Hogyan írjunk fel egy egyenes egyenletet irányvektor segítségével. Egy síkon lévő egyenes általános egyenlete

Ez a cikk a síkon lévő egyenesek egyenletének témáját folytatja: ezt az egyenlettípust egy egyenes általános egyenletének fogjuk tekinteni. Határozzuk meg a tételt és bizonyítsuk be; Nézzük meg, mi a hiányos általános egyenlete egy egyenesnek, és hogyan lehet átmenetet végrehajtani egy általános egyenletről egy vonal más típusú egyenleteire. Illusztrációkkal és gyakorlati problémák megoldásával erősítjük meg az egész elméletet.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Legyen a síkon egy O x y derékszögű koordinátarendszer.

1. tétel

Bármely elsőfokú egyenlet, amelynek alakja A x + B y + C = 0, ahol A, B, C néhány valós szám (A és B nem egyenlő nullával egyszerre), egy egyenest határoz meg téglalap alakú koordinátarendszer egy síkon. Viszont egy síkon egy téglalap alakú koordinátarendszerben lévő bármely egyenest egy egyenlet határozza meg, amelynek alakja A x + B y + C = 0 egy bizonyos A, B, C értékkészlethez.

Bizonyíték

Ez a tétel két pontból áll, mindegyiket bizonyítjuk.

1. Bizonyítsuk be, hogy az A x + B y + C = 0 egyenlet egy egyenest határoz meg a síkon.

Legyen olyan M 0 (x 0, y 0) pont, amelynek koordinátái megfelelnek az A x + B y + C = 0 egyenletnek. Így: A x 0 + B y 0 + C = 0. Az A x + B y + C = 0 egyenlet bal és jobb oldalából kivonva az A x 0 + B y 0 + C = 0 egyenlet bal és jobb oldalát, kapunk egy új egyenletet, amely így néz ki: A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Egyenértékű: A x + B y + C = 0.

Az így kapott A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 egyenlet szükséges és elégséges feltétele az n → = (A, B) és M 0 M → = (x - x) vektorok merőlegességének. 0, y - y 0) . Így az M (x, y) ponthalmaz az n → = (A, B) vektor irányára merőleges téglalap alakú koordinátarendszerben határoz meg egy egyenest. Feltételezhetjük, hogy ez nem így van, de akkor az n → = (A, B) és M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) vektorok nem lennének merőlegesek, és az A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 nem lenne igaz.

Következésképpen az A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 egyenlet egy téglalap alakú koordinátarendszerben egy bizonyos egyenest határoz meg a síkon, és ezért az A x + B y + C = 0 egyenlet határozza meg a ugyanaz a vonal. Így igazoltuk a tétel első részét.

1. Bizonyítsuk be, hogy egy síkon egy téglalap alakú koordinátarendszerben tetszőleges egyenes megadható az A x + B y + C = 0 elsőfokú egyenlettel.

Határozzuk meg a síkon téglalap alakú koordinátarendszerben az a egyenest; az M 0 (x 0 , y 0) pont, amelyen ez az egyenes áthalad, valamint ennek az egyenesnek az n → = (A, B) normálvektora.

Legyen M (x, y) pont is - egy lebegőpont az egyenesen. Ebben az esetben az n → = (A, B) és M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) vektorok merőlegesek egymásra, és skaláris szorzat van egy nulla:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Írjuk át az A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 egyenletet, definiáljuk C: C = - A x 0 - B y 0 és végeredményként az A x + B y + C = egyenletet kapjuk. 0.

Tehát bebizonyítottuk a tétel második részét, és bebizonyítottuk az egész tétel egészét.

1. definíció

A forma egyenlete A x + B y + C = 0 - Ezt egy egyenes általános egyenlete síkon téglalap alakú koordinátarendszerbenOxy.

A bizonyított tétel alapján megállapíthatjuk, hogy egy rögzített téglalap alakú koordinátarendszerben egy síkon meghatározott egyenes és általános egyenlete elválaszthatatlanul összefügg. Más szóval, az eredeti egyenes megfelel az általános egyenletének; egy egyenes általános egyenlete egy adott egyenesnek felel meg.

A tétel bizonyításából az is következik, hogy az x és y változókra vonatkozó A és B együtthatók az egyenes normálvektorának koordinátái, amelyet az A x + B y + C = egyenes általános egyenlete ad meg. 0.

Mérlegeljük konkrét példa egy egyenes általános egyenlete.

Legyen adott a 2 x + 3 y - 2 = 0 egyenlet, amely egy adott derékszögű koordinátarendszerben egy egyenesnek felel meg. Ennek az egyenesnek a normálvektora a vektor n → = (2 , 3) ​​. Rajzoljuk meg a rajzon a megadott egyenest.

Megállapíthatjuk még a következőket: azt az egyenest, amit a rajzon látunk, a 2 x + 3 y - 2 = 0 általános egyenlet határozza meg, mivel egy adott egyenesen az összes pont koordinátája ennek az egyenletnek felel meg.

A λ A x + λ B y + λ C = 0 egyenletet úgy kaphatjuk meg, ha az egyenes általános egyenletének mindkét oldalát megszorozzuk a λ számmal, nem egyenlő nullával. A kapott egyenlet ekvivalens az eredeti általános egyenlettel, ezért ugyanazt az egyenest írja le a síkon.

2. definíció

Egy egyenes teljes általános egyenlete– az A x + B y + C = 0 egyenes olyan általános egyenlete, amelyben az A, B, C számok különböznek nullától. Ellenkező esetben az egyenlet befejezetlen.

Elemezzük egy egyenes hiányos általános egyenletének összes változatát.

