Rovnoramenný trojuholník a jeho výška. Rovnoramenný trojuholník a jeho vlastnosti

Trojuholník, v ktorom sú dve strany rovnaké, sa nazýva rovnoramenný. Tieto strany sa nazývajú bočné a tretia strana sa nazýva základňa. V tomto článku vám povieme, aké vlastnosti existujú rovnoramenný trojuholník.

Veta 1

Uhly v blízkosti základne rovnoramenného trojuholníka sú rovnaké

Dôkaz vety.

Povedzme, že máme rovnoramenný trojuholník ABC, ktorého základňa je AB. Pozrime sa na trojuholník BAC. Tieto trojuholníky sa podľa prvého znamienka navzájom rovnajú. To je pravda, pretože BC = AC, AC = BC, uhol ACB = uhol ACB. Z toho vyplýva, že uhol BAC = uhol ABC, pretože to sú zodpovedajúce uhly našich rovnakých trojuholníkov. Tu je vlastnosť uhlov rovnoramenného trojuholníka.

Veta 2

Stred v rovnoramennom trojuholníku, ktorý je nakreslený k jeho základni, je tiež výška a stred

Dôkaz vety.

Povedzme, že máme rovnoramenný trojuholník ABC, ktorého základňa je AB a CD je stred, ktorý sme nakreslili k jeho základni. V trojuholníkoch ACD a BCD je uhol CAD = uhol CBD ako zodpovedajúce uhly v základni rovnoramenného trojuholníka (Veta 1). A strana AC = strana BC (podľa definície rovnoramenného trojuholníka). Strana AD = strana BD, pretože bod D rozdeľuje segment AB na rovnaké časti. Z toho vyplýva, že trojuholník ACD = trojuholník BCD.

Z rovnosti týchto trojuholníkov máme rovnosť zodpovedajúcich uhlov. To znamená, že uhol ACD = uhol BCD a uhol ADC = uhol BDC. Z rovnosti 1 vyplýva, že CD je osi. A uhol ADC a uhol BDC sú susedné uhly a z rovnosti 2 vyplýva, že sú oba pravé uhly. Ukázalo sa, že CD je výška trojuholníka. Toto je vlastnosť mediánu rovnoramenného trojuholníka.

A teraz trochu o znameniach rovnoramenného trojuholníka.

Veta 3

Ak sú dva uhly v trojuholníku rovnaké, potom je takýto trojuholník rovnoramenný

Dôkaz vety.

Povedzme, že máme trojuholník ABC, v ktorom uhol CAB = uhol CBA. Trojuholník ABC = trojuholník BAC podľa druhého kritéria rovnosti medzi trojuholníkmi. To je pravda, pretože AB = BA; uhol CBA = uhol CAB, uhol CAB = uhol CBA. Z tejto rovnosti trojuholníkov máme rovnosť zodpovedajúcich strán trojuholníka - AC = BC. Potom sa ukáže, že trojuholník ABC je rovnoramenný.

Veta 4

Ak je v ľubovoľnom trojuholníku jeho stredom aj jeho nadmorská výška, potom je takýto trojuholník rovnoramenný

Dôkaz vety.

V trojuholníku ABC nakreslíme stredný CD. Bude to aj výška. Pravoúhlý trojuholník ACD = pravouhlý trojuholník BCD, pretože noha CD je pre nich spoločná, a noha AD = noha BD. Z toho vyplýva, že ich prepony sú si navzájom rovné, ako zodpovedajúce časti rovnakých trojuholníkov. To znamená, že AB = BC.

Veta 5

Ak sa tri strany trojuholníka rovnajú trom stranám iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky zhodné

Dôkaz vety.

Predpokladajme, že máme trojuholník ABC a trojuholník A1B1C1 taký, že strany AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1. Uvažujme o dôkaze tejto vety protirečením.

Predpokladajme, že tieto trojuholníky sa navzájom nerovnajú. Odtiaľ máme, že uhol BAC sa nerovná uhlu B1A1C1, uhol ABC sa nerovná uhlu A1B1C1, uhol ACB sa zároveň nerovná uhlu A1C1B1. V opačnom prípade by tieto trojuholníky boli rovnaké podľa vyššie uvedených kritérií.

