Tento článok je východiskovým bodom pri štúdiu teórie diferenciálnych rovníc. Tu sú základné definície a pojmy, ktoré sa budú v texte neustále objavovať. Pre lepšiu asimiláciu a pochopenie sú definície uvedené s príkladmi.

diferenciálna rovnica (DE) je rovnica, ktorá zahŕňa neznámu funkciu pod derivačným alebo diferenciálnym znamienkom.

Ak je neznáma funkcia funkciou jednej premennej, potom sa volá diferenciálna rovnica obyčajný(skrátene ODE - obyčajná diferenciálna rovnica). Ak je neznáma funkcia funkciou mnohých premenných, potom sa volá diferenciálna rovnica parciálna diferenciálna rovnica.

Maximálny rád derivácie neznámej funkcie vstupujúcej do diferenciálnej rovnice sa nazýva poriadku diferenciálnej rovnice.

Tu sú príklady ODR prvého, druhého a piateho rádu

Ako príklady parciálnych diferenciálnych rovníc druhá objednávka dajme

Ďalej budeme uvažovať len obyčajné diferenciálne rovnice n-tého rádu tvaru alebo , kde Ф(x, y) = 0 je neznáma funkcia špecifikovaná implicitne (ak je to možné, napíšeme ju v explicitnom zobrazení y = f(x) ).

Proces hľadania riešení diferenciálnej rovnice sa nazýva integráciou diferenciálnej rovnice.

Riešenie diferenciálnej rovnice- je to implicitné danú funkciuФ(x, y) = 0 (v niektorých prípadoch môže byť funkcia y vyjadrená explicitne pomocou argumentu x), čím sa diferenciálna rovnica zmení na identitu.

POZNÁMKA.

Riešenie diferenciálnej rovnice sa vždy hľadá na vopred určenom intervale X.

Prečo o tom hovoríme oddelene? Áno, pretože v mnohých problémoch sa interval X neuvádza. To znamená, že podmienka problémov je zvyčajne formulovaná takto: „nájdite riešenie obyčajnej diferenciálnej rovnice " V tomto prípade sa predpokladá, že riešenie by sa malo hľadať pre všetky x, pre ktoré má zmysel požadovaná funkcia y aj pôvodná rovnica.

Riešenie diferenciálnej rovnice sa často nazýva integrál diferenciálnej rovnice.

Funkcie alebo možno nazvať riešením diferenciálnej rovnice.

Jedným z riešení diferenciálnej rovnice je funkcia. Skutočne, dosadením tejto funkcie do pôvodnej rovnice získame identitu . Je ľahké vidieť, že ďalším riešením tejto ODR je napríklad . Diferenciálne rovnice teda môžu mať mnoho riešení.

Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice je množina riešení obsahujúcich všetky bez výnimky riešenia tejto diferenciálnej rovnice.

Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice sa tiež nazýva všeobecný integrál diferenciálnej rovnice.

Vráťme sa k príkladu. Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice má tvar alebo , kde C je ľubovoľná konštanta. Vyššie sme uviedli dve riešenia tejto ODR, ktoré sa získajú zo všeobecného integrálu diferenciálnej rovnice dosadením C = 0 a C = 1.

Ak riešenie diferenciálnej rovnice spĺňa pôvodne určené dodatočné podmienky, potom sa nazýva čiastočné riešenie diferenciálnej rovnice.

Čiastočné riešenie diferenciálnej rovnice spĺňajúce podmienku y(1)=1 je . naozaj, A .

Hlavnými problémami teórie diferenciálnych rovníc sú Cauchyho problémy, okrajové problémy a problémy hľadania všeobecného riešenia diferenciálnej rovnice na ľubovoľnom danom intervale X.

Cauchy problém je problém nájsť konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice, ktoré spĺňa dané počiatočné podmienky, kde sú čísla.

Problém hraničnej hodnoty je problém nájsť konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice druhého rádu, ktoré spĺňa dodatočné podmienky v hraničných bodoch x 0 a x 1:
f (x 0) = f 0, f (x 1) = f 1, kde f 0 a f 1 sú dané čísla.

Problém hraničnej hodnoty sa často nazýva hraničný problém.

Nazýva sa obyčajná diferenciálna rovnica n-tého rádu lineárne, ak má tvar , a koeficienty sú spojité funkcie argumentu x na integračnom intervale.