1. Ha A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, az általános egyenlet B y + C = 0 alakot ölt. Egy ilyen hiányos általános egyenlet egy O x y téglalap alakú koordinátarendszerben egy egyenest határoz meg, amely párhuzamos az O x tengellyel, mivel x bármely valós értékére az y változó felveszi az értéket. - C B . Más szóval, az A x + B y + C = 0 egyenes általános egyenlete, amikor A = 0, B ≠ 0, megadja azon pontok helyét (x, y), amelyek koordinátái azonos számmal egyenlők. - C B .
2. Ha A = 0, B ≠ 0, C = 0, az általános egyenlet y = 0 alakot ölt. Ez a hiányos egyenlet határozza meg az x tengely O x .
3. Ha A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, akkor egy hiányos általános A x + C = 0 egyenletet kapunk, amely az ordinátával párhuzamos egyenest határoz meg.
4. Legyen A ≠ 0, B = 0, C = 0, akkor a hiányos általános egyenlet x = 0 alakot ölt, és ez az O y koordinátaegyenlet.
5. Végül A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 esetén a hiányos általános egyenlet A x + B y = 0 alakot ölti. És ez az egyenlet egy egyenest ír le, amely az origón halad át. Valójában a (0, 0) számpár az A x + B y = 0 egyenlőségnek felel meg, mivel A · 0 + B · 0 = 0.

Szemléltessük grafikusan az összes fenti típusú, nem teljes egyenes általános egyenletet.

1. példa

Ismeretes, hogy az adott egyenes párhuzamos az ordináta tengellyel, és átmegy a 2 7, - 11 ponton. Fel kell írni az adott egyenes általános egyenletét.

Megoldás

Az ordinátatengellyel párhuzamos egyenest egy A x + C = 0 alakú egyenlet ad meg, amelyben A ≠ 0. A feltétel megadja annak a pontnak a koordinátáit is, amelyen az egyenes áthalad, és ennek a pontnak a koordinátái megfelelnek az A x + C = 0 hiányos általános egyenlet feltételeinek, azaz. az egyenlőség igaz:

A 2 7 + C = 0

Ebből meghatározható C, ha A-nak valamilyen nullától eltérő értéket adunk, például A = 7. Ebben az esetben a következőt kapjuk: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Ismerjük az A és C együtthatót, behelyettesítjük az A x + C = 0 egyenletbe, és megkapjuk a szükséges egyenes egyenletet: 7 x - 2 = 0

Válasz: 7 x - 2 = 0

2. példa

A rajz egy egyenest mutat, fel kell írni az egyenletét.

Megoldás

A megadott rajz lehetővé teszi, hogy a kiindulási adatokat könnyen átvehessük a probléma megoldásához. A rajzon látjuk, hogy az adott egyenes párhuzamos az O x tengellyel és átmegy a (0, 3) ponton.

Az abszcisszával párhuzamos egyenest a B y + C = 0 hiányos általános egyenlet határozza meg. Keressük meg B és C értékét. A (0, 3) pont koordinátái, mivel az adott egyenes átmegy rajta, kielégíti a B y + C = 0 egyenes egyenletét, akkor érvényes az egyenlőség: B · 3 + C = 0. Állítsuk B-t nullától eltérő értékre. Tegyük fel, hogy B = 1, ebben az esetben a B · 3 + C = 0 egyenlőségből C: C = - 3. B és C ismert értékeinek felhasználásával megkapjuk az egyenes szükséges egyenletét: y - 3 = 0.

Válasz: y-3 = 0.

Egy sík adott pontján átmenő egyenes általános egyenlete

Az adott egyenes menjen át az M 0 (x 0 , y 0) ponton, ekkor a koordinátái megfelelnek az egyenes általános egyenletének, azaz. az egyenlőség igaz: A x 0 + B y 0 + C = 0. Vonjuk ki ennek az egyenletnek a bal és jobb oldalát az egyenes általános teljes egyenletének bal és jobb oldalából. A következőt kapjuk: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, ez az egyenlet ekvivalens az eredeti általánossal, átmegy az M 0 (x 0, y 0) ponton, és normális vektor n → = (A, B) .

A kapott eredmény lehetővé teszi egy olyan egyenes általános egyenletének felírását, amely az egyenes normálvektorának ismert koordinátáival és az egyenes egy bizonyos pontjának koordinátáival rendelkezik.

3. példa

Adott egy M 0 (- 3, 4) pont, amelyen egy egyenes áthalad, és ennek az egyenesnek a normálvektora n → = (1 , - 2) . Fel kell írni az adott egyenes egyenletét.

Megoldás

A kezdeti feltételek lehetővé teszik, hogy megszerezzük az egyenlet összeállításához szükséges adatokat: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Akkor:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - ( - 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

A problémát másként is meg lehetett volna oldani. Általános egyenlet az egyenes alakja A x + B y + C = 0. A megadott normálvektor lehetővé teszi, hogy megkapjuk az A és B együtthatók értékét, majd:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Most keressük meg C értékét a feladat feltétele által meghatározott M 0 (- 3, 4) pont segítségével, amelyen az egyenes áthalad. Ennek a pontnak a koordinátái megfelelnek az x - 2 · y + C = 0 egyenletnek, azaz. - 3 - 2 4 + C = 0. Ezért C = 11. A szükséges egyenes egyenlet a következőképpen alakul: x - 2 · y + 11 = 0.

Válasz: x - 2 y + 11 = 0 .

4. példa

Adott egy 2 3 x - y - 1 2 = 0 egyenes és egy M 0 pont, amely ezen az egyenesen fekszik. Ennek a pontnak csak az abszcisszája ismert, és egyenlő -3-mal. Meg kell határozni egy adott pont ordinátáját.

