V náhodnom experimente sa hádžu dve kocky. Pravdepodobnosť kocky

Úlohy pre pravdepodobnosť kocky nie menej populárne ako problémy s hádzaním mincí. Podmienka takéhoto problému zvyčajne znie takto: aká je pravdepodobnosť, že pri hode jednou alebo viacerými kockami (2 alebo 3) bude súčet bodov rovný 10, alebo počet bodov bude 4, resp. súčin počtu bodov, alebo súčin počtu bodov delený 2 atď.

Aplikácia vzorca klasická pravdepodobnosť je hlavnou metódou riešenia problémov tohto typu.

Jedna kocka, pravdepodobnosť.

S jednou kockou je situácia celkom jednoduchá. je určená vzorcom: P=m/n, kde m je počet výsledkov priaznivých pre udalosť a n je počet všetkých elementárnych rovnako možných výsledkov pokusu s hodom kosti alebo kocky.

Problém 1. Kocky sú hodené raz. Aká je pravdepodobnosť získania párneho počtu bodov?

Keďže kocka je kocka (alebo sa nazýva aj bežná kocka, kocka dopadne na všetky strany s rovnakou pravdepodobnosťou, keďže je vyvážená), kocka má 6 strán (počet bodov od 1 do 6, ktoré sú zvyčajne označené bodkami), to znamená, že problém má celkový počet výsledkov: n=6. Udalosť je zvýhodnená len tými výsledkami, v ktorých sa objaví hrana s párnymi bodmi 2, 4 a 6 s nasledujúcimi stranami: m=3. Teraz môžeme určiť požadovanú pravdepodobnosť kocky: P=3/6=1/2=0,5.

Úloha 2. Kocky sú hodené raz. Aká je pravdepodobnosť, že získate aspoň 5 bodov?

Tento problém je vyriešený analogicky s príkladom uvedeným vyššie. Pri hode kockou je celkový počet rovnako možných výsledkov: n=6 a iba 2 výsledky spĺňajú podmienku úlohy (aspoň 5 zhodených bodov, teda 5 alebo 6 hodených bodov), čo znamená m =2. Ďalej nájdeme požadovanú pravdepodobnosť: P=2/6=1/3=0,333.

Dve kocky, pravdepodobnosť.

Pri riešení problémov s hádzaním 2 kockami je veľmi vhodné použiť špeciálnu bodovaciu tabuľku. Na ňom je počet bodov, ktoré padli na prvej kocke, zobrazený horizontálne a počet bodov, ktorý padol na druhej kocke, je zobrazený vertikálne. Obrobok vyzerá takto:

Vynára sa však otázka, čo bude v prázdnych bunkách tabuľky? Závisí to od problému, ktorý je potrebné vyriešiť. Ak v probléme hovoríme o o sume bodov, tak sa tam napíše súčet a ak o rozdiele, tak sa zapíše rozdiel atď.

Úloha 3. Súčasne sú hodené 2 kockami. Aká je pravdepodobnosť získania menej ako 5 bodov?

Najprv musíte zistiť, aký bude celkový počet výsledkov experimentu. Všetko bolo zrejmé pri hode jednou kockou, 6 strán kocky - 6 výsledkov experimentu. Ale keď už existujú dve kocky, možné výsledky môžu byť reprezentované ako usporiadané dvojice čísel vo forme (x, y), kde x ukazuje, koľko bodov bolo hodených na prvej kocke (od 1 do 6) a y - koľko bodov bolo hodených na druhej kocke (od 1 do 6). Celkovo bude takýchto číselných dvojíc: n=6*6=36 (v tabuľke výsledkov zodpovedajú presne 36 bunkám).

