Zhrnutie lekcie "Racionálne, iracionálne, exponenciálne a trigonometrické nerovnosti." Riešenie logaritmických a exponenciálnych nerovností

Do absolvovania jednotnej štátnej skúšky z matematiky zostáva stále menej času. Situácia sa vyostruje, nervy školákov, rodičov, učiteľov a vychovávateľov sú čoraz napätejšie. Vzlietnuť nervové napätie Denné hĺbkové hodiny matematiky vám pomôžu. Koniec koncov, nič, ako vieme, vás nenabíja pozitivitou a nepomôže vám zložiť skúšky ako dôvera vo vaše schopnosti a vedomosti. Dnes vám učiteľ matematiky povie o riešení systémov logaritmických a exponenciálnych nerovností, úloh, ktoré tradične spôsobujú ťažkosti mnohým moderným stredoškolákom.

Aby ste sa ako lektor matematiky naučili riešiť úlohy C3 z Jednotnej štátnej skúšky z matematiky, odporúčam vám venovať pozornosť nasledujúcim dôležitým bodom.

1. Predtým, ako začnete riešiť systémy logaritmických a exponenciálnych nerovností, musíte sa naučiť, ako riešiť každý z týchto typov nerovností samostatne. Najmä na pochopenie toho, ako sa nachádza rozsah prijateľných hodnôt, sa vykonávajú ekvivalentné transformácie logaritmických a exponenciálnych výrazov. Niektoré tajomstvá, ktoré s tým súvisia, môžete pochopiť preštudovaním článkov „“ a „“.

2. Zároveň je potrebné si uvedomiť, že nie vždy riešenie sústavy nerovníc spočíva v riešení každej nerovnosti samostatne a pretínaní výsledných intervalov. Niekedy, keď poznáme riešenie jednej nerovnosti systému, riešenie druhej sa stáva oveľa jednoduchším. Ako učiteľ matematiky, ktorý pripravuje školákov na záverečné skúšky vo formáte Jednotnej štátnej skúšky, odhalím v tomto článku niekoľko tajomstiev, ktoré s tým súvisia.

3. Je potrebné jasne pochopiť rozdiel medzi priesečníkom a zjednotením množín. Ide o jeden z najdôležitejších matematických poznatkov, ktorý sa skúsený profesionálny lektor snaží dať svojmu študentovi už od prvých hodín. Vizuálne znázornenie prieniku a spojenia množín je dané takzvanými „Eulerovými kruhmi“.

Priesečník množín je množina, ktorá obsahuje len tie prvky, ktoré má každá z týchto množín.

križovatka

Znázornenie priesečníka množín pomocou „eulerovských kruhov“

Vysvetlenie na dosah ruky. Diana má v kabelke „súpravu“ pozostávajúcu z ( perá, ceruzka, vládcov, zošity, hrebene). Alice má v kabelke „súpravu“ pozostávajúcu z ( notebook , ceruzka, zrkadlá, zošity, kyjevské kotlety). Priesečníkom týchto dvoch „množín“ bude „množina“ pozostávajúca z ( ceruzka, zošity), keďže Diana aj Alice majú oba tieto „prvky“.

Dôležité mať na pamäti! Ak je riešením nerovnosti interval a riešením nerovnosti je interval, potom riešením systémov je:

je interval, ktorý je križovatka pôvodné intervaly. Tu a ďalej nižšieznamená ktorýkoľvek zo znakov title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="17" width="93" style="vertical-align: -4px;">!} a pod - je to opačné znamenie.

Spojenie množín je súprava, ktorá pozostáva zo všetkých prvkov pôvodných súprav.

Inými slovami, ak sú dané dve sady a potom ich zjednotenie bude súbor nasledujúceho formulára:

Zobrazenie zjednotenia množín pomocou „eulerovských kruhov“

Vysvetlenie na dosah ruky. Spojenie „množín“ v predchádzajúcom príklade bude „množinou“ pozostávajúcou z ( perá, ceruzka, vládcov, zošity, hrebene, notebook, zrkadlá, kyjevské kotlety), keďže pozostáva zo všetkých prvkov pôvodných „súborov“. Jedno objasnenie, ktoré nemusí byť zbytočné. Kopa nemôže obsahujú rovnaké prvky.

Dôležité mať na pamäti! Ak je riešením nerovnosti interval a riešením nerovnosti je interval, potom riešením populácie je:

je interval, ktorý je únie pôvodné intervaly.

Prejdime priamo k príkladom.

