Pri štúdiu ďalšej literatúry o riešení sústav rovníc som narazil na nový typ sústavy – symetrický. A dal som si za cieľ:

Zhrňte vedecké informácie na tému „Sústavy rovníc“.

Porozumieť a naučiť sa riešiť zavádzaním nových premenných;

3) Uvažujme o základných teóriách spojených so symetrickými sústavami rovníc

4) Naučiť sa riešiť symetrické sústavy rovníc.

História riešenia sústav rovníc.

Vylučovanie neznámych sa používa už dlho lineárne rovnice. V 17.-18.st. V. vylučovacie techniky vyvinuli Fermat, Newton, Leibniz, Euler, Bezout, Lagrange.

V modernej notácii má sústava dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi tvar: a1x + b1y = c1, a2x + b2x = c2 x = c1b1 – c2b; y = a1c2 – a2c1 Riešenia tejto sústavy sú vyjadrené vzorcami.

a1b2 – a2b1 a1b2 – a2b1

Vďaka súradnicovej metóde vytvorenej v 17. stor. Fermat a Descartes, bolo možné riešiť sústavy rovníc graficky.

V starobabylonských textoch napísaných v 3. – 2. tisícročí pred Kr. e. , obsahuje veľa problémov, ktoré možno riešiť zostrojením sústav rovníc, do ktorých sa zavádzajú aj rovnice druhého stupňa.

Príklad č. 1:

Pridal som obsahy mojich dvoch štvorcov: 25. Strana druhého štvorca sa rovná strane prvého a 5 ďalších Zodpovedajúci systém rovníc v zodpovedajúcom zápise vyzerá takto: x2 + y2 = 25, y = x. = 5

Diophantus, ktorý nemal zápisy pre veľa neznámych, sa veľmi snažil vybrať neznámu tak, aby sa riešenie sústavy zredukovalo na riešenie jedinej rovnice.

Príklad č. 2:

„Nájdi dve prirodzené čísla vediac, že ​​ich súčet je 20 a súčet ich štvorcov je 208."

Problém bol tiež vyriešený zostavením sústavy rovníc, x + y = 20, ale vyriešené x2 + y2 = 208

Diophantus, pričom polovicu rozdielu požadovaných čísel zvolil ako neznámu, t.j.

(x – y) = z, + (x + y) = 10

2z2 + 200 = 208 z = + 2z = -2- nespĺňa podmienky úlohy, teda ak z = 2x = 12 a y = 8

Pojmy sústavy algebraických rovníc.

V mnohých úlohách môže byť potrebné nájsť niekoľko neznámych veličín s vedomím, že iné veličiny vytvorené pomocou nich (funkcie neznámych) sa rovnajú jedna druhej alebo niektorým daným veličinám. Pozrime sa na jednoduchý príklad.

Pozemok obdĺžnikového tvaru o výmere 2400 m2 je oplotený plotom dĺžky 200 m. nájsť dĺžku a šírku pozemku. V skutočnosti je „algebraický model“ tohto problému systémom dvoch rovníc a jednej nerovnosti.

Na prípadné nerovnosti treba vždy pamätať. Keď riešite problémy týkajúce sa skladania sústav rovníc. Hlavná vec je však vyriešiť samotné rovnice. Poviem vám o metódach, ktoré sa používajú.

Začnime s definíciami.

Systém rovníc je súbor niekoľkých (viac ako jednej) rovníc spojených zloženou zátvorkou.

Zložená zátvorka znamená, že všetky rovnice systému musia byť vykonané súčasne, a ukazuje, že musíte nájsť pár čísel (x; y), ktorý zmení každú rovnicu na skutočnú rovnosť.

Riešením systému je dvojica čísel x a y, ktoré po dosadení do tohto systému prevedú každú z jeho rovníc na správnu číselnú rovnosť.

Riešiť sústavu rovníc znamená nájsť všetky jej riešenia alebo zistiť, že žiadne neexistujú.

Substitučná metóda.

Metóda substitúcie spočíva v tom, že v jednej z rovníc je jedna premenná vyjadrená v podmienkach inej. Výsledný výraz sa dosadí do inej rovnice, ktorá sa potom stane rovnicou s jednou premennou, a potom sa vyrieši. Výsledné hodnoty tejto premennej sa dosadia do ľubovoľnej rovnice pôvodného systému a nájde sa druhá premenná.

Algoritmus.

1. Vyjadrite y pomocou x z jednej rovnice sústavy.

2. Dosaďte výsledný výraz namiesto y do inej rovnice sústavy.

3. Vyriešte výslednú rovnicu pre x.

4. Do výrazu y až x získaného v prvom kroku postupne nahraďte každý z koreňov rovnice nájdenej v treťom kroku namiesto x.

5) Napíšte odpoveď vo forme párov hodnôt (x; y).

Príklad č. 1 y = x – 1,

Dosadíme do druhej rovnice y = x - 1, dostaneme 5x + 2 (x - 1) = 16, odkiaľ x = 2. Výsledný výraz dosadíme do prvej rovnice: y = 2 - 1 = 1.

Odpoveď: (2; 1).

Príklad č. 2:

8r – x = 4, 1) 2 (8r – 4) – 21r = 2

2х – 21у = 2 16у – 8 – 21у = 2

5r = 10 x = 8r – 4, y = -2

2 x – 21 у = 2

2) x = 8 * (-2) – 4 x = 8 rokov – 4, x = -20

2 (8r – 4) – 21r = 2 x = 8r – 4, y = -2 x = -20, y = -2

Odpoveď: (-20; -2).

Príklad č. 3: x2 + y +8 = xy, 1) x2 + 2x + 8 = x * 2x y – 2x = 0 x2 + 2x + 8 = 2x2

X2 + 2x + 8 = 0 x2 + y + 8 = xy, x2 – 2x – 8 = 0 – kvadratická rovnica y = 2x x1 = -2 x2 = 4 x2 + 2x + 8 = x * 2x 2) y1 = 2 * (-2) y = 2x y1 = -4 y2 = 2 * 4 x1 = -2 y2 = 8 x2 = 4 y = 2x x1 = -2, x2 = 4 y1= -4, y2 = 8

Preto (-2; -4); (4; 8) – riešenia tohto systému.

Spôsob pridávania.

Metóda sčítania spočíva v tom, že ak daný systém pozostáva z rovníc, ktoré po sčítaní vytvoria rovnicu s jednou premennou, potom riešením tejto rovnice získame hodnoty jednej z premenných. Nájde sa hodnota druhej premennej, ako pri substitučnej metóde.

Algoritmus riešenia systémov metódou sčítania.