Teraz môžete vyplniť tabuľku, aby ste to urobili, do každej bunky sa zadá počet bodov, ktoré padli na prvej a druhej kocke. Vyplnená tabuľka vyzerá takto:

Pomocou tabuľky určíme počet výsledkov, ktoré uprednostňujú podujatie „celkovo sa objaví menej ako 5 bodov“. Spočítajme počet buniek, ktorých súčet je menší ako číslo 5 (sú to 2, 3 a 4). Pre pohodlie namaľujeme takéto bunky m = 6:

Vzhľadom na údaje v tabuľke, pravdepodobnosť kociek sa rovná: P=6/36=1/6.

Úloha 4. Boli hodené dve kocky. Určte pravdepodobnosť, že súčin počtu bodov bude deliteľný 3.

Aby sme problém vyriešili, vytvorme si tabuľku súčinov bodov, ktoré padli na prvej a druhej kocke. V ňom okamžite zvýrazníme čísla, ktoré sú násobkami 3:

Zapíšeme si celkový počet výsledkov experimentu n=36 (zdôvodnenie je rovnaké ako v predchádzajúcej úlohe) a počet priaznivých výsledkov (počet buniek, ktoré sú v tabuľke vytieňované) m=20. Pravdepodobnosť udalosti je: P=20/36=5/9.

Úloha 5. Kocka sa hodí dvakrát. Aká je pravdepodobnosť, že rozdiel v počte bodov na prvej a druhej kocke bude od 2 do 5?

Na určenie pravdepodobnosť kociek Napíšme si tabuľku bodových rozdielov a označme v nej tie bunky, ktorých hodnota rozdielu bude medzi 2 a 5:

Počet priaznivých výsledkov (počet vytieňovaných buniek v tabuľke) je m=10, celkový počet rovnako možných elementárnych výsledkov bude n=36. Určuje pravdepodobnosť udalosti: P=10/36=5/18.

V prípade jednoduchej udalosti a pri hode 2 kockami musíte zostaviť tabuľku, potom v nej vybrať potrebné bunky a vydeliť ich počet 36, bude sa to považovať za pravdepodobnosť.

Problémy 1.4 - 1.6

Problémový stav 1.4

Označte chybu v „riešení“ problému: sú hodené dve kocky; nájdite pravdepodobnosť, že súčet vyžrebovaných bodov je 3 (udalosť A). "Riešenie". Existujú dva možné výsledky testu: súčet vyžrebovaných bodov je 3, súčet vyžrebovaných bodov sa nerovná 3. Udalosť A je zvýhodnená jedným výsledkom, celkový počet výsledkov sú dva. Preto sa požadovaná pravdepodobnosť rovná P(A) = 1/2.

Riešenie problému 1.4

Chybou tohto „riešenia“ je, že príslušné výsledky nie sú rovnako možné. Správne riešenie: Celkový počet rovnako možných výsledkov je rovnaký (každý počet bodov hodených na jednej kocke možno skombinovať so všetkými číslami hodenými na inej kocke). Spomedzi týchto výsledkov uprednostňujú udalosť iba dva výsledky: (1; 2) a (2; 1). To znamená, že požadovaná pravdepodobnosť

odpoveď:

Problémový stav 1.5

Hodia sa dve kocky. Nájdite pravdepodobnosti nasledujúcich udalostí: a) súčet vyžrebovaných bodov je sedem; b) súčet vylosovaných bodov je osem a rozdiel štyri; c) súčet vyžrebovaných bodov je osem, ak je známe, že ich rozdiel je štyri; d) súčet hodených bodov je päť a súčin štyri.

