Szimmetria a térben. Előadás geometria órára (11. osztály) a következő témában: Szimmetria a térben

1. § Mi a szimmetria

Ennek a leckének az idézete a híres tudós, a kibernetika alkotója, Norbert Wiener kijelentése lesz, amely nagyon pontosan kifejezi mindazt, amiről ma szó lesz.

"A matematika legfőbb célja, hogy megtalálja a szépséget, a harmóniát és a rendet a minket körülvevő káoszban."

A szimmetria az univerzum harmóniáját biztosító törvények egyike, ma erről fogunk beszélni, és kibővítjük azokat a fogalmakat, amelyeket a planimetria óráin bevezettünk.

A hétköznapi nyelvben a szimmetria szót kétféle értelemben használják. Bizonyos értelemben a szimmetrikus olyasvalamit jelent, aminek van jó ár-érték Az arányok, a kiegyensúlyozottság és a szimmetria ezt a fajta következetességet jelzi különálló részek amely egyetlen egésszé egyesíti őket. A szépség szorosan összefügg a szimmetriával. Erre utal például Poliklet, a szobrász az arányokról szóló könyvében, akinek szobrai harmonikus tökéletességük miatt csodálattal szolgáltak a régiek számára. A mérleg képe egy természetes kapcsolat, amely a szimmetria szó második jelentéséhez vezet, amelyet korunkban használnak: tükör szimmetria- a bal és a jobb oldal szimmetriája, ami annyira észrevehető a magasabbrendű állatok és emberek testének felépítésében.

A tükörszimmetria különleges esetként működik geometriai koncepció olyan műveletekkel kapcsolatos szimmetria, mint a visszaverődés vagy az elforgatás.

A pitagoreusok a legtökéletesebbnek tartották geometriai formák a síkon - egy kör, és a térben - egy gömb a teljes forgásszimmetria miatt.

A szimmetria tág vagy szűk értelemben az a gondolat, amelyen keresztül az ember évszázadok óta próbálja megérteni és megteremteni a rendet, a szépséget és a tökéletességet. Tehát a tér és az idő tulajdonságai a szimmetriához, a természetben a mintákhoz vezetnek, mint harmóniájának megnyilvánulásához.

2. § Szimmetria egy pontról

A planimetriában az ábrákat egy ponthoz és egy egyeneshez képest szimmetrikusnak tekintettük. A sztereometriában egy ponthoz, egy egyeneshez és egy síkhoz viszonyított szimmetriát veszik figyelembe.

Az A és A1 pontot szimmetrikusnak nevezzük az O ponthoz (a szimmetria középpontjához) képest, ha O az AA1 szakasz felezőpontja. Az O pontot önmagára nézve szimmetrikusnak tekintjük. A központi szimmetria példája lehet egy virág vagy minta.

3. § Szimmetria egy vonalhoz képest

Az A és A1 pontot szimmetrikusnak nevezzük az a egyenesre (szimmetriatengelyre), ha az a egyenes áthalad az AA1 szakasz felezőpontján, és merőleges erre a szakaszra. Az a egyenes minden pontját önmagára szimmetrikusnak tekintjük.

Az ilyen szimmetria példája nemcsak a szép pillangókat szolgálhatja, hanem akár egész épületeket is, mint pl

a moszkvai hadtest állami Egyetemőket. Lomonoszov,

Megváltó Krisztus székesegyháza,

mauzóleum-mecset Taj Mahal.

4. § Szimmetria a síkhoz képest

A térgeometriában adjunk hozzá szimmetriát a síkhoz képest.

Az A és A1 pontot szimmetrikusnak nevezzük az α síkra (szimmetriasíkra), ha az α sík átmegy az AA1 szakasz felezőpontján, és merőleges erre a szakaszra. Az α sík minden pontját önmagára szimmetrikusnak tekintjük.

A sztereometriát tanulmányozva beszélhetünk egy alak középpontjáról, tengelyéről és szimmetriasíkjáról is.

Egy pontot (egyeneset, síkot) egy ábra szimmetriaközéppontjának (tengelyének, síkjának) nevezzük, ha az ábra minden pontja szimmetrikus hozzá képest ugyanannak az alakzatnak valamely pontjára. Ha egy alaknak van középpontja (tengelye, szimmetriasíkja), akkor azt mondják, hogy központi (tengelyirányú, tükör) szimmetriája van.

