovná súčtu kinetických energií všetkých jeho hmotných bodov:

(3.22)

(J je moment zotrvačnosti telesa vzhľadom na os rotácie)

Ak trajektórie všetkých bodov ležia v rovnobežných rovinách (ako valec kotúľajúci sa po naklonenej rovine, každý bod sa pohybuje vo svojej rovine), plochý pohyb. Rovinný pohyb možno podľa Eulerovho princípu vždy nespočetnými spôsobmi rozložiť na pohyb translačný a rotačný. Ak loptička padá alebo kĺže po naklonenej rovine, pohybuje sa iba translačne; keď sa guľôčka kotúľa, tak sa aj otáča.

Ak teleso vykonáva translačný a rotačný pohyb súčasne, potom sa jeho celková kinetická energia rovná

(3.23)

Z porovnania vzorcov pre kinetickú energiu pre translačný a rotačný pohyb je zrejmé, že mierou zotrvačnosti pri rotačnom pohybe je moment zotrvačnosti telesa.

§ 3.6 Práca vykonaná vonkajšími silami počas otáčania tuhého telesa

Keď sa tuhé teleso otáča, jeho potenciálna energia sa nemení, preto sa elementárna práca vonkajších síl rovná prírastku kinetickej energie telesa:

ΔA = ΔE alebo

Ak vezmeme do úvahy, že Jβ = M, ωdr = dφ, máme

ΔA = MΔφ (3,24)

Práca vykonaná vonkajšími silami pri otáčaní tuhého telesa o konečný uhol φ sa rovná

Keď sa tuhé teleso otáča okolo pevnej osi, práca vonkajších síl je určená pôsobením momentu týchto síl vzhľadom na túto os. Ak je moment síl vzhľadom na os nulový, potom tieto sily nevytvárajú prácu.