7 inverzná matica. Nájdenie inverznej matice: tri algoritmy a príklady

Hľadanie inverzná matica.

V tomto článku pochopíme pojem inverzná matica, jej vlastnosti a metódy hľadania. Zastavme sa podrobne pri riešení príkladov, v ktorých je potrebné zostrojiť pre danú inverznú maticu.

Navigácia na stránke.

Inverzná matica - definícia.

Nájdenie inverznej matice pomocou matice z algebraických doplnkov.

Vlastnosti inverznej matice.

Nájdenie inverznej matice pomocou Gaussovej-Jordanovej metódy.

Hľadanie prvkov inverznej matice riešením zodpovedajúcich sústav lineárnych algebraických rovníc.

Inverzná matica - definícia.

Koncept inverznej matice je zavedený len pre štvorcové matice, ktorých determinant je nenulový, teda pre nesingulárne štvorcové matice.

Definícia.

Matrixnazývaná inverzia matice, ktorého determinant je odlišný od nuly, ak sú rovnosti pravdivé , Kde E– matica poradia jednotiek n na n.

Nájdenie inverznej matice pomocou matice z algebraických doplnkov.

Ako nájsť inverznú maticu pre danú maticu?

Najprv potrebujeme koncepty transponovaná matica, matica minor a algebraický doplnok prvku matice.

Definícia.

Menšíkth objednať matice A objednať m na n je determinantom matice objednávky k na k, ktorý sa získava z prvkov matrice A nachádza vo vybranom k linky a k stĺpci. ( k nepresahuje najmenšie číslo m alebo n).

Menší (n-1). poriadku, ktorý je zložený z prvkov všetkých riadkov okrem i-tý a všetky stĺpce okrem jth, štvorcová matica A objednať n na n označme to ako .

Inými slovami, minor sa získa zo štvorcovej matice A objednať n na n prečiarknutím prvkov i-tý linky a jth stĺpec.

Napríklad napíšme, minor 2 poriadku, ktorý sa získa z matice výber prvkov druhého, tretieho riadku a prvého, tretieho stĺpca . Ukážeme aj moll, ktorý sa získa z matice prečiarknutím druhého riadku a tretieho stĺpca . Ukážme si konštrukciu týchto maloletých: a .

Definícia.

Algebraický doplnok prvok štvorcovej matice sa nazýva vedľajší (n-1). poriadku, ktorý sa získa z matice A, vyčiarknutie prvkov z nej i-tý linky a jth stĺpec vynásobený .

Algebraický doplnok prvku sa označuje ako . teda .

Napríklad pre maticu algebraický doplnok prvku je .

Po druhé, budeme potrebovať dve vlastnosti determinantu, o ktorých sme hovorili v časti výpočet determinantu matice:

Na základe týchto vlastností determinantu, definície operácie násobenia matice číslom a koncept inverznej matice je pravdivý: , kde je transponovaná matica, ktorej prvky sú algebraické doplnky.

Matrix je skutočne inverzná k matici A, keďže sú splnené rovnosti . Ukážme to

Poďme skladať Algoritmus na nájdenie inverznej matice pomocou rovnosti .

Pozrime sa na algoritmus na nájdenie inverznej matice na príklade.

Príklad.

Daná matica . Nájdite inverznú maticu.

Riešenie.

Vypočítajme determinant matice A, pričom ho rozložíme na prvky tretieho stĺpca:

Determinant je nenulový, teda matica A reverzibilné.

Nájdite maticu algebraických sčítaní:

Preto

Transponujme maticu z algebraických sčítaní:

Teraz nájdeme inverznú maticu ako :

Skontrolujeme výsledok:

Rovnosti sú splnené, preto je inverzná matica nájdená správne.

Vlastnosti inverznej matice.

Pojem inverznej matice, rovnosť , definície operácií s maticami a vlastnosti determinantu matice umožňujú zdôvodniť nasledovné vlastnosti inverznej matice:

Hľadanie prvkov inverznej matice riešením zodpovedajúcich sústav lineárnych algebraických rovníc.

Uvažujme o inom spôsobe, ako nájsť inverznú maticu pre štvorcovú maticu A objednať n na n.

Táto metóda je založená na riešení n sústavy lineárnych nehomogénnych algebraických rovníc s n neznámy. Neznáme premenné v týchto sústavách rovníc sú prvkami inverznej matice.

Myšlienka je veľmi jednoduchá. Označme inverznú maticu ako X, teda . Pretože podľa definície inverznej matice, potom

Porovnaním zodpovedajúcich prvkov podľa stĺpcov dostaneme n sústavy lineárnych rovníc

Riešime ich ľubovoľným spôsobom a zo zistených hodnôt vytvoríme inverznú maticu.

Pozrime sa na túto metódu na príklade.

Príklad.

Daná matica . Nájdite inverznú maticu.

Riešenie.

Prijmime . Rovnosť nám dáva tri systémy lineárnych nehomogénnych algebraických rovníc:

V prípade potreby nebudeme popisovať riešenie týchto systémov, pozrite si časť riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc.

Z prvej sústavy rovníc máme, z druhej - , z tretej - . Preto požadovaná inverzná matica má tvar . Odporúčame skontrolovať, či je výsledok správny.

Zhrnúť.

Pozreli sme sa na koncept inverznej matice, jej vlastnosti a tri metódy na jej nájdenie.