Predpokladajme, že trojuholník A1B1C2 = trojuholník ABC. V trojuholníku leží vrchol C2 s vrcholom C1 vzhľadom na priamku A1B1 v tej istej polrovine. Predpokladali sme, že vrcholy C2 a C1 sa nezhodujú. Predpokladajme, že bod D je stredom segmentu C1C2. Máme teda rovnoramenné trojuholníky B1C1C2 a A1C1C2, ktoré majú spoločnú základňu C1C2. Ukazuje sa, že ich mediány B1D a A1D sú tiež ich výškami. To znamená, že priamka B1D a priamka A1D sú kolmé na priamku C1C2.

B1D a A1D majú rôzne body B1 a A1, a preto sa nemôžu zhodovať. Ale cez bod D priamky C1C2 môžeme nakresliť len jednu priamku, ktorá je naň kolmá. Máme rozpor.

Teraz viete, aké sú vlastnosti rovnoramenného trojuholníka!

V ktorom majú dve strany rovnakú dĺžku. Rovnaké strany sa nazývajú bočné a posledná nerovná strana sa nazýva základňa. Podľa definície je pravidelný trojuholník tiež rovnoramenný, ale naopak to neplatí.

Terminológia

Ak má trojuholník dve rovnaké strany, potom sa tieto strany nazývajú strany a tretia strana sa nazýva základňa. Uhol, ktorý tvoria strany, sa nazýva vrcholový uhol, a uhly, ktorých jedna strana je základňou, sa nazývajú rohy na základni.

Vlastnosti

Uhly oproti rovnakým stranám rovnoramenného trojuholníka sú si navzájom rovné. Osy, mediány a nadmorské výšky nakreslené z týchto uhlov sú tiež rovnaké.
Osa, stred, výška a kolmica nakreslená k základni sa navzájom zhodujú. Stredy vpísanej a opísanej kružnice ležia na tejto priamke.

Nechaj a- dĺžka dvoch rovnakých strán rovnoramenného trojuholníka, b- dĺžka tretej strany, h- výška rovnoramenného trojuholníka

$a = \frac b (2 \cos \alpha)$ (dôsledok kosínusovej vety);
$b = a \sqrt (2 (1 - \cos \beta))$ (dôsledok kosínusovej vety);
$b = 2a \sin \frac \beta 2$ ;
$b = 2a\cos\alfa$ (projekčná veta)

Polomer kružnice možno vyjadriť šiestimi spôsobmi, v závislosti od toho, ktoré dva parametre rovnoramenného trojuholníka sú známe:

$r=\frac b2 \sqrt(\frac(2a-b)(2a+b))$
$r=\frac(bh)(b+\sqrt(4h^2+b^2))$
$r=\frac(h)(1+\frac(a)(\sqrt(a^2-h^2)))$
$r=\frac b2 \operatorname(tg) \left (\frac(\alpha)(2) \right)$
$r=a\cdot \cos(\alpha)\cdot \operatorname(tg) \left (\frac(\alpha)(2) \right)$

Uhly možno vyjadriť nasledujúcimi spôsobmi:

$\alpha = \frac (\pi - \beta) 2;$
$\beta = \pi - 2\alfa;$
$\alpha = \arcsin \frac a (2R), \beta = \arcsin \frac b (2R)$ (sínusová veta).
Uhol možno nájsť aj bez $(\pi)$ A $R$ . Trojuholník je rozdelený na polovicu jeho mediánom a prijaté Vypočítajú sa uhly dvoch rovnakých pravouhlých trojuholníkov:

y = \cos\alpha =\frac (b)(c), \arccos y = x

Obvod Rovnoramenný trojuholník možno nájsť nasledujúcimi spôsobmi:

$P = 2a + b$ (a-priorita);
$P = 2R (2 \sin \alfa + \sin \beta)$ (dôsledok sínusovej vety).

Námestie trojuholník sa nachádza nasledujúcimi spôsobmi:

$S = \frac 12bh;$

$S = \frac 1 2 a^2 \sin \beta = \frac 1 2 ab \sin \alpha = \frac (b^2)(4 \tan \frac \beta 2);$ $S = \frac 1 2 b \sqrt (\left(a + \frac 1 2 b \right) \left(a - \frac 1 2 b \right));$ $S = \frac 2 1 a \sqrt \beta = \frac 2 1 ab \cos \alpha = \frac (b^1)(2 \sin \frac \beta 1);$

Pozri tiež

Napíšte recenziu na článok "Rovnostranný trojuholník"

