V náhodnom experimente sa hádžu dve kocky. Pravdepodobnosť kocky

Problémy 1.4 - 1.6

Problémový stav 1.4

Označte chybu v „riešení“ problému: sú hodené dve kocky; nájdite pravdepodobnosť, že súčet vyžrebovaných bodov je 3 (udalosť A). "Riešenie". Existujú dva možné výsledky testu: súčet vyžrebovaných bodov je 3, súčet vyžrebovaných bodov sa nerovná 3. Udalosť A je zvýhodnená jedným výsledkom, celkový počet výsledkov sú dva. Preto sa požadovaná pravdepodobnosť rovná P(A) = 1/2.

Riešenie problému 1.4

Chybou tohto „riešenia“ je, že príslušné výsledky nie sú rovnako možné. Správne riešenie: Celkový počet rovnako možných výsledkov je rovnaký (každý počet bodov hodených na jednej kocke možno skombinovať so všetkými bodmi hodenými na inej kocke). Spomedzi týchto výsledkov uprednostňujú udalosť iba dva výsledky: (1; 2) a (2; 1). To znamená, že požadovaná pravdepodobnosť

odpoveď:

Problémový stav 1.5

Hodia sa dve kocky. Nájdite pravdepodobnosti nasledujúcich udalostí: a) súčet vyžrebovaných bodov je sedem; b) súčet vylosovaných bodov je osem a rozdiel štyri; c) súčet vyžrebovaných bodov je osem, ak je známe, že ich rozdiel je štyri; d) súčet hodených bodov je päť a súčin štyri.

Riešenie problému 1.5

a) Šesť možností na prvej kocke, šesť na druhej. Celkové možnosti: (podľa pravidla produktu). Možnosti pre sumu rovnajúcu sa 7: (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3) – celkovo šesť možností. znamená,

b) Sú len dve vhodné možnosti: (6,2) a (2,6). znamená,

c) Sú len dve vhodné možnosti: (2,6), (6,2). Ale celkovo možné možnosti 4: (2,6), (6,2), (1,5), (5,1). Znamená, .

d) Pre súčet rovný 5 sú vhodné tieto možnosti: (1.4), (4.1), (2.3), (3.2). Produkt je 4 len pre dve možnosti. Potom

Odpoveď: a) 1/6; b) 1/18; c) 1/2; d) 1/18

Problémový stav 1.6

Kocka, ktorej všetky okraje sú farebné, sa rozreže na tisíc kociek rovnakej veľkosti, ktoré sa potom dôkladne premiešajú. Nájdite pravdepodobnosť, že kocka vytiahnutá šťastím má farebné tváre: a) jedna; b) dva; o tretej hodine.

Riešenie problému 1.6

Celkovo sa vytvorilo 1000 kociek. Kocky s tromi farebnými plochami: 8 (toto sú rohové kocky). S dvomi farebnými plochami: 96 (pretože kocka má 12 hrán s 8 kockami na každej hrane). Kocky s farebnými okrajmi: 384 (keďže je 6 stien a na každej strane je 64 kociek). Zostáva len vydeliť každé nájdené množstvo číslom 1000.

Odpoveď: a) 0,384; b) 0,096 c) 0,008

Zanechal odpoveď Hosť

S jedným kocky situácia je neslušne jednoduchá. Pripomínam, že pravdepodobnosť sa zistí podľa vzorca P=m/n
P
=
m
n
, kde n
n
je počet všetkých rovnako možných základných výsledkov experimentu zahŕňajúceho hod kockou alebo kockou a m
m
- počet výsledkov, ktoré uprednostňujú podujatie.

Príklad 1: Kocka sa hodí raz. Aká je pravdepodobnosť, že padne párny počet bodov?

Keďže kocka je kocka (hovorí sa tiež, že je to bežná kocka, teda vyvážená kocka tak, aby dopadla na všetky strany s rovnakou pravdepodobnosťou), kocka má 6 stien (s počtom bodov od 1 do 6, zvyčajne označených o body), potom a celkový počet výsledkov v úlohe n=6
n
=
6
. Jediné výsledky, ktoré uprednostňujú udalosť, sú tie, kde sa objaví strana s 2, 4 alebo 6 bodmi (len párne čísla).
m
=
3
. Potom je požadovaná pravdepodobnosť P=3/6=1/2=0,5
P
=
3
6
=
1
2
=
0.5
.