1. Vyrovnajte moduly koeficientov pre jednu z neznámych.

2. Sčítaním alebo odčítaním výsledných rovníc nájdite jednu neznámu.

3. Dosadením nájdenej hodnoty do jednej z rovníc pôvodnej sústavy nájdite druhú neznámu.

Príklad č.1. Riešte sústavu rovníc metódou sčítania: x + y = 20, x – y = 10

Odčítaním druhej od prvej rovnice dostaneme

Vyjadrime z druhého výrazu x = 20 - y

Do tohto výrazu dosaďte y = 5: x = 20 – 5 x = 15.

Odpoveď: (15; 5).

Príklad č. 2:

Predstavme si rovnice navrhovaného systému vo forme rozdielu, ktorý získame

7y = 21, odkiaľ y = 3

Dosadíme túto hodnotu do x = vyjadrené z druhej rovnice sústavy, dostaneme x = 4.

Odpoveď: (4; 3).

Príklad č. 3:

2x + 11r = 15,

10x – 11r = 9

Pridaním týchto rovníc máme:

2x + 10x = 15 + 9

12x = 24 x = 2, dosadením tejto hodnoty do druhej rovnice dostaneme:

10 * 2 – 11y = 9, odkiaľ y = 1.

Riešením tohto systému je dvojica: (2; 1).

Grafická metóda riešenia sústav rovníc.

Algoritmus.

1. Zostrojte grafy každej zo systémových rovníc.

2. Nájdite súradnice priesečníka zostrojených čiar.

Deje sa relatívnu polohu priame čiary v rovine.

1. Ak sa priamky pretínajú, teda majú jeden spoločný bod, tak sústava rovníc má jedno riešenie.

2. Ak sú priamky rovnobežné, to znamená, že nemajú spoločné body, potom sústava rovníc nemá riešenia.

3. Ak sa priamky zhodujú, teda majú veľa bodov, tak sústava rovníc má nekonečný počet riešení.

Príklad č. 1:

Riešte graficky sústavu rovníc x – y = -1,

Vyjadrime y z prvej a druhej rovnice: y = 1 + x, y = 4 – 2x x

Zostavme grafy každej zo systémových rovníc:

1) y = 1 + x – graf funkcie je priamka x 0 1 (1; 2) y 1 2

2) y = 4 – 2x – graf funkcie je priamka x 0 1 y 4 2

Odpoveď: (1; 2).

Príklad č. 2: y x ​​​​+ 2y = 6,

4y = 8 – 2x x y = , y = y = - graf funkcie je priamka x 0 2 y 3 2 y = - graf funkcie je priamka x 0 2 y 2 1

Odpoveď: neexistujú žiadne riešenia.

Príklad č. 3: y x ​​– 2y = 2,

3x – 6y = 6 x – 2y = 2, x – 2y = 2 x y = - graf funkcie je priamka x 0 2 y -1 0

Odpoveď: systém má nekonečné množstvo riešení.

Metóda zavádzania nových premenných.

Metóda zavádzania nových premenných spočíva v tom, že nová premenná sa zavedie iba do jednej rovnice alebo dvoch nových premenných pre obe rovnice naraz, potom sa rovnica alebo rovnice vyriešia s ohľadom na nové premenné a potom zostáva vyriešiť ďalšie jednoduchý systém rovníc, z ktorých nájdeme požadované riešenie.

Príklad č. 1:

X + y = 5

Označme = z, potom =.

Prvá rovnica bude mať tvar z + = , je ekvivalentná 6z – 13 + 6 = 0. Po vyriešení výslednej rovnice máme z = ; z =. Potom = alebo = , inými slovami, prvá rovnica sa rozdelí na dve rovnice, preto máme dva systémy:

X + y = 5 x + y = 5

Riešenia týchto systémov sú riešeniami daného systému.

Riešením prvého systému je dvojica: (2; 3) a druhým je dvojica (3; 2).

Preto riešenia sústavy + = , x + y = 5

Páry sú (2; 3); (3; 2)

Príklad č. 2:

Nech = X, a = Y.

X = 5* - 2Y = 1

5Х – 2У = 1 2,5 (8 – 3У) – 2У = 1

20 – 7,5 U – 2 U = 1

X = , -9,5 U = -19

5* - 2U = 1 U = 2

Urobíme spätnú výmenu.

2 x = 1, y = 0,5

Odpoveď: (1; 0,5).

Symetrické sústavy rovníc.

Systém s n neznámymi sa nazýva symetrický, ak sa nezmení, keď sa neznáme preusporiadajú.

Symetrickú sústavu dvoch rovníc s dvoma neznámymi x a y riešime dosadením u = x + y, v = xy. Všimnite si, že výrazy, s ktorými sa stretnete v symetrické systémy ax sú vyjadrené pomocou u a v. Uveďme niekoľko takýchto príkladov, ktoré sú nepochybne zaujímavé pre riešenie mnohých symetrických systémov: x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = u2 - 2v, x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) = u ( u2 - 2v – v) = u3 - 3uv, x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2x2y2 = (u2 - 2v)2 - 2v2 = u4 - 4u2v + 2v2, x2 + xy + y2 = u2 - 2v + v = u2 - v atď.

Symetrický systém troch rovníc pre neznáme x y, z riešime dosadením x + y + z = u, xy + yz + xz = w. Ak sa nájde u, v, w, zostaví sa kubická rovnica t2 – ut2 + vt – w = 0, ktorej korene t1, t2, t3 v rôznych permutáciách sú riešenia pôvodnej sústavy. Najbežnejšie výrazy v takýchto systémoch sú vyjadrené pomocou u, v, w takto: x2 + y2 + z2 = u2 - 2v x3 + y3 + z3 = u3 - 3uv + 3w

Príklad č. 1: x2 + xy + y2 = 13, x + y = 4

Nech x + y = u, xy = v.

u2 – v = 13, u = 4

16 – v = 13, u = 4, v = 3, u = 4

Urobíme spätnú výmenu.

Odpoveď: (1; 3); (3; 1).

Príklad č. 2: x3 + y3 = 28, x + y = 4

Nech x + y = u, xy = v.

u3 – 3uv = 28, u = 4

64 – 12 v = 28, u = 4

12v = -36 u = 4 v = 3, u = 4

Urobíme spätnú výmenu.

x + y = 4, xy = 3 x = 4 – y xy = 3 x = 4 – y,

(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1

Odpoveď: (1; 3); (3; 1).