Az ábrákon most egy téglalap alakú paralelepipedon látható, valamint szimmetriaközéppontja, szimmetriatengelye, szimmetriasíkja.

A nem téglalap alakú, hanem derékszögű prizma paralelepipedonnak van síkja (vagy síkjai, ha az alapja rombusz), tengelye és szimmetriaközéppontja.

5. § Aszimmetria

Egy alaknak lehet egy vagy több szimmetriaközéppontja (tengelye, szimmetriasíkja). Például egy kockának csak egy szimmetriaközéppontja és több szimmetriatengelye és -síkja van. Vannak olyan figurák, amelyeknek végtelen sok középpontja, tengelye vagy szimmetriasíkja van. Ezen ábrák közül a legegyszerűbb az egyenes és a sík. Ezzel szemben vannak olyan ábrák, amelyeknek nincs középpontja, tengelye vagy szimmetriasíkja. Ebben az esetben még egy matematikai fogalomról beszélünk, mint aszimmetriáról, ami a szimmetria hiányát jelenti. Ma biológusok és pszichológusok, kémikusok és orvosok együtt próbálják megfejteni a szimmetria rejtvényeit és megfejteni a bal és jobb oldal titkait. Minden nap belenézünk a tükörbe, de ritkán gondolunk arra, hogy mi van a tükörben. jobb kéz balra fordul. Miért hozta létre és duplikálja meg a természet a féltekék, a karok, lábak, szemek egyes funkcióit, és az embernek csak egy szája van? Meglepő módon minden szimmetriánk ellenére aszimmetrikusak vagyunk. A modern számítógépes technológiák lehetővé teszik, hogy csak az arc bal feléről vagy jobbról lássuk, milyen lenne az ember. Az eredmény elkápráztatja azokat, akik látják a kapott portrékat. A jobb és a bal féltekei arcok különböznek egymástól. Nézz körül, talán meglátod a szimmetriát és az aszimmetriát körülötted, és megcsodálod.

1. Geometria. 10 - 11. osztály: általános műveltségi tankönyv. intézmények: alap és profil. szintek / [L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev és mások]. – 22. kiadás - M. : Oktatás, 2013. - 255 p. : ill. - (MSU - az iskolában)
2. Oktatási - Eszközkészlet hogy segítse az iskolai tanárt Összeállította: Yarovenko V.A. Órafejlesztések geometriából az oktatókészlethez L. S. Atanasyan és társai (M .: oktatás) 10. osztály
3. Rabinovich E. M. Feladatok és gyakorlatok kész rajzokon. 10-11 osztály. Geometria. - M. : Ileksa, 2006 . – 80 s.
4. M. Ya Vygodsky Az elemi matematika kézikönyve M.: AST Astrel, 2006. - 509 p.
5. Avanta+. Enciklopédia gyerekeknek. 11. kötet Matematika 2. kiadás, átdolgozott. - M.: Az Avanta+ enciklopédiák világa: Astrel 2007. - 621 p. Szerk. testület: M. Aksjonova, V. Volodin, M. Samsonov

A prezentációk előnézetének használatához hozzon létre fiókot magának ( fiókot) Google-t, és jelentkezzen be: https://accounts.google.com

Diák feliratai:

SZIMMETRIA AZ A A 1 O TÉRBEN Az A és A1 pontot szimmetrikusnak nevezzük az O ponthoz (szimmetriaközéppont) képest, ha O az AA1 szakasz felezőpontja. Az O pontot önmagára nézve szimmetrikusnak tekintjük.

SZIMMETRIA TÉRBEN Az A és A1 pontot szimmetrikusnak nevezzük egy egyeneshez (szimmetriatengelyhez) képest, ha az egyenes áthalad az AA1 szakasz közepén, és merőleges erre a szakaszra. Az a egyenes minden pontját önmagára szimmetrikusnak tekintjük. Egy levél, egy hópehely, egy pillangó a tengelyirányú szimmetria példái. A 1 A a

SZIMMETRIA TÉRBEN Az A és A 1 pontot szimmetrikusnak nevezzük egy síkhoz (szimmetriasíkhoz) képest, ha ez a sík áthalad az AA 1 szakasz közepén, és merőleges erre a szakaszra. A sík minden pontja önmagával szimmetrikusnak tekinthető. A A 1

