Mit jelent egy függvény vizsgálata paritásra? Funkciótanulmány

Egy y változó függőségét egy x változótól, amelyben x minden egyes értéke y egyetlen értékének felel meg, függvénynek nevezzük. A jelöléshez használja az y=f(x) jelölést. Mindegyik függvénynek számos alapvető tulajdonsága van, például monotonitás, paritás, periodicitás és mások.

Nézze meg közelebbről a paritási tulajdonságot.

Az y=f(x) függvényt akkor is meghívjuk, ha teljesíti a következő két feltételt:

2. A függvény definíciós tartományába tartozó x pontban lévő függvény értékének meg kell egyeznie a függvény -x pontbeli értékével. Vagyis bármely x pontra a következő egyenlőségnek kell teljesülnie a függvény definíciós tartományából: f(x) = f(-x).

Páros függvény grafikonja

Ha egy páros függvény grafikonját ábrázolja, az szimmetrikus lesz az Oy tengelyre.

Például az y=x^2 függvény páros. Nézzük meg. A definíciós tartomány a teljes numerikus tengely, ami azt jelenti, hogy szimmetrikus az O pontra.

Vegyünk egy tetszőleges x=3-at. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Ezért f(x) = f(-x). Így mindkét feltétel teljesül, ami azt jelenti, hogy a függvény páros. Az alábbiakban az y=x^2 függvény grafikonja látható.

Az ábrán látható, hogy a grafikon szimmetrikus az Oy tengelyre.

Egy páratlan függvény grafikonja

Az y=f(x) függvényt páratlannak nevezzük, ha teljesíti a következő két feltételt:

1. Egy adott függvény definíciós tartományának szimmetrikusnak kell lennie az O ponthoz képest. Vagyis ha valamelyik a pont a függvény definíciós tartományába tartozik, akkor a megfelelő -a pontnak is a definíció tartományába kell tartoznia. az adott függvénytől.

2. Bármely x pontra a következő egyenlőségnek kell teljesülnie a függvény definíciós tartományából: f(x) = -f(x).

A páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az O ponthoz - a koordináták origójához. Például az y=x^3 függvény páratlan. Nézzük meg. A definíciós tartomány a teljes numerikus tengely, ami azt jelenti, hogy szimmetrikus az O pontra.

Vegyünk egy tetszőleges x=2-t. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Ezért f(x) = -f(x). Így mindkét feltétel teljesül, ami azt jelenti, hogy a függvény páratlan. Az alábbiakban az y=x^3 függvény grafikonja látható.

Az ábrán jól látható, hogy az y=x^3 páratlan függvény szimmetrikus az origóra.

Egy függvényt párosnak (páratlannak) nevezünk, ha bármely és az egyenlőség esetén

.

A páros függvény grafikonja szimmetrikus a tengelyre
.

Egy páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az origóra.

6.2. példa. Vizsgálja meg, hogy egy függvény páros vagy páratlan

1)
; 2)
; 3)
.

Megoldás.

1) A függvény akkor van meghatározva, amikor
. meg fogjuk találni
.

Azok.
. Ez azt jelenti, hogy ez a függvény páros.

2) A függvény akkor kerül meghatározásra, amikor

Azok.
. Így ez a függvény páratlan.

3) a függvény definiálva van, azaz. Mert

,
. Ezért a függvény nem páros és nem páratlan. Nevezzük az általános forma függvényének.

3. A monotonitás függvényének vizsgálata.

Funkció
Egy bizonyos intervallumon növekvőnek (csökkenőnek) nevezzük, ha ebben az intervallumban az argumentum minden nagyobb értéke a függvény nagyobb (kisebb) értékének felel meg.

Egy bizonyos intervallumon belül növekvő (csökkenő) függvényeket monotonnak nevezzük.

Ha a funkció
intervallumon differenciálható
és pozitív (negatív) származéka van
, majd a függvény
növekszik (csökken) ezen az intervallumon keresztül.

6.3. példa. Keresse meg a függvények monotonitási intervallumait

1)
; 3)
.

Megoldás.

1) Ez a függvény a teljes számegyenesen van definiálva. Keressük a származékot.

