Hogyan magyarázzuk el egyszerűen egy rendszer megoldását Cramer módszerével. Cramer módszere lineáris egyenletrendszerek megoldására

Mód KramerÉs Gauss- az egyik legnépszerűbb megoldási mód SLAU. Ezenkívül bizonyos esetekben célszerű használni specifikus módszerek. A munkamenet lezárult, és itt az ideje, hogy megismételje vagy elsajátítsa őket a semmiből. Ma a megoldást Cramer módszerével nézzük meg. Végül is a megoldás a rendszerre lineáris egyenletek Cramer módszere nagyon hasznos készség.

Lineáris algebrai egyenletrendszerek

Lineáris rendszer algebrai egyenletek– a következő alakú egyenletrendszer:

Értékkészlet x , amelyben a rendszer egyenletei azonosságokká alakulnak, a rendszer megoldásának nevezzük, a És b valós együtthatók. Egy egyszerű rendszer, amely két egyenletből áll, két ismeretlennel, megoldható fejben vagy úgy, hogy az egyik változót a másikkal fejezzük ki. De egy SLAE-ben kettőnél több változó (x) is lehet, és itt az egyszerű iskolai manipulációk nem elegendőek. Mit kell tenni? Például oldja meg az SLAE-ket Cramer módszerével!

Tehát álljon a rendszer a következőkből n egyenletek n ismeretlen.

Egy ilyen rendszer átírható mátrix formában

Itt A – a rendszer fő mátrixa, x És B , illetve ismeretlen változók oszlopmátrixai és szabad kifejezések.

SLAE megoldása Cramer módszerével

Ha a főmátrix determinánsa nem egyenlő nullával(a mátrix nem szinguláris), a rendszer Cramer módszerével megoldható.

Cramer módszere szerint a megoldást a következő képletekkel találjuk meg:

Itt delta a fő mátrix meghatározója, és delta x n-edik – a főmátrix determinánsából nyert determináns, ha az n-edik oszlopot szabad tagokból álló oszlopra cseréljük.

Ez a Cramer-módszer lényege. A talált értékek behelyettesítése a fenti képletekkel x a kívánt rendszerbe, meggyõzõdünk megoldásunk helyességérõl (vagy fordítva). Annak érdekében, hogy gyorsabban megértse a lényeget, mutassunk egy példát az alábbiakban. részletes megoldás SLAE Cramer módszerrel:

Még ha elsőre nem is sikerül, ne csüggedj! Egy kis gyakorlással elkezdi feltörni a SLAU-kat, mint a diót. Sőt, most már végképp nem szükséges egy notebook fölött pórul járni, nehézkes számításokat megoldani és a magot felírni. Könnyedén megoldhatja az SLAE-ket a Cramer módszerével online, csak az együtthatók behelyettesítésével a kész formába. Próbáld ki online számológép A Cramer-módszert alkalmazó megoldások megtalálhatóak például ezen a weboldalon.

És ha a rendszer makacsnak bizonyul, és nem adja fel, mindig fordulhat szerzőinkhez segítségért, például. Ha legalább 100 ismeretlen van a rendszerben, azt biztosan korrektül és időben megoldjuk!

Legyen a lineáris egyenletrendszer annyi egyenletet, ahány független változó, azaz. úgy néz ki, mint a

Az ilyen lineáris egyenletrendszereket másodfokúnak nevezzük. A determinánst, amely a rendszer független változóinak együtthatóiból áll (1.5), a rendszer fő determinánsának nevezzük. A görög D betűvel fogjuk jelölni.

. (1.6)

Ha a fődetermináns egy tetszőleges ( j th) oszlopot, cserélje ki a rendszer szabad feltételeinek oszlopára (1.5), akkor megkaphatja n kiegészítő minősítők:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

Cramer szabálya másodfokú lineáris egyenletrendszerek megoldása a következő. Ha az (1.5) rendszer D fő determinánsa különbözik nullától, akkor a rendszernek van, és ráadásul egyetlen döntés, amelyet a következő képletekkel találhatunk meg:

(1.8)

1.5. példa. Oldja meg az egyenletrendszert Cramer módszerével!

