Riešime pomocou intervalovej metódy. Riešenie racionálnych nerovníc pomocou intervalovej metódy

Intervalová metóda– jednoduchý spôsob riešenia zlomkových racionálnych nerovností. Toto je názov pre nerovnosti obsahujúce racionálne (alebo zlomkovo-racionálne) výrazy, ktoré závisia od premennej.

1. Zvážte napríklad nasledujúcu nerovnosť

Intervalová metóda vám to umožní vyriešiť za pár minút.

Na ľavej strane tejto nerovnosti je zlomková racionálna funkcia. Racionálne, pretože neobsahuje odmocniny, sínusy ani logaritmy – iba racionálne výrazy. Na pravej strane je nula.

Intervalová metóda je založená na nasledujúcej vlastnosti zlomkovej racionálnej funkcie.

Zlomková racionálna funkcia môže zmeniť znamienko iba v tých bodoch, v ktorých sa rovná nule alebo v ktorých neexistuje.

Pripomeňme si, ako faktorizovať kvadratická trojčlenka, teda vyjadrenie tvaru .

Kde a sú korene kvadratická rovnica.

Nakreslíme os a umiestnime body, v ktorých čitateľ a menovateľ idú na nulu.

Nuly menovateľa a sú prepichnuté body, pretože v týchto bodoch funkcia na ľavej strane nerovnosti nie je definovaná (nulou sa nedá deliť). Nuly v čitateli a - sú vytieňované, pretože nerovnosť nie je striktná. Kedy a naša nerovnosť je uspokojená, keďže obe jej strany sú rovné nule.

Tieto body rozdeľujú os na intervaly.

Určme znamienko zlomkovej racionálnej funkcie na ľavej strane našej nerovnosti na každom z týchto intervalov. Pamätáme si, že zlomková racionálna funkcia môže zmeniť znamienko iba v tých bodoch, v ktorých sa rovná nule alebo v ktorých neexistuje. To znamená, že v každom z intervalov medzi bodmi, kde sa čitateľ alebo menovateľ dostane na nulu, bude znamienko výrazu na ľavej strane nerovnosti konštantné - buď „plus“ alebo „mínus“.

A preto, aby sme určili znamienko funkcie na každom takomto intervale, vezmeme ľubovoľný bod patriaci do tohto intervalu. Ten, ktorý je pre nás pohodlný.
. Vezmite si napríklad a skontrolujte znamienko výrazu na ľavej strane nerovnosti. Každý z "zátvoriek" je negatívny. Na ľavej strane je znak.

Ďalší interval: . Pozrime sa na znak na . Chápeme to ľavá strana zmenil znamienko na .

Vezmime si to. Keď je výraz kladný - teda je kladný v celom intervale od do.

Keď je ľavá strana nerovnosti záporná.

A nakoniec class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Zistili sme, v akých intervaloch je výraz kladný. Zostáva už len napísať odpoveď:

Odpoveď: .

Upozornenie: intervaly sa striedajú. Stalo sa to preto pri prechode každým bodom práve jeden z lineárnych faktorov zmenil znamienko, zatiaľ čo zvyšok ho ponechal nezmenený.

Vidíme, že intervalová metóda je veľmi jednoduchá. Aby sme zlomkovo-racionálnu nerovnosť vyriešili intervalovou metódou, zredukujeme ju do tvaru:

Alebo class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, alebo alebo .

(na ľavej strane je zlomková racionálna funkcia, na pravej strane je nula).

Potom na číselnej osi označíme body, v ktorých ide čitateľ alebo menovateľ k nule.
Tieto body rozdeľujú celú číselnú os na intervaly, na každom z nich si zlomkovo-racionálna funkcia zachováva svoje znamienko.
Zostáva len zistiť jeho znamenie v každom intervale.
Urobíme to tak, že skontrolujeme znamienko výrazu v ľubovoľnom bode patriacom do daného intervalu. Potom si odpoveď zapíšeme. To je všetko.

Vynára sa však otázka: striedajú sa znamenia vždy? Nie vždy! Musíte byť opatrní a neumiestňovať značky mechanicky a bezmyšlienkovite.

2. Zoberme si ďalšiu nerovnosť.

Class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \ vľavo(x-3 \vpravo))>0"> !}

Znova umiestnite body na os. Bodky a sú prepichnuté, pretože sú nulami menovateľa. Bod je tiež vyrezaný, pretože nerovnosť je prísna.

Keď je čitateľ kladný, oba faktory v menovateli sú záporné. Dá sa to jednoducho skontrolovať tak, že zoberiete ľubovoľné číslo z daného intervalu, napríklad . Na ľavej strane je znak:

Keď je čitateľ kladný; Prvý faktor v menovateli je kladný, druhý faktor je záporný. Na ľavej strane je znak:

Situácia je rovnaká! Čitateľ je kladný, prvý faktor v menovateli je kladný, druhý záporný. Na ľavej strane je znak:

Nakoniec pomocou class="tex" alt="x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Odpoveď: .

Prečo bolo striedanie znakov narušené? Pretože pri prechode bodom je zaň „zodpovedný“ násobiteľ nezmenil znamienko. V dôsledku toho celá ľavá strana našej nerovnosti nezmenila znamienko.

Záver: ak je lineárny multiplikátor párnou mocninou (napríklad druhou mocninou), potom pri prechode bodom sa znamienko výrazu na ľavej strane nemení. V prípade nepárneho stupňa sa znamienko samozrejme mení.

3. Uvažujme o zložitejšom prípade. Od predchádzajúceho sa líši tým, že nerovnosť nie je striktná:

Ľavá strana je rovnaká ako v predchádzajúcom probléme. Obrázok značiek bude rovnaký:

Možno bude odpoveď rovnaká? Nie! Pridá sa riešenie Stáva sa to preto, že ľavá aj pravá strana nerovnosti sa rovnajú nule – preto je tento bod riešením.

Odpoveď: .

Táto situácia sa často vyskytuje pri úlohách na Jednotnej štátnej skúške z matematiky. Tu sa žiadatelia dostanú do pasce a stratia body. Buď opatrný!

4. Čo robiť, ak čitateľa alebo menovateľa nemožno zahrnúť do lineárnych faktorov? Zvážte túto nerovnosť:

Štvorcový trojčlen nemožno rozdeliť na faktor: diskriminant je záporný, neexistujú žiadne korene. Ale toto je dobré! To znamená, že znak výrazu pre všetkých je rovnaký a konkrétne pozitívny. Viac sa o tom dočítate v článku o vlastnostiach kvadratických funkcií.

A teraz môžeme obe strany našej nerovnosti rozdeliť hodnotou, ktorá je pozitívna pre všetkých. Dostaňme sa k ekvivalentnej nerovnosti:

Čo sa dá ľahko vyriešiť pomocou intervalovej metódy.

Upozorňujeme, že obe strany nerovnosti sme vydelili hodnotou, o ktorej sme s istotou vedeli, že je kladná. Samozrejme, vo všeobecnosti by ste nemali násobiť ani deliť nerovnosť premennou, ktorej znamienko je neznáme.

5 . Zoberme si ďalšiu nerovnosť, zdanlivo celkom jednoduchú:

Chcem to len vynásobiť . Ale už sme múdri a neurobíme to. Koniec koncov, môže to byť pozitívne aj negatívne. A vieme, že ak sa obe strany nerovnosti vynásobia zápornou hodnotou, znamienko nerovnosti sa zmení.

Urobíme to inak – všetko pozbierame do jednej časti a privedieme k spoločnému menovateľovi. Pravá strana zostane nula:

Class="tex" alt="\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

A potom - aplikujte intervalová metóda.

Najprv trochu textov, aby ste si uvedomili problém, ktorý intervalová metóda rieši. Povedzme, že potrebujeme vyriešiť nasledujúcu nerovnosť:

(x − 5) (x + 3) > 0

Aké sú možnosti? Prvá vec, ktorá príde na myseľ väčšine študentov, sú pravidlá „plus na plus dáva plus“ a „mínus na mínus dáva plus“. Preto stačí zvážiť prípad, keď sú obe zátvorky kladné: x − 5 > 0 a x + 3 > 0. Potom uvažujeme aj prípad, keď sú obe zátvorky záporné: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Pokročilejší študenti si (možno) pamätajú, že vľavo je kvadratickej funkcie, ktorého graf je parabola. Okrem toho táto parabola pretína os OX v bodoch x = 5 a x = -3. Pre ďalšiu prácu musíte otvoriť zátvorky. Máme:

x 2 − 2x − 15 > 0

Teraz je jasné, že vetvy paraboly smerujú nahor, pretože koeficient a = 1 > 0. Skúsme nakresliť diagram tejto paraboly:

Funkcia je väčšia ako nula tam, kde prechádza nad osou OX. V našom prípade sú to intervaly (−∞ −3) a (5; +∞) – toto je odpoveď.

Poznámka: Obrázok ukazuje presne funkčný diagram, nie jej rozvrh. Pretože pre skutočný graf potrebujete počítať súradnice, počítať posuny a iné svinstvá, ktoré nám zatiaľ absolútne chýbajú.

Prečo sú tieto metódy neúčinné?