Príklad 2. Hodí sa kocka. Nájdite pravdepodobnosť hodenia aspoň 5 bodov.

Uvažujeme rovnakým spôsobom ako v predchádzajúcom príklade. Celkový počet rovnako možných výsledkov pri hode kockou n=6
n
=
6
a podmienka „hodených aspoň 5 bodov“, teda „hodených 5 alebo 6 bodov“ je splnená 2 výsledkami, m=2
m
=
2
. Požadovaná pravdepodobnosť je P=2/6=1/3=0,333
P
=
2
6
=
1
3
=
0.333
.

Nevidím ani zmysel uvádzať ďalšie príklady, prejdime na dve kocky, kde je všetko zaujímavejšie a komplikovanejšie.

Dve kocky

Kedy hovoríme o Pri problémoch s hodením 2 kockami je veľmi vhodné použiť bodovaciu tabuľku. Nakreslite horizontálne počet bodov, ktoré padli na prvej kocke, a vertikálne počet bodov, ktoré padli na druhej kocke. Zoberme si niečo také (zvyčajne to robím v Exceli, súbor si môžete stiahnuť nižšie):

tabuľka bodov za hod 2 kockami
Pýtate sa, čo je v bunkách tabuľky? A to závisí od toho, aký problém budeme riešiť. Bude úloha o súčte bodov - napíšeme tam súčet, o rozdiele - napíšeme rozdiel a podobne. Začnime?

Príklad 3. Súčasne sú hodené 2 kockami. Nájdite pravdepodobnosť, že súčet bude menší ako 5 bodov.

Najprv sa pozrime na celkový počet výsledkov experimentu. keď sme hodili jednou kockou, všetko bolo zrejmé, 6 strán - 6 výsledkov. Tu sú už dve kocky, takže výsledky môžu byť reprezentované ako usporiadané dvojice čísel tvaru (x,y)
X
,
r
, kde x
X
- koľko bodov bolo hodených na prvej kocke (od 1 do 6), y
r
- koľko bodov padlo na druhej kocke (od 1 do 6). Je zrejmé, že takýchto dvojíc čísel bude n=6⋅6=36
n
=
6
⋅
6
=
36
(a zodpovedá im presne 36 buniek v tabuľke výsledkov).

Teraz je čas vyplniť tabuľku. Do každej bunky zadáme súčet bodov hodených na prvej a druhej kocke a dostaneme nasledujúci obrázok:

tabuľka súčtu bodov pri hode 2 kockami
Teraz nám táto tabuľka pomôže nájsť počet výsledkov priaznivých pre udalosť „spolu sa objaví menej ako 5 bodov“. Aby sme to dosiahli, spočítame počet buniek, v ktorých je súčtová hodnota menšia ako 5 (to znamená 2, 3 alebo 4). Pre názornosť tieto bunky vyfarbme, bude ich m=6
m
=
6
:

tabuľka celkového počtu bodov menej ako 5 pri hode 2 kockami
Potom je pravdepodobnosť: P=6/36=1/6
P
=
6
36
=
1
6
.

Príklad 4. Hodia sa dve kocky. Nájdite pravdepodobnosť, že súčin počtu bodov je deliteľný 3.

Vytvoríme tabuľku súčinov bodov hodených na prvej a druhej kocke. Okamžite zvýrazníme čísla, ktoré sú násobkami 3:

Tabuľka súčinu bodov pri hode 2 kockami
Zostáva len zapísať, že celkový počet výsledkov je n=36
n
=
36
(pozri predchádzajúci príklad, zdôvodnenie je rovnaké) a počet priaznivých výsledkov (počet tieňovaných buniek v tabuľke vyššie) m=20
m
=
20
. Potom sa pravdepodobnosť udalosti bude rovnať P=20/36=5/9
P
=
20
36
=
5
9
.