Riešenie problému 1.5

a) Šesť možností na prvej kocke, šesť na druhej. Celkové možnosti: (podľa pravidla produktu). Možnosti pre sumu rovnajúcu sa 7: (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3) – celkovo šesť možností. znamená,

b) Sú len dve vhodné možnosti: (6,2) a (2,6). znamená,

c) Sú len dve vhodné možnosti: (2,6), (6,2). Ale celkovo možné možnosti 4: (2,6), (6,2), (1,5), (5,1). Znamená, .

d) Pre súčet rovný 5 sú vhodné tieto možnosti: (1.4), (4.1), (2.3), (3.2). Produkt je 4 len pre dve možnosti. Potom

Odpoveď: a) 1/6; b) 1/18; c) 1/2; d) 1/18

Problémový stav 1.6

Kocka, ktorej všetky okraje sú farebné, sa rozreže na tisíc kociek rovnakej veľkosti, ktoré sa potom dôkladne premiešajú. Nájdite pravdepodobnosť, že kocka vytiahnutá šťastím má farebné tváre: a) jedna; b) dva; o tretej hodine.

Riešenie problému 1.6

Celkovo sa vytvorilo 1000 kociek. Kocky s tromi farebnými plochami: 8 (toto sú rohové kocky). S dvomi farebnými plochami: 96 (pretože kocka má 12 hrán s 8 kockami na každej hrane). Kocky s farebnými okrajmi: 384 (keďže je 6 stien a na každej strane je 64 kociek). Zostáva len vydeliť každé nájdené množstvo číslom 1000.

Odpoveď: a) 0,384; b) 0,096 c) 0,008

Vo všetkých úlohách B6 zapnuté teória pravdepodobnosti, ktoré sú prezentované v Otvoriť banku úloh pre, musíte nájsť pravdepodobnosť akúkoľvek udalosť.

Stačí poznať jeden vzorec, ktorý sa používa na výpočet pravdepodobnosť:

V tomto vzorci p - pravdepodobnosť udalosti,

k- počet udalostí, ktoré nás „uspokojujú“, v jazyku teória pravdepodobnosti volajú sa priaznivé výsledky.

n- počet všetkých možných udalostí, príp počet všetkých možných výsledkov.

Je zrejmé, že počet všetkých možných udalostí je väčší ako počet priaznivých výsledkov, takže pravdepodobnosť je hodnota, ktorá je menšia alebo rovná 1.

Ak pravdepodobnosť hodnota udalosti je 1, čo znamená, že táto udalosť sa určite stane. Takáto udalosť sa nazýva spoľahlivý. Napríklad skutočnosť, že po nedeli bude pondelok, je, žiaľ, spoľahlivá udalosť a jej pravdepodobnosť sa rovná 1.

Najväčšie ťažkosti pri riešení úloh vznikajú práve pri hľadaní čísel k a n.

Samozrejme, ako pri riešení akýchkoľvek problémov, pri riešení problémov na teória pravdepodobnosti Musíte si pozorne prečítať stav, aby ste správne pochopili, čo je dané a čo potrebujete nájsť.

Pozrime sa na niekoľko príkladov riešenia problémov z od Otvorená bankaúlohy pre .

Príklad 1 IN náhodný experiment hodiť dve kocky. Nájdite pravdepodobnosť, že súčet bude 8 bodov. Výsledok zaokrúhlite na stotiny.

Nechajte prvú kocku hodiť jeden bod, potom druhá kocka môže hodiť 6 rôzne možnosti. Keďže teda prvá kocka má 6 rôznych strán, celkový počet rôznych možností je 6x6=36.

Ale nie so všetkým sme spokojní. Podľa podmienok úlohy by sa súčet vyžrebovaných bodov mal rovnať 8. Vytvorme tabuľku priaznivých výsledkov:

Vidíme, že počet výsledkov, ktoré nám vyhovujú, je 5.

Pravdepodobnosť, že sa objaví celkovo 8 bodov, je teda 5/36=0,13(8).

Ešte raz si prečítame otázku problému: musíme výsledok zaokrúhliť na stotiny.

Spomeňme si pravidlo zaokrúhľovania.

Musíme zaokrúhliť na najbližšiu stotinu. Ak je na ďalšom mieste za stotinami (teda na tisícinovom mieste) číslo, ktoré je väčšie alebo rovné 5, potom k číslu na stotinovom mieste pripočítame 1, ak je toto číslo menšie ako 5; potom necháme číslo na stotinovom mieste nezmenené.

