ODZ. Érvényes tartomány

Törtegyenletek. ODZ.

Figyelem!
Vannak további
anyag az 555. külön szakaszban.
Azoknak, akik erősen "nem nagyon..."
És azoknak, akik "nagyon...")

Folytatjuk az egyenletek elsajátítását. Már tudjuk, hogyan kell lineáris és másodfokú egyenletekkel dolgozni. Az utolsó nézet marad törtegyenletek . Vagy sokkal szilárdabbnak is nevezik őket - tört racionális egyenletek. Ez ugyanaz.

Törtegyenletek.

Ahogy a neve is sugallja, ezek az egyenletek szükségszerűen tartalmaznak törteket. De nem csak a töredékek, hanem a töredékek, amelyek rendelkeznek a nevezőben ismeretlen. Legalábbis az egyikben. Például:

Hadd emlékeztesselek, ha csak a nevezőkben számok, ezek lineáris egyenletek.

Hogyan döntsünk törtegyenletek? Először is szabadulj meg a törtektől! Ezt követően az egyenlet leggyakrabban lineáris vagy másodfokúvá válik. És akkor tudjuk, mit tegyünk... Bizonyos esetekben ez identitássá válhat, például 5=5, vagy helytelen kifejezéssé, például 7=2. De ez ritkán történik meg. Az alábbiakban megemlítem.

De hogyan lehet megszabadulni a törtektől!? Nagyon egyszerű. Az összes azonos transzformáció alkalmazása.

Az egész egyenletet meg kell szoroznunk ugyanazzal a kifejezéssel. Hogy minden nevező csökkenjen! Minden azonnal könnyebb lesz. egy példával magyarázom. Tegyük fel, hogy meg kell oldanunk az egyenletet:

Hogyan tanították őket az általános iskolában? Mindent egy irányba viszünk át, közös nevezőre redukáljuk stb. Felejtsd el, hogyan lidércnyomás! Ezt kell tennie, amikor törtkifejezéseket ad hozzá vagy kivon. Vagy dolgozz az egyenlőtlenségekkel. Az egyenletekben pedig azonnal megszorozzuk mindkét részt egy kifejezéssel, amely lehetőséget ad az összes nevező csökkentésére (vagyis lényegében egy közös nevezőre). És mi ez a kifejezés?

A bal oldalon a nevező csökkentéséhez szoroznia kell x+2. A jobb oldalon pedig 2-vel kell szorozni, tehát az egyenletet meg kell szorozni 2 (x+2). Megszorozzuk:

Ez a törtek szokásos szorzása, de részletesen leírom:

Kérjük, vegye figyelembe, hogy még nem nyitom ki a zárójelet. (x + 2)! Tehát teljes egészében leírom:

A bal oldalon teljesen lecsökkent (x+2), jobb oldalon pedig 2. Igény szerint! Csökkentés után kapjuk lineáris az egyenlet:

Ezt az egyenletet bárki meg tudja oldani! x = 2.

Oldjunk meg egy másik, kicsit bonyolultabb példát:

Ha emlékszünk arra, hogy 3 = 3/1, és 2x = 2x/ 1 írható:

És ismét megszabadulunk attól, amit nem igazán szeretünk - a törtekből.

Látjuk, hogy a nevező x-szel való csökkentéséhez meg kell szorozni a törtet (x - 2). És az egységek nem jelentenek akadályt számunkra. Nos, szorozzuk. Összes bal oldalés összes jobb oldal:

Ismét zárójelek (x - 2) nem árulom el. A zárójel egészével dolgozom, mintha egy szám lenne! Ezt mindig meg kell tenni, különben semmi sem csökken.

A mély elégedettség érzésével vágunk (x - 2)és az egyenletet tört nélkül, vonalzóban kapjuk!