Často len zmienka diferenciálne rovnice vyvoláva u študentov nepríjemný pocit. Prečo sa to deje? Najčastejšie preto, že pri štúdiu základov materiálu vzniká medzera vo vedomostiach, vďaka ktorej sa ďalšie štúdium difurov stáva jednoducho mučením. Nie je jasné, čo robiť, ako sa rozhodnúť, kde začať?

Pokúsime sa vám však ukázať, že difury nie sú také ťažké, ako sa zdá.

Základné pojmy z teórie diferenciálnych rovníc

Zo školy poznáme najjednoduchšie rovnice, v ktorých potrebujeme nájsť neznáme x. v skutočnosti diferenciálne rovnice len mierne odlišné od nich - namiesto premennej X musíte v nich nájsť funkciu y(x) , čo zmení rovnicu na identitu.

D diferenciálne rovnice majú veľký praktický význam. Toto nie je abstraktná matematika, ktorá nemá žiadny vzťah k svetu okolo nás. Diferenciálne rovnice sa používajú na opis mnohých skutočných prirodzené procesy. Napríklad vibrácie struny, pohyb harmonického oscilátora pomocou diferenciálnych rovníc v úlohách mechaniky zistia rýchlosť a zrýchlenie telesa. Tiež DU Nájsť široké uplatnenie v biológii, chémii, ekonómii a mnohých iných vedách.

Diferenciálnej rovnice (DU) je rovnica obsahujúca derivácie funkcie y(x), samotnej funkcie, nezávisle premenné a ďalšie parametre v rôznych kombináciách.

Existuje mnoho typov diferenciálnych rovníc: obyčajné diferenciálne rovnice, lineárne a nelineárne, homogénne a nehomogénne, diferenciálne rovnice prvého a vyššieho rádu, parciálne diferenciálne rovnice atď.

Riešením diferenciálnej rovnice je funkcia, ktorá ju mení na identitu. Existujú všeobecné a špeciálne riešenia pre diaľkové ovládanie.

Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice je všeobecný súbor riešení, ktoré transformujú rovnicu na identitu. Čiastočné riešenie diferenciálnej rovnice je riešenie, ktoré spĺňa dodatočné podmienky špecifikované na začiatku.

Poradie diferenciálnej rovnice je určené najvyšším rádom jej derivácií.

Obyčajné diferenciálne rovnice

Obyčajné diferenciálne rovnice sú rovnice obsahujúce jednu nezávislú premennú.

Zoberme si najjednoduchšiu obyčajnú diferenciálnu rovnicu prvého rádu. Vyzerá to ako:

Takáto rovnica sa dá vyriešiť jednoducho integráciou jej pravej strany.

Príklady takýchto rovníc:

Oddeliteľné rovnice

IN všeobecný pohľad tento typ rovnice vyzerá takto:

Tu je príklad:

Pri riešení takejto rovnice musíte oddeliť premenné a uviesť ich do tvaru:

Potom zostáva integrovať obe časti a získať riešenie.

Lineárne diferenciálne rovnice prvého rádu

Takéto rovnice vyzerajú takto:

Tu p(x) a q(x) sú niektoré funkcie nezávislej premennej a y=y(x) je požadovaná funkcia. Tu je príklad takejto rovnice:

Pri riešení takejto rovnice najčastejšie využívajú metódu variácie ľubovoľnej konštanty alebo reprezentujú požadovanú funkciu ako súčin dvoch ďalších funkcií y(x)=u(x)v(x).

Na vyriešenie takýchto rovníc je potrebná určitá príprava a bude dosť ťažké vziať ich „na prvý pohľad“.

Príklad riešenia diferenciálnej rovnice so separovateľnými premennými

Pozreli sme sa teda na najjednoduchšie typy diaľkového ovládania. Teraz sa pozrime na riešenie jedného z nich. Nech je to rovnica s oddeliteľnými premennými.

