Ako zistiť obvod kruhu: cez priemer a polomer. Terminológia, základné vzorce a charakteristika obrazca

Kruh je séria bodov rovnako vzdialených od jedného bodu, ktorý je zase stredom tohto kruhu. Kruh má tiež svoj vlastný polomer, ktorý sa rovná vzdialenosti týchto bodov od stredu.

Pomer dĺžky kruhu k jeho priemeru je rovnaký pre všetky kruhy. Tento pomer je číslo, ktoré je matematickou konštantou a označuje sa gréckym písmenom π .

Určenie obvodu

Kruh môžete vypočítať pomocou nasledujúceho vzorca:

L= π D = 2 π r

r- polomer kruhu

D- priemer kruhu

L- obvod

π - 3.14

Úloha:

Vypočítajte obvod s polomerom 10 centimetrov.

Riešenie:

Vzorec na výpočet obvodu kruhu má tvar:

L= π D = 2 π r

kde L je obvod, π je 3,14, r je polomer kruhu, D je priemer kruhu.

Dĺžka kruhu s polomerom 10 centimetrov je teda:

L = 2 × 3,14 × 10 = 62,8 centimetra

Kruh je geometrický útvar, ktorý je súborom všetkých bodov na rovine vzdialenej od daný bod, ktorý sa nazýva jeho stred, do určitej vzdialenosti, nie rovná nule a zavolal polomer. Určte jeho dĺžku pomocou rôzneho stupňa Vedci boli schopní dosiahnuť presnosť už v staroveku: historici vedy veria, že prvý vzorec na výpočet obvodu kruhu bol zostavený okolo roku 1900 pred Kristom v starovekom Babylone.

S geometrickými tvarmi ako sú kruhy sa stretávame každý deň a všade. Je to jeho tvar, ktorý má vonkajší povrch kolies, ktoré sú vybavené rôznymi vozidlami. Tento detail sa napriek svojej vonkajšej jednoduchosti a nenáročnosti považuje za jeden z najväčšie vynálezyľudstvo a je zaujímavé, že domorodci z Austrálie a americkí Indiáni do príchodu Európanov absolútne netušili, čo to je.

S najväčšou pravdepodobnosťou boli prvými kolesami kusy guľatiny, ktoré boli namontované na náprave. Postupne sa dizajn kolies zdokonaľoval, ich dizajn bol čoraz zložitejší a ich výroba si vyžadovala použitie množstva rôznych nástrojov. Najprv sa objavili kolesá pozostávajúce z dreveného ráfika a lúčov a potom, aby sa znížilo opotrebovanie ich vonkajšieho povrchu, začali ho pokrývať kovovými pásmi. Na určenie dĺžok týchto prvkov je potrebné použiť vzorec na výpočet obvodu (hoci v praxi to remeselníci s najväčšou pravdepodobnosťou robili „od oka“ alebo jednoducho tak, že koleso obohnali pásikom a odrezali požadovaná sekcia).

Treba poznamenať, že koleso sa používa nielen v vozidiel. Napríklad má tvar hrnčiarskeho kruhu, ako aj prvky ozubených kolies, ktoré sa široko používajú v technike. Kolesá sa oddávna používali pri stavbe vodných mlynov (najstaršie stavby tohto druhu, ktoré vedci poznali, boli postavené v Mezopotámii), ako aj kolovrátky, ktoré sa používali na výrobu nití zo živočíšnej vlny a rastlinných vlákien.

Kruhy možno často nájsť v stavebníctve. Ich tvar formujú pomerne rozšírené kruhové okná, veľmi charakteristické pre románsky architektonický štýl. Výroba týchto štruktúr je veľmi náročná úloha a vyžaduje si vysokú zručnosť, ako aj dostupnosť špeciálnych nástrojov. Jednou z odrôd okrúhlych okien sú okienka inštalované v lodiach a lietadlách.

Konštruktéri, ktorí vyvíjajú rôzne stroje, mechanizmy a jednotky, ako aj architekti a dizajnéri tak musia často riešiť problém určenia obvodu kruhu. Od čísla π , potrebný na to, je nekonečný, potom nie je možné tento parameter určiť s absolútnou presnosťou, a preto výpočty zohľadňujú ten jeho stupeň, ktorý je v konkrétnom prípade potrebný a postačujúci.