Príklad č. 3: x + y + xy = 7, x2 + y2 + xy = 13

Nech x = y = u, xy = v.

u + v = 7, u2 – v = 13 u2 – v = 13 u2 – 7 + u =13 u2 + u = 20 v = 7 – u, u (u + 1) =20 u2 – v =13 u = 4 v = 7 – u, u = 4, v = 3, u = 4

Urobíme spätnú výmenu.

x + y = 4, xy = 3 x = 4 – y xy = 3 x = 4 – y,

(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1

Odpoveď: (1; 3); (3; 1).

Príklad č. 4: x + y = 5, x3 + y3 = 65

Nech x + y = u, xy = v.

u = 5, u3 – 3uv = 65 u3 – 3uv = 65 125 – 15v = 65

15v = -60 u = 5, v = 4 v = 4

Urobíme spätnú výmenu.

x + y = 5, xy = 4 x = 5 – y, xy = 4 x = 5 – y, y (5 – y) = 4 x = 5 – y y1 = 1, y2 = 4 x1 = 4, x2 = 1, y1 = 1, y2 = 4

Odpoveď: (4; 1); (14).

Príklad č. 5: x2 + xy + y2 = 49, x + y + xy = 23

Urobme zámenu neznámych, sústava bude mať tvar u2 + v = 49, u + v = 23

Sčítaním týchto rovníc dostaneme u2 + u – 72 = 0 s koreňmi u1 = 8, u2 = -9. Podľa toho v1 = 15, v2 = 32. Zostáva vyriešiť množinu sústav x + y = 8, x + y = -9, xy = 15 xy = 32

Systém x + y = 8, má riešenia x1 = 3, y1 = 5; x2=5, y2=3.

Sústava x + y = -9 nemá reálne riešenia.

Odpoveď: (3; 5), (5; 3).

Príklad č.6. Vyriešte sústavu rovníc.

2x2 – 3xy + 2y2 = 16, x + xy + y + 3 = 0

Pomocou základných symetrických polynómov u = y + x a v = xy dostaneme nasledujúci systém rovnice

2u2 – 7v = 16, u + v = -3

Dosadením výrazu v = -3 – u z druhej rovnice sústavy do prvej rovnice dostaneme nasledujúcu rovnicu 2u2 + 7u + 5 = 0, ktorej korene sú u1 = -1 a u2 = -2,5; a podľa toho sa hodnoty v1 = -2 a v2 = -0,5 získajú z v = -3 – u.

Teraz zostáva vyriešiť nasledujúcu množinu systémov x + y = -1 a x + y = -2,5, xy = -2 xy = -0,5

Riešenia tejto množiny systémov, a teda pôvodného systému (vzhľadom na ich ekvivalenciu), sú nasledovné: (1; -2), (-2; 1), (;).

Príklad č. 7:

3x2y – 2xy + 3xy2 = 78,

2x – 3xy + 2r + 8 = 0

Pomocou základných symetrických polynómov je možné systém zapísať v nasledujúcom tvare

3uv – 2v = 78,

Vyjadrením u = z druhej rovnice a jej dosadením do prvej rovnice dostaneme 9v2 – 28v – 156 = 0. Korene tejto rovnice v1 = 6 a v2 = - nám umožňujú nájsť zodpovedajúce hodnoty u1 = 5, u2 = - z výrazu u =.

Vyriešme teraz nasledujúcu množinu sústav x + y = 5 a x + y = -, xy = 6 xy = -.

x = 5 – y a y = -x -, xy = 6 xy = -.

x = 5 – y a y = -x -, y (5 - y) = 6 x (-x -) = -.

x = 5 – y a y = -x - , y1 = 3, y2 = 2 x1 = , x2 = - x1 = 2, x2 = 3 a x1 = , x2 = - y1= 3, y2 = 2 y1 = -, y2 =

Odpoveď: (2; 3), (3; 2), (; -), (-;).

Záver.

V procese písania tohto článku som sa stretol odlišné typy sústavy algebraických rovníc. Súhrnné vedecké informácie na tému „Systémy rovníc“.

Prišiel som na to a naučil som sa riešiť zavádzaním nových premenných;

Zopakoval si základné teórie spojené so symetrickými sústavami rovníc

Naučil sa riešiť symetrické sústavy rovníc.

− 4 1+ 4

−6

27≡ 0,

−4 x +4 r +27

+(y +6)

x = 1, x

(x-1)

= −6.

y = -6

Všimnite si, že riešenie druhej rovnice ešte nie je riešením systému. Výsledné čísla musia byť dosadené do zostávajúcej prvej rovnice systému. V tomto prípade po substitúcii získame identitu.

Odpoveď: (1, – 6).♦

§5. Homogénne rovnice a systémov
Funkcia f(x,y)	volal	homogénne		k ak
f (tx, ty) = tk f(x, y) .	Napríklad funkcia f (x ,y ) = 4x 3 y − 5xy 3 + x 2 y 2
je homogénna stupňa 4, pretože		f (tx, ty) = 4	(tx )3 (ty )− 5 (tx )(ty )3 +
+ (tx) 2 (ty) 2 = t 4 (4x 3 y − 5xy 3 + x 2 y 2). Rovnica f(x,y) = 0, kde				f (x, y) –

homogénna funkcia sa nazýva homogénna. Ide o rovnicu

s jednou neznámou, ak zavediete novú premennú t = x y.

f (x, y) = a,

Systém s dvoma premennými g (x, y) = b, kde (x,y) ,g (x,y) –

homogénne funkcie rovnakého stupňa sa nazývajú homogénne. Ak ab ≠ 0, vynásobte prvú rovnicu b, druhú a a

Zoberieme jeden od druhého a dostaneme ekvivalentný systém

bf (x, y) − ag(x, y) = 0, g(x, y) = b.

Prvá rovnica zmenou premenných t =

(alebo t =

) sa zníži na

rovnica s jednou neznámou.

Ak a = 0

(b = 0), potom rovnicu f (x ,y ) = 0 (g (x ,y ) = 0) nahradením

premenné t =

(alebo t =

) sa zredukuje na rovnicu s jednou neznámou

− xy + y

21 ,

Príklad 20. (MSU, 2001, Chemická fakulta) Vyriešte sústavu

− 2xy + 15= 0.

akademický rok 2012-2013 ročník, č.1, 11. ročník. Matematika. Algebraické rovnice, nerovnosti, systémy

− xy + y2 = 21,

− xy + y 2

y2 − 2 xy

−2 xy = −15

2xy = - 15

x ≠ 0,y ≠ 0;

19 ± 11

5x 2 − 19xy + 12r 2 = 0 5

− 19

12 = 0

−2 xy = −15

x = 3 y,

y = ±5.