A derivált egyenlő nullával, ha
És
. A definíció tartománya a számtengely, pontokkal osztva
,
Időközönként. Határozzuk meg az egyes intervallumokban a derivált előjelét.

Az intervallumban
a derivált negatív, a függvény ezen az intervallumon csökken.

Az intervallumban
a derivált pozitív, ezért a függvény ezen az intervallumon keresztül növekszik.

2) Ezt a függvényt akkor határozzuk meg, ha
vagy

.

Minden intervallumban meghatározzuk a másodfokú trinom előjelét.

Így a függvény definíciós tartománya

Keressük a származékot
,
, Ha
, azaz
, De
. Határozzuk meg a derivált előjelét az intervallumokban
.

Az intervallumban
a derivált negatív, ezért a függvény az intervallumon csökken
. Az intervallumban
a derivált pozitív, a függvény növekszik az intervallumon keresztül
.

4. Az extrémum funkciójának tanulmányozása.

Pont
a függvény maximális (minimális) pontjának nevezzük
, ha van a pontnak ilyen környéke ez mindenkinek szól
ebből a szomszédból az egyenlőtlenség érvényesül

.

Egy függvény maximum és minimum pontját szélsőpontoknak nevezzük.

Ha a funkció
azon a ponton szélsősége van, akkor a függvény deriváltja ezen a ponton egyenlő nullával vagy nem létezik (a szélsőség létezésének szükséges feltétele).

Azokat a pontokat, ahol a derivált nulla vagy nem létezik, kritikusnak nevezzük.

5. Elegendő feltétel az extrémum létezéséhez.

1. szabály. Ha az átmenet során (balról jobbra) a kritikus ponton keresztül derivált
megváltoztatja a jelet „+”-ról „–”-ra, majd a pontra funkció
maximummal rendelkezik; ha „–”-tól „+”-ig, akkor a minimum; Ha
nem vált előjelet, akkor nincs véglet.

2. szabály. Hadd a ponton
függvény első deriváltja
egyenlő nullával
, és a második derivált létezik, és különbözik a nullától. Ha
, Azt – maximum pont, ha
, Azt – a függvény minimális pontja.

Példa 6.4 . Fedezze fel a maximális és minimális funkciókat:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Megoldás.

1) A függvény meghatározott és folyamatos az intervallumon
.

Keressük a származékot
és oldja meg az egyenletet
, azaz
.Innen
– kritikus pontok.

Határozzuk meg a derivált előjelét az intervallumokban,
.

Pontokon való áthaladáskor
És
a derivált „–”-ról „+”-ra változtatja az előjelet, ezért az 1. szabály szerint
– minimum pontok.

Amikor áthalad egy ponton
a derivált „+”-ról „–”-ra változtatja az előjelet, tehát
– maximum pont.

,
.

2) A függvény meghatározott és folytonos az intervallumban
. Keressük a származékot
.

Az egyenlet megoldása után
, megtaláljuk
És
– kritikus pontok. Ha a nevező
, azaz
, akkor a származék nem létezik. Így,
– harmadik kritikus pont. Határozzuk meg a derivált előjelét intervallumokban.

Ezért a függvénynek minimuma van a ponton
, maximum pontban
És
.

3) Egy függvény definiált és folytonos, ha
, azaz nál nél
.

Keressük a származékot

.

Keressük a kritikus pontokat:

Pontok környékei
nem tartoznak a definíció tartományába, ezért nem szélsőségesek. Vizsgáljuk meg tehát a kritikus pontokat
És
.

4) A függvény meghatározott és folyamatos az intervallumon
. Használjuk a 2. szabályt. Keressük meg a deriváltot
.

Keressük a kritikus pontokat:

Keressük a második deriváltot
és határozzuk meg annak előjelét a pontokban

A pontokon
funkciónak van minimuma.

A pontokon
a függvénynek van maximuma.

Vissza előre

Figyelem! A dia-előnézetek csak tájékoztató jellegűek, és nem feltétlenül képviselik a prezentáció összes jellemzőjét. Ha érdekli ez a munka, töltse le a teljes verziót.