Zvažovali sme teda dve riešenia tej istej nerovnosti. Obaja sa ukázali byť dosť ťažkopádne. Vyvstáva prvé rozhodnutie - len o tom premýšľajte! — súbor systémov nerovností. Druhé riešenie tiež nie je príliš jednoduché: musíte si zapamätať graf paraboly a kopu ďalších malých faktov.

Bola to veľmi jednoduchá nerovnosť. Má iba 2 multiplikátory. Teraz si predstavte, že nebudú 2, ale aspoň 4 multiplikátory.

(x − 7) (x − 1) (x + 4) (x + 9)< 0

Ako vyriešiť takúto nerovnosť? Prechádzať všetkými možnými kombináciami pre a proti? Áno, zaspíme rýchlejšie, ako nájdeme riešenie. Kreslenie grafu tiež neprichádza do úvahy, pretože nie je jasné, ako sa takáto funkcia správa v rovine súradníc.

Pre takéto nerovnosti je potrebný špeciálny algoritmus riešenia, ktorý dnes zvážime.

Čo je to intervalová metóda

Intervalová metóda je špeciálny algoritmus určený na riešenie komplexné nerovnosti tvaru f (x) > 0 a f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

Riešte rovnicu f (x) = 0. Namiesto nerovnice teda dostaneme rovnicu, ktorá sa rieši oveľa jednoduchšie;
Označte všetky získané korene na súradnicovej čiare. Takto bude priamka rozdelená na niekoľko intervalov;
Zistite znamienko (plus alebo mínus) funkcie f (x) na intervale úplne vpravo. Na to stačí do f (x) dosadiť ľubovoľné číslo, ktoré bude napravo od všetkých označených koreňov;
Označte značky v zostávajúcich intervaloch. Aby ste to urobili, nezabudnite, že pri prechode cez každý koreň sa znamenie mení.

To je všetko! Potom už ostáva len zapisovať si intervaly, ktoré nás zaujímajú. Sú označené znamienkom „+“, ak bola nerovnosť v tvare f (x) > 0, alebo znamienkom „–“, ak nerovnosť bola v tvare f (x).< 0.

Na prvý pohľad sa môže zdať, že intervalová metóda je nejaká plechová vec. Ale v praxi bude všetko veľmi jednoduché. Stačí si trochu zacvičiť a všetko bude jasné. Pozrite si príklady a presvedčte sa sami:

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

(x − 2) (x + 7)< 0

Pracujeme intervalovou metódou. Krok 1: nahraďte nerovnosť rovnicou a vyriešte ju:

(x − 2) (x + 7) = 0

Súčin sa rovná nule práve vtedy, ak je aspoň jeden z faktorov rovná nule:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Máme dva korene. Prejdime na krok 2: označte tieto korene na súradnicovej čiare. Máme:

Teraz krok 3: nájdite znamienko funkcie na intervale úplne vpravo (napravo od označeného bodu x = 2). Ak to chcete urobiť, musíte si vziať ľubovoľné číslo ďalšie číslo x = 2. Zoberme si napríklad x = 3 (nikto však nezakazuje vziať x = 4, x = 10 a dokonca x = 10 000). Dostaneme:

f (x) = (x - 2) (x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 − 2) (3 + 7) = 110 = 10;

Zistíme, že f (3) = 10 > 0, takže znamienko plus vložíme do intervalu úplne vpravo.

Prejdime k poslednému bodu - musíme si všimnúť znamienka na zostávajúcich intervaloch. Pamätáme si, že pri prechode cez každý koreň sa musí znamienko zmeniť. Napríklad napravo od koreňa x = 2 je plus (o tom sme sa presvedčili v predchádzajúcom kroku), takže vľavo musí byť mínus.

Toto mínus sa vzťahuje na celý interval (−7; 2), takže napravo od koreňa x = −7 je mínus. Preto je naľavo od koreňa x = −7 plus. Zostáva označiť tieto znaky na súradnicovej osi. Máme:

Vráťme sa k pôvodnej nerovnosti, ktorá mala tvar:

(x − 2) (x + 7)< 0

Takže funkcia by mala byť menej ako nula. To znamená, že nás zaujíma znamienko mínus, ktoré sa vyskytuje iba na jednom intervale: (−7; 2). Toto bude odpoveď.

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

(x + 9) (x − 3) (1 − x )< 0

Krok 1: nastavte ľavú stranu na nulu:

(x + 9) (x − 3) (1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Pamätajte: súčin sa rovná nule, keď sa aspoň jeden z faktorov rovná nule. Preto máme právo prirovnať každú jednotlivú skupinu k nule.

Krok 2: Označte všetky korene na súradnicovej čiare:

Krok 3: zistite znamienko medzery úplne vpravo. Zoberieme akékoľvek číslo, ktoré je väčšie ako x = 1. Napríklad môžeme vziať x = 10. Máme:

f (x) = (x + 9) (x − 3) (1 − x);
x = 10;
f (10) = (10 + 9) (10 − 3) (1 − 10) = 19 · 7 · (−9) = − 1197;
f (10) = -1197< 0.

Krok 4: Umiestnite zvyšné značky. Pamätáme si, že pri prechode cez každý koreň sa znamienko mení. V dôsledku toho bude náš obrázok vyzerať takto:

To je všetko. Zostáva už len zapísať odpoveď. Pozrite sa ešte raz na pôvodnú nerovnosť:

(x + 9) (x − 3) (1 − x )< 0

Toto je nerovnosť tvaru f(x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (-9; 1) ∪ (3; +∞)

Toto je odpoveď.

Poznámka k funkčným znakom

Prax ukazuje, že najväčšie ťažkosti pri intervalovej metóde vznikajú v posledných dvoch krokoch, t.j. pri umiestňovaní značiek. Mnoho študentov začína byť zmätených: ktoré čísla si vziať a kam umiestniť značky.

Aby ste konečne pochopili intervalovú metódu, zvážte dve pozorovania, na ktorých je založená:

Spojitá funkcia mení znamienko iba v týchto bodoch kde sa rovná nule. Takéto body rozdeľujú súradnicovú os na časti, v rámci ktorých sa znamienko funkcie nikdy nemení. Preto riešime rovnicu f (x) = 0 a nájdené korene označíme na priamke. Nájdené čísla sú „hraničné“ body oddeľujúce klady a zápory.
Na zistenie znamienka funkcie na ľubovoľnom intervale stačí do funkcie dosadiť ľubovoľné číslo z tohto intervalu. Napríklad pre interval (−5; 6) máme právo vziať x = −4, x = 0, x = 4 a dokonca x = 1,29374, ak chceme. Prečo je to dôležité? Áno, pretože v mnohých študentoch začínajú hlodať pochybnosti. Napríklad, čo ak pre x = −4 dostaneme plus a pre x = 0 dostaneme mínus? Ale nikdy sa nič také nestane. Všetky body na rovnakom intervale dávajú rovnaké znamienko. Zapamätaj si to.

To je všetko, čo potrebujete vedieť o intervalovej metóde. Samozrejme, že sme to rozobrali jednoduchá verzia. Existujú zložitejšie nerovnosti - neprísne, zlomkové a s opakovanými koreňmi. Môžete na ne použiť aj intervalovú metódu, ale to je téma na samostatnú veľkú lekciu.

Teraz by som sa rád pozrel na pokročilú techniku, ktorá výrazne zjednodušuje intervalovú metódu. Presnejšie povedané, zjednodušenie sa týka len tretieho kroku – výpočtu znamienka na pravom krajnom kúsku riadku. Z nejakého dôvodu sa táto technika na školách nevyučuje (aspoň mi to nikto nevysvetlil). Ale márne - pretože v skutočnosti je tento algoritmus veľmi jednoduchý.

Znamienko funkcie je teda na pravej strane číselnej osi. Tento kúsok má tvar (a ; +∞), kde a je najväčší koreň rovnice f (x) = 0. Aby ste sa nezbláznili, uvažujme o konkrétnom príklade:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f (x) = (x - 1) (2 + x) (7 - x);
(x − 1) (2 + x) (7 − x) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = -2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Máme 3 korene. Uveďme ich vo vzostupnom poradí: x = −2, x = 1 a x = 7. Je zrejmé, že najväčší koreň je x = 7.

Pre tých, ktorým sa to ľahšie graficky zdôvodňuje, označím tieto korene na súradnicovej čiare. Poďme sa pozrieť čo sa stalo:

Je potrebné nájsť znamienko funkcie f (x) na intervale úplne vpravo, t.j. až (7; +∞). Ale ako sme už uviedli, na určenie znamenia môžete vziať akékoľvek číslo z tohto intervalu. Môžete napríklad vziať x = 8, x = 150 atď. A teraz – tá istá technika, aká sa na školách neučí: berme nekonečno ako číslo. Presnejšie, plus nekonečno, t.j. +∞.

„Si ukameňovaný? Ako môžete nahradiť nekonečno funkciou?" - mohli by ste sa opýtať. Ale premýšľajte o tom: nepotrebujeme hodnotu samotnej funkcie, potrebujeme iba znamienko. Preto napríklad hodnoty f (x) = −1 a f (x) = −938 740 576 215 znamenajú to isté: funkcia na tomto intervale je záporná. Preto všetko, čo sa od vás vyžaduje, je nájsť znamienko, ktoré sa objavuje v nekonečne, a nie hodnotu funkcie.