3 ) ,

(− 3 3;−

3 ) ,(4; 5) ,

(− 4;− 5) .♦

§6. Symetrické systémy

f(x,y)

volal

symetrický,

f (x, y) = f(y, x).

f (x, y) = a

Systém rovníc tvaru

kde f (x ,y ) ,g (x ,y ) – symetrický

g(x, y) = b,

ric, sa nazýva symetrický systém. Takéto systémy riešia

vyskytujú častejšie	len predstavením nového	premenné
x + y = u, xy

x 3+ x 3 r 3+ y 3= 17,

Príklad 21. Vyriešte sústavu rovníc

x + xy + y = 5 .

♦ Ide o algebraický (symetrický) systém, zvyčajne sa rieši nahradením x + y = u,xy = v. Všímajúc si to

x 3+ x 3y 3+ y 3= (x + y ) (x 2− xy + y 2) + x 3y 3=

= (x+ y) ((x+ y) 2 − 3 xy) + x3 y3 = u(u2 − 3 v) + v3 ,

prepíšeme systém do formulára

© 2012, ZFTSH MIPT. Kolesnikova Sofia Ilyinichna

akademický rok 2012-2013 ročník, č.1, 11. ročník. Matematika. Algebraické rovnice, nerovnice, sústavy

− 3 UV+ v

u = 5 − v,

6 =0

V = 5

-5v

v=3, u=2

(v starých premenných)

x + y = 2,

x = 2 −y ,

xy = 3,

y 2 − 2 y + 3 = 0

x + y = 3,

x = 3 − y,

x = 2, y = 1,

y -3 y +2 = 0

x = 1, y = 2.

xy = 2,

Odpoveď: (2;1) ,

(1; 2) .♦

Literatúra

1. S. I. Kolesnikova „Intenzívny prípravný kurz na jednotnú štátnu skúšku“. Moskva, Iris – Press;

2. "Riešenie komplexné úlohy Jednotná štátna skúška" Moskva, Iris - Press alebo "Waco", 2011;

3. Časopis „Potenciál“ č.1–2 za rok 2005 – články S.I. Kolesnikovej „Iracionálne rovnice“ a „ Iracionálne nerovnosti»;

4. S. I. Kolesnikova „Iracionálne rovnice“, Moskva, 2010,

Azbuka LLC;

5. S. I. Kolesnikova „Iracionálne nerovnosti“, Moskva, 2010, LLC „Azbuka“;

6. S.I. Kolesnikova „Rovnice a nerovnosti obsahujúce moduly“, Moskva, 2010, Azbuka LLC.

Kontrolné otázky

1(2). Nájdite najkratšiu dĺžku intervalu, ktorý obsahuje všetky riešenia nerovnosti 5x + 1≥ 2(x − 1) .

2(2). Vyriešte nerovnosťx 3 + 8x 2 − 20x ≤ 2x − 4 (nie je potrebné riešiť kubickú rovnicu, pretože vpravo a vľavo je faktor x − 2).

3(2). Vyriešte nerovnosť 2− x ≥ x − 3.

4(2). Nájdite najkratšiu dĺžku intervalu, do ktorého sa

zožať všetky riešenia nerovnosti	x2 + 5 x− 84	≤ 0 .
	(x + 13) (x + 14)

5(3). Nájdite súčet druhých mocnín celočíselných riešení nerovnosti

© 2012, ZFTSH MIPT. Kolesnikova Sofia Ilyinichna

akademický rok 2012-2013 ročník, č.1, 11. ročník. Matematika. Algebraické rovnice, nerovnice, sústavy

4 −x −8 +x ≤x +6 .

6(3). Vyriešte nerovnosť 5+ x − 8− x ≤ 3− x .

7(3). Vyriešte nerovnosť		−x 3 −x −1			≤x.
						9 − 4x − (x + 3) )
8(3). Vyriešte nerovnosť		4 −x −(x +2) )(					≤ 0.
			(x + 1 ) (x − 2 ) (x − 3 )

9(4). Nájdite najkratšiu dĺžku intervalu, do ktorého sa

zožať všetky riešenia nerovnosti
			x+5				x+2				144 − x< 0.
			X−2				4 x -5		6x - 6

10(2). Nájdite najkratšiu dĺžku intervalu, ktorý obsahuje všetky riešenia nerovnice 8x − 8≤ 32+ 4x − x 2 .

11(4). Nájdite súčet druhých mocnín všetkých celočíselných riešení nerovníc

2(2). Nájdite najkratšiu dĺžku intervalu, ktorý obsahuje
			(x − 1 )3 (x + 3 )
všetky riešenia nerovnosti										≤ 0 .
			2x - 1				x - 2		) (x − 1 )

3(2). Vyriešte nerovnosť

4 (x− 3 ) 4 ≥ 4 (x− 7 ,5 ) 4 .

4(4). Vyriešte nerovnosť

x2 + 3 x− 4

x 2-16

2x 2 + 3x - 20

5(3). Vyriešte nerovnosť (x 2	X +1) 2 -2 x 3 + x 2 + x -3 x 2		≥ 0 .
vlastnosti 4 − 2x − 1≤ 3.	Úlohy
	− 5x + 6+ 9− 2x − 5 akademický rok 2012-2013 ročník, č.1, 11. ročník. Matematika. Algebraické rovnice, nerovnice, sústavy 7(4). Nájdite všetky hodnoty parametrov a , pre každú z nich funkcia f (x) = x 2 + 4x + x 2- x - 1 − a iba akceptuje negácia- telové významy. 8(4). Vyriešte rovnicu 4 x − 3 x - 1 5x + 14− 3 5x + 14-1 9(4). Vyriešte rovnicu x 2-5 + x 2 −3 = x +1 + x + 3. 24 − x 2 9 2 x 10(3). Vyriešte nerovnosť ≥ 0 . x2 − 4 7 x − 10 11(3). Traja pretekári štartujú súčasne z jedného bodu na kruhovej trati a jazdia konštantnou rýchlosťou v rovnakom smere. Prvý jazdec prvýkrát dobehol druhého, pričom zajazdil svoje piate kolo v bode diametrálne odlišnom od štartu a pol hodiny na to dobehol tretieho jazdca druhýkrát, nepočítajúc štart. . Druhý jazdec prvýkrát dobehol tretieho 3 hodiny po štarte. Koľko kôl za hodinu spraví prvý jazdec, ak druhý prejde kolo aspoň za dvadsať minút? © 2012, ZFTSH MIPT. Kolesnikova Sofia Ilyinichna

Ciele lekcie:

• vzdelávacie: nácvik riešenia sústav rovníc obsahujúcich homogénnu rovnicu, symetrické sústavy rovníc;
• rozvíjanie: rozvoj myslenia, pozornosti, pamäti, schopnosť zdôrazniť hlavnú vec;
• vzdelávacie: rozvoj komunikačných schopností.