Egy pontot (egyeneset, síkot) egy ábra szimmetriaközéppontjának (tengelyének, síkjának) nevezzük, ha az ábra minden pontja szimmetrikus hozzá képest ugyanannak az alakzatnak valamely pontjára. Ha egy alaknak van szimmetriaközéppontja (tengelye, síkja), akkor azt mondják, hogy központi (tengelyirányú, tükör) szimmetriája van. A 1 A O A 1 A O

Gyakran találkozunk szimmetriával a természetben, az építészetben, a technikában, a mindennapi életben. Tehát sok épület szimmetrikus a síkra, például a Moszkvai Állami Egyetem főépülete, bizonyos típusú részeknek szimmetriatengelye van. Szinte minden természetben található kristálynak van középpontja, tengelye vagy szimmetriasíkja. A geometriában egy poliéder középpontját, tengelyeit és szimmetriasíkjait az adott poliéder szimmetriaelemeinek nevezzük.

RENDSZERES POLITÓPOK

A témában: módszertani fejlesztések, előadások és jegyzetek

Az óra módszertani alátámasztása. Fizika, csillagászat, MHK, biológia ismeretek felhasználása geometria órán az információk rendszerezésének összefoglalásakor a következő témában: „Szimmetria a térben. Szabályok...

A térbeli szimmetria a tárgyak, organizmusok vagy tárgyak különböző formáinak vagy elemeinek gyönyörű, harmonikus és kiegyensúlyozott arányos aránya. A minket körülvevő térben nagyon sok szimmetrikus alakú élettelen tárgyat lehet megfigyelni. Az élő szervezetek – mind az egyszerű, mind a magasan szervezett – szerkezetükben is vannak szimmetriaelemek.

A kiválóságra való törekvés

A szimmetrikus forma a tökéletességgel és a harmóniával azonosítható. Nem csoda, hogy az olyan szavak, mint a "szimmetria" és a "tökéletesség", sok nép nyelvében szinonimák.

A térbeli szimmetria mindenhol megtalálható. A növények és élő szervezetek formáinak változatossága szembetűnő a forma arányosságában, konzisztenciájában és ergonómiájában. Itt minden a legapróbb részletekig átgondolt: feltűnő szépség, arányok eleganciája és semmi felesleges. Minden adott az élet legjobb működéséhez.

Központi szimmetria

A minket körülvevő világ terében élettelen természet jól látható a kristályok elrendezésében. Ez a fajta szimmetria jól látható a hópelyhek szerkezetében, amelyek jégkristályok. Formáik változatosak. De mindegyik központilag szimmetrikus.

A központi vagy radiális szimmetria példájaként a növényi virágok szolgálhatnak: napraforgó, kamilla, írisz, őszirózsa. Ezt a fajta szimmetriát rotációsnak is nevezik. Ha egy virág szirmait vagy egy hópehely sugarait a közepe körül elforgatjuk, akkor átfedik egymást.

Tükör szimmetria

A tükörszimmetria a minket körülvevő természeti világ terében a növényeknél és az állatoknál figyelhető meg. egy tölgy vagy egy páfrány, egy bogár vagy egy pillangó, egy pók vagy egy hernyó, egy egér vagy egy nyúl - ez csak néhány példa, ahol az élő szervezetekben kétoldalú vagy tükörszimmetria látható. Egy személy szimmetrikus, valamint a test részei: karok, lábak. Ezekben a formákban mintegy a tárgy egyik felének a másik felét mutató tükörképét figyeljük meg. Ha egy tárgyat síkban helyezünk el, akkor a képe középen mentálisan meghajolhat, és az egyik fele átfedi a másikat.

A szimmetria kialakulásának hipotézise

A tudományos világban számos hipotézis létezik, amelyek segítségével próbálják megmagyarázni, hogyan keletkezett a szimmetria világunk terében. Az egyik szerint mindenre, ami felfelé vagy lefelé nő, az A törvény hatálya alá tartozik, ami a földfelszínnel párhuzamosan vagy azzal szöget zár be, az tükörszimmetrikus alakot ölt. Ezeket a tulajdonságokat a gravitációval próbálják megmagyarázni a bolygó középpontjából és változó mértékben tárgyak napfény általi megvilágítása a helyüktől függően.