Megoldás

Jelöljük az M 0 pont koordinátáit x 0-nak és y 0-nak. A forrásadatok azt mutatják, hogy x 0 = - 3. Mivel a pont egy adott egyeneshez tartozik, ezért a koordinátái megfelelnek ennek az egyenesnek az általános egyenletének. Akkor igaz lesz az egyenlőség:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

y 0 meghatározása: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Válasz: - 5 2

Átmenet egy egyenes általános egyenletéről más típusú egyenes egyenletekre és fordítva

Mint tudjuk, egy síkon ugyanarra az egyenesre többféle egyenlet létezik. Az egyenlet típusának megválasztása a probléma körülményeitől függ; lehet választani a megoldásához kényelmesebbet. Az egyik típusú egyenlet egy másik típusú egyenletté alakításának készsége nagyon hasznos itt.

Először nézzük meg az A x + B y + C = 0 alakú általános egyenletből az x - x 1 a x = y - y 1 a y kanonikus egyenletre való átmenetet.

Ha A ≠ 0, akkor a B y tagot átvisszük ide jobb oldaláltalános egyenlet. A bal oldalon kivesszük az A-t a zárójelekből. Ennek eredményeként a következőt kapjuk: A x + C A = - B y.

Ez az egyenlőség arányként írható fel: x + C A - B = y A.

Ha B ≠ 0, akkor az általános egyenlet bal oldalán csak az A x tagot hagyjuk, a többit átvisszük a jobb oldalra, így kapjuk: A x = - B y - C. A – B-t kivesszük a zárójelből, majd: A x = - B y + C B .

Írjuk át az egyenlőséget arány formájában: x - B = y + C B A.

Természetesen nem kell megjegyezni a kapott képleteket. Elég ismerni a műveletek algoritmusát, amikor egy általános egyenletről a kanonikusra lépünk.

5. példa

Adott a 3 y - 4 = 0 egyenes általános egyenlete. Át kell alakítani egy kanonikus egyenletté.

Megoldás

Írjuk fel az eredeti egyenletet úgy, hogy 3 y - 4 = 0. Ezután az algoritmus szerint járunk el: a 0 x tag a bal oldalon marad; és a jobb oldalon teszünk - 3-at a zárójelekből; kapjuk: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Írjuk fel a kapott egyenlőséget arányként: x - 3 = y - 4 3 0 . Így megkaptuk a kanonikus forma egyenletét.

Válasz: x - 3 = y - 4 3 0.

Egy egyenes általános egyenletének parametrikussá alakításához először át kell térni a kanonikus formára, majd át kell térni az egyenes kanonikus egyenletéből a parametrikus egyenletekre.

6. példa

Az egyenest a 2 x - 5 y - 1 = 0 egyenlet adja. Írja fel ennek az egyenesnek a paraméteres egyenleteit!

Megoldás

Tegyünk átmenetet az általános egyenletről a kanonikusra:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 év + 1 ⇔ 2 x = 5 év + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Most vesszük a kapott kanonikus egyenlet mindkét oldalát egyenlő λ-val, majd:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Válasz:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Az általános egyenlet átalakítható egy y = k · x + b meredekségű egyenes egyenletévé, de csak akkor, ha B ≠ 0. Az átmenethez a B y kifejezést a bal oldalon hagyjuk, a többit áthelyezzük jobbra. A következőt kapjuk: B y = - A x - C . A kapott egyenlőség mindkét oldalát osszuk el B-vel, nullától eltérően: y = - A B x - C B.

7. példa

Az egyenes általános egyenlete adott: 2 x + 7 y = 0. Ezt az egyenletet meredekségi egyenletté kell konvertálnia.

Megoldás

Végezzük el a szükséges műveleteket az algoritmus szerint:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Válasz: y = - 2 7 x .

Az egyenes általános egyenletéből elég egyszerűen egy egyenletet kapni az x a + y b = 1 alakú szakaszokban. Egy ilyen átmenethez a C számot áthelyezzük az egyenlőség jobb oldalára, a kapott egyenlőség mindkét oldalát elosztjuk – C-vel, és végül átvisszük az x és y változók együtthatóit a nevezőkbe:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

8. példa

Az x - 7 y + 1 2 = 0 egyenes általános egyenletét át kell alakítani a szakaszos egyenes egyenletévé.

Megoldás

Vigyük át az 1 2-t a jobb oldalra: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Osszuk el az egyenlőség mindkét oldalát -1/2-vel: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Válasz: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Általában a fordított átmenet is egyszerű: más típusú egyenletekről az általánosra.

A szakaszokban lévő egyenes egyenlete és egy szögegyenlettel rendelkező egyenlet könnyen átalakítható általánossá, egyszerűen összegyűjtve az egyenlőség bal oldalán található összes tagot:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

A kanonikus egyenletet a következő séma szerint alakítjuk át általánossá:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

A parametrikusakról való átlépéshez először lépjen a kanonikusra, majd az általánosra:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

9. példa

Az x = - 1 + 2 · λ y = 4 egyenes paraméteres egyenletei adottak. Fel kell írni ennek az egyenesnek az általános egyenletét.

Megoldás

Tegyük át az átmenetet parametrikus egyenletek kanonikusra:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Térjünk át a kanonikustól az általános felé:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Válasz: y-4 = 0

10. példa

Adott egy egyenes egyenlete az x 3 + y 1 2 = 1 szakaszokban. Át kell lépni a Általános megjelenés egyenletek

Megoldás:

Egyszerűen átírjuk az egyenletet a kívánt formában:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Válasz: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Egy egyenes általános egyenletének elkészítése

Fentebb elmondtuk, hogy az általános egyenlet felírható a normálvektor ismert koordinátáival és annak a pontnak a koordinátáival, amelyen az egyenes áthalad. Egy ilyen egyenest az A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 egyenlet határoz meg. Ott is elemeztük a megfelelő példát.

Most nézzünk többet összetett példák, amelyben először meg kell határozni a normálvektor koordinátáit.