Príklad 1 Vyriešte systém nerovností:

Riešenie úlohy C3.

1. Najprv vyriešime prvú nerovnosť. Pomocou substitúcie prejdeme k nerovnosti:

2. Teraz vyriešme druhú nerovnosť. Rozsah jeho prípustných hodnôt je určený nerovnosťou:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

V rozsahu prijateľných hodnôt, berúc do úvahy, že základ logaritmu title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="52" style="vertical-align: -4px;"> переходим к равносильному неравенству:!}

Vylúčením riešení, ktoré nie sú v rámci prijateľných hodnôt, dostaneme interval

3. Odpovedať systém budú nerovnosti križovatka

Výsledné intervaly na číselnej osi. Riešením je ich priesečník

Príklad 2 Vyriešte systém nerovností:

Riešenie úlohy C3.

1. Najprv vyriešme prvú nerovnosť. Vynásobte obe časti podľa title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="55" style="vertical-align: 0px;"> и делаем замену в результате чего приходим к неравенству:!}

Prejdime k reverznej substitúcii:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Grafické znázornenie výsledného intervalu. Riešením systému je ich priesečník

Príklad 3 Vyriešte systém nerovností:

Riešenie úlohy C3.

1. Najprv vyriešme prvú nerovnosť. Vynásobte obe časti názvom title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="61" style="vertical-align: -4px;"> после чего получаем неравенство:!}

Pomocou substitúcie sa dostaneme k nasledujúcej nerovnosti:

Prejdime k reverznej substitúcii:

2. Teraz vyriešme druhú nerovnosť. Najprv určme rozsah prijateľných hodnôt tejto nerovnosti:

ql-right-eqno">

Vezmite prosím na vedomie, že

Potom, berúc do úvahy rozsah prijateľných hodnôt, dostaneme:

3. nachádzame všeobecné riešenia nerovnosti Porovnanie získaných iracionálnych hodnôt uzlových bodov je úlohou v v tomto príklade nie je v žiadnom prípade triviálne. Môžete to urobiť nasledovne. Pretože

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

To a konečná odpoveď systému vyzerá takto:

Príklad 4. Vyriešte systém nerovností:

Riešenie úlohy C3.

1. Najprv vyriešme druhú nerovnosť:

2. Prvá nerovnosť pôvodného systému je logaritmická nerovnosť s premenlivým základom. Pohodlný spôsob riešenia takýchto nerovností je opísaný v článku „Komplexné logaritmické nerovnosti“ a je založený na jednoduchom vzorci:

Znamienko môže byť nahradené ľubovoľným znakom nerovnosti, hlavné je, že je v oboch prípadoch rovnaké. Použitie tohto vzorca výrazne zjednodušuje riešenie nerovnosti:

Poďme teraz určiť rozsah prijateľných hodnôt tejto nerovnosti. Nastavuje sa nasledujúcim systémom:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Je ľahké vidieť, že tento interval bude zároveň riešením našej nerovnosti.

3. Konečná odpoveď na originál systémov budú nerovnosti križovatka výsledné intervaly, tzn

Príklad 5. Vyriešte systém nerovností:

Riešenie úlohy C3.

1. Najprv vyriešme prvú nerovnosť. Použijeme substitúciu a pristúpime k nasledujúcej kvadratickej nerovnosti:

2. Teraz vyriešme druhú nerovnosť. Rozsah jeho prípustných hodnôt je určený systémom:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Táto nerovnosť je ekvivalentná nasledujúcemu zmiešanému systému:

V rozsahu prijateľných hodnôt, to znamená s title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="53" style="vertical-align: -4px;"> используя равносильные преобразования переходим к следующей смешанной системе:!}

Ak vezmeme do úvahy rozsah prijateľných hodnôt, získame:

3. Konečné rozhodnutie originálu systémov je

Riešenie úlohy C3.

1. Najprv vyriešme prvú nerovnosť. Pomocou ekvivalentných transformácií ho privedieme do tvaru:

2. Teraz vyriešme druhú nerovnosť. Rozsah jeho platných hodnôt je určený intervalom: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="68" style="vertical-align: 0px;"> Используя замену переменной переходим к следующему квадратичному неравенству:!}

Táto odpoveď úplne patrí do rozsahu prijateľných hodnôt nerovnosti.