Szimmetria a tudományban és a művészetben

Az ókorban a művészek, szobrászok és építészek nagyra értékelték a tér szimmetriáját. A szimmetria elemeit ókori sziklafaragványokon, ókori tárgyak, fegyverek díszdíszeiben látjuk. Egyiptom piramisaiés maja piramisok, szláv katedrálisok kupolái, görög templomok és paloták, ősi boltívek és amfiteátrumok, a Fehér Ház homlokzata és a moszkvai Kreml – ez csak néhány példa a magasztos szépség és az igazi tökéletesség iránti vágyra.

A szimmetria fogalmát a matematikusok komolyan kidolgozták. Az elvégzett matematikai vizsgálatok lehetővé tették a szimmetria fő szabályszerűségeinek azonosítását a síkban és a térben. A fizika és a kémia sem kerülte meg ezt az érdekes természeti mintát. V. I. Vernadsky akadémikus úgy vélte, hogy "a szimmetria ... minden olyan terület tulajdonságait lefedi, amellyel a fizikus és a vegyész foglalkozik". Az atomok szimmetrikus szerkezete miatt a molekulák különféle reakciókba lépnek és okoznak fizikai tulajdonságok kristályképződés. Még akkor is, ha a fizika törvényei megállapítják fizikai mennyiségek, változatlan marad a különböző transzformációk során, akkor azt mondhatjuk, hogy ezek a törvények invarianciával vagy szimmetriával rendelkeznek ezen transzformációk tekintetében.

. Szabályos poliéder.

Meghatározás. Konvex poliédert nevezünk jobb , ha minden lapja egyenlő szabályos sokszög, és minden csúcsában ugyanannyi él konvergál.

Elég könnyű bebizonyítani, hogy csak 5 szabályos poliéder létezik: egy szabályos tetraéder, egy szabályos hexaéder, egy szabályos oktaéder, egy szabályos ikozaéder, egy szabályos dodekaéder. Ez a megdöbbentő tény az ókori gondolkodókat korrelációra késztette szabályos poliéderés az élet elemei.

A poliéder elméletének számos érdekes alkalmazása létezik. Ezen a területen az egyik kiemelkedő eredmény az Euler-tétel , ami nem csak a szabályos, hanem minden konvex poliéderre is érvényes.

Tétel: konvex poliéderekre igaz az összefüggés: G + V - P \u003d 2, ahol В a csúcsok száma, Г a lapok száma, Р az élek száma.

A poliéder neve	Az arcok száma (D)	Csúcsok száma (B)	Bordák száma (P)		A lét elsődleges eleme
tetraéder
kocka
ikozaéder
dodekaéder					Világegyetem
négyszög alakú piramis
n- szénpiramis
háromszög prizma
n- karbon prizma

A szabályos poliédereknek számos érdekes tulajdonsága van. Az egyik legszembetűnőbb tulajdonságuk kettősségük: ha egy szabályos hexaéder (kocka) lapjainak középpontjait szegmensekkel kötjük össze, szabályos oktaédert kapunk; és fordítva, ha egy szabályos oktaéder lapjainak középpontjait szegmensekkel kötjük össze, akkor egy kockát kapunk. Hasonlóképpen a szabályos ikozaéder és a dodekaéder kettős. Egy szabályos tetraéder önmagához duális, azaz. ha egy szabályos tetraéder lapjainak középpontjait szegmensekkel kötjük össze, akkor ismét szabályos tetraédert kapunk.

. Szimmetria a térben.

Meghatározás. pontokat DEés NÁL NÉL hívott szimmetrikus egy pontra O(szimmetriaközéppont) ha O- a szegmens közepe AB. Az O pontot önmagára nézve szimmetrikusnak tekintjük.

Meghatározás. pontokat DEés NÁL NÉL hívott szimmetrikus egy egyenesre a(szimmetriatengely), ha egyenes a ABés erre a szakaszra merőlegesen. A vonal minden pontja a

Meghatározás. pontokat DEés NÁL NÉL hívott szimmetrikus a síkra β (szimmetriasíkok), ha a sík β áthalad a szegmens közepén ABés erre a szakaszra merőlegesen. A sík minden pontja β önmagára nézve szimmetrikusnak tekinthető.

Meghatározás. Egy pontot (egyeneset, síkot) egy ábra szimmetriaközéppontjának (tengelyének, síkjának) nevezzük, ha az ábra minden pontja szimmetrikusan helyezkedik el ugyanazon ábra valamely pontjára.

Ha egy alaknak van szimmetriaközéppontja (tengelye, síkja), akkor azt mondják, hogy központi (tengelyirányú, tükör) szimmetriája van. A poliéder középpontját, tengelyét és szimmetriasíkját nevezzük szimmetria elemek ezt a poliédert.

Példa. Szabályos tetraéder:

- nincs szimmetriaközéppontja;

- három szimmetriatengelye van - két ellentétes él felezőpontján átmenő egyenesek;

Hat szimmetriasíkja van - a tetraéder ellenkező (az első) élére merőleges élen átmenő síkok.

Kérdések és feladatok

Hány szimmetriaközéppont:

a) paralelepipedon;

b) szabályos háromszög prizma;

c) diéderszög;

d) szegmens;

Hány szimmetriatengely van:

egy vágás

b) szabályos háromszög;

Hány szimmetriasíkot tesz ki:

a) szabályos négyszögű prizma, amely nem kocka;

b) szabályos négyszög alakú gúla;

c) szabályos háromszög alakú gúla;

Hány és milyen szimmetriaeleme van a szabályos poliédereknek:

a) szabályos tetraéder;

b) szabályos hexaéder;

c) szabályos oktaéder;

d) szabályos ikozaéder;

e) szabályos dodekaéder?

MKOU "Anninskaya középiskola UIOP-val"

Szimmetria a térben

Szimmetria

Szimmetria tág értelemben - megfelelés, megváltoztathatatlanság, minden változásban, átalakulásban megnyilvánuló.

Központi szimmetria

Párhuzamos átvitel

Axiális szimmetria

Szimmetria

A tükörreflexió vagy tükörszimmetria az euklideszi tér mozgása, melynek fixpontjainak halmaza egy hipersík (háromdimenziós tér esetén csak egy sík).

Axiális szimmetria

Tengelyszimmetria esetén az ábra minden pontja a síkhoz képest vele szimmetrikus pontba kerül

Axiális szimmetria

Központi szimmetria

Az A pont körüli központi szimmetria a tér olyan transzformációja, amely egy X pontot egy X′ pontba visz úgy, hogy A az XX′ szakasz felezőpontja.

Központi szimmetria

Központi szimmetria

A szimmetriaközépponton átmenő síkról való visszaverődés kompozíciójaként ábrázolható, 180°-os elforgatással a szimmetriaközépponton átmenő és a fent említett visszaverődési síkra merőleges egyenes körül.

Párhuzamos átvitel

A párhuzamos transzláció a mozgás egy speciális esete, amelyben a tér minden pontja ugyanabban az irányban mozog, azonos távolságra.

Párhuzamos átvitel

Szimmetria a fizikában

Az elméleti fizikában egy fizikai rendszer viselkedését néhány egyenlet írja le. Ha ezeknek az egyenleteknek van szimmetriája, akkor gyakran lehetséges a megoldás egyszerűsítése kereséssel tartósított mennyiségeket (a mozgás integráljai).

Szimmetria a biológiában

A szimmetria a biológiában egy élő szervezet hasonló testrészeinek vagy formáinak természetes elrendezése, élő szervezetek halmaza a szimmetria középpontjához vagy tengelyéhez képest.

Szimmetria a kémiában

A szimmetria fontos a kémiában, mert megmagyarázza a spektroszkópia, a kvantumkémia és a krisztallográfia megfigyeléseit.

Szimmetria a vallási szimbólumokban

Feltételezik, hogy az emberek hajlamosak a célt a szimmetriában látni az egyik oka annak, hogy a szimmetria gyakran szerves részét képezi a világvallások szimbólumainak. Íme csak néhány példa az ábrán látható sok közül.

Szimmetria a társadalmi interakciókban

Az emberek különböző kontextusokban figyelik meg a társadalmi interakció szimmetrikus jellegét (beleértve az aszimmetrikus egyensúlyt is). Ezek magukban foglalják a kölcsönösség, az empátia, a bocsánatkérés, a párbeszéd, a tisztelet, az igazságosság és a bosszú értékelését. A szimmetrikus interakciók „ugyanúgy vagyunk”, az aszimmetrikus interakciók pedig a „különleges vagyok, jobb, mint te” gondolatot fejezik ki.