Najprv prepíšme derivát do známejšieho tvaru:

Potom rozdelíme premenné, to znamená, že v jednej časti rovnice zhromažďujeme všetky „ja“ a v druhej – „X“:

Teraz zostáva integrovať obe časti:

Integrujeme a dostaneme spoločné rozhodnutie z tejto rovnice:

Samozrejme, riešenie diferenciálnych rovníc je istý druh umenia. Musíte byť schopní pochopiť, o aký typ rovnice ide, a tiež sa naučiť vidieť, aké transformácie s ňou treba urobiť, aby viedli k tej či onej forme, nehovoriac len o schopnosti rozlišovať a integrovať. A aby ste uspeli pri riešení DE, potrebujete prax (ako vo všetkom). A ak momentálne nemáte čas pochopiť, ako sa riešia diferenciálne rovnice, alebo vám Cauchyho problém uviazol ako kosť v krku, prípadne neviete, kontaktujte našich autorov. V krátkom čase Vám zabezpečíme hotový a podrobné riešenie, ktorej podrobnosti môžete pochopiť kedykoľvek, keď vám to vyhovuje. Medzitým vám odporúčame pozrieť si video na tému „Ako riešiť diferenciálne rovnice“:

Uvažujme lineárnu homogénnu rovnicu druhého rádu, t.j. rovnica

a stanoviť niektoré vlastnosti jeho riešení.

Nehnuteľnosť 1
Ak je riešením lineárnej homogénnej rovnice, potom C, Kde C- ľubovoľná konštanta, je riešením tej istej rovnice.
Dôkaz.
Nahrádzanie v ľavá strana zvažovaná rovnica C, dostaneme: ,
ale pretože je riešením pôvodnej rovnice.
teda

a platnosť tejto vlastnosti bola preukázaná.

Nehnuteľnosť 2
Súčet dvoch riešení lineárneho homogénna rovnica je riešením tej istej rovnice.
Dôkaz.
Dovoliť a byť riešeniami uvažovanej rovnice
A .
Teraz dosadením + do uvažovanej rovnice dostaneme:
, t.j. + je riešením pôvodnej rovnice.
Z overených vlastností vyplýva, že pri poznaní dvoch konkrétnych riešení lineárnej homogénnej rovnice druhého rádu môžeme získať riešenie , v závislosti od dvoch ľubovoľných konštánt, t.j. z počtu konštánt, že rovnica druhého rádu musí obsahovať všeobecné riešenie. Bude ale toto rozhodnutie všeobecné, t.j. Je možné výberom ľubovoľných konštánt splniť ľubovoľne dané počiatočné podmienky?
Pri odpovedi na túto otázku použijeme koncept lineárnej nezávislosti funkcií, ktorý možno definovať nasledovne.

Tieto dve funkcie sú tzv lineárne nezávislé na určitom intervale, ak ich pomer na tomto intervale nie je konštantný, t.j. Ak
.
V opačnom prípade sa volajú funkcie lineárne závislé.
Inými slovami, o dvoch funkciách sa hovorí, že sú lineárne závislé na určitom intervale, ak na celom intervale.

Príklady

1. Funkcie y 1 = e X a y 2 = e -X sú lineárne nezávislé pre všetky hodnoty x, pretože
.
2. Funkcie y 1 = e X a y 2 = 5 e X sú lineárne závislé, pretože
.

Veta 1.

Ak sú funkcie a lineárne závislé na určitom intervale, potom sa volá determinant Vronského determinant dané funkcie, rovnako rovná nule na tomto intervale.

Dôkaz.

Ak
,
kde , potom a .
teda
.
Veta bola dokázaná.

Komentujte.
Wronského determinant, ktorý sa objavuje v uvažovanej vete, sa zvyčajne označuje písmenom W alebo symboly .
Ak sú funkcie riešeniami lineárnej homogénnej rovnice druhého rádu, potom pre ne platí nasledujúca opakujúca sa a navyše silnejšia veta.

Veta 2.

Ak Wronského determinant, zostavený pre riešenia a lineárnu homogénnu rovnicu druhého rádu, zmizne aspoň v jednom bode, potom sú tieto riešenia lineárne závislé.

Dôkaz.

Nech Wronského determinant zmizne v bode , t.j. =0,
a nech a .
Zvážte lineárny homogénny systém

relatívne neznámy a .
Determinant tohto systému sa zhoduje s hodnotou Wronského determinantu at
x=, t.j. sa zhoduje s , a preto sa rovná nule. Preto má systém nenulové riešenie a ( a nie sú rovné nule). Pomocou týchto hodnôt a zvážte funkciu . Táto funkcia je riešením rovnakej rovnice ako funkcie a. Okrem toho táto funkcia spĺňa nulové počiatočné podmienky: , pretože A .
Na druhej strane je zrejmé, že riešením rovnice spĺňajúcej nulové počiatočné podmienky je funkcia r=0.
Vzhľadom na jedinečnosť riešenia máme: . Odkiaľ z toho vyplýva
,
tie. funkcie a sú lineárne závislé. Veta bola dokázaná.