Typ lekcie: lekcia učenia sa nového materiálu.

Použité technológie výučby:

• pracovať v skupinách;
• metóda návrhu.

Vybavenie: počítač, multimediálny projektor.

Týždeň pred vyučovacou hodinou dostávajú žiaci námety na kreatívne zadania (podľa možností).
I možnosť. Symetrické sústavy rovníc. Riešenia.
Možnosť II. Sústavy obsahujúce homogénnu rovnicu. Riešenia.

Každý študent si pomocou doplnkovej náučnej literatúry musí nájsť vhodnú vzdelávací materiál, vyberte si sústavu rovníc a vyriešte ju.
Jeden študent z každej možnosti vytvorí multimediálne prezentácie na tému kreatívnej úlohy. Učiteľ v prípade potreby poskytuje žiakom konzultácie.

I. Motivácia vzdelávacie aktivityštudentov

Úvodný prejav učiteľa
V predchádzajúcej lekcii sme sa zaoberali riešením sústav rovníc nahradením neznámych. Všeobecné pravidlo nie je možnosť výberu nových premenných. Ak však existuje rozumný výber premenných, možno rozlíšiť dva typy systémov rovníc:

• symetrické sústavy rovníc;
• sústavy rovníc, z ktorých jedna je homogénna.

II. Učenie nového materiálu

Študenti v možnosti 2 referujú o svojich domácich úlohách.

1. Ukážka snímok multimediálnej prezentácie „Systémy obsahujúce homogénnu rovnicu“ (prezentácia 1).

2. Práca vo dvojiciach študentov sediacich v jednej lavici: študent možnosti 2 vysvetlí susedovi v lavici riešenie sústavy obsahujúcej homogénnu rovnicu.

Správa študenta možnosti 1.

1. Ukážka snímok multimediálnej prezentácie „Symetrické sústavy rovníc“ (prezentácia 2).

Žiaci si do zošitov zapíšu:

2. Pracujte vo dvojiciach žiakov sediacich v jednej lavici: žiak v možnosti 1 vysvetlí susedovi v lavici riešenie symetrickej sústavy rovníc.

III. Posilnenie naučeného materiálu

Pracujte v skupinách (študenti sediaci v susedných laviciach sú spojení do skupiny 4 študentov).
Každá zo 6 skupín plní nasledujúcu úlohu.

Určite typ systému a vyriešte ho:

Študenti v skupinách analyzujú systémy, určujú ich typ, potom počas frontálnej práce diskutujú o riešeniach systémov.

systém

symetrické, zavedieme nové premenné x+y=u, xy=v

b) systém

obsahuje homogénnu rovnicu.

Dvojica čísel (0;0) nie je riešením systému.

IV. Monitorovanie vedomostí študentov

Samostatná práca na možnostiach.

Vyriešte sústavu rovníc:

Žiaci odovzdajú zošity vyučujúcemu na kontrolu.

V. Domáca úloha

1. Vyplnili všetci žiaci.

Vyriešte sústavu rovníc:

2. Hrajú „silní“ študenti.

Vyriešte sústavu rovníc:

VI. Zhrnutie lekcie

otázky:
Aké typy sústav rovníc ste sa učili na hodine?
Aká metóda riešenia sústav rovníc sa používa na ich riešenie?

Hlásenie známok, ktoré študenti dostali počas hodiny.

Domov > Riešenie

Racionálne rovnice a nerovnice

I. Racionálne rovnice.

Lineárne rovnice.

Sústavy lineárnych rovníc.

Recipročné rovnice.

Vietov vzorec pre polynómy vyšších stupňov.

Sústavy rovníc druhého stupňa.

Metóda na vnášanie nových neznámych pri riešení rovníc a sústav rovníc.

Homogénne rovnice.

Riešenie symetrických sústav rovníc.

Rovnice a sústavy rovníc s parametrami.

Grafická metóda riešenia sústav nelineárnych rovníc.

Rovnice obsahujúce znamienko modulu.

Základné metódy riešenia racionálnych rovníc

II. Racionálne nerovnosti.

Vlastnosti ekvivalentných nerovností.

Algebraické nerovnosti.

Intervalová metóda.

Zlomkové racionálne nerovnosti.

Nerovnice obsahujúce neznámu pod znamienkom absolútnej hodnoty.

Nerovnosti s parametrami.

Systémy racionálnych nerovností.

Grafické riešenie nerovností.

III. Skríningový test.

Racionálne rovnice

Funkcia formulára

P(x) = a 0 x n + a 1 x n – 1 + a 2 x n – 2 + … + a n – 1 x + a n,

kde n je prirodzené číslo, a 0, a 1,…, a n sú nejaké reálne čísla, nazývané celá racionálna funkcia.

Rovnica v tvare P(x) = 0, kde P(x) je celá racionálna funkcia, sa nazýva celá racionálna rovnica.

Rovnica formulára

P 1 (x) / Q 1 (x) + P 2 (x) / Q 2 (x) + … + P m (x) / Q m (x) = 0,

kde P 1 (x), P 2 (x), ..., P m (x), Q 1 (x), Q 2 (x), ..., Q m (x) sú celé racionálne funkcie, tzv. racionálna rovnica.

Riešenie racionálna rovnica P (x) / Q (x) = 0, kde P (x) a Q (x) sú polynómy (Q (x)  0), redukuje sa na vyriešenie rovnice P (x) = 0 a kontrolu, či korene spĺňajú podmienka Q (x)  0.

Lineárne rovnice.

Rovnica v tvare ax+b=0, kde a a b sú nejaké konštanty, sa nazýva lineárna rovnica.

Ak a0, potom má lineárna rovnica jeden koreň: x = -b /a.

Ak a=0; b0, potom lineárna rovnica nemá riešenia.

Ak a=0; b=0, potom prepísaním pôvodnej rovnice do tvaru ax = -b je ľahké vidieť, že akékoľvek x je riešením lineárnej rovnice.

Rovnica priamky je: y = ax + b.

Ak priamka prechádza bodom so súradnicami X 0 a Y 0, potom tieto súradnice spĺňajú rovnicu priamky, t.j. Y 0 = aX 0 + b.

Príklad 1.1. Vyriešte rovnicu

2x – 3 + 4 (x – 1) = 5.