11. példa

Adott a 2 x - 3 y + 3 3 = 0 egyenessel párhuzamos egyenes. Ismert az az M 0 (4, 1) pont is, amelyen az adott egyenes áthalad. Fel kell írni az adott egyenes egyenletét.

Megoldás

A kezdeti feltételek azt mondják, hogy az egyenesek párhuzamosak, majd az egyenes normálvektoraként, amelynek egyenletét fel kell írni, vesszük az n → = (2, - 3) egyenes irányvektorát: 2 x - 3 év + 3 3 = 0. Most már ismerjük az összes szükséges adatot a vonal általános egyenletének létrehozásához:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Válasz: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

12. példa

Az adott egyenes az x - 2 3 = y + 4 5 egyenesre merőleges origón halad át. Adott egyenesre általános egyenletet kell készíteni.

Megoldás

Egy adott egyenes normálvektora az x - 2 3 = y + 4 5 egyenes irányvektora lesz.

Ekkor n → = (3, 5) . Az egyenes átmegy az origón, azaz. az O ponton keresztül (0, 0). Hozzunk létre egy általános egyenletet egy adott egyenesre:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Válasz: 3 x + 5 y = 0 .

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Hagyja, hogy az egyenes átmenjen az M 1 (x 1; y 1) és M 2 (x 2; y 2) pontokon. Az M 1 ponton átmenő egyenes egyenlete y-y 1 = alakú k (x - x 1), (10,6)

Ahol k - még ismeretlen együttható.

Mivel az egyenes az M 2 (x 2 y 2) ponton halad át, ennek a pontnak a koordinátáinak meg kell felelniük a (10.6) egyenletnek: y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).

Innen megtaláljuk a talált érték helyettesítése k a (10.6) egyenletbe az M 1 és M 2 pontokon átmenő egyenes egyenletét kapjuk:

Feltételezzük, hogy ebben az egyenletben x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Ha x 1 = x 2, akkor az M 1 (x 1,y I) és M 2 (x 2,y 2) pontokon átmenő egyenes párhuzamos az ordináta tengellyel. Az egyenlete az x = x 1 .

Ha y 2 = y I, akkor az egyenes egyenlete y = y 1-ként írható fel, az M 1 M 2 egyenes párhuzamos az abszcissza tengellyel.

Egy vonal egyenlete szakaszokban

Az egyenes metsze az Ox tengelyt az M 1 (a;0) pontban, és az Oy tengelyt az M 2 (0;b) pontban. Az egyenlet a következő formában lesz:
azok.
. Ezt az egyenletet ún szakaszokban lévő egyenes egyenlete, mert az a és b számok jelzik, hogy az egyenes mely szakaszokat vágja le a koordinátatengelyeken.

Adott ponton átmenő egyenes egyenlete adott vektorra merőlegesen

Határozzuk meg egy adott Mo (x O; y o) ponton átmenő egyenes egyenletét, amely merőleges egy adott n = (A; B) nem nulla vektorra.

Vegyünk egy tetszőleges M(x; y) pontot az egyenesen, és tekintsük az M 0 M (x - x 0; y - y o) vektort (lásd 1. ábra). Mivel az n és M o M vektorok merőlegesek, a skaláris szorzatuk egyenlő nullával:

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

A (10.8) egyenletet nevezzük egy adott ponton átmenő egyenes egyenlete adott vektorra merőlegesen .

Az egyenesre merőleges n= (A; B) vektort normálnak nevezzük ennek az egyenesnek a normálvektora .

A (10.8) egyenlet átírható így Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

ahol A és B a normálvektor koordinátái, C = -Ax o - Vu o a szabad tag. (10.9) egyenlet az egyenes általános egyenlete(lásd 2. ábra).

Fig.1 Fig.2

Az egyenes kanonikus egyenletei

,

Ahol
- annak a pontnak a koordinátái, amelyen az egyenes áthalad, és
- irányvektor.

Másodrendű görbék Kör

A kör egy adott ponttól egyenlő távolságra lévő sík összes pontjának halmaza, amelyet középpontnak nevezünk.

Sugárkör kanonikus egyenlete R egy pontban középre állítva
:

Különösen, ha a tét középpontja egybeesik a koordináták origójával, akkor az egyenlet így fog kinézni:

Ellipszis

Az ellipszis egy síkon lévő pontok halmaza, amelyek távolságának összege két adott pontig És , amelyeket gócoknak nevezünk, állandó mennyiség
, nagyobb, mint a gócok közötti távolság
.

Egy ellipszis kanonikus egyenlete, amelynek fókuszpontja az Ox tengelyén van, és a koordináták origója a fókuszok között középen a következő alakú
G de a fél-nagy tengely hossza; b – a fél-minor tengely hossza (2. ábra).

Meghatározás. A síkon lévő bármely egyenes megadható egy elsőrendű egyenlettel

Ax + Wu + C = 0,

Sőt, az A és B állandók nem egyenlők egyszerre nullával. Ezt az elsőrendű egyenletet nevezzük egy egyenes általános egyenlete. Az értékektől függően A, B állandóés C a következő speciális esetek lehetségesek:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – az egyenes átmegy az origón

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - az Ox tengellyel párhuzamos egyenes

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – az Oy tengellyel párhuzamos egyenes

B = C = 0, A ≠0 – az egyenes egybeesik az Oy tengellyel

A = C = 0, B ≠0 – az egyenes egybeesik az Ox tengellyel

Az egyenes egyenlete ábrázolható különféle formákban az adott kezdeti feltételektől függően.

Pontból és normálvektorból származó egyenes egyenlete

Meghatározás. A derékszögű derékszögű koordinátarendszerben egy (A, B) komponensű vektor merőleges az egyenesre, egyenlet adja meg Ax + Wu + C = 0.