És most kinyitjuk a zárójeleket:

Hasonlókat adunk, mindent áthelyezünk a bal oldalra, és megkapjuk:

De előtte megtanulunk más problémákat is megoldani. Érdeklődni. A gereblyék egyébként!

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanulás – érdeklődéssel!)

függvényekkel, származékokkal ismerkedhet meg.

"tört racionális egyenletek megoldása"

Az óra céljai:

Oktatóanyag:

tört racionális egyenletek fogalmának kialakítása; a tört racionális egyenletek megoldásának különféle módjainak mérlegelése; fontoljon meg egy algoritmust a tört racionális egyenletek megoldására, beleértve azt a feltételt, hogy a tört egyenlő nullával; tört racionális egyenletek megoldásának tanítása az algoritmus szerint; a téma asszimilációs szintjének ellenőrzése tesztmunka lebonyolításával.

Fejlesztés:

kritikus gondolkodás

Gondoskodó:

kognitív érdeklődés

Tanulási célok

Az óra típusa: lecke - új anyag magyarázata.

Az órák alatt

1. Szervezeti mozzanat.

Helló srácok! Az egyenletek fel vannak írva a táblára, alaposan nézze meg őket. Meg tudod oldani ezeket az összes egyenletet? Melyek nem és miért?

Azokat az egyenleteket, amelyekben a bal és a jobb oldal tört racionális kifejezés, tört racionális egyenleteknek nevezzük. Mit gondolsz, mit fogunk tanulni ma a leckében? Fogalmazd meg az óra témáját! Tehát kinyitjuk a jegyzetfüzeteket, és felírjuk a „Tört racionális egyenletek megoldása” lecke témáját.

2. A tudás aktualizálása. első szavazás, szóbeli munka osztállyal.

És most megismételjük a fő elméleti anyagot, amelyet tanulmányoznunk kell új téma. Kérjük, válaszoljon a következő kérdésekre:

1. Mi az egyenlet? ( Egyenlõség változóval vagy változókkal.)

2. Mi a neve az 1. egyenletnek? ( Lineáris.) Megoldás módja lineáris egyenletek. (Helyezzen mindent az ismeretlennel az egyenlet bal oldalára, az összes számot jobbra. Hozz hasonló kifejezéseket. Keresse meg az ismeretlen szorzót).

3. Mi a 3. egyenlet neve? ( Négyzet.) Másodfokú egyenletek megoldási módszerei. ( A teljes négyzet kiválasztása képletekkel, a Vieta-tétel felhasználásával és következményei.)

4. Mi az arány? ( Két viszony egyenlősége.) Az arányosság fő tulajdonsága. ( Ha az arány igaz, akkor szélső tagjainak szorzata megegyezik a középső tagok szorzatával.)

5. Milyen tulajdonságokat használunk az egyenletek megoldásában? ( 1. Ha az egyenletben a tagot egyik részből a másikba visszük át, megváltoztatva az előjelét, akkor az adott egyenletet kapunk. 2. Ha az egyenlet mindkét részét ugyanazzal a nem nulla számmal szorozzuk vagy osztjuk, akkor egy egyenletet kapunk, amely ekvivalens az adott.)

6. Mikor egyenlő egy tört nullával? ( A tört nulla, amikor a számláló nulla, és a nevező nem egyenlő nullával.)

3. Új anyag magyarázata.

Oldja meg a 2. egyenletet füzetekben és táblán!

Válasz: 10.

Milyen tört racionális egyenletet próbálhat meg megoldani az arányosság alaptulajdonságával? (5. sz.).

(x-2) (x-4) = (x+2) (x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Oldja meg a 4. egyenletet füzetekben és táblán!

Válasz: 1,5.

Milyen tört racionális egyenletet próbálhat meg megoldani úgy, hogy az egyenlet mindkét oldalát megszorozza a nevezővel? (6. sz.).

D=1>0, x1=3, x2=4.

Válasz: 3;4.

Most próbálja meg megoldani a 7. egyenletet valamelyik módon.