Ako vidíte, tento typ problému s náležitou prípravou (pozrime sa na niekoľko ďalších problémov) možno vyriešiť rýchlo a jednoducho. Pre spestrenie urobme ešte jednu úlohu s inou tabuľkou (všetky tabuľky si môžete stiahnuť v spodnej časti stránky).

Príklad 5: Kocka sa hodí dvakrát. Nájdite pravdepodobnosť, že rozdiel v počte bodov na prvej a druhej kocke bude od 2 do 5.

Napíšme si tabuľku bodových rozdielov, zvýraznite v nej bunky, v ktorých bude hodnota rozdielu medzi 2 a 5:

Tabuľka rozdielu bodov pri hode 2 kockami
Celkový počet rovnako možných elementárnych výsledkov je teda n=36
n
=
36
a počet priaznivých výsledkov (počet vytieňovaných buniek v tabuľke vyššie) m=10
m
=
10
. Potom sa pravdepodobnosť udalosti bude rovnať P=10/36=5/18
P
=
10
36
=
5
18
.

Takže v prípade, že hovoríme o hode 2 kockami a jednoduchej udalosti, musíte zostaviť tabuľku, vybrať v nej potrebné bunky a vydeliť ich počet 36, to bude pravdepodobnosť. Okrem úloh na súčet, súčin a rozdiel počtu bodov sú to aj úlohy na modul rozdielu, najmenší a najväčší počet vylosovaných bodov (vhodné tabuľky nájdete v súbore Excel).

Ďalším populárnym problémom v teórii pravdepodobnosti (spolu s problémom hodu mincou) je problém s hádzaním kocky.

Zvyčajne úloha znie takto: hodí sa jedna alebo viac kociek (zvyčajne 2, menej často 3). Musíte nájsť pravdepodobnosť, že počet bodov je 4, alebo súčet bodov je 10, alebo súčin počtu bodov je deliteľný 2, alebo sa počty bodov líšia 3 atď.

Hlavnou metódou riešenia takýchto problémov je použitie klasického pravdepodobnostného vzorca, ktorý budeme analyzovať na príkladoch nižšie.

Po oboznámení sa s metódami riešenia si môžete stiahnuť super užitočné riešenie na hádzanie 2 kockami (s tabuľkami a príkladmi).

Jedna kocka

S jednou kockou je situácia neslušne jednoduchá. Pripomínam, že pravdepodobnosť sa zistí podľa vzorca $P=m/n$, kde $n$ je počet všetkých rovnako možných elementárnych výsledkov experimentu s hodom kockou alebo kockou a $m$ je číslo z tých výsledkov, ktoré uprednostňujú podujatie.

Príklad 1 Kocka sa hodí raz. Aká je pravdepodobnosť, že padne párny počet bodov?

Keďže kocka je kocka (hovoria tiež spravodlivé kocky, čiže kocka je vyvážená, teda dopadne na všetky strany s rovnakou pravdepodobnosťou), kocka má 6 strán (s počtom bodov od 1 do 6, zvyčajne označených bodov), potom celkový počet výsledkov v problém je $n=6$. Jediné výsledky, ktoré uprednostňujú udalosť, sú tie, kde sa objaví strana s 2, 4 alebo 6 bodmi (len párne) a takýchto strán je $m=3$. Potom sa požadovaná pravdepodobnosť rovná $P=3/6=1/2=0,5$.

Príklad 2 Kocky sú hodené. Nájdite pravdepodobnosť hodenia aspoň 5 bodov.

Uvažujeme rovnakým spôsobom ako v predchádzajúcom príklade. Celkový počet rovnako možných výsledkov pri hode kockou je $n=6$ a podmienka „aspoň 5 zhrnutých bodov“, teda „buď 5 alebo 6 zhrnutých bodov“ je splnená 2 výsledkami, $m = 2 doláre. Požadovaná pravdepodobnosť je $P=2/6=1/3=0,333$.

Nevidím ani zmysel uvádzať ďalšie príklady, prejdime na dve kocky, kde je všetko zaujímavejšie a komplikovanejšie.