3. Pretínaním intervalov získaných v predchádzajúcich odsekoch získame konečnú odpoveď na systém nerovností:

Dnes sme riešili systémy logaritmických a exponenciálnych nerovníc. Úlohy tohto druhu boli ponúknuté na skúšku Možnosti jednotnej štátnej skúšky v matematike v celom prúde školský rok. Ako lektor matematiky so skúsenosťami s prípravou na Jednotnú štátnu skúšku však môžem povedať, že to neznamená, že podobné úlohy budú skutočné možnosti Jednotná štátna skúška z matematiky v júni.

Dovoľte mi vysloviť jedno varovanie určené predovšetkým tútorom a učiteľom škôl, ktorí sa podieľajú na príprave študentov stredných škôl zloženie jednotnej štátnej skúšky matematiky. Je veľmi nebezpečné pripravovať školákov na skúšku striktne z daných tém, pretože v tomto prípade hrozí úplné „neúspech“ aj pri miernej zmene predtým uvedeného formátu úloh. Matematické vzdelanie musí byť úplné. Vážení kolegovia, neprirovnávajte svojich študentov k robotom takzvaným „školením“ na riešenie určitého typu problémov. Nie je predsa nič horšie ako formalizácia ľudského myslenia.

Veľa šťastia a tvorivého úspechu všetkým!

Sergej Valerijevič

Ak sa pokúsite, existujú dve možnosti: bude to fungovať alebo to nebude fungovať. Ak to neskúsite, je len jeden.
© Ľudová múdrosť

Všetky úlohy B7, ktoré som kedy videl, boli formulované zhruba rovnakým spôsobom: vyriešte rovnicu. V tomto prípade samotné rovnice patria do jedného z troch typov:

logaritmické;
Orientačné;
Iracionálne.

Všeobecne povedané, plnohodnotný sprievodca každým typom rovnice zaberie viac ako tucet strán, čo ďaleko presahuje rámec jednotnej štátnej skúšky. Preto budeme uvažovať len o najjednoduchších prípadoch, ktoré si vyžadujú jednoduché zdôvodnenie a výpočty. Tieto znalosti budú stačiť na vyriešenie akéhokoľvek problému B7.

V matematike výraz „vyriešiť rovnicu“ znamená nájsť množinu všetkých koreňov daná rovnica alebo dokážte, že táto množina je prázdna. Čísla však môžete zadať iba do formulára jednotnej štátnej skúšky – žiadne sady. Ak sa teda v úlohe B7 nachádzal viac ako jeden koreň (alebo naopak žiadny), v riešení sa stala chyba.

Logaritmické rovnice

Logaritmická rovnica je akákoľvek rovnica, ktorá sa redukuje na log tvaru a f(X) = k, Kde a > 0, a≠ 1 — logaritmický základ, f(X) je ľubovoľná funkcia, k- nejaký stály.

Táto rovnica je vyriešená zavedením konštanty k pod znak logaritmu: k=log a a k. Základ nového logaritmu sa rovná základni pôvodného logaritmu. Získame rovnicu log a f(X) = log a a k, čo sa rieši vypustením logaritmu.

Všimnite si, že podľa podmienok a> 0, teda f(X) = a k> 0, t.j. pôvodný logaritmus existuje.

Úloha. Riešte rovnicu: log 7 (8 − X) = 2.

Riešenie. log 7 (8 - X) = 2 ⇔ log 7 (8 − X) = log 7 7 2 ⇔ 8 − X = 49 ⇔ X = −41.

Úloha. Riešte rovnicu: log 0,5 (6 − X) = −2.

Riešenie. log 0,5 (6 - X) = −2 ⇔ log 0,5 (6 − X) = log 0,5 0,5 −2 ⇔ 6 − X = 4 ⇔ X = 2.

Ale čo keď sa ukáže, že pôvodná rovnica je zložitejšia ako štandardný log a f(X) = k? Potom ho zredukujeme na štandard, pričom zhromažďujeme všetky logaritmy na jednej strane a čísla na druhej strane.

Ak je v pôvodnej rovnici viac ako jeden logaritmus, budete musieť hľadať rozsah povolených hodnôt (ADV) každej funkcie pod logaritmom. V opačnom prípade sa môžu objaviť ďalšie korene.

Úloha. Vyriešte rovnicu: log 5 ( X+ 1) + denník 5 ( X + 5) = 1.