(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5) (x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5) (x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49

Válasz: 0;5;-2.			Válasz: 5;-2.

Magyarázd el, miért történt ez? Miért van az egyik esetben három gyökér, a másikban kettő? Mely számok gyökei ennek a tört racionális egyenletnek?

Eddig a hallgatók nem találkoztak az idegen gyökér fogalmával, valóban nagyon nehéz megérteni, hogy ez miért történt. Ha az osztályban senki nem tud világos magyarázatot adni erre a helyzetre, akkor a tanár feltesz vezető kérdéseket.

A 2. és 4. számú egyenletben a szám nevezőjében, az 5-7. számú egyenletekben - változós kifejezések

Annak a változónak az értéke, amelynél az egyenlet valódi egyenlőséggé válik

Ellenőrizd

A teszt elvégzésekor néhány diák észreveszi, hogy nullával kell osztania. Arra a következtetésre jutottak, hogy a 0 és az 5 nem ennek az egyenletnek a gyökerei. Felmerül a kérdés: van-e olyan módszer a tört racionális egyenletek megoldására, amely lehetővé teszi számunkra, hogy kiküszöböljük adott hiba? Igen, ez a módszer azon a feltételen alapul, hogy a tört nullával egyenlő.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Ha x=5, akkor x(x-5)=0, tehát az 5 egy idegen gyök.

Ha x=-2, akkor x(x-5)≠0.

Válasz: -2.

Próbáljunk meg egy algoritmust megfogalmazni tört racionális egyenletek ilyen módon történő megoldására. A gyerekek maguk fogalmazzák meg az algoritmust.

Algoritmus tört racionális egyenletek megoldására:

1. Vigyen mindent a bal oldalra.

2. Hozza a törteket közös nevezőre.

3. Készítsen rendszert: a tört akkor egyenlő nullával, ha a számláló nulla, a nevező pedig nem nulla.

4. Oldja meg az egyenletet!

5. Ellenőrizze az egyenlőtlenséget, hogy kizárja az idegen gyökereket.

6. Írd le a választ.

Megbeszélés: hogyan formalizáljuk a megoldást, ha az arányosság alaptulajdonságát és az egyenlet mindkét oldalának közös nevezővel való szorzását használjuk. (Kiegészítsük a megoldást: zárjuk ki a gyökéből azokat, amelyek a közös nevezőt nullára fordítják).

4. Az új anyag elsődleges megértése.

Párokban dolgozni. A tanulók az egyenlet típusától függően maguk döntik el, hogyan oldják meg az egyenletet. Feladatok az "Algebra 8" tankönyvből, 2007: 000 (b, c, i); No. 000(a, e, g). A tanár ellenőrzi a feladat végrehajtását, válaszol a felmerült kérdésekre, segítséget nyújt a rosszul teljesítő tanulóknak. Önellenőrzés: A válaszok fel vannak írva a táblára.

b) 2 egy idegen gyök. Válasz: 3.

c) 2 egy idegen gyök. Válasz: 1.5.

a) Válasz: -12.5.

g) Válasz: 1; 1.5.

5. Nyilatkozat a házi feladatról.

2. Ismerje meg a tört racionális egyenletek megoldásának algoritmusát.

3. Oldja meg a 000-es számú füzetekben (a, d, e); No. 000(g, h).

4. Próbálja meg megoldani a No. 000(a) (nem kötelező).

6. Ellenőrző feladat teljesítése a tanult témában.

A munka lapokon történik.

Munka példa:

A) Az egyenletek közül melyik tört racionális?

B) Egy tört nulla, ha a számláló __________________________, a nevező pedig ___________________________.

K) A -3 szám a 6. egyenlet gyökere?

D) Oldja meg a 7. egyenletet!