Célok:

• alakítsa ki egy függvény paritásának és páratlanságának fogalmát, tanítsa meg ezen tulajdonságok meghatározásának és használatának képességét, amikor funkciókutatás, ábrázolás;
• fejleszti a tanulók kreatív tevékenységét, logikus gondolkodás, összehasonlítási, általánosítási képesség;
• ápolják a kemény munkát és a matematikai kultúrát; kommunikációs készségek fejlesztése .

Felszerelés: multimédiás telepítés, interaktív tábla, tájékoztató anyagok.

Munkaformák: frontális és csoportos keresési és kutatási tevékenység elemeivel.

Információforrások:

1. Algebra 9. osztály A.G. Mordkovich. Tankönyv.
2. Algebra 9. évfolyam A.G. Mordkovich. Probléma könyv.
3. Algebra 9. évfolyam. A tanulók tanulását, fejlődését szolgáló feladatok. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

AZ ÓRÁK ALATT

1. Szervezési mozzanat

Célok és célkitűzések kitűzése az órán.

2. Házi feladat ellenőrzése

10.17. szám (9. osztályos feladatfüzet. A.G. Mordkovich).

A) nál nél = f(x), f(x) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(x) = 0 at x ~ 0,4
4. f(x) >0 at x > 0,4 ; f(x) < 0 при – 2 < x < 0,4.
5. A funkció a gombbal növekszik x € [– 2; + ∞)
6. A funkció alulról korlátozott.
7. nál nél naim = – 3, nál nél naib nem létezik
8. A függvény folyamatos.

(Használtál függvényfeltáró algoritmust?) Csúszik.

2. Ellenőrizzük a táblázatot, amelyet megkérdeztek a diáról.

Töltse ki a táblázatot
	Tartomány	Funkció nullák	Az előjelállandóság intervallumai		A gráf Oy-vel való metszéspontjainak koordinátái
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Az ismeretek frissítése

– A funkciók adottak.
– Adja meg az egyes funkciók definíciójának hatókörét.
– Hasonlítsa össze az egyes függvények értékét az egyes argumentumértékpárokhoz: 1 és – 1; 2 és – 2.
– A definíciós tartományban ezek közül melyik függvényre érvényesek az egyenlőségek f(– x) = f(x), f(– x) = – f(x)? (írja be a kapott adatokat a táblázatba) Csúszik

		f(1) és f(– 1)	f(2) és f(– 2)	grafika	f(– x) = –f(x)	f(– x) = f(x)
1. f(x) =
2. f(x) = x 3
3. f(x) = | x |
4.f(x) = 2x – 3
5. f(x) =	x ≠ 0
6. f(x)=	x > –1		és nincs meghatározva

4. Új anyag

- Véghezvitel ez a munka, srácok, azonosítottuk a függvény még egy tulajdonságát, amely ismeretlen számodra, de nem kevésbé fontos, mint a többi - ez a függvény egyenletessége és páratlansága. Írja le az óra témáját: „Páros és páratlan függvények”, feladatunk, hogy megtanuljuk meghatározni egy függvény párosságát és páratlanságát, megismerjük ennek a tulajdonságnak a jelentőségét a függvények tanulmányozásában és a grafikonok ábrázolásában.
Tehát keressük meg a definíciókat a tankönyvben, és olvassuk el (110. o.) . Csúszik

Def. 1 Funkció nál nél = f (x), az X halmazon definiált hívjuk még, ha bármilyen értékre xЄ X végrehajtásra kerül egyenlőség f(–x)= f(x). Adj rá példákat.

Def. 2 Funkció y = f(x), az X halmazon definiált hívjuk páratlan, ha bármilyen értékre xЄ X az f(–х)= –f(х) egyenlőség teljesül. Adj rá példákat.

Hol találkoztunk a „páros” és a „páratlan” kifejezésekkel?
Szerinted ezek közül melyik függvény lesz páros? Miért? Melyik a furcsa? Miért?
Az űrlap bármely funkciójához nál nél= x n, Ahol n– egész szám, akkor vitatható, hogy a függvény páratlan mikor n– páratlan és a függvény páros mikor n- még.
– Funkciók megtekintése nál nél= és nál nél = 2x– 3 se nem páros, se nem páratlan, mert az egyenlőség nem teljesül f(– x) = – f(x), f(– x) = f(x)

Annak vizsgálatát, hogy egy függvény páros vagy páratlan, a függvény paritásának vizsgálata. Csúszik

Az 1-es és 2-es definíciókban a függvény x és –x értékeiről beszéltünk, így feltételezzük, hogy a függvény az értéken is definiálva van. x, és a – x.