Pretože v rovnici sú dva logaritmy, nájdeme ODZ:

X + 1 > 0 ⇔ X > −1
X + 5 > 0 ⇔ X > −5

Zistíme, že ODZ je interval (−1, +∞). Teraz riešime rovnicu:

denník 5 ( X+ 1) + denník 5 ( X+ 5) = 1 ⇒ log 5 ( X + 1)(X+ 5) = 1 ⇔ log 5 ( X + 1)(X+ 5) = log 5 5 1 ⇔ ( X + 1)(X + 5) = 5 ⇔ X 2 + 6X + 5 = 5 ⇔ X (X + 6) = 0 ⇔ X 1 = 0, X 2 = −6.

ale X 2 = −6 nespĺňa podmienky pre DL. Čo zostáva, je koreň X 1 = 0.

Exponenciálne rovnice

Exponenciálna rovnica je akákoľvek rovnica, ktorá sa redukuje na tvar a f(X) = k, Kde a > 0, a≠ 1 – základ titulu, f(X) je ľubovoľná funkcia, k- nejaký stály.

Táto definícia takmer doslovne opakuje definíciu logaritmickej rovnice. Exponenciálne rovnice sa riešia ešte jednoduchšie ako logaritmické, pretože tu nie je potrebná funkcia f(X) bol pozitívny.

Aby sme to vyriešili, urobíme náhradu k = a t, Kde t- všeobecne povedané, logaritmus ( t=log a k), ale v Jednotnej štátnej skúške čísla a A k sa vyberie tak, aby ste našli t bude to jednoduché. Vo výslednej rovnici a f(X) = a t základy sú rovnaké, čo znamená, že ukazovatele sú rovnaké, t.j. f(X) = t. Riešenie poslednej rovnice zvyčajne nespôsobuje problémy.

Úloha. Riešte rovnicu: 7 X − 2 = 49.

Riešenie. 7 X − 2 = 49 ⇔ 7 X − 2 = 7 2 ⇔ X − 2 = 2 ⇔ X = 4.

Úloha. Vyriešte rovnicu: 6 16 − X = 1/36.

Riešenie. 6 16 − X = 1/36 ⇔ 6 16 − X = 6 −2 ⇔ 16 − X = −2 ⇔ X = 18.

Trochu o transformácii exponenciálne rovnice. Ak sa pôvodná rovnica líši od a f(X) = k , aplikujeme pravidlá pre prácu so stupňami:

a n · a m = a n + m ,
a n / a m = a n − m ,
(a n) m = a n · m .

Okrem toho musíte poznať pravidlá nahradenia koreňov a zlomkov mocninami s racionálnym exponentom:

Takéto rovnice sú v Jednotnej štátnej skúške extrémne zriedkavé, ale bez nich by bola analýza problému B7 neúplná.

Úloha. Vyriešte rovnicu: (5/7) X− 2 · (7/5) 2 X − 1 = 125/343

Všimni si:

(7/5) 2X − 1 = ((5/7) −1) 2X − 1 = (5/7) 1 − 2X ,
125/343 = (5 3) /(7 3) = (5/7) 3 .

Máme: (5/7) X− 2 · (7/5) 2 X − 1 = 125/343 ⇔ (5/7) X− 2 · (5/7) 1 − 2 X = (5/7) 3 ⇔ (5/7) X − 2 + 1 − 2X = (5/7) 3 ⇔ (5/7) −X − 1 = (5/7) 3 ⇔ −X − 1 = 3 ⇔ X = −4.

Iracionálne rovnice

Iracionálnou rozumieme akúkoľvek rovnicu obsahujúcu odmocninu. Z celej škály iracionálnych rovníc budeme uvažovať iba o najjednoduchšom prípade, keď má rovnica tvar:

Aby sme túto rovnicu vyriešili, odmocnime obe strany. Dostaneme rovnicu f(X) = a 2. V tomto prípade je požiadavka ODZ automaticky splnená: f(X) ≥ 0, pretože a 2 ≥ 0. Zostáva vyriešiť jednoduchú rovnicu f(X) = a 2 .

Úloha. Vyriešte rovnicu:

Obidve strany odmocníme a dostaneme: 5 X − 6 = 8 2 ⇔ 5X − 6 = 64 ⇔ 5X = 70 ⇔ X = 14.

Úloha. Vyriešte rovnicu:

Najprv, ako minule, obe strany uvaľujeme. A potom pridajte do čitateľa znamienko mínus. Máme:

Všimnite si, že kedy X= −4 pod odmocninou bude kladné číslo, t.j. Požiadavka ODZ bola splnená.

prihláška č.3

Lekcia 225. Racionálne, iracionálne, demonštratívne a trigonometrické nerovnosti.

Dátum:

Typ lekcie: lekciu zovšeobecňovania a systematizácie vedomostí na túto tému.