Príklad riešenia metódou inverznej matice

Cvičenie 1. Vyriešte SLAE pomocou metódy inverznej matice. 2 x 1 + 3 x 2 + 3 x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5 x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 = 2 5 x 1 + 7 x 2 + 6 x 3 + 2 x 4 = 3 4 x 1 + 4 x 2 + 3 x 3 + x 4 = 4

Začiatok formulára

Koniec formulára

Riešenie. Maticu zapíšme v tvare: Vektor B: B T = (1,2,3,4) Hlavný determinant Vedľajší pre (1,1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2) +4 ( 3 2-6 2) = -3 Menší pre (2,1): = 3 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0 Menší pre (3 ,1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 vedľajšie pre (4,1): = 3 (3 2- 6 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 Determinant vedľajšej ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

Transponovaná matica Algebraické sčítania ∆ 1,1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1,2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1,3 = 3 (3 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-3 4 ) = 3 ∆ 1,4 = -3 (3 2-2 6)-3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2,1 = -3 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2,2 = 2 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3- 6 4) = 0 ∆ 2,3 = -2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2,4 = 2 (3 2- 2 6)-3 (3 2-2 5) +1 (3 6-3 5) = 3 ∆ 3,1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3,2 = -2 (7 1-2 4)-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3,3 = 2 (5 1 -2 4)-3 (3 1-2 4)+1 (3 4 -5 4) = 1 ∆ 3,4 = -2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 ( 3 7-5 5) = 0 ∆ 4,1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4,2 = 2 ( 7 3-6 4)-3 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -3 ∆ 4,3 = -2 (5 3-3 4)-3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4,4 = 2 (5 6-3 7)-3 (3 6-3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 Inverzná matica Vektor výsledkov X X = A-1 ∙ B X T = (2,-1,-0,33,1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0,33 x 4 = 1

pozri tiež riešenia SLAE metódou inverznej matice online. Ak to chcete urobiť, zadajte svoje údaje a získajte riešenie s podrobnými komentármi.

Úloha 2. Napíšte sústavu rovníc v maticovom tvare a vyriešte ju pomocou inverznej matice. Skontrolujte výsledný roztok. Riešenie:xml:xls

Príklad 2. Napíšte sústavu rovníc v maticovom tvare a vyriešte pomocou inverznej matice. Riešenie:xml:xls

Príklad. Je daný systém troch lineárnych rovníc s tromi neznámymi. Vyžaduje sa: 1) nájdite jeho riešenie pomocou Cramerove vzorce; 2) napíšte systém v maticovom tvare a vyriešte ho pomocou maticového počtu. Usmernenia. Po vyriešení Cramerovou metódou nájdite tlačidlo "Solving by inverse matrix method for source data". Dostanete vhodné riešenie. Údaje tak nebudete musieť znova vypĺňať. Riešenie. Označme A maticu koeficientov pre neznáme; X - stĺpcová matica neznámych; B - maticový stĺpec voľných členov:

Vektor B: B T =(4,-3,-3) Ak vezmeme do úvahy tieto zápisy, táto sústava rovníc má nasledujúci maticový tvar: A*X = B. Ak je matica A nesingulárna (jej determinant je nenulový , potom má inverznú maticu A -1 Vynásobením oboch strán rovnice A -1 dostaneme: A -1 *A*X = A -1 *B, A -1 *A=E. maticový zápis riešenia sústavy lineárnych rovníc. Na nájdenie riešenia sústavy rovníc je potrebné vypočítať inverznú maticu A -1. Systém bude mať riešenie, ak determinant matice A bude nenulový. Poďme nájsť hlavný determinant. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 Takže, determinant 14 ≠ 0, takže my pokračovať v riešení. Aby sme to dosiahli, nájdeme inverznú maticu pomocou algebraických sčítaní. Majme nesingulárnu maticu A:

Vypočítavame algebraické doplnky.

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7

∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T =(-1,1,2) x 1 = -14 / 14 = -1 x 2 = 14 / 14 = 1 x 3 = 28 / 14 = 2 Vyšetrenie. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 doc:xml:xls odpoveď: -1,1,2.

Matica A -1 sa nazýva inverzná matica vzhľadom na maticu A, ak A*A -1 = E, kde E je matica identity n-tého rádu. Inverzná matica môže existovať len pre štvorcové matice.

Účel služby. Pomocou tejto služby online môžete nájsť algebraické doplnky, transponovanú maticu A T, spojenú maticu a inverznú maticu. Rozhodnutie sa vykonáva priamo na webovej stránke (online) a je bezplatné. Výsledky výpočtu sú prezentované v správe vo formáte Word a Excel (t. j. je možné skontrolovať riešenie). pozri príklad dizajnu.

Inštrukcie. Na získanie riešenia je potrebné špecifikovať rozmer matice. Ďalej vyplňte maticu A v novom dialógovom okne.

Maticový rozmer 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Pozri tiež Inverzná matica pomocou Jordano-Gaussovej metódy

Algoritmus na nájdenie inverznej matice

1. Nájdenie transponovanej matice AT .
2. Definícia algebraických doplnkov. Nahraďte každý prvok matice jeho algebraickým doplnkom.
3. Zostavenie inverznej matice z algebraických sčítaní: každý prvok výslednej matice je vydelený determinantom pôvodnej matice. Výsledná matica je inverzná k pôvodnej matici.

Ďalšie Algoritmus na nájdenie inverznej matice podobne ako v predchádzajúcom, až na niektoré kroky: najprv sa vypočítajú algebraické doplnky a potom sa určí príbuzná matica C.

1. Zistite, či je matica štvorcová. Ak nie, potom na to neexistuje inverzná matica.
2. Výpočet determinantu matice A. Ak nie rovná nule, pokračujeme v riešení, inak inverzná matica neexistuje.
3. Definícia algebraických doplnkov.
4. Vyplnenie zjednocovacej (vzájomnej, adjungovanej) matice C .
5. Zostavenie inverznej matice z algebraických sčítaní: každý prvok adjungovanej matice C sa vydelí determinantom pôvodnej matice. Výsledná matica je inverzná k pôvodnej matici.
6. Vykonajú kontrolu: vynásobia pôvodnú a výslednú maticu. Výsledkom by mala byť matica identity.

Príklad č.1. Maticu napíšeme v tvare:

Algebraické sčítania.

A1,1 = (-1) 1+1

-1 -2 5 4

∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

A1,2 = (-1) 1+2

2 -2 -2 4

∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

A 1,3 = (-1) 1+3

2 -1 -2 5

∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

A2,1 = (-1) 2+1

2 3 5 4

∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7

A2,2 = (-1) 2+2

-1 3 -2 4

∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

A2,3 = (-1) 2+3

-1 2 -2 5

∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

A 3,1 = (-1) 3+1

2 3 -1 -2

∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

A 3,2 = (-1) 3+2

-1 3 2 -2

∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

A 3,3 = (-1) 3+3

-1 2 2 -1

∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Potom inverzná matica možno napísať ako:

A-1 = 1/10

6 -4 8 7 2 1 -1 4 -3

A-1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Ďalší algoritmus na nájdenie inverznej matice

Uveďme ďalšiu schému na nájdenie inverznej matice.

1. Nájdite determinant danej štvorcovej matice A.
2. Ku všetkým prvkom matice A nájdeme algebraické doplnky.
3. Zapisujeme algebraické sčítania riadkových prvkov do stĺpcov (transpozícia).
4. Každý prvok výslednej matice vydelíme determinantom matice A.

Ako vidíme, operáciu transpozície možno použiť na začiatku, na pôvodnú maticu, aj na konci na výsledné algebraické sčítania.

Špeciálny prípad: Inverzná matica identity E je matica identity E.

Metódy hľadania inverznej matice, . Zvážte štvorcovú maticu

Označme Δ =det A.

Štvorcová matica A sa nazýva nedegenerovaný, alebo nie špeciálne, ak je jeho determinant nenulový, a degenerovať, alebo špeciálne, AkΔ = 0.

Štvorcová matica B je pre štvorcovú maticu A rovnakého rádu, ak ich súčin je A B = B A = E, kde E je matica identity rovnakého rádu ako matice A a B.

Veta . Aby matica A mala inverznú maticu, je potrebné a postačujúce, aby jej determinant bol odlišný od nuly.

Inverzná matica matice A, označená A- 1, takže B = A - 1 a vypočíta sa podľa vzorca

, (1)

kde A i j sú algebraické doplnky prvkov a i j matice A..

Výpočet A -1 pomocou vzorca (1) pre matice vysokého rádu je veľmi náročný na prácu, takže v praxi je vhodné nájsť A -1 pomocou metódy elementárnych transformácií (ET). Akákoľvek nesingulárna matica A môže byť zredukovaná na maticu identity E použitím iba stĺpcov (alebo iba riadkov) na maticu identity. Ak sa dokonalé transformácie nad maticou A aplikujú v rovnakom poradí na maticu identity E, výsledkom bude inverzná matica. Je vhodné vykonávať EP na maticách A a E súčasne, pričom obe matice píšte vedľa seba cez riadok. Pripomeňme ešte raz, že pri hľadaní kanonickej formy matice na jej nájdenie môžete použiť transformácie riadkov a stĺpcov. Ak potrebujete nájsť inverznú hodnotu matice, mali by ste počas procesu transformácie použiť iba riadky alebo iba stĺpce.

Príklad 2.10. Pre maticu nájsť A -1 .

Riešenie.Najprv nájdeme determinant matice A
To znamená, že inverzná matica existuje a môžeme ju nájsť pomocou vzorca: , kde A i j (i,j=1,2,3) sú algebraické sčítania prvkov a i j pôvodnej matice.

Kde .

Príklad 2.11. Metódou elementárnych transformácií nájdite A -1 pre maticu: A = .

Riešenie.Pôvodnej matici vpravo priradíme maticu identity rovnakého poradia: . Pomocou elementárnych transformácií stĺpcov zredukujeme ľavú „polovicu“ na jednotkovú, pričom súčasne vykonáme presne tie isté transformácie na pravej matici.
Ak to chcete urobiť, vymeňte prvý a druhý stĺpec: ~ . Do tretieho stĺpca pridáme prvý a do druhého - prvý, vynásobený -2: . Z prvého stĺpca odpočítame druhý zdvojnásobený a od tretieho - druhý vynásobený 6; . Pridajme tretí stĺpec k prvému a druhému: . Vynásobte posledný stĺpec číslom -1: . Štvorcová matica získaná napravo od zvislého pruhu je inverzná matica danej matice A.
.

Uvažujme o probléme definovania inverznej operácie násobenia matíc.

Nech A je štvorcová matica rádu n. Matica A^(-1) uspokojujúca spolu s daná matica A rovnosti:

A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E,

volal obrátene. Matica A sa nazýva reverzibilné, ak pre to existuje inverzia, inak - nezvratné.

Z definície vyplýva, že ak existuje inverzná matica A^(-1), potom je to štvorec rovnakého rádu ako A. Avšak nie každá štvorcová matica má inverziu. Ak je determinant matice A rovný nule (\det(A)=0), potom preň neexistuje inverzia. V skutočnosti, aplikovaním vety o determinante súčinu matíc pre maticu identity E=A^(-1)A dostaneme rozpor

\det(E)=\det(A^(-1)\cdot A)=\det(A^(-1))\det(A)=\det(A^(-1))\cdot0=0

keďže determinant matice identity je rovný 1. Ukazuje sa, že nenulový determinant štvorcovej matice je jedinou podmienkou existencie inverznej matice. Pripomeňme, že štvorcová matica, ktorej determinant sa rovná nule, sa nazýva singulárna (singulár), inak sa nazýva nedegenerovaná (nesingulárna);

Veta 4.1 o existencii a jednoznačnosti inverznej matice. Štvorcová matica A=\začiatok(pmatrix)a_(11)&\cdots&a_(1n)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_(n1)&\cdots&a_(nn) \end(pmatrix), ktorého determinant je nenulový, má inverznú maticu a navyše iba jednu:

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot\! \begin(pmatrix)A_(11)&A_(21)&\cdots&A_(1n)\\ A_(12)&A_(22)&\cdots&A_(n2)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_(1n )&A_(2n)&\cdots&A_(nn) \end(pmatrix)= \frac(1)(\det(A))\cdot A^(+),

kde A^(+) je matica transponovaná pre maticu zloženú z algebraických doplnkov prvkov matice A.

Zavolá sa matica A^(+). prídavná matica vzhľadom na maticu A.

V skutočnosti matrica \frac(1)(\det(A))\,A^(+) existuje pod podmienkou \det(A)\ne0 . Je potrebné ukázať, že je inverzný k A, t.j. spĺňa dve podmienky:

\začiatok(zarovnané)\mathsf(1))&~A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)=E;\\ \mathsf (2))&~ \!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)\!\cdot A=E.\end(zarovnané)

Dokážme prvú rovnosť. Podľa bodu 4 poznámok 2.3 z vlastností determinantu vyplýva, že AA^(+)=\det(A)\cdot E. Preto

A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)= \frac(1)(\det(A))\cdot AA^(+) = \frac(1)(\det(A))\cdot \det(A)\cdot E=E,

čo bolo potrebné ukázať. Druhá rovnosť sa dokazuje podobným spôsobom. Preto za podmienky \det(A)\ne0 má matica A inverznú hodnotu

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+).