Def 3. Ha egy numerikus halmaz minden x elemével együtt az ellentétes –x elemet is tartalmazza, akkor a halmaz x szimmetrikus halmaznak nevezzük.

Példák:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) szimmetrikus halmazok, és , [–5;4] aszimmetrikusak.

– Még a függvényeknek is van olyan definíciós tartománya, amely szimmetrikus halmaz? A különösek?
– Ha D( f) aszimmetrikus halmaz, akkor mi a függvény?
– Így, ha a függvény nál nél = f(x) – páros vagy páratlan, akkor a definíciós tartománya D( f) szimmetrikus halmaz. Igaz-e a fordított állítás: ha egy függvény definíciós tartománya szimmetrikus halmaz, akkor páros vagy páratlan?
– Ez azt jelenti, hogy a definíciós tartomány szimmetrikus halmazának jelenléte szükséges feltétel, de nem elégséges.
– Tehát hogyan lehet paritásfüggvényt tanulmányozni? Próbáljunk meg létrehozni egy algoritmust.

Csúszik

Algoritmus egy függvény vizsgálatára paritásra

1. Határozza meg, hogy a függvény definíciós tartománya szimmetrikus-e! Ha nem, akkor a függvény se nem páros, se nem páratlan. Ha igen, akkor folytassa az algoritmus 2. lépésével.

2. Írjon kifejezést a következőre f(–x).

3. Hasonlítsa össze f(–x).És f(x):

• Ha f(–x).= f(x), akkor a függvény páros;
• Ha f(–x).= – f(x), akkor a függvény páratlan;
• Ha f(–x) ≠ f(x) És f(–x) ≠ –f(x), akkor a függvény se nem páros, se nem páratlan.

Példák:

Vizsgáljuk meg az a) függvényt paritásra nál nél= x 5 +; b) nál nél= ; V) nál nél= .

Megoldás.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), szimmetrikus halmaz.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => függvény h(x)= x 5 + páratlan.

b) y =,

nál nél = f(x), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), egy aszimmetrikus halmaz, ami azt jelenti, hogy a függvény se nem páros, se nem páratlan.

V) f(x) = , y = f (x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

2. lehetőség

1. Szimmetrikus-e az adott halmaz: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

A); b) y = x (5 – x 2). 2. Vizsgálja meg a paritás függvényét:

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

3. ábrán. grafikont építettek fel nál nél = f(x), mindenkinek x, megfelel a feltételnek x? 0.
Ábrázolja a függvényt nál nél = f(x), Ha nál nél = f(x) páros függvény.

3. ábrán. grafikont építettek fel nál nél = f(x), minden x esetében, amely megfelel az x feltételnek? 0.
Ábrázolja a függvényt nál nél = f(x), Ha nál nél = f(x) egy páratlan függvény.

Kölcsönös ellenőrzés csúszik.

6. Házi feladat: №11.11, 11.21,11.22;

A paritás tulajdonság geometriai jelentésének bizonyítása.

***(Egységes államvizsga opció hozzárendelése).

1. Az y = f(x) páratlan függvény a teljes számegyenesen van definiálva. Az x változó bármely nem negatív értéke esetén ennek a függvénynek az értéke egybeesik a g( x) = x(x + 1)(x + 3)(x– 7). Keresse meg a h() függvény értékét x) = at x = 3.

7. Összegzés

Funkció az egyik legfontosabb matematikai fogalom. Funkció - változó függőség nál nél változóból x, ha minden érték x egyetlen értéknek felel meg nál nél. Változó x független változónak vagy argumentumnak nevezzük. Változó nál nél függő változónak nevezzük. A független változó összes értéke (változó x) alkotják a függvény definíciós tartományát. Minden érték, amelyet a függő változó vesz fel (változó y), alkotják a függvény értéktartományát.