Ciele lekcie:

zovšeobecnenie poznatkov o spôsoboch riešenia exponenciálnych nerovností. príprava na jednotnú štátnu skúšku;

formovanie adekvátnej sebaúcty a vzájomného hodnotenia u žiakov pri práci v skupine;

rozvoj matematickej reči pri komentovaní riešení, pri zostavovaní algoritmov na dokončenie úlohy; schopnosť prekonávať ťažkosti, schopnosť pracovať s referenčnou literatúrou;

vzdelávanie vzájomnej pomoci.

Vedomosti, schopnosti, zručnosti a vlastnosti, ktoré budú aktualizované/nadobudnuté/upevnené/atď. žiaci počas hodiny:

systematizovať svoje vedomosti o tejto téme;

upevniť teoretické vedomosti o tejto téme;

aplikovať poznatky v neštandardnej situácii.

Potrebné vybavenie a materiály:

Notebooky na individuálne testovanie, multimediálny projektor;

prezentácia na lekciu;

písacie potreby, letáky, hárky na sebahodnotenie.

Vyučovacie metódy: technológia problémovo-situačného učenia s využitím prípadovej fázy.

Kroky lekcie:

1.Org moment - 1 minúta

2. formulácia témy a cieľov vyučovacej hodiny 1 minúta

3. Aktualizácia základných vedomostí. Bleskový prieskum. (3 min.)

4. Výsledky bleskového prieskumu – 2 minúty

5. Kontrola domácich úloh. Klasifikácia. 3 minúty

6.Domáca úloha diferencovaného charakteru s právom výberu. 1 minúta

7.Opakovanie teórie a induktora (vykonanie cielenia) 2 min

8. Precvičovanie zručností riešenia. Práca s referenčnou literatúrou. 5 nerovností 10 min

9. Reklama 2 minúty

10. Prestávka. Neznáme problémy – 2 min

11. riešenie týchto úloh 4 minúty

12. Reklamné riešenia nových problémov 4 min

13. Odraz – 2 min

14. Sebaúcta 1 minúta

Pred začiatkom vyučovacej hodiny sa žiaci posadia do určitých radov podľa troch stupňov tréningu. Upozorňujeme, že zručnosti na preberanú tému nepatria medzi povinné požiadavky na prípravu študentov, preto ju so mnou študujú len pripravenejší študenti (skupina 1 a 2).

Účel lekcie. Analyzujte metódy riešenia iracionálnych nerovností priemeru a zvýšená hladina zložitosť, vypracovať referenčné diagramy.

1. fáza lekcie - organizačná (1 min.)

Učiteľ povie žiakom tému hodiny, účel a vysvetlí účel písomiek, ktoré majú na stole.

2. fáza lekcie (5 min.)

Ústna práca za zopakovanie riešenia jednoduchých úloh na tému „Exponent s racionálnym exponentom“

Učiteľ vyzve študentov, aby postupne odpovedali na otázky, pričom svoju odpoveď komentovali s odkazom na zodpovedajúci teoretický fakt.

Mocnina s racionálnym exponentom

Zjednodušte: 1) 12 m 4 /3 m 8

2) 6 s 3/7 + 4 (s 1/7) 3

3) (32 x 2) 1/5 x 3/5

4) 2 4,6a 2 -1,6a

5) 2x 0,2 x -1,2

6) 4 x 3/5 x 1/10

8) 2x 4/5 · 3x 1/5

9) (3x 2/5) 2 + 2x 4/5

10) 3 x 1/2 x 3/2

Vypočítajte: 11) 4 3,2 m 4 -1,2 m, pričom m = 1/4

12) 6 -5,6a 6 3,6a, s a = 1/2

13) 5 27 2/3 - 16 1/4

14) 3 4,4 s 3 - 6,4 s, s c = 1/2

15) 3x 2/5 x 3/5, pričom x = 2

3. fáza lekcie - štúdium Nová téma(20 min.), prednáška

Učiteľ vyzve 3. skupinu žiakov, aby začali pracovať na opakovaní s kartičkami - konzultantmi na tému „Najjednoduchšie goniometrické rovnice"(keďže študovaný materiál má zvýšenú úroveň zložitosti a nie je povinný). Žiaci 3. skupiny sú spravidla žiaci so slabou matematickou prípravou, pedagogicky zanedbaní školáci. Po splnení úlohy sa karty v rámci skupiny vymenia. Pripravenejší študenti začnú analyzovať novú tému.