Jedinečnosť inverznej matice dokážeme protirečením. Nech okrem matice A^(-1) existuje iná inverzná matica B\,(B\ne A^(-1)) taká, že AB=E. Vynásobením oboch strán tejto rovnosti zľava maticou A^(-1) dostaneme \underbrace(A^(-1)AB)_(E)=A^(-1)E. Preto B=A^(-1) , čo je v rozpore s predpokladom B\ne A^(-1) . Preto je inverzná matica jedinečná.

Poznámky 4.1

1. Z definície vyplýva, že matice A a A^(-1) komutujú.

2. Inverzia nesingulárnej diagonálnej matice je tiež diagonálna:

\Bigl[\operatorname(diag)(a_(11),a_(22),\ldots,a_(nn))\Bigr]^(-1)= \operatorname(diag)\!\left(\frac(1) )(a_(11)),\,\frac(1)(a_(22)),\,\ldots,\,\frac(1)(a_(nn))\vpravo)\!.

3. Inverzná strana nesingulárnej spodnej (hornej) trojuholníkovej matice je dolná (horná) trojuholníková.

4. Elementárne matice majú inverzné hodnoty, ktoré sú tiež elementárne (pozri odsek 1 poznámok 1.11).

Vlastnosti inverznej matice

Operácia inverzie matice má nasledujúce vlastnosti:

\začiatok(zarovnané)\bold(1.)&~~ (A^(-1))^(-1)=A\,;\\ \bold(2.)&~~ (AB)^(-1 )=B^(-1)A^(-1)\,;\\ \bold(3.)&~~ (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T\ ,;\\ \bold(4.)&~~ \det(A^(-1))=\frac(1)(\det(A))\,;\\ \bold(5.)&~~ E^(-1)=E\,. \end (zarovnané)

ak operácie uvedené v rovnosti 1-4 majú zmysel.

Dokážme vlastnosť 2: ak súčin AB nesingulárnych štvorcových matíc rovnakého rádu má inverznú maticu, potom (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1).

Skutočne, determinant súčinu matíc AB sa nerovná nule, keďže

\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B), Kde \det(A)\ne0,~\det(B)\ne0

Preto inverzná matica (AB)^(-1) existuje a je jedinečná. Ukážme definíciou, že matica B^(-1)A^(-1) je inverzná k matici AB. Naozaj.

Táto téma je medzi študentmi jedna z najnenávidenejších. Horšie sú asi kvalifikácie.

Trik je v tom, že samotný koncept inverzného prvku (a nehovorím len o maticiach) nás odkazuje na operáciu násobenia. A to aj v školské osnovy Násobenie sa považuje za zložitú operáciu a násobenie matíc je vo všeobecnosti samostatnou témou, ktorej je venovaný celý odsek a video lekcia.

Dnes nebudeme zachádzať do detailov maticových výpočtov. Len si spomeňme: ako sa matice označujú, ako sa násobia a čo z toho vyplýva.

Recenzia: Násobenie matice

V prvom rade sa dohodneme na notácii. Matica $A$ veľkosti $\left[ m\times n \right]$ je jednoducho tabuľka čísel s presne $m$ riadkami a $n$ stĺpcami:

\=\underbrace(\left[ \begin(matica) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\koniec (matica) \vpravo])_(n)\]

Aby ste predišli náhodnému pomiešaniu riadkov a stĺpcov (verte mi, na skúške si môžete pomýliť jednotku s dvojkou, nieto ešte niektoré riadky), stačí sa pozrieť na obrázok:

Stanovenie indexov pre bunky matrice

Čo sa deje? Ak umiestnite štandardný súradnicový systém $OXY$ do ľavého horného rohu a nasmerujete osi tak, aby pokrývali celú maticu, potom každá bunka tejto matice môže byť jednoznačne spojená so súradnicami $\left(x;y \right)$ - toto bude číslo riadku a číslo stĺpca.

Prečo je súradnicový systém umiestnený v ľavom hornom rohu? Áno, pretože odtiaľ začíname čítať akékoľvek texty. Je veľmi ľahké si to zapamätať.

Prečo je os $x$ nasmerovaná nadol a nie doprava? Opäť je to jednoduché: zoberte štandardný súradnicový systém (os $x$ ide doprava, os $y$ ide hore) a otočte ho tak, aby pokrýval maticu. Ide o otočenie o 90 stupňov v smere hodinových ručičiek – jeho výsledok vidíme na obrázku.

Vo všeobecnosti sme prišli na to, ako určiť indexy prvkov matice. Teraz sa pozrime na násobenie.

Definícia. Matice $A=\left[ m\krát n \right]$ a $B=\left[ n\krát k \right]$, keď sa počet stĺpcov v prvom zhoduje s počtom riadkov v druhom, sú nazývaný konzistentný.

Presne v tomto poradí. Niekto môže byť zmätený a povedať, že matice $A$ a $B$ tvoria usporiadaný pár $\left(A;B \right)$: ak sú konzistentné v tomto poradí, potom nie je vôbec potrebné, aby $B $ a $A$ tie. pár $\left(B;A \right)$ je tiež konzistentný.

Násobiť možno len zhodné matice.

Definícia. Súčin párovaných matíc $A=\left[ m\krát n \right]$ a $B=\left[ n\krát k \right]$ je nová matica $C=\left[ m\krát k \right ]$ , ktorých prvky $((c)_(ij))$ sa vypočítajú podľa vzorca:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

Inými slovami: ak chcete získať prvok $((c)_(ij))$ matice $C=A\cdot B$, musíte vziať $i$-riadok prvej matice, $j$ -tý stĺpec druhej matice a potom vynásobte v pároch prvky z tohto riadka a stĺpca. Sčítajte výsledky.

Áno, to je taká krutá definícia. Z toho vyplýva hneď niekoľko faktov:

1. Maticové násobenie je vo všeobecnosti nekomutatívne: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. Násobenie je však asociatívne: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. A to aj distribučne: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. A ešte raz distributívne: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Distributivita násobenia musela byť popísaná oddelene pre ľavý a pravý súčtový faktor práve z dôvodu nekomutatívnosti operácie násobenia.