Dve kocky

Pokiaľ ide o problémy spojené s hádzaním 2 kockami, je použitie veľmi pohodlné bodová tabuľka. Nakreslite horizontálne počet bodov, ktoré padli na prvej kocke, a vertikálne počet bodov, ktoré padli na druhej kocke. Zoberme si niečo také (zvyčajne to robím v Exceli, súbor si môžete stiahnuť):

Pýtate sa, čo je v bunkách tabuľky? A to závisí od toho, aký problém budeme riešiť. Bude úloha o súčte bodov - napíšeme tam súčet, o rozdiele - napíšeme rozdiel a podobne. Začnime?

Príklad 3 Súčasne sa hádžu 2 kocky. Nájdite pravdepodobnosť, že súčet bude menší ako 5 bodov.

Najprv sa pozrime na celkový počet výsledkov experimentu. keď sme hodili jednou kockou, všetko bolo zrejmé, 6 strán - 6 výsledkov. Tu sú už dve kocky, takže výsledky môžu byť reprezentované ako usporiadané dvojice čísel v tvare $(x,y)$, kde $x$ je koľko bodov padlo na prvej kocke (od 1 do 6), $ y$ je koľko bodov padlo na druhej kocke (od 1 do 6). Je zrejmé, že celkový počet takýchto dvojíc čísel bude $n=6\cdot 6=36$ (a zodpovedajú presne 36 bunkám v tabuľke výsledkov).

Teraz je čas vyplniť tabuľku. Do každej bunky zadáme súčet bodov hodených na prvej a druhej kocke a dostaneme nasledujúci obrázok:

Teraz nám táto tabuľka pomôže nájsť počet výsledkov priaznivých pre udalosť „spolu sa objaví menej ako 5 bodov“. Aby sme to dosiahli, spočítame počet buniek, v ktorých je súčtová hodnota menšia ako 5 (to znamená 2, 3 alebo 4). Pre prehľadnosť vyfarbme tieto bunky, bude tam $m=6$:

Potom sa pravdepodobnosť rovná: $P=6/36=1/6$.

Príklad 4. Hodia sa dve kocky. Nájdite pravdepodobnosť, že súčin počtu bodov je deliteľný 3.

Vytvoríme tabuľku súčinov bodov hodených na prvej a druhej kocke. Okamžite zvýrazníme čísla, ktoré sú násobkami 3:

Zostáva len zapísať, že celkový počet výsledkov je $n=36$ (pozri predchádzajúci príklad, zdôvodnenie je rovnaké) a počet priaznivých výsledkov (počet vytieňovaných buniek v tabuľke vyššie) je $ m = 20 $. Potom sa pravdepodobnosť udalosti bude rovnať $P=20/36=5/9$.

Ako vidíte, tento typ problému s náležitou prípravou (pozrime sa na niekoľko ďalších problémov) možno vyriešiť rýchlo a jednoducho. Pre spestrenie urobme ešte jednu úlohu s inou tabuľkou (všetky tabuľky si môžete stiahnuť v spodnej časti stránky).

Príklad 5. Kocky sa hádžu dvakrát. Nájdite pravdepodobnosť, že rozdiel v počte bodov na prvej a druhej kocke bude od 2 do 5.

Napíšme si tabuľku bodových rozdielov, zvýraznite v nej bunky, v ktorých bude hodnota rozdielu medzi 2 a 5:

Celkový počet rovnako možných elementárnych výsledkov je teda $n=36$ a počet priaznivých výsledkov (počet vytieňovaných buniek v tabuľke vyššie) je $m=10$. Potom sa pravdepodobnosť udalosti bude rovnať $P=10/36=5/18$.

Takže v prípade, že hovoríme o hode 2 kockami a jednoduchej udalosti, musíte zostaviť tabuľku, vybrať v nej potrebné bunky a vydeliť ich počet 36, to bude pravdepodobnosť. Okrem úloh na súčet, súčin a rozdiel počtu bodov sú tu úlohy aj na modul rozdielu, najmenší a najväčší počet vylosovaných bodov (vhodné tabuľky nájdete v).