Dôsledky.

1. Ak sa Wronského determinant vyskytujúci sa vo vetách rovná nule pre nejakú hodnotu x=, potom sa rovná nule pre akúkoľvek hodnotu Xz uvažovaného intervalu.

2. Ak sú riešenia lineárne nezávislé, potom Wronského determinant nezmizne v žiadnom bode v uvažovanom intervale.

3. Ak je Wronského determinant aspoň v jednom bode nenulový, potom sú riešenia lineárne nezávislé.

Veta 3.

Ak a sú dve lineárne nezávislé riešenia homogénnej rovnice druhého rádu, potom funkcia , kde a sú ľubovoľné konštanty, je všeobecným riešením tejto rovnice.

Dôkaz.

Ako je známe, funkcia je riešením uvažovanej rovnice pre akékoľvek hodnoty a . Dokážme teraz, že bez ohľadu na počiatočné podmienky
a
je možné zvoliť hodnoty ľubovoľných konštánt a tak, aby príslušné konkrétne riešenie vyhovovalo daným počiatočným podmienkam.
Dosadením počiatočných podmienok do rovnosti dostaneme sústavu rovníc
.
Z tohto systému je možné určiť a , od r determinant tohto systému

existuje Wronského determinant pre x= a preto sa nerovná nule (kvôli lineárnej nezávislosti riešení a ).

; .

Konkrétne riešenie so získanými hodnotami a spĺňa dané počiatočné podmienky. Tým je teorém dokázaný.

Príklady

Príklad 1

Všeobecné riešenie rovnice je riešením.
naozaj,
.

Preto sú funkcie sinx a cosx lineárne nezávislé. Dá sa to overiť zvážením vzťahu týchto funkcií:

.

Príklad 2

Riešenie y = C 1 e X +C 2 e -X rovnica je všeobecná, pretože .

Príklad 3

Rovnica , ktorej koeficienty a
spojitá na ľubovoľnom intervale, ktorý neobsahuje bod x = 0, pripúšťa čiastočné riešenia

(jednoduchá kontrola pomocou náhrady). Preto má jeho všeobecné riešenie tvar:
.

Komentujte

Zistili sme, že všeobecné riešenie lineárnej homogénnej rovnice druhého rádu možno získať poznaním akýchkoľvek dvoch lineárne nezávislých parciálnych riešení tejto rovnice. Neexistujú však žiadne všeobecné metódy na nájdenie takýchto čiastkových riešení v konečnej podobe pre rovnice s premenlivými koeficientmi. Pre rovnice s konštantnými koeficientmi takáto metóda existuje a bude diskutovaná neskôr.

Inštrukcie

Ak je rovnica uvedená v tvare: dy/dx = q(x)/n(y), klasifikujte ich ako diferenciálne rovnice so separovateľnými premennými. Možno ich vyriešiť zapísaním podmienky v diferenciáloch takto: n(y)dy = q(x)dx. Potom integrujte obe strany. V niektorých prípadoch je riešenie napísané vo forme integrálov prevzatých zo známych funkcií. Napríklad v prípade dy/dx = x/y dostaneme q(x) = x, n(y) = y. Napíšte ho v tvare ydy = xdx a integrujte. Malo by to byť y^2 = x^2 + c.

K lineárnemu rovnice priraďte rovnice k „prvému“. Neznáma funkcia so svojimi deriváciami vstupuje do takejto rovnice len do prvého stupňa. Lineárny má tvar dy/dx + f(x) = j(x), kde f(x) a g(x) sú funkcie závislé od x. Riešenie je napísané pomocou integrálov prevzatých zo známych funkcií.

Upozorňujeme, že mnohé diferenciálne rovnice sú rovnice druhého rádu (obsahujúce druhé derivácie). Napríklad rovnica jednoduchého harmonického pohybu je napísaná vo všeobecnom tvare: md 2x/dt 2 = –kx. Takéto rovnice majú konkrétne riešenia. Rovnica jednoduchého harmonického pohybu je príkladom niečoho dosť dôležitého: lineárnych diferenciálnych rovníc, ktoré majú konštantný koeficient.