V skutočnosti je náhrada nekonečna veľmi jednoduchá. Vráťme sa k našej funkcii:

f (x) = (x − 1) (2 + x) (7 − x)

Predstavte si, že x je veľmi veľké číslo. Miliarda alebo dokonca bilión. Teraz sa pozrime, čo sa stane v každej zátvorke.

Prvá zátvorka: (x − 1). Čo sa stane, ak odpočítate jednu od miliardy? Výsledkom bude číslo, ktoré sa príliš nelíši od miliardy a toto číslo bude kladné. Podobne s druhou zátvorkou: (2 + x). Ak pridáte miliardu k dvom, dostanete miliardu a kopejky - to je kladné číslo. Nakoniec tretia zátvorka: (7 − x). Tu bude mínus miliarda, z ktorej sa „odhryzol“ žalostný kúsok v podobe sedmičky. Tie. výsledné číslo sa nebude veľmi líšiť od mínus miliardy - bude záporné.

Zostáva len nájsť znak celého diela. Keďže sme mali v prvých zátvorkách plus a v poslednej mínus, dostaneme nasledujúcu konštrukciu:

(+) · (+) · (−) = (−)

Konečné znamenie je mínus! A nezáleží na tom, akú hodnotu má samotná funkcia. Hlavná vec je, že táto hodnota je záporná, t.j. interval úplne vpravo má znamienko mínus. Zostáva len dokončiť štvrtý krok intervalovej metódy: usporiadať všetky znaky. Máme:

Pôvodná nerovnosť bola:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0

Preto nás zaujímajú intervaly označené znamienkom mínus. Napíšeme odpoveď:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

To je celý trik, ktorý som vám chcel povedať. Na záver je tu ďalšia nerovnosť, ktorú je možné vyriešiť intervalovou metódou pomocou nekonečna. Pre vizuálne skrátenie riešenia nebudem písať čísla krokov a podrobné komentáre. Napíšem len to, čo naozaj potrebujete napísať pri riešení skutočných problémov:

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

x (2x + 8) (x − 3) > 0

Nerovnosť nahradíme rovnicou a vyriešime ju:

x (2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Označíme všetky tri korene na súradnicovej línii (s znamienkami naraz):

Na pravej strane súradnicovej osi je plus, pretože funkcia vyzera takto:

f (x) = x (2x + 8) (x − 3)

A ak dosadíme nekonečno (napríklad miliardu), dostaneme tri kladné zátvorky. Keďže pôvodný výraz musí byť väčší ako nula, zaujímajú nás len pozitíva. Zostáva už len napísať odpoveď:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

Ale dnes racionálne nerovnosti nedokážu vyriešiť všetko. Presnejšie, rozhodnúť sa môže nielen každý. Toto dokáže málokto.
Kličko

Táto lekcia bude náročná. Tak ťažké, že do konca sa dostanú len Vyvolení. Preto pred začatím čítania odporúčam odstrániť z obrazoviek ženy, mačky, tehotné deti a....

No tak, je to vlastne jednoduché. Povedzme, že ste zvládli intervalovú metódu (ak ste ju neovládali, odporúčam vrátiť sa a prečítať si ju) a naučili ste sa riešiť nerovnice tvaru $P\left(x \right) \gt 0$, kde $ P\left(x \right)$ je nejaký polynóm alebo súčin polynómov.

Verím, že pre vás nebude ťažké vyriešiť napríklad niečo takéto (mimochodom, skúste to ako rozcvičku):

\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

Teraz si problém trochu skomplikujeme a uvažujme nielen o polynómoch, ale aj o takzvaných racionálnych zlomkoch tvaru:

kde $P\left(x \right)$ a $Q\left(x \right)$ sú rovnaké polynómy v tvare $((a)_(n))((x)^(n))+( (a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$ alebo súčin takýchto polynómov.

Toto bude racionálna nerovnosť. Základným bodom je prítomnosť premennej $x$ v menovateli. Ide napríklad o racionálne nerovnosti:

\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \right))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\ \end(align)\]

A to nie je racionálna nerovnosť, ale najbežnejšia nerovnosť, ktorú je možné vyriešiť intervalovou metódou:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Pri pohľade do budúcnosti poviem hneď: existujú najmenej dva spôsoby, ako vyriešiť racionálne nerovnosti, ale všetky, tak či onak, prichádzajú k nám už známej metóde intervalov. Preto predtým, ako rozoberieme tieto metódy, spomeňme si na staré fakty, inak nebude mať nový materiál zmysel.

Čo už potrebujete vedieť

Dôležitých faktov nikdy nie je priveľa. Naozaj potrebujeme len štyri.

Skrátené vzorce násobenia

Áno, áno: budú nás prenasledovať školské osnovy matematiky. A aj na univerzite. Týchto vzorcov je pomerne veľa, ale potrebujeme iba tieto:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\vľavo(a-b \vpravo)\vľavo(a+b \vpravo); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2))\vpravo); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\vpravo). \\ \end(zarovnať)\]

Venujte pozornosť posledným dvom vzorcom - sú to súčet a rozdiel kociek (a nie kocka súčtu alebo rozdielu!). Ľahko si ich zapamätáte, ak si všimnete, že znak v prvej zátvorke sa zhoduje so znakom v pôvodnom výraze a v druhej je opačný ako znak v pôvodnom výraze.

Lineárne rovnice

Toto je najviac jednoduché rovnice tvaru $ax+b=0$, kde $a$ a $b$ sú obyčajné čísla a $a\ne 0$. Táto rovnica sa dá vyriešiť jednoducho:

\[\begin(align) & ax+b=0; \\&ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \end(zarovnať)\]

Dovoľte mi poznamenať, že máme právo deliť koeficientom $a$, pretože $a\ne 0$. Táto požiadavka je celkom logická, keďže pre $a=0$ dostaneme toto:

Po prvé, v tejto rovnici nie je žiadna premenná $x$. Toto by nás vo všeobecnosti nemalo zmiasť (to sa stáva, povedzme, v geometrii a dosť často), ale stále to už nie je lineárna rovnica.

Po druhé, riešenie tejto rovnice závisí výlučne od koeficientu $b$. Ak $b$ je tiež nula, potom naša rovnica má tvar $0=0$. Táto rovnosť je vždy pravdivá; to znamená, že $x$ je ľubovoľné číslo (zvyčajne sa píše takto: $x\in \mathbb(R)$). Ak sa koeficient $b$ nerovná nule, potom nie je nikdy splnená rovnosť $b=0$, t.j. neexistujú žiadne odpovede (napíšte $x\do \varnothing $ a prečítajte si „sada riešení je prázdna“).

Aby sme sa vyhli všetkým týmto ťažkostiam, jednoducho predpokladáme $a\ne 0$, čo nás v ďalšom uvažovaní vôbec neobmedzuje.

Kvadratické rovnice

Dovoľte mi pripomenúť, že toto sa nazýva kvadratická rovnica:

Tu vľavo je polynóm druhého stupňa a opäť $a\ne 0$ (inak namiesto kvadratickej rovnice dostaneme lineárnu). Nasledujúce rovnice sa riešia pomocou diskriminantu:

Ak $D \gt 0$, dostaneme dva rôzne korene;
Ak $D=0$, potom koreň bude rovnaký, ale druhej násobnosti (aký druh násobnosti je to a ako to vziať do úvahy - o tom neskôr). Alebo môžeme povedať, že rovnica má dva rovnaké korene;
Pre $D \lt 0$ neexistujú vôbec žiadne korene a znamienko polynómu $a((x)^(2))+bx+c$ pre ľubovoľné $x$ sa zhoduje so znamienkom koeficientu $a $. Mimochodom, toto je veľmi užitočná skutočnosť, o ktorých sa z nejakého dôvodu zabúdajú rozprávať na hodinách algebry.

Samotné korene sa vypočítajú pomocou dobre známeho vzorca:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Odtiaľ, mimochodom, obmedzenia pre diskriminujúcich. Po všetkom Odmocnina od záporné číslo neexistuje. Veľa študentov má v hlave strašný neporiadok s koreňmi, preto som špeciálne napísal celú lekciu: čo je koreň v algebre a ako ho vypočítať - vrelo odporúčam prečítať si to :)

Operácie s racionálnymi zlomkami

Všetko, čo bolo napísané vyššie, už viete, ak ste študovali intervalovú metódu. Ale to, čo teraz rozoberieme, nemá v minulosti obdobu – to je úplne nová skutočnosť.

Definícia. Racionálny zlomok je vyjadrením formy

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\]

kde $P\left(x \right)$ a $Q\left(x \right)$ sú polynómy.

Je zrejmé, že z takéhoto zlomku je ľahké získať nerovnosť – stačí pridať znamienko „väčšie ako“ alebo „menšie ako“ vpravo. A o kúsok ďalej zistíme, že riešenie takýchto problémov je potešením, všetko je veľmi jednoduché.

Problémy začínajú, keď je v jednom výraze niekoľko takýchto zlomkov. Treba ich priviesť k spoločnému menovateľovi – a práve v tejto chvíli je to dovolené veľké množstvoútočné chyby.