Poznámky

Úryvok charakterizujúci rovnoramenný trojuholník

Marya Dmitrievna, hoci sa jej báli, v Petrohrade sa na ňu pozeralo ako na žart, a preto si zo slov, ktoré povedala, všimli len tvrdé slovo a zopakovali si to šeptom jeden druhému, pričom predpokladali, že toto slovo obsahuje celý zmysel toho, čo bolo povedané.
princ Vasilij, V poslednej dobe obzvlášť často zabudol, čo povedal, a stokrát opakoval to isté, hovoril vždy, keď náhodou uvidel svoju dcéru.
„Helene, j"ai un mot a vous dire," povedal jej, vzal ju nabok a ťahal dole za ruku. "J"ai eu vent de sures projets relatifs a... Vous savevez. Eh bien, ma chere enfant, vous savez que mon c?ur de pere se rejouit do vous savoir... Vous avez tant souffert... Mais, chere enfant... ne consultez que votre c?ur. C"est tout ce que je vous dis." [Helen, musím ti niečo povedať. Počul som o niektorých druhoch týkajúcich sa... vieš. No, moje drahé dieťa, vieš, že srdce tvojho otca sa raduje, že si... Toľko si vydržal... Ale, milé dieťa... Urob, ako ti hovorí tvoje srdce. To je celá moja rada.] - A vždy skrývajúc to isté vzrušenie, pritisol svoje líce k lícu svojej dcéry a odišiel.
Bilibin, ktorý nestratil svoju povesť najmúdrejší človek a ako Helenin nezainteresovaný priateľ, jeden z tých priateľov, ktorých vždy majú skvelé ženy, priatelia mužov, ktorí sa nikdy nemôžu premeniť na úlohu milencov, Bilibin raz v petit comite [malý intímny kruh] vyjadril svoj pohľad na celú túto záležitosť svojmu priateľovi Helen.
- Ecoutez, Blibine (Helen vždy volala priateľov ako Blibine priezviskom) - a dotkla sa bielou krúžkovou rukou rukáva jeho fraku. – Dites moi comme vous diriez a une s?ur, que dois je faire? Lequel des deux? [Počúvaj, Bilibin: povedz mi, ako by si povedal svojej sestre, čo mám robiť? Ktorý z týchto dvoch?]
Bilibin si nabral kožu nad obočím a pomyslel si s úsmevom na perách.
"Vous ne me prenez pas en zaskočený, vous savez," povedal. - Comme veritable ami j"ai pense et repense a votre affaire. Voyez vous. Si vous epousez le prince (bol to mladý muž)," ohol prst, "vous perdez pour toujours la chance d"epouser l"autre, et puis vous me contentez la Cour vous epousant, [Nezaskočíš ma, vieš, dlho som o tvojej veci premýšľal: ak si vezmeš princa navždy stratí možnosť byť manželkou iného a navyše bude súd nespokojný, ide tu predsa o príbuzenstvo.) A ak si vezmeš starého grófa, tak si urobíš šťastie posledné dni ho, a potom... pre princa už nebude ponižujúce vziať si vdovu po šľachticovi.] - a Bilibin si uvoľnil kožu.
– Voila un skutočný ami! - povedala rozžiarená Helen a opäť sa dotkla Blibipovho rukáva rukou. – Mais c"est que j"aime l"un et l"autre, je ne voudras pas leur faire de chagrin. Je donnerais ma vie pour leur bonheur a tous deux, [Tu je skutočný priateľ! Ale milujem ich oboch a nechcem nikoho naštvať. Pre šťastie oboch by som bola pripravená obetovať svoj život.] - povedala.
Bilibin pokrčil plecami a vyjadril, že ani on už nedokáže zabrániť takému žiaľu.
„Une maitresse femme! Voila ce qui s"appelle poser carrement la question. Elle voudrait epouser tous les trois a la fois", ["Výborne žena! Tomu sa hovorí pevné položenie otázky. Chcela by byť manželkou všetkých troch zároveň čas."] - pomyslel si Bilibin.

Prví historici našej civilizácie – starí Gréci – spomínajú Egypt ako rodisko geometrie. Je ťažké s nimi nesúhlasiť, pretože vieme, s akou úžasnou presnosťou boli postavené obrovské hrobky faraónov. Vzájomné usporiadanie roviny pyramíd, ich proporcie, orientácia na svetové strany – dosiahnuť takú dokonalosť by bolo nemysliteľné bez znalosti základov geometrie.