Ak sa ukáže, že $A\cdot B=B\cdot A$, takéto matice sa nazývajú komutatívne.

Medzi všetkými maticami, ktoré sú tam niečím vynásobené, sú špeciálne - tie, ktoré po vynásobení akoukoľvek maticou $A$ opäť dávajú $A$:

Definícia. Matica $E$ sa nazýva identita, ak $A\cdot E=A$ alebo $E\cdot A=A$. V prípade štvorcovej matice $A$ môžeme písať:

Matica identity je častým hosťom pri riešení maticové rovnice. A vôbec, častý hosť vo svete matrík :)

A kvôli tomuto $E$ niekto vymyslel všetky tie nezmysly, ktoré budú napísané nabudúce.

Čo je inverzná matica

Keďže násobenie matice je veľmi pracná operácia (musíte vynásobiť veľa riadkov a stĺpcov), koncept inverznej matice tiež nie je najtriviálnejší. A vyžaduje si nejaké vysvetlenie.

Kľúčová definícia

No je načase poznať pravdu.

Definícia. Matica $B$ sa nazýva inverzná k matici $A$ if

Inverzná matica je označená $((A)^(-1))$ (nezamieňať so stupňom!), takže definíciu možno prepísať takto:

Zdalo by sa, že všetko je veľmi jednoduché a jasné. Pri analýze tejto definície sa však okamžite vynára niekoľko otázok:

1. Existuje vždy inverzná matica? A ak nie vždy, ako určiť: kedy existuje a kedy nie?
2. A kto povedal, že existuje práve jedna takáto matrica? Čo ak pre nejakú počiatočnú maticu $A$ existuje celý zástup inverzných hodnôt?
3. Ako vyzerajú všetky tieto „obrátky“? A ako ich vlastne máme počítať?

Čo sa týka výpočtových algoritmov, o tom budeme hovoriť o niečo neskôr. Na zvyšné otázky však odpovieme už teraz. Formulujme ich vo forme samostatných výrokov-lemm.

Základné vlastnosti

Začnime tým, ako by mala matica $A$ v princípe vyzerať, aby pre ňu existovala $((A)^(-1))$. Teraz sa presvedčíme, že obe tieto matice musia byť štvorcové a rovnakej veľkosti: $\left[ n\times n \right]$.

Lema 1. Daná je matica $A$ a jej inverzná hodnota $((A)^(-1))$. Potom sú obe tieto matice štvorcové a rovnakého rádu $n$.

Dôkaz. Je to jednoduché. Nech je matica $A=\vľavo[ ​​m\krát n \vpravo]$, $((A)^(-1))=\vľavo[ ​​a\krát b \vpravo]$. Keďže produkt $A\cdot ((A)^(-1))=E$ podľa definície existuje, matice $A$ a $((A)^(-1))$ sú konzistentné v uvedenom poradí:

\[\začiatok(zarovnanie) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( zarovnať)\]

Toto je priamy dôsledok algoritmu násobenia matice: koeficienty $n$ a $a$ sú „tranzitné“ a musia sa rovnať.

Zároveň je definované aj inverzné násobenie: $((A)^(-1))\cdot A=E$, teda matice $((A)^(-1))$ a $A$ sú tiež konzistentné v určenom poradí:

\[\začiatok(zarovnanie) & \vľavo[ ​​a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( zarovnať)\]

Bez straty všeobecnosti teda môžeme predpokladať, že $A=\vľavo[ ​​m\krát n \vpravo]$, $((A)^(-1))=\vľavo[ ​​n\krát m \vpravo]$. Podľa definície $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$ sa však veľkosti matíc presne zhodujú:

\[\začiatok(zarovnanie) & \vľavo[ ​​m\krát n \vpravo]=\vľavo[ ​​n\krát m \vpravo] \\ & m=n \koniec (zarovnanie)\]

Ukazuje sa teda, že všetky tri matice – $A$, $((A)^(-1))$ a $E$ – sú štvorcové matice veľkosti $\left[ n\krát n \right]$. Lema je dokázaná.

No to je už dobré. Vidíme, že iba štvorcové matice sú invertibilné. Teraz sa uistite, že inverzná matica je vždy rovnaká.

Lema 2. Daná je matica $A$ a jej inverzná hodnota $((A)^(-1))$. Potom je táto inverzná matica jediná.

Dôkaz. Poďme k rozporu: nech má matica $A$ aspoň dve inverzné hodnoty - $B$ a $C$. Potom podľa definície platia nasledujúce rovnosti:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(zarovnať)\]

Z Lemy 1 usudzujeme, že všetky štyri matice – $A$, $B$, $C$ a $E$ – sú štvorce rovnakého poriadku: $\left[ n\krát n \right]$. Preto je výrobok definovaný:

Keďže násobenie matice je asociatívne (ale nie komutatívne!), môžeme písať:

\[\začiatok(zarovnanie) & B\cdot A\cdot C=\vľavo(B\cdot A \vpravo)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\šípka doprava B=C. \\ \end(zarovnať)\]

Iba sme dostali možný variant: dva výskyty inverznej matice sú rovnaké. Lema je dokázaná.

Vyššie uvedené argumenty takmer doslovne opakujú dôkaz jedinečnosti inverzného prvku pre všetky reálne čísla $b\ne 0$. Jediným významným doplnkom je zohľadnenie rozmeru matíc.

Stále však nevieme nič o tom, či je každá štvorcová matica invertovateľná. Tu nám prichádza na pomoc determinant - to je kľúčová charakteristika pre všetky štvorcové matice.

Lema 3. Daná matica $A$. Ak existuje jej inverzná matica $((A)^(-1))$, potom je determinant pôvodnej matice nenulový:

\[\left| A\vpravo|\ne 0\]

Dôkaz. Už vieme, že $A$ a $((A)^(-1))$ sú štvorcové matice veľkosti $\left[ n\krát n \right]$. Preto pre každý z nich môžeme vypočítať determinant: $\left| A\vpravo|$ a $\vľavo| ((A)^(-1)) \vpravo|$. Avšak determinant produktu sa rovná súčinu determinantov:

\[\left| A\cdot B \right|=\left| A \right|\cdot \left| B \vpravo|\Šípka vpravo \vľavo| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \vpravo|\]

Ale podľa definície $A\cdot ((A)^(-1))=E$ a determinant $E$ sa vždy rovná 1, takže

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\right|; \\ & \left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \vpravo|=1. \\ \end(zarovnať)\]

Súčin dvoch čísel sa rovná jednej iba vtedy, ak je každé z týchto čísel nenulové:

\[\left| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \vpravo|\ne 0.\]

Takže sa ukázalo, že $\left| A \vpravo|\ne 0$. Lema je dokázaná.