Preto pre úspešné riešenie racionálne rovnice Je potrebné pevne zvládnuť dve zručnosti:

Faktorizácia polynómu $P\left(x \right)$;
Vlastne, privedenie zlomkov k spoločnému menovateľovi.

Ako faktorizovať polynóm? Veľmi jednoduché. Majme polynóm tvaru

Prirovnávame to k nule. Získame rovnicu $n$-tého stupňa:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Povedzme, že sme vyriešili túto rovnicu a dostali korene $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (neľakajte sa: vo väčšine prípadov to bude nie viac ako dva z týchto koreňov). V tomto prípade môže byť náš pôvodný polynóm prepísaný takto:

\[\začiatok(zarovnanie) & P\vľavo(x \vpravo)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \right) \end(align)\]

To je všetko! Poznámka: vodiaci koeficient $((a)_(n))$ nikde nezmizol - bude to samostatný násobiteľ pred zátvorkami a v prípade potreby ho možno vložiť do ktorejkoľvek z týchto zátvoriek (cvičenie ukazuje že s $((a)_ (n))\ne \pm 1$ sú medzi koreňmi takmer vždy zlomky).

Úloha. Zjednodušte výraz:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Riešenie. Najprv sa pozrime na menovateľov: všetko sú to lineárne binomické jednotky a nie je tu nič, čo by sa malo brať do úvahy. Rozpočítajme teda čitateľa:

\[\začiatok(zarovnať) & ((x)^(2))+x-20=\vľavo(x+5 \vpravo)\vľavo(x-4 \vpravo); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\vľavo(x-\frac(3)(2) \vpravo)\vľavo(x-1 \vpravo)=\vľavo(2x- 3 \vpravo)\doľava(x-1 \vpravo); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\vľavo(x+2 \vpravo)\vľavo(x-\frac(2)(5) \vpravo)=\vľavo(x +2 \vpravo)\vľavo(2-5x \vpravo). \\\end(zarovnať)\]

Upozorňujeme: v druhom polynóme sa vodiaci koeficient „2“ v úplnom súlade s našou schémou prvýkrát objavil pred zátvorkou a potom bol zahrnutý do prvej zátvorky, pretože sa tam objavil zlomok.

To isté sa stalo v treťom polynóme, len tam je poradie členov tiež obrátené. Koeficient „-5“ sa však nakoniec dostal do druhej zátvorky (pamätajte: faktor môžete zadať iba do jednej zátvorky!), čo nás ušetrilo od nepríjemností spojených s zlomkovými koreňmi.

Pokiaľ ide o prvý polynóm, všetko je jednoduché: jeho korene sa hľadajú štandardne cez diskriminant alebo pomocou Vietovej vety.

Vráťme sa k pôvodnému výrazu a prepíšme ho s čitateľmi:

\[\začiatok(matica) \frac(\vľavo(x+5 \vpravo)\vľavo(x-4 \vpravo))(x-4)-\frac(\vľavo(2x-3 \vpravo)\vľavo( x-1 \vpravo))(2x-3)-\frac(\vľavo(x+2 \vpravo)\vľavo(2-5x \vpravo))(x+2)= \\ =\vľavo(x+5 \right)-\left(x-1 \right)-\left(2-5x \right)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(matica)\]

Odpoveď: $5x+4$.

Ako vidíte, nič zložité. Trochu matematiky v 7.-8. ročníku a je to. Zmyslom všetkých premien je dostať zo zložitého a desivého výrazu niečo jednoduché a ľahko sa s tým pracuje.

Nie vždy to tak však bude. Teraz sa teda pozrieme na vážnejší problém.

Najprv však poďme zistiť, ako priviesť dva zlomky k spoločnému menovateľovi. Algoritmus je veľmi jednoduchý:

Faktor oboch menovateľov;
Zvážte prvého menovateľa a pridajte k nemu faktory, ktoré sú prítomné v druhom menovateli, ale nie v prvom. Výsledný produkt bude spoločným menovateľom;
Zistite, aké faktory chýbajú každému z pôvodných zlomkov, aby sa menovatele rovnali spoločným.

Tento algoritmus sa vám môže zdať ako text s „veľa písmen“. Pozrime sa preto na všetko na konkrétnom príklade.

Úloha. Zjednodušte výraz:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \vpravo)\]

Riešenie. Takéto rozsiahle problémy je lepšie riešiť po častiach. Napíšme, čo je v prvej zátvorke:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Na rozdiel od predchádzajúceho problému tu nie sú menovatele také jednoduché. Zoberme si faktor každého z nich.

Štvorcový trojčlen $((x)^(2))+2x+4$ nemožno faktorizovať, pretože rovnica $((x)^(2))+2x+4=0$ nemá korene (diskriminant je záporný ). Necháme nezmenené.

Druhý menovateľ - kubický polynóm $((x)^(3))-8$ - po dôkladnom preskúmaní je rozdiel kociek a možno ho ľahko rozšíriť pomocou skrátených vzorcov na násobenie:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \vpravo)\]

Nič iné sa nedá faktorizovať, keďže v prvej zátvorke je lineárna binómia a v druhej je nám už známa konštrukcia, ktorá nemá skutočné korene.

Napokon, tretím menovateľom je lineárny binom, ktorý nemožno rozšíriť. Naša rovnica teda bude mať tvar:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \vpravo))-\frac(1)(x-2)\]

Je celkom zrejmé, že spoločný menovateľ bude presne $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ a zredukovať naň všetky zlomky je potrebné vynásobiť prvý zlomok na $\left(x-2 \right)$ a posledný - na $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Potom už zostáva len dať podobné:

\[\začiatok(matica) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ vpravo))+\frac(((x)^(2))+8)(\vľavo(x-2 \vpravo)\vľavo(((x)^(2))+2x+4 \vpravo))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \right))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x) )^(2))+2x+4 \vpravo))(\vľavo(x-2 \vpravo)\vľavo(((x)^(2))+2x+4 \vpravo))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\vľavo(x-2 \vpravo)\vľavo (((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ vľavo(((x)^(2))+2x+4 \vpravo)). \\ \end(matica)\]

Pozor na druhý riadok: keď je už menovateľ spoločný, t.j. Namiesto troch samostatných zlomkov sme napísali jeden veľký, zátvoriek by ste sa nemali hneď zbaviť. Je lepšie napísať ďalší riadok a poznamenať, že povedzme pred tretím zlomkom bolo mínus - a nikam to nepôjde, ale bude „visieť“ v čitateli pred zátvorkou. To vám ušetrí veľa chýb.

No, v poslednom riadku je užitočné faktorizovať čitateľa. Navyše ide o presný štvorec a opäť nám pomáhajú skrátené vzorce násobenia. Máme:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Teraz sa vysporiadajme s druhou zátvorkou presne rovnakým spôsobom. Tu len napíšem reťazec rovnosti:

\[\begin(matica) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac(((( x)^(2)))(\vľavo(x-2 \vpravo)\vľavo(x+2 \vpravo))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\vľavo(x-2 \vpravo)\vľavo(x+2 \vpravo))+\frac(2\cdot \ľavo(x+2 \vpravo))(\vľavo(x-2 \vpravo )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) ). \\ \end(matica)\]

Vráťme sa k pôvodnému problému a pozrime sa na produkt:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

Odpoveď: \[\frac(1)(x+2)\].

Zmysel tejto úlohy je rovnaký ako tá predchádzajúca: ukázať, ako možno racionálne výrazy zjednodušiť, ak k ich premene pristúpite rozumne.

A keď už toto všetko viete, prejdime k hlavnej téme dnešnej lekcie – riešeniu zlomkových racionálnych nerovností. Navyše po takejto príprave budete praskať samotné nerovnosti ako oriešky :)

Hlavný spôsob riešenia racionálnych nerovností

Existujú minimálne dva prístupy k riešeniu racionálnych nerovností. Teraz sa pozrieme na jeden z nich - ten, ktorý je všeobecne akceptovaný v školskom kurze matematiky.

Najprv si však všimnime dôležitý detail. Všetky nerovnosti sú rozdelené do dvoch typov:

Prísne: $f\left(x \right) \gt 0$ alebo $f\left(x \right) \lt 0$;
Lax: $f\left(x \right)\ge 0$ alebo $f\left(x \right)\le 0$.

Nerovnosti druhého typu možno ľahko zredukovať na prvý, ako aj rovnicu:

Toto malé „doplnenie“ $f\left(x \right)=0$ vedie k takej nepríjemnej veci, akou sú vyplnené body - zoznámili sme sa s nimi v intervalovej metóde. V opačnom prípade neexistujú žiadne rozdiely medzi striktnými a neprísnymi nerovnosťami, takže sa pozrime na univerzálny algoritmus:

Zhromaždite všetky nenulové prvky na jednej strane znaku nerovnosti. Napríklad vľavo;

Všetky zlomky zredukujte na spoločného menovateľa (ak je takýchto zlomkov niekoľko), prineste podobné. Potom, ak je to možné, vynásobte čitateľa a menovateľa. Tak či onak dostaneme nerovnosť v tvare $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, kde „fajfka“ je znak nerovnosti .