Függvénygrafikon hívja meg a koordinátasík összes pontjának halmazát, amelynek abszcisszái egyenlőek az argumentum értékeivel, és az ordináták egyenlőek a függvény megfelelő értékeivel, azaz a változók az abszcissza tengely mentén vannak ábrázolva x, és a változó értékei az ordináta tengely mentén vannak ábrázolva y. Egy függvény ábrázolásához ismerni kell a függvény tulajdonságait. A függvény főbb tulajdonságait az alábbiakban tárgyaljuk!

Egy függvény grafikonjának elkészítéséhez javasoljuk a programunk használatát - Grafikus függvények online. Ha bármilyen kérdése van az oldalon található anyag tanulmányozása során, bármikor felteheti azokat fórumunkon. A fórumon is segítenek megoldani matematika, kémia, geometria, valószínűségszámítás és sok más tantárgy feladatát!

A függvények alapvető tulajdonságai.

1) Funkciótartomány és funkciótartomány.

Egy függvény tartománya az összes érvényes érvényes argumentumérték halmaza x(változó x), amelyhez a függvény y = f(x) eltökélt.
Egy függvény tartománya az összes valós érték halmaza y, amelyet a függvény elfogad.

Az elemi matematikában a függvényeket csak valós számok halmazán tanulmányozzák.

2) Funkció nullák.

Értékek x, ahol y=0, hívott függvény nullák. Ezek a függvénygráf és az Ox tengellyel való metszéspontjainak abszcisszán.

3) Egy függvény állandó előjelének intervallumai.

Egy függvény konstans előjelének intervallumai ilyen értékintervallumok x, amelyen a függvény értékeit y vagy csak pozitív vagy csak negatív hívják a függvény állandó előjelének intervallumai.

4) A függvény monotonitása.

Növekvő függvény (egy bizonyos intervallumban) olyan függvény, amelyben ebből az intervallumból származó argumentum nagyobb értéke a függvény nagyobb értékének felel meg.

Csökkenő függvény (egy bizonyos intervallumban) olyan függvény, amelyben ebből az intervallumból származó argumentum nagyobb értéke a függvény kisebb értékének felel meg.

5) Páros (páratlan) függvény.

A páros függvény olyan függvény, amelynek definíciós tartománya szimmetrikus az origóhoz és bármely függvényhez x f(-x) = f(x). A páros függvény grafikonja szimmetrikus az ordinátára.

A páratlan függvény olyan függvény, amelynek definíciós tartománya szimmetrikus az origóhoz és bármely függvényhez x a definíció tartományából az egyenlőség igaz f(-x) = - f(x). Egy páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az origóra.

Egyenletes funkció
1) A definíciós tartomány szimmetrikus a (0; 0) ponthoz képest, vagyis ha a pont a a definíció tartományába tartozik, akkor a pont -a szintén a definíció tartományába tartozik.
2) Bármilyen értékre x f(-x)=f(x)
3) Egy páros függvény grafikonja szimmetrikus az Oy tengelyre.

Páratlan funkció a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
1) A definíciós tartomány szimmetrikus a (0; 0) pontra.
2) bármilyen értékre x, amely a definíció, az egyenlőség tartományába tartozik f(-x)=-f(x)
3) Egy páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az origóhoz (0; 0).

Nem minden függvény páros vagy páratlan. Funkciók Általános nézet sem nem párosak, sem nem páratlanok.

6) Korlátozott és korlátlan funkciók.

Egy függvényt korlátosnak nevezünk, ha van olyan pozitív M szám, amelyre |f(x)| ≤ M x összes értékére. Ha ilyen szám nem létezik, akkor a függvény korlátlan.

7) A függvény periodicitása.

Egy f(x) függvény periodikus, ha van egy nullától eltérő T szám, amelyre a függvény definíciós tartományából származó bármely x-re teljesül a következő: f(x+T) = f(x). Ezt a legkisebb számot a függvény periódusának nevezzük. Minden trigonometrikus függvény periodikus. (Trigonometrikus képletek).

Funkció f Periodikusnak nevezzük, ha van olyan szám, hogy bármely x a definíció tartományából az egyenlőség f(x)=f(x-T)=f(x+T). T a függvény periódusa.