Ďalšie problémy s kockami a kockami

Samozrejme, táto záležitosť sa neobmedzuje na dve triedy problémov o hádzaní kociek, o ktorých sme diskutovali vyššie (jednoducho sa s nimi najčastejšie stretávame v problémových knihách a tréningových príručkách), existujú aj ďalšie. Pre spestrenie a pochopenie metódy približného riešenia rozoberieme ešte tri typické príklady: na hod 3 kockami, na podmienenú pravdepodobnosť a na Bernoulliho vzorec.

Príklad 6. Hodia sa 3 kocky. Nájdite pravdepodobnosť, že súčet je 15 bodov.

V prípade 3 kociek sa tabuľky zostavujú menej často, pretože budete potrebovať až 6 kusov (a nie jeden, ako je uvedené vyššie), vystačia si jednoduchým hľadaním požadovaných kombinácií.

Poďme zistiť celkový počet výsledkov experimentu. Výsledky môžu byť reprezentované ako usporiadané trojice čísel v tvare $(x,y,z)$, kde $x$ je koľko bodov padlo na prvej kocke (od 1 do 6), $y$ je koľko bodov padlo na druhej kocke (od 1 do 6), $z$ - koľko bodov bolo hodených na tretej kocke (od 1 do 6). Je zrejmé, že celkový počet takýchto trojíc čísel bude $n=6\cdot 6\cdot 6=216$ .

Teraz vyberme výsledky, ktoré dávajú celkovo 15 bodov.

$$ (3,6,6), (6,3,6), (6,6,3),\\ (4,5,6), (4,6,5), (5,4,6), (6,5,4), (5,6,4), (6,4,5),\\ (5,5,5). $$

Získali sme $m=3+6+1=10$ výsledkov. Požadovaná pravdepodobnosť je $P=10/216=0,046$.

Príklad 7. 2 kocky sú hodené. Nájdite pravdepodobnosť, že prvá kocka padne o viac ako 4 body za predpokladu, že celkový počet bodov je párny.

Najjednoduchší spôsob, ako vyriešiť tento problém, je znova použiť tabuľku (všetko bude jasné), ako predtým. Vypíšeme tabuľku súm bodov a vyberieme len bunky s párnymi hodnotami:

Zistili sme, že podľa experimentálnych podmienok nie je 36, ale $n=18$ výsledkov (keď je súčet bodov párny).

Teraz z týchto buniek Vyberme len tie, ktoré zodpovedajú udalosti „prvou kockou sa nehádžu viac ako 4 body“ – teda v skutočnosti bunky v prvých 4 riadkoch tabuľky (zvýraznené oranžovou farbou), tam bude $m= 12 $.

Požadovaná pravdepodobnosť $P=12/18=2/3.$

Rovnaká úloha môže byť rozhodnúť inak pomocou vzorca podmienenej pravdepodobnosti. Vstúpme do udalostí:
A = Súčet počtu bodov je párny
B = Nie viac ako 4 body hodené na prvej kocke
AB = Súčet bodov je párny a na prvej kocke nepadlo viac ako 4 body
Potom vzorec pre požadovanú pravdepodobnosť má tvar: $$ P(B|A)=\frac(P(AB))(P(A)). $$ Pravdepodobnosť hľadania. Celkový počet výsledkov je $n=36$, pre udalosť A je počet priaznivých výsledkov (pozri tabuľky vyššie) $m(A)=18$ a pre udalosť AB - $m(AB)=12$. Dostaneme: $$ P(A)=\frac(m(A))(n)=\frac(18)(36)=\frac(1)(2); \quad P(AB)=\frac(m(AB))(n)=\frac(12)(36)=\frac(1)(3);\\ P(B|A)=\frac(P (AB))(P(A))=\frac(1/3)(1/2)=\frac(2)(3). $$ Odpovede boli rovnaké.

Príklad 8. Kocka sa hádže 4-krát. Nájdite pravdepodobnosť, že sa párny počet bodov objaví presne 3-krát.