Čitateľ prirovnáme k nule: $P\left(x \right)=0$. Vyriešime túto rovnicu a získame korene $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... Potom požadujeme že menovateľ nebol rovný nule: $Q\left(x \right)\ne 0$. Samozrejme, v podstate musíme vyriešiť rovnicu $Q\left(x \right)=0$ a dostaneme korene $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*)$ , $x_(3 )^(*)$, ... (v skutočných problémoch sotva budú viac ako tri takéto korene).

Všetky tieto korene (s hviezdičkami aj bez nich) označíme na jednej číselnej osi a korene bez hviezd premaľujeme a tie s hviezdičkami prepichneme.

Umiestňujeme znamienka „plus“ a „mínus“, vyberieme intervaly, ktoré potrebujeme. Ak má nerovnosť tvar $f\left(x \right) \gt 0$, odpoveďou budú intervaly označené „plus“. Ak $f\left(x \right) \lt 0$, potom sa pozrieme na intervaly s „mínuskami“.

Prax ukazuje, že najväčšie ťažkosti spôsobujú body 2 a 4 - kompetentné transformácie a správne usporiadanie čísel vo vzostupnom poradí. No, pri poslednom kroku buďte mimoriadne opatrní: značky vždy umiestňujeme na základe úplne posledná nerovnosť napísaná pred prechodom na rovnice. Toto univerzálne pravidlo, zdedený z intervalovej metódy.

Existuje teda schéma. Poďme cvičiť.

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Riešenie. Máme striktnú nerovnosť v tvare $f\left(x \right) \lt 0$. Je zrejmé, že body 1 a 2 z našej schémy už boli splnené: všetky prvky nerovnosti sú zhromaždené vľavo, nie je potrebné nič priviesť k spoločnému menovateľovi. Preto prejdime rovno k tretiemu bodu.

Čitateľa prirovnáme k nule:

\[\begin(align) & x-3=0; \\ & x=3. \end(align)\]

A menovateľ:

\[\begin(align) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end(zarovnať)\]

Tu sa veľa ľudí zasekne, pretože teoreticky musíte napísať $x+7\ne 0$, ako to vyžaduje ODZ (nemôžete deliť nulou, to je všetko). Ale v budúcnosti budeme vypichovať body, ktoré pochádzajú z menovateľa, takže nie je potrebné znova komplikovať výpočty - napíšte všade rovnaké znamienko a nemusíte sa obávať. Nikto vám za to nebude strhávať body :)

Štvrtý bod. Výsledné korene označíme na číselnej osi:
Všetky body sú vyznačené, pretože nerovnosť je prísna
Poznámka: všetky body sú vyznačené, pretože pôvodná nerovnosť je prísna. A tu nezáleží na tom, či tieto body pochádzajú z čitateľa alebo menovateľa.

Nuž, pozrime sa na znamenia. Zoberme si ľubovoľné číslo $((x)_(0)) \gt 3$. Napríklad $((x)_(0))=100$ (ale s rovnakým úspechom by ste mohli vziať $((x)_(0))=3,1$ alebo $((x)_(0)) = 1\ 000\ 000 $). Dostaneme:

Takže napravo od všetkých koreňov máme pozitívny región. A pri prechode cez každý koreň sa znamienko mení (nebude to tak vždy, ale o tom neskôr). Preto prejdime k piatemu bodu: usporiadajte značky a vyberte ten, ktorý potrebujete:

Vráťme sa k poslednej nerovnosti, ktorá bola pred riešením rovníc. V skutočnosti sa zhoduje s pôvodným, pretože sme v tejto úlohe nevykonali žiadne transformácie.

Keďže potrebujeme vyriešiť nerovnosť v tvare $f\left(x \right) \lt 0$, vytieňoval som interval $x\in \left(-7;3 \right)$ - ako jediný je označený so znamienkom mínus. Toto je odpoveď.

Odpoveď: $x\in \left(-7;3 \right)$

To je všetko! Je to zložité? Nie, nie je to ťažké. Pravda, úloha bola ľahká. Teraz si misiu trochu skomplikujme a zvážme „sofistikovanejšiu“ nerovnosť. Pri riešení už nebudem dávať také podrobné výpočty - jednoducho naznačím Kľúčové body. Vo všeobecnosti ho naformátujeme tak, ako by sme ho naformátovali samostatná práca alebo skúška :)

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

Riešenie. Toto je neprísna nerovnosť tvaru $f\left(x \right)\ge 0$. Všetky nenulové prvky sú zhromaždené vľavo, rôznych menovateľov Nie Prejdime k rovniciam.

Čitateľ:

\[\začiatok(zarovnanie) & \ľavý(7x+1 \vpravo)\ľavý(11x+2 \vpravo)=0 \\ & 7x+1=0\šípka doprava ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\šípka doprava ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(zarovnať)\]

Menovateľ:

\[\začiatok(zarovnanie) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(zarovnať)\]

Neviem, aký druh perverza spôsobil tento problém, ale korene nedopadli veľmi dobre: bolo by ťažké ich umiestniť na číselnú os. A ak s odmocninou $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ je všetko viac-menej jasné (toto je jediné kladné číslo - bude vpravo), potom $ ((x)_(1))=-(1)/(7)\;$ a $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ vyžadujú ďalší výskum: ktorý je väčší?

Môžete to zistiť napríklad takto:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2) ))\]

Dúfam, že nie je potrebné vysvetľovať, prečo číselný zlomok $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? V prípade potreby odporúčam zapamätať si, ako vykonávať operácie so zlomkami.

A označíme všetky tri korene na číselnej osi:
Bodky z čitateľa sú vyplnené, body z menovateľa sú prepichnuté
Umiestňujeme značky. Môžete napríklad vziať $((x)_(0))=1$ a zistiť znamenie v tomto bode:

\[\začiatok(zarovnanie) & f\vľavo(x \vpravo)=\frac(\vľavo(7x+1 \vpravo)\vľavo(11x+2 \vpravo))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]

Posledná nerovnica pred rovnicami bola $f\left(x \right)\ge 0$, takže nás zaujíma znamienko plus.

Máme dve sady: jedna je obyčajný segment a druhá je otvorený lúč na číselnej osi.

Odpoveď: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Dôležitá poznámka o číslach, ktoré nahrádzame, aby sme zistili znamienko na intervale úplne vpravo. Absolútne nie je potrebné nahradiť číslo najbližšie k pravému koreňu. Môžete si vziať miliardy alebo dokonca „plus-nekonečno“ - v tomto prípade je znamienko polynómu v zátvorke, čitateli alebo menovateli určené výlučne znamienkom vedúceho koeficientu.

Pozrime sa ešte raz na funkciu $f\left(x \right)$ od poslednej nerovnosti:

Jeho zápis obsahuje tri polynómy:

\[\začiatok(zarovnať) & ((P)_(1))\vľavo(x \vpravo)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\left(x \right)=11x+2; \\ & Q\left(x \right)=13x-4. \end(align)\]

Všetky sú lineárne binomy a všetky ich vodiace koeficienty (čísla 7, 11 a 13) sú kladné. Preto pri dosadzovaní veľmi veľkých čísel budú kladné aj samotné polynómy :)

Toto pravidlo sa môže zdať príliš komplikované, ale iba na začiatku, keď analyzujeme veľmi ľahké problémy. Pri vážnych nerovnostiach nám nahradenie „plus-nekonečno“ umožní zistiť znamienka oveľa rýchlejšie ako štandardné $((x)_(0))=100$.

Veľmi skoro budeme čeliť takýmto výzvam. Najprv sa však pozrime na alternatívny spôsob riešenia zlomkových racionálnych nerovností.

Alternatívny spôsob

Túto techniku mi navrhol jeden z mojich študentov. Sám som to nikdy nepoužil, ale prax ukázala, že mnohým študentom naozaj vyhovuje riešiť nerovnosti týmto spôsobom.

Takže počiatočné údaje sú rovnaké. Musíme vyriešiť zlomkovú racionálnu nerovnosť:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\]

Zamyslime sa: prečo je polynóm $Q\left(x \right)$ “horší” ako polynóm $P\left(x \right)$? Prečo musíme uvažovať o samostatných skupinách koreňov (s hviezdičkou a bez nej), premýšľať o prepichnutých bodoch atď.? Je to jednoduché: zlomok má definičný obor, podľa ktorého zlomok dáva zmysel iba vtedy, keď je jeho menovateľ nenulový.

Inak nie sú rozdiely medzi čitateľom a menovateľom: tiež ho prirovnáme k nule, hľadáme korene a potom ich označíme na číselnej osi. Prečo teda nenahradiť zlomkovú čiaru (v skutočnosti znamienko delenia) obyčajným násobením a nezapísať všetky požiadavky ODZ vo forme samostatnej nerovnosti? Napríklad takto:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Poznámka: tento prístup zredukuje problém na intervalovú metódu, ale vôbec neskomplikuje riešenie. Veď aj tak budeme polynóm $Q\left(x \right)$ rovnať nule.

Pozrime sa, ako to funguje na skutočných problémoch.