Példa. Határozzuk meg a (3, -1)-re merőleges A(1, 2) ponton átmenő egyenes egyenletét!

Megoldás. A = 3 és B = -1 esetén állítsuk össze az egyenes egyenletét: 3x – y + C = 0. A C együttható megkereséséhez behelyettesítjük az adott A pont koordinátáit a kapott kifejezésbe. 3 – 2 + C = 0, ezért C = -1 . Összesen: a szükséges egyenlet: 3x – y – 1 = 0.

Két ponton átmenő egyenes egyenlete

Legyen két M 1 (x 1, y 1, z 1) és M 2 (x 2, y 2, z 2) pont adott a térben, akkor az ezeken a pontokon átmenő egyenes egyenlete:

Ha bármelyik nevező nullával egyenlő, akkor a megfelelő számlálónak nullának kell lennie.

ha x 1 ≠ x 2 és x = x 1, ha x 1 = x 2.

A = k törtet nevezzük lejtő egyenes.

Példa. Határozzuk meg az A(1, 2) és B(3, 4) pontokon átmenő egyenes egyenletét!

Megoldás. A fent leírt képlet alkalmazásával a következőt kapjuk:

Egy pontból és lejtőből induló egyenes egyenlete

Ha a teljes Ax + Bu + C = 0, vezessen a következő űrlaphoz:

és kijelölni , akkor a kapott egyenletet nevezzük meredekségű egyenes egyenletek.

Egy pontból induló egyenes és egy irányvektor egyenlete

A normálvektoron átívelő egyenes egyenletét figyelembe vevő ponthoz hasonlóan megadhatja az egyenes definícióját egy ponton keresztül és az egyenes irányítóvektorát.

Meghatározás. Minden olyan nem nulla vektort (α 1, α 2), amelyek összetevői teljesítik az A α 1 + B α 2 = 0 feltételt, az egyenes irányító vektorának nevezzük.

Ax + Wu + C = 0.

Példa. Határozzuk meg egy (1, -1) irányvektorral és az A(1, 2) ponton áthaladó egyenes egyenletét!

Megoldás. A kívánt egyenes egyenletét a következő formában keressük: Ax + By + C = 0. A definíció szerint az együtthatóknak teljesíteniük kell a feltételeket:

1 * A + (-1) * B = 0, azaz. A = B.

Ekkor az egyenes egyenlete a következő: Ax + Ay + C = 0, vagy x + y + C / A = 0. x = 1, y = 2 esetén C/ A = -3, azaz. szükséges egyenlet:

Egy vonal egyenlete szakaszokban

Ha az Ах + Ву + С = 0 С≠0 egyenes általános egyenletében, akkor –С-vel elosztva kapjuk: vagy

Geometriai jelentés együtthatók az, hogy az együttható A az egyenes és az Ox tengellyel való metszéspont koordinátája, és b– az egyenes és az Oy tengely metszéspontjának koordinátája.

Példa. Adott az x – y + 1 = 0 egyenes általános egyenlete. Határozzuk meg ennek az egyenesnek az egyenletét szakaszokban!

C = 1, , a = -1, b = 1.

Egy egyenes normálegyenlete

Ha az Ax + By + C = 0 egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a számmal amelyet úgy hívnak normalizáló tényező, akkor megkapjuk

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

egy egyenes normálegyenlete. A normalizáló tényező előjelét ± úgy kell megválasztani, hogy μ * C legyen< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Példa. Adott a 12x – 5y – 65 = 0 egyenes általános egyenlete. Különféle típusok ennek az egyenesnek egyenletei.

ennek az egyenesnek az egyenlete szegmensekben:

ennek az egyenesnek a meredekségű egyenlete: (oszd 5-tel)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Meg kell jegyezni, hogy nem minden egyenes ábrázolható egyenlettel szakaszokban, például a tengelyekkel párhuzamos vagy a koordináták origóján átmenő egyenesek.

Példa. Az egyenes egyenlő pozitív szakaszokat vág le a koordinátatengelyeken. Írjon egyenletet egy egyenesre, ha az ezen szakaszok által alkotott háromszög területe 8 cm 2!

Megoldás. Az egyenes egyenlete a következő: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Példa. Írjon egyenletet az A(-2, -3) ponton és az origón átmenő egyenesre!

Megoldás. Az egyenes egyenlete: , ahol x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y2 = -3.

Egy síkon lévő egyenesek közötti szög

Meghatározás. Ha két egyenest y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 -t adunk meg, akkor ezen egyenesek hegyesszöge a következőképpen lesz meghatározva.

.

Két egyenes párhuzamos, ha k 1 = k 2. Két egyenes merőleges, ha k 1 = -1/ k 2.

Tétel. Az Ax + Bу + C = 0 és A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 egyenesek párhuzamosak, ha az A 1 = λA, B 1 = λB együtthatók arányosak. Ha szintén C 1 = λC, akkor az egyenesek egybeesnek. Két egyenes metszéspontjának koordinátáit megtaláljuk ezen egyenesek egyenletrendszerének megoldásaként.

Egy adott ponton átmenő egyenes egyenlete egy adott egyenesre merőlegesen

Meghatározás. Az M 1 (x 1, y 1) ponton átmenő és az y = kx + b egyenesre merőleges egyenest a következő egyenlet ábrázolja:

Távolság ponttól vonalig

Tétel. Ha adott egy M(x 0, y 0) pont, akkor az Ax + Bу + C = 0 egyenes távolságát a következőképpen határozzuk meg:

.