Feladat értékelési szempontok:

Az „5” akkor jár, ha a tanuló a feladat több mint 90%-át helyesen teljesítette. "4" - 75% -89% "3" - 50% -74% "2" az a tanuló kap, aki a feladat 50%-ánál kevesebbet teljesített. A 2. évfolyam nem kerül be a naplóba, a 3. nem kötelező.

7. Reflexió.

Az önálló munkát tartalmazó szórólapokra tegye fel:

1 - ha a lecke érdekes és érthető volt az Ön számára; 2 - érdekes, de nem egyértelmű; 3 - nem érdekes, de érthető; 4 - nem érdekes, nem egyértelmű.

8. A lecke összegzése.

Tehát ma a leckében megismerkedtünk a tört racionális egyenletekkel, megtanultuk, hogyan kell megoldani ezeket az egyenleteket különböző utak, képzés segítségével mérték össze tudásukat önálló munkavégzés. Az önálló munka eredményeit a következő órán sajátítod el, otthon lesz lehetőséged a megszerzett tudás megszilárdítására.

A tört racionális egyenletek megoldásának melyik módja szerinted könnyebb, elérhetőbb, racionálisabb? A tört racionális egyenletek megoldási módszerétől függetlenül mit nem szabad elfelejteni? Mi a tört racionális egyenletek "ravaszsága"?

Köszönöm mindenkinek, a lecke véget ért.

Az óra céljai:

Oktatóanyag:

tört racionális egyenletek fogalmának kialakítása;
a tört racionális egyenletek megoldásának különféle módjainak mérlegelése;
fontoljon meg egy algoritmust a tört racionális egyenletek megoldására, beleértve azt a feltételt, hogy a tört egyenlő nullával;
tört racionális egyenletek megoldásának tanítása az algoritmus szerint;
a téma asszimilációs szintjének ellenőrzése tesztmunka lebonyolításával.

Fejlesztés:

a megszerzett tudással való helyes működés, a logikus gondolkodás képességének fejlesztése;
az intellektuális készségek és a mentális műveletek fejlesztése - elemzés, szintézis, összehasonlítás és általánosítás;
a kezdeményezőkészség, a döntési képesség fejlesztése, nem áll meg itt;
a kritikai gondolkodás fejlesztése;
kutatási készségek fejlesztése.

Gondoskodó:

a tantárgy iránti kognitív érdeklődésre nevelés;
önállóságra nevelés a nevelési problémák megoldásában;
akarat és kitartás nevelése a végső eredmények elérése érdekében.

Az óra típusa: lecke - új anyag magyarázata.

Az órák alatt

1. Szervezeti mozzanat.

Helló srácok! Az egyenletek fel vannak írva a táblára, alaposan nézze meg őket. Meg tudod oldani ezeket az összes egyenletet? Melyek nem és miért?

2. A tudás aktualizálása. Frontális felmérés, szóbeli munka az osztállyal.

És most megismételjük azt a fő elméleti anyagot, amelyre egy új téma tanulmányozásához szükségünk van. Kérjük, válaszoljon a következő kérdésekre:

Mi az egyenlet? ( Egyenlõség változóval vagy változókkal.)
Mi a neve az 1. egyenletnek? ( Lineáris.) Lineáris egyenletek megoldásának módszere. ( Helyezzen mindent az ismeretlennel az egyenlet bal oldalára, az összes számot jobbra. Hozz hasonló kifejezéseket. Keresse meg az ismeretlen szorzót).
Hogy hívják a 3. egyenletet? ( Négyzet.) Másodfokú egyenletek megoldási módszerei. ( A teljes négyzet kiválasztása képletekkel, a Vieta-tétel felhasználásával és következményei.)
Mi az arány? ( Két viszony egyenlősége.) Az arányosság fő tulajdonsága. ( Ha az arány igaz, akkor szélső tagjainak szorzata megegyezik a középső tagok szorzatával.)
Milyen tulajdonságokat használunk az egyenletek megoldására? ( 1. Ha az egyenletben a tagot egyik részből a másikba visszük át, megváltoztatva az előjelét, akkor az adott egyenletet kapunk. 2. Ha az egyenlet mindkét részét ugyanazzal a nem nulla számmal szorozzuk vagy osztjuk, akkor egy egyenletet kapunk, amely ekvivalens az adott.)
Mikor egyenlő egy tört nullával? ( Egy tört akkor nulla, ha a számláló nulla, a nevező pedig nem nulla.)