V skutočnosti je táto požiadavka celkom logická. Teraz budeme analyzovať algoritmus na nájdenie inverznej matice - a bude úplne jasné, prečo s nulovým determinantom nemôže v zásade existovať žiadna inverzná matica.

Najprv však sformulujme „pomocnú“ definíciu:

Definícia. Singulárna matica je štvorcová matica veľkosti $\left[ n\krát n \right]$, ktorej determinant je nula.

Môžeme teda tvrdiť, že každá invertibilná matica je nesingulárna.

Ako nájsť inverznú maticu

Teraz zvážime univerzálny algoritmus na hľadanie inverzných matíc. Vo všeobecnosti existujú dva všeobecne akceptované algoritmy a dnes zvážime aj druhý.

Tá, o ktorej teraz budeme diskutovať, je veľmi účinná pre matice veľkosti $\left[ 2\krát 2 \right]$ a - čiastočne - veľkosti $\left[ 3\krát 3 \right]$. Ale od veľkosti $\left[ 4\krát 4 \right]$ je lepšie ho nepoužívať. Prečo - teraz všetko pochopíte sami.

Algebraické sčítania

Pripraviť sa. Teraz bude bolesť. Nie, nebojte sa: krásna sestra v sukni, pančuchách s čipkou k vám nepríde a nedá vám injekciu do zadku. Všetko je oveľa prozaickejšie: prichádzajú k vám algebraické doplnky a Jej Veličenstvo „Union Matrix“.

Začnime tým hlavným. Nech existuje štvorcová matica veľkosti $A=\left[ n\krát n \right]$, ktorej prvky sa nazývajú $((a)_(ij))$. Potom pre každý takýto prvok môžeme definovať algebraický doplnok:

Definícia. Algebraický doplnok $((A)_(ij))$ k prvku $((a)_(ij))$ umiestnený v $i$tom riadku a $j$tom stĺpci matice $A=\left[ n \times n \right]$ je konštrukcia formulára

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Kde $M_(ij)^(*)$ je determinant matice získanej z pôvodného $A$ odstránením rovnakého $i$-tého riadku a $j$-tého stĺpca.

Opäť. Algebraický doplnok k prvku matice so súradnicami $\left(i;j \right)$ sa označí ako $((A)_(ij))$ a vypočíta sa podľa schémy:

1. Najprv vymažeme $i$-riadok a $j$-tý stĺpec z pôvodnej matice. Získame novú štvorcovú maticu a jej determinant označíme ako $M_(ij)^(*)$.
2. Potom tento determinant vynásobíme $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - na prvý pohľad sa tento výraz môže zdať ohromujúci, ale v podstate jednoducho prichádzame na znamienko pred $M_(ij)^(*) $.
3. Počítame a dostaneme konkrétne číslo. Tie. algebraické sčítanie je presne číslo a nie nejaká nová matica atď.

Samotná matica $M_(ij)^(*)$ sa nazýva doplnková vedľajšia k prvku $((a)_(ij))$. A v tomto zmysle je vyššie uvedená definícia algebraického doplnku špeciálnym prípadom zložitejšej definície – na čo sme sa pozreli v lekcii o determinante.

Dôležitá poznámka. V matematike pre dospelých sú algebraické sčítania definované takto:

1. Zoberieme $k$ riadkov a $k$ stĺpcov v štvorcovej matici. Na ich priesečníku dostaneme maticu veľkosti $\left[ k\times k \right]$ - jej determinant sa nazýva menší rád $k$ a označuje sa $((M)_(k))$.
2. Potom tieto „vybrané“ $k$ riadky a $k$ stĺpce prečiarkneme. Opäť dostaneme štvorcovú maticu - jej determinant sa nazýva dodatočný vedľajší a označuje sa $M_(k)^(*)$.
3. Vynásobte $M_(k)^(*)$ $((\left(-1 \right))^(t))$, kde $t$ je (teraz pozor!) súčet čísel všetkých vybratých riadkov a stĺpce . Toto bude algebraické sčítanie.

Pozrite sa na tretí krok: v skutočnosti ide o sumu 2 000 $! Ďalšia vec je, že pre $k=1$ dostaneme len 2 členy - tie budú rovnaké $i+j$ - „súradnice“ prvku $((a)_(ij))$, pre ktoré sme hľadá algebraický doplnok.

Takže dnes používame trochu zjednodušenú definíciu. Ako však neskôr uvidíme, bude toho viac než dosť. Oveľa dôležitejšia vec je:

Definícia. Spojenecká matica $S$ ku štvorcovej matici $A=\left[ n\krát n \right]$ je nová matica veľkosti $\left[ n\krát n \right]$, ktorá sa získa z $A$ nahradením $(( a)_(ij))$ algebraickými sčítaniami $((A)_(ij))$:

\\Šípka doprava S=\doľava[ \začiatok(matica) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\koniec (matica) \vpravo]\]

Prvá myšlienka, ktorá vyvstáva v momente realizácie tejto definície, je „koľko sa bude musieť počítať! Relax: budete musieť počítať, ale nie toľko :)

To všetko je veľmi pekné, ale prečo je to potrebné? Ale prečo.

Hlavná veta

Vráťme sa trochu späť. Pamätajte, že v Leme 3 bolo uvedené, že invertibilná matica $A$ je vždy nesingulárna (to znamená, že jej determinant je nenulový: $\left| A \right|\ne 0$).

Platí to teda aj naopak: ak matica $A$ nie je singulárna, potom je vždy invertibilná. A dokonca existuje schéma vyhľadávania pre $((A)^(-1))$. Skontrolovať to:

Inverzná maticová veta. Nech je daná štvorcová matica $A=\left[ n\krát n \right]$ a jej determinant je nenulový: $\left| A \vpravo|\ne 0$. Potom existuje inverzná matica $((A)^(-1))$ a vypočíta sa podľa vzorca:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\vľavo| A \vpravo|)\cdot ((S)^(T))\]

A teraz - všetko je po starom, ale čitateľným rukopisom. Ak chcete nájsť inverznú maticu, potrebujete:

1. Vypočítajte determinant $\left| A \right|$ a uistite sa, že je nenulové.
2. Zostrojte zjednocovaciu maticu $S$, t.j. spočítaj 100500 algebraických sčítaní $((A)_(ij))$ a umiestni ich na miesto $((a)_(ij))$.
3. Transponujte túto maticu $S$ a potom ju vynásobte nejakým číslom $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.

To je všetko! Bola nájdená inverzná matica $((A)^(-1))$. Pozrime sa na príklady:

\[\left[ \začiatok(matica) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\koniec (matica) \right]\]

Riešenie. Skontrolujeme reverzibilitu. Vypočítajme determinant:

\[\left| A\vpravo|=\vľavo| \začiatok(matica) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\koniec (matica) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Determinant je odlišný od nuly. To znamená, že matrica je invertovateľná. Vytvorme zjednocovaciu maticu:

Vypočítajme algebraické sčítania:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \vpravo|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5 \vpravo|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \vpravo|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\vpravo|=3. \\ \end(zarovnať)\]

Poznámka: determinanty |2|, |5|, |1| a |3| sú determinanty matíc veľkosti $\left[ 1\krát 1 \right]$, a nie moduly. Tie. ak sú zahrnuté kvalifikácie záporné čísla, nie je potrebné odstraňovať „mínus“.

Celkovo naša zjednocovacia matica vyzerá takto:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\vľavo| A \vpravo|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(pole) \right])^(T))=\left[ \začiatok (pole)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\koniec (pole) \vpravo]\]

Dobre, teraz je po všetkom. Problém je vyriešený.

Odpoveď. $\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(pole) \right]$

Úloha. Nájdite inverznú maticu:

\[\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(pole) \right] \]

Riešenie. Opäť vypočítame determinant:

\[\začiatok(zarovnanie) & \left| \začiatok(pole)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\koniec (pole) \right|=\začiatok (matica ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matica)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

Determinant je nenulový - matica je invertibilná. Ale teraz to bude naozaj ťažké: musíme napočítať až 9 (deväť, sráč!) algebraických sčítaní. A každý z nich bude obsahovať determinant $\left[ 2\krát 2 \right]$. Let:

\[\begin(matica) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \začiatok(matica) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\koniec (matica) \vpravo|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \začiatok(matica) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\koniec (matica) \vpravo|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \začiatok(matica) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\koniec (matica) \vpravo|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \začiatok(matica) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\koniec (matica) \vpravo|=2; \\ \end(matica)\]

Stručne povedané, zjednocovacia matica bude vyzerať takto:

Preto inverzná matica bude:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matica) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\koniec (matica) \vpravo]=\ľavý[ \začiatok(pole)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \2 & 1 & -2 \\\koniec (pole) \vpravo]\]

To je všetko. Tu je odpoveď.

Odpoveď. $\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(pole) \right ]$

Ako vidíte, na konci každého príkladu sme vykonali kontrolu. V tejto súvislosti dôležitá poznámka:

Nebuďte leniví na kontrolu. Vynásobte pôvodnú maticu nájdenou inverznou maticou - mali by ste dostať $E$.

Vykonanie tejto kontroly je oveľa jednoduchšie a rýchlejšie ako hľadať chybu v ďalších výpočtoch, keď napríklad riešite maticovú rovnicu.

Alternatívny spôsob

Ako som povedal, veta o inverznej matici funguje skvele pre veľkosti $\left[ 2\krát 2 \right]$ a $\left[ 3\krát 3 \right]$ (v druhom prípade to nie je také „skvelé“ “ ), ale pre matriky veľké veľkosti začína smútok.

Ale nebojte sa: existuje alternatívny algoritmus, pomocou ktorého môžete pokojne nájsť inverznú hodnotu aj pre maticu $\left[ 10\krát 10 \right]$. Ale ako sa často stáva, na zváženie tohto algoritmu potrebujeme malý teoretický úvod.

Elementárne transformácie

Medzi všetkými možnými maticovými transformáciami existuje niekoľko špeciálnych - nazývajú sa elementárne. Existujú presne tri takéto transformácie:

1. Násobenie. Môžete vziať $i$tý riadok (stĺpec) a vynásobiť ho ľubovoľným číslom $k\ne 0$;
2. Doplnenie. Pridajte do $i$-tého riadka (stĺpca) akýkoľvek iný $j$-tý riadok (stĺpec) vynásobený ľubovoľným číslom $k\ne 0$ (môžete, samozrejme, urobiť $k=0$, ale čo je nič sa nezmení?
3. Preskupenie. Vezmite $i$th a $j$th riadky (stĺpce) a vymeňte si miesta.

Prečo sa tieto transformácie nazývajú elementárne (pre veľké matice nevyzerajú až tak elementárne) a prečo sú len tri – tieto otázky sú nad rámec dnešnej hodiny. Nebudeme preto zachádzať do podrobností.

Ďalšia vec je dôležitá: všetky tieto perverzie musíme vykonať na pripojenej matici. Áno, áno: počuli ste dobre. Teraz bude ešte jedna definícia – posledná v dnešnej lekcii.

Spojovacia matica

Určite ste v škole riešili sústavy rovníc metódou sčítania. No, odčítajte ďalší od jedného riadku, vynásobte nejaký riadok číslom - to je všetko.

Takže: teraz bude všetko rovnaké, ale „dospelým“ spôsobom. pripravený?