Bizonyíték. Legyen M 1 (x 1, y 1) pont az M pontból adott egyenesre ejtett merőleges alapja. Ekkor az M és M 1 pontok közötti távolság:

(1)

Az x 1 és y 1 koordinátákat az egyenletrendszer megoldásával találhatjuk meg:

A rendszer második egyenlete egy adott egyenesre merőleges M 0 ponton átmenő egyenes egyenlete. Ha a rendszer első egyenletét alakra alakítjuk:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + 0 szerint + C = 0,

majd megoldva a következőket kapjuk:

Ezeket a kifejezéseket az (1) egyenletbe behelyettesítve azt kapjuk, hogy:

A tétel bizonyítást nyert.

Példa. Határozza meg a vonalak közötti szöget: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k2=2; tgφ = ; φ= π /4.

Példa. Mutassuk meg, hogy a 3x – 5y + 7 = 0 és a 10x + 6y – 3 = 0 egyenesek merőlegesek.

Megoldás. Azt találjuk, hogy k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, tehát az egyenesek merőlegesek.

Példa. Adottak az A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) háromszög csúcsai. Határozzuk meg a C csúcsból húzott magasság egyenletét!

Megoldás. Megtaláljuk az AB oldal egyenletét: ; 4 x = 6 év – 6;

2 x – 3 év + 3 = 0;

A szükséges magassági egyenlet a következő: Ax + By + C = 0 vagy y = kx + b. k = . Ekkor y = . Mert magasság áthalad a C ponton, akkor a koordinátái teljesülnek ezt az egyenletet: ahonnan b = 17. Összesen: .

Válasz: 3 x + 2 év – 34 = 0.

Egy síkon lévő egyenes egyenlete.

Mint ismeretes, a sík bármely pontját két koordináta határozza meg valamilyen koordinátarendszerben. A koordinátarendszerek a bázis és az eredet megválasztásától függően eltérőek lehetnek.

Meghatározás. Vonalegyenlet Ezt az egyenest alkotó pontok koordinátái közötti y = f(x) összefüggésnek nevezzük.

Megjegyzendő, hogy egy egyenes egyenlete kifejezhető paraméteresen, azaz minden pont minden koordinátája valamilyen független paraméteren keresztül van kifejezve. t.

Tipikus példa egy mozgó pont pályája. Ebben az esetben a paraméter szerepét az idő játssza.

Egy síkon lévő egyenes egyenlete.

Meghatározás. A síkon lévő bármely egyenes megadható egy elsőrendű egyenlettel

Ax + Wu + C = 0,

Ráadásul az A és B állandók nem egyenlők egyszerre nullával, azaz. A 2 + B 2  0. Ezt az elsőrendű egyenletet nevezzük egy egyenes általános egyenlete.

Az A, B és C állandók értékétől függően a következő speciális esetek lehetségesek:

C = 0, A  0, B  0 – az egyenes átmegy az origón

A = 0, B  0, C  0 (By + C = 0) - az Ox tengellyel párhuzamos egyenes

B = 0, A  0, C  0 (Ax + C = 0) – az Oy tengellyel párhuzamos egyenes

B = C = 0, A  0 – az egyenes egybeesik az Oy tengellyel

A = C = 0, B  0 – az egyenes egybeesik az Ox tengellyel

Az egyenes egyenlete az adott kezdeti feltételektől függően különböző formában is bemutatható.

Egy pontból induló egyenes és egy normálvektor egyenlete.

Meghatározás. A derékszögű derékszögű koordinátarendszerben egy (A, B) komponensű vektor merőleges az Ax + By + C = 0 egyenlet által adott egyenesre.

Példa. Határozzuk meg a vektorra merőleges A(1, 2) ponton átmenő egyenes egyenletét (3, -1).

Ha A = 3 és B = -1, állítsuk össze az egyenes egyenletét: 3x – y + C = 0. A C együttható megtalálásához behelyettesítjük az adott A pont koordinátáit a kapott kifejezésbe.

Kapjuk: 3 – 2 + C = 0, ezért C = -1.

Összesen: a szükséges egyenlet: 3x – y – 1 = 0.

Két ponton átmenő egyenes egyenlete.

Legyen két M 1 (x 1, y 1, z 1) és M 2 (x 2, y 2, z 2) pont adott a térben, akkor az ezeken a pontokon átmenő egyenes egyenlete:

Ha bármelyik nevező nulla, akkor a megfelelő számlálót nullára kell állítani.

A síkon a fent leírt egyenes egyenlete leegyszerűsödik:

ha x 1  x 2 és x = x 1, ha x 1 = x 2.

Töredék
=k hívják lejtő egyenes.

Példa. Határozzuk meg az A(1, 2) és B(3, 4) pontokon átmenő egyenes egyenletét!

A fent leírt képlet alkalmazásával a következőt kapjuk:

Egy egyenes egyenlete pont és meredekség felhasználásával.

Ha az Ax + By + C = 0 egyenes általános egyenletét a következő alakra redukáljuk:

és kijelölni
, akkor a kapott egyenletet nevezzük meredekségű egyenes egyenletek.

Egy pontból induló egyenes és egy irányvektor egyenlete.

A normálvektoron átívelő egyenes egyenletét figyelembe vevő ponthoz hasonlóan megadhatja az egyenes definícióját egy ponton keresztül és az egyenes irányítóvektorát.

Meghatározás. Minden nem nulla vektor ( 1,  2), amelynek összetevői kielégítik az A 1 + B 2 = 0 feltételt, az egyenes irányító vektorának nevezzük.

Ax + Wu + C = 0.

Példa. Határozzuk meg az irányvektorral rendelkező egyenes egyenletét! (1, -1) és áthaladva az A(1, 2) ponton.

A kívánt egyenes egyenletét a következő formában keressük: Ax + By + C = 0. A definíció szerint az együtthatóknak teljesíteniük kell a feltételeket:

1A + (-1)B = 0, azaz. A = B.