Veľmi často pri riešení školských úloh z fyziky alebo prírodovedy vyvstáva otázka - ako nájsť obvod kruhu s vedomím jeho priemeru? V skutočnosti neexistujú žiadne ťažkosti pri riešení tohto problému, stačí si jasne predstaviť, čo vzorce Na to sú potrebné pojmy a definície.

V kontakte s

Základné pojmy a definície

1. Polomer je spojovacia čiara stred kruhu a jeho ľubovoľný bod. Označuje sa latinským písmenom r.
2. Tetiva je čiara spájajúca dva ľubovoľné body ležiace na kruhu.
3. Priemer je spojovacia čiara dva body kružnice a prechádzajúce jej stredom. Označuje sa latinským písmenom d.
4. je priamka pozostávajúca zo všetkých bodov umiestnených v rovnakej vzdialenosti od jedného vybraného bodu, nazývaného jeho stred. Jeho dĺžku budeme označovať latinským písmenom l.

Oblasť kruhu je celé územie uzavreté v kruhu. Meria sa V štvorcových jednotiek a označuje sa latinským písmenom s.

Pomocou našich definícií dospejeme k záveru, že priemer kruhu sa rovná jeho najväčšej tetive.

Pozor! Z definície, aký je polomer kruhu, môžete zistiť, aký je priemer kruhu. Toto sú dva polomery usporiadané v opačných smeroch!

Priemer kruhu.

Nájdenie obvodu a plochy kruhu

Ak dostaneme polomer kruhu, potom priemer kruhu je opísaný vzorcom d = 2*r. Aby sme teda odpovedali na otázku, ako nájsť priemer kruhu, keď poznáme jeho polomer, stačí posledný vynásobiť dvomi.

Vzorec pre obvod kruhu, vyjadrený jeho polomerom, má tvar l = 2*P*r.

Pozor! Latinské písmeno P (Pi) označuje pomer obvodu kruhu k jeho priemeru a je to neperiodické desiatkový. V školskej matematike sa považuje za predtým známu tabuľkovú hodnotu rovnajúcu sa 3,14!

Teraz prepíšme predchádzajúci vzorec, aby sme našli obvod kruhu cez jeho priemer, pričom si zapamätáme, aký je jeho rozdiel vo vzťahu k polomeru. Ukáže sa: l = 2*P*r = 2*r*P = P*d.

Z kurzu matematiky vieme, že vzorec opisujúci obsah kruhu má tvar: s = П*r^2.

Teraz prepíšme predchádzajúci vzorec, aby sme našli oblasť kruhu cez jeho priemer. Dostaneme,

s = П*r^2 = П*d^2/4.

Jednou z najťažších úloh v tejto téme je určenie oblasti kruhu cez obvod a naopak. Využime skutočnosť, že s = П*r^2 a l = 2*П*r. Odtiaľ dostaneme r = l/(2*P). Dosadíme výsledný výraz pre polomer do vzorca pre oblasť, dostaneme: s = l^2/(4P). Úplne podobným spôsobom je obvod určený cez oblasť kruhu.

Určenie dĺžky a priemeru polomeru

Dôležité! Najprv sa naučme, ako merať priemer. Je to veľmi jednoduché - nakreslite ľubovoľný polomer, predĺžte ho v opačnom smere, kým sa nepretína s oblúkom. Výslednú vzdialenosť odmeriame kompasom a pomocou akéhokoľvek metrického prístroja zistíme, čo hľadáme!

Odpovedzme na otázku, ako zistiť priemer kruhu, keď poznáme jeho dĺžku. Aby sme to dosiahli, vyjadríme to zo vzorca l = П*d. Dostaneme d = l/P.

Z obvodu kruhu už vieme zistiť jeho priemer a rovnakým spôsobom vieme zistiť aj jeho polomer.

l = 2*P*r, teda r = l/2*P. Vo všeobecnosti, ak chcete zistiť polomer, musí byť vyjadrený ako priemer a naopak.

Predpokladajme, že teraz musíte určiť priemer a poznať oblasť kruhu. Využívame fakt, že s = П*d^2/4. Vyjadrime d odtiaľto. Vyjde to d^2 = 4*s/P. Ak chcete určiť samotný priemer, budete musieť extrahovať odmocnina z pravej strany. Ukázalo sa, že d = 2 * sqrt (s / P).