V prípade, že kocka hodí niekoľkokrát, a akcia nie je o sume, produkte a pod. integrálne charakteristiky, ale len o počet kvapiek určitého typu, môžete ho použiť na výpočet pravdepodobnosti

Vo všetkých úlohách B6 zapnuté teória pravdepodobnosti, ktoré sú prezentované v Otvoriť banku úloh pre, musíte nájsť pravdepodobnosť akúkoľvek udalosť.

Stačí poznať jeden vzorec, ktorý sa používa na výpočet pravdepodobnosť:

V tomto vzorci p - pravdepodobnosť udalosti,

k- počet udalostí, ktoré nás „uspokojujú“, v jazyku teória pravdepodobnosti volajú sa priaznivé výsledky.

n- počet všetkých možných udalostí, príp počet všetkých možných výsledkov.

Je zrejmé, že počet všetkých možných udalostí je väčší ako počet priaznivých výsledkov, takže pravdepodobnosť je hodnota, ktorá je menšia alebo rovná 1.

Ak pravdepodobnosť hodnota udalosti je 1, čo znamená, že táto udalosť sa určite stane. Takáto udalosť sa nazýva spoľahlivý. Napríklad skutočnosť, že po nedeli bude pondelok, je, žiaľ, spoľahlivá udalosť a jej pravdepodobnosť sa rovná 1.

Najväčšie ťažkosti pri riešení úloh vznikajú práve pri hľadaní čísel k a n.

Samozrejme, ako pri riešení akýchkoľvek problémov, pri riešení problémov na teória pravdepodobnosti Musíte si pozorne prečítať stav, aby ste správne pochopili, čo je dané a čo potrebujete nájsť.

Pozrime sa na niekoľko príkladov riešenia problémov z od Otvorte bankuúlohy pre .

Príklad 1 IN náhodný experiment sú hodené dve kocky. Nájdite pravdepodobnosť, že súčet bude 8 bodov. Výsledok zaokrúhlite na stotiny.

Nechajte prvú kocku hodiť jeden bod, potom druhá kocka môže hodiť 6 rôzne možnosti. Keďže teda prvá kocka má 6 rôznych strán, celkový počet rôznych možností je 6x6=36.

Ale nie so všetkým sme spokojní. Podľa podmienok úlohy by sa súčet vyžrebovaných bodov mal rovnať 8. Vytvorme tabuľku priaznivých výsledkov:

Vidíme, že počet výsledkov, ktoré nám vyhovujú, je 5.

Pravdepodobnosť, že sa objaví celkovo 8 bodov, je teda 5/36=0,13(8).

Ešte raz si prečítame otázku problému: musíme výsledok zaokrúhliť na stotiny.

Spomeňme si pravidlo zaokrúhľovania.

Musíme zaokrúhliť na najbližšiu stotinu. Ak je na ďalšom mieste za stotinami (teda na tisícinovom mieste) číslo, ktoré je väčšie alebo rovné 5, potom k číslu na stotinovom mieste pripočítame 1, ak je toto číslo menšie ako 5; potom necháme číslo na stotinovom mieste nezmenené.

V našom prípade je číslo na tisícinovom mieste 8, takže číslo 3, ktoré je na stotinovom mieste, zvýšime o 1.

Takže p=5/36 ≈0,14

Odpoveď: 0,14

Príklad 2. Na gymnastickom šampionáte sa zúčastňuje 20 športovcov: 8 z Ruska, 7 z USA, zvyšok z Číny. Poradie, v ktorom gymnastky vystúpia, je určené žrebom. Nájdite pravdepodobnosť, že prvý súťažiaci športovec pochádza z Číny.

V tomto probléme je počet možných výsledkov 20 - to je počet všetkých športovcov.

Poďme zistiť počet priaznivých výsledkov. Rovná sa počtu športovkýň z Číny.

teda

Odpoveď: 0,25

Príklad 3: V priemere z 1 000 predaných záhradných čerpadiel 5 uniká. Nájdite pravdepodobnosť, že jedno čerpadlo náhodne vybrané na kontrolu neuniká.

V tomto probléme n=1000.

Máme záujem o čerpadlá, ktoré netečú. Ich počet je 1000-5=995. Tie.