Pred analýzou metód riešenia iracionálnych nerovností je potrebné študentom pripomenúť základné teoretické fakty, na základe ktorých sa budú budovať podporné schémy pre ekvivalentné prechody. V závislosti od úrovne prípravy študentov to môžu byť buď ústne odpovede na otázky učiteľa, alebo spoločná práca medzi učiteľom a študentmi, ale v každom prípade by sa malo na hodine povedať nasledovné.

Definícia 1. Nerovnice, ktoré majú rovnakú množinu riešení, sa nazývajú ekvivalentné.

Pri riešení nerovníc sa daná nerovnosť väčšinou transformuje na ekvivalentnú.

Napríklad nerovnosť (x - 3)/(x 2 + 1) sú ekvivalentné, pretože majú rovnakú sadu riešení: X. Nerovnosti 2x/(x - 1) 1 a 2x x - 1 nie sú rovnocenné, pretože riešenia prvého sú riešenia x 1 a riešenia druhého sú čísla x -1.

Definícia 2. Oblasť definície nerovnosti je množina hodnôt x, pre ktoré majú obe strany nerovnosti zmysel.

Motivácia. Nerovnosti samy o sebe sú zaujímavé pre štúdium, pretože Práve s ich pomocou sú v symbolickom jazyku napísané najdôležitejšie úlohy pochopenia reality. Nerovnosť často slúži ako dôležitý pomocný nástroj, ktorý umožňuje dokázať alebo vyvrátiť existenciu akýchkoľvek objektov, odhadnúť ich počet a vykonať klasifikáciu. Preto sa s nerovnosťami musíme vyrovnať nie menej často ako s rovnicami.

Definícia. Nerovnosti obsahujúce premennú pod koreňovým znakom sa nazývajú iracionálne.

Príklad 1√ (5 - x)

Aký je rozsah nerovnosti?

Za akých podmienok vytvára kvadratúra oboch strán ekvivalentnú nerovnosť?

√(5 - x) 5 - x -11

Príklad 2√10 + x - x 2 ≥ 2 10 + x - x 2 ≥ 0 10 + x - x 2 ≥ 4

10 + x - x 2 ≥ 4

pretože každé riešenie druhej nerovnosti systému je riešením prvej nerovnosti.

Príklad 3 Riešiť nerovnosti

b) √2x 2 + 5x - 3 ≤ 0 2x 2 + 5x - 3 = 0

Pozrime sa na tri typické príklady, z ktorých bude zrejmé, ako robiť ekvivalentné prechody pri riešení nerovníc, keď očividná transformácia ekvivalentná nie je.

Príklad 1√1 - 4x x + 11.

Chcel by som, samozrejme, vyrovnať obe strany, aby som dostal kvadratická nerovnosť. V tomto prípade môžeme dostať nerovnosť, ktorá nie je ekvivalentná. Ak vezmeme do úvahy iba tie x, pre ktoré nie sú obe strany záporné (ľavá strana je zjavne nezáporná), potom bude kvadratúra stále možná. Ale čo robiť s tými x pre ktoré pravá časť negatívne? A nerobte nič, pretože žiadne z týchto x nebude riešením nerovnosti: koniec koncov, pre akékoľvek riešenie nerovnosti je pravá strana väčšia ako ľavá, čo je nezáporné číslo, a preto je samo sebou. nie negatívne. Takže dôsledkom našej nerovnosti bude takýto systém

1 - 4x (x + 11) 2

Tento systém však nemusí byť ekvivalentný pôvodnej nerovnosti. Oblasť definície výslednej sústavy je celá číselná os, pričom pôvodná nerovnosť je definovaná len pre tie x, pre ktoré je 1 - 4x ≥ 0. To znamená, že ak chceme, aby naša sústava bola ekvivalentná nerovnosti, musíme priradiť táto podmienka:

Odpoveď: (- 6; ¼]

Od silného študenta sa žiada, aby uvažoval všeobecný pohľad, dopadne to takto

√f(x) g (x) f (x) ( g(x)) 2

g(x) ≥ 0

f(x) ≥ 0.

Ak by pôvodná nerovnosť mala znamienko ≤ namiesto f (x) ≤ (g (x)) 2.

Príklad 2√x x - 2

Aj tu je možné odmocniť tie x, pre ktoré je splnená podmienka x - 2 ≥ 0, teraz však už nie je možné vyradiť tie x, pre ktoré je pravá strana záporná: koniec koncov, v tomto prípade je to tak. pravá strana bude menšia ako zjavne nezáporná ľavá strana, takže všetky takéto x budú riešeniami nerovností. Nie však všetky, ale tie, ktoré sú zahrnuté do rozsahu definície nerovnosti, t.j. pre ktoré x ≥ 0. Aké prípady treba zvážiť?