V našom prípade je číslo na tisícinovom mieste 8, takže číslo 3, ktoré je na stotinovom mieste, zvýšime o 1.

Takže p=5/36 ≈0,14

Odpoveď: 0,14

Príklad 2. Na gymnastickom šampionáte sa zúčastňuje 20 športovcov: 8 z Ruska, 7 z USA, zvyšok z Číny. Poradie, v ktorom gymnastky vystúpia, je určené žrebom. Nájdite pravdepodobnosť, že prvý súťažiaci športovec pochádza z Číny.

V tomto probléme je počet možných výsledkov 20 - to je počet všetkých športovcov.

Poďme zistiť počet priaznivých výsledkov. Rovná sa počtu športovkýň z Číny.

teda

Odpoveď: 0,25

Príklad 3: V priemere z 1 000 predaných záhradných čerpadiel 5 uniká. Nájdite pravdepodobnosť, že jedno čerpadlo náhodne vybrané na kontrolu neuniká.

V tomto probléme n=1000.

Máme záujem o čerpadlá, ktoré netečú. Ich počet je 1000-5=995. Tie.

Zanechal odpoveď Hosť

S jednou kockou je situácia neslušne jednoduchá. Pripomínam, že pravdepodobnosť sa zistí podľa vzorca P=m/n
P
=
m
n
, kde n
n
je počet všetkých rovnako možných základných výsledkov experimentu zahŕňajúceho hod kockou alebo kockou a m
m
- počet výsledkov, ktoré uprednostňujú podujatie.

Príklad 1: Kocka sa hodí raz. Aká je pravdepodobnosť, že padne párny počet bodov?

Keďže kocka je kocka (hovorí sa tiež, že je to bežná kocka, to znamená vyvážená kocka tak, aby dopadla na všetky strany s rovnakou pravdepodobnosťou), kocka má 6 stien (s počtom bodov od 1 do 6, zvyčajne označených o body), potom a celkový počet výsledkov v úlohe n=6
n
=
6
. Jediné výsledky, ktoré uprednostňujú udalosť, sú tie, kde sa objaví strana s 2, 4 alebo 6 bodmi (len párne čísla).
m
=
3
. Potom je požadovaná pravdepodobnosť P=3/6=1/2=0,5
P
=
3
6
=
1
2
=
0.5
.

Príklad 2. Hodí sa kocka. Nájdite pravdepodobnosť hodenia aspoň 5 bodov.

Uvažujeme rovnakým spôsobom ako v predchádzajúcom príklade. Celkový počet rovnako možných výsledkov pri hode kockou n=6
n
=
6
a podmienka „hodených aspoň 5 bodov“, teda „hodených 5 alebo 6 bodov“ je splnená 2 výsledkami, m=2
m
=
2
. Požadovaná pravdepodobnosť je P=2/6=1/3=0,333
P
=
2
6
=
1
3
=
0.333
.

Nevidím ani zmysel uvádzať ďalšie príklady, prejdime na dve kocky, kde je všetko zaujímavejšie a komplikovanejšie.

Dve kocky

Pokiaľ ide o problémy spojené s hodením 2 kockami, je veľmi vhodné použiť bodovaciu tabuľku. Nakreslite horizontálne počet bodov, ktoré padli na prvej kocke, a vertikálne počet bodov, ktoré padli na druhej kocke. Zoberme si niečo také (zvyčajne to robím v Exceli, súbor si môžete stiahnuť nižšie):

tabuľka bodov za hod 2 kockami
Pýtate sa, čo je v bunkách tabuľky? A to závisí od toho, aký problém budeme riešiť. Bude úloha o súčte bodov - napíšeme tam súčet, o rozdiele - napíšeme rozdiel a podobne. Začnime?