Riešenie typických úloh

1. Poďme zistiť, ako zistiť priemer, ak je daný obvod. Nech sa rovná 778,72 kilometrom. Vyžaduje sa nájsť d. d = 778,72/3,14 = 248 kilometrov. Spomeňme si, čo je priemer a hneď určíme polomer, aby sme na to rozdelili vyššie určenú hodnotu d na polovicu. Vyjde to r = 248/2 = 124 kilometer
2. Uvažujme, ako nájsť dĺžku daného kruhu, keď poznáme jeho polomer. Nech r má hodnotu 8 dm 7 cm Prepočítajme to všetko na centimetre, potom sa r bude rovnať 87 centimetrom. Pomocou vzorca nájdeme neznámu dĺžku kruhu. Potom sa naša požadovaná hodnota bude rovnať l = 2 x 3,14 x 87 = 546,36 cm. Našu získanú hodnotu preveďme na celé čísla metrických veličín l = 546,36 cm = 5 m 4 dm 6 cm 3,6 mm.
3. Musíme určiť plochu daného kruhu pomocou vzorca prostredníctvom jeho známeho priemeru. Nech d = 815 metrov. Spomeňme si na vzorec na nájdenie oblasti kruhu. Nahradme hodnoty, ktoré nám tu boli dané, dostaneme s = 3,14*815^2/4 = 521416,625 štvorcových. m.
4. Teraz sa naučíme, ako nájsť oblasť kruhu, pričom poznáme dĺžku jeho polomeru. Nech je polomer 38 cm Použijeme nám známy vzorec. Nahradme tu hodnotu, ktorú nám dáva podmienka. Získate nasledovné: s = 3,14*38^2 = 4534,16 štvorcových. cm.
5. Poslednou úlohou je určiť oblasť kruhu na základe známeho obvodu. Nech l = 47 metrov. s = 47^2/(4P) = 2209/12,56 = 175,87 sq. m.

Obvod

Kruh je zakrivená čiara, ktorá obklopuje kruh. V geometrii sú tvary ploché, takže definícia sa vzťahuje na dvojrozmerný obraz. Predpokladá sa, že všetky body tejto krivky sú umiestnené v rovnakej vzdialenosti od stredu kruhu.

Kruh má niekoľko charakteristík, na základe ktorých sa robia výpočty súvisiace s týmto geometrickým útvarom. Patria sem: priemer, polomer, plocha a obvod. Tieto charakteristiky sú vzájomne prepojené, to znamená, že na ich výpočet postačia informácie o aspoň jednej zo zložiek. Napríklad poznať iba polomer geometrický obrazec Pomocou vzorca môžete zistiť obvod, priemer a plochu.

• Polomer kruhu je segment vo vnútri kruhu spojený s jeho stredom.
• Priemer je segment vo vnútri kruhu, ktorý spája jeho body a prechádza stredom. Priemer je v podstate dva polomery. Presne takto vyzerá vzorec na jej výpočet: D=2r.
• Existuje ešte jedna zložka kruhu - akord. Ide o priamku, ktorá spája dva body na kruhu, no nie vždy prechádza stredom. Takže struna, ktorá ňou prechádza, sa nazýva aj priemer.

Ako zistiť obvod? Poďme to zistiť teraz.

Obvod: vzorec

Na označenie tejto charakteristiky sme sa rozhodli latinské písmeno p. Archimedes tiež dokázal, že pomer obvodu kruhu k jeho priemeru je rovnaké číslo pre všetky kruhy: toto je číslo π, ktoré sa približne rovná 3,14159. Vzorec na výpočet π je: π = p/d. Podľa tohto vzorca sa hodnota p rovná πd, teda obvodu: p= πd. Pretože d (priemer) sa rovná dvom polomerom, rovnaký vzorec pre obvod možno napísať ako p=2πr Uvažujme ako príklad použitie vzorca pomocou jednoduchých úloh:

Problém 1

Priemer základne cárskeho zvonu je 6,6 metra. Aký je obvod základne zvona?

1. Vzorec na výpočet kruhu je teda p= πd
2. Dosaďte existujúcu hodnotu do vzorca: p=3,14*6,6= 20,724

Odpoveď: Obvod základne zvonu je 20,7 metra.

Problém 2

Umelá družica Zeme rotuje vo vzdialenosti 320 km od planéty. Polomer Zeme je 6370 km. Aká je dĺžka kruhovej dráhy satelitu?