3. Új anyag magyarázata.

Oldja meg a 2. egyenletet füzetekben és táblán!

Válasz: 10.

Milyen tört racionális egyenletet próbálhat meg megoldani az arányosság alaptulajdonságával? (5. sz.).

(x-2) (x-4) = (x+2) (x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Oldja meg a 4. egyenletet füzetekben és táblán!

Válasz: 1,5.

Milyen tört racionális egyenletet próbálhat meg megoldani úgy, hogy az egyenlet mindkét oldalát megszorozza a nevezővel? (6. sz.).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x1=3, x2=4.

Válasz: 3;4.

Most próbálja meg megoldani a 7. egyenletet valamelyik módon.


(x2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5) (x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 = 5 D \u003d 49
x 3 = 5 x 4 \u003d -2			x 3 = 5 x 4 \u003d -2
Válasz: 0;5;-2.			Válasz: 5;-2.

Magyarázd el, miért történt ez? Miért van az egyik esetben három gyökér, a másikban kettő? Mely számok gyökei ennek a tört racionális egyenletnek?

Miben különbözik a 2. és 4. számú egyenlet az 5, 6, 7 egyenlettől? ( A 2. és 4. számú egyenletben a szám nevezőjében, az 5-7. számú egyenletekben - változós kifejezések.)
Mi az egyenlet gyöke? ( Annak a változónak az értéke, amelynél az egyenlet valódi egyenlőséggé válik.)
Hogyan lehet megtudni, hogy egy szám az egyenlet gyökere? ( Ellenőrizd.)

A teszt elvégzésekor néhány diák észreveszi, hogy nullával kell osztania. Arra a következtetésre jutottak, hogy a 0 és az 5 nem ennek az egyenletnek a gyökerei. Felmerül a kérdés: van-e olyan módszer a tört racionális egyenletek megoldására, amely kiküszöböli ezt a hibát? Igen, ez a módszer azon a feltételen alapul, hogy a tört nullával egyenlő.

x 2 -3x-10 = 0, D = 49, x 1 = 5, x 2 = -2.

Ha x=5, akkor x(x-5)=0, tehát az 5 egy idegen gyök.

Ha x=-2, akkor x(x-5)≠0.

Válasz: -2.

Próbáljunk meg egy algoritmust megfogalmazni tört racionális egyenletek ilyen módon történő megoldására. A gyerekek maguk fogalmazzák meg az algoritmust.

Algoritmus tört racionális egyenletek megoldására:

Vigyen mindent balra.
Hozd a törteket közös nevezőre.
Alkossunk rendszert: egy tört nulla, ha a számláló nulla, a nevező pedig nem nulla.
Oldja meg az egyenletet.
Ellenőrizze az egyenlőtlenséget, hogy kizárja az idegen gyökereket.
Írd le a választ.

4. Az új anyag elsődleges megértése.

Párokban dolgozni. A tanulók az egyenlet típusától függően maguk döntik el, hogyan oldják meg az egyenletet. Feladatok az "Algebra 8" tankönyvből, Yu.N. Makarychev, 2007: 600. sz. (b, c, i); No. 601(a, e, g). A tanár ellenőrzi a feladat végrehajtását, válaszol a felmerült kérdésekre, segítséget nyújt a rosszul teljesítő tanulóknak. Önellenőrzés: A válaszok fel vannak írva a táblára.

b) 2 egy idegen gyök. Válasz: 3.

c) 2 egy idegen gyök. Válasz: 1.5.

a) Válasz: -12.5.

g) Válasz: 1; 1.5.