Príklad 3: Sú hádzané 2 kocky súčasne. Nájdite pravdepodobnosť, že súčet bude menší ako 5 bodov.

Najprv sa pozrime na celkový počet výsledkov experimentu. keď sme hodili jednou kockou, všetko bolo zrejmé, 6 strán - 6 výsledkov. Sú tu už dve kocky, takže výsledky môžu byť reprezentované ako usporiadané dvojice čísel tvaru (x,y)
X
,
r
, kde x
X
- koľko bodov bolo hodených na prvej kocke (od 1 do 6), y
r
- koľko bodov bolo hodených na druhej kocke (od 1 do 6). Je zrejmé, že takýchto dvojíc čísel bude n=6⋅6=36
n
=
6
⋅
6
=
36
(a zodpovedá im presne 36 buniek v tabuľke výsledkov).

Teraz je čas vyplniť tabuľku. Do každej bunky zadáme súčet bodov hodených na prvej a druhej kocke a dostaneme nasledujúci obrázok:

tabuľka súčtu bodov pri hode 2 kockami
Teraz nám táto tabuľka pomôže nájsť počet výsledkov priaznivých pre udalosť „spolu sa objaví menej ako 5 bodov“. Aby sme to dosiahli, spočítame počet buniek, v ktorých je súčtová hodnota menšia ako 5 (to znamená 2, 3 alebo 4). Pre názornosť tieto bunky vyfarbme, bude ich m=6
m
=
6
:

tabuľka celkového počtu bodov menej ako 5 pri hode 2 kockami
Potom je pravdepodobnosť: P=6/36=1/6
P
=
6
36
=
1
6
.

Príklad 4. Hodia sa dve kocky. Nájdite pravdepodobnosť, že súčin počtu bodov je deliteľný 3.

Vytvoríme tabuľku súčinov bodov hodených na prvej a druhej kocke. Okamžite zvýrazníme tie čísla, ktoré sú násobkami 3:

Tabuľka súčinu bodov pri hode 2 kockami
Zostáva len zapísať, že celkový počet výsledkov je n=36
n
=
36
(pozri predchádzajúci príklad, zdôvodnenie je rovnaké) a počet priaznivých výsledkov (počet tieňovaných buniek v tabuľke vyššie) m=20
m
=
20
. Potom sa pravdepodobnosť udalosti bude rovnať P=20/36=5/9
P
=
20
36
=
5
9
.

Ako vidíte, tento typ problému s náležitou prípravou (pozrime sa na niekoľko ďalších problémov) možno vyriešiť rýchlo a jednoducho. Pre spestrenie urobme ešte jednu úlohu s inou tabuľkou (všetky tabuľky si môžete stiahnuť v spodnej časti stránky).

Príklad 5: Kocka sa hodí dvakrát. Nájdite pravdepodobnosť, že rozdiel v počte bodov na prvej a druhej kocke bude od 2 do 5.

Napíšme si tabuľku bodových rozdielov, zvýraznite v nej bunky, v ktorých bude hodnota rozdielu medzi 2 a 5:

tabuľka rozdielu bodov pri hode 2 kockami
Celkový počet rovnako možných elementárnych výsledkov je teda n=36
n
=
36
a počet priaznivých výsledkov (počet vytieňovaných buniek v tabuľke vyššie) m=10
m
=
10
. Potom sa pravdepodobnosť udalosti bude rovnať P=10/36=5/18
P
=
10
36
=
5
18
.

Takže v prípade, že hovoríme o hode 2 kockami a jednoduchej udalosti, musíte zostaviť tabuľku, vybrať v nej potrebné bunky a vydeliť ich počet 36, to bude pravdepodobnosť. Okrem úloh na súčet, súčin a rozdiel počtu bodov sú to aj úlohy na modul rozdielu, najmenší a najväčší počet vylosovaných bodov (vhodné tabuľky nájdete v súbore Excel).