Samotné slovo „geometria“ možno preložiť ako „meranie zeme“. Slovo „zem“ sa navyše nejaví ako časť planéty slnečná sústava, ale ako lietadlo. Označenie oblastí pre údržbu poľnohospodárstvo, s najväčšou pravdepodobnosťou je veľmi pôvodným základom vedy o geometrických útvaroch, ich typoch a vlastnostiach.

Trojuholník je najjednoduchší priestorový útvar planimetrie, ktorý obsahuje iba tri body - vrcholy (nie je ich menej). Základ základov, možno práve preto sa v ňom zdá byť niečo tajomné a prastaré. Vševidiace oko vo vnútri trojuholníka je jedným z prvých známych okultných znamení a geografia jeho distribúcie a časový rámec sú jednoducho úžasné. Od starovekých egyptských, sumerských, aztéckych a iných civilizácií až po modernejšie komunity milovníkov okultizmu roztrúsených po celom svete.

Čo sú trojuholníky?

Obyčajný scalenový trojuholník je uzavretý geometrický obrazec, pozostávajúce z troch segmentov rôzne dĺžky a tri uhly, z ktorých ani jeden nie je správny. Okrem toho existuje niekoľko špeciálnych typov.

Ostrý trojuholník má všetky uhly menšie ako 90 stupňov. Inými slovami, všetky uhly takéhoto trojuholníka sú ostré.

Pravý trojuholník, nad ktorým školáci vždy plakali kvôli množstvu viet, má jeden uhol 90 stupňov alebo, ako sa tomu hovorí, priamku.

Tupý trojuholník sa vyznačuje tým, že jeden z jeho uhlov je tupý, to znamená, že jeho veľkosť je väčšia ako 90 stupňov.

Rovnostranný trojuholník má tri strany rovnakej dĺžky. Na takomto obrázku sú všetky uhly rovnaké.

A nakoniec, rovnoramenný trojuholník má tri strany, dve rovnaké.

Charakteristické rysy

Vlastnosti rovnoramenného trojuholníka určujú aj jeho hlavný, hlavný rozdiel – rovnosť jeho dvoch strán. Tieto rovnaké strany sa zvyčajne nazývajú boky (alebo častejšie strany) a tretia strana sa nazýva „základňa“.

Na uvažovanom obrázku a = b.

Druhé kritérium pre rovnoramenný trojuholník vyplýva z vety o sínusoch. Keďže strany a a b sú rovnaké, sínusy ich opačných uhlov sú rovnaké:

a/sin γ = b/sin α, z čoho máme: sin γ = sin α.

Z rovnosti sínusov vyplýva rovnosť uhlov: γ = α.

Takže druhým znakom rovnoramenného trojuholníka je rovnosť dvoch uhlov susediacich so základňou.

Tretie znamenie. V trojuholníku sú prvky ako nadmorská výška, stred a stred.

Ak sa v procese riešenia problému ukáže, že v predmetnom trojuholníku sa ktorékoľvek dva z týchto prvkov zhodujú: výška s osou; osička s mediánom; medián s výškou - môžeme definitívne usúdiť, že trojuholník je rovnoramenný.

Geometrické vlastnosti obrazca

1. Vlastnosti rovnoramenného trojuholníka. Jednou z charakteristických vlastností postavy je rovnosť uhlov susediacich so základňou:

<ВАС = <ВСА.

2. Ešte jedna vlastnosť bola diskutovaná vyššie: medián, stred a nadmorská výška v rovnoramennom trojuholníku sa zhodujú, ak sú postavené od jeho vrcholu k jeho základni.

3. Rovnosť osí nakreslených z vrcholov na základni:

Ak AE je osou uhla BAC a CD je osou uhla BCA, potom: AE = DC.

4. Vlastnosti rovnoramenného trojuholníka tiež zabezpečujú rovnosť výšok, ktoré sú nakreslené z vrcholov na základni.

Ak zostrojíme výšky trojuholníka ABC (kde AB = BC) z vrcholov A a C, potom sa výsledné úsečky CD a AE budú rovnať.

5. Stredy nakreslené z rohov na základni budú tiež rovnaké.

Ak sú teda AE a DC mediány, to znamená AD = DB a BE = EC, potom AE = DC.

Výška rovnoramenného trojuholníka

Rovnosť strán a uhlov s nimi zavádza niektoré funkcie do výpočtu dĺžok prvkov uvažovaného obrázku.

Nadmorská výška v rovnoramennom trojuholníku rozdeľuje obrazec na 2 symetrické pravouhlé trojuholníky, ktorých prepony sú po stranách. Výška je v tomto prípade určená podľa Pytagorovej vety ako noha.