.

Számítsuk ki a rendszer fő meghatározóját:

D¹0 óta a rendszernek van egy egyedi megoldása, amelyet az (1.8) képletekkel találhatunk meg:

És így,

Műveletek mátrixokon

1. Egy mátrix szorzása egy számmal. A mátrix számmal való szorzásának műveletét a következőképpen definiáljuk.

2. Ahhoz, hogy egy mátrixot megszorozzon egy számmal, minden elemét meg kell szorozni ezzel a számmal. Azaz

. (1.9)

Példa 1.6. .

Mátrix összeadás.

Ezt a műveletet csak azonos sorrendű mátrixoknál vezetjük be.

Két mátrix hozzáadásához hozzá kell adni egy másik mátrix megfelelő elemeit egy mátrix elemeihez:

(1.10)
A mátrixösszeadás művelete az asszociativitás és a kommutativitás tulajdonságaival rendelkezik.

Példa 1.7. .

Mátrixszorzás.

Ha a mátrixoszlopok száma A egybeesik a mátrix sorok számával BAN BEN, akkor az ilyen mátrixokhoz bevezetjük a szorzási műveletet:

2

Így egy mátrix szorzásakor A méretek m´ n a mátrixhoz BAN BEN méretek n´ k mátrixot kapunk VAL VEL méretek m´ k. Ebben az esetben a mátrixelemek VAL VEL a következő képletekkel számítják ki:

Probléma 1.8. Ha lehetséges, keresse meg a mátrixok szorzatát ABÉs B.A.:

Megoldás. 1) Hogy munkát találjak AB, mátrixsorokra van szüksége A szorozzuk meg mátrixoszlopokkal B:

2) Munka B.A. nem létezik, mert a mátrixoszlopok száma B nem egyezik a mátrix sorok számával A.

Inverz mátrix. Lineáris egyenletrendszerek megoldása mátrix módszerrel

Mátrix A- 1-et négyzetmátrix inverzének nevezzük A, ha az egyenlőség teljesül:

hol keresztül én a mátrixszal azonos sorrendű identitásmátrixot jelöli A:

.

Ahhoz, hogy egy négyzetmátrixnak legyen inverze, szükséges és elégséges, hogy a determinánsa nullától eltérő legyen. Az inverz mátrixot a következő képlet segítségével találjuk meg:

, (1.13)

Ahol A ij- algebrai kiegészítések elemekhez a ij mátrixok A(Megjegyzendő, hogy algebrai összeadások mátrixsorokhoz A az inverz mátrixban találhatók megfelelő oszlopok formájában).

Példa 1.9. Keresse meg az inverz mátrixot A- 1 a mátrixhoz

.

Az inverz mátrixot az (1.13) képlet segítségével találjuk meg, amely az esetre n= 3 alakja:

.

Keressünk det A = | A| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Mivel az eredeti mátrix determinánsa nem nulla, létezik az inverz mátrix.

1) Keress algebrai komplementereket! A ij:

Az elhelyezkedés megkönnyítése érdekében inverz mátrix, az eredeti mátrix soraihoz az algebrai összeadásokat a megfelelő oszlopokba helyeztük.

A kapott algebrai összeadásokból új mátrixot állítunk össze, és elosztjuk a det determinánssal A. Így kapjuk az inverz mátrixot:

A nem nulla fődeterminánsú lineáris egyenletrendszerek másodfokú egyenletrendszerei megoldhatók az inverz mátrix segítségével. Ehhez az (1.5) rendszert mátrix formában írjuk fel:

Ahol

A bal oldali egyenlőség mindkét oldalát (1,14) megszorozva ezzel A- 1, megkapjuk a rendszer megoldását:

, ahol

Így egy négyzetes rendszer megoldásához meg kell találni a rendszer főmátrixának inverz mátrixát, és meg kell szorozni a jobb oldalon a szabad tagok oszlopmátrixával.