Ak je v podmienkach úlohy len jeden lineárna rovnica, čo znamená, že dostanete ďalšie podmienky, pomocou ktorých môžete nájsť riešenie. Pozorne si prečítajte problém, aby ste našli tieto podmienky. Ak premenné x a y označujú vzdialenosť, rýchlosť, hmotnosť - pokojne nastavte limit x≥0 a y≥0. Je dosť možné, že x alebo y skrýva počet jabĺk atď. - potom hodnoty môžu byť iba . Ak je x vek syna, je jasné, že nemôže byť starší ako jeho otec, preto to uveďte v podmienkach problému.

Zdroje:

• ako vyriešiť rovnicu s jednou premennou

Problémy diferenciálneho a integrálneho počtu sú dôležitými prvkami pri upevňovaní teórie matematickej analýzy, odboru vyššej matematiky študovaného na univerzitách. Diferenciál rovnica riešené integračnou metódou.

Inštrukcie

Diferenciálny počet skúma vlastnosti . A naopak, integrácia funkcie umožňuje dané vlastnosti, t.j. derivácie alebo diferenciály funkcie, aby ju sám našiel. Toto je riešenie diferenciálnej rovnice.

Čokoľvek je vzťah medzi neznámou veličinou a známymi údajmi. V prípade diferenciálnej rovnice zohráva úlohu neznámej funkcia a úlohu známych veličín jej derivácie. Okrem toho môže vzťah obsahovať nezávislú premennú: F(x, y(x), y'(x), y''(x),…, y^n(x)) = 0, kde x je neznáma premenná, y (x) je funkcia, ktorá sa má určiť, poradie rovnice je maximálne poradie derivácie (n).

Takáto rovnica sa nazýva obyčajná diferenciálna rovnica. Ak vzťah obsahuje niekoľko nezávislých premenných a parciálnych derivácií (diferenciálov) funkcie vzhľadom na tieto premenné, potom sa rovnica nazýva parciálna diferenciálna rovnica a má tvar: x∂z/∂y - ∂z/∂x = 0 , kde z(x, y) je požadovaná funkcia.

Takže, aby ste sa naučili riešiť diferenciálne rovnice, musíte vedieť nájsť primitívne derivácie, t.j. vyriešiť problém inverzne k diferenciácii. Napríklad: Vyriešte rovnicu prvého rádu y’ = -y/x.

RiešenieNahradte y’ za dy/dx: dy/dx = -y/x.

Zredukujte rovnicu na formu vhodnú na integráciu. Ak to chcete urobiť, vynásobte obe strany dx a vydeľte y:dy/y = -dx/x.

Integrácia: ∫dy/y = - ∫dx/x + Сln |y| = - ln |x| + C.

Toto riešenie sa nazýva všeobecná diferenciálna rovnica. C je konštanta, ktorej množina hodnôt určuje množinu riešení rovnice. Pre akúkoľvek konkrétnu hodnotu C bude riešenie jedinečné. Toto riešenie je čiastočným riešením diferenciálnej rovnice.

Riešenie väčšiny rovníc vyššieho rádu stupňa nemá jasný vzorec na hľadanie druhých odmocnín rovnice. Existuje však niekoľko redukčných metód, ktoré umožňujú transformáciu rovnice najvyšší stupeň k jasnejšiemu pohľadu.

Inštrukcie

Najbežnejšou metódou riešenia rovníc vyššieho stupňa je expanzia. Tento prístup je kombináciou výberu celých koreňov, deliteľov voľného člena a následného delenia všeobecného polynómu do tvaru (x – x0).

Napríklad vyriešte rovnicu x^4 + x³ + 2 x² – x – 3 = 0. Riešenie: Voľný člen tohto polynómu je -3, preto jeho celočíselnými deliteľmi môžu byť čísla ±1 a ±3. Dosaďte ich po jednom do rovnice a zistite, či dostanete identitu: 1: 1 + 1 + 2 – 1 – 3 = 0.