5. Nyilatkozat a házi feladatról.

Olvassa el a 25. tételt a tankönyvből, elemezze az 1-3.
Ismerje meg a tört racionális egyenletek megoldásának algoritmusát.
600. számú füzetekben megoldani (a, d, e); No. 601 (g, h).
Próbálja meg megoldani a #696(a) (nem kötelező).

6. Ellenőrző feladat teljesítése a tanult témában.

A munka lapokon történik.

Munka példa:

A) Az egyenletek közül melyik tört racionális?

B) Egy tört nulla, ha a számláló __________________________, a nevező pedig ___________________________.

K) A -3 szám a 6. egyenlet gyökere?

D) Oldja meg a 7. egyenletet!

Feladat értékelési szempontok:

Az „5” akkor jár, ha a tanuló a feladat több mint 90%-át helyesen teljesítette.
"4" - 75% -89%
"3" - 50% -74%
A „2”-t az a tanuló kapja, aki a feladat 50%-ánál kevesebbet teljesített.
A 2. évfolyam nem kerül be a naplóba, a 3. nem kötelező.

7. Reflexió.

Az önálló munkát tartalmazó szórólapokra tegye fel:

1 - ha a lecke érdekes és érthető volt az Ön számára;
2 - érdekes, de nem egyértelmű;
3 - nem érdekes, de érthető;
4 - nem érdekes, nem egyértelmű.

8. A lecke összegzése.

Így a mai órán a tört racionális egyenletekkel ismerkedtünk meg, megtanultuk, hogyan lehet ezeket az egyenleteket többféleképpen megoldani, oktató önálló munka segítségével teszteltük tudásunkat. Az önálló munka eredményeit a következő órán sajátítod el, otthon lesz lehetőséged a megszerzett tudás megszilárdítására.

Köszönöm mindenkinek, a lecke véget ért.

1. § Egész és tört racionális egyenletek

Ebben a leckében olyan fogalmakat fogunk elemezni, mint a racionális egyenlet, a racionális kifejezés, az egész kifejezés, a tört kifejezés. Tekintsük a racionális egyenletek megoldását.

A racionális egyenlet olyan egyenlet, amelyben a bal és a jobb oldal racionális kifejezés.

A racionális kifejezések a következők:

Tört.

Az egész kifejezés számokból, változókból és egész hatványokból áll összeadás, kivonás, szorzás és nullától eltérő számmal való osztás műveleteit használva.

Például:

A törtkifejezésekben van egy változóval való osztás vagy egy változóval való kifejezés. Például:

A törtkifejezésnek nincs értelme a benne szereplő változók összes értékéhez. Például a kifejezés

x = -9-nél nincs értelme, mert x = -9-nél a nevező nullára megy.

Ez azt jelenti, hogy egy racionális egyenlet lehet egész és tört.

Az egész számú racionális egyenlet olyan racionális egyenlet, amelyben a bal és a jobb oldal egész számok kifejezései.

Például:

A tört racionális egyenlet olyan racionális egyenlet, amelyben a bal vagy a jobb oldal törtkifejezések.

Például:

2. § Egy teljes racionális egyenlet megoldása

Tekintsük egy teljes racionális egyenlet megoldását.

Például:

Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a benne szereplő törtek nevezőinek legkisebb közös nevezőjével!

Ezért:

1. keressünk közös nevezőt a 2, 3, 6 nevezők számára. Ez egyenlő 6-tal;

2. keress minden törthez egy további tényezőt. Ehhez osszuk el a 6-os közös nevezőt minden nevezővel

további szorzót a törtre

3. szorozd meg a törtek számlálóit a hozzájuk tartozó további tényezőkkel! Így megkapjuk az egyenletet

ami ekvivalens ezzel az egyenlettel

Nyissuk ki a bal oldali zárójeleket, mozgassuk a jobb oldali részt balra, az átvitel során a kifejezés előjelét fordítsuk az ellenkezőjére.