1.10. probléma. Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert!

az inverz mátrix segítségével.

Megoldás.Írjuk fel a rendszert mátrix alakban: ,

Ahol - a rendszer fő mátrixa, - az ismeretlenek oszlopa és - a szabad kifejezések oszlopa. Mivel a rendszer fő meghatározója , akkor a rendszer fő mátrixa A inverz mátrixa van A-1. Megtalálni az inverz mátrixot A-1 , kiszámítjuk a mátrix összes elemére az algebrai komplementereket A:

A kapott számokból mátrixot állítunk össze (és a mátrix soraihoz algebrai összeadásokat Aírja be a megfelelő oszlopokba), és ossza el a D determinánssal. Így megkaptuk az inverz mátrixot:

Az (1.15) képlet segítségével megtaláljuk a rendszer megoldását:

És így,

Lineáris egyenletrendszerek megoldása a szokásos Jordan eliminációs módszerrel

Legyen egy tetszőleges (nem feltétlenül másodfokú) lineáris egyenletrendszer:

(1.16)

Megoldást kell találni a rendszerre, pl. olyan változóhalmaz, amely kielégíti az (1.16) rendszer összes egyenlőségét. Általános esetben az (1.16) rendszernek nem csak egy megoldása lehet, hanem számtalan megoldása is lehet. Az is előfordulhat, hogy egyáltalán nincsenek megoldásai.

Az ilyen problémák megoldása során a jól ismert iskolai tanfolyami módszert alkalmazzák az ismeretlenek kiküszöbölésére, amelyet a szokásos Jordan eliminációs módszernek is neveznek. A lényeg ez a módszer abban rejlik, hogy az (1.16) rendszer egyik egyenletében az egyik változót más változókkal fejezzük ki. Ezt a változót ezután a rendszer más egyenleteibe helyettesítik. Az eredmény egy olyan rendszer, amely egy egyenlettel és egy változóval kevesebb, mint az eredeti rendszer. Emlékszik az egyenletre, amelyből a változót kifejezték.

Ezt a folyamatot addig ismételjük, amíg egy utolsó egyenlet nem marad a rendszerben. Az ismeretlenek kiküszöbölésének folyamata révén egyes egyenletek valódi azonossággá válhatnak, pl. Az ilyen egyenletek ki vannak zárva a rendszerből, mivel a változók bármely értékére teljesülnek, és ezért nem befolyásolják a rendszer megoldását. Ha az ismeretlenek kiküszöbölése során legalább egy egyenlet olyan egyenlőséggé válik, amely nem teljesülhet a változók egyetlen értékére sem (például), akkor arra a következtetésre jutunk, hogy a rendszernek nincs megoldása.

Ha a megoldás során nem merülnek fel ellentmondó egyenletek, akkor a benne maradt változók egyikét az utolsó egyenletből találjuk meg. Ha csak egy változó maradt az utolsó egyenletben, akkor azt számként fejezzük ki. Ha más változók az utolsó egyenletben maradnak, akkor azokat paramétereknek tekintjük, és a rajtuk keresztül kifejezett változó ezeknek a paramétereknek a függvénye lesz. Aztán az ún. fordított löket" A talált változót behelyettesíti az utoljára emlékezett egyenletbe, és megtalálja a második változót. Ezután a két talált változót behelyettesítjük az utolsó előtti memorizált egyenletbe, és megtaláljuk a harmadik változót, és így tovább, egészen az első memorizált egyenletig.

Ennek eredményeként megoldást kapunk a rendszerre. Ez a megoldás akkor lesz egyedi, ha a talált változók számok. Ha az első talált változó, majd az összes többi a paraméterektől függ, akkor a rendszernek végtelen számú megoldása lesz (minden paraméterkészlet egy új megoldásnak felel meg). Azokat a képleteket, amelyek lehetővé teszik, hogy egy adott paraméterkészlettől függően megoldást találjon egy rendszerre, a rendszer általános megoldásának nevezzük.

Példa 1.11.

x

Az első egyenlet memorizálása után és hasonló kifejezéseket hozva a második és harmadik egyenletbe, a rendszerhez jutunk:

Kifejezzük y a második egyenletből, és cserélje be az első egyenletbe:

Emlékezzünk a második egyenletre, és az elsőből megtaláljuk z:

Visszafelé dolgozva következetesen azt találjuk yÉs z. Ehhez először behelyettesítjük az utoljára emlékezett egyenletbe, ahonnan megtaláljuk y:

.

Ezután behelyettesítjük az első memorizált egyenletbe hol találhatjuk meg x:

1.12. probléma. Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert az ismeretlenek kiiktatásával:

. (1.17)

Megoldás. Fejezzük ki az első egyenletből származó változót xés cseréld be a második és harmadik egyenletbe:

.

Emlékezzünk az első egyenletre

Ebben a rendszerben az első és a második egyenlet ellentmond egymásnak. Valóban, kifejezve y , azt kapjuk, hogy 14 = 17. Ez az egyenlőség nem áll fenn a változók egyik értékére sem x, y, És z. Ebből következően az (1.17) rendszer inkonzisztens, i.e. nincs megoldása.

Arra kérjük az olvasókat, hogy saját maguk ellenőrizzék, hogy az eredeti rendszer fő meghatározója (1.17) egyenlő-e nullával.

Tekintsünk egy olyan rendszert, amely csak egy szabad taggal különbözik az (1.17) rendszertől.

1.13. probléma. Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert az ismeretlenek kiiktatásával:

. (1.18)

Megoldás. Mint korábban, az első egyenletből származó változót fejezzük ki xés cseréld be a második és harmadik egyenletbe:

.

Emlékezzünk az első egyenletre és mutasson be hasonló kifejezéseket a második és harmadik egyenletben. Megérkezünk a rendszerhez:

Kifejezése y az első egyenletből, és behelyettesítjük a második egyenletbe , a 14 = 14 azonosságot kapjuk, ami nem befolyásolja a rendszer megoldását, ezért kizárható a rendszerből.

Az utolsó emlékezett egyenlőségben a változó z paraméternek fogjuk tekinteni. Hisszük. Akkor

Cseréljük yÉs z az első emlékezett egyenlőségbe és megtalálni x:

.

Így az (1.18) rendszernek végtelen számú megoldása van, és bármilyen megoldás megtalálható az (1.19) képletekkel, a paraméter tetszőleges értékével t:

(1.19)
Tehát a rendszer megoldásai például a következő változóhalmazok (1; 2; 0), (2; 26; 14) stb. Az (1.19) képletek az (1.18) rendszer általános (bármely) megoldását fejezik ki ).

Abban az esetben, ha az eredeti rendszer (1.16) elegendő nagyszámú egyenletek és ismeretlenek, a szokásos Jordan elimináció jelzett módszere nehézkesnek tűnik. Azonban nem. Elegendő egy algoritmust levezetni a rendszeregyütthatók egy lépésben történő újraszámítására Általános nézetés speciális Jordan-táblázatok formájában fogalmazza meg a probléma megoldását.

Legyen adott egy lineáris alakzat (egyenlet) rendszer:

, (1.20)
Ahol x j- független (keresett) változók, a ij- állandó együtthatók
(i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). A rendszer jobb részei y i (i = 1, 2,…, m) lehetnek változók (függők) vagy állandók. Erre a rendszerre megoldást kell találni az ismeretlenek kiiktatásával.

Tekintsük a következő műveletet, amelyet ezentúl „a szokásos Jordan-kiesések egy lépésének” neveznek. tetszőleges ( r th) egyenlőség tetszőleges változót ( xs) és helyettesíti az összes többi egyenlőséggel. Ez persze csak akkor lehetséges, ha egy rs¹ 0. Együttható egy rs feloldó (néha irányító vagy fő) elemnek nevezzük.

meg fogjuk kapni a következő rendszert:

. (1.21)

Tól től s- rendszeregyenlőség (1.21), ezt követően megtaláljuk a változót xs(miután a többi változót megtaláltuk). S A -edik sort megjegyzi, és ezt követően kizárja a rendszerből. A fennmaradó rendszer egy egyenletet és egy kevésbé független változót fog tartalmazni, mint az eredeti rendszer.

Számítsuk ki a kapott rendszer (1.21) együtthatóit az eredeti rendszer (1.20) együtthatóin keresztül. Kezdjük azzal r egyenlet, amely a változó kifejezése után xs a többi változón keresztül így fog kinézni:

Így az új együtthatók r az egyenleteket a következő képletekkel számítjuk ki:

(1.23)
Most számoljuk ki az új együtthatókat b ij(én¹ r) egy tetszőleges egyenlet. Ehhez helyettesítsük be az (1.22)-ben kifejezett változót. xs V én rendszer egyenlete (1.20):

Hasonló kifejezések megadása után a következőket kapjuk:

(1.24)
Az (1.24) egyenlőségből olyan képleteket kapunk, amelyekkel kiszámítjuk az (1.21) rendszer fennmaradó együtthatóit (kivéve r egyenlet):

(1.25)
A lineáris egyenletrendszerek átalakítása a szokásos Jordan elimináció módszerével táblázatok (mátrixok) formájában kerül bemutatásra. Ezeket a táblázatokat „jordániai tábláknak” nevezik.

Így az (1.20) probléma a következő Jordan-táblázathoz kapcsolódik:

1.1. táblázat

	x 1	x 2	…	x j	…	xs	…	x n
y 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1n
…………………………………………………………………..
y i=	a i 1	a i 2		a ij		a is		a be
…………………………………………………………………..
y r=	a r 1	a r 2		egy rj		egy rs		arn
………………………………………………………………….
y n=	a m 1	a m 2		egy mj		a ms		a mn

A Jordan 1.1-es tábla egy bal oldali fejlécoszlopot tartalmaz, amelybe a rendszer jobb oldali részei (1.20), és egy felső fejlécsort tartalmaznak, amelybe a független változókat írják.

A táblázat többi eleme alkotja az (1.20) rendszer együtthatóinak fő mátrixát. Ha megszorzod a mátrixot A a felső címsor elemeiből álló mátrixhoz kapunk egy mátrixot, amely a bal oldali címoszlop elemeiből áll. Azaz lényegében a Jordan-tábla egy lineáris egyenletrendszer felírásának mátrixa: . Az (1.21) rendszer a következő Jordan-táblázatnak felel meg:

1.2. táblázat

	x 1	x 2	…	x j	…	y r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b az		kuka
…………………………………………………………………..
x s =	b r 1	b r 2		b rj		b rs		brn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		b mj		bms		b mn

Megengedő elem egy rs Ezeket félkövérrel emeljük ki. Emlékezzünk vissza, hogy a Jordan elimináció egy lépésének végrehajtásához a feloldó elemnek nullától eltérőnek kell lennie. Az engedélyező elemet tartalmazó táblázatsort engedélyező sornak nevezzük. Az engedélyezési elemet tartalmazó oszlopot engedélyezés oszlopnak nevezzük. Amikor egy adott tábláról a következő táblára lépünk, egy változó ( xs) a táblázat felső fejlécsorából a bal oldali fejléc oszlopba kerül, és fordítva, a rendszer egyik szabad tagja ( y r) a táblázat bal oldali fejoszlopából a felső fejsorba lép.

Ismertesse meg az együtthatók újraszámításának algoritmusát, amikor az (1.1) Jordan táblából az (1.2) táblába lépünk, ami az (1.23) és (1.25) képletekből következik.

1. A feloldó elemet az inverz szám helyettesíti:

2. A feloldó karakterlánc többi elemét felosztjuk a feloldó elemre, és az előjelet az ellenkezőjére változtatjuk:

3. A felbontás oszlop többi eleme a felbontási elemre van felosztva:

4. Az engedélyező sorban és oszlopban nem szereplő elemek újraszámítása a következő képletekkel történik:

Az utolsó képlet könnyen megjegyezhető, ha észreveszi, hogy az elemek, amelyek a tört , a kereszteződésben vannak én-ja és r sorok és jés s oszlopok (feloldó sor, feloldó oszlop, valamint az a sor és oszlop, amelynek metszéspontjában az újraszámított elem található). Pontosabban a képlet memorizálásánál a következő diagramot használhatja:

-21 -26 -13 -37

A Jordan kivételek első lépésének végrehajtásakor az 1.3. táblázat oszlopaiban található bármely elemét kiválaszthatja feloldó elemként x 1 ,…, x 5 (az összes megadott elem nem nulla). Csak ne az utolsó oszlopban jelölje ki az engedélyező elemet, mert független változókat kell találnia x 1 ,…, x 5. Például kiválasztjuk az együtthatót 1 változóval x 3 az 1.3. táblázat harmadik sorában (az engedélyező elem félkövéren van szedve). Az 1.4 táblára lépve a változó x A felső fejlécsor 3-a felcserélődik a bal oldali fejlécoszlop (harmadik sor) konstans 0-jával. Ebben az esetben a változó x 3 a fennmaradó változókon keresztül fejeződik ki.

Húr x 3 (1.4. táblázat) előzetes emlékezés után kizárható az 1.4. táblázatból. Az 1.4. táblázatból a harmadik oszlop, ahol a felső címsor nulla szerepel, szintén kimaradt. A lényeg az, hogy egy adott oszlop együtthatóitól függetlenül b i 3 az egyes 0 egyenletek összes megfelelő tagját b i 3 rendszer nulla lesz. Ezért ezeket az együtthatókat nem kell kiszámítani. Egy változó kiküszöbölése x 3 és az egyik egyenletre emlékezve az 1.4 táblázatnak megfelelő rendszerhez jutunk (a vonal áthúzva x 3). Az 1.4 táblázatban feloldó elemként kijelölés b 14 = -5, ugorjon az 1.5 táblázathoz. Az 1.5. táblázatban emlékezzen az első sorra, és zárja ki a táblázatból a negyedik oszloppal együtt (nulla a tetején).

1.5. táblázat 1.6

Az utolsó 1.7 táblázatból a következőket találjuk: x 1 = - 3 + 2x 5 .

A már megtalált változókat következetesen behelyettesítve a megjegyzett sorokba, megtaláljuk a fennmaradó változókat:

Így a rendszernek végtelen sok megoldása van. Változó x 5, tetszőleges értékek rendelhetők hozzá. Ez a változó paraméterként működik x 5 = t. Bebizonyítottuk a rendszer kompatibilitását és megtaláltuk közös döntés:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Paraméter megadása t különböző értékeket kapunk, végtelen számú megoldást kapunk az eredeti rendszerre. Így például a rendszer megoldása a következő változóhalmaz (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

Cramer módszere a determinánsok felhasználásán alapul lineáris egyenletrendszerek megoldásában. Ez jelentősen felgyorsítja a megoldás folyamatát.

A Cramer-módszerrel annyi lineáris egyenletből álló rendszert lehet megoldani, ahány egyenletben ismeretlen van. Ha a rendszer determinánsa nem egyenlő nullával, akkor Cramer módszere használható a megoldásban, de ha egyenlő nullával, akkor nem. Ezenkívül a Cramer-módszer használható olyan lineáris egyenletrendszerek megoldására is, amelyek egyedi megoldással rendelkeznek.

Meghatározás. Az ismeretlenek együtthatóiból álló determinánst a rendszer determinánsának nevezzük, és delta-nak nevezzük.