Prípad 1: ak x - 2 ≥ 0, potom naša nerovnosť implikuje systém

Prípad 2: ak x – 2

Pri analýze prípadov vzniká zložený stav nazývaný „totalita“. Získame množinu dvoch systémov ekvivalentných nerovnosti

Od silného študenta sa vyžaduje, aby zdôvodnil všeobecnú formu, potom to dopadne takto:

√f (x) g (x) f (x) (g (x)) 2

g(x) ≥ 0

f(x) ≥ 0

g(x).

Ak by pôvodná nerovnosť mala namiesto toho znamienko ≥, potom by sa f (x) ≥ (g (x)) 2 mala brať ako prvá nerovnosť tohto systému.

Príklad 3√x 2 - 1 √x + 5.

Aký význam majú výrazy vľavo a vpravo?

Dá sa to štvorčekovať?

Aký je rozsah definície nerovností?

Dostaneme x 2 - 1 x + 5

Ktorá podmienka je zbytočná?

Dostaneme teda, že táto nerovnosť je ekvivalentná systému

Od silného študenta sa vyžaduje, aby vykonal všeobecnú úvahu, ktorej výsledkom bude nasledovné:

√f (x) √g (x) f (x) g (x)

g(x) ≥ 0.

Zamyslite sa nad tým, čo sa zmení, ak namiesto pôvodnej nerovnosti bude znamienko ≥, ≤ resp

Na tabuli sú vyvesené 3 schémy riešenia iracionálnych nerovností a opäť sa rozoberá princíp ich konštrukcie.

4. fáza - upevnenie vedomostí (5 min.)

Žiaci skupiny 2 majú uviesť, ktorý systém alebo ich kombinácia je ekvivalentná nerovnosti č. 167 (Algebra a začiatky analýzy 10-11 ročníkov M, Vzdelávanie, 2005, Sh.A. Alimov)

Dvaja najpripravenejší študenti z tejto skupiny majú vyriešiť nerovnosti na tabuli: č. 1. √x 2 - 1 1

Č. 2. √25 - x 2

Študenti skupiny 1 dostanú podobnú úlohu, ale viac vysoký stupeň zložitosť č. 170 (Algebra a začiatky analýzy 10-11 ročníkov M, Vzdelanie, 2005, Sh.A. Alimov)

jeden z najpripravenejších študentov z tejto skupiny má vyriešiť nerovnosť na tabuli: √4x - x 2

Všetci študenti však môžu používať poznámky.

V tomto čase učiteľ pracuje so žiakmi v skupine 3: odpovedá na ich otázky a v prípade potreby pomáha; a riadi riešenie problémov na tabuli.

Po uplynutí času dostane každá skupina odpoveďový hárok na kontrolu (odpovede je možné zobraziť na obrazovke pomocou multimediálneho systému).

5. fáza hodiny – diskusia o riešeniach problémov prezentovaných na tabuli (7 min.)

Žiaci, ktorí plnili úlohy pri tabuli, svoje riešenia komentujú a ostatní v prípade potreby upravujú a robia si poznámky do zošitov.

6. fáza hodiny - zhrnutie hodiny, komentár k domácej úlohe (2 min.)

Skupina 3 si vymieňa karty v rámci skupiny.

2 skupina č. 168 (3, 4)

1 skupina č. 169 (5), č. 170 (6)

Iracionálne nerovnosti

Pod iracionálna nerovnosť sa vzťahuje na nerovnosť, v ktorej sú neznáme množstvá pod znamienkom radikálu. Riešenie takýchto nerovností zvyčajne spočíva v ich nahradení ekvivalentnými pomocou niektorých transformácií racionálne rovnice nerovnosti alebo sústavy rovníc a nerovníc (často zmiešané sústavy, t. j. také, ktoré zahŕňajú rovnice aj nerovnice) a ďalšie riešenie môže nasledovať vyššie načrtnuté kroky. Tieto transformácie okrem nahradenia premenných (zavedenie nových premenných) a faktorizácie tiež zvyšujú obe časti nerovnosti na rovnakú mieru. Je však potrebné sledovať ekvivalenciu prechodov z jednej nerovnosti na druhú. Pri bezmyšlienkovom umocňovaní sa korene nerovnosti môžu stratiť aj získať. Napríklad umocnenie správnej nerovnosti -1<2, мы получим верное неравенство 1<4; из верного неравенства -5<2 получается уже неверное неравенство 25<4;из неверного неравенства 1<-2 получим верное неравенство 1<4; наконец, из неверного неравенства 5<2 получим неверное неравенство 25<4. Вы видите, что возможны все комбинации верных и неверных неравенств!

Hlavné tvrdenie, ktoré sa tu používa, je však pravdivé: ak sú obe strany nerovnosti nezáporné, potom je ekvivalentná nerovnosti získanej z nej umocňovaním člen po členoch.

Pri riešení nerovností týmto spôsobom musíte byť opatrní, aby ste nezískali cudzie riešenia. Preto je užitočné tam, kde je to možné, nájsť doménu definície nerovnosti, ako aj rozsah možných hodnôt riešení.

Exponenciálne a logaritmické nerovnosti

Riešeniu exponenciálnych a logaritmických nerovníc predchádza štúdium vlastností zodpovedajúcich funkcií; vykonávanie mnohých úloh pri prevode exponenciálnych a logaritmických výrazov; riešenie rovníc obsahujúcich logaritmy a premenné v exponentoch. Riešenie najjednoduchších nerovností, ktoré sa zvažujú

kde znamená jednu z nerovností<,>,.

Faktom je, že zvyčajne sa táto téma zavádza ako úplne nová, založená iba na predtým študovaných vlastnostiach týchto funkcií. Je vhodné to podľa mňa spojiť s riešením nerovníc všeobecne (t.j. s už známym algoritmom). Stojí za zmienku, že intervalovú metódu nemožno použiť priamo. Ale riešenie rôznych exponenciálnych a logaritmických nerovností sa robí na základe nasledujúcich pravidiel:

Ak a>1, potom

Ak 0

Ak a>1, potom

Ak 0

Kde znak znamená opak významu znaku.

Pomocou ktorých sa exponenciálne a logaritmické nerovnosti zvyčajne redukujú na racionálne, ktoré sa už dajú vyriešiť pomocou vyššie opísanej metódy intervalov.

Nerovnice zahŕňajúce goniometrické funkcie

Táto téma je v náučnej literatúre nedostatočne spracovaná a v niektorých učebniciach je vo všeobecnosti vyňatá z rámca študovaného predmetu (ako už bolo uvedené v kapitole I tejto práce). Z trigonometrických nerovností sa spravidla berú do úvahy iba najjednoduchšie typy

Zatiaľ čo úlohy prezentované v praktickej časti súvisiace s týmto bodom sa nachádzajú v zborníkoch súťažných úloh, v zborníkoch pre uchádzačov a materiály na prijímacie skúšky na technické fakulty vysokých škôl. Tie. Tento materiál nie je potrebný pre štúdium na základných a stredných školách, ale je užitočný.

Intervalová metóda je obzvlášť účinná pri riešení nerovníc zahŕňajúcich goniometrické funkcie. Pri riešení čisto goniometrických nerovníc touto metódou je vhodné namiesto číselnej osi použiť číselný kruh, ktorý je rozdelený koreňmi príslušných goniometrických rovníc (čitateľ a menovateľ) na oblúky, ktoré zohrávajú rovnakú úlohu ako intervaly na číselnej osi. Na týchto oblúkoch má trigonometrický výraz zodpovedajúci riešenej nerovnosti konštantné znamienka, na určenie ktorého môžete použiť pravidlo samostatného „pohodlného“ bodu a vlastnosť násobnosti koreňov. Na určenie samotných oblúkov často nie je vôbec potrebné nájsť celú (nekonečnú) množinu koreňov zodpovedajúcich rovníc; Pomocou týchto rovníc stačí nájsť hodnoty základných goniometrických funkcií (sínus, kosínus, tangens, kotangens) a označiť body na číselnom kruhu, ktoré zodpovedajú týmto hodnotám.

Číselný kruh môžete použiť priamo na vyriešenie pôvodnej goniometrickej nerovnosti pomocou intervalovej metódy, ak všetky funkcie, v ktorých je nerovnosť zapísaná, majú základnú (najmenšiu kladnú) periódu alebo kde m je nejaké kladné celé číslo. Ak je základná perióda týchto funkcií väčšia ako alebo, mali by ste najskôr zmeniť premenné a potom použiť číselný kruh.

Ak nerovnosť zahŕňa trigonometrické aj iné funkcie, potom by sa na jej vyriešenie mala použiť číselná os pomocou intervalovej metódy.