Riešenie. Postupne otvorte zátvorky, pridajte podobné výrazy a nájdite x: 2x – 3 + 4x – 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,

Príklad 1.2. Vyriešte rovnicu

2x – 3 + 2 (x – 1) = 4 (x – 1) – 7.

Riešenie. 2x + 2x – 4x = 3 +2 – 4 – 7, 0x = – 6.

Odpoveď: .

Príklad 1.3. Vyriešte rovnicu.

2x + 3 – 6 (x – 1) = 4 (x – 1) + 5.

Riešenie. 2x – 6x + 3 + 6 = 4 – 4x + 5,

– 4x + 9 = 9 – 4x,

4x + 4x = 9 – 9,

Odpoveď: Akékoľvek číslo.

Sústavy lineárnych rovníc.

Rovnica formulára

a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b,

kde a 1, b 1, …, a n, b sú nejaké konštanty, nazývané lineárna rovnica s n neznámymi x 1, x 2, …, x n.

Systém rovníc sa nazýva lineárny, ak sú všetky rovnice zahrnuté v systéme lineárne. Ak sa systém skladá z n neznámych, potom sú možné tieto tri prípady:

systém nemá riešenia;

systém má práve jedno riešenie;

systém má nekonečne veľa riešení.

Príklad 2.4. riešiť sústavu rovníc

Riešenie. Systém lineárnych rovníc môžete vyriešiť pomocou substitučnej metódy, ktorá pozostáva z vyjadrenia jednej neznámej pomocou iných neznámych pre ľubovoľnú rovnicu systému a následného dosadenia hodnoty tejto neznámej do zostávajúcich rovníc.

Z prvej rovnice vyjadríme: x= (8 – 3y) / 2. Tento výraz dosadíme do druhej rovnice a dostaneme sústavu rovníc

X = (8 – 3y) / 2, 3(8 – 3y) / 2 + 2y = 7. Z druhej rovnice dostaneme y = 2. Ak to vezmeme do úvahy, z prvej rovnice x = 1. Odpoveď: (1 2. Príklad 2.5. Riešiť sústavu rovníc

Riešenie. Systém nemá riešenia, pretože dve rovnice systému nemôžu byť splnené súčasne (z prvej rovnice x + y = 3 az druhej x + y = 3,5).

Odpoveď: Neexistujú žiadne riešenia.

Príklad 2.6. riešiť sústavu rovníc

Riešenie. Systém má nekonečne veľa riešení, keďže druhá rovnica sa získa z prvej vynásobením 2 (t.j. v skutočnosti existuje len jedna rovnica s dvoma neznámymi).

Odpoveď: Riešení je nekonečne veľa.

Príklad 2.7. riešiť sústavu rovníc

x + y – z = 2,

2x – y + 4z = 1,

Riešenie. Pri riešení sústav lineárnych rovníc je vhodné použiť Gaussovu metódu, ktorá spočíva v transformácii sústavy do trojuholníkového tvaru.

Prvú rovnicu sústavy vynásobíme – 2 a výsledný výsledok pripočítame k druhej rovnici – 3y + 6z = – 3. Túto rovnicu môžeme prepísať ako y – 2z = 1. Sčítaním prvej rovnice s po tretie, dostaneme 7y = 7 alebo y = 1.

Systém tak získal trojuholníkový vzhľad

x + y – z = 2,

Dosadením y = 1 do druhej rovnice zistíme z = 0. Dosadením y = 1 az = 0 do prvej rovnice zistíme x = 1. Odpoveď: (1; 1; 0) Príklad 2.8. pri akých hodnotách parametra a je sústava rovníc

2x + ay = a + 2,

(a + 1) x + 2ay = 2a + 4

má nekonečne veľa riešení? Riešenie. Z prvej rovnice vyjadríme x:

x = – (a / 2)y + a / 2 +1.

Dosadením tohto výrazu do druhej rovnice dostaneme

(a + 1) (– (a / 2)y + a / 2 +1) + 2ay = 2a + 4.

(a + 1)(a + 2 – ay) + 4ay = 4a + 8,

4ay – a(a + 1)y = 4(a + 2) – (a + 1)(a + 2),

ya(4 – a – 1) = (a + 2)(4 – a – 1),

ya(3 – a) = (a + 2)(3 – a).

Pri analýze poslednej rovnice si všimneme, že pre a = 3 má tvar 0y = 0, t.j. vyhovuje pre akékoľvek hodnoty y. odpoveď: 3.

Kvadratické rovnice a rovnice na ne redukovateľné.

Rovnica v tvare ax 2 + bx + c = 0, kde a, b a c sú nejaké čísla (a0);

x je premenná nazývaná kvadratická rovnica.

Vzorec na riešenie kvadratickej rovnice.

Najprv vydeľme obe strany rovnice ax 2 + bx + c = 0 a - tým sa nezmenia jej korene. Na vyriešenie výslednej rovnice

x 2 + (b / a) x + (c / a) = 0

vyberte celý štvorec na ľavej strane

x 2 + (b / a) + (c / a) = (x 2 + 2 (b / 2a) x + (b / 2a) 2) – (b / 2a) 2 + (c / a) =

= (x + (b / 2a)) 2 – (b 2) / (4a 2) + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – ((b 2 – 4ac) / (4a 2 )).

Pre stručnosť označujeme výraz (b 2 – 4ac) D. Potom výsledná identita nadobúda tvar

Možné sú tri prípady:

ak je číslo D kladné (D > 0), potom v tomto prípade môžeme extrahovať z D Odmocnina a napíšte D v tvare D = (D) 2. Potom

D / (4a 2) = (D) 2 / (2a) 2 = (D / 2a) 2, preto identita nadobúda tvar

x 2 + (b / a) x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / 2a) 2 .

Pomocou vzorca rozdielu štvorcov odvodíme odtiaľto:

x 2 + (b / a) x + (c / a) = (x + (b / 2a) – (D / 2a)) (x + (b / 2a) + (D / 2a)) =

= (x – ((-b + D) / 2a)) (x – ((– b – D) / 2a)).

Veta: Ak totožnosť platí

ax 2 + bx + c = a(x – x 1)(x – x 2),

potom kvadratická rovnica ax 2 + bx + c = 0 pre X 1  X 2 má dva korene X 1 a X 2 a pre X 1 = X 2 - iba jeden koreň X 1.

Na základe tejto vety z vyššie odvodenej identity vyplýva, že rovnica

x 2 + (b / a) x + (c / a) = 0,

a teda rovnica ax 2 + bx + c = 0 má dva korene:

Xi = (-b +  D) / 2a; X2 = (-b -  D) / 2a.

Teda x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x – x1)(x – x2).