Minden periodikus függvénynek végtelen számú periódusa van. A gyakorlatban általában a legkisebb pozitív időszakot veszik figyelembe.

A periodikus függvény értékei a periódussal megegyező intervallum után ismétlődnek. Ezt grafikonok készítésekor használják.

Grafikonok konvertálása.

A funkció szóbeli leírása.

Grafikus módszer.

A függvény megadásának grafikus módszere a legvizuálisabb, és gyakran használják a technológiában. A matematikai elemzésben illusztrációként a függvények megadásának grafikus módszerét használják.

Függvénygrafikon f a koordinátasík összes pontjának (x;y) halmaza, ahol y=f(x), és x „átfut” a függvény teljes definíciós tartományán.

A koordinátasík egy részhalmaza egy függvény grafikonja, ha nem rendelkezik egynél több közös ponttal az Oy tengellyel párhuzamos bármely egyenessel.

Példa. Az alábbi ábrák függvénygrafikonok?

A grafikai feladat előnye az áttekinthetőség. Azonnal láthatja, hogyan viselkedik a függvény, hol növekszik és hol csökken. A grafikonról azonnal megtudhatja a függvény néhány fontos jellemzőjét.

Általánosságban elmondható, hogy a függvények meghatározásának analitikai és grafikus módszerei kéz a kézben járnak. A képlettel való munka segít a grafikon felépítésében. A grafikon pedig gyakran olyan megoldásokat javasol, amelyeket a képletben észre sem venne.

Szinte minden tanuló ismeri a függvény definiálásának három módját, amelyet most megnéztünk.

Próbáljunk meg válaszolni a kérdésre: "Vannak más módok egy függvény meghatározására?"

Van ilyen mód.

A függvény szavakban elég egyértelműen megadható.

Például az y=2x függvényt a következő szóbeli leírással adhatjuk meg: az x argumentum minden valós értéke a kettős értékéhez van társítva. A szabály létrejött, a funkció megadva.

Ezenkívül szóban is megadhat olyan függvényt, amelyet rendkívül nehéz, ha nem lehetetlen definiálni egy képlet segítségével.

Például: az x természetes argumentum minden értéke az x értékét alkotó számjegyek összegéhez van társítva. Például, ha x=3, akkor y=3. Ha x=257, akkor y=2+5+7=14. Stb. Problémás ezt egy képletbe leírni. De a jelet könnyű elkészíteni.

A verbális leírás módszere meglehetősen ritkán alkalmazott módszer. De néha igen.

Ha létezik x és y közötti egy-egy megfelelés törvénye, akkor van függvény. Hogy milyen törvény, milyen formában van kifejezve - képlet, tábla, grafikon, szavak -, az nem változtat a dolog lényegén.

Tekintsünk olyan függvényeket, amelyek definíciós tartományai szimmetrikusak az origóhoz képest, azaz. bárkinek x a definíciós szám tartományából (- x) is a definíció tartományába tartozik. Ezen funkciók közé tartozik páros és páratlan.

Meghatározás. Az f függvényt hívjuk még, ha van ilyen x definíciós tartományából

Példa. Fontolja meg a funkciót

Egyenletes. Nézzük meg.

Bárkinek x egyenlők teljesülnek

Így mindkét feltétel teljesül, ami azt jelenti, hogy a függvény páros. Az alábbiakban ennek a függvénynek a grafikonja látható.

Meghatározás. Az f függvényt hívjuk páratlan, ha van ilyen x definíciós tartományából

Példa. Fontolja meg a funkciót

Ez furcsa. Nézzük meg.

A definíciós tartomány a teljes numerikus tengely, ami azt jelenti, hogy szimmetrikus a pontra (0;0).

Bárkinek x egyenlők teljesülnek

Így mindkét feltétel teljesül, ami azt jelenti, hogy a függvény páratlan. Az alábbiakban ennek a függvénynek a grafikonja látható.

Az első és a harmadik ábrán látható grafikonok szimmetrikusak az ordináta tengelyére, a második és negyedik ábrán látható grafikonok pedig az origóra.

Melyek azok a függvények, amelyek grafikonjait az ábrákon mutatjuk be, és melyek a páratlanok?