Ekkor az egyenes egyenlete a következő: Ax + Ay + C = 0, vagy x + y + C/A = 0.

x = 1, y = 2 esetén C/A = -3-at kapunk, azaz. szükséges egyenlet:

Egyenes egyenlete szakaszokban.

Ha az Ах + Ву + С = 0 С 0 egyenes általános egyenletében, akkor –С-vel elosztva kapjuk:
vagy

, Ahol

Az együtthatók geometriai jelentése az, hogy az együttható A az egyenes és az Ox tengellyel való metszéspont koordinátája, és b– az egyenes és az Oy tengely metszéspontjának koordinátája.

Példa. Adott az x – y + 1 = 0 egyenes általános egyenlete. Határozzuk meg ennek az egyenesnek az egyenletét szakaszokban!

C = 1,
, a = -1,b = 1.

Egy egyenes normálegyenlete.

Ha az Ax + By + C = 0 egyenlet mindkét oldalát elosztjuk a számmal
amelyet úgy hívnak normalizáló tényező, akkor megkapjuk

xcos + ysin - p = 0 -

egy egyenes normálegyenlete.

A normalizáló tényező  előjelét úgy kell megválasztani, hogy С< 0.

p az origóból az egyenesbe ejtett merőleges hossza,  pedig a merőleges által az Ox tengely pozitív irányával bezárt szög.

Példa. Adott a 12x – 5y – 65 = 0 egyenes általános egyenlete. Ehhez a sorhoz különféle típusú egyenleteket kell felírni.

ennek az egyenesnek az egyenlete szegmensekben:

ennek az egyenesnek a meredekségű egyenlete: (oszd 5-tel)

egy egyenes normál egyenlete:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p = 5.

Meg kell jegyezni, hogy nem minden egyenes ábrázolható egyenlettel szakaszokban, például a tengelyekkel párhuzamos vagy a koordináták origóján átmenő egyenesek.

Példa. Az egyenes egyenlő pozitív szakaszokat vág le a koordinátatengelyeken. Írjon egyenletet egy egyenesre, ha az ezen szakaszok által alkotott háromszög területe 8 cm 2!

Az egyenes egyenlete:
a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 nem megfelelő a feladat feltételei szerint.

Teljes:
vagy x + y – 4 = 0.

Példa.Írjon egyenletet az A(-2, -3) ponton és az origón átmenő egyenesre!

Az egyenes egyenlete:
, ahol x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y2 = -3.

Egy síkon lévő egyenesek közötti szög.

Meghatározás. Ha két egyenest y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 -t adunk meg, akkor ezen egyenesek hegyesszöge a következőképpen lesz meghatározva.

.

Két egyenes párhuzamos, ha k 1 = k 2.

Két egyenes merőleges, ha k 1 = -1/k 2 .

Tétel. Az Ax + Wu + C = 0 és A közvetlen vonalak 1 x + B 1 y + C 1 = 0 párhuzamos, ha az A együtthatók arányosak 1 =  A, B 1 =  B. Ha C 1 =  C, akkor a vonalak egybeesnek.

Két egyenes metszéspontjának koordinátáit megtaláljuk ezen egyenesek egyenletrendszerének megoldásaként.

Adott ponton átmenő egyenes egyenlete

merőleges erre az egyenesre.

Meghatározás. Az M 1 (x 1, y 1) ponton átmenő és az y = kx + b egyenesre merőleges egyenest a következő egyenlet ábrázolja:

Távolság egy ponttól egy vonalig.

Tétel. Ha az M(x) pont adott 0 , y 0 ), akkor az Ах + Ву + С =0 egyenes távolságát a következőképpen határozzuk meg

.

Bizonyíték. Legyen M 1 (x 1, y 1) pont az M pontból adott egyenesre ejtett merőleges alapja. Ekkor az M és M 1 pontok közötti távolság:

Az x 1 és y 1 koordinátákat az egyenletrendszer megoldásával találhatjuk meg:

A rendszer második egyenlete egy adott egyenesre merőleges M 0 ponton átmenő egyenes egyenlete.

Ha a rendszer első egyenletét alakra alakítjuk:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + 0 szerint + C = 0,

majd megoldva a következőket kapjuk:

Ezeket a kifejezéseket az (1) egyenletbe behelyettesítve azt kapjuk, hogy:

.

A tétel bizonyítást nyert.

Példa. Határozza meg a vonalak közötti szöget: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tg =
;  = /4.

Példa. Mutassuk meg, hogy a 3x – 5y + 7 = 0 és a 10x + 6y – 3 = 0 egyenesek merőlegesek.

Azt találjuk, hogy k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, tehát az egyenesek merőlegesek.

Példa. Adottak az A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) háromszög csúcsai. Határozzuk meg a C csúcsból húzott magasság egyenletét!

Megtaláljuk az AB oldal egyenletét:
; 4x = 6y – 6;

2x – 3 év + 3 = 0;

A szükséges magassági egyenlet a következő: Ax + By + C = 0 vagy y = kx + b.

k = . Ekkor y =
. Mert a magasság áthalad a C ponton, akkor a koordinátái kielégítik ezt az egyenletet:
ahol b = 17. Összesen:
.

Válasz: 3x + 2y – 34 = 0.

Analitikus geometria a térben.

Egy egyenes egyenlete a térben.

Egyenlet egy egyenes térben adott pont és

irányvektor.

Vegyünk egy tetszőleges egyenest és egy vektort (m, n, p), párhuzamos az adott egyenessel. Vektor hívott útmutató vektor egyenes.

Az egyenesre felveszünk két tetszőleges M 0 (x 0, y 0, z 0) és M (x, y, z) pontot.

z

M 1

Jelöljük ezeknek a pontoknak a sugárvektorait mint És , ez nyilvánvaló - =
.

Mert vektorok
És kollineárisak, akkor az összefüggés igaz
= t, ahol t valamilyen paraméter.