Zvyčajne sú tieto korene zapísané jedným vzorcom:

kde b 2 – 4ac = D.

ak je číslo D nula (D = 0), potom identita

x 2 + (b / a) x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / (4a 2))

má tvar x 2 + (b / a) x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2.

Z toho vyplýva, že pre D = 0 má rovnica ax 2 + bx + c = 0 jednu odmocninu násobnosti 2: X 1 = – b / 2a

3) Ak je číslo D záporné (D< 0), то – D >0, a teda výraz

x 2 + (b / a) x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / (4a 2))

je súčet dvoch členov, z ktorých jeden je nezáporný a druhý kladný. Takáto suma sa nemôže rovnať nule, takže rovnica

x 2 + (b / a) x + (c / a) = 0

nemá skutočné korene. Rovnica ax 2 + bx + c = 0 ich tiež nemá.

Na vyriešenie kvadratickej rovnice by sme teda mali vypočítať diskriminant

D = b 2 – 4ac.

Ak D = 0, potom kvadratická rovnica má jediné rozhodnutie:

Ak D > 0, potom má kvadratická rovnica dva korene:

Xi = (-b + D) / (2a); X2 = (-b - D) / (2a).

Ak D< 0, то квадратное уравнение не имеет корней.

Ak jeden z koeficientov b alebo c rovná nule, potom možno kvadratickú rovnicu vyriešiť bez výpočtu diskriminantu:

b = 0; c  0; c/a<0; X1,2 = (-c / a)

b  0; c = 0; X1 = 0, X2 = -b/a.

Korene všeobecnej kvadratickej rovnice ax 2 + bx + c = 0 nájdeme podľa vzorca

Kvadratická rovnica, v ktorej sa koeficient x 2 rovná 1, sa nazýva redukovaná. Daná kvadratická rovnica sa zvyčajne označuje takto:

x 2 + px + q = 0.

Vietov teorém.

Odvodili sme identitu

x 2 + (b / a) x + (c / a) = (x – x1) (x – x2),

kde X 1 a X 2 sú korene kvadratickej rovnice ax 2 + bx + c =0. Otvorme zátvorky na pravej strane tejto identity.

x 2 + (b / a) x + (c / a) = x 2 – x 1 x – x 2 x + x 1 x 2 = x 2 – (x 1 + x 2) x + x 1 x 2.

Z toho vyplýva, že X 1 + X 2 = – b / a a X 1 X 2 = c / a. Dokázali sme nasledujúcu vetu, ktorú prvýkrát stanovil francúzsky matematik F. Viète (1540 – 1603):

Veta 1 (vieta). Súčet koreňov kvadratickej rovnice sa rovná koeficientu X, pričom sa berie s opačným znamienkom a delí sa koeficientom X 2 ; súčin koreňov tejto rovnice sa rovná voľnému členu vydelenému koeficientom X 2 .

Veta 2 (obrátiť). Ak sú splnené rovnosti

X 1 + X 2 = – b / a a X 1 X 2 = c / a,

potom čísla X 1 a X 2 sú koreňmi kvadratickej rovnice ax 2 + bx + c = 0.

Komentujte. Vzorce X 1 + X 2 = – b / a a X 1 X 2 = c / a zostávajú pravdivé v prípade, keď rovnica ax 2 + bx + c = 0 má jeden koreň X 1 násobku 2, ak dáme X v uvedených vzorcoch 2 = X 1. Preto sa všeobecne uznáva, že pri D = 0 má rovnica ax 2 + bx + c = 0 dva korene, ktoré sa navzájom zhodujú.

Pri riešení problémov súvisiacich s Vietovou vetou je užitočné použiť vzťahy

(1/X1)+ (1/X2)= (X1 + X2)/X1X2;

X12 + X22 = (X1 + X2)2 – 2 X1X2;

X1/X2 + X2/X1 = (X12 + X22) / X1X2 = ((X1 + X2)2 – 2X1X2)/X1X2;

X 1 3 + X 2 3 = (X 1 + X 2) (X 1 2 – X 1 X 2 + X 2 2) =

= (X1 + X2)((X1 + X2)2 – 3X1 X 2).

Príklad 3.9. Vyriešte rovnicu 2x 2 + 5x – 1 = 0.

Riešenie. D = 25 – 42 (– 1) = 33 >0;

X1 = (- 5 + 33) / 4; X2 = (- 5 -33) / 4.

Odpoveď: X 1 = (- 5 + 33) / 4; X2 = (- 5 -33) / 4.

Príklad 3.10. Vyriešte rovnicu x 3 – 5x 2 + 6x = 0

Riešenie. Poďme sa rozložiť ľavá strana rovnice pre faktory x(x 2 – 5x + 6) = 0,

teda x = 0 alebo x 2 – 5x + 6 = 0.

Vyriešením kvadratickej rovnice dostaneme X 1 = 2, X 2 = 3.

Odpoveď: 0; 2; 3.

Príklad 3.11.

x 3 – 3x + 2 = 0. Riešenie. Prepíšme rovnicu tak, že napíšeme –3x = – x – 2x, x 3 – x – 2x + 2 = 0, a teraz grupu x(x 2 – 1) – 2(x – 1) = 0,(x – 1) (x( x + 1) – 2) = 0,x – 1 = 0, x 1 = 1,x 2 + x – 2 = 0, x 2 = – 2, x 3 = 1. Odpoveď: x 1 = x 3 = 1 , x 2 = – 2. Príklad 3.12. Vyriešte rovnicu 7

Úvod Problémom môjho projektu je, aby bol úspešný zloženie jednotnej štátnej skúšky vyžaduje schopnosť riešiť rôzne systémy rovníc a v poznaní stredná škola Na hlbšie pochopenie tejto problematiky nedostali dostatok času. Cieľ práce: pripraviť sa na úspešné zloženie jednotnej štátnej skúšky. Ciele práce: Rozšíriť si vedomosti v oblasti matematiky súvisiacej s pojmom „symetria“. Zlepšite svoju matematickú kultúru pomocou konceptu „symetrie“ pri riešení systémov rovníc nazývaných symetrický, ako aj iných problémov v matematike.

Pojem symetria. Symetria - (staroveká gréčtina συμμετρία), v širšom zmysle - nemennosť pri akýchkoľvek transformáciách. Napríklad sférická symetria telesa znamená, že vzhľad telesa sa nezmení, ak sa otáča v priestore pod ľubovoľnými uhlami. Dvojstranná symetria znamená, že pravá a ľavá strana vo vzťahu k nejakej rovine vyzerajú rovnako.