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Riešenie. Prejdime teda k intervalovej metóde:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\šípka doprava \vľavo\( \začiatok(zarovnanie) & \ľavá(x+8 \vpravo)\vľavo(x-11 \vpravo) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(zarovnať) \vpravo.\]

Prvá nerovnosť sa dá vyriešiť elementárnym spôsobom. Jednoducho prirovnáme každú zátvorku k nule:

\[\začiatok(zarovnanie) & x+8=0\šípka doprava ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\šípka doprava ((x)_(2))=11. \\ \end(zarovnať)\]

Druhá nerovnosť je tiež jednoduchá:

Označte body $((x)_(1))$ a $((x)_(2))$ na číselnej osi. Všetky sú vyradené, pretože nerovnosť je prísna:
Správny bod bol vyrazený dvakrát. Toto je fajn.
Venujte pozornosť bodu $x=11$. Ukazuje sa, že je „dvojité prepichnutie“: na jednej strane ho vypichneme kvôli závažnosti nerovnosti, na druhej strane kvôli dodatočnej požiadavke DZ.

V každom prípade to bude len prepichnutý bod. Preto usporiadame znamienka pre nerovnosť $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - posledné, ktoré sme videli predtým, ako sme začali riešiť rovnice:

Nás zaujímajú pozitívne oblasti, keďže riešime nerovnosť v tvare $f\left(x \right) \gt 0$ - tie vytieňujeme. Zostáva už len zapísať odpoveď.

Odpoveď. $x\v \ľavo(-\infty ;-8 \vpravo)\veľký pohár \ľavý(11;+\infty \vpravo)$

Na príklade tohto riešenia by som vás chcel varovať pred častou chybou začínajúcich študentov. Totiž: nikdy neotvárajte zátvorky v nerovnostiach! Naopak, snažte sa všetko zohľadniť - zjednodušíte tým riešenie a ušetríte veľa problémov.

Teraz skúsme niečo zložitejšie.

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

Riešenie. Toto je nestriktná nerovnosť tvaru $f\left(x \right)\le 0$, takže tu musíte venovať veľkú pozornosť tieňovaným bodom.

Prejdime k intervalovej metóde:

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnať) & \vľavo(2x-13 \vpravo)\vľavo(12x-9 \vpravo)\vľavo(15x+33 \vpravo)\le 0, \\ & 15x+33\ nie 0. \\ \end(zarovnať) \vpravo.\]

Poďme k rovnici:

\[\začiatok(zarovnanie) & \vľavo(2x-13 \vpravo)\vľavo(12x-9 \vpravo)\vľavo(15x+33 \vpravo)=0 \\ & 2x-13=0\šípka vpravo ((x )_(1))=6,5; \\ & 12x-9=0\šípka doprava ((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Šípka doprava ((x)_(3))=-2,2. \\ \end(zarovnať)\]

Berieme do úvahy dodatočnú požiadavku:

Všetky výsledné korene označíme na číselnej osi:
Ak je bod prepichnutý aj vyplnený, považuje sa za prepichnutý
Opäť sa dva body „prekrývajú“ - to je normálne, vždy to tak bude. Dôležité je len pochopiť, že bod označený ako prepichnutý aj prefarbený je v skutočnosti prepichnutý bod. Tie. „pichanie“ je silnejšia akcia ako „maľovanie“.

Je to úplne logické, pretože štipnutím označujeme body, ktoré ovplyvňujú znamienko funkcie, ale samy sa na odpovedi nezúčastňujú. A ak nám v určitom momente už číslo nevyhovuje (napr. nespadá do ODZ), odškrtávame ho z úvahy až do úplného konca úlohy.

Vo všeobecnosti prestaňte filozofovať. Umiestňujeme značky a maľujeme cez tie intervaly, ktoré sú označené znamienkom mínus:

Odpoveď. $x\in \left(-\infty ;-2.2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

A opäť som chcel upriamiť vašu pozornosť na túto rovnicu:

\[\vľavo(2x-13 \vpravo)\vľavo(12x-9 \vpravo)\vľavo(15x+33 \vpravo)=0\]

Ešte raz: nikdy neotvárajte zátvorky v takýchto rovniciach! Všetko si len sťažíte. Pamätajte: súčin sa rovná nule, keď sa aspoň jeden z faktorov rovná nule. teda daná rovnica jednoducho sa „rozpadne“ na niekoľko menších, čo sme riešili v predchádzajúcom probléme.

Berúc do úvahy množstvo koreňov

Z predchádzajúcich problémov je dobre vidieť, že práve neprísne nerovnosti sú najťažšie, pretože v nich musíte sledovať vytieňované body.

Ale na svete je ešte väčšie zlo – to sú viaceré korene v nerovnostiach. Tu už nemusíte sledovať niektoré tieňované bodky - tu sa znak nerovnosti nemusí náhle zmeniť pri prechode cez tie isté bodky.

O ničom takom sme v tejto lekcii zatiaľ neuvažovali (hoci s podobným problémom sme sa často stretávali aj pri intervalovej metóde). Preto uvádzame novú definíciu:

Definícia. Koreň rovnice $((\left(x-a \right))^(n))=0$ sa rovná $x=a$ a nazýva sa koreň $n$-tej násobnosti.

V skutočnosti nás to nijako zvlášť nezaujíma presná hodnota mnohosť. Jediné, na čom záleží, je, či je toto isté číslo $n$ párne alebo nepárne. Pretože:

Ak $x=a$ je odmocnina párnej násobnosti, potom sa znamienko funkcie pri prechode cez ňu nemení;
A naopak, ak $x=a$ je koreň nepárnej násobnosti, potom sa znamienko funkcie zmení.

Všetky predchádzajúce problémy diskutované v tejto lekcii sú špeciálnym prípadom koreňa nepárnej násobnosti: všade sa násobnosť rovná jednej.

A ďalej. Skôr ako začneme riešiť problémy, rád by som upriamil vašu pozornosť na jednu jemnosť, ktorá sa skúsenému študentovi zdá zrejmá, no mnohých začiatočníkov privádza do strnulosti. menovite:

Koreň násobnosti $n$ vzniká iba v prípade, keď je celý výraz umocnený na túto mocninu: $((\left(x-a \right))^(n))$, a nie $\left(((x) ^( n))-a \vpravo)$.

Ešte raz: zátvorka $((\left(x-a \right))^(n))$ nám dáva koreň $x=a$ násobnosti $n$, ale zátvorka $\left(((x)^( n)) -a \right)$ alebo, ako sa často stáva, $(a-((x)^(n)))$ nám dáva koreň (alebo dva korene, ak je $n$ párne) prvej násobnosti , bez ohľadu na to, čo sa rovná $n$.

Porovnaj:

\[((\vľavo(x-3 \vpravo))^(5))=0\šípka doprava x=3\vľavo(5k \vpravo)\]

Tu je všetko jasné: celá konzola bola zvýšená na piatu mocninu, takže výstup, ktorý sme dostali, bol koreň piatej mocniny. A teraz:

\[\vľavo(((x)^(2))-4 \vpravo)=0\Šípka doprava ((x)^(2))=4\Šípka doprava x=\pm 2\]

Máme dva korene, ale oba majú prvú multiplicitu. Alebo tu je ďalší:

\[\vľavo(((x)^(10))-1024 \right)=0\šípka vpravo ((x)^(10))=1024\šípka vpravo x=\pm 2\]

A desiaty stupeň nech vás netrápi. Hlavná vec je, že 10 je párne číslo, takže na výstupe máme dva korene a oba majú opäť prvý násobok.

Vo všeobecnosti buďte opatrní: k multiplicite dochádza iba vtedy stupeň sa vzťahuje na celú zátvorku, nielen na premennú.

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))(((\left(x+7) \right))^(5)))\ge 0\]

Riešenie. Skúsme to vyriešiť alternatívnym spôsobom - prechodom z kvocientu na súčin:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(align )\správny.\]

Poďme sa vysporiadať s prvou nerovnosťou pomocou intervalovej metódy:

\[\začiatok(zarovnanie) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \vpravo))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\šípka doprava x=0\vľavo(2k \vpravo); \\ & ((\vľavo(6-x \vpravo))^(3))=0\šípka vpravo x=6\vľavo(3k \vpravo); \\ & x+4=0\Šípka doprava x=-4; \\ & ((\vľavo(x+7 \vpravo))^(5))=0\šípka vpravo x=-7\vľavo(5k \vpravo). \\ \end(zarovnať)\]

Dodatočne riešime druhú nerovnosť. V skutočnosti sme to už vyriešili, ale aby recenzenti na riešení nenašli chybu, je lepšie to vyriešiť znova:

\[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\Rightarrow x\ne -7\]

Poznámka: v poslednej nerovnosti nie sú žiadne násobky. V skutočnosti: aký je rozdiel v tom, koľkokrát prečiarknete bod $x=-7$ na číselnej osi? Aspoň raz, aspoň päťkrát bude výsledok rovnaký: prepichnutý bod.

Označme všetko, čo sme dostali na číselnú os:

Ako som povedal, bod $x=-7$ bude nakoniec prepichnutý. Násobnosti sú usporiadané na základe riešenia nerovnice pomocou intervalovej metódy.

Zostáva len umiestniť značky:

Keďže bod $x=0$ je odmocninou párnej násobnosti, znamienko sa pri prechode cez neho nemení. Zvyšné body majú nepárny násobok a všetko je s nimi jednoduché.