Definícia. Nech je daná matica $A=\left[ n\krát n \right]$ a matica identity $E$ rovnakej veľkosti $n$. Potom adjungovaná matica $\left[ A\left| E\vpravo. \right]$ je nová matica veľkosti $\left[ n\krát 2n \right]$, ktorá vyzerá takto:

\[\left[ A\left| E\vpravo. \right]=\left[ \begin(pole)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(pole) \right]\]

Skrátka vezmeme maticu $A$, vpravo k nej priradíme maticu identity $E$ požadovanej veľkosti, pre krásu ich oddelíme zvislou čiarou - tu máte adjoint :)

v čom je háčik? Tu je čo:

Veta. Nech je matica $A$ invertibilná. Uvažujme adjungovanú maticu $\left[ A\left| E\vpravo. \right]$. Ak používate elementárne reťazcové konverzie uveďte ho do tvaru $\left[ E\left| B\vpravo. \right]$, t.j. vynásobením, odčítaním a preskupením riadkov získate z $A$ maticu $E$ vpravo, potom matica $B$ získaná vľavo je inverzná k $A$:

\[\left[ A\left| E\vpravo. \vpravo]\do \doľava[ E\doľava| B\vpravo. \vpravo]\Šípka doprava B=((A)^(-1))\]

Je to také jednoduché! Stručne povedané, algoritmus na nájdenie inverznej matice vyzerá takto:

1. Napíšte adjungovanú maticu $\left[ A\left| E\vpravo. \right]$;
2. Vykonávajte základné konverzie reťazcov, kým sa namiesto $A$ nezobrazí $E$;
3. Samozrejme, že sa niečo objaví aj vľavo – istá matica $B$. Toto bude naopak;
4. ZISK! :)

Samozrejme, toto sa oveľa ľahšie povie, ako urobí. Pozrime sa teda na pár príkladov: pre veľkosti $\left[ 3\krát 3 \right]$ a $\left[ 4\krát 4 \right]$.

Úloha. Nájdite inverznú maticu:

\[\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(pole) \right]\ ]

Riešenie. Vytvoríme pridruženú maticu:

\[\left[ \begin(pole)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 a 1 \\\koniec (pole) \vpravo]\]

Keďže posledný stĺpec pôvodnej matice je vyplnený jednotkami, odpočítajte prvý riadok od zvyšku:

\[\begin(align) & \left[ \begin(pole)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\koniec (pole) \vpravo]\začiatok (matica) \dole \\ -1 \\ -1 \\\koniec (matica)\do \\ & \do \vľavo [ \begin(pole)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\koniec (pole) \vpravo] \\ \koniec (zarovnanie)\]

Neexistujú žiadne ďalšie jednotky, okrem prvého riadku. Nedotýkame sa ho, inak sa novo odstránené jednotky začnú „množiť“ v treťom stĺpci.

Ale môžeme odpočítať druhý riadok dvakrát od posledného - dostaneme jeden v ľavom dolnom rohu:

\[\begin(align) & \left[ \begin(pole)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\koniec (pole) \vpravo]\začiatok (matica) \ \\ \šípka nadol \\ -2 \\\koniec (matica)\do \\ & \vľavo [ \begin(pole)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\koniec (pole) \vpravo] \\ \koniec (zarovnanie)\]

Teraz môžeme odpočítať posledný riadok od prvého a dvakrát od druhého - týmto spôsobom „vynulujeme“ prvý stĺpec:

\[\begin(align) & \left[ \begin(pole)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\koniec (pole) \vpravo]\začiatok (matica) -1 \\ -2 \\ \hore \\\koniec (matica)\do \\ & \ do \left[ \begin(pole)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\koniec (pole) \vpravo] \\ \koniec (zarovnanie)\]

Vynásobte druhý riadok −1 a potom ho 6-krát odpočítajte od prvého a pripočítajte 1-krát k poslednému:

\[\begin(align) & \left[ \begin(pole)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\koniec (pole) \vpravo]\začiatok (matica) \ \\ \ľavý| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\koniec (matice)\do \\ & \do \vľavo[ ​​\začiatok(pole)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\koniec (pole) \vpravo]\začiatok (matica) -6 \\ \nahoru nadol \\ +1 \\\koniec (matica)\do \\ & \do \vľavo[ ​​\začiatok(pole)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\koniec (pole) \vpravo] \\ \koniec (zarovnanie)\]

Zostáva len vymeniť riadky 1 a 3:

\[\left[ \begin(pole)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\koniec (pole) \vpravo]\]

Pripravený! Na pravej strane je požadovaná inverzná matica.

Odpoveď. $\left[ \začiatok(pole)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\koniec (pole) \vpravo ]$

Úloha. Nájdite inverznú maticu:

\[\left[ \begin(matica) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\koniec(matica) \vpravo]\]

Riešenie. Znova skladáme prídavok:

\[\left[ \begin(pole)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\koniec (pole) \vpravo]\]

Trochu si poplačme, zarmútime sa, koľko toho teraz musíme počítať... a začnime počítať. Najprv „vynulujeme“ prvý stĺpec odčítaním riadku 1 od riadkov 2 a 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end (pole) \vpravo]\začiatok(matica) \dole \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\koniec (matica)\do \\ & \do \vľavo[ ​​\začiatok(pole)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\koniec (pole) \vpravo] \\ \koniec (zarovnanie)\]

V riadkoch 2-4 vidíme príliš veľa „proti“. Vynásobte všetky tri riadky −1 a potom vypaľte tretí stĺpec odčítaním riadku 3 od zvyšku:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(pole) \right]\begin(matica) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \vľavo| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \vľavo| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\koniec (matica)\do \\ & \do \doľava[ \začiatok(pole)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \koniec (matica) \vpravo]\začiatok (matica) -2 \\ -1 \\ \šipka nadol \\ -2 \\\koniec (matica)\do \\ & \do \vľavo[ ​​\začiatok(pole)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(pole) \right] \\ \end(align)\]

Teraz je čas „vysmažiť“ posledný stĺpec pôvodnej matice: odpočítajte riadok 4 od zvyšku:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(pole ) \vpravo]\začiatok(matica) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \hore \\\koniec (matica)\do \\ & \do \vľavo[ ​​\začiatok(pole)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\koniec (pole) \vpravo] \\ \koniec (zarovnanie)\]

Posledný hod: „vypálite“ druhý stĺpec odčítaním riadku 2 od riadkov 1 a 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( pole) \vpravo]\začiatok(matica) 6 \\ \hore nadol \\ -5 \\ \ \\\koniec (matica)\do \\ & \do \doľava[ \začiatok(pole)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\koniec (pole) \vpravo] \\ \koniec (zarovnanie)\]

A opäť matica identity je vľavo, čo znamená, že inverzná je vpravo :).

Odpoveď. $\left[ \begin(matica) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\koniec(matica) \vpravo]$