Riešenie problémov pomocou symetrie. Úloha č. 1 Dvaja ľudia sa striedajú v ukladaní rovnakých mincí na okrúhly stôl, pričom mince by sa nemali navzájom prekrývať. Prehráva ten, kto sa nedokáže pohnúť. Kto kedy vyhrá správna hra? (Inými slovami, ktorý hráč má víťaznú stratégiu?)

Metódy riešenia symetrických systémov. Symetrické systémy možno riešiť zmenou premenných, ktoré hrajú základné symetrické polynómy. Symetrickú sústavu dvoch rovníc s dvoma neznámymi x a y riešime dosadením u = x + y, v = xy.

Príklad č.2 3 x 2y – 2xy + 3xy 2 = 78, 2x – 3xy + 2y + 8 = 0 Pomocou základných symetrických polynómov je možné sústavu zapísať v tvare 3uv – 2v = 78, 2u – 3v = -8 . Vyjadrením u = z druhej rovnice a jej dosadením do prvej rovnice dostaneme 9v2– 28v – 156 = 0. Korene tejto rovnice v 1 = 6 a v 2 = - nám umožňujú nájsť zodpovedajúce hodnoty u1 = 5, u2= - z výrazu u = .

Riešime teraz nasledujúcu množinu systémov Riešime teraz nasledujúcu množinu systémov x + y = 5 a x + y = - , xy = 6 xy = - . x = 5 – y a y = -x -, xy = 6 xy = -. x = 5 – y a y = -x -, y (5 - y) = 6 x (-x -) = -. x = 5 – y a y = -x -, y 1 = 3, y 2 = 2 x 1 =, x 2 = - x 1 = 2, x 2 = 3 a x 1 =, x 2 = - y 1= 3, y 2 = 2 y 1 = -, y 2 = Odpoveď: (2; 3), (3; 2), (; -), (- ;).

Vety používané pri riešení symetrických systémov. Veta 1. (o symetrických polynómoch) Akýkoľvek symetrický polynóm môžeme reprezentovať v dvoch premenných ako funkciu dvoch základných symetrických polynómov Inými slovami, pre každý symetrický polynóm f (x, y) existuje funkcia dvoch premenných φ (u). , v) také, že

Veta 2. (o symetrických polynómoch) Veta 2. (o symetrických polynómoch) Akýkoľvek symetrický polynóm v troch premenných môže byť reprezentovaný ako funkcia troch hlavných symetrických polynómov: Inými slovami, pre každý symetrický polynóm f (x, y) existuje taká funkcia troch premenných θ (u, v, w), ktorá

Zložitejšie symetrické systémy - systémy obsahujúce modul: | x – y | + y2 = 3, | x – 1 | + | r – 1 | = 2. Uvažuj tento systém samostatne na x< 1 и при х ≥ 1. Если х < 1, то: а) при у < х система принимает вид х – у + у 2 = 3, - х + 1 – у + 1 = 2, или х – у + у 2 = 3, х + у = 0, откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = - 3, у2 = 3. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области;

b) pre x ≤ y< 1 система принимает вид б) при х ≤ у < 1 система принимает вид - х + у + у 2 = 3, - х + 1 – у + 1 = 2, или - х + у + у 2 = 3, х + у = 0, откуда находим х 1 = 3, у 1 = - 3; х 2 = - 1, у 2 = 1. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области; в) при у ≥ 1 (тогда у >x) sústava má tvar - x + y + y 2 = 3, - x + 1 + y – 1 = 2, alebo - x + y + y 2 = 3, x – y = - 2, odkiaľ zistíme x 1 = - 3, y 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 1. Druhá dvojica čísel patrí do uvažovanej oblasti, to znamená, že je riešením tohto systému.

Ak x ≥ 1, potom: Ak x ≥ 1, potom: a) x > y a y< 1 система принимает вид х – у + у 2 = 3, х – 1 – у = 1 = 2, или х – у + у 2= 3, х – у = 2, откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = 4, у 2 = 2. Первая пара чисел принадлежит рассматриваемой области, т. Е. является решением данной системы; б) при х >y a y ≥ 1 systém nadobúda tvar x – y + y 2 = 3, x – 1 + y – 1 = 2, alebo x – y + y 2 = 3, x + y = 4, odkiaľ nájdeme x = 1, y = 3. Táto dvojica čísel nepatrí do posudzovanej oblasti;

c) pre x ≤ y (potom y ≥ 1) má systém tvar c) pre x ≤ y (potom y ≥ 1) má systém tvar - x + y + y 2 = 3, x – 1 + y – 1 = 2 alebo - x + y + y 2 = 3, x + y = 4, odkiaľ nájdeme x 1 = 5 + √8, y 1 = - 1 - √8; x 2 = 5 - √8, y2 = - 1 + √8. Tieto dvojice čísel nepatria do príslušného regiónu. Teda xi = -1, yi = 1; x 2 = 1, y 2 = - 1. Odpoveď: (- 1; 1); (jedenásť).

Záver Matematika rozvíja ľudské myslenie, učí nás nachádzať rôzne riešenia prostredníctvom logiky. Keď som sa teda naučil riešiť symetrické systémy, uvedomil som si, že sa dajú použiť nielen na výkon konkrétne príklady, ale ja som za riešenie rôznych druhov problémov. Myslím si, že projekt môže byť prínosom nielen pre mňa. Pre tých, ktorí sa chcú tiež oboznámiť s touto témou, bude moja práca dobrým pomocníkom.

Zoznam použitej literatúry: Bashmakov M.I., „Algebra a začiatky analýzy“, 2. vydanie, Moskva, „Prosveshchenie“, 1992, 350 s. Rudchenko P.A., Yaremchuk F.P., „Algebra and elementárne funkcie", príručka; tretie vydanie, revidované a rozšírené; Kyjev, Naukova, Dumka, 1987, 648 s. Sharygin I.F., „Matematika pre stredoškolákov“, Moskva, vydavateľstvo „Drofa“, 1995, 490 s. Internetové zdroje: http://www.college ru/.

Práca môže byť použitá na hodiny a správy z predmetu "Matematika"

Hotové prezentácie z matematiky sa používajú ako názorné pomôcky, ktoré umožňujú učiteľovi alebo rodičovi demonštrovať preberanú tému z učebnice pomocou snímok a tabuliek, ukázať príklady riešenia úloh a rovníc a tiež otestovať vedomosti. V tejto časti stránky si môžete nájsť a stiahnuť mnoho hotových prezentácií z matematiky pre študentov 1., 2., 3., 4., 5., 6. ročníka, ako aj prezentácií z vyššej matematiky pre študentov vysokých škôl.