Megadjuk a polinom hasonló tagjait, és megkapjuk

Látjuk, hogy az egyenlet lineáris.

Megoldva azt kapjuk, hogy x = 0,5.

3. § Tört racionális egyenlet megoldása

Tekintsük egy tört racionális egyenlet megoldását.

Például:

1. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a benne szereplő racionális törtek nevezőinek legkisebb közös nevezőjével!

Keresse meg az x + 7 és az x - 1 nevezők közös nevezőjét!

Ez egyenlő a szorzatukkal (x + 7) (x - 1).

2. Keressünk minden racionális törthez egy további tényezőt.

Ehhez a közös nevezőt (x + 7) (x - 1) elosztjuk minden nevezővel. További szorzó a törtekhez

egyenlő x - 1,

további szorzót a törtre

egyenlő x+7.

3. Szorozzuk meg a törtek számlálóit a hozzájuk tartozó további tényezőkkel!

A (2x - 1) (x - 1) \u003d (3x + 4) (x + 7) egyenletet kapjuk, amely ekvivalens ezzel az egyenlettel

4. Bal és jobb oldal szorozza meg a binomiálist a binomimmal, és kapja meg a következő egyenletet

5. A jobb oldali részt balra helyezzük át, az ellenkezőre való átvitelkor minden tag előjelét megváltoztatjuk:

6. Bemutatjuk a polinom hasonló tagjait:

7. Mindkét részt eloszthatja -1-gyel. Kap másodfokú egyenlet:

8. Miután megoldottuk, meg fogjuk találni a gyökereket

Mivel az egyenletben

a bal és a jobb rész törtkifejezés, a törtkifejezésekben pedig a változók egyes értékeinél a nevező eltűnhet, akkor ellenőrizni kell, hogy nem tűnik-e el a közös nevező, ha x1 és x2 található.

x = -27-nél az (x + 7)(x - 1) közös nevező nem tűnik el, x = -1-nél a közös nevező szintén nem nulla.

Ezért mind a -27, mind a -1 gyöke az egyenlet gyöke.

A tört racionális egyenlet megoldása során jobb, ha azonnal jelzi a megengedett értékek területét. Távolítsa el azokat az értékeket, amelyeknél a közös nevező nullára megy.

Vegyünk egy másik példát egy tört racionális egyenlet megoldására.

Például oldjuk meg az egyenletet

Az egyenlet jobb oldalán lévő tört nevezőjét faktorokra bontjuk

Megkapjuk az egyenletet

Keress közös nevezőt az (x - 5), x, x (x - 5) nevezőkhöz!

Ez az x (x - 5) kifejezés lesz.

most keressük meg az egyenlet megengedett értékeinek tartományát

Ehhez a közös nevezőt nulla x (x - 5) \u003d 0 értékkel egyenlővé tesszük.

Kapunk egy egyenletet, amelyet megoldva azt találjuk, hogy x \u003d 0 vagy x \u003d 5 esetén a közös nevező eltűnik.

Tehát x = 0 vagy x = 5 nem lehet az egyenletünk gyöke.

Most további szorzókat találhat.

További szorzó a racionális törtekhez

további szorzó a törtekhez

lesz (x - 5),

és a tört járulékos tényezője

A számlálókat megszorozzuk a megfelelő további tényezőkkel.

Az x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5) egyenletet kapjuk.

Nyissuk ki a bal és jobb oldali zárójeleket, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

Mozgassuk a kifejezéseket jobbról balra az áthelyezendő kifejezések előjelének megváltoztatásával:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

És miután hasonló feltételeket hoztunk, megkapjuk az x2 - 3x - 10 \u003d 0 másodfokú egyenletet. A megoldás után megtaláljuk az x1 \u003d -2 gyököket; x2 = 5.