Odpoveď. $x\v \ľavo(-\infty ;-7 \vpravo)\veľký pohár \ľavý[ -4;6 \vpravo]$

Ešte raz, venujte pozornosť $x=0$. Vďaka rovnomernej mnohosti vzniká zaujímavý efekt: všetko vľavo od neho je prelakované, všetko vpravo je tiež premaľované a samotný bod je úplne prelakovaný.

Vďaka tomu nemusí byť pri zaznamenávaní odpovede izolovaný. Tie. nie je potrebné písať niečo ako $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (aj keď formálne by takáto odpoveď bola tiež správna). Namiesto toho okamžite napíšeme $x\in \left[ -4;6 \right]$.

Takéto účinky sú možné len s koreňmi rovnomernej násobnosti. A v ďalšom probléme sa stretneme s opačným „prejavom“ tohto efektu. pripravený?

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\frac(((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))(((\left(x-1 \right))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

Riešenie. Tentokrát budeme postupovať podľa štandardnej schémy. Čitateľa prirovnáme k nule:

\[\začiatok(zarovnanie) & ((\vľavo(x-3 \vpravo))^(4))\vľavo(x-4 \vpravo)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\Rightarrow ((x)_(1))=3\left(4k \right); \\ & x-4=0\Šípka doprava ((x)_(2))=4. \\ \end(zarovnať)\]

A menovateľ:

\[\začiatok(zarovnanie) & ((\vľavo(x-1 \vpravo))^(2))\vľavo(7x-10-((x)^(2)) \vpravo)=0; \\ & ((\vľavo(x-1 \vpravo))^(2))=0\šípka vpravo x_(1)^(*)=1\vľavo(2k \vpravo); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\šípka doprava x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(zarovnať)\]

Keďže riešime nestriktnú nerovnosť v tvare $f\left(x \right)\ge 0$, korene z menovateľa (ktoré majú hviezdičky) sa vyberú a tie z čitateľa budú tieňované.

Umiestňujeme značky a tieňujeme oblasti označené „plus“:
Bod $x=3$ je izolovaný. Toto je časť odpovede
Pred zapísaním konečnej odpovede sa pozrime na obrázok:

Bod $x=1$ má párnu násobnosť, ale sám je prepichnutý. V dôsledku toho bude musieť byť v odpovedi izolovaná: musíte napísať $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, a nie $x\in \left(-\ infty ;2 \right)$.

Bod $x=3$ má tiež párnu násobnosť a je tieňovaný. Usporiadanie značiek naznačuje, že samotný bod nám vyhovuje, ale krok doľava alebo doprava – a ocitáme sa v oblasti, ktorá nám rozhodne nevyhovuje. Takéto body sa nazývajú izolované a zapisujú sa v tvare $x\in \left$ 3 \right$$.

Všetky prijaté kúsky spojíme do spoločnej sady a zapíšeme odpoveď.

Odpoveď: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left$ 3 \right$\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Definícia. Riešenie nerovnosti znamená nájsť množinu všetkých jeho riešení alebo dokážte, že táto množina je prázdna.

Zdalo by sa: čo tu môže byť nepochopiteľné? Áno, faktom je, že množiny možno definovať rôznymi spôsobmi. Napíšme si ešte raz odpoveď na posledný problém:

Doslova čítame, čo je napísané. Premenná „x“ patrí do určitej množiny, ktorá sa získa spojením (znak „U“) štyroch samostatných množín:

Interval $\left(-\infty ;1 \right)$, čo doslovne znamená „všetky čísla menšie ako jedna, ale nie jedno“;
Interval $\left(1;2 \right)$, t.j. „všetky čísla v rozsahu od 1 do 2, ale nie samotné čísla 1 a 2“;
Množina $\left$ 3 \right$$, pozostávajúca z jedného jediného čísla - tri;
Interval $\left[ 4;5 \right)$ obsahujúci všetky čísla v rozsahu od 4 do 5, ako aj samotné štyri, ale nie päť.

Tu je zaujímavý tretí bod. Na rozdiel od intervalov, ktoré definujú nekonečné množiny čísel a označujú len hranice týchto množín, množina $\left$ 3 \right$$ špecifikuje striktne jedno číslo pomocou enumerácie.

Aby sme pochopili, že uvádzame konkrétne čísla zahrnuté v súprave (a neurčujeme hranice ani nič iné), používajú sa zložené zátvorky. Napríklad zápis $\left$ 1;2 \right$$ znamená presne „množinu pozostávajúcu z dvoch čísel: 1 a 2“, ale nie segment od 1 do 2. Za žiadnych okolností si tieto pojmy nezamieňajte .

Pravidlo pre sčítanie násobkov

No a na záver dnešnej lekcie malá plechovka od Pavla Berdova :)

Pozorných študentov už zrejme napadlo: čo sa stane, ak budú mať čitateľ a menovateľ rovnaké korene? Funguje teda nasledujúce pravidlo:

Pridajú sa násobky rovnakých koreňov. Vždy. Aj keď sa tento koreň vyskytuje v čitateli aj v menovateli.

Niekedy je lepšie rozhodnúť sa ako rozprávať. Preto riešime nasledujúci problém:

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \vpravo))\ge 0\]

\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(zarovnať)\]

Zatiaľ nič zvláštne. Menovateľa prirovnáme k nule:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\šípka doprava x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\šípka doprava x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(zarovnať)\]

Boli objavené dva identické korene: $((x)_(1))=-2$ a $x_(4)^(*)=-2$. Obaja majú prvú násobnosť. Preto ich nahradíme jedným koreňom $x_(4)^(*)=-2$, ale s násobnosťou 1+1=2.

Okrem toho existujú aj identické korene: $((x)_(2))=-4$ a $x_(2)^(*)=-4$. Sú tiež prvej násobnosti, takže zostane len $x_(2)^(*)=-4$ z násobnosti 1+1=2.

Poznámka: v oboch prípadoch sme ponechali presne „prepichnutý“ koreň a vylúčili sme z úvahy „namaľovaný“. Pretože na začiatku hodiny sme sa zhodli: ak je bod prepichnutý aj prelakovaný, tak ho stále považujeme za prepichnutý.

V dôsledku toho máme štyri korene a všetky boli vyrezané:

\[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \right); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\vľavo(2k \vpravo). \\ \end(zarovnať)\]

Označujeme ich na číselnej osi, berúc do úvahy násobnosť:

Umiestňujeme značky a farby na oblasti, ktoré nás zaujímajú:

Všetky. Žiadne izolované body alebo iné zvrátenosti. Odpoveď si môžete zapísať.

Odpoveď. $x\v \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

Pravidlo pre násobenie

Niekedy nastane ešte nepríjemnejšia situácia: rovnica, ktorá má viacero koreňov, je sama povýšená na nejakú moc. V tomto prípade sa menia násobnosti všetkých pôvodných koreňov.

Je to zriedkavé, takže väčšina študentov nemá skúsenosti s riešením takýchto problémov. A tu platí pravidlo:

Keď sa rovnica zvýši na $n$, násobky všetkých jej koreňov sa tiež zvýšia $n$ krát.

Inými slovami, zvýšenie na mocninu vedie k vynásobeniu násobkov rovnakou mocninou. Pozrime sa na toto pravidlo na príklade:

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2)))\le 0\]

Riešenie. Čitateľa prirovnáme k nule:

Súčin je nula, keď je aspoň jeden z faktorov nulový. S prvým faktorom je všetko jasné: $x=0$. Ale potom začnú problémy:

\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\left(2k \right); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\vľavo (2k \vpravo)\vľavo (2k \vpravo) \ \& ((x)_(2))=3\vľavo (4k \vpravo) \\ \end(zarovnať)\]

Ako vidíme, rovnica $((x)^(2))-6x+9=0$ má jeden koreň druhej násobnosti: $x=3$. Celá táto rovnica sa potom umocní na druhú. Preto násobnosť koreňa bude $2\cdot 2=4$, čo sme si nakoniec zapísali.

\[((\vľavo(x-4 \vpravo))^(5))=0\šípka vpravo x=4\vľavo(5k \vpravo)\]

Problémy nie sú ani s menovateľom:

\[\začiatok(zarovnať) & ((\vľavo(2-x \vpravo))^(3))((\vľavo(x-1 \vpravo))^(2))=0; \\ & ((\vľavo(2-x \vpravo))^(3))=0\šípka vpravo x_(1)^(*)=2\vľavo(3k \vpravo); \\ & ((\vľavo(x-1 \vpravo))^(2))=0\šípka vpravo x_(2)^(*)=1\vľavo(2k \vpravo). \\ \end(zarovnať)\]

Celkovo sme dostali päť bodiek: dve prepichnuté a tri maľované. V čitateli a menovateli nie sú žiadne zhodné korene, takže ich jednoducho označíme na číselnej osi:

Značky usporiadame s prihliadnutím na násobnosti a namaľujeme intervaly, ktoré nás zaujímajú:
Opäť jeden izolovaný bod a jeden prepichnutý
Kvôli koreňom rovnomernej mnohosti sme opäť dostali pár „neštandardných“ prvkov. Toto je $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, a nie $x\in \left[ 0;2 \right)$, a tiež izolovaný bod $ x\v \vľavo$ 3 \vpravo$$.