Trojuholník môže mať všetky tri strany rovnaké, potom sa bude nazývať rovnostranný. Výška v rovnostrannom trojuholníku sa určuje podobným spôsobom, len na výpočty stačí poznať iba jednu hodnotu - dĺžku strany tohto trojuholníka.

Výšku môžete určiť iným spôsobom, napríklad tak, že poznáte základňu a uhol, ktorý k nej prilieha.

Medián rovnoramenného trojuholníka

Uvažovaný typ trojuholníka vzhľadom na jeho geometrické vlastnosti možno vyriešiť celkom jednoducho pomocou minimálneho súboru počiatočných údajov. Keďže medián v rovnoramennom trojuholníku sa rovná jeho výške aj jeho osi, algoritmus na jeho určenie sa nelíši od postupu na výpočet týchto prvkov.

Napríklad dĺžku mediánu môžete určiť podľa známej bočnej strany a veľkosti vrcholového uhla.

Ako určiť obvod

Keďže obe strany uvažovaného planimetrického útvaru sú vždy rovnaké, na určenie obvodu stačí poznať dĺžku základne a dĺžku jednej zo strán.

Zoberme si príklad, keď potrebujete určiť obvod trojuholníka pomocou známej základne a výšky.

Obvod sa rovná súčtu základne a dvojnásobku dĺžky strany. Bočná strana je zas definovaná pomocou Pytagorovej vety ako prepona pravouhlého trojuholníka. Jeho dĺžka sa rovná druhej odmocnine súčtu druhej mocniny výšky a druhej mocniny polovice základne.

Oblasť rovnoramenného trojuholníka

Výpočet plochy rovnoramenného trojuholníka spravidla nespôsobuje ťažkosti. V našom prípade samozrejme platí univerzálne pravidlo na určenie plochy trojuholníka ako polovice súčinu základne a jej výšky. Vlastnosti rovnoramenného trojuholníka však opäť uľahčujú úlohu.

Predpokladajme, že výška a uhol susediaci so základňou sú známe. Je potrebné určiť oblasť obrázku. Dá sa to urobiť týmto spôsobom.

Keďže súčet uhlov akéhokoľvek trojuholníka je 180°, nie je ťažké určiť veľkosť uhla. Ďalej pomocou podielu zostaveného podľa vety o sínusoch sa určí dĺžka základne trojuholníka. Všetko, základňa a výška - dostatočné údaje na určenie oblasti - sú k dispozícii.

Ďalšie vlastnosti rovnoramenného trojuholníka

Poloha stredu kružnice opísanej okolo rovnoramenného trojuholníka závisí od veľkosti vrcholového uhla. Ak je teda rovnoramenný trojuholník ostrý, stred kruhu sa nachádza vo vnútri obrázku.

Stred kružnice opísanej okolo tupého rovnoramenného trojuholníka leží mimo nej. A nakoniec, ak je uhol vo vrchole 90°, stred leží presne v strede základne a priemer kruhu prechádza samotnou základňou.

Na určenie polomeru kružnice opísanej rovnoramennému trojuholníku stačí vydeliť dĺžku strany dvojnásobkom kosínusu polovice vrcholového uhla.

Kontrola domácich úloh

№ 111.

Vzhľadom na to: CD = BD , 1 = 2

Dokázať: A B C - rovnoramenné

№ 107.

strane A C je 2-krát menej ako AB

P = 50 cm,

P = 50 cm

x + 2x + 2x = 50

x = 10

2 X

AC = 10 cm,

AB = BC = 20 cm

Ktoré trojuholníky sú rovnoramenné? Pre rovnoramenné trojuholníky pomenujte základňu a strany.

Dané: AD - stred ∆ BAC, BAC = 74 0. Nájdi: BA D. (obr. 1)

Dané: KL - výška ∆ KMN. Nájsť: KLN. (Obr.2)

Dané: QS - medián ∆ PQR, PS = 5,3 cm. Nájsť: PR. (Obr.3)

Dané: ∆ ABC je rovnoramenný so základňou AC, BC je os, AC = 46 cm. Nájsť: AK. (obr. 4)
Dané: ∆ ABC je rovnoramenný so základňou AC, výška VC, ABC = 46 0. Nájsť: AVK. (Obr.5)
Je dané: ∆ C BD rovnoramenné so základňou B C, DA medián, BDC = 120 0. Nájsť: ADB. (Obr.6)