De már rájöttünk, hogy x = 5-nél az x(x - 5) közös nevező eltűnik. Ezért az egyenletünk gyökere

x = -2 lesz.

§ negyedik Rövid összefoglaló lecke

Fontos megjegyezni:

A tört racionális egyenletek megoldása során a következőket kell tennie:

1. Keresse meg az egyenletben szereplő törtek közös nevezőjét! Sőt, ha a törtek nevezői faktorokra bonthatók, akkor bontsuk faktorokra, majd keressük meg a közös nevezőt.

2. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát egy közös nevezővel: keressünk további tényezőket, szorozzuk meg a számlálókat további tényezőkkel.

3. Oldja meg a kapott teljes egyenletet!

4. Zárja ki a gyökerei közül azokat, amelyek a közös nevezőt nullára fordítják.

A felhasznált irodalom listája:

Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Telyakovsky S.A. szerkesztésében. Algebra: tankönyv. 8 cellához. Általános oktatás intézmények. - M.: Oktatás, 2013.
Mordkovich A.G. Algebra. 8. évfolyam: Két részben. 1. rész: Proc. általános műveltségre intézmények. - M.: Mnemosyne.
Rurukin A.N. Órafejlesztések algebrából: 8. évfolyam - M .: VAKO, 2010.
Algebra 8. osztály: óravázlatok Yu.N. tankönyve szerint. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neskova, S.B. Suvorova / Auth.-comp. T.L. Afanasiev, L.A. Tapilina. - Volgograd: Tanár, 2005.

A "Racionális egyenletek polinomokkal" az egyik leggyakoribb téma a tesztben USE hozzárendeléseket matematika. Emiatt az ismétlésükre különös figyelmet kell fordítani. Sok diák szembesül azzal a problémával, hogy megtalálja a diszkriminánst, a mutatókat a jobb oldalról a bal oldalra viszi át, és az egyenletet közös nevezőre hozza, ami megnehezíti az ilyen feladatok elvégzését. Racionális egyenletek megoldása a vizsgára való felkészülés során webhelyünkön segít gyorsan megbirkózni bármilyen bonyolultságú feladattal, és tökéletesen átadja a tesztet.

Válassza a "Shkolkovo" oktatási portált az egységes matematika vizsgára való sikeres felkészüléshez!

Az ismeretlenek kiszámításának szabályainak megismeréséhez és a helyes eredmények egyszerű eléréséhez használja online szolgáltatásunkat. A "Shkolkovo" portál egy egyedülálló platform, ahol szükséges HASZNÁLJON anyagokat. Tanáraink rendszerezték és érthető formában bemutatták az összes matematikai szabályt. Mindemellett arra hívjuk az iskolásokat, hogy próbálják ki magukat tipikus racionális egyenletek megoldásában, melynek alapja folyamatosan frissül, kiegészítve.

A tesztelésre való hatékonyabb felkészülés érdekében javasoljuk, hogy kövesse speciális módszerünket, és kezdje a szabályok megismétlésével és a megoldással egyszerű feladatokat, fokozatosan áttérve az összetettebbekre. Így a végzős képes lesz kiemelni magának a legnehezebb témákat, és a tanulmányukra összpontosítani.

Kezdje el a felkészülést a végső tesztelésre Shkolkovo-val még ma, és az eredmény nem fogja várakozni! Válassza ki a legegyszerűbb példát a megadottak közül! Ha gyorsan elsajátította a kifejezést, lépjen tovább kihívást jelentő feladat. Így fejlesztheti tudását a matematikai USE feladatok profilszintű megoldásáig.

Az oktatás nemcsak a moszkvai diplomások, hanem más városokból származó iskolások számára is elérhető. Töltsön el naponta néhány órát a tanulással például portálunkon, és hamarosan bármilyen bonyolultságú egyenletekkel megbirkózik!