Odpoveď. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left$ 3 \right$\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Ako vidíte, všetko nie je také zložité. Hlavná vec je pozornosť. Posledná časť tejto lekcie je venovaná transformáciám – tým istým, o ktorých sme hovorili na samom začiatku.

Predkonverzie

Nerovnosti, ktoré budeme v tejto časti skúmať, nemožno nazvať komplexnými. Na rozdiel od predchádzajúcich úloh tu však budete musieť uplatniť zručnosti z teórie racionálnych zlomkov – faktorizácie a redukcie na spoločného menovateľa.

Túto otázku sme podrobne rozobrali na samom začiatku dnešnej lekcie. Ak si nie ste istí, či rozumiete, o čom hovorím, vrelo odporúčam vrátiť sa a zopakovať si to. Pretože nemá zmysel napchávať sa metódami na riešenie nerovností, ak „plávate“ v prevode zlomkov.

Mimochodom, v domácich úlohách bude tiež veľa podobných úloh. Sú umiestnené v samostatnej podsekcii. A tam na vás čakajú netriviálne príklady. Ale toto bude v domácej úlohe a teraz sa pozrime na pár takýchto nerovností.

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Riešenie. Presuňte všetko doľava:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Prinášame spoločného menovateľa, otvárame zátvorky a v čitateli uvádzame podobné výrazy:

\[\začiatok(zarovnanie) & \frac(x\cbodka x)(\vľavo(x-1 \vpravo)\cbodka x)-\frac(\vľavo(x-2 \vpravo)\vľavo(x-1 \ right))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\vľavo(x-1 \vpravo))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\vľavo (x-1 \vpravo))\le 0. \\\end(zarovnať)\]

Teraz máme pred sebou klasickú zlomkovo-racionálnu nerovnosť, ktorej riešenie už nie je zložité. Navrhujem to vyriešiť alternatívnou metódou - metódou intervalov:

\[\začiatok(zarovnanie) & \ľavý(3x-2 \vpravo)\cbodka x\cbodka \ľavý(x-1 \vpravo)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(zarovnať)\]

Nezabudnite na obmedzenie, ktoré pochádza z menovateľa:

Označujeme všetky čísla a obmedzenia na číselnej osi:

Všetky korene majú prvú multiplicitu. Žiaden problém. Jednoducho umiestnime značky a namaľujeme oblasti, ktoré potrebujeme:

To je všetko. Odpoveď si môžete zapísať.

Odpoveď. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

Samozrejme, toto bol veľmi jednoduchý príklad. Preto sa teraz pozrime na problém vážnejšie. A mimochodom, úroveň tejto úlohy celkom zodpovedá samostatnej a testovacej práci na túto tému v 8. ročníku.

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Riešenie. Presuňte všetko doľava:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Predtým, ako privedieme oba zlomky k spoločnému menovateľovi, rozložme ich na faktoring. Čo ak vyjdú rovnaké zátvorky? S prvým menovateľom je to jednoduché:

\[((x)^(2))+8x-9=\vľavo(x-1 \vpravo)\vľavo(x+9 \vpravo)\]

Druhý je trochu náročnejší. Neváhajte pridať konštantný faktor do zátvorky, kde sa objaví zlomok. Pamätajte: pôvodný polynóm mal celočíselné koeficienty, takže je veľká šanca, že faktorizácia bude mať celočíselné koeficienty (v skutočnosti bude mať vždy, okrem prípadov, keď je diskriminant iracionálny).

\[\začiatok(zarovnanie) & 3((x)^(2))-5x+2=3\vľavo(x-1 \vpravo)\vľavo(x-\frac(2)(3) \vpravo)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end(zarovnať)\]

Ako vidíte, existuje spoločná zátvorka: $\left(x-1 \right)$. Vrátime sa k nerovnosti a oba zlomky privedieme k spoločnému menovateľovi:

\[\začiatok(zarovnanie) & \frac(1)(\vľavo(x-1 \vpravo)\vľavo(x+9 \vpravo))-\frac(1)(\vľavo(x-1 \vpravo)\ left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right )\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\vľavo(x-1 \vpravo)\vľavo(x+9 \vpravo)\vľavo(3x-2 \vpravo))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \end(zarovnať)\]

Menovateľa prirovnáme k nule:

\[\začiatok(zarovnanie) & \ľavý(x-1 \vpravo)\ľavý(x+9 \vpravo)\ľavý(3x-2 \vpravo)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( zarovnať)\]

Žiadne násobky alebo zhodné korene. Na riadku označíme štyri čísla:

Umiestňujeme značky:

Odpoveď zapíšeme.

Odpoveď: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ right) $.

V tejto lekcii budeme pokračovať v riešení racionálnych nerovníc pomocou intervalovej metódy pre zložitejšie nerovnosti. Uvažujme o riešení zlomkových lineárnych a zlomkových kvadratických nerovníc a súvisiacich problémov.

Teraz sa vráťme k nerovnosti

Pozrime sa na niektoré súvisiace úlohy.

Nájsť najmenšie riešenie nerovnosti.

Nájdite počet prirodzených riešení nerovnosti

Nájdite dĺžku intervalov, ktoré tvoria množinu riešení nerovnice.

2. Portál prírodných vied ().

3. Elektronický vzdelávací a metodický komplex na prípravu 10-11 ročníkov na prijímacie skúšky z informatiky, matematiky, ruského jazyka ().

5. Vzdelávacie centrum „Technológia výučby“ ().

6. Sekcia College.ru o matematike ().

1. Mordkovich A.G. a iné Algebra 9. ročník: Úloha pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina a i. - 4. vyd. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 s.: chor. Č. 28(b,c); 29(b,c); 35(a,b); 37(b,c); 38(a).

Intervalová metóda je špeciálny algoritmus určený na riešenie zložitých nerovností tvaru f(x) > 0. Algoritmus pozostáva z 5 krokov:

Riešte rovnicu f(x) = 0. Namiesto nerovnice teda dostaneme rovnicu, ktorá sa rieši oveľa jednoduchšie;
Označte všetky získané korene na súradnicovej čiare. Takto bude priamka rozdelená na niekoľko intervalov;
Nájdite početnosť koreňov. Ak sú korene rovnomerné, nakreslite slučku nad koreňom. (Odmocnina sa považuje za násobok, ak existuje párny počet rovnakých riešení)
Zistite znamienko (plus alebo mínus) funkcie f(x) na intervale úplne vpravo. Na to stačí dosadiť do f(x) ľubovoľné číslo, ktoré bude napravo od všetkých označených koreňov;
Označte značky v zostávajúcich intervaloch a striedajte ich.

Potom už ostáva len zapisovať si intervaly, ktoré nás zaujímajú. Sú označené znamienkom „+“, ak nerovnosť bola v tvare f(x) > 0, alebo znamienkom „–“, ak bola nerovnosť v tvare f(x).< 0.

V prípade nestriktných nerovností (≤ , ≥) je potrebné do intervalov zahrnúť body, ktoré sú riešením rovnice f(x) = 0;

Príklad 1:

Vyriešte nerovnosť:

(x - 2) (x + 7)< 0

Pracujeme intervalovou metódou.

Krok 1: nahraďte nerovnosť rovnicou a vyriešte ju:

(x - 2) (x + 7) = 0

Súčin sa rovná nule vtedy a len vtedy, ak sa aspoň jeden z faktorov rovná nule:

x - 2 = 0 => x = 2

x + 7 = 0 => x = -7

Máme dva korene.

Krok 2: Tieto korene označíme na súradnicovej čiare. Máme:

Krok 3: znamienko funkcie nájdeme na intervale úplne vpravo (napravo od označeného bodu x = 2). Aby ste to urobili, musíte vziať akékoľvek číslo, ktoré je väčšie ako číslo x = 2. Zoberme si napríklad x = 3 (nikto však nezakazuje vziať x = 4, x = 10 a dokonca x = 10 000).

f(x) = (x - 2) (x + 7)

f(3) = (3 - 2) (3 + 7) = 1 x 10 = 10

Dostaneme, že f(3) = 10 > 0 (10 je kladné číslo), takže znamienko plus vložíme do intervalu úplne vpravo.

Krok 4: musíte si všimnúť znaky na zostávajúcich intervaloch. Pamätáme si, že pri prechode cez každý koreň sa musí znamienko zmeniť. Napríklad napravo od koreňa x = 2 je plus (o tom sme sa presvedčili v predchádzajúcom kroku), takže vľavo musí byť mínus. Toto mínus sa vzťahuje na celý interval (−7; 2), takže napravo od koreňa x = −7 je mínus. Preto je naľavo od koreňa x = −7 plus. Zostáva označiť tieto znaky na súradnicovej osi.

Vráťme sa k pôvodnej nerovnosti, ktorá mala tvar:

(x - 2) (x + 7)< 0

Takže funkcia musí byť menšia ako nula. To znamená, že nás zaujíma znamienko mínus, ktoré sa vyskytuje iba na jednom intervale: (−7; 2). Toto bude odpoveď.