1. 1. Vypočítajte polomer kruhovej dráhy družice Zeme: 6370+320=6690 (km)
2. 2. Vypočítajte dĺžku kruhovej obežnej dráhy satelitu podľa vzorca: P=2πr
3. 3.P=2*3,14*6690=42013,2

Odpoveď: dĺžka kruhovej dráhy družice Zeme je 42013,2 km.

Metódy merania obvodu

Výpočet obvodu kruhu sa v praxi často nepoužíva. Dôvodom je približná hodnota čísla π. V každodennom živote sa na nájdenie dĺžky kruhu používa špeciálne zariadenie - curvimeter. Na kruhu je vyznačený ľubovoľný počiatočný bod a zariadenie je z neho vedené striktne pozdĺž čiary, kým opäť nedosiahne tento bod.

Ako zistiť obvod kruhu? Stačí mať v hlave jednoduché výpočtové vzorce.

- Toto plochá postava, čo je množina bodov rovnako vzdialených od stredu. Všetky sú v rovnakej vzdialenosti a tvoria kruh.

Segment, ktorý spája stred kruhu s bodmi na jeho obvode, sa nazýva polomer. V každom kruhu sú všetky polomery navzájom rovnaké. Priama čiara spájajúca dva body na kruhu a prechádzajúca stredom sa nazýva priemer. Vzorec pre oblasť kruhu sa vypočíta pomocou matematickej konštanty - čísla π..

Toto je zaujímavé : Číslo π. predstavuje pomer obvodu kruhu k dĺžke jeho priemeru a je konštantnou hodnotou. Hodnota π = 3,1415926 bola použitá po práci L. Eulera v roku 1737.

Plochu kruhu je možné vypočítať pomocou konštanty π. a polomer kruhu. Vzorec pre oblasť kruhu z hľadiska polomeru vyzerá takto:

Pozrime sa na príklad výpočtu plochy kruhu pomocou polomeru. Dostaneme kruh s polomerom R = 4 cm, nájdime plochu obrázku.

Plocha nášho kruhu bude 50,24 metrov štvorcových. cm.

Existuje vzorec plocha kruhu cez priemer. Je tiež široko používaný na výpočet potrebných parametrov. Tieto vzorce možno použiť na nájdenie.

Uvažujme o príklade výpočtu plochy kruhu cez jeho priemer, pričom poznáme jeho polomer. Dostaneme kružnicu s polomerom R = 4 cm Najprv nájdime priemer, ktorý, ako je známe, je dvojnásobkom polomeru.


Teraz použijeme údaje na príklad výpočtu plochy kruhu pomocou vyššie uvedeného vzorca:

Ako vidíte, výsledkom je rovnaká odpoveď ako v prvých výpočtoch.

Znalosť štandardných vzorcov na výpočet plochy kruhu vám pomôže ľahko určiť v budúcnosti sektorová oblasť a jednoducho nájsť chýbajúce množstvá.

Už vieme, že vzorec pre oblasť kruhu sa vypočíta vynásobením konštantnej hodnoty π druhou mocninou polomeru kruhu. Polomer môže byť vyjadrený ako obvod a nahradiť výraz vo vzorci pre oblasť kruhu z hľadiska obvodu:
Teraz nahraďme túto rovnosť do vzorca na výpočet plochy kruhu a získajme vzorec na nájdenie plochy kruhu pomocou obvodu

Uvažujme o príklade výpočtu plochy kruhu pomocou obvodu. Nech je daný kruh s dĺžkou l = 8 cm Dosaďte hodnotu do odvodeného vzorca:

Celková plocha kruhu bude 5 metrov štvorcových. cm.

Oblasť kruhu opísaná okolo štvorca

Je veľmi ľahké nájsť oblasť kruhu opísanú okolo štvorca.

Potrebujete k tomu iba stranu štvorca a znalosť jednoduchých vzorcov. Uhlopriečka štvorca sa bude rovnať uhlopriečke opísanej kružnice. Keď poznáme stranu a, možno ju nájsť pomocou Pytagorovej vety: odtiaľto.
Potom, čo nájdeme uhlopriečku, môžeme vypočítať polomer: .
A potom všetko dosadíme do základného vzorca pre oblasť kruhu opísanú okolo štvorca: