Központi szimmetria rajzai. Axiális szimmetria

Homotitás és hasonlóság.Homothety - transzformáció, amelyben minden pont M (sík vagy tér) van hozzárendelve egy ponthoz M", OM-on fekszik (5.16. ábra), és az arány OM":OM= λ ugyanaz minden ponton, kivéve O. fix pont O homotitás központnak nevezik. Hozzáállás OM": OM pozitívnak tekinthető, ha M" és M feküdjön az egyik oldalánó, negatív - az ellenkező oldalon. Szám x homotitási együtthatónak nevezzük. Nál nél x< A 0 homotétát inverznek nevezzük. Nál nélλ = - 1 homotétia egy pont körüli szimmetriatranszformációvá válik O. A homotéziával az egyenes átmegy egyenessé, a párhuzamos vonalak és síkok megmaradnak, a szögek (lineáris és kétéder) megmaradnak, minden alak átmegy ebbe hasonló (5.17. ábra).

Ennek fordítva is igaz. A homotétia olyan affin transzformációként definiálható, amelyben a megfelelő pontokat összekötő egyenesek egy ponton, a homotétia középpontján haladnak át. A homotitást a képek nagyítására használják (vetítőlámpa, mozi).

Központi és tükör szimmetria.A szimmetria (tágabb értelemben) egy tulajdonság geometriai alakzatФ, amely alakjának bizonyos helyességét, mozgások és reflexiók hatására bekövetkező változatlanságát jellemzi. A Ф ábrának szimmetriája van (szimmetrikus), ha vannak nem azonos ortogonális transzformációk, amelyek ezt az ábrát magába veszik. Az összes ortogonális transzformáció halmaza, amely a Ф ábrát önmagával kombinálja, ennek az alaknak a csoportja. Így, lapos alak(5.18. ábra) ponttal M, átalakul-

Xia magadban egy tükörrel visszaverődés, szimmetrikus az egyenes tengelyre AB. Itt a szimmetriacsoport két elemből áll - a pontból M átalakítva M".

Ha a Ф alak a síkon olyan, hogy egy pont körül forog O 360°/n szögön keresztül, ahol n > 2 egész szám, transzformálja önmagává, ekkor a Ф ábra n-edrendű szimmetriájú a ponthoz képest O - szimmetria középpontja. Az ilyen ábrákra példa az szabályos sokszögek, például csillag (5.19. ábra), amelynek középpontja körül nyolcadrendű szimmetria van. A szimmetriacsoport itt az úgynevezett n-edrendű ciklikus csoport. A körnek végtelen rendű szimmetriája van (mivel bármilyen szögben elfordulva egyesül önmagával).

A térbeli szimmetria legegyszerűbb típusa a központi szimmetria (inverzió). Ebben az esetben a lényeg tekintetében O a Ф alakot önmagával kombináljuk három egymásra merőleges síkról, azaz a pontról történő egymás utáni visszaverődések után O - az F szimmetrikus pontokat összekötő szakasz közepe. Tehát a kockára (5.20. ábra) a pont O a szimmetria középpontja. pontokat M és M" kocka

Célok:

• nevelési:
  • képet adjon a szimmetriáról;
  • mutassa be a szimmetria főbb típusait a síkban és a térben;
  • erős készségek kialakítása a szimmetrikus figurák felépítésében;
  • bővítse a híres figurákkal kapcsolatos elképzeléseket azáltal, hogy bevezeti őket a szimmetriához kapcsolódó tulajdonságokba;
  • mutassák be a szimmetria felhasználási lehetőségeit különböző problémák megoldásában;
  • megszilárdítani a megszerzett ismereteket;
• Általános oktatás:
  • tanuld meg felkészíteni magad a munkára;
  • tanítsa meg uralkodni önmagán és a szomszédon az íróasztalon;
  • megtanítani, hogyan értékelje magát és a szomszédot az asztalán;
• fejlesztés:
  • aktiválja önálló tevékenység;
  • kognitív tevékenység fejlesztése;
  • megtanulják összefoglalni és rendszerezni a kapott információkat;
• nevelési:
  • nevelje a tanulókat „vállérzésre”;
  • ápolja a kommunikációt;
  • meghonosítja a kommunikáció kultúráját.

AZ ÓRÁK ALATT

Mindegyik előtt olló és egy papírlap.

1. Feladat(3 perc).

- Vegyünk egy papírlapot, hajtsuk félbe, és vágjunk ki egy figurát. Most hajtsa ki a lapot, és nézze meg a hajtási vonalat.

Kérdés: Mi ennek a vonalnak a funkciója?

Javasolt válasz: Ez a vonal kettéosztja az ábrát.

Kérdés: Hogyan helyezkedik el az ábra összes pontja a kapott két felén?

Javasolt válasz: A felek minden pontja egyenlő távolságra van a hajtásvonaltól és azonos szinten.

- Tehát a hajtási vonal kettéosztja az ábrát úgy, hogy 1 fele 2 fél másolata, azaz. ez az egyenes nem egyszerű, van egy figyelemreméltó tulajdonsága (a hozzá képest minden pont azonos távolságra van), ez az egyenes a szimmetriatengely.

2. feladat (2 perc).

- Vágj ki egy hópelyhet, keresd meg a szimmetriatengelyt, jellemezd!

3. feladat (5 perc).

- Rajzolj egy kört a füzetedbe.

Kérdés: Határozza meg, hogyan halad át a szimmetriatengely?

Javasolt válasz: Eltérően.

Kérdés: Tehát hány szimmetriatengelye van egy körnek?

Javasolt válasz: Sok.

- Így van, a körnek sok szimmetriatengelye van. Ugyanez a csodálatos figura a labda (térfigura)

Kérdés: Milyen más figuráknak van egynél több szimmetriatengelye?

Javasolt válasz: Négyzet, téglalap, egyenlő szárú és egyenlő oldalú háromszögek.

- Fontolgat háromdimenziós figurák: kocka, piramis, kúp, henger stb. Ezeknek az ábráknak is van szimmetriatengelye Határozza meg, hány szimmetriatengelye van egy négyzetnek, téglalapnak, egyenlő oldalú háromszögnek és a javasolt háromdimenziós alakzatoknak?

A gyurmafigurák felét kiosztom a tanulóknak.

4. feladat (3 perc).

- A kapott információk felhasználásával fejezze be az ábra hiányzó részét!

Jegyzet: a figura lehet lapos és háromdimenziós is. Fontos, hogy a tanulók határozzák meg, hogyan haladjon a szimmetriatengely, és töltsék ki a hiányzó elemet. A végrehajtás helyességét az íróasztal szomszédja határozza meg, értékeli, hogy a munka milyen jól történt.

Az asztalon egy azonos színű csipkéből vonal kerül kirakásra (zárt, nyitott, önkeresztezéssel, önkeresztezés nélkül).

5. feladat (csoportos munka 5 perc).

- Vizuálisan határozza meg a szimmetriatengelyt, és ehhez képest egészítse ki a második részt egy másik színű csipkéből.

Az elvégzett munka helyességét a tanulók maguk határozzák meg.

A tanulókat rajzelemekkel mutatják be

6. feladat (2 perc).

Keresse meg ezeknek a rajzoknak a szimmetrikus részeit!

A tárgyalt anyag összevonására a következő, 15 perces feladatokat javaslom:

Nevezze meg a KOR és KOM háromszög minden egyenlő elemét! Milyen típusúak ezek a háromszögek?

2. Rajzolj egy füzetbe több egyenlő szárú háromszöget, amelyek közös alapja 6 cm!

3. Rajzolj egy AB szakaszt. Szerkesszünk egy egyenest, amely merőleges az AB szakaszra és átmegy a felezőpontján. Jelölje be rajta a C és D pontot úgy, hogy az ACBD négyszög szimmetrikus legyen az AB egyenesre.