Druhý koreň x = -1. Vydeľte výrazom (x + 1). Zapíšte výslednú rovnicu (x - 1)·(x + 1)·(x² + x + 3) = 0. Stupeň bol zredukovaný na druhý, takže rovnica môže mať ešte dva korene. Ak ich chcete nájsť, vyriešte kvadratickú rovnicu: x² + x + 3 = 0D = 1 – 12 = -11

Diskriminant je záporná hodnota, čo znamená, že rovnica už nemá skutočné korene. Nájdite komplexné korene rovnice: x = (-2 + i·√11)/2 a x = (-2 – i·√11)/2.

Ďalšou metódou riešenia rovnice vyššieho stupňa je zmena premenných tak, aby bola kvadratická. Tento prístup sa používa, keď sú všetky mocniny rovnice párne, napríklad: x^4 – 13 x² + 36 = 0

Teraz nájdite korene pôvodnej rovnice: x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2.

Tip 10: Ako určiť redoxné rovnice

Chemická reakcia je proces premeny látok, ku ktorému dochádza pri zmene ich zloženia. Látky, ktoré reagujú, sa nazývajú počiatočné látky a látky, ktoré vznikajú v dôsledku tohto procesu, sa nazývajú produkty. Stáva sa, že pri chemickej reakcii prvky, ktoré tvoria východiskové látky, zmenia svoj oxidačný stav. To znamená, že môžu prijímať cudzie elektróny a rozdávať svoje vlastné. V oboch prípadoch sa mení ich náboj. Takéto reakcie sa nazývajú redoxné reakcie.

diferenciálna rovnica (DE) - toto je rovnica,
kde sú nezávislé premenné, y je funkcia a sú parciálne derivácie.

Obyčajná diferenciálna rovnica je diferenciálna rovnica, ktorá má iba jednu nezávislú premennú, .

Parciálna diferenciálna rovnica je diferenciálna rovnica, ktorá má dve alebo viac nezávislých premenných.

Slová „obyčajné“ a „čiastočné deriváty“ možno vynechať, ak je jasné, o ktorej rovnici sa uvažuje. Ďalej sú uvažované obyčajné diferenciálne rovnice.

Poradie diferenciálnej rovnice je poradie najvyššej derivácie.

Tu je príklad rovnice prvého poriadku:

Tu je príklad rovnice štvrtého rádu:

Niekedy je diferenciálna rovnica prvého poriadku napísaná z hľadiska diferenciálov:

V tomto prípade sú premenné x a y rovnaké. To znamená, že nezávislá premenná môže byť buď x alebo y. V prvom prípade je y funkciou x. V druhom prípade je x funkciou y. V prípade potreby môžeme túto rovnicu zredukovať na formu, ktorá explicitne obsahuje deriváciu y′.
Vydelením tejto rovnice dx dostaneme:
.
Od a z toho vyplýva
.

Riešenie diferenciálnych rovníc

Deriváty z elementárne funkcie sú vyjadrené prostredníctvom elementárnych funkcií. Integrály elementárnych funkcií sa často nevyjadrujú ako elementárne funkcie. S diferenciálnymi rovnicami je situácia ešte horšia. V dôsledku riešenia môžete získať:

• explicitná závislosť funkcie od premennej;

  Riešenie diferenciálnej rovnice je funkcia y = u (X), ktorý je definovaný, n-krát diferencovateľný a .

• implicitná závislosť vo forme rovnice typu Φ (x, y) = 0 alebo sústavy rovníc;

  Integrál diferenciálnej rovnice je riešením diferenciálnej rovnice, ktorá má implicitný tvar.

• závislosť vyjadrená prostredníctvom elementárnych funkcií a integrálov z nich;

  Riešenie diferenciálnej rovnice v kvadratúrach - ide o hľadanie riešenia v podobe kombinácie elementárnych funkcií a ich integrálov.

• riešenie nemôže byť vyjadrené elementárnymi funkciami.

Keďže pri riešení diferenciálnych rovníc ide o výpočet integrálov, riešenie zahŕňa sústavu konštánt C 1, C 2, C 3, ... C n. Počet konštánt sa rovná poradiu rovnice. Parciálny integrál diferenciálnej rovnice je všeobecný integrál at dané hodnoty konštanty C 1, C 2, C 3, ..., C n.

Referencie:
V.V. Stepanov, Priebeh diferenciálnych rovníc, "LKI", 2015.
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Zbierka úloh z vyššej matematiky, „Lan“, 2003.