Meghatározók

úgy kapjuk meg, hogy a megfelelő ismeretlenek együtthatóit szabad kifejezésekkel helyettesítjük:

;

.

Cramer tétele. Ha a rendszer determinánsa nem nulla, akkor a lineáris egyenletrendszernek egyetlen megoldása van, és az ismeretlen egyenlő a determinánsok arányával. A nevező tartalmazza a rendszer determinánsát, a számláló pedig azt a determinánst, amelyet a rendszer determinánsából kapunk úgy, hogy ennek az ismeretlennek az együtthatóit szabad tagokkal helyettesítjük. Ez a tétel tetszőleges sorrendű lineáris egyenletrendszerre érvényes.

1. példa Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert:

Alapján Cramer tétele nekünk van:

Tehát a (2) rendszer megoldása:

online számológép, döntő módszer Kramer.

Három eset lineáris egyenletrendszerek megoldásánál

Amint az abból kiderül Cramer tétele, lineáris egyenletrendszer megoldása során három eset fordulhat elő:

Első eset: a lineáris egyenletrendszernek egyedi megoldása van

(a rendszer következetes és határozott)

Második eset: egy lineáris egyenletrendszernek végtelen számú megoldása van

(a rendszer konzisztens és bizonytalan)

** ,

azok. az ismeretlenek és a szabad tagok együtthatói arányosak.

Harmadik eset: a lineáris egyenletrendszernek nincs megoldása

(inkonzisztens a rendszer)

Tehát a rendszer m lineáris egyenletek -val n változóknak nevezzük nem ízületi, ha nincs egyetlen megoldása, és közös, ha van legalább egy megoldása. Egy szimultán egyenletrendszert, amelynek csak egy megoldása van, nevezzük bizonyosés több mint egy bizonytalan.

Példák lineáris egyenletrendszerek megoldására Cramer módszerrel

Adott legyen a rendszer

.

Cramer tétele alapján

………….
,

Ahol
-

rendszer meghatározó. A fennmaradó determinánsokat úgy kapjuk meg, hogy az oszlopot a megfelelő változó (ismeretlen) együtthatóira cseréljük szabad tagokkal:

2. példa

.

Ezért a rendszer határozott. A megoldás megtalálásához kiszámítjuk a determinánsokat

A Cramer-képleteket használva a következőket kapjuk:

Tehát (1; 0; -1) az egyetlen megoldás a rendszerre.

A 3 x 3 és 4 x 4 egyenletrendszerek megoldásainak ellenőrzéséhez használhat egy online számológépet a Cramer megoldási módszerével.

Ha egy lineáris egyenletrendszerben egy vagy több egyenletben nincsenek változók, akkor a determinánsban a megfelelő elemek nullával egyenlők! Ez a következő példa.

3. példa Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert a Cramer módszerrel:

.

Megoldás. Megtaláljuk a rendszer meghatározóját:

Nézze meg figyelmesen az egyenletrendszert és a rendszer determinánsát, és ismételje meg a választ arra a kérdésre, hogy mely esetekben egyenlő a determináns egy vagy több eleme nullával! Tehát a determináns nem egyenlő nullával, ezért a rendszer határozott. A megoldás megtalálásához kiszámítjuk az ismeretlenek determinánsait

A Cramer-képleteket használva a következőket kapjuk:

Tehát a rendszer megoldása: (2; -1; 1).

A 3 x 3 és 4 x 4 egyenletrendszerek megoldásainak ellenőrzéséhez használhat egy online számológépet a Cramer megoldási módszerével.

Lap teteje

Továbbra is közösen oldjuk meg a rendszereket Cramer módszerével

Mint már említettük, ha a rendszer determinánsa egyenlő nullával, és az ismeretlenek determinánsai nem egyenlőek nullával, akkor a rendszer inkonzisztens, vagyis nincs megoldása. Illusztráljuk a következő példával.