Összességében ezt írhatjuk: = + t.

Mert ezt az egyenletet az egyenes bármely pontjának koordinátái kielégítik, akkor a kapott egyenlet: egy egyenes paraméteres egyenlete.

Ez a vektoregyenlet koordináta alakban ábrázolható:

Ezt a rendszert átalakítva és a t paraméter értékeit egyenlővé téve azt kapjuk, hogy kanonikus egyenletek egyenes vonal a térben:

.

Meghatározás. Iránykoszinusz közvetlenek a vektor iránykoszinuszai , amely a következő képletekkel számítható ki:

;

.

Innen kapjuk: m: n: p = cos : cos : cos.

Az m, n, p számokat nevezzük szögegyütthatók egyenes. Mert nem nulla vektor, akkor m, n és p nem lehet egyenlő nullával egyszerre, de ezek közül egy vagy kettő lehet nulla. Ebben az esetben az egyenes egyenletében a megfelelő számlálókat nullára kell állítani.

Egyenlet egy egyenes térben haladva

két ponton keresztül.

Ha egy térbeli egyenesen kijelölünk két tetszőleges pontot M 1 (x 1, y 1, z 1) és M 2 (x 2, y 2, z 2), akkor ezeknek a pontoknak a koordinátáinak ki kell elégíteniük az egyenes egyenletet. fent kapott:

.

Ezenkívül az M 1 pontra írhatjuk:

.

Ezeket az egyenleteket együtt megoldva a következőt kapjuk:

.

Ez a tér két pontján átmenő egyenes egyenlete.

Egyenes térbeli általános egyenletei.

Az egyenes egyenlete két sík metszésvonalának egyenletének tekinthető.

Amint azt fentebb tárgyaltuk, egy vektor formájú síkot a következő egyenlettel lehet megadni:

+ D = 0, ahol

- normál sík; - a sugár egy tetszőleges pont vektora a síkon.

Két ponton átmenő egyenes egyenlete. A cikkben" " Megígértem, hogy megvizsgálja a derivált megtalálásának bemutatott problémáinak megoldásának második módját, egy függvény grafikonjával és a gráf érintőjével. Ebben a módszerről beszélünk , ne hagyja ki! Miért a következőben?

A helyzet az, hogy ott az egyenes egyenletének képletét fogják használni. Természetesen egyszerűen megmutathatnánk ezt a képletet, és tanácsolhatnánk, hogy tanulja meg. De jobb, ha elmagyarázza, honnan származik (hogyan származik). Ez szükséges! Ha elfelejti, gyorsan visszaállíthatjanem lesz nehéz. Az alábbiakban mindent részletesen felvázolunk. Tehát van két A pontunk a koordinátasíkon(x 1;y 1) és B(x 2;y 2) egy egyenest húzunk a jelzett pontokon:

Íme maga a közvetlen képlet:

*Azaz a pontok meghatározott koordinátáinak behelyettesítésekor egy y=kx+b alakú egyenletet kapunk.

**Ha egyszerűen „memorizálja” ezt a képletet, akkor nagy a valószínűsége annak, hogy összetévesztik az indexekkel, amikor x. Ezenkívül az indexek különböző módon jelölhetők ki, például:

Ezért fontos megérteni a jelentését.

Most ennek a képletnek a levezetése. Minden nagyon egyszerű!

Az ABE és az ACF háromszögek hegyesszögükben hasonlóak (a hasonlóság első jele derékszögű háromszögek). Ebből következik, hogy a megfelelő elemek aránya egyenlő, azaz:

Most egyszerűen kifejezzük ezeket a szegmenseket a pontok koordinátáinak különbségén keresztül:

Természetesen nem lesz hiba, ha az elemek kapcsolatait más sorrendben írja le (a lényeg a következetesség megőrzése):

Az eredmény az egyenes egyenlete lesz. Ez mind!

Vagyis nem számít, hogyan jelöljük ki magukat a pontokat (és koordinátáikat), ennek a képletnek a megértésével mindig megtalálja az egyenes egyenletét.

A képlet származtatható a vektorok tulajdonságaiból, de a levezetés elve ugyanaz lesz, hiszen koordinátáik arányosságáról lesz szó. Ebben az esetben a derékszögű háromszögek azonos hasonlósága működik. Véleményem szerint a fent leírt következtetés egyértelműbb)).

A kimenet megtekintése vektorkoordinátákkal >>>

A kettőn átmenő koordinátasíkon legyen egy egyenes adott pontokat A(x1;y1) és B(x2;y2). Jelöljünk egy tetszőleges C pontot az egyenesen koordinátákkal ( x; y). Két vektort is jelölünk:

Ismeretes, hogy a párhuzamos egyeneseken (vagy ugyanazon az egyenesen) fekvő vektorok megfelelő koordinátái arányosak, azaz:

— felírjuk a megfelelő koordináták arányainak egyenlőségét:

Nézzünk egy példát:

Határozzuk meg egy (2;5) és (7:3) koordinátájú ponton átmenő egyenes egyenletét!

Még magát az egyenest sem kell megépítenie. A képletet alkalmazzuk:

Fontos, hogy az arányszámításkor megértse a megfelelést. Nem tévedhetsz, ha azt írod:

Válasz: y=-2/5x+29/5 megy y=-0,4x+5,8

Annak érdekében, hogy megbizonyosodjon arról, hogy a kapott egyenlet helyesen található, feltétlenül ellenőrizze - cserélje ki az adatok koordinátáit a pontok állapotában. Az egyenleteknek helyesnek kell lenniük.

Ez minden. Remélem, hogy az anyag hasznos volt az Ön számára.

Üdvözlettel, Alexander.

P.S: Hálás lennék, ha mesélne az oldalról a közösségi oldalakon.