- Kezdeti elképzeléseink a formáról az ókori kőkorszak egy nagyon távoli korszakához, a paleolitikumhoz tartoznak. Ebből az időszakból több százezer éven át az emberek barlangokban éltek, olyan körülmények között, amelyek alig különböztek az állatok életétől. Az emberek vadászatra és horgászatra eszközöket készítettek, nyelvet alakítottak ki az egymással való kommunikációra, a késő paleolit ​​korszakban pedig művészeti alkotásokkal, figurákkal, rajzokkal díszítették létezésüket, amelyek csodálatos formaérzékről árulkodnak.
Amikor megtörtént az átmenet az egyszerű élelmiszergyűjtésről az aktív termelésre, a vadászatról és halászatról a mezőgazdaságra, az emberiség egy új kőkorszakba, a neolitikumba lép.
A neolitikus embernek éles érzéke volt a geometriai formák iránt. Az agyagedények égetése, színezése, a nádszőnyegek, kosarak, szövetek gyártása, majd a fémfeldolgozás a sík- és téralakokról alkotott elképzeléseket. A neolitikus díszítések kellemesek voltak a szemnek, egyenlőségről és szimmetriáról árulkodtak.
Hol található a szimmetria a természetben?

Javasolt válasz: lepkék szárnyai, bogarak, falevelek…

„A szimmetria az építészetben is meglátszik. Az épületek építésekor az építők egyértelműen ragaszkodnak a szimmetriához.

Ezért olyan szépek az épületek. Szintén a szimmetria példája az ember, az állatok.

Házi feladat:

1. Találja ki a saját díszét, ábrázolja A4-es lapra (szőnyeg formájában is lerajzolhatja).
2. Rajzolj pillangókat, jelöld meg, hol vannak szimmetriaelemek!

(jelentése "arányosság") - a geometriai objektumok azon tulajdonsága, hogy bizonyos átalakítások során egyesüljenek önmagukkal. A "szimmetria" alatt minden szabályszerűséget értünk belső szerkezet testek vagy formák.

Központi szimmetria- szimmetria egy pont körül.

ponthoz képest O, ha az ábra minden pontjához az O ponthoz képest vele szimmetrikus pont is ehhez az ábrához tartozik. Az O pontot az ábra szimmetriaközéppontjának nevezzük.

NÁL NÉL egydimenziós tér (a vonalon) a központi szimmetria tükörszimmetria.

A repülőn (be 2-dimenziós tér) szimmetria A középponttal 180 fokos elforgatás A középponttal. A síkban lévő központi szimmetria az elforgatáshoz hasonlóan megőrzi a tájolást.

Központi szimmetria be háromdimenziós a teret gömbszimmetriának is nevezik. A szimmetriaközépponton átmenő síkról való visszaverődés kompozíciójaként ábrázolható, 180°-os elforgatással a szimmetriaközépponton átmenő, a fent említett visszaverődési síkra merőleges egyenes körül.

NÁL NÉL 4 dimenziós A térben a centrális szimmetria két egymásra merőleges, a szimmetriaközépponton áthaladó sík körüli 180°-os elforgatás összetételeként ábrázolható.

Axiális szimmetria- szimmetria egy egyeneshez képest.

Az ábra szimmetrikusnak mondható viszonylag egyenes a, ha az ábra minden pontjára az egyenesre nézve szimmetrikus pont és szintén ehhez az ábrához tartozik. Az a egyenest az ábra szimmetriatengelyének nevezzük.

Axiális szimmetria két definíciója van:

- Fényvisszaverő szimmetria.

A matematikában az axiális szimmetria egyfajta mozgás (tükörtükrözés), amelyben a rögzített pontok halmaza egy egyenes, az úgynevezett szimmetriatengely. Például egy lapos alak, egy térbeli téglalap aszimmetrikus és 3 szimmetriatengelye van, ha nem négyzet.

- Forgásszimmetria.

A természettudományokban az axiális szimmetria alatt forgásszimmetriát értünk, az egyenes vonal körüli forgások vonatkozásában. Ebben az esetben a testeket tengelyszimmetrikusnak nevezzük, ha az egyenes körüli bármely forgás során magukba mennek. Ebben az esetben a téglalap nem tengelyszimmetrikus test lesz, hanem a kúp.

A minket körülvevő világ számos objektumának síkján lévő képeknek van szimmetriatengelye vagy szimmetriaközéppontja. Sok falevél és virágszirom szimmetrikusan helyezkedik el a középső szár körül.

Gyakran találkozunk szimmetriával a művészetben, építészetben, technikában, a mindennapi életben. Számos épület homlokzata axiálisan szimmetrikus. A legtöbb esetben a szőnyegek, szövetek és szobaháttérképek mintái szimmetrikusak a tengely vagy a középpont körül. A mechanizmusok sok részlete szimmetrikus, például a fogaskerekek.

« Szimmetria" görög eredetű szó. Arányosságot, bizonyos sorrend jelenlétét, mintázatokat jelent az alkatrészek elrendezésében.

Az ókor óta az emberek a szimmetriát használták rajzokban, díszekben és háztartási cikkekben.
A szimmetria széles körben elterjedt a természetben. A növények levelei és virágai formájában, elrendezésben figyelhető meg különféle testekállatok, formában kristályos testek, libbenő pillangóban, titokzatos hópehelyben, templomban mozaikban, tengeri csillagban.
A szimmetriát széles körben használják a gyakorlatban, az építőiparban és a mérnöki munkákban. Ez szigorú szimmetria ősi épületek, harmonikus ókori görög vázák, Kreml épülete, autók, repülők és még sok más formájában. (4. dia) A szimmetria használatára példa a parketta és a szegély. (lásd hiperhivatkozás a szimmetria használatáról szegélyekben és parkettákban) Nézzünk meg néhány példát, ahol diavetítés (bekapcsolási ikon) segítségével különböző objektumok szimmetriáját láthatjuk.

Definíció: szimmetria egy pont körül.
Definíció: Az A és B pont szimmetrikus valamely O ponthoz képest, ha az O pont az AB szakasz felezőpontja.
Definíció: Az O pontot az ábra szimmetriaközéppontjának, az ábrát pedig központilag szimmetrikusnak nevezzük.
Tulajdonság: Azok az ábrák, amelyek egy ponthoz képest szimmetrikusak, egyenlők.
Példák:

Algoritmus egy központilag szimmetrikus ábra felépítésére
1. Építsünk az ABC háromszögre szimmetrikus A 1B 1 C 1 háromszöget az O középponthoz (ponthoz) képest. Ehhez kössük össze A, B, C pont O középponttal, és folytassa ezeket a szegmenseket;
2. Megmérjük az AO, VO, CO szakaszokat, és félretesszük az O pont másik oldalán egyenlő szegmenseket (AO \u003d A 1 O 1, VO \u003d B 1 O 1, CO \u003d C 1 O 1) ;

3. Kössük össze a kapott pontokat az A 1 B 1 szakaszokkal; A 1 C 1; B1 C 1.
∆A 1 B 1 C 1 szimmetrikus ∆ABC-t kaptunk.

- ez szimmetria a rajzolt tengely körül (egyenes).
Definíció: Az A és B pontok szimmetrikusak valamelyik a egyenesre, ha ezek a pontok az adott egyenesre merőlegesen és azonos távolságra esnek.
Definíció: A szimmetriatengelyt egyenesnek nevezzük, ha meghajlítjuk, amely mentén a „felek” egybeesnek, az ábrát pedig valamilyen tengely körül szimmetrikusnak.
Tulajdonság: Két szimmetrikus ábra egyenlő.
Példák:

Algoritmus valamely egyeneshez képest szimmetrikus ábra megszerkesztésére
Szerkesszünk egy A1B1C1 háromszöget, amely szimmetrikus az ABC háromszögre az a egyenesre nézve.
Ezért:
1. Az ABC háromszög csúcsaiból egyeneseket húzunk az a egyenesre merőlegesen, és folytatjuk azokat.
2. Megmérjük a távolságokat a háromszög csúcsaitól az egyenes eredményül kapott pontjaiig, és ugyanazokat a távolságokat ábrázoljuk az egyenes másik oldalán.
3. Kösse össze a kapott pontokat az A1B1, B1C1, B1C1 szegmensekkel.

Fogadott ∆ А1В1С1 szimmetrikus ∆АВС.

Axiális szimmetria és a tökéletesség fogalma

A tengelyirányú szimmetria a természet minden formája velejárója, és a szépség egyik alapelve. Ősidők óta az ember próbálkozott

megérteni a tökéletesség jelentését. Ezt a koncepciót először művészek, filozófusok és matematikusok támasztották alá Ókori Görögország. És a "szimmetria" szót is ők találták ki. Jelzi az egész részeinek arányosságát, harmóniáját és azonosságát. Az ókori görög gondolkodó, Platón azt állította, hogy csak az a tárgy lehet szép, amely szimmetrikus és arányos. És valóban, azok a jelenségek és formák, amelyekben arányosság és teljesség van, „szemnek kellemesek”. Mi helyesnek nevezzük őket.

Az axiális szimmetria mint fogalom

A szimmetria az élőlények világában az azonos testrészek középponthoz vagy tengelyhez viszonyított szabályos elrendezésében nyilvánul meg. Gyakrabban bent

a természet tengelyirányban szimmetrikus. Nemcsak azt okozza általános szerkezet szervezetre, hanem későbbi fejlődésének lehetőségére is. Az élőlények geometriai alakzatait és arányait a „tengelyszimmetria” alakítja ki. Ennek definíciója a következőképpen fogalmazódik meg: az objektumok azon tulajdonsága, hogy különféle transzformációk során kombinálhatók. A régiek úgy vélték, hogy a szimmetria elve a leginkább teljesen gömb rendelkezik. Harmonikusnak és tökéletesnek tartották ezt a formát.

Tengelyszimmetria a vadon élő állatokban

Ha bármelyik élőlényre ránézel, a test felépítésének szimmetriája azonnal megragadja a tekintetét. Férfi: két kar, két láb, két szem, két fül, és így tovább. Minden állatfajtának van egy jellegzetes színe. Ha egy minta jelenik meg a színezésben, akkor általában mindkét oldalon tükröződik. Ez azt jelenti, hogy van egy bizonyos vonal, amely mentén az állatok és az emberek vizuálisan két azonos félre oszthatók, vagyis geometriai felépítésük axiális szimmetrián alapul. A természet minden élő szervezetet nem kaotikusan és értelmetlenül, hanem a világrend általános törvényei szerint hoz létre, mert az Univerzumban semminek sincs pusztán esztétikai, dekoratív célja. Elérhetőség különféle formák természetes szükség miatt is.

Tengelyszimmetria be élettelen természet

A világon mindenhol olyan jelenségek és tárgyak vesznek körül bennünket, mint: tájfun, szivárvány, csepp, levelek, virágok stb. Tükrük, radiális, központi, tengelyirányú szimmetriájuk nyilvánvaló. Ez nagyrészt a gravitáció jelenségének köszönhető. A szimmetria fogalmán gyakran bármely jelenség változásának szabályszerűségét értjük: nappal és éjszaka, tél, tavasz, nyár és ősz stb. A gyakorlatban ez a tulajdonság ott van, ahol rend van. És a természet törvényei - biológiai, kémiai, genetikai, csillagászati ​​- a mindannyiunkra jellemző szimmetria-elveknek vannak alávetve, mivel irigylésre méltó következetességük van. Így az egyensúlynak, az identitásnak mint elvnek egyetemes hatálya van. A természetben a tengelyirányú szimmetria az egyik „sarokkő” törvény, amelyen az univerzum egésze alapul.