6. példa. Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert a Cramer módszerrel:

Megoldás. Megtaláljuk a rendszer meghatározóját:

A rendszer determinánsa nulla, ezért a lineáris egyenletrendszer vagy inkonzisztens és határozott, vagy inkonzisztens, vagyis nincs megoldása. Az egyértelműség kedvéért kiszámítjuk az ismeretlenek determinánsait

Az ismeretlenek determinánsai nem egyenlőek nullával, ezért a rendszer inkonzisztens, vagyis nincs megoldása.

A 3 x 3 és 4 x 4 egyenletrendszerek megoldásainak ellenőrzéséhez használhat egy online számológépet a Cramer megoldási módszerével.

A lineáris egyenletrendszereket érintő feladatokban vannak olyanok is, ahol a változókat jelölő betűk mellett más betűk is vannak. Ezek a betűk egy számot jelölnek, leggyakrabban valódit. A gyakorlatban az ilyen egyenletekhez és egyenletrendszerekhez bármely jelenség vagy objektum általános tulajdonságainak keresésének problémái vezetnek. Vagyis feltaláltál valamit új anyag vagy egy eszközt, és annak leírásához, amelyek egy példány méretétől vagy számától függetlenül gyakoriak, meg kell oldani egy lineáris egyenletrendszert, ahol a változók együtthatói helyett betűk vannak. Nem kell messzire keresni a példákat.

A következő példa egy hasonló problémára vonatkozik, csak az egyenletek, változók és egy bizonyos valós számot jelölő betűk száma növekszik.

8. példa. Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert a Cramer módszerrel:

Megoldás. Megtaláljuk a rendszer meghatározóját:

Determinánsok keresése ismeretlenekre

Ugyanannyi egyenlettel, mint az ismeretlenek száma a mátrix fődeterminánsával, amely nem egyenlő nullával, a rendszer együtthatóival (az ilyen egyenletekre van megoldás és csak egy).

Cramer tétele.

Ha egy négyzetrendszer mátrixának determinánsa nem nulla, az azt jelenti, hogy a rendszer konzisztens, és egy megoldása van, és ez a Cramer képletei:

ahol Δ - a rendszermátrix meghatározója,

Δ én a rendszermátrix meghatározója, amelyben ahelyett én A th oszlop a jobb oldalak oszlopát tartalmazza.

Ha egy rendszer determinánsa nulla, az azt jelenti, hogy a rendszer együttműködővé vagy inkompatibilissé válhat.

Ezt a módszert általában kis rendszereknél alkalmazzák kiterjedt számításokkal, és ha szükséges az egyik ismeretlen meghatározása. A módszer összetettsége, hogy sok meghatározó tényezőt kell kiszámítani.

A Cramer-módszer leírása.

Van egy egyenletrendszer:

Egy 3 egyenletrendszer megoldható a Cramer-módszerrel, amelyet fentebb 2 egyenletrendszernél tárgyaltunk.

Az ismeretlenek együtthatóiból egy determinánst állítunk össze:

Lesz rendszer meghatározó. Amikor D≠0, ami azt jelenti, hogy a rendszer konzisztens. Most hozzunk létre 3 további meghatározót:

,,

A rendszert úgy oldjuk meg Cramer képletei:

Példák egyenletrendszerek megoldására Cramer módszerével.

1. példa.

Adott rendszer:

Oldjuk meg Cramer módszerével.

Először ki kell számítania a rendszermátrix determinánsát:

Mert Δ≠0, ami azt jelenti, hogy a Cramer-tételből a rendszer konzisztens és egy megoldása van. További determinánsokat számolunk. A Δ 1 determinánst a Δ determinánsból kapjuk úgy, hogy az első oszlopát egy szabad együtthatók oszlopára cseréljük. Kapunk:

Ugyanígy megkapjuk a Δ 2 determinánsát a rendszermátrix determinánsából úgy, hogy a második oszlopot szabad együtthatók